2020年高三数学大串讲第20讲(数列中的新定义问题)(解析版)

第20讲 数列中的新定义问题【目标导航】解决新定义问题，首先考察对定义的理解．其次是考查满足新定义的数列的简单应用，如在某些条件下，满足新定义的数列有某些新的性质，这也是在新环境下研究“旧”性质，此时需要结合新数列的新性质，探究“旧”性质．第三是考查综合分析能力，主要是将新性质有机地应用在“旧”性质上，创造性地证明更新的性质． 【例题导读】例1、数学运算中，常用符号来表示算式，如nii a=∑=0123na a a a a +++++L ，其中i N ∈，n N +∈．（Ⅰ）若0a ，1a ，2a ，…，n a 成等差数列，且00a =，公差1d =，求证：()0ni ini a C ==∑12n n -⋅；（Ⅱ）若22201221(1)nknn k x a a x a x a x =+=++++∑L ，20nn i i b a ==∑，记11[(1)]ni in i n i d b C ==+-∑，且不等式(1)n n t d b ⋅-≤对于*n N ∀∈恒成立，求实数t 的取值范围．【解析】（Ⅰ）由已知得，等差数列的通项公式为n a n =，则()0ni ini a C ==∑12012n n n n n aa C a C a C ++++L 01120()(2)n nn n n n n n a C C C C C nC =+++++++L L因为11k k n n kC nC --=，所以122n n n n C C nC +++L 011111()n n n n n C C C ----=+++L ，所以()0ni ini a C ==∑1022n n an -⋅+⋅=12n n -⋅．（Ⅱ）令1x =，则223202(14)22222421n nnn i i a =-=++++==⋅--∑L ， 令1x =-，则20[(1)]0n ii i a =-=∑，所以20nn i i b a ==∑1(242)412n n =⋅-=-， 根据已知条件可知，012233(41)(41)(41)(1)(41)n n nn n n n n n d C C C C C =--+---++--L01223301234[(4)(4)(4)(4)][(1)]1n n n nn n n n n n n n n n n C C C C C C C C C C C =+-+-+-++---+-+++-+L L(14)(11)1(3)1n n n =---+=-+，所以(3)1n n d =-+，将41n n b =-、(3)1n n d =-+代入不等式(1)n n t d b ⋅-≤得，(3)41n nt ⋅-≤-，当n 为偶数时，41()()33nnt ≤-，所以22415()()333t ≤-=； 当n 为奇数时，41[()()]33n n t ≥--，所以1141[()()]133t ≥--=-；综上所述，所以实数的取值范围是5[1,]3-．例2、若数列{}n a 同时满足：①对于任意的正整数n ，1a n a a +≥恒成立；②对于给定的正整数k ，2n k n k n a a a -++=对于任意的正整数()n n k >恒成立，则称数列{}n a 是“()R k 数列”．（1）已知22,,{2,,n n n a n n -=为奇数为偶数判断数列{}n a 是否为“()2R 数列”，并说明理由；（2）已知数列{}n b 是“()3R 数列”，且存在整数(1)p p >，使得33p b -，31p b -，31p b +，33p b +成等差数列，证明： {}n b 是等差数列． 【解析】22n n a a -++= ()()222242n n n n a -++==．所以数列{}n a 是“()2R 数列”．（2）由题意可得： 332n n n b b b -++=，则数列1b ，4b ，7b ，⋅⋅⋅是等差数列，设其公差为1d ，数列2b ，3b ，8b ，⋅⋅⋅是等差数列，设其公差为2d ，数列3b ，6b ，9b ，⋅⋅⋅是等差数列，设其公差为3d ． 因为1n n b b +≤，所以313234n n n b b b +++≤≤，所以()1122111b nd b nd b n d +≤+≤++， 所以()2112n d d b b -≥-①，()21121n d d b b d -≤-+②． 若210d d -<，则当1221b b n d d ->-时，①不成立；若210d d ->，则当12121b b d n d d -+>-时，②不成立；若210d d -=，则①和②都成立，所以12d d =．同理得： 13d d =，所以123d d d ==，记123d d d d ===． 设31333131p p p p b b b b --+--=- 3331p p b b λ++=-=，则()()()313231311n n p p b b b n p d b n p d ---+-=+--+--3131p p b b d d λ-+=-+=-． 同理可得： 331313n n n n b b b b d λ-+-=-=-，所以1n n b b d λ+-=-，所以{}n b 是等差数列． 【另解】3133p p b b λ--=- ()()()2312b p d b p d =+--+- 23b b d =-+，3131p p b b λ+-=- ()()12121b pd b p d b b d =+-+-=-+， 3331p p b b λ++=- ()3131b pd b pd b b =+-+=-，以上三式相加可得： 32d λ=，所以23d λ=，所以()3211n b b n d -=+- ()13213d b n =+-+， ()3121n b b n d -=+- ()11b d n d λ=+-+- ()13113db n =+--，()331n b b n d =+- ()11b n d λ=++- ()1313db n =+-，所以()113n d b b n =+-，所以13n n db b +-=，所以数列{}n b 是等差数列．例3、已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()2*241n n n a a S n N+=-∈．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若21211n n n n a b S S -++=⋅，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求n T 的取值范围；（3）若()211,22,n n na n c n ⎧+⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数()*n N ∈，从数列{}n c 中抽出部分项（奇数项与偶数项均不少于两项），将抽出的项按照某一顺序排列后构成等差数列．当等差数列的项数最大时，求所有满足条件的等差数列． 【解析】（1）当1n =时，由2241n n n a a S +=-，得2111241a a a +=-，得11a =，由2241n n n a a S +=-，得2111241n n n a a S ++++=-，两式相减，得22111224n n n n n a a a a a +++-+-=，即()221120n n n n a a a a ++--+=，即()()1120n n n n a a a a ++--+=因为数列{}n a 各项均为正数，所以10n n a a ++>，所以12n n a a +-= 所以数列{}n a 是以1为首项，2为公差的等差数列．因此，12(1)21n a n n =+-=-，即数列{}n a 的通项公式为21n a n =-． （2）由（1）知21n a n =-，所以2(121)2n n n S n +-==所以22212112(21)(21)n n n n a n b S S n n -++==⋅-+221114(21)(21)n n ⎡⎛⎤=-⎢ ⎥-+⎝⎦⎣ 所以222222246133557n T =++⨯⨯⨯222(21)(21)n n n ++-+L2222222111111111433557(21)(21)n n ⎧⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-⎨⎬ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎩⎭L 21114(21)n ⎡⎤=-⎢⎥+⎣⎦令21()1(21)f n n =-+，则(1)()f n f n +-=2222118(1)0(21)(23)(23)(21)n n n n n +-=>++++ 所以()f n 是单调递增数列，数列{}n T 递增，所以129n T T ≥=，又14n T <，所以n T 的取值范围为21,94⎡⎫⎪⎢⎣⎭． （3）2,212,2nn n n k c n k=-⎧⎪=⎨⎪=⎩ 设奇数项取了s 项，偶数项取了k 项，其中s ，*k N ∈，2s ≥，2k ≥．因为数列{}n c 的奇数项均为奇数，偶数项均为偶数，因此，若抽出的项按照某种顺序构成等差数列，则该数列中相邻的项必定一个是奇数，一个是偶数．假设抽出的数列中有三个偶数，则每两个相邻偶数的等差中项为奇数． 设抽出的三个偶数从小到大依次为2i ，2j ，()21pi j p ≤<<，则1122222i ji j --+=+为奇数，而1i ≥，2j ≥，则12j -为偶数，12i -为奇数，所以1i =．又1122222j p j p --+=+为奇数，而2j ≥，3p ≥，则12j -与12p -均为偶数，矛盾．又因为2k ≥，所以2k =，即偶数只有两项， 则奇数最多有3项，即s k +的最大值为5．设此等差数列为1d ，2d ，3d ，4d ，5d ，则1d ，3d ，5d 为奇数，2d ，4d 为偶数，且22d =． 由13224d d d +==，得11d =，33d =，此数列为1，2，3，4，5． 同理，若从大到小排列，此数列为5，4，3，2，1．综上，当等差数列的项数最大时，满足条件的数列为1，2，3，4，5和5，4，3，2，1． 例4、已知数列{}n a 满足1133,1,{1,n n n a n n a a a n n ++==---为奇数，为偶数，记数列{}n a 的前n 项和为2,n n n S b a =，*.n N ∈（1）求证：数列{}n b 为等比数列，并求其通项n b ； （2）求n S ；（3）问是否存在正整数n ，使得212n n n S b S +>>成立？说明理由． 【解析】（2）21221n n a a n +=---，所以21221n n a a n ++=--， 当n 为奇数时，可令*21,n k k N =-∈，则()()211232221......n k k k S S a a a a a ---==+++++()()()()()223211113 (211222)4k k n k k +--+=+-++-+=-=-=-，当n 为偶数时，可令*2,n k k N =∈，则()()21232221221......n k k k k k k S S a a a a a a S b ---==++++++=+()222234nn =---；（3）假设存在正整数n ，使得212n n n S b S +>> 成立，因为()22121n S n +=-+，()22223n n S n =---，所以只要()()()222123223n nn n -+>-->--- 即只要满足 ①：22n >，和②：()()22321nn -+>+，对于①只要2n ≥ 就可以； 对于②，当n 为奇数时，满足()22321n n -⋅+>+，不成立，当n 为偶数时，满足()22321nn ⋅+>+，即22123n n n +->，令2213n nn n c +-=， 因为()22222222321812160333n nn n n n n n n n n c c +++++++---+-=-=<， 即2n n c c +<，且当2n = 时，22123nn n +->， 所以当n 为偶数时，②式成立，即当n 为偶数时，212n n n S b S +>>成立． 例5、记{}1,2,100U =…，．对数列{}()*n a n N ∈和U的子集T ，若T =∅，定义0T S =；若{}12,,k T t t t =…，，定义12+kT t t t S a a a =++…．例如：{}=1,3,66T 时，1366+T S a a a =+．现设{}()*n a n N ∈是公比为3的等比数列，且当{}=2,4T 时，=30T S ．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）对任意正整数()1100k k ≤≤，若{}1,2,k T ⊆…，，求证：1T k S a +<； （3）设,,C D C U D U S S ⊆⊆≥，求证：2C C D D S S S +≥I ． 【解析】1）由已知得1*13,n n a a n N -=•∈．于是当{2,4}T =时，2411132730r S a a a a a =+=+=． 又30r S =，故13030a =，即11a =． 所以数列{}n a 的通项公式为1*3,n n a n N -=∈． （2）因为{1,2,,}T k ⊆L ，1*30,n n a n N -=>∈，所以1121133(31)32k k k r k S a a a -≤+++=+++=-<L L ．因此，1r k S a +<．（3）下面分三种情况证明．①若D 是C 的子集，则2C C D C D D D D S S S S S S S +=+≥+=I ． ②若C 是D 的子集，则22C C D C C C D S S S S S S +=+=≥I ． ③若D 不是C 的子集，且C 不是D 的子集．令U E C C D =I ，U F D C C =I 则E φ≠，F φ≠，E F φ=I ． 于是C E C D S S S =+I ，D F C D S S S =+I ，进而由C D S S ≥，得E F S S ≥． 设k 是E 中的最大数，l 为F 中的最大数，则1,1,k l k l ≥≥≠． 由（2）知，1E k S a +<，于是1133l k l F E k a S S a -+=≤≤<=，所以1l k -<，即l k ≤．又k l ≠，故1l k ≤-，从而1121131133222l l k E F l a S S a a a ----≤+++=+++==≤L L ，故21E F S S ≥+，所以2()1C C D D C D S S S S -≥-+I I ， 即21C C D D S S S +≥+I ．综合①②③得，2C C D D S S S +≥I ．例6、设数列A ：1a ，2a ，…N a (N ≥)．如果对小于n (2n N ≤≤)的每个正整数k 都有k a ＜n a ，则称n 是数列A 的一个“G 时刻”．记“)(A G 是数列A 的所有“G 时刻”组成的集合． （1）对数列A ：-2，2，-1，1，3，写出)(A G 的所有元素； （2）证明：若数列A 中存在n a 使得n a >1a ，则∅≠)(A G ；（3）证明：若数列A 满足n a -1n a - ≤1（n=2，3，…，N ），则)(A G 的元素个数不小于N a -1a ．【解析】（2）因为存在n a 使得1a a n >，所以{}∅≠>≤≤∈*1,2a a N i N i i ． 记{}1,2min a a N i N i m i >≤≤∈=*，则2≥m ，且对任意正整数m k a a a m k <≤<1,． 因此)(A G m ∈，从而∅≠)(A G ． （3）当1a a N ≤时，结论成立． 以下设1a a N >． 由（Ⅱ）知∅≠)(A G ．设{}p p n n n n n n A G <⋅⋅⋅<<⋅⋅⋅=2121,,,,)(，记10=n ． 则p n n n n a a a a <⋅⋅⋅<<<210．对p i ,,1,0⋅⋅⋅=，记{}i n k i i a a N k n N k G >≤<∈=*,．如果∅≠i G ，取i i G m min =，则对任何i i m n k i a a a m k <≤<≤,1． 从而)(A G m i ∈且1+=i i n m ．又因为p n 是)(A G 中的最大元素，所以∅=p G ． 从而对任意n k n p ≤≤，p n k a a ≤，特别地，p n N a a ≤． 对i i n n a a p i ≤-⋅⋅⋅=-+11,1,,1,0．因此1)(111111+≤-+=--++++i i i i i n n n n n a a a a a ． 所以p a aa a a a i ip n pi n n N ≤-=-≤--∑=)(1111．【反馈练习】1．定义：若无穷数列{}n a 满足{}1n n a a +-是公比为q 的等比数列，则称数列{}n a 为“()M q 数列”．设数列{}n b 中131,7b b ==（1）若24b =，且数列{}n b 是“()M q 数列”，求数列{}n b 的通项公式； （2）设数列{}n b 的前n 项和为n S ，且1122n n b S n λ+=-+，请判断数列{}n b 是否为“()M q 数列”，并说明理由；（3）若数列{}n b 是“(2)M 数列”，是否存在正整数,m n ，使得4039404020192019m n b b <<？若存在，请求出所有满足条件的正整数,m n ；若不存在，请说明理由． 【解析】（1）由题意可得21323,3b b b b -=-=，由数列{}n b 为“()M q 数列”可得()3221b b q b b -=-，即1q =，则{}1n n b b +-是公比为1的等比数列，即21*13,n n b b b b n N +-=-=∈，则{}n b 是首项为1，公差为3的等差数列，32n b n =-； （2）{}n b 是“()M q ”数列，理由如下：2n ≥时，由1122n n b S n λ+=-+，可得112(1)2n n b S n λ-=--+， 两式作差可得1122n n n b b b +-=-即113,22n n b b n +-=-≥，则21132n n b b ++-=-，两式作差可得21133n n n n b b b b +++-=-，即()2113,2n n n n b b b b n +++-=-≥，由32313,72b b b -=-=，可得252b =，则()3221933322b b b b -==⨯=-，则()2113n n n n b b b b +++-=-对任意*n N ∈成立，则{}1n n b b +-为首项是32，公比为3的等比软列，则{}n b 为()M q 数列；（3）由{}n b 是(2)M 数列，可得{}1n n b b +-是公比为2的等比数列， 即()11212n n n b b b b -+-=-，则()32212b b b b -=-，由131,7b b ==，可得23b=，则12n n n b b +-=，则()()()2112132122222n n n n n b b b b b b b b ---=-+-++-=+++=-L L ，则21nn b =-，若正整数,m n 满足4039404020192019m n b b <<，则40392140402019212019m n -<<-， 由210,210n m ->->，则2121m n ->-，则m n >，若2m n ≥+，则22121344212121m n n n n +--≥=+>---，不满足40392140402019212019m n -<<-， 若1m n =+，则140392140402019212019n n +-<<-，则403914040222019212019n -<<--，即1122019212019n <<-， 则2021220202n <<，则正整数10n =，则11m =； 因此存在满足条件的,,11,10m n m n ==．2．设数列{}n a ()*n N ∈是公差不为零等差数列，满足2369579,6a a a a a a +=+=；数列{}n b ()*n N ∈的前n 项和为n S ，且满足423n n S b +=． （1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（2）在1b 和2b 之间插入1个数11x ，使1112,,b x b 成等差数列；在2b 和3b 之间插入2个数2122,x x ，使221223,,,b x x b 成等差数列；……；在n b 和1n b +之间插入n 个数12,,...,n n nm x x x ，使121,,,...,n n n nm n b x x x b +成等差数列，（i ）求11212212......n n n nm T x x x x x x =+++++++； （ii ）是否存在正整数,m n ，使12m n ma T a +=成立？若存在，求出所有的正整数对(),m n ；若不存在，请说明理由． 【解析】（1）设数列{}n a 的公差为()d d ≠0 则由条件369a a a +=，可得()()111258a d a d a d +++=+，1a d ∴=，又由25796a a a +=，可得()()()21114668a d a d a d +++=+，将1a d =代入上式得254954d d d +=，24949d d ∴=01n d d a n ≠∴=∴=Q由423n n S b += ①当2n ≥时，11423n n S b --+= ② ①-②得：14220n n n b b b -+-=11(2)3n n b b n -∴=≥又111142302b b b +=∴=≠ {}n b ∴是首项为12，公比为13的等比数列，故()1*1123n n b n N -⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭()1*11,23n n n a n b n N -⎛⎫∴==∈ ⎪⎝⎭（2）①在n b 和1n b +之间插入n 个数12,,,n n nn x x x K ， 因为121,,,,,n n n nn n b x x x b +K 成等差数列，设公差为n d则11111112323(2)113(1)n n n n n nb b d n n n -+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭===-+-++， 则111233(1)n nk n n nkx b kd n -⎛⎫=+=-⎪+⎝⎭， 11111(1)233(1)23n nnk nn k n n nx n n -=+⎛⎫∴=⋅-⋅= ⎪+⎝⎭∑， 11212212211333n n n nn n nT x x x x x x ∴=+++++++=+++L L L ①则231111133333n n n n nT +-=++⋯++ ②①-②得：2111111332111111133333323313nnn n n nn n n n T +++⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=+++-=-=--⎪⎝⎭-L ， 13144323n n n n T -∴=--⋅⋅ ②若12m n ma T a +=，因为n a n =，所以m a m =， 则13111144323222n n n m m m -+--==+⋅⋅， 1111443232n n n m---=⋅⋅， 从而3321432n nn m--=⋅， 故()23234623462323323323n n n n n n n n m n n n --++⋅+===+------， 当1n =时，*10232m N =+=-∉-， 当2n =时，*14292m N =+=∈， 当3n =时，*213m N =+=∈，下证4(*)n n N ≥∈时，有32346n n n -->+， 即证3690n n -->， 设()369(4)xf x x x =--≥，则4()3ln 3636360xxf x '=->-≥->，()f x ∴在[4,)+∞上单调递增，故4n ≥时，43693649480n n -->-⨯-=>即4601323nn n +<<--， 从而4n ≥时，m 不是整数故所求的所有整数对为(9,2)及(3,3)．3．已知n *∈N ，数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11n n S a a +=-；数列{}n b 的前n 项和为n T ，且满足()112n n n T b n n b +=++，且12a b =．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n b 的通项公式； （3）设nn na cb =，问：数列{}n c 中是否存在不同两项i c ，j c （1i j ≤<，i ，j *∈N ），使i j c c +仍是数列{}n c 中的项?若存在，请求出i ，j ；若不存在，请说明理由．【解析】（1）∵数列{}n b 的前n 项和为n T ，且满足()112n n n T b n n b +=++ ∴11b =，22b =由11n n S a a +=-，得()112n n S a a n -=-≥． ∴()122n n a a n -=≥，且121a a a =-，即212a a =． ∴数列{}n a 是首项为122a b ==，公比为2的等比数列∴2nn a =（2）∵()112n n n T b n n b +=++① 2n ≥时，()()11111112n n n T b n n b ---+=-+-+②①-②得()1111111222n n n n n b b b nb n b --+-=++--∴()114231n n n n b b nb n b ---=+--，()()1433n n n b n b ----=-3n ≥时，()()12543n n n b n b -----=-，∴()()()214428n n n n b n b n b ---+-=-∴212n n n b b b --+= ∴{}n b 为等差数列 ∴()111n b n n =+-⋅=（3）2n n c n=，假设{}n c 中存在不同的两项i c ，j c （1i j ≤<），使i j k c c c +=（k *∈N ）222i j k i j k ⇒+=注意到()()()()11121212220111n nn n n n n n n n c c n n n n n n +++⋅-+⋅-⋅-=-==≥+++． ∴{}n c 单调递增由22k jk j k j>⇒>，则1k j ≥+． ∴()()11222211j k j i j k j i j j +-≥⇒≥++ 令j i m -=（m 1≥），∴j m i =+ ∴()()()()()112211111j ij j m i m i m i j i m i i m i -++++⎛⎫⎛⎫≤==++ ⎪⎪-+-+-⎝⎭⎝⎭∵2m i +≥ ∴2131m i +≤+-，而11mm i+≤+∴()231mm ≤+，231mm≤+令21nn C n =+，则()()()()()()11121222220211212n n n n n n n n n n C C n n n n n n ++++-+⋅-=-==>++++++ ∴{}n C 为单调递增，注意到3m =时，322313=<+，42163145=>+∴m 只能为1，2，3①当1m =时，11j i j i -=⇒=+∴()()222212323221i i i i i i i i ++++≤==++，故i 只能为1，2，3当1i =时，2j =，此时242442k k k =+=⇒=当2i =时，3j =，此时2814233k k =+=无整数解，舍当3i =时，4j =，此时2820433k k =+=，无正整数解，舍去②当2m =时，2j i =+，此时()()()2222346233601i i i i i i i i i+++≤⇒≥⇒--≤++ ∴1i =，此时3j =，2814233k k =+=⇒无解③当3m =时，3j i =+，此时()()()222348712816791202i i i i i i i i i i ++≤⇒++≥+⇒+-≤+，无正整数解，舍去．综上：存在1i =，2j =满足题意．4．已知{}n a 是由非负整数组成的无穷数列，对每一个正整数n ，该数列前n 项的最大值记为n A ，第n 项之后各项12,,...n n a a ++的最小值记为n B ，记n n n d A B =-．（1）若数列{}n a 的通项公式为5,141,5n n n a n -≤≤⎧=⎨≥⎩，求数列{}n d 的通项公式； （2）证明：“数列{}n a 单调递增”是“,0n n N d *∀∈<”的充要条件；（3）若n n d a =对任意n *∈N 恒成立，证明：数列{}n a 的通项公式为0n a =． 【解析】（1）当14n ≤≤，数列{}n a 是递减数列，最大为14a =， 又451n a a a ==⋯==⋯=， 所以4,1n n A B ==，1,2,3,n =⋯，所413n n n d A B =-=-=．（2）充分性：数列{}n a 单调递增，则12n a a a <<<<L L ， 则11,n n n A a B a +==，所以110n n n n d A B a a +=-=-<．必要性：对于数列{}n a ，*,0,0n n n n n N d d A B ∀∈<=-<即n n A B <，当1n =时，{}111212min ,,,n a A B a a α+==<≤L L ，所以12a a <， 当2n =时，222a A B =<，{}2313min ,,,n B a a a +=≤L L ，所以23a a <，同理34n a a a ⋯<<⋯<即数列{}n a 单调递增，故“数列{}n a 单调递增”是“,0n n N d *∀∈<”的充要条件．（3）当1n =时，11A a =，因为11d a =，所以10B =， 所以{}23min ,,,,0n a a a =L L ，若设23,,,,n a a a L L 全为零，则{}21234,min ,,,,0n A a B a a a ===L L ， 时22100d A a =-==，故0n a =，其中任意的*n N ∈．若23,,,,n a a a L L 不全为零，设诸23,,,,n a a a L L 中第一个为零．．．．．的记为0i a ， 则00231,,,,,i i a a a a -L L 中，{}11min ,,,,0m m m n B a a a ++==L L 即0m B =， 其中011m i ≤≤-，所以{}12max ,,,m m m d A a a a ==L ，因为m m d a =，所以{}12max ,,,m m a a a a =L 对任意的011m i ≤≤-总成立， 所以0121i a a a -≤≤≤L ，下面考虑0i A ，因为{}0001231max ,,,,,i i i A a a a a a -=L 即{}0002311max ,,,,0i i i A a a a a --==L ， 因为000i i d a ==，所以{}0000121min ,,,,0i i i n i B a a a a++-==>L L ，故对任意的01s i ≥+，总有010s i a a -≥>，则{}0000+1123111max ,,,,,0,i i i i A a a a a a a -++==L ，因为00+11i i d a +=， 所以{}000+123min ,,,,0i i i n B a a a ++==L L，这与任意的01s i≥+，总有010s i a a -≥>矛盾，所以23,,,,n a a a L L 不全为零不成立， 所以0n a =，其中任意的*n N ∈．5.已知数列{}n a 的首项13a =，对任意的*n ∈N ，都有11(0)n n a ka k +=-≠，数列{}1n a -是公比不为1的等比数列．（1）求实数k 的值；（2）设4,,1,,n nn n b a n -⎧=⎨-⎩为奇数为偶数数列{}n b 的前n 项和为n S ，求所有正整数m 的值，使得221m m S S -恰好为数列{}n b 中的项．【解析】（1）由11n n a ka +=-，13a =可知，231a k =-，2331a k k =--， 因为{1}na -为等比数列，所以2213(1)(1)(1)a a a -=--，即22(32)2(32)k k k -=⨯--，即231080k k -+=，解得2k =或43k =， 当43k =时，143(3)3n n a a +-=-，所以3n a =，则12n a -=， 所以数列{1}na -的公比为1，不符合题意；当2k =时，112(1)n n a a +-=-，所以数列{1}n a -的公比1121n n a q a +-==-， 所以实数k 的值为2．（2）由（1）知12nn a -=，所以4,,2,,n nn n b n -⎧=⎨⎩为奇数为偶数 则22(41)4(43)4[4(21)]4m m S m =-++-+++--+L2(41)(43)[4(21)]444mm =-+-++--++++L L 144(4)3m m m +-=-+，则212244(4)3m m m mS S b m m --=-=-+，因为22+1324m m m b b m +=-+，又222+322+1()()3420m m m m m b b b b ++-+=⨯->， 且2350b b +=>，130b =>，所以210m S ->，则20m S >，设2210,mt m S b t S -=>∈*N ， 则1,3t =或t 为偶数，因为31b =不可能，所以1t =或t 为偶数，①当2121=mm S b S -时，144(4)3344(4)3m mm m m m +--+=--+，化简得2624844m m m -+=--≤， 即242m m -+≤0，所以m 可取值为1，2，3， 验证2173S S =，433S S =，658723S S =得，当2m =时，413S b S =成立．②当t 为偶数时，1222144(4)331443124(4)134m mmm mm m S Sm m m m +---+==+--+--++，设231244m m m m c -+-=，则211942214m m m m m c c ++-+-=，由①知3m >，当4m =时，545304c c --=<； 当4m >时，10m m c c +->，所以456c c c ><<L ，所以m c 的最小值为5191024c -=， 所以22130151911024m m S S -<<+<-+，令22214m m S b S -==，则2314312414mm m +=-+-+，即231240m m -+-=，无整数解．综上，正整数m 的值为2．。