苏科版九年级上数学期中试题
最新苏科版九年级数学上册期中考试试卷及答案
最新苏科版九年级数学上册期中考试试卷及答案班级___________ 姓名___________ 成绩_______（考试时间：120分钟 总分：150分） 请注意：1.本试卷分选择题和非选择题两个部分.2.所有试题的答案均填写在答题纸上，答案写在试卷上无效.3.作图必须用2B 铅笔，并请加黑加粗.一、选择题（每题3分，共18分）1. 一元二次方程x （x ﹣1）=0的根是（ ）A ．1B ．0C ．0或1D ．0或﹣12.已知⊙O 的半径为10，圆心O 到直线l 的距离为6，则反映直线l 与⊙O 的位置关系的图形是（ ）A ．B ．C ．D ．3. 某款手机连续两次降价，售价由原来的1185元降到580元．设平均每次降价的百分率为x ，则依题意列出的方程为（ ）A ．1185x 2=580B ．1185（1﹣x ）2=580C ．1185（1﹣x 2）=580D ．580（1+x ）2=11854.如图，⊙O 为△ABC 的外接圆，∠A=30°，BC=6，则⊙O 的半径为（ ）A ．6B ．9C ．10D ．12 5.边长分别为5、5、6的三角形的内切圆的半径为（ ）A ．32B ．23C ．43D ．34 6.在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 是△ABC 的高，E 是AC 的中点，ED 、CB 的延长线相交于点F ，则图中相似三角形有（ ）A.3对B.4对C.5对D.6对二、填空题：（每题3分，共30分） 7.已知53y x =，则yx y x -+＝ ． 8.若△ABC ∽△A ′B ′C ′，∠A=40°，∠C=110°，则∠B ′等于 ．9.已知21、x x 是一元二次方程x 2﹣2x ﹣1=0的两根，则21x x += ． 10.如图，一个正n 边形纸片被撕掉了一部分，已知它的中心角是40°，那么n= ．11.已知75°的圆心角所对的弧长为5π，则这条弧所在圆的半径为 ．12. 已知点C 是AB 的黄金分割点（AC ＜BC ），AB=4，则BC 的长为 ．（保留根号）13.圆锥的底面的半径为3，母线长为5，则圆锥的侧面积为 ．14.如图，四边形ABCD 内接于⊙O,A D 、BC 的延长线相交于点E ，AB 、DC 的延长线相交于点F ，∠A ＝50°，则∠E+∠F ＝ ．15.如图,P 为⊙O 外一点，PA 与⊙O 相切于点A ，PO 交⊙O 于点B ，BC ⊥OP 交PA 于点C ，BC=3，PB=4，则⊙O 的半径为 ．16.已知Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，中线BD 、CE 交于G 点，∠BGC ＝90°，CG ＝2，则BC ＝.三、解答题：（共102分）17.（本题满分10分）解方程：(1))4(3)4(+-=+x x x （2）52)3(2+=+x x（第4题） （第6题） （第10题） （第14题） （第15题） （第16题）18.（本题满分8分）已知，关于x 的方程x 2﹣2mx+m 2﹣1=0．（1）不解方程，判断此方程根的情况；（2）若x=2是该方程的一个根，求代数式3822-+-m m 的值．19.（本题满分8分）如图所示的网格中，每个小方格都是边长为1的正方形，B 点的坐标为（﹣1，﹣1）．（1）把格点△ABC 绕点B 按逆时针方向旋转90°后得到△A 1BC 1，请画出△A 1BC 1，并写出点A 1的坐标；（2）以点A 为位似中心放大△ABC ，得到△AB 2C 2，使放大前后的面积之比为1：4请在下面网格内画出△A B 2C 2．20.（本题满分10分）如图，AB 为⊙O 的直径，点C 、D 在⊙O 上，且BC=6cm ，AC=8cm ，∠ABD=45°．（1）求BD 的长；（2）求图中阴影部分的面积．21.（本题满分10分）如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB=AD,E在弧AD上一点．（1）若∠C=110°，求∠E的度数；（2）若∠E=∠C，求证：△ABD为等边三角形．22.（本题满分10分）某商场将进货价为每只30元的台灯以每只40元售出，平均每月能售出600只．调查表明，这种台灯的售价每上涨1元，其月销售量将减少10只．当这种台灯的售价定为多少元时，每个月的利润恰为10000元？23.（本题满分10分）李华晚上在两根相距40m的路灯杆下来回散步，已知李华身高AB=1.6m，灯柱CD=EF=8m．（1）若李华距灯柱CD的距离DB=16 m，求他的影子BQ的长．（2）若李华的影子PB=5m，求李华距灯柱CD的距离．24.（本题满分10分）已知∠ADE=∠C ，AG 平分∠BAC 交DE 于F ，交BC 于G.（1）△ADF ∽△ACG ； （2）连接DG ，若DG ∥AC ，52 AG AF ，AD ＝6，求CE 的长度． G F EDC BA25.（本题满分12分）如图，正方形ABCD 中，对角线 AC 、BD 交于点P ，O 为线段BP 上一点(不与B 、P 重合)，以O 为圆心OA 为半径作⊙O 交直线AD 、AB 于E 、F ．（1）求证：点C 在⊙O 上；（2）求证：DE ＝BF ；（3）若AB ＝24，DE ＝2，求BO 的长度．26.（本题满分14分）已知，在平面直角坐标系中，A 点坐标为（0，m ）(0>m )，B 点坐标为（2，0），以A 点为圆心OA 为半径作⊙A ，将△AOB 绕B 点顺时针旋转α角（0°<α<360°）至△A /O /B 处．（1）如图1，4=m ,α＝90°，求O /点的坐标及AB 扫过的面积；（2）如图2，当旋转到A 、O /、A /三点在同一直线上时，求证：O /B 是⊙O 的切线；（3）如图3，2=m ,在旋转过程中，当直线BO/与⊙A 相交时，直接写出α的范围．图1 图2参考答案一、选择题（每题3分，共18分）1.C2.B3. B4.A5.B6.B二、填空题：（每题3分，共30分）7.4- 8.30° 9.2 10.9 11.12 12.252- 13.π15 14.80° 15.6 16.32三、解答题：（共102分）17.(1)4,321-=-=x x .......（5分） （2）221-==x x .......（10分）23. （1）04)1(4)2(22>=---m m ，所以方程两个不相等的实数根；.......（4分）（2）3 .......（8分）24.（1）如图.......（2分），（－4，3）.......（4分） （2）如图.......（8分）（每图2分）25.（1）25；.......（5分）（2）225425-π.......（10分）21.（1）125° .......（5分） （2）因为四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，所以∠BAD+∠C＝180°，因为四边形ABDE 是⊙O 的内接四边形，所以∠ABD+∠E ＝180°，又因为∠E=∠C ，所以∠BAD ＝∠ABD ，所以AD ＝BD ，.......（8分）因为AB=AD ，所以AD ＝BD ＝AD ，所以△ABD 为等边三角形．.......（10分）22.设这种台灯的售价定为x 元时，每个月的利润恰为10000元.1000014010600)130(=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⋅--x x ................................（5分） 解之得80,5021==x x ................................（9分）答：这种台灯的售价定为50或80元时，每个月的利润恰为10000元......（10分）23.（1）4m .................（5分） （2）20m .................（10分）24.（1）因为AG 平分∠BAC ，所以∠DAF=∠CAG ，又因为∠ADE=∠C ，所以△ADF ∽△ACG ；...............（5分）（2）求到AC ＝15........（7分）求到AE ＝4.........（9分）CE ＝11.......（10分）25.（1）连接OC ，因为正方形ABCD ，所以BD 垂直平分AC ，所以OC ＝OA ，所以点C 在⊙O 上；...............（4分）（2）连接CE 、CF ，因为四边形AFC E 是⊙O 的内接四边形，所以∠BFC+∠AEC ＝180°，因为∠DEC+∠AEC ＝180°，所以∠BFC ＝∠DEC ，因为CD ＝BC ，∠ADC ＝∠FBC ＝90°， 所以△FBC ≌△EDC ，所以DE ＝BF ；...............（8分）（3）3...............（12分）26.（1）（2，2）...............（2分） π5...............（4分）（2） 证AO /＝AO 即可；...............（10分）（3）0°<α<90°或180°<α<270°...............（14分）附： 初中数学学习方法总结1.先看笔记后做作业有的同学感到，老师讲过的，自己已经听得明明白白了。
苏科版九年级上册数学期中考试试卷及答案
苏科版九年级上册数学期中考试试题一、单选题1．一元二次方程(3)0x x +=的根是（ ）A ．0x =B ．3x =-C ．10x =，23x =D ．10x =，23x =- 2．若圆弧所在圆的半径为12，所对的圆心角为60︒，则这条弧的长为（ ） A ．2π B ．4π C ．12π D ．24π3．抽样调查了某校30位女生所穿鞋子的尺码，数据如下（单位：码）：则鞋厂最感兴趣的是这组数据的（ ）A ．平均数B ．中位数C ．众数D ．方差 4．如图，在正六边形ABCDEF 中，则ACF ∠的度数为（ ）A ．30B ．35︒C ．20︒D ．25︒5．若5cm AB =，作半径为4cm 的圆，使它经过A 、B 两点，这样的圆能作（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．无数个 6．如图，正方形ABCD 内接于⊙O ，线段MN 在对角线BD 上运动．若⊙O 的面积为6π，1MN =，则AMN 周长的最小值是（ ）A ．4B ．5C ．6D ．77．若关于x 的一元二次方程2()0a x h k ++=的一个实数根是1，则关于x 的一元二次方程2(1)0a x h k +-+=一定有一个实数根为（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．28．若关于x 的方程x 2+3x+a=0有一个根为-1，则另一个根为（ ）A ．-2B ．2C ．4D ．-39．如图，⊙O 的弦AB=8，P 是劣弧AB 中点，连接OP 交AB 于C ，且PC=2，则⊙O 的半径为（ ）A ．8B ．4C ．5D ．1010．如图，圆O 是Rt⊙ABC 的外接圆，⊙ACB=90°，⊙A=25°，过点C 作圆O 的切线，交AB 的延长线于点D ，则⊙D 的度数是（ ）A ．25°B ．40°C ．50°D ．65°二、填空题11．已知一组数据：3、4、5、6、8、8、8、10，这组数据的中位数是_________． 12．若2x =是关于x 的一元二次方程2280x mx -+=的一个根，则m 的值为________． 13．若一组数据85、x 、80、90、95的平均数为85，则x 的值为________．14．若2129,21y x y x =-=-，且12y y =，则x 的值为________．15．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD 交AB 于点E ，40BAC ∠=︒，30BAD ∠=︒，则AEC ∠的度数为________．16．若一个三角形的三边长分别为5、12、13，则它的内切圆的半径为_________． 17．方程2230x x --=与关于x 的一元二次方程220x x c ++=有一个相同的根，则c 的值为_______．18．我们将能完全覆盖某平面图形的圆称为该平面图形的覆盖圆，其中能完全覆盖平面图形的最小的圆称为该平面图形的最小覆盖圆，则边长为4的等边三角形的最小覆盖圆的面积是________．19．在平面直角坐标系中，若直线1y x m =-+-不经过第一象限，则关于x 的方程2210mx x ++=的实数根的个数为_________．20．如图，在Rt ABC 中，90ABC ∠=︒，34A ∠=︒，点B 、C 在⊙O 上，边AB 、AC 分别交⊙O 于D 、E 两点，点B 是弧CD 的中点，求ABE ∠的度数．三、解答题21．解方程：2450x x --=．22．当k 取什么值时，关于x 的一元二次方程290kx kx -+=有两个相等的实数根？求此时方程的根．23．某单位要招聘1名英语翻译，甲、乙两人报名参加了4项素质测试，成绩如下（单位：分）：如果把听、说、读、写的成绩按3：3：2：2计算素质测试平均成绩，那么谁的平均成绩高？请说明理由．24．1275年，我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除捷法》中提出这样一个问题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步．”意思是“矩形面积864平方步，宽比长少12步，问长和宽各几步．”请列方程，解决这个问题．25．如图，已知P 是圆上一点请你用两种不同的方法分别在图1、图2中过点P 作圆的直径，要求：（1）用直尺和圆规作图；（2）保留作图的痕迹，写出必要的文字说明．26．如图，在四边形ABCD 中，AD BC ∥，2,30AD B =∠=︒，以A 为圆心，AD 为半径的圆与AB 相交于点E ，且AE BE =．（1）试判断BC 与⊙A 的位置关系，并说明理由；（2）若用劣弧DE 所在的扇形AED 围成一个圆锥的侧面，求这个圆锥底面圆的半径．27．在一组数据12,,,n x x x 中，各数据与它们的平均数x 的差的绝对值的平均数，即()121n T x x x x x x n =-+-++-叫做这组数据的“平均差”，“平均差”也能描述一组数据的离散程度，“平均差”越大，说明数据的离散程度越大．（1）分别计算下列两组数据的“平均差”，并根据计算结果比较这两组数据的稳定性； 甲：9，11，8，12，7，13，6，14，10，10．乙：8，9，10，11，7，12，9，11，10，13．（2）分别计算甲、乙两组数据的方差，并根据计算结果比较这两组数据的稳定性．28．某商场销售的某种商品，每件成本为80元．经市场调研，销售单价为120元时，平均每天可售出20件；在一定范围内，单价每降价1元，商场平均每天可多售出2件．（1）如果降价后商场销售该商品每天盈利1200元，且尽可能的让顾客获得优惠，那么该商品的单价降了多少元？（2）能否通过降价使得商场销售该商品每天盈利1280元，如果能，求出该商品的单价下降的钱数；如果不能，请说明理由；（3）当该商品的单价降了 元时，降价后商场销售该商品每天盈利最多，且最多为 元．参考答案1．D2．B3．C4．A5．C6．C7．D8．A9．C10．B11．7【详解】解：按照从小到大的顺序排列为：3、4、4、5、6、8，8，10中位数：（6+8）÷2=7故答案为：7．12．3【详解】解：⊙2x =是关于x 的一元二次方程2280x mx -+=的一个根，⊙42280m -⨯+=，解得3m =，故答案为：3．【点睛】本题考查一元二次方程解的意义，把2x =代入方程得到参数的方程式解题的关键．13．75【分析】只要运用求平均数公式即可求出． 【详解】由题意知，15⨯（85+x+80+90+95）=85，解得x=75．故填75．【点睛】本题考查了平均数的概念．熟记公式是解决本题的关键．14．-2或4【分析】由12y y =得2921x x -=-，用因式分解法解之即可．【详解】解：由题意得：2921x x -=-，移项得：22910x x --+=，整理可得：2280x x --=，因式分解得：(2)(4)0x x +-=，⊙(2)0x +=或(4)0x -=，⊙122,4x x =-=，故答案为：-2或4．【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法．15．80︒【分析】连接BC ，利用圆周角性质求出⊙DCB ，利用直径所对的圆周角为90°求出⊙ACB ，利用三角形内角和求出⊙ABC ，再利用外角的性质可求出AEC ∠；【详解】解：连接BC ，则⊙DCB=30BAD ∠=︒⊙AB 是⊙O 的直径⊙⊙ACB=90°⊙⊙ABC=180°-⊙BAC-⊙ACB=180°-40°-90°=50°⊙⊙AEC=⊙ABC+⊙ECB=50°+30°=80°故答案为：80︒【点睛】本题考查了圆周角的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，解题关键是灵活运用圆和三角形的性质解决问题．16．2【分析】先根据勾股定理的逆定理判定三角形是直角三角形，再利用三角形面积公式进行求解即可得到答案．【详解】解：如图，在⊙ABC 中，AC=5，BC=12，AB=13，O 是⊙ABC 内切圆圆心，设内切圆半径为r ，⊙22251213+=，⊙由勾股定理逆定理可知此三角形为直角三角形， ⊙1302ABC SAC BC =⋅= ⊙=30ABC AOC BOC AOB SS S S ++=， ⊙11130222AC r BC r AB r ⋅+⋅+⋅=，⊙()302r AC BC AB ++= ⊙它的内切圆半径60251213r ==++， 故答案为：2．17．1或-15【分析】先解方程2230x x --=，再把它的解代入另一个方程即可．【详解】解方程2230x x --=，得：(3)(1)0x x -+=123,1x x ==-把3x =代入220x x c ++=得：960c ++=，解得15c =-；把1x =-代入220x x c ++=得：120c -+=，解得1c =；故答案为：1或-15．【点睛】本题考查一元二次方程的解法及解的意义，解题的关键是理解一元二次方程的相同根表示的意义．18．163π 【分析】先确定等边三角形的最小覆盖圆是等边三角形的外接圆，过A 作AD⊙BC 于D ，过B 作BE⊙AC 于E ，AD 与BE 相交于O ，以点O 为圆心，OB 长为半径的圆是等边三角形的外接圆，根据勾股定理=【详解】解：等边三角形的最小覆盖圆是等边三角形的外接圆，过A 作AD⊙BC 于D ，过B 作BE⊙AC 于E ，AD 与BE 相交于O ，以点O 为圆心，OB 长为半径的圆是等边三角形的外接圆，⊙⊙ABC 为等边三角形，BE⊙AC ，AD⊙BC ， ⊙AE=CE=114222AC =⨯=， ⊙BE 平分⊙CBA ， ⊙⊙DBE=⊙ABE=11603022ABC ∠=⨯︒=︒， 在Rt⊙BCE 中，==⊙BO=2OE ，⊙2OE+OE=22163r πππ==⎝⎭．故答案为： 163π．【点睛】本题考查等边三角形性质，等边三角形外接圆的面积，勾股定理，掌握等边三角形性质，等边三角形外接圆的面积，勾股定理是解题关键．19．1或2【分析】由直线解析式求得m-1≤0，并对方程2210mx x ++=中的m 进行分类讨论，一元二次方程结合⊙的符号进行讨论即可．【详解】解：⊙直线y=-x+m-1不经过第一象限，⊙m-1≤0，则m≤1当m=0时，方程mx 2+2x+1=0是一次方程，有一个根；当m=1时，⊙关于x 的方程mx 2+2x+1=0，⊙Δ=22-4m=0，⊙关于x 的方程mx 2+2x+1=0有两个相等的实数根；当m ＜1时，⊙关于x 的方程mx 2+2x+1=0，⊙Δ=22-4m ＞0，⊙关于x 的方程mx 2+x+1=0有两个不相等的实数根；故答案为：1或2．【点睛】本题考查了一次函数的性质，根的判别式：一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的根与Δ=b 2-4ac 有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．20．11︒【分析】由⊙ABC=90°，可得CD 是⊙O 的直径，由点B 是弧CD 的中点以及三角形的内角和，可得⊙BDC=⊙BCD=45°，利用三角形的内角和求出⊙ACB ，再根据角的和差关系求出⊙DCE ，由圆周角定理可得⊙ABE=⊙DCE 得出答案．【详解】解：连结CD .⊙90ABC ∠=︒，34A ∠=︒⊙90903456ACB A ∠=︒-∠=︒-︒=︒⊙点B 是弧CD 的中点⊙弧BC =弧BD⊙BCD BDC ∠=∠⊙90BCD BDC ∠+∠=︒⊙45BCD BDC ∠=∠=︒⊙564511ACD ACB BCD ∠=∠-∠=︒-︒=︒又⊙ABE ACD ∠=∠(同弧所对的圆周角相等）⊙11ABE ∠=︒【点睛】本题考查圆周角定理，弦、弧、圆心角之间的关系以及三角形内角和定理，掌握圆周角定理和推论是正确计算的前提．21．125,1x x ==-【分析】直接利用因式分解求解一元二次方程即可．【详解】解：2450x x --=(5)(1)0x x -+=50x ∴-=或10x +=解得：125,1x x ==-．22．36k =，1212x x ==【分析】利用一元二次方程根的判别式先求出k 的值，然后解一元二次方程即可，【详解】解：⊙一元二次方程290kx kx -+=⊙a k =，b k =-，9c =⊙2224()4936b ac k k k k -=--⋅⋅=-由题意，得2360k k -=，⊙10k =，236k =又⊙0k ≠，⊙当36k =时，原方程有两个相等的实数根.此时原方程为2363690x x -+=，则2(63)0x -=， ⊙1212x x ==．23．甲的平均成绩高，见解析【详解】解：甲的平均成绩高，⊙甲的平均成绩：90380385278283.63322⨯+⨯+⨯+⨯=+++（分），乙的平均成绩：78382385288282.63322⨯+⨯+⨯+⨯=+++（分）， 83.682.6＞，⊙甲的平均成绩高．24．它的长为36步，宽为24步【分析】如果设矩形田地的宽为x 步，那么长就应该是（x+12）步，根据面积为864，即可得出方程，求解即可．【详解】解：设矩形的宽为x 步.(12)864x x +=2128640x x +-=解得136x =-（舍去），224x =1236x +=答：它的长为36步，宽为24步.25．见解析【分析】方法一：运用直径所对圆周角是直角，作AC⊙PB 交圆于点Q 即可；方法二运用垂径定理求解即可【详解】解：方法1：如图1，⊙作射线PA ，与圆交于点A ，在射线PA 截取AB ，使得AB PA =；⊙分别以点P 、B 为圆心，大于PA 长为半径画弧，交于点C ，过点A 、C ，画直线AC ，与圆交于点Q ；⊙连结PQ ，PQ 就是所求作的直径；方法2：如图2，⊙以点P 为圆心，适当的长为半径，画弧与圆交于A 、B 两点，连结AB ；⊙分别以点A 、B 为圆心，大于12AB 长为半径，画弧交于点C ，过点P 、C ，画射线PC ，与圆交于点Q ；⊙线段PQ 就是所求作的直径．26．（1）BC 与⊙A 相切，见解析；（2）56【分析】（1）BC 与⊙A 相切，根据证明切线的方法“无切点、做垂直、证半径”，做垂直即可；（2）先求出圆心角，再利用圆锥侧面积公式计算即可．【详解】解：BC 与⊙A 相切过点A 作AF BC ⊥，垂足为点F ，连结EF .⊙AF BC ⊥⊙90AFB ∠=︒⊙AE BE = ⊙12EF AB AE == ⊙90B BAF ∠+∠=︒，30B ∠=︒⊙60BAF ∠=︒⊙AEF 是等边三角形.⊙AF AE =⊙2AF AE AD ===即圆心A 到BC 的距离等于⊙A 的半径⊙BC 与⊙A 相切（2）⊙AD BC ∥，⊙180B BAD ∠+∠=°⊙30B ∠=︒⊙150=︒∠BAD设圆锥底面圆的半径为r . 则15022180r ππ⨯⨯= ⊙56r =⊙这个圆锥底面圆的半径为56. 【点睛】本题考查切线的证明以及圆锥有关的计算，证明切线方法：有切点、连半径、证垂直，无切点、做垂直、证半径．27．（1）T 甲=2，T 乙=1.4，乙组数据更稳定；（2）2S 甲=6，2S 乙=3，乙组数据更稳定【分析】（1）先求出甲乙两组的平均数，再利用平均差公式求出甲乙两组的平均差，再比较大小即可；（2）根据方差公式求甲乙两组的方差，再比较大小即可．【详解】解：（1）⊙(9118127136141010)1010x =+++++++++÷=甲， ⊙1(910111010T =-+-+甲…1010)2+-=， ⊙(8910117129111013)1010x =+++++++++÷=乙， ⊙1(81091010T =-+-+乙…1310) 1.4+-=， ⊙,T T 甲乙＞⊙乙组数据更稳定；（2）⊙()()()2222191011101010610S ⎡⎤=-+-+⋅⋅⋅+-=⎣⎦甲，()()()222218109101310310S ⎡⎤=-+-+⋅⋅⋅+-=⎣⎦乙， 22S S 甲乙＞，⊙乙组数据更稳定．【点睛】本题考查平均数，新定义平均差，方差，掌握平均数，新定义平均差，方差是解题关键．28．（1）商品的单价降了20元；（2）不能通过降价使得商场销售该商品每天盈利1280元，见解析；（3）15，1250【分析】（1）根据总利润=单件利润×销售量，设商品的单价降了x 元，表示出单件利润及销售量列方程即可；（2）根据总利润=单件利润×销售量=1280列出方程，最后根据方程解的情况即可得出答案；（3）设商品的单价降了x 元，总利润y 元，根据总利润=单件利润×销售量列出函数关系式，最后配方即可求出最值．【详解】解：（1）设商品的单价降了x 元，单件利润(12080)x --元，销售量(202)x +件. (12080)(202)1200x x --+=解得110x =，220x =⊙要尽可能的让顾客获得优惠⊙单件利润要求更低⊙20x答：商品的单价降了20元.（2）设商品的单价降了x 元.(12080)(202)1280x x --+=2302400x x -+=⊙224(30)41240600b ac -=--⨯⨯=-＜⊙这个方程没有实数根.⊙不能通过降价使得商场销售该商品每天盈利1280元.（3）设商品的单价降了x 元，总利润y 元，则(12080)(202)y x x =--+(40)(202)x x =-+2260800x x =-++2(15)1250x =--+⊙当15x =时1250y =最大即当该商品的单价降了15元时，降价后商场销售该商品每天盈利最多，且最多为1250元 故答案为：15，1250。
苏科版九年级（上）数学期中测试试卷
苏科版九年级（上）数学期中测试试卷（测试内容：九（上）全册；测试时间：120分钟；满分：120分）一、填空题：（每题2分，共计16分） 1、直接写出答案：_____32=；()()2121+-＝2、当x 时，4-x 在实数范围内有意义，当x 时，322-x 在实数范围内有意义。
3、实数a 在数轴上的位置如图所示，化简：()2|1|2a a -+-=_______.4、如图，在直线l 上依次摆放着七个正方形．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S 1、S 2、S 3、S 4，则S 1＋S 2＋S 3＋S 4＝___ __．5、如图，面积为12cm 2的△ABC 沿BC 方向平移至△DEF 位置，平移的距离是边BC 长的两倍，则图中的四边形ACED 的面积是＿＿＿。
第5题图 第6题图 第7题图6、某居民小区一处圆形下水管道破裂，维修人员准备更换一段新管道，如图所示，污水水面宽度为60cm ，水面至管道顶部距离为10cm ，修理人员应准备半径为 cm 的管道.7、如图，小明同学测量一个光盘的直径，他只有一把直尺和一块三角板，他将直尺、光盘和三角板如图放置于桌面上，并量出AB=3.5cm ，则此光盘的直径是_________cm.8、以（－3，4）为圆心，5为半径画圆，则圆与坐标轴交点坐标是____________________ ____________________ 二、选择题：（每题2分，共计16分）924 ）。
A 1830485410、已知0xy >，化简二次根式2yx x-的正确结果为（ ） A 、y B 、 y - C 、y - D 、y --11、下列一元二次方程中，两根之和为2的是（ ）A 、022=+-x x B 、0222=+-x x C 、01422=+-x x D 、022=--x x 12、若从一块正方形的木板上锯掉一块2cm 宽的长方形木条，剩下部分的面积是48cm 2，则这块正方形木板原来的面积是（ ）A 、81cm 2B 、81cm 2或36cm 2C 、64cm 2D 、36cm 213、若等腰梯形两底之差等于一腰的长，那么这个梯形一内角是（ ） A 、︒90 B 、︒60 C 、︒45 D 、︒3014、已知点P 是半径为5的⊙O 内一定点，且OP ＝4，则过点P 的所有弦中，弦长可能取到的整数值为（ ）A. 5，4，3B. 10，9，8，7，6，5，4，3C. 10，9，8，7，6D. 12，11，10，9，8，7，615、若两圆的圆心距等于7，半径分别是R 、r ，且R 、r 是关于x 的方程0652=+-x x 的两个根，则这两圆的位置关系是( )A. 相离B. 相交C. 内切D. 外切16、如图，扇形OAB 是圆锥的侧面展开图，若小正方形方格的 边长均为1厘米，则这个圆锥的底面半径为（ ）厘米． A ．21B ．22C ．2D ．22三、解答题：（本大题共计88分） 17、（每题2分，共计8分）计算下列各式：⑴、7548103+- ⑵、5.081232+-⑶、2)13()53)(53(---+ ⑷、63145520•-+ 18、（每题2分，共计12分）解下列一元二次方程：⑴、02522=-+）（x （直接开平方法） ⑵、01522=--x x （配方法）⑶、025)2(10)2(2=++-+x x （因式分解法） ⑷、03722=+-x x （公式法）⑸、0223)12(22=-+-+x x ⑹、0)4()52(22=+--x x19、（本题5分）如图，秋千拉绳长AB 为3米，静止时踩板离地面0.5米，某小朋友荡该秋千时，秋千在最高处时踩板离地面2米(左右对称)，请计算该秋千所荡过的圆弧长(结果保留π)20、（本题6分）如图，四边形ABCD是正方形，△ECF是等腰直角三角形，其中CE=CF，G 是CD与EF的交点．⑴、求证：△BCF≌△DCE．⑵、若BC=5，CF=3，∠BFC=900，求DG：GC的值．21、（本题6分）如图，平行四边形ABCD纸片中，，AC⊥AB，AC与BD交于点O，沿对角线AC对折后，E与B对应.⑴、试问：四边形ACDE是什么形状的四边形？请加以证明。
苏科版九年级上册数学期中考试试卷带答案
苏科版九年级上册数学期中考试试题一、单选题1．已知⊙O 的半径为3cm ，若OP=2cm ，那么点P 与⊙O 的位置关系是（）A ．点P 在圆内B ．点P 在圆上C ．点P 在圆外D ．都有可能2．下列方程一定是一元二次方程的是（）A ．1xy x y +=+B ．22x =-C ．20ax bx c ++=D ．()2321x x x x -=--3．如果将一组数据中的每个数都减去5，那么所得的一组新数据（）A ．众数改变，方差改变B ．众数不变，平均数改变C ．中位数改变，方差不变D ．中位数不变，平均数不变4．若关于x 的一元二次方程k 2x -6x+9=0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（）A ．k<1B ．k<1且k ≠0C ．k ≠1D ．k>15．某校八年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛，赛制为单循环形式（每两班之间都赛一场），共需安排15场比赛，则八年级班级的个数为（）A ．5B ．6C ．7D ．86．如图，AB 是O 的直径，点C ，D 为O 上的点．若20CAB ∠=︒，则D ∠的度数为（）A ．70°B ．100°C ．110°D ．140°7．如图，四边形ABCD 是半径为2的O 的内接四边形，连接,OA OC ．若:4:3AOC ABC ∠∠=，则 AC 的长为（）A ．35πB ．45πC ．65πD ．85π8．如图，⊙O 是△ABC 的内切圆，则点O 是△ABC 的（）A ．三条边的垂直平分线的交点B ．三条角平分线的交点C ．三条中线的交点D ．三条高的交点9．某超市一月份的营业额为200万元，已知第一季度的总营业额共1000万元，如果平均每月增长率为x ，则由题意列方程应为（）A ．200（1+x ）2＝1000B ．200+200×2x ＝1000C ．200+200×3x ＝1000D ．200[1+（1+x ）+（1+x ）2]＝100010．如图，M 的半径为4，圆心M 的坐标为(6,8)，P 是M 上的任意一点，PA PB ⊥，且PA 、PB 与x 轴分别交于A 、B 两点．若点A 、B 关于原点O 对称，则AB 长的最小值为（）A ．6B ．8C ．12D ．16二、填空题11．方程x （x+1）＝0的解是_______________．12．一元二次方程2x -4x-3=0配方可化为_______________．13．一组数据5、8、6、7、4的方差为____________．14．在一次射击训练中，甲、乙两人各射击10次，两人10次射击成绩的平均数均是8.9环，方差分别是S 甲2＝1.7，S 乙2=1.2，则关于甲、乙两人在这次射击训练中成绩稳定是___________．(填“甲”或“乙”)15．圆锥的高为4，底面圆的半径为3，则该圆锥侧面积为_____．16．若1x +2x =3，12x x =1，则以1x ，2x 为根，且二次项系数为1的一元二次方程是________．17．如图，半径为10的扇形AOB 中，∠AOB=90°，C 为弧AB 上一点，CD ⊥OA ，CE ⊥OB ，垂足分别为D ，E ．若∠CDE=40°，则图中阴影部分的面积为_____________．18．半径为2cm 的⊙O 中，弦长为的弦所对的圆心角度数为____．19．如图，⊙O 为△ABC 的内切圆，NC=5.5，点D ，E 分别为BC ，AC 上的点，且DE 为⊙O 的切线，切点为Q ，则△CDE 的周长为___________．20．如图所示，AB 为⊙O 的直径，AB=2，OC 是⊙O 的半径，OC ⊥AB ，点D 在弧AC 上， 2,AD CD点P 是O C 上一动点，则阴影部分周长的最小值为___________．三、解答题21．计算(1)2 x +4x-3=0(2)x （x-1）=2（x-1）22．先化简，再求值：2221121x x xx x x--⋅+-+，其中x满足x2－3x＋2＝0.23．如图，△ABC中，∠C=90°，点O在AB上，⊙O与BC相切于D点，连AD，求证：AD平分∠BAC．24．某校学生会向全校3000名学生发起了“爱心捐助”捐款活动，为了解捐款情况，学生会随机调查了部分学生的捐款金额，并用得到的数据绘制了如图所示的统计图请根据相关信息，解答下列问题：（1）本次接受随机调查的学生人数为______，图1中m的值是______．（2）求本次调查获取的样本数据的平均数、众数和中位数；（3）根据样本数据，估计该校本次活动捐款金额为10元的学生人数．25．某商店销售一款口罩，每袋的进价为12元．当售价为每袋18元时，日均销售量为100袋．经市场调查发现，每袋售价涨价1元，日均销售量减少5袋．设口罩每袋涨价为：x元(1)当x=3时，销售量是___________．(2)物价部门规定，该款口罩的每袋售价不得高于22元．当每袋涨价多少元时，商店销售该款口罩所得的日均利润为720元？26．在平面直角坐标系中，已知点A（0，4），B（4，4），C（6，2）(1)请确定经过点A，B，C的圆弧所在圆的圆心M的位置，并写出点M的坐标；(2)若一个点D（7，0），试判断直线CD与圆M的位置关系，并说明理由．27．如图，AB是⊙O的直径，BD平分∠ABC，DE⊥BC(1)求证：DE是⊙O的切线：(2)若CE=2，DE=4，求⊙O的半径．28．如图，AB为⊙O的直径，且AO=4，点C在半圆上，OC⊥AB，垂足为点O，P为半圆上任意一点过P点作PE⊥OC于点E，设△OPE的内心为M，连接OM(1)求∠OMP的度数；(2)随着点P在半圆上位置的改变，∠CMO的大小是否改变，说明理由；(3)当点P在半圆上从点B运动到点C时，直接写出内心M所经过的路径长．参考答案1．A【解析】【分析】根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断．【详解】解：∵2＜3，即点P到圆心的距离小于圆的半径，∴点P与⊙O内．故选：A．【点睛】本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．2．B【解析】【分析】根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数2的整式方程，逐一进行判断即可．【详解】A.含有两个未知数，故A不是一元二次方程；B.只含一个未知数，且未知数最高次数为2次，故B是一元二次方程；C.若a≠0则20ax bx c++=不是一元二次方程，++=是一元二次方程；若a=0则20ax bx c故C不一定是一元二次方程；x-=-，方程中不含有二次项，故D不是一元二次方程；D.方程整理后是1故选B．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，熟悉一元二次方程的定义是解决本题的关键．3．C【解析】【分析】由每个数都减去5，那么所得的一组新数据的众数、中位数、平均数都减少5，方差不变，据此可得答案．【详解】解：如果将一组数据中的每个数都减去5，那么所得的一组新数据的众数、中位数、平均数都减少5，方差不变，故选：C．【点评】本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差、众数、中位数和平均数的定义．4．B【解析】【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到k≠0且Δ=（-6）2-4×k×9＞0，然后求出两不等式的公共部分即可．【详解】解：根据题意得k≠0且Δ=（-6）2-4×k×9＞0，解得k＜1且k≠0．故选：B．【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与Δ=b2-4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．5．B【解析】【分析】设有x个班级参加比赛，根据题目中的比赛规则，可得一共进行了1(1)2x x 场比赛，即可列出方程，求解即可．【详解】解：设有x个班级参加比赛，1x(x 1)152-=，2300x x --=，解得：126,5x x ==-（舍），则共有6个班级参加比赛，故选：B ．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是读懂题意，得到比赛总数的等量关系．6．C【解析】【分析】先得出∠ACB=90°，再计算出∠B,根据圆内接四边形对角互补得出结果【详解】解：∵AB 是直径∴∠ACB=90°,∠CAB=20°∴∠B=70°∵四边形ADCB 是圆内接四边形∴∠B+∠D=180°∴∠D=110°故选：C【点睛】本题考查圆周角定理、圆内接四边的性质．熟练记忆定理、性质是关键．灵活使用相应的定理性质是重点．7．D【解析】【分析】设4AOC x ∠=，则3ABC x =∠，122ADC AOC x ∠=∠=，利用圆内接四边形的性质得180ADC ABC ∠+∠=︒，进而可求得144AOC ∠=︒，最后再结合弧长公式进行解答即可．【详解】解：∵:4:3AOC ABC ∠∠=，∴设4AOC x ∠=，则3ABC x =∠，∴122ADC AOC x ∠=∠=， 四边形ABCD 内接于O ，180ADC ABC ∴∠+∠=︒，23180x x ∴+=︒，解得：36x =︒，∴4144AOC x ∠==︒，又O 的半径为2，∴ AC 的长为144281805ππ︒⨯=︒．故选：D ．【点睛】本题考查了圆周角定理、圆的内接四边形的性质以及弧长的计算，熟练掌握圆周角定理以及圆的内接四边形的性质是解决本题的关键．8．B【解析】【分析】根据三角形的内切圆得出点O 到三边的距离相等，即可得出结论．【详解】解：O 是ABC ∆的内切圆，则点O 到三边的距离相等，∴点O 是ABC ∆的三条角平分线的交点；故选：B ．【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心，解题的关键是熟练掌握三角形的内切圆的圆心性质．9．D【解析】【分析】根据增长率问题公式即可解决此题，二月为200（1+x ），三月为200（1+x ）2，三个月相加即得第一季度的营业额．【详解】解：∵一月份的营业额为200万元，平均每月增长率为x，∴二月份的营业额为200×（1+x），∴三月份的营业额为200×（1+x）×（1+x）＝200×（1+x）2，∴可列方程为200+200×（1+x）+200×（1+x）2＝1000，即200[1+（1+x）+（1+x）2]＝1000．故选D．【点睛】此题考查增长率问题类一元二次方程的应用，注意：第一季度指一、二、三月的总和．10．C【解析】【分析】根据直角三角形斜边中线的性质得到AB=2OP，若要使AB取得最小值，则OP需取最小值，于N，当点P位于点N时，OP取得最小值，过点M作MQ⊥x轴于点Q，连接OM，交M求出OM得到ON即可．【详解】解：∵PA⊥PB，∴∠APB=90°，∵OA=OB，∴AB=2OP，若要使AB取得最小值，则OP需取最小值，于N，当点P位于点N时，OP取得最小值，连接OM，交M过点M作MQ⊥x轴于点Q，则OQ=6，MQ=8，∴OM=10，又∵MN=4，∴ON=6，∴AB=2ON=12，故选：C．【点睛】此题考查了直角三角形斜边中线的性质，最短路径问题，勾股定理，正确理解最短路径问题是解题的关键．11．x1=0,x2=-1【解析】【分析】方程的左边为两个一次因式相乘，右边为0，所以可化为两个一次方程：x=0，x+1=0，解此两个一次方程即可求得．【详解】解：x（x+1）=0x=0或x+1=0x1=0，x2=-1．故答案为x1=0，x2=-1．【点睛】本题考查解一元二次方程-因式分解法，因式分解法解一元二次方程时，应使方程的左边为两个一次因式相乘，右边为0，再分别使各一次因式等于0即可求解．12．（x-2）2=7【解析】【分析】移项后，两边都加上一次项系数一半的平方即可．【详解】解：∵x2-4x-3=0，∴x2-4x=3，则x2-4x+4=3+4，即（x-2）2=7，故答案为：（x-2）2=7．【点睛】本题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键．13．2【解析】【分析】先计算出这组数据的平均数，再根据方差的定义列式计算即可．【详解】解：这组数据的平均数为456785++++=6，∴这组数据的方差为15×[（4-6）2+（5-6）2+（6-6）2+（7-6）2+（8-6）2]=2，故答案为：2．【点睛】本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的定义与计算公式．14．乙【解析】【分析】根据方差的定义，方差越小数据越稳定即可求解．【详解】解：因为S甲2=1.7＞S乙2=1.2，方差小的为乙，所以关于甲、乙两人在这次射击训练中成绩稳定是乙．故答案为乙．【点睛】本题考查了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．15．15π【解析】【分析】首先根据底面半径和圆锥的高利用勾股定理求母线长，然后直接利用圆锥的侧面积公式代入求出即可．【详解】解： 圆锥的高为4，底面圆的半径为3∴=5∴圆锥侧面积为3515rl πππ=⨯⨯=故答案为：15π．【点睛】本题主要考查圆锥的侧面积，解题的关键是熟练掌握侧面积公式：122S r l rl ππ=⋅⋅=及求出母线长．16．x 2-3x+1=0【解析】【分析】由于二次项系数为1，所以可设方程为x 2+bx+c=0（b ，c 是常数），再根据两根之和与两根之积公式分别求出b 、c 的值，代入数值即可得到方程．【详解】解：设二次项系数为1的一元二次方程为x 2+bx+c=0（b ，c 是常数）．∵x 1+x 2=3，x 1x 2=1，∴-b=3，c=1，∴b=-3，c=1．故所求方程为x 2-3x+1=0．故答案为：x 2-3x+1=0．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系及一般形式．正确求出b 、c 的值是解题的关键．17．1009π【解析】【分析】连接OC ，易证得四边形CDOE 是矩形，则△DOE ≌△CEO ，得到∠COB=∠DEO=40°，图中阴影部分的面积=扇形OBC 的面积，利用扇形的面积公式即可求得．【详解】解：连接OC，∵∠AOB=90°，CD ⊥OA ，CE ⊥OB ，∴四边形CDOE 是矩形，∴OD=CE ，DE=OC ，CD ∥OE ，∵∠CDE=40°，∴∠DEO=∠CDE=40°，在△DOE 和△CEO 中，OD EC DE CO OE EO =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴△DOE ≌△CEO （SSS ），∴∠COB=∠DEO=40°，∴图中阴影部分的面积=扇形OBC 的面积，∵S 扇形OBC=24010360π⨯=1009π，∴图中阴影部分的面积=1009π，故答案为：1009π．【点睛】本题考查了扇形面积的计算，矩形的判定与性质，利用扇形OBC 的面积等于阴影的面积是解题的关键．18．120°【解析】【分析】作OD ⊥AB ，由垂径定理知，点D 是AB 的中点，在直角三角形中，利用cos AD A OA=，根据比值求得A ∠的度数，从而知道AOD ∠的度数，即可进一步求得最后答案．【详解】如图，作OD ⊥AB ，由垂径定理知，点D 是AB 的中点，∴AD ＝12AB cm ），∵cos A ＝AD OA =∴∠A ＝30︒，∴∠AOD ＝60°，∴∠AOB ＝2∠AOD ＝120°，故答案为：120°．【点睛】本题考查特殊角的三角函数值、垂径定理等相关知识点，牢记知识点是解题关键．19．11【解析】【分析】根据切线长定理得到CN=CM=5.5，EN=EQ ，DQ=DM ，根据三角形的周长公式即可得到结论．【详解】解：∵⊙O 为△ABC 的内切圆，∴CN=CM=5.5，∵DE 为⊙O 的切线，切点为Q ，∴EN=EQ ，DQ=DM ，∴△CDE 的周长=CE+CD+DE=CE+EQ+DQ+CD=CE+EN+CD+DM=CN+CM=11，故答案为：11．【点睛】此题主要是考查了切线长定理．掌握圆中的有关定理是解题的关键．203π+【解析】【分析】B 是A 关于OC 的对称点，连接BD 则就是AP+PD 的最小值．根据已知条件可以知道∠ABD=30°，由于AB 是直径，所以∠ADB=90°，解直角三角形求出BD ，利用弧长公式求出 AD 的长即可．【详解】解：如图，连接BD ，AD ，PB ．根据已知得B 是A 关于OC 的对称点，∴BD 就是AP+PD 的最小值，∵ 2AD CD=，而弧AC 的度数是90°的弧，∴ AD 的度数是60°，∴∠ABD=30°，∵AB 是直径，∴∠ADB=90°，而AB=2，∴∵ AD =6011803ππ⋅⋅=，∴AP+PD3π+，3π+．【点睛】本题考查轴对称最短问题，弧长公式等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．21．(1)x1=2-x 2=2-(2)x 1=1，x 2=2【解析】【分析】（1）将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可得；（2）先移项，再利用提公因式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x 的一元一次方程，再进一步求解即可．(1)解：∵x 2+4x-3=0∴x 2+4x=3则x 2+4x+4=3+4，即（x+2）2=7∴x+2=∴x 1=2-x 2=2-(2)∵x （x-1）=2（x-1）∴x （x-1）-2（x-1）=0∴（x-1）（x-2）=0则x-1=0或x-2=0解得x 1=1，x 2=2【点睛】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．22．x ，2【解析】【详解】解：由()()()()2222111112111x x x x x x x x x x x x x --+--⋅=⋅=+-++-，此处1x ≠±又2320x x -+=得(2)(1)0x x --=，解得2x =或1x =（舍）故原式的值为2x =23．见解析【解析】【分析】连接OD ，根据切线的性质得到OD ⊥BC ，进而证明OD ∥AC ，得到∠CAD=∠ODA ，根据等腰三角形的性质的得到∠OAD=∠ODA ，根据角平分线的定义证明结论．【详解】解：证明：连接OD ，∵BC 是⊙O 的切线，∴OD ⊥BC ，∵∠C=90°，∴OD ∥AC ，∴∠CAD=∠ODA ，∵OA=OD ，∴∠OAD=∠ODA ，∴∠CAD=∠OAD ，即AD 平分∠BAC ．24．（1）50人，32；（2）平均数是15元，众数是10元，中位数是15元；（3）960人【分析】（1）根据条形图中捐款5元的人数是4人，占总比的8%，将4除以8%即可得到总人数，再用捐款10元的是16人，除以总人数，即可求得m 的值；（2）先计算所有人的捐款总额，再除以总人数即可解得平均数；所有数据中，出现的次数最多的那个数据即是众数；将各数据按大小顺序排列，处于正中间的第25，26个数据的平均值即是中位数，据此解题；（3）先计算捐款10元的16人在50人中的占比，再将比值乘以3000即可解题．【详解】（1）本次接受随机调查的学生人数为48%50÷=（人），故答案为：50人，32；（2）本次调查获取的样本数据的平均数是：()1451610121510208301650⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（元），本次调查获取的样本数据的众数是：10元，本次调查获取的样本数据的中位数是：15元；（3）估计该校本次活动捐款金额为10元的学生人数为16300096050⨯=（人）．【点睛】本题考查条形图、扇形图、平均数、众数、中位数、用样本估计总体等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．25．(1)85袋(2)2元【分析】（1）利用销售量=100-5×上涨价格，即可求出结论；（2）若设口罩每袋涨价为x 元，则每袋的销售利润为（18+x-12）元，日销售量为（100-5x ）袋，利用商店销售该款口罩获得的日均利润=每袋的销售利润×日销售量，即可得出关于x 的一元二次方程，解之即可得出x 的值，再结合该款口罩的每袋售价不得高于22元，即可得出每袋涨价2元．(1)解：当x=3时，销售量是100-5×3=85（袋）．故答案为：85袋；(2)若设口罩每袋涨价为x元，则每袋的销售利润为（18+x-12）元，日销售量为（100-5x）袋，依题意得：（18+x-12）（100-5x）=720，整理得：x2-14x+24=0，解得：x1=2，x2=12，当x=2时，18+x=18+2=20＜22，符合题意；当x=12时，18+x=18+12=30＞22，不合题意，舍去，答：当每袋涨价2元时，商店销售该款口罩所得的日均利润为720元．26．(1)（2，0）(2)直线CD与圆M相切，理由见解析【分析】（1）作AB和BC的垂直平分线，两线交于一点M，点M即为所求，由图形可知：这点的坐标是（2，0）；（2）利用勾股定理和勾股定理的逆定理求解即可．(1)解：如图，点M即为所求．M（2，0）；(2)直线CD与圆M相切，理由：连接CM圆M 的半径22245+=∵D （7，0），M （2，0），∴OD=7，OM=2，∴DM=7-2=5，()226725-+，∵CM 2+CD 2=20+5=25=52=DM 2，∴∠MCD=90°，∴MC ⊥CD ，∵MC 是圆M 的半径，∴直线CD 与圆M 相切．【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，作图-复杂作图，垂径定理，勾股定理，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是学会利用线段的垂直平分线的性质确定圆心．27．(1)见解析(2)5【解析】【分析】（1）连接OD ，根据等腰三角形的性质和角平分线得出OD ∥BE ，再根据垂线和平行线的性质得出OD ⊥DE ，进而得出DE 是⊙O 的切线；（2）根据圆周角定理和垂径定理得出AF=FC=DE=4，在Rt △OAF 中，由勾股定理列方程求解即可．(1)解：如图，连接OD ，∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD=∠DBC ，又∵OB=OD ，∴∠ABD=∠ODB ，∴∠ODB=∠DBC ，∴OD ∥BE ，∵DE ⊥BE ，∴OD ⊥DE ，∴DE 是⊙O 的切线；(2)如图，连接AC ，交OD 于F ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB=90°，又∵∠FDE=90°，∠DEC=90°，∴四边形FDEC 是矩形，∴DF=CE=2，FC=DE=4．由垂径定理可知4AF CF ==设⊙O 的半径为r ，在Rt △OAF 中，由勾股定理得，222OF AF OA +=即（r-2）2+42=r 2，解得r=5．即半径为5．28．(1)135°(2)不改变，理由见解析【解析】（1）由内心的定义可知∠MOP=∠MOC=12∠EOP，∠MPO=∠MPE=12∠EPO，求出∠MOP与∠MPO的和为45°，利用三角形的内角和定理即可求出∠OMP的度数；（2）连接CM，证△COM≌△POM，即得出∠CMO=∠OMP=135°，可知∠CMO的大小不改变，为135°；（3）连接AC，证明△ACO为分别为等腰直角三角形，求出CQ=，∠CQO=90°，分析得出当点Q在半径OC的右侧的半圆上时，点M的轨迹在以AC为直径的圆弧上，根据弧长公式即可求出M所经过的路径长．(1)解：∵OC⊥AB，∴∠OEP=90°，∴∠EOP+∠EPO=90°，∵M为△OPE的内心，∴∠MOP=∠MOC=12∠EOP，∠MPO=∠MPE=12∠EPO，∴∠MOP+∠MPO=12（∠EOP+∠EPO）=45°，∴∠OMP=180°-（∠MOP+∠MPO）=135°；(2)∠CMO的大小不改变，理由如下：如图2，连接CM，在△COM和△POM中，CO PO COM POM OM OM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△COM ≌△POM （SAS ），∴∠CMO=∠OMP=135°，∴∠CMO 的大小不改变，为135°；(3)如图3，连接AC ，CM，∵CO ⊥AB ，∴OA=OC ，∴△ACO 为等腰直角三角形，∴AO=取AC 中点Q ，连接OQ ，则∠CQO=90°，∴CQ=12AC=∴当点P 在半径OC 的右侧的半圆上时，点M 的轨迹在以AC 为直径的圆弧上，所对圆心角为90°，∴90180π⨯，∴内心M．。
苏科版九年级上册数学期中考试试卷及答案
苏科版九年级上册数学期中考试试题一、单选题1．一元二次方程x2=x的根为（）A．0 B．1 C．0或1 D．0或﹣12．平面内，若⊙O的半径为2，OP P在⊙O （）A．内B．上C．外D．内或外3．某商品单价经过两次降价从144元降至81元，设平均每次降价的百分率为x，则可列方程（）A．144（1+x）2＝81 B．144（1﹣x）2＝81C．81（1+x）2＝144 D．81（1﹣x）2＝1444．在某次比赛，有10位同学参加了“10进5”的淘汰赛，他们的比赛成绩各不相同．其中一位同学要知道自己能否晋级，不仅要了解自己的成绩，还需要了解10位参赛同学成绩的A．平均数B．加权平均数C．众数D．中位数5．如图，⊙ABC内接于⊙O，DE，FG是⊙O的弦，AB＝DE，FG＝AC．下列结论：⊙DE+FG ＝BC；⊙DE+FG＝BC；⊙⊙DOE+⊙FOG＝⊙BOC；⊙⊙DEO+⊙FGO＝⊙BAC．其中所有正确结论的序号是（）A．⊙⊙⊙⊙ B．⊙⊙ C．⊙⊙ D．⊙⊙⊙6．如图，⊙1是正九边形两条对角线的夹角，则⊙1的度数是（）A．45° B．54° C．60° D．72°7．如图，已知⊙O是⊙ABC的外接圆，连接AO，若⊙B=40°，则⊙OAC=．A．40° B．50° C．60° D．70°8．过三点（2，2），（6，2），（4，5）的圆的圆心坐标为（）A．（4，）B．（4，3）C．（5，）D．（5，3）9．如图，A、B、C是⊙O上的三点，已知⊙O＝60º，则⊙C＝（）A．20º B．25º C．30º D．45º10．如图，点A、B、C、D都在⊙O上，O点在⊙D的内部，四边形OABC为平行四边形，则⊙ADC的度数为（）A．30° B．45° C．60° D．90°二、填空题11．写出一个一元二次方程，使它有两个不相等的实数根______．12．已知扇形的圆心角为60°，半径为1，则扇形的弧长为________13．已知⊙O的半径为2，若点P是⊙O的切线l上任一点，则OP长的取值范围是_____．14．已知一个圆锥的底面半径为2，母线长为5，则这个圆锥的侧面积为_____（结果保留π）．15．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊙AB于点E，AE＝1，CD＝4，则OC长为___．16．一元二次方程x2+kx﹣3＝0的一个根是x＝1，则另一个根是___．17．某单位要招聘1名英语翻译，小亮参加招聘考试的各门成绩如表所示：若把听、说、读、写的成绩按3：3：2：2计算平均成绩，则小亮的平均成绩为_____．18．如图，四边形ABCD的各边都与圆相切，它的周长为20，若AD=4，则BC的长为______．19．在平面直角坐标系中，A（﹣2，0），B（4，0），若直线y＝x+b上存在点P满足45°≤⊙APB≤90°且PA＝PB，则常数b的取值范围是______．20．如图，矩形ABCD的四个顶点分别在扇形OEF的半径和弧上，若⊙O＝60°，OB＝1BC，2OE＝4，则AB的长为_____．三、解答题21．解下列一元二次方程：（1）x（x+2）＝5（x+2）；（2）x2+5x+3＝0．22．已知关于x的一元二次方程x2+（k+4）x+k+3＝0的两根是x1，x2．（1）当k为何值时，这个方程总有两个不相等的实数根？（2）说明：无论k为何值，方程总有一个不变的根．23．如图，在以AB为直径的圆中，弦CD⊙AB，M是AB上一点，射线DM，CM分别交圆于点E，F，连接EF，求证EF⊙AB．24．数学小组对当地甲、乙两家网约车公司司机的月收入情况进行了抽样调查．两家公司分别随机抽取10名司机，他们的月收入（单位：千元）情况如图所示．将以上信息整理分析如下：（1）填空：a＝_____；b＝_____；c＝_____；d＝_____；（2）某人计划从甲、乙公司中选择一家做网约车司机，你建议他选哪家公司？说明理由．25．利用圆的性质，证明定理“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”．已知：如图，在AB．⊙ABC中，⊙ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线．求证：CD＝1226．若关于x的方程x2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根比另一个根大2，那么称这样的方程为“隔根方程”．例如，方程x2+2x＝0的两个根是x1＝0，x2＝﹣2，则方程x2+2x ＝0是“隔根方程”．（1）方程x2﹣x﹣20＝0是“隔根方程”吗？判断并说明理由；（2）若关于x的方程x2+mx+m﹣1＝0是“隔根方程”，求m的值．27．如图，在Rt⊙ABC中，⊙C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，点P从点B开始沿BC向点C以1cm/s的速度运动，点Q从点C开始沿CA向点A以2cm/s的速度运动，P，Q同时出发，各自到达终点后停止运动．在整个运动过程中，设它们的运动时间为ts．（1）下列说法正确的是_____．（填写所有正确结论的序号）⊙PQ可以平分⊙ABC的周长；⊙PQ可以平分⊙ABC的面积．（2）当t为何值时，⊙PCQ的面积等于7cm2？28．如图，已知⊙ABC内接于⊙O，D是⊙O上一点，连接BD、CD、AC、BD交于点E．（1）请找出图中的相似三角形，并加以证明；（2）若⊙D＝45°，BC＝2，求⊙O的面积．参考答案1．C2．A3．B4．D5．D6．C7．B8．A9．C10．C11．x2+x﹣1＝0（答案不唯一）【分析】这是一道开放自主题，只要写出的方程的Δ＞0就可以了．【详解】解：比如a＝1，b＝1，c＝﹣1，⊙Δ＝b2﹣4ac＝1+4＝5＞0，⊙方程为x2+x﹣1＝0．故答案为：x2+x﹣1＝0（答案不唯一）【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，掌握 “根的判别式大于0，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键． 12．3π 【解析】 【分析】 利用弧长公式180n rl π=即可直接求解． 【详解】 解：弧长是：6011803ππ⨯= 故答案为3π 【点睛】本题考查了弧长公式，正确记忆公式是关键． 13．OP≥2 【解析】 【详解】根据切线的性质可得OP 的最小值是2，即可得出结论． 【分析】解：因为垂线段最短，所以当OP⊙直线l 时，OP 的值最小， ⊙l 和⊙O 相切，⊙O 半径为2， ⊙OP 的最小值是2， ⊙OP 长的取值范围是OP≥2， 故答案为：OP≥2． 【点睛】本题考查了切线的性质，理解切线的性质是解题的关键． 14．10π 【解析】 【分析】圆锥的侧面积等于底面周长乘以母线长除以2．【详解】解：底面半径为2，则底面周长＝4π，圆锥的侧面积＝12×4π×5＝10π．故答案为：10π．【点睛】本题考查了求圆锥的侧面积，牢记求圆锥侧面积的公式是解题的关键．15．5 2【解析】【分析】由CD⊙AB知CE=12CD=2，设OC=OA=r，则OE=r-1，在Rt⊙COE中，由OC2=OE2+CE2列出关于r的方程求解可得；【详解】⊙CD⊙AB，⊙CE=DE=12CD=2，设OC=OA=r，则OE=r-1，在Rt⊙COE中，由OC2=OE2+CE2知r2=（r-1）2+22 ，解得r=52，即⊙O的OC半径为52；故答案为5 2 .【点睛】此题考查垂径定理，勾股定理，解题的关键是掌握垂径定理，勾股定理．16．-3【解析】【分析】把已知的方程的一个根代入方程，求出k的值，然后再解方程求另外一个根.【详解】解：⊙x=1是一元二次方程的根，⊙12+k×1-3=0，⊙k=2，⊙x2+2x-3=0，⊙（x+3）（x-1）=0，⊙x1=-3，x2=1．故答案为-3．17．82【分析】根据加权平均数的计算公式进行计算即可． 【详解】解：小亮的平均成绩为：（70×3+90×3+85×2+85×2）÷（3+3+2+2） ＝（210+270+170+170）÷10 ＝820÷10 ＝82（分）．故小亮的平均成绩为82分． 故答案为：82． 18．6 【详解】解：如图：设四边形ABCD 的各边与圆的切点分别为,,,E F G H ,根据切线长定理可得：,,,AH AE DH DG CG CF BE BF ====， ⊙4AD AH DH =+=， ⊙4AE DG +=，⊙四边形ABCD 的周长为20，⊙2012BE BF CF CG AD AE DG +++=---=, ⊙11262BC BF FC =+=⨯=， 故答案为：6.19．+2或﹣4≤b≤﹣4 【分析】利用PA ＝PB 可得点P 在线段AB 的垂直平分线上，分b ＞0或b ＜0两种情况讨论解答：求出当⊙APB ＝90°和⊙APB ＝45°时的b 值，结合图象即可求得b 的取值范围． 【详解】解：⊙A（﹣2，0），B（4，0），⊙AB＝6．⊙PA＝PB，⊙点P在线段AB的垂直平分线上，设线段AB的垂直平分线交x轴于点C，，则点C（1，0），⊙OC＝1．⊙当b＞0时，设直线y＝x+b交x轴于点D，交y轴于点E，则D（﹣b，0），E（0，b）．⊙OD＝b，OE＝b．⊙⊙ODE＝⊙OED＝45°，DC＝OD+OC＝b+1．当⊙APB＝90°时，如图，⊙PC⊙OE，⊙⊙CPE＝⊙OED＝45°．⊙PC＝DC＝b+1，⊙C为斜边AB的中点，AB＝3．⊙PC＝12⊙b+1＝3．⊙b＝2．当⊙APB＝45°时，如图，过点A 作AF⊙BP 于点F ，⊙⊙APB ＝45°，⊙AF ＝PF ．设AF ＝PF ＝x ，则PAx ，⊙PA ＝PB ，⊙PB，⊙BF＝PB ﹣PF ＝1)x ．⊙AF 2+BF 2＝AB 2，⊙2221)6x x ⎡⎤+=⎣⎦，⊙x 2＝． ⊙1122ABP S AB PC BP AF ∆=⋅=⋅，⊙6（b+1．⊙b ＝．⊙45°≤⊙APB≤90°，．⊙当b ＜0时，设直线y ＝x+b 交x 轴于点D ，交y 轴于点E ，则D （﹣b ，0），E （0，b ）．⊙OD ＝﹣b ，OE ＝﹣b ．⊙⊙ODE ＝⊙OED ＝45°，DC ＝OD+OC ＝﹣b ﹣1．当⊙APB ＝90°时，如图，PC⊙OE，⊙⊙CPE＝⊙OED＝45°．⊙PC＝DC＝﹣b﹣1，⊙C为斜边AB的中点，AB＝3．⊙PC＝12⊙﹣b﹣1＝3．⊙b＝﹣4．当⊙APB＝45°时，如图，过点A作AF⊙BP于点F，⊙⊙APB＝45°，⊙AF＝PF．设AF＝PF＝x，则PA，⊙PA＝PB，⊙PB x，⊙BF＝PB﹣PF＝1)x．⊙AF2+BF2＝AB2，⊙2221)6x x⎡⎤+=⎣⎦，⊙x2＝⊙1122ABPS AB PC BP AF∆=⋅=⋅，⊙6（﹣b﹣1．⊙b＝﹣4．⊙45°≤⊙APB≤90°，⊙﹣4≤b≤﹣4．综上，常数b的取值范围是：或﹣4≤b≤﹣4．故答案是：或﹣4≤b≤﹣4．【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，垂直平分线的性质，勾股定理，准确计算是解题的关键．20．2【解析】【分析】连接OD，可得OD＝OE＝4，根据已知可得OC＝3OB，根据四边形ABCD是矩形，可得⊙ABC ＝⊙BCD＝90°，AB＝DC，再根据含30度角的直角三角形可得AB，根据勾股定理即可求出OB的长，进而可得AB的长．【详解】解：如图，连接OD，⊙OD＝OE＝4，BC，⊙OB＝12⊙BC＝2OB，⊙OC＝OB+BC＝3OB，⊙四边形ABCD是矩形，⊙⊙ABC＝⊙BCD＝90°，AB＝DC，在Rt⊙AOB中，⊙AOB＝60°，⊙⊙OAB＝30°，⊙OA=2OB，⊙AB，⊙CD，在Rt⊙OCD中，根据勾股定理，得OD2＝OC2+CD2，）2，⊙42＝（3OB）2+解得OB，⊙AB2．故答案为：2．【点睛】本题考查矩形的性质、扇形的有关性质、含30度角的直角三角形的性质、勾股定理，熟练掌握相关知识在联系和运用是解答的关键．21．（1）x1＝﹣2，x2＝5；（2）x1，x2．【分析】（1）移项后，利用提公因式法将方程的左边因式分解后求解可得；（2）利用公式法求解即可．【详解】解：（1）⊙x（x+2）＝5（x+2），⊙x（x+2）﹣5（x+2）＝0，则（x+2）（x﹣5）＝0，⊙x+2＝0或x﹣5＝0，解得x1＝﹣2，x2＝5；（2）⊙a＝1，b＝5，c＝3，⊙Δ＝52﹣4×1×3＝13＞0，则x即x1，x2．【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．22．（1）k≠-2；（2）证明见解析．【解析】【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式Δ＝b2﹣4ac，可得出Δ＝（k+2）2，由方程总有两个不相等的实数根，可得出（k+2）2＞0，解之即可得出k≠-2，进而可得出当k≠-2时，这个方程总有两个不相等的实数根；（2）利用因式分解法解一元二次方程，可得出方程的两个根，进而可得出无论k为何值，方程总有一个不变的根为x＝﹣1．【详解】解：（1）⊙a＝1，b＝（k+4），c＝k+3，⊙Δ＝b2﹣4ac＝（k+4）2﹣4×1×（k+3）＝k2+4k+4＝（k+2）2，⊙方程总有两个不相等的实数根，⊙（k+2）2＞0，即k+2≠0，⊙k≠-2，⊙当k≠-2时，这个方程总有两个不相等的实数根；（2）⊙x2+（k+4）x+k+3＝0，即（x+1）[x+（k+3）]＝0，⊙x+1＝0或x+（k+3）＝0，⊙x1＝﹣1，x2＝﹣（k+3），⊙无论k为何值，方程总有一个不变的根为x＝﹣1．【点睛】本题考查一元二次方程的根与判别式的关系、因式分解法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的根与判别式的关系是解答的关键．23．证明见解析．【解析】【分析】利用垂径定理和线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质证得⊙C＝⊙D，再根据圆周角定理和平行线的判定证明EF⊙CD，即可得结论．【详解】证明：⊙AB是直径，CD⊙AB，⊙AB垂直平分CD，⊙MC＝MD，⊙⊙C＝⊙D，⊙⊙C＝⊙E，⊙⊙E＝⊙D，⊙CD⊙EF，⊙CD⊙AB，⊙EF⊙AB．【点睛】本题考查垂径定理、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、圆周角定理、平行线的判定与性质，熟练掌握垂径定理和圆周角定理是解答的关键．24．（1）7.3，5.5，7，1.41；（2）选甲公司，理由见解析．【解析】【分析】（1）利用平均数、中位数、众数及方差的定义分别计算后即可确定正确的答案；（2）根据平均数，中位数及众数的大小和方差的大小进行选择即可．【详解】解：（1）甲公司平均月收入：a＝110{5+6+7×4+8×2+9×[10×（1﹣10%﹣10%﹣40%﹣20%）]}＝7.3（千元）；乙公司滴滴中位数为b＝562＝5.5（千元）；甲公司众数c＝7（千元）；甲公司方差：d＝110[4×（7﹣7.3）2+2×（8﹣7.3）2+2×（9﹣7.3）2+（5﹣7.3）2+（6﹣7.3）2]＝1.41；故答案为：7.3，5.5，7，1.41；（2）选甲公司，因为甲公司平均数，中位数、众数大于乙公司，且甲公司方差小，更稳定．【点睛】本题主要考查中位数、众数、平均数及方差，熟练掌握求一组数据的中位数、众数、平均数及方差是解题的关键．25．证明见解析【分析】作⊙ABC的外接圆，利用圆周角定理进行推理．【详解】证明：如图，作⊙ABC的外接圆，⊙⊙ACB＝90°，⊙AB是圆的直径．⊙CD是斜边AB上的中线，⊙D点为AB的中点．⊙点D 为圆心，CD 为半径．⊙CD ＝12AB ． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，熟练掌握90°的圆周角所对的弦是圆的直径是解题的关键． 26．（1）不是，理由见解析；（2）m ＝0或m ＝4．【详解】解：（1）不是，理由如下：⊙x 2﹣x ﹣20＝0，即（x ﹣5）（x+4）＝0，⊙x 1＝5，x 2＝﹣4．⊙5﹣（﹣4）＝9≠2，⊙方程x 2﹣x ﹣20＝0不是“隔根方程”．（2）⊙x 2+mx+m ﹣1＝0，即（x+1）[x+（m ﹣1）]＝0，⊙x 1＝﹣1，x 2＝1﹣m ．又⊙关于x 的方程x 2+mx+m ﹣1＝0是“隔根方程”，⊙|1﹣m ﹣（﹣1）|＝2，解得：m ＝0或m ＝4．【点睛】本题考查了解一元二次方程，“隔根方程”的定义，理解题意是解题的关键．27．（1）⊙；（2）t ＝1．【解析】【分析】（1）由勾股定理得AB ＝10cm ，当PQ 平分⊙ABC 的周长时，8﹣t+2t ＝12，得t ＝4＞2（舍），当12×（8﹣t ）×2t ＝12时，可知t ＝2时，PQ 可以平分⊙ABC 的面积；（2）由题意知1(8)22PCQ St t =-⨯＝7，即可解决问题． 【详解】解：（1）6AC =,点Q 以2cm/s 的速度运动,则632t ≤= ⊙⊙C ＝90°，由勾股定理得：AB10(cm)=，当8﹣t+2t＝12时，⊙t＝4＞2（舍），当12×（8﹣t）×2t＝12时，解得t＝2或t＝6（舍），⊙t＝2时，PQ可以平分⊙ABC的面积，故答案为：⊙；（2）⊙由题意知：CP＝（8﹣t）cm，CQ＝2tcm，⊙1(8)22PCQS t t=-⨯=7，解得：t＝1或7（舍去），⊙当t＝1时，⊙PCQ的面积等于7cm2．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意列出一元二次方程是解题的关键．28．（1）⊙ABE⊙⊙DCE，证明详见解析；（2）2π．【解析】【分析】（1）容易发现：⊙ABE与⊙DCE中，有两个角对应相等，根据相似三角形的判定可得到它们相似；（2）求⊙O的面积，关键是求⊙O的半径，为此作⊙O的直径BF，连接CF，得出⊙BCF是等腰直角三角形，由BC＝2，求出BF的长，从而求出⊙O的面积．【详解】解：（1）结论：⊙ABE⊙⊙DCE，证明：在⊙ABE和⊙DCE中，⊙⊙A＝⊙D，⊙AEB＝⊙DEC，⊙⊙ABE⊙⊙DCE．（2）作⊙O的直径BF，连接CF，⊙⊙F＝⊙D＝45°，⊙BCF＝90°．⊙⊙BCF是等腰直角三角形．⊙FC＝BC＝2，⊙BF＝⊙OB。
2024-2025学年九年级数学上学期期中测试卷(江苏通用,测试范围：苏科版九上第1章-第2章)解析
2024-2025学年九年级数学上学期期中模拟卷（江苏通用）（考试时间：120分钟 试卷满分：100分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
4．测试范围：苏科版九年级上册第1章-第2章。
5．难度系数：0.75。
第Ⅰ卷一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若关于x 的一元二次方程23510x x a +++= 有一个根为0，则a 的值为（ ）A ．1±B ．1C ．1-D ．02．直线 l 与半径为 r 的 O e 相交，且点 O 到直线 l 的距离为 6，则 r 的取值范围是（ ）A ．6r <B ．6r =C ．6r >D ．6r ³【答案】C【详解】解：∵直线 l 与半径为 r 的 O e 相交，且点 O 到直线 l 的距离为 6，∴6r >．故选：C ．3．关于x 的一元二次方程22310x kx +-=根的情况是（ ）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．没有实数根D ．只有一个实数根【答案】A【详解】解：在关于x 的一元二次方程22310x kx +-=中，2a =，3b k =，1c =-，22Δ498b ac k =-=+，因为20k ＞，所以22Δ4980b ac k =-=+＞，所以关于x 的一元二次方程22310x kx +-=根的情况是有两个不相等的实数根．故选A ．4．如图，在 O e 中，A ，B ，D 为 O e 上的点，52AOB Ð=°，则ADB Ð的度数是 （ ）A ．104°B ．52°C ．38°D ．26°5．若12x x ，是一元二次方程20x x +-=的两个实数根，则12124x x x x +-的值为（ ）A ．4B ．3-C ．0D ．7【答案】D【详解】解：∵12x x ，是一元二次方程220x x +-=的两个实数根，∴121x x +=-，122x x =-，∴()121241427x x x x +-=--´-=，故选：D ．6．如图，等边三角形ABC 和正方形DEFG 均内接于O e ，若2EF =，则BC 的长为（ ）A．B．C D7．把一根长50cm的铁丝围成一个等腰三角形，使其中一边的长比另一边的2倍少5cm，则该三角形的边长不可能为（）A ．12cmB ．19cmC ．22.5cmD ．13cm8．如图，AB 是O e 的直径，4AB =，点C 是上半圆AB 的中点，点D 是下半圆AB 上一点，点E 是BD的中点，连接AE CD 、交于点F ．当点D 从点A 运动到点B 的过程中，点F 运动的路径长是（ ）A 2BC ．πD ．【答案】B【详解】解：连接,,,AC BC BD OE ，∵AB 是O e 的直径，点C 是上半圆 AB 的中点，∴ AC BC=，90ACB Ð=°，∴点F 的轨迹为 AB 的长90=故选B ．第Ⅱ卷二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分。
苏科版九年级上册数学期中考试试卷附答案
苏科版九年级上册数学期中考试试题一、单选题1．若()22230m x x --+=是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是（）A ．m>2B ．m≠0C ．m≤2D ．m≠22．用配方法解一元二次方程2870x x -+=，方程可变形为（）A ．2(4)9x +=B ．2(4)9x -=C ．2(8)16x -=D ．2(8)57x +=3．小红连续5天的体温数据如下（单位相C ︒）：36.6，36.2，36.5，36.2，36.3．关于这组数据下列说法正确的是（）A ．中位数是36.5C ︒B ．众数是36.2C ︒C ．平均数是36.2C︒D ．极差是0.3C︒4．关于x 的一元二次方程220x kx --=（k 为实数）根的情况是（）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．没有实数根D ．不能确定5．若关于x 的方程x 2+3x+a=0有一个根为-1，则另一个根为（）A ．-2B ．2C ．4D ．-36．某农机厂一月份生产零件50万个，第一季度共生产零件182万个．设该厂二、三月份平均每月的增长率为x ，那么x 满足的方程是（）A ．50（1+x ）²=182B ．50+50（1+x ）+50（1+x ）²=182C ．50（1+2x ）=182D ．50+50（1+x ）+50（1+2x ）²=1827．如图，A 、B 、C 、D 为一个正多边形的顶点，O 为正多边形的中心，若18ADB ∠=︒，则这个正多边形的边数为（）A ．10B ．11C ．12D ．138．如图，在长为100m ，宽为80m 的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7644m 2，则道路的宽应为多少米？设道路的宽为x m ，则可列方程为()A ．100×80－100x －80x=7644B ．(100－x)(80－x)＋x 2=7644C ．(100－x)(80－x)=7644D ．100x ＋80x －x 2=76449．我国古代数学著作《九章算术》中记载了弓形面积的计算方法．如图，弓形的弦长AB为，拱高（弧的中点到弦的中点之间的距离）CD 为15cm ，则这个弓形的面积是（）cm 2.A ．B ．C ．D ．10．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝8，点E 、点F 分别在边AD ，BC 上，且EF ⊥AD ，点B 关于EF 的对称点为G 点，连接EG ，若EG 与以CD 为直径的⊙O 恰好相切于点M ，则AE 的长度为（）A ．3BC ．D ．6二、填空题11．某中学为了选拔一名运动员参加市运会100米短比赛，有甲、乙两名运动员备选，他们最近测试的10次百米跑平均时间都是12.83秒，他们的方差分别是21.3S=甲（秒2）2 1.7S =乙（秒2），如果要选择一名成绩优秀且稳定的人去参赛，应派______去．12．已知a 是关于x 方程x 2﹣2x ﹣8=0的一个根，则2a 2﹣4a 的值为_______．13．将半径为6cm ，圆心角是120°的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径为______cm ．14．如图，OA 、OB 是O 的半径，点C 在O 上，30AOB ∠=︒，40OBC ∠=︒，则OAC ∠=______︒．15．设12,x x 是关于x 的方程230x x k -+=的两个根，且122x x =，则k =_______．16．在△ABC 中，∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB=2，D 是线段BC 上的一个动点，以AD 为直径画⊙O 分别交AB 、AC 于E 、F ，连接EF ，则线段EF 长度的最小值是________．17．如图，P 为⊙O 外一点，PA 切⊙O 于A ，若PA ＝3，∠APO ＝45°，则⊙O 的半径是_____．三、解答题18．解下列方程：(1)2(1)40--=x (2)x 2﹣6x ﹣3＝0(3)3x （x ﹣1）＝2（1﹣x ）(4)2x 2﹣5x+3＝019．如图，在平面直角坐标系中，M 经过原点，且与x 轴交于点(4,0)A -，与y 轴交于点(0,2)B ，点C 在第二象限M 上，且60AOC ∠=︒，则OC =__．20．因国际马拉松赛事即将在某市举行，某商场预计销售一种印有该市设计的马拉松图标的T 恤，已知这种T 恤的进价为40元一件．经市场调查，当售价为60元时，每天大约可卖出300件；售价每降低1元，每天可多卖出20件．在鼓励大量销售的前提下，商场还想获得每天6080元的利润，问应将这种T 恤的销售单价定为多少元？21．如图，已知圆O 的直径AB 垂直于弦CD 于点E ，连接CO 并延长交AD 于点F ，且CF ⊥AD ，连结AC ．(1)△ACD 为等边三角形；(2)请证明：E 是OB 的中点；(3)若AB ＝8，求CD 的长．22．某篮球队员在篮球联赛中分别与甲队、乙队对阵各四场，下表是他的技术统计．场次对阵甲队对阵乙队得分（分）失误（次）得分（分）失误（次）第一场252273第二场300311第三场273202第四场262264（1）他在对阵甲队和乙队的各四场比赛中，平均每场得分分别是多少？（2）利用方差判断他在对阵哪个队时得分比较稳定；（3）根据上表提供的信息，判断他在对阵哪个队时总体发挥较好，简要说明理由．23．如图，四边形ABCD 内接于O ，AC 为O 的直径，D 为 AC 的中点，过点D 作DE AC ，交BC 的延长线于点E ．（1）判断DE 与O 的位置关系，并说明理由；（2）若O 的半径为5，8AB ，求CE 的长．24．如果关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程x 2＋x ＝0的两个根是x 1＝0，x 2＝﹣1，则方程x 2＋x ＝0是“邻根方程”．（1）通过计算，判断方程2x 2﹣＋1＝0是否是“邻根方程”？（2）已知关于x 的方程x 2﹣（m ﹣1）x ﹣m ＝0（m 是常数）是“邻根方程”，求m 的值；25．如图，D 为⊙O 上一点，点C 在直径BA 的延长线上，且∠CDA=∠CBD ．（1）求证：CD 2=CA•CB ；（2）求证：CD 是⊙O 的切线；（3）过点B 作⊙O 的切线交CD 的延长线于点E ，若BC=12，tan ∠CDA=23，求BE 的长．26．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，以点B 为圆心，BC 的长为半径画弧，交线段AB于点D ，以点A 为圆心，AD 长为半径画弧，交线段AC 于点E ，设BC ＝a ，AC ＝b ．（1）请你判断：线段AD 的长度是方程x 2+2ax ﹣b 2＝0的一个根吗？说明理由；（2）若线段AD ＝EC ，求ab的值．参考答案1．D 【解析】【详解】解：∵()22230m x x --+=是关于x 的一元二次方程，∴20m -≠，∴2m ≠．故选：D 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，熟练掌握含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程是解题的关键．2．B 【解析】【分析】先将常数项移到等号的右边，在方程两边加上一次项系数一半平方，将方程左边配成一个完全平方式即可．【详解】解：x 2-8x+7=0，x 2-8x=-7，x 2-8x+16=-7+16，（x-4）2=9．故选：B ．【点睛】本题考查了运用配方法解一元二次方程，解答时熟练掌握配方法的步骤是关键．3．B 【解析】【分析】根据众数、中位数的概念求得众数和中位数，根据平均数和方差、极差公式计算平均数和极差即可得出答案．【详解】A ．将这组数据从小到大的顺序排列：36.2，36.2，36.3，36.5，36.6，则中位数为36.3C ︒，故此选项错误B ．36.2出现了两次，故众数是36.2C ︒，故此选项正确；C ．平均数为1(36.236.236.336.536.6)36.365++++=(C ︒)，故此选项错误；D ．极差为36.6-36.2=0.4(C ︒)，故此选项错误，故选：B ．【点睛】本题主要考查了中位数、众数、平均数和极差，熟练掌握它们的计算方法是解答的关键．4．A 【解析】【分析】根据一元二次方程根的判别式，可判断根的情况.【详解】一元二次方程20(a 0)++=≠ax bx c 中，24b ac -叫做一元二次方程()200++=≠ax bx c a 的根的判别式，通常用“∆”来表示，即2=4∆-b ac ，当0∆>时，方程有2个实数根，当=0∆时，方程有1个实数根（2个相等的实数根），当∆<0时，方程没有实数根.方程220x kx -+=根的判别式()22=-41(2)80k k ∆-⨯⨯-=+>，所以有两个不相等的实数根．【点睛】本题考查根据一元二次方程根的判别式判断根的个数.5．A 【解析】【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，利用两根和，两根积，即可求出a 的值和另一根．【详解】设一元二次方程的另一根为x 1，∵关于x 的方程x 2+3x+a=0有一个根为-1，∴﹣1+x 1=﹣3，解得：x 1=﹣2．故选A ．6．B 【解析】【分析】设平均每月的增长率为x ，则二月份生产零件501x +（）万个，三月份生产零件()2501x +万个，由此可得出方程．【详解】解：设二、三月份平均每月的增长率为x ，则二月份生产零件501x +（）个，三月份生产零件2501x +（）个，则得：250501501182x x ++++=（）（）．故答案为：B ．【点睛】本题主要考查了求平均变化率的方法．若设变化前的量为a ，变化后的量为b ，平均变化率为x ，则经过两次变化后的数量关系为21a x b ±=（）．7．A 【解析】【分析】作正多边形的外接圆，连接AO，BO，根据圆周角定理得到∠AOB=36°，根据中心角的定义即可求解．【详解】解：如图，作正多边形的外接圆，连接AO，BO，∴∠AOB=2∠ADB=36°，∴这个正多边形的边数为36036°°=10．故选：A．【点睛】此题主要考查正多边形的性质，解题的关键是熟知圆周角定理．8．C【解析】【分析】可以根据图形平移的规律，把阴影部分的分别平移到最边上，把剩下的面积变成一个新的长方形【详解】解：设道路的宽应为x米，由题意有（100﹣x）（80﹣x）=7644，故选：C．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是读懂题意，把道路进行平移后找到等量关系．9．D【解析】【分析】设弧ACB 所在圆的圆心为O ，连接OC 、OA 、OB ，在构造的Rt △OAD 中，利用垂径定理和勾股定理即可求出弧ACB 的半径长，即弓形面积=扇形AOB 面积－△AOB 面积．【详解】解：设弧ACB 所在圆的圆心为O ，连接OC 、OA 、OB ，∵CD ⊥AB ，∴C ，D ，O 三点共线，在Rt △OAD 中，设OA=xcm ，则OD=x-CD=（x-15）cm ，12AD AB ==cm ），∴222OA OD AD =+，即222(15)x x =-+，解得：3x =0，∴OD=15cm ，AO=30，∴∠OAD=30°，∴∠AOD=60°，∴∠AOB=120°，∴2212030300360AOBS cmππ⨯⨯==扇形，21152AOB S =⨯⨯= ，所以所求弓形面积2(300cm π=-，故选：D ．【点睛】此题考查弓形面积求解，涉及知识点有垂径定理，扇形面积公式，30°所对直角边等于斜边一半，勾股定理等，通过构造辅助线求出半径长是解此题的关键．10．D 【解析】【分析】设AE ＝x ，则ED ＝8﹣x ，易得四边形ABFE 为矩形，则BF ＝x ，利用对称性质得FG ＝BF＝x，则CG＝8﹣2x，再根据切线长定理得到EM＝ED＝8﹣x，GM＝GC＝8﹣2x，所以EG ＝16﹣3x，在Rt△EFG中利用勾股定理得到42+x2＝(16﹣3x)2，然后解方程可得到AE的长．【详解】解：设AE＝x，则ED＝8﹣x，∵EF⊥AD，∴四边形ABFE为矩形，∴BF＝x，∵点B关于EF的对称点为G点，∴FG＝BF＝x，∴CG＝8﹣2x，∵∠ADC＝∠BCD＝90°，∴AD和BC为⊙O的切线，∵EG与以CD为直径的⊙O恰好相切于点M，∴EM＝ED＝8﹣x，GM＝GC＝8﹣2x，∴EG＝8﹣x+8﹣2x＝16﹣3x，在Rt△EFG中，42+x2＝(16﹣3x)2，整理得x2﹣12x+30＝0，解得x1＝6，x2＝，即AE的长为6．故选：D．【点睛】本题考查了切线长定理、矩形的性质与判定、勾股定理、以及轴对称的知识．经过圆外一点的切线，这一点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长，从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等．11．甲【解析】【分析】根据方差的定义，方差越小数据越稳定．【详解】解：∵21.3S =甲，2 1.7S =乙，∴S 2甲＜S 2乙，∴选择一名成绩优秀且稳定的人去参赛，应派甲去．故答案为：甲．【点睛】本题考查了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．12．16【解析】【分析】根据一元二次方程的根的定义“使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫一元二次方程的解，也叫一元二次方程的根”得2280a a --=，则228a a -=，再将224a a -提出公因数2，即可得．【详解】解：∵a 是一元二次方程2280x x --=的一个根，∴2280a a --=，∴228a a -=∴22242(2)2816a a a a -=-=⨯=，故答案为：16．【点睛】本题考查了一元二次方程的根和代数式求值，解题的关键是掌握一元二次方程的根的定义．13．2【解析】【分析】根据弧长公式、圆锥的性质分析，即可得到答案．【详解】解：根据题意，得圆锥底面周长12064180ππ︒⨯⨯==︒cm ，∴这个圆锥底面圆的半径422ππ==cm，故答案为：2．【点睛】本题考查了扇形、圆锥的知识；解题的关键是熟练掌握弧长公式、圆锥的性质，从而完成求解．14．25【解析】【分析】连接OC，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理得到∠BOC=100°，求出∠AOC，根据等腰三角形的性质计算．【详解】解：连接OC，∵OC=OB，∴∠OCB=∠OBC=40°，∴∠BOC=180°-40°×2=100°，∴∠AOC=100°+30°=130°，∵OC=OA，∴∠OAC=∠OCA=25°，故答案为：25．【点睛】本题考查的是圆的基本性质、等腰三角形的性质，三角形内角和定理，掌握三角形内角和等于180°是解题的关键．15．2【解析】【分析】先利用根与系数的关系中两根之和等于3，求出该方程的两个根，再利用两根之积得到k 的值即可．【详解】解：由根与系数的关系可得：123x x +=，12·x x k =，∵122x x =，∴233x =，∴21x =，∴12x =，∴122k =⨯=;故答案为：2．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数之间的关系，解决本题的关键是牢记公式，即对于一元二次方程()200ax bx c a ++=≠，其两根之和为b a-，两根之积为c a ．16．2【解析】【分析】过O 点作OH ⊥EF ，垂足为H ，连接OE ，OF ，由圆周角定理可知∠EOH ＝12∠EOF ＝∠BAC＝60°，即可求出EF =，所以当半径OE 最短时，EF 最短．而由垂线段的性质可知，当AD 为△ABC 的边BC 上的高时，直径AD 最短，所以只要在Rt △ADB 中，解直角三角形求出最短直径AD ，即可得到最短半径OE ，进而求出线段EF 长度的最小值．【详解】解：如图，连接OE ，OF ，过O 点作OH ⊥EF ，垂足为H ，∴12EH EF =，∵OE=OF ，OH ⊥EF ，∠BAC=60°∴1===602EOH FOH EOF BAC =︒∠∠∠∠，∴∠OEH=30°，∴12OH OE =，∴EH =，∴EF =，∴要使EF 要最小，即半径OE 最小，即直径AD 最小，∴由垂线段的性质可知，当AD 为△ABC 的边BC 上的高时，直径AD 最短，∵在Rt △ADB 中，∠ABC ＝45°，AB ＝2，∴AD ＝BD ，222BD AD AB +=，∴224AD =，∴AD BD ==∴22EF AD ==【点睛】本题主要考查了垂径定理，圆周角定理，垂线段最短，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等等，解题的关键在于能够把求EF 的最小值转化成求直径AD 的最小值．17．3．【解析】【分析】连接OA ，根据切线的性质得出OA ⊥PA ，由已知条件可得△OAP 是等腰直角三角形，进而可求出OA 的长，问题得解．【详解】解：连接OA ，∵PA 切⊙O 于点A ，∴OA ⊥PA ，∴∠OAP ＝90°，∵∠APO ＝45°，∴OA ＝PA ＝3，故答案为：3．【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．18．(1)11x =-，23x =(2)13x =+23x =-(3)11x =，223x =-(4)132x =，21x =【解析】【分析】（1）原方程运用因式分解法求解即可；（2）原方程运用配方法求解即可；（3）原方程移项后运用因式分解法求解即可；（4）原方程运用公式法求解即可．(1)2(1)40--=x [(1)2][(1)2]0x x -+--=(1)(3)0x x +-=10x +=，30x -=∴11x =-，23x =(2)x 2﹣6x ﹣3＝0263x x -=26912x x -+=2(3)12x -=3x -=±∴13x =+23x =-(3)3x （x ﹣1）＝2（1﹣x ）3(1)2(1)0x x x -+-=(1)(32)0x x -+=10x -=，320x +=∴11x =，223x =-(4)2x 2﹣5x+3＝0在这里2,5,3a b c ==-=2=4252410b ac ∆-=-=>∴514x ±=∴132x =，21x =【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了配方法、公式法解一元二次方程．19．【解析】【分析】连接AC ，CM ，AB ，过点C 作CH ⊥OA 于H ，设OC=a ．利用勾股定理构建方程解决问题即可．【详解】解：连接AC ，CM ，AB ，过点C 作CH ⊥OA 于H ，设OC=a ．∵∠AOB=90°，∴AB 是直径，∵A （-4，0），B （0，2），∴AB ∴=∵∠AMC=2∠AOC=120°，AC =∴=，在Rt △COH 中，1cos 60,22OH OC a CH a ︒=⋅===，142AH a ∴=-，在Rt △ACH 中，AC 2=AH 2+CH 2，∴22115(4)()22a a =-+，∴或OC ＞OB ，所以，∴OC=2+，故答案为：．【点睛】本题考查圆周角定理，勾股定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．20．应将这种T 恤的销售单价定为56元/件．【解析】【分析】设应将这种T 恤的销售单价定为x 元/件，则每天大约可卖出[300+20（60-x ）]件，根据总利润=每件的利润×日销售量，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．【详解】解：设应将这种T 恤的销售单价定为x 元/件，则每天大约可卖出[300+20（60-x ）]件，根据题意得：（x-40）[300+20（60-x ）]=6080，整理得：x 2-115x+3304=0，解得：x 1=56，x 2=59．∵鼓励大量销售，∴x=56．答：应将这种T 恤的销售单价定为56元/件．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．21．(1)见解析(2)见解析(3)【解析】【分析】（1）根据垂直平分线的性质证明AC ＝AD ＝CD 即可（2）要证明：E 是OB 的中点，只要求证OE ＝12OB ＝12OC ，即证明∠OCE ＝30°即可；（3）在直角△OCE 中，根据勾股定理就可以解得CE 的长，进而求出CD 的长．(1)证明：连接AC ，如图∵直径AB 垂直于弦CD 于点E ，∴ AC AD，AC ＝AD ，∵过圆心O 的线CF ⊥AD ，∴AF ＝DF ，即CF 是AD 的中垂线，∴AC ＝CD ，∴AC＝AD＝CD．即：△ACD是等边三角形，(2)△ACD是等边三角形，CF是AD的中垂线，∴FA FD=ACF DCF∴∠=∠＝30°，在Rt△COE中，OE＝12 OC，∴OE＝12 OB，∴点E为OB的中点；(3)解：在Rt△OCE中，AB=8∴OC＝12AB＝4，又∵BE＝OE，∴OE＝2，∴CE==∴CD＝2CE＝【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理、中垂线性质、30°所对的直角边是斜边的一半，等边三角形的判定和性质．解此类题一般要把半径、弦心距、弦的一半构建在一个直角三角形里，运用勾股定理求解．22．（1）他对阵甲队的平均每场得分为27分，对阵乙队的平均每场得分为26分；（2）他在对阵甲队时得分比较稳定；（3）他在对阵甲队时总体发挥较好，理由见解析．【解析】【分析】（1）根据平均数的计算公式分别进行计算即可；（2）根据方差公式进行计算，再根据方差的意义即可得出答案；（3）根据失误次数和方差的意义即可得出答案．【详解】（1）解：x 甲＝253027264+++＝27，x 乙＝273120264+++＝26．答：他对阵甲队的平均每场得分为27分，对阵乙队的平均每场得分为26分．（2）解：2S 甲＝2222(2527)(3027)(2727)(2627)4-+-+-+-＝3.5，2S 乙＝2222(2726)(3126)(2026)(2626)4-+-+-+-＝15.5．由可知22S S <甲乙，他在对阵甲队时得分比较稳定．（3）解：他在对阵甲队时总体发挥较好．理由：由x x >乙甲可知他对阵甲队时平均得分较高；由22S S <甲乙可知，他在对阵甲队时得分比较稳定；计算得他对阵甲队平均失误为1.75次，对阵乙队平均失误为2.5次，由1.75次＜2.5次可知他在对阵甲队时失误较少．【点睛】考查了方差和平均数．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．23．（1）详见解析；（2）254CE =．【解析】【分析】（1）连接OC ，由AC 为O 的直径，得到90ADC ∠= ，根据 AD CD =，得到AD CD =，根据平行线的性质得到45CDE DCA ∠=∠=o ，求得90ODE ∠= ，于是得到结论；（2）根据勾股定理得到AD CD ==90ABC ∠= ，求得6BC =，根据相似三角形的性质即可得到结论．【详解】（1）DE 与O 相切，理由如下：如图，连接OD ，∵AC 为O 的直径，∴90ADC ∠= ，∵D 为 AC 的中点，∴ AD CD =，∴AD CD =，∴45ACD ∠= ，∵O 是AC 的中点，∴45ODC ∠=o ，∵DE AC ，∴45CDE DCA ∠=∠=o ，∴90ODE ∠= ，∴DE 与O 相切；（2）∵O 的半径为5，∴10AC =，∴52AD CD ==∵AC 为O 的直径，∴90ABC ∠= ，∵8AB =，∴6BC =，∵BAD DCE ∠=∠，45ABD CDE ∠=∠=o ，∴ABD CDE ∆∆:，∴ABADCD CE =，252CE =，∴254CE =．【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，等腰直角三角形的性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．24．（1）2x 2﹣＋1＝0是“邻根方程”；（2）m ＝0或−2【解析】【分析】（1）根据解一元二次方程的方法解出已知方程的解，再比较两根的差是否为1，从而确定方程是否为“邻根方程”；（2）先解方程求得其根，再根据新定义列出m 的方程，注意有两种情况【详解】解：（1）2x 2﹣＋1＝0，∵21a b c ==-=，，∴(22=442=4b ac -=--⨯ ，∴x =，∵1=+122，∴2x 2﹣＋1＝0是“邻根方程”；（2）解方程得：（x−m ）（x ＋1）＝0，∴x ＝m 或x ＝−1，∵方程x 2﹣（m ﹣1）x ﹣m ＝0（m 是常数）是“邻根方程”，∴m ＝−1＋1或m ＝−1−1，∴m ＝0或−2．【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法以及正确理解“邻根方程”的定义，本题属于中等题型．25．（1）见解析；（2）见解析；（3）BE 的长为5．【解析】【分析】（1）通过相似三角形（△ADC∽△DBC）的对应边成比例来证得结论．（2）如图，连接OD．欲证明CD是⊙O的切线，只需证明CD⊥OA即可．（3）通过相似三角形△EBC∽△ODC的对应边成比例列出关于BE的方程，通过解方程来求线段BE的长度即可．【详解】解：（1）证明：∵∠CDA=∠CBD，∠C=∠C，∴△ADC∽△DBC，∴AC DCDC BC，即CD2=CA•CB．（2）证明：如图，连接OD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°．∴∠1+∠3=90°．∵OA=OD，∴∠2=∠3．∴∠1+∠2=90°．又∵∠CDA=∠CBD，即∠4=∠1，∴∠4+∠2=90°，即∠CDO=90°．∴OD⊥OA．又∵OA是⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线．（3）如图，连接OE，∵EB、CD均为⊙O的切线，∴ED=EB，OE⊥DB．∴∠ABD+∠DBE=90°，∠OEB+∠DBE=90°．∴∠ABD=∠OEB ．∴∠CDA=∠OEB ．∵tan ∠CDA=23，∴OB 2tan OEB BE 3∠==．∵Rt △CDO ∽Rt △CBE ，∴CD OD OB 2CB BE BE 3===．∵BC=12，∴CD=8．在Rt △CBE 中，设BE=x ，∴（x+8）2=x 2+122，解得x=5．∴BE 的长为5．考点：切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，勾股定理．26．（1）线段AD 的长度是方程x 2+2ax ﹣b 2＝0的一个根，理由详见解析；（2）34．【解析】【分析】（1）方程变形即可得到22222x ax a a b ++=+，根据勾股定理得到22()x a AB +=，由BD BC a ==，即可得到结论；（2）由题意得，12AD b =，根据勾股定理列出2221()2a b a b +=+，整理得到34a b =，即可求得34a b =．【详解】解：（1）∵在△ABC 中，∠ACB ＝90°，∴AB 2＝AC 2+BC 2，∵BC ＝a ，AC ＝b ．∴AB 2＝a 2+b 2，方程x 2+2ax ﹣b 2＝0变形为：x 2+2ax+a 2＝a 2+b 2，∴（x+a ）2＝AB 2，∵BD ＝BC ＝a ，∴（x+BD ）2＝AB 2，∵（AD+BD ）2＝AB 2，∴线段AD 的长度是方程x 2+2ax ﹣b 2＝0的一个根；（2）∵AD ＝EC ，∴AC ＝2AD ＝2AE ＝b ，12AD b ∴=，12AB a b ∴=+，222AB AC BC =+ ，2221()2a b a b ∴+=+整理得34a b =，∴34ab =．【点睛】本题考查了解一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程并利用配方法得到22()x BD AB +=是解题的关键．。
【苏科版】九年级数学上期中试卷含答案
一、选择题1．电脑福利彩票中有两种方式“22选5”和“29选7”，若选中号码全部正确则获一等奖,你认为获一等奖机会大的是（ ）A ．“22选5”B ．“29选7”C ．一样大D ．不能确定 2．如图，4×2的正方形的网格中，在A ，B ，C ，D 四个点中任选三个点，能够组成等腰三角形的概率为（ ）A ．1B ．12C ．13D ．143．现有两组相同的牌，每组三张且大小一样，三张牌的牌面数字分别是1、2、3，从每组牌中各摸出一张牌．两张牌的牌面数字之和等于4的概率是（ ）A ．29B ．13C ．59D ．234．小冬和小松正在玩“掷骰子，走方格”的游戏．游戏规则如下：（1）掷一枚质地均匀的正方体骰子（骰子六个面的数字分别是1至6），落地后骰子向上一面的数字是几，就先向前走几格，然后暂停．（2）再看暂停的格子上相应的文字要求，按要求去做后，若还有新的文字要求，则继续按新要求去做，直至无新要求为止，此次走方格结束．下图是该游戏的部分方格： 大本营 1对自己说“加油！” 2 后退一格 3 前进三格 4 原地不动 5 对你的小伙伴说“你好！” 6 背一首古诗例如：小冬现在的位置在大本营，掷骰子，骰子向上一面的数字是2，则小冬先向前走两格到达方格2，然后执行方格2的文字要求“后退一格”，则退回到方格1，再执行方格1的文字要求：对自己说“加油！”．小冬此次“掷骰子，走方格”结束，最终停在了方格1．如果小松现在的位置也在大本营，那么他掷一次骰子最终停在方格6的概率是（ ） A ．16 B ．13 C ．12 D ．235．一元二次方程x 2+4x=3配方后化为（ ）A ．(x+2)2=3B ．(x+2)2=7C ．(x-2)2=7D ．(x+2)2=-1 6．定义运算：21a b ab ab =--☆．例如：23434341=⨯-⨯-☆．则方程10x =☆的根的情况为（ ）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．无实数根D ．只有一个实数根7．如果方程220x x --=的两个根为α，β，那么22αβαβ+-的值为（ ） A ．7 B ．6 C ．2- D ．08．下列说法不正确的是（ ）A ．打开电视剧，电视里播放《小猪佩奇》是偶然事件B ．了解一批灯泡的使用寿命，适合抽样调查C ．一元二次方程2210x x -+=只有一个根D ．甲、乙两人在相同条件下各射击10次，他们的成绩平均数相同，方差分别是20.36S =甲，20.54S =乙，甲的射击成绩稳定 9．在一个四边形ABCD 中依次连接各边的中点得到的四边形是矩形，则对角线AC 与BD 需要满足的条件是（ ）A ．垂直B ．相等C ．垂直且相等D ．不再需要条件 10．正方形具有而矩形没有的性质是（ ）A ．对角线互相平分B ．每条对角线平分一组对角C ．对角线相等D ．对边相等 11．如图，在四边形ABCD 中，BD 平分ABC ∠，//AD BC ，90C ∠=︒，5AB =，4CD =，则四边形ABCD 的周长是（ ）．A ．18B ．20C ．22D ．2412．如图，矩形ABCD 的两条对角线的一个交角为60︒，两条对角线的长度之和为24cm ，则这个矩形的一条短边的长为（ ）A ．6cmB ．12cmC ．24cmD ．48cm二、填空题13．已知数据：125π4，0，其中无理数出现的频率为_____． 14．从2，3，4，5中任意选两个数，记作a 和b ，那么点(),a b 在函数12y x=图象上的概率是____________．15．设m 、n 分别为一元二次方程2370x x +-=的两个实数根，则2mn m n --=______．16．若关于x 的一元二次方程()22367120m x x m m -++-+=有一个根是0，那么m 的值为______．17．已知方程2560x kx ++=的一个根是2，则它的另一个根是________．18．如图，两个长宽分别为7cm 、3cm 的矩形如图叠放在一起，则图中阴影部分的面积是________．19．如图，在矩形ABCD 中，4AB =，6BC =，E 是边AD 上的一个动点，将ABE △沿BE 对折成BFE △，则线段DF 长度的最小值为_______．20．如图，正方形ABCD 中，点E 、F 分别在边CD ，AD 上，BE 与CF 交于点G ．若BC ＝4，DE ＝AF ＝1，则GF 的长为_____．三、解答题21．在一个不透明的布袋里装有3个大小、质地均相同的乒乓球，球上分别标有数字为1、2、3（1）随机从布袋中一次摸出两个乒乓球，写出两个乒乓球上的数字都是奇数的概率是_________；（2）随机从布袋中摸出一个乒乓球，记下数字后放回布袋里，再随机从布袋中摸出一个乒乓球，请用列表或画树状图的方法求出两个乒乓球上的数字之和不小于4的概率． 22．解方程：220x x +=．23．宋代数学家杨辉所著《杨辉算法》中有一题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何？”译文为：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多了多少步？24．一个不透明的口袋里装有分别标有汉字“武”、“汉”、“加”、“油”的四个小球，除汉字不同之外，小球没有任何区别，每次摸球前先搅拌均匀再摸球．（1）若从中任取一球，球上的汉字刚好是“武”的概率为多少？（2）甲从中任取一球，不放回，再从中任取一球，请用画树状图的方法，求出甲取出的两个球上的汉字恰能组成“武汉”或“加油”的概率P1．25．如图，在四边形ABCD中，E、F分别是AD，BC的中点，G，H分别是BD、AC的中点，依次连接E，G，F，H．（1）求证：四边形EGFH是平行四边形；（2）当AB=CD时，EF与GH有怎样的位置关系？请说明理由；（3）若AB=CD，∠ABD=20°，∠BDC=70°，则∠GEF= °．BE=，连接26．如图，点E为边长为3的正方形ABCD的边CB延长线上一点，1△绕着正方形的顶点A旋转得到ADF．AE，将ABE（1）写出上述旋转的旋转方向和旋转角度数：（2）连接EF，求AEF的面积：（3）如图中，ADG可以看作由BAE△先绕着正方形的顶点B顺时针旋转90︒，再沿着BA方向平移3个单位的二次基本运动所成，那么ADG是否还可以看作由BAE△只通过一次旋转运动而成呢？如果可以，请写出（同时在图中画出）旋转中心、旋转方向和旋转角度数，如果不能，则说明理由．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【解析】从22个号码中选5个号码能组成数的个数有22×21×20×19×18=3160080，选出的这5个号码能组成数的个数为5×4×3×2×1=120，这5个号码全部选中的概率为120÷3160080=3.8×10−5；从29个号码中选7个号码能组成数的个数为29×28×27×26×25×24×23= 7866331200，这7个号码能组成数的个数为7×6×5×4×3×2×1=5040，这7个号码全部选中的概率为5040÷7866331200=6×10−8，因为3.8×10−5＞6×10−8，所以，获一等奖机会大的是22选5．故选A．2．B解析：B【分析】根据题意，先列举所有的可能结果，然后选取能组成等腰三角形的结果，根据概率公式即可求出答案．【详解】解：根据题意，在A，B，C，D四个点中任选三个点，有：△ABC、△ABD、△ACD、△BCD，共4个三角形；其中是等腰三角形的有：△ACD、△BCD，共2个；∴能够组成等腰三角形的概率为：2142P==；故选：B．【点睛】本题考查了列举法求概率，等腰三角形的性质，勾股定理与网格问题，解题的关键是熟练掌握列举法求概率，以及正确得到等腰三角形的个数．3．B解析：B【分析】画树状图列出所有情况，看数字之和等于4的情况数占总情况数的多少即可．【详解】画树状图得：则共有9种等可能的结果，其中两张牌的牌面数字之和等于4的有3种结果，∴两张牌的牌面数字之和等于4的概率为39＝13，【点睛】本题考查列表法和树状图法，解题的关键是可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果．4．B解析：B【分析】根据掷一次骰子最终停在方格6的出现的情况利用概率公式解答即可．【详解】掷一次骰子最终停在方格6的情况有①直接掷6；②掷3后前进三格到6；所以掷一次骰子最终停在方格6的概率是21 63 ，故选B．【点睛】此题考查几何概率，关键是根据掷一次骰子最终停在方格6的出现的情况利用概率公式解答．5．B解析：B【分析】在方程的两边同时加上一次项系数一半的平方，化成完全平方的形式即可得出答案．【详解】解：x2+4x=3，x2+4x+4=7，（x+2）2=7，故选：B．【点睛】此题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键；配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．6．A解析：A【分析】根据新定义运算法则以及利用△＞0可判断方程根的情况．【详解】解：由题意可知：1☆x=x2-x-1=0，∴△=1-4×1×（-1）=5＞0，∴有两个不相等的实数根故选：A．本题考查根的判别式，解题的关键是正确理解新定义运算法则，本题属于基础题型． 7．A解析：A【分析】将α代入方程220x x --=，即可得22αα=+，即可推出22()22αβαβαβαβ+-=+-+，再由韦达定理即可求出结果．【详解】将α代入方程220x x --=得：220αα--=，即22αα=+∴2222()22αβαβαβαβαβαβ+-=++-=+-+．∵α、β是方程的两个根， ∴111αβ-+=-=，221αβ-==-． ∴()2212(2)27αβαβ+--=-⨯-+=． 故选：A ．【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系以及代数式求值．熟知韦达定理公式是解答本题的关键．8．C解析：C【分析】根据必然事件和偶然事件，抽样调查和普查，一元二次方程跟的判别式和方差依次判断即可．【详解】解：A. 打开电视剧，电视里播放《小猪佩奇》是偶然事件，正确，不符合题意；B. 了解一批灯泡的使用寿命，适合抽样调查，正确，不符合题意；C. 一元二次方程2210x x -+=中，24440b ac ∆=-=-=，有两个相等的实数根，故原说法错误，符合题意；D. 甲、乙两人在相同条件下各射击10次，他们的成绩平均数相同，方差分别是20.36S =甲，20.54S =乙，甲的射击成绩稳定，正确，不符合题意； 故选：C ．【点睛】本题考查必然事件和偶然事件，抽样调查和普查，一元二次方程跟的判别式和方差，注意当0∆=时，一元二次方程有两个相等的实数根．9．A解析：A【分析】根据题意画出相应的图形，如图所示，由四边形EFGH为矩形，根据矩形的四个角为直角得到∠FEH＝90°，又EF为三角形ABD的中位线，根据中位线定理得到EF与DB平行，根据两直线平行，同旁内角互补得到∠EMO＝90°，同理根据三角形中位线定理得到EH与AC 平行，再根据两直线平行，同旁内角互补得到∠AOD＝90°，根据垂直定义得到AC与BD垂直．【详解】解：如图，∵四边形EFGH是矩形，∴∠FEH＝90°，又∵点E、F、分别是AD、AB边的中点，∴EF是三角形ABD的中位线，∴EF∥BD，∴∠FEH＝∠OMH＝90°，又∵点E、H分别是AD、CD各边的中点，∴EH是三角形ACD的中位线，∴EH∥AC，∴∠OMH＝∠COB＝90°，即AC⊥BD．故选：A．【点睛】此题考查了矩形的性质，三角形的中位线定理，以及平行线的性质．这类题的一般解法是：借助图形，充分抓住已知条件，找准问题的突破口，由浅入深多角度，多侧面探寻，联想符合题设的有关知识，合理组合发现的新结论，围绕所探结论环环相加，步步逼近，所探结论便会被“逼出来”．10．B解析：B【分析】首先要知道正方形和矩形的性质，正方形是四边相等的矩形，正方形对角线平分对角，且对角线互相垂直．【详解】解：A 、正方形和矩形对角线都互相平分，故A 不符合题意，B 、正方形对角线平分对角，而矩形对角线不平分对角，故B 符合题意，C 、正方形和矩形对角线都相等，故C 不符合题意，D 、正方形和矩形的对边都相等，故D 不符合题意．故选：B ．【点睛】本题主要考查正方形对角线相互垂直平分相等的性质和长方形对角线平分相等性质的比较．11．C解析：C【分析】过点A 做AE BC ⊥交BC 于点E ，根据角平分线和平行线性质，推导得5AD AB ==；通过判定四边形AECD 为矩形，得5EC AD ==，4AE CD ==；再根据勾股定理计算，得BE ，从而得到四边形ABCD 的周长．【详解】如图，过点A 做AE BC ⊥交BC 于点E∵BD 平分ABC ∠∴ABD CBD ∠=∠∵//AD BC∴ADB CBD ∠=∠∴ABD ADB ∠=∠∴5AD AB ==∵AE BC ⊥，90C ∠=︒∴//AE DC∴四边形AECD 为矩形∴5EC AD ==，4AE CD ==又∵AE BC ⊥，即90AEB =︒∠ ∴223BE AB AE =-=∴四边形ABCD 的周长22AB BE EC CD AD =++++=故选：C ．【点睛】本题考查了平行线、角平分线、等腰三角形、矩形、勾股定理的知识；解题的关键是熟练掌握平行线、角平分线、矩形、勾股定理、等腰三角形的性质，从而完成求解．12．A解析：A【分析】根据矩形的性质求出OA=OB，AC=BD，求出AC的长，求出OA和OB的长，推出等边三角形OAB，求出AB=OA，代入求出即可．【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴OA=OC=12AC，OD=OB=12BD，AC=BD，∴OA=OB，∵AC+BD=24，∴AC=BD=12cm，∴OA=OB=6cm，∵OA=OB，∠AOB=60°，∴△OAB是等边三角形，∴AB=OA=6cm，故选：A．【点睛】本题考查了矩形的性质和等边三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是求出等边三角形OAB和求出OA的长．二、填空题13．【分析】把每个数据进行化简对最简结果进行有理数无理数的甄别后根据频率意义计算即可【详解】∵=2∴0是有理数π是无理数∴无理数出现的频率为故答案为：【点睛】本题考查了频率的意义熟练掌握频率的数学意义是解析：25．【分析】把每个数据进行化简，对最简结果进行有理数，无理数的甄别，后根据频率意义计算即可．【详解】∵=2，∴12，0π是无理数，∴无理数出现的频率为25．故答案为：25．【点睛】本题考查了频率的意义，熟练掌握频率的数学意义是解题的关键．14．【分析】首先根据题意画出树状图然后由树状图求得所有等可能的结果与点（ab ）在函数图象上的情况再利用概率公式即可求得答案【详解】解：画树状图得：∵共有12种等可能的结果点（ab ）在函数图象上的有（34 解析：16【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与点（a ，b ）在函数12y x=图象上的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【详解】解：画树状图得：∵共有12种等可能的结果，点（a ，b ）在函数12y x =图象上的有（3，4），（4，3）； ∴点（a ，b ）在函数12y x =图象上的概率是：21126=． 故答案为：16． 【点睛】 此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．15．-11【分析】根据一元二次方程根与系数的关系即可得出m+n=-3mn=-7将其代入中即可求出结论【详解】解：∵mn 分别为一元二次方程的两个实数根∴m+n=-3mn=-7则故答案为：-11【点睛】本题解析：-11【分析】根据一元二次方程根与系数的关系即可得出m+n=-3，mn=-7，将其代入22()mn m n mn m n --=-+中即可求出结论．【详解】解：∵m ，n 分别为一元二次方程2370x x +-=的两个实数根，∴m+n=-3，mn=-7，则22()2(7)(3)14311mn m n mn m n =--=-+⨯---=-+=-．故答案为：-11．【点睛】本题考查了根与系数的关系，根据一元二次方程根与系数的关系得出m+n=-2，mn=-1是解题的关键．16．4【分析】先把x=0代入（m-3）x2+6x+m2-7m+12=0得m2-7m+12=0再解关于m的方程然后根据一元二次方程的定义确定满足条件的m的值【详解】解：把x=0代入（m-3）x2+6x+m解析：4【分析】先把x=0代入（m-3）x2+6x+m2-7m+12=0得m2-7m+12=0，再解关于m的方程，然后根据一元二次方程的定义确定满足条件的m的值．【详解】解：把x=0代入（m-3）x2+6x+m2-7m+12=0得m2-7m+12=0，解得m1=4，m2=3，∵m-3≠0，即：m≠3∴m的值为4．故答案为：4．【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．也考查了一元二次方程的定义．17．【分析】设方程的另一个根为根据根与系数的关系得到然后解一次方程即可【详解】解：设另一个根为∴∴∴另一个根为故答案为：【点睛】本题考查了根与系数的关系：若是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的解析：3 5【分析】设方程的另一个根为1x，根据根与系数的关系得到1625x=，然后解一次方程即可．【详解】解：设另一个根为1x，∴1625x=，∴13 5x=，∴另一个根为35．故答案为：35．【点睛】本题考查了根与系数的关系：若12x x ，是一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）的两根时1212b a c x x x x a-+＝，＝． 18．【分析】由两个长宽分别为的矩形如图叠放在一起可证得阴影部分是菱形然后设则利用勾股定理可得方程：则可求得的长继而求得答案【详解】解：如图：根据题意得：四边形是平行四边形两个矩形等高即四边形是菱形设则在 解析：2877cm ． 【分析】由两个长宽分别为7cm 、3cm 的矩形如图叠放在一起，可证得阴影部分是菱形，然后设BF xcm =，则 DFxcm ，7()AF AD DF x cm ，利用勾股定理可得方程： 2223(7)x x ，则可求得BE 的长，继而求得答案．【详解】解：如图：根据题意得：//AD BC ，//BF DE ，∴四边形ABCD 是平行四边形，两个矩形等高，即DH AB =，BEDF S BE AB BF DH ，BE BF ∴=， ∴四边形BEDF 是菱形，BF DF ∴=，设BF xcm =，则DFxcm ，7()AF AD DF x cm ， 在Rt ABF ∆中，222AB AF BF +=， 2223(7)x x ， 解得：297x， 297BE cm ， 2877BEDF S BE ABcm 菱形． 故答案为：2877cm ．【点睛】本题考查了菱形的判定与性质以及勾股定理等知识．掌握方程思想的应用是解此题的关键．19．【分析】连接DFBD由DF＞BD-BF知点F落在BD上时DF取得最小值且最小值为BD-BF的长再根据矩形和折叠的性质分别求得BDBF的长即可【详解】如图连接DFBD由图可知DF＞BD-BF当点F落在解析：2134-【分析】连接DF、BD，由DF＞BD-BF知点F落在BD上时，DF取得最小值，且最小值为BD-BF的长，再根据矩形和折叠的性质分别求得BD、BF的长即可．【详解】如图，连接DF、BD，由图可知，DF＞BD-BF，当点F落在BD上时，DF取得最小值，且最小值为BD-BF的长，∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD=4、BC=6，∴2222=6+4=213BC CD+由折叠性质知AB=BF=4，∴线段DF长度的最小值为BD-BF134=，故答案为：134.．【点睛】本题主要考查矩形和翻折变换的性质，解题的关键是根据三角形两边之差小于第三边得出DF长度取得最小值时点F的位置．20．6【分析】先证明△CDF≌△BCE得到∠BGC＝90°利用面积法求出求出CF＝5即可求出GF【详解】解：∵四边形ABCD为正方形BC＝4∴∠CDF＝∠BCE＝90°AD＝DC＝BC＝4又∵DE＝AF解析：6【分析】先证明△CDF≌△BCE，得到∠BGC＝90°，利用面积法求出125CG=，求出CF＝5，即可求出GF．【详解】解：∵四边形ABCD为正方形，BC＝4，∴∠CDF ＝∠BCE ＝90°，AD ＝DC ＝BC ＝4，又∵DE ＝AF ＝1，∴CE ＝DF ＝3，∴在△CDF 和△BCE 中，CD BC CDF BCE DF CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△CDF ≌△BCE （SAS ），∴∠DCF ＝∠CBE ，∵∠DCF +∠BCF ＝90°，∴∠CBE +∠BCF ＝90°，∴∠BGC ＝90°，∵在Rt △BCE 中，BC ＝4，CE ＝3，∴5BE ==,∴BE •CG ＝BC •CE ， ∴431255BC CE CG BE ⨯===， ∵△CDF ≌△BCE （SAS ），∴CF ＝BE ＝5，∴GF ＝CF ﹣CG ＝5﹣125＝2.6． 故答案为：2.6．【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理等知识，证明△CDF ≌△BCE 是解题关键． 三、解答题21．（1）13；（2）23 【分析】（1）用列举法展示所有可能的结果数，然后根据概率公式求解；（2）画树状图展示所有9种等可能的结果数，再找出两个兵乒球上的数字之和不小于4的结果数，然后根据概率公式求解．【详解】 （1）可能出现的结果有：()12，，()13，，()23，，共3种， 两个数字都是奇数的只有()13，一种，∴两个乒乓球上的数字都是奇数的概率是13，故答案为：13； （1）画树状图如下：一共有9种可能的结果，其中大于或等于4的有6种，∴两个乒乓球上的数字之和不小于4的概率为：6293=． 【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n ，再从中选出符合事件A 或B 的结果数目m ，然后利用概率公式计算事件A 或事件B 的概率． 22．120,2x x ==-【分析】方法一：根据提取公因式求解即可；方法二：根据配方法求解即可；【详解】解：方法一：原方程可化为(2)0x x +=．120,2x x ∴==-．方法二：配方，得22101x x ++=+，即2(1)1x +=．直接开平方，得11x +=±， 120,2x x ∴==-．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的求解，准确计算是解题的关键．23．长比宽多12步．【分析】选择合适的未知数，利用矩形这个桥梁构造一元二次方程求解即可．【详解】解：设矩形的长为x 步，则宽为60x -（）步， 根据题意，得(60)864x x -=．解得 136x =，224x =（舍去）∴当36x=时，6024x-=，362412-=．答：长比宽多12步．【点睛】本题考查了一元二次方程与几何图形的关系，熟练运用一元二次方程解决几何图形的面积是解题的关键．24．（1）14；（2）图表见解析，概率为13【分析】（1）直接利用概率公式求解即可；（2）画树状图（用A、B、C、D分别表示标有汉字“武”、“汉”、“加”、“油”的四个小球）展示所有12种等可能的结果数，再找出取出的两个球上的汉字恰能组成“武汉”或“加油”的结果数，然后根据概率公式求解．【详解】解：（1）若从中任取一球，球上的汉字刚好是“武”的概率P＝14；（2）画树状图为：（用A、B、C、D分别表示标有汉字“武”、“汉”、“加”、“油”的四个小球），共有12种等可能的结果数，其中取出的两个球上的汉字恰能组成“武汉”或“加油”的结果数为4，所以甲取出的两个球上的汉字恰能组成“武汉”或“加油”的概率P＝41 123=．【点睛】本题考查了概率的计算问题，掌握概率的计算公式及利用树状图画出所有等可能的结果是解题的关键．25．（1）见解析；（2）GH⊥EF，见解析；（3）25【分析】（1）首先运用三角形中位线定理可得到EG∥AB，EG=12AB，HF∥AB，EG=12AB，即可得到四边形EGFH是平行四边形；（2）再运用三角形中位线定理证明邻边相等，从而证明平行四边形EGFH是菱形，即可证明GH⊥EF；（3）由EH∥CD，得到∠BDC=∠BPH=70°，由EG∥AB，得到∠EGD=∠ABD=20°，再利用三角形的外角性质和菱形的性质即可求解．【详解】证明：（1）∵E 、G 分别是AD 、BD 的中点，∴EG ∥AB ，且12GE AB =， 同理可证：HF ∥AB ，且12HF AB =， ∴EG ∥HF ，且EG=HF ，∴四边形EGFH 是平行四边形；（2）GH ⊥EF ，理由如下：∵G 、F 分别是BD 、BC 的中点 ，∴12GF CD =， 由（1）知12GE AB =， 又∵AB=CD ，∴GE=GF ，又∵四边形EGFH 是平行四边形，∴四边形EGFH 是菱形，∴GH ⊥EF ；（3）∵E 、H 分别是AD 、AC 的中点 ，∴EH ∥CD ，∴∠BDC=∠BPH=70°，∵EG ∥AB ，∴∠EGD=∠ABD=20°，∴∠GEP=∠BPH-∠EGD=50°，∵四边形EGFH 是菱形，∴∠GEF=∠HEF=12∠GEP =25°． 故答案为：25．【点睛】本题考查了中点四边形，菱形的判定和性质，三角形中位线的性质，熟练掌握三角形中位线的判定和性质是解题的关键．26．（1）旋转方向：逆时针旋转，旋转角：90°；（2）5；（3）可以，图见解析，BAE△绕点O顺时针旋转90°得到ADG【分析】（1）根据图形和正方形的性质即可得出结论；（2）根据正方形的性质和旋转的性质可得AD=DC=BC=3，DF=BE=1，从而求出EC和CF，最后利用AEFS=S梯形AECD－S△ADF－S△ECF即可求出结论；（3）根据旋转中心、旋转方向和旋转角的定义即可得出结论．【详解】解：（1）由图易知：由ABE△到ADF的旋转方向为逆时针旋转，∵四边形ABCD为正方形∴∠BAD=90°即旋转角为90°综上：旋转方向：逆时针旋转，旋转角：90°；（2）∵正方形ABCD的边长为3，1BE=∴AD=DC=BC=3，DF=BE=1∴EC=BE＋BC=4，CF=DC－DF=2∴AEFS=S梯形AECD－S△ADF－S△ECF=12DC（AD＋EC）－12AD·DF－12EC·CF=12×3×（3＋4）－12×3×1－12×4×2=10.5 1.54--=5；（3）可以，∵在BAE△和ADG中，点A的对应点是点D，点B的对应点是点A，点E的对称点是点G∴作线段AD的对称轴和线段BA的对称轴交于点O，根据旋转中心的定义，由BAE△到ADG，点O即为旋转中心，由图易知旋转方向为顺时针旋转连接OA、OB，则∠BOA=90°即旋转角为90°综上：BAE△绕点O顺时针旋转90°得到ADG．【点睛】此题考查的是图形的旋转，掌握旋转的性质、旋转中心、旋转方向和旋转角的定义是解题关键．。
苏科版九年级上册数学期中考试试卷含答案
苏科版九年级上册数学期中考试试题一、单选题1．下列方程是一元二次方程的是（）A ．x 3+2x+1＝0B ．x 2+1＝2x+1C ．21x ＝1D ．x 2+y ＝12．用配方法解方程2210x x --=时，配方后所得的方程为（）A ．210x +=（）B ．210x -=（）C ．212x +=（）D ．212x -=（）3．如果一个多边形的每个内角都是144°，那么这个多边形的边数是（）A ．5B ．6C ．10D ．124．如图，在以点O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 与小圆相切，切点为C ，若大圆的半径是13，小圆的半径是5，则AB 的长为（）A ．10B ．12C ．20D ．245．某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，商场采取降价措施，假设一定范围内，衬衫价格每降低1元，商场平均每天可多售出2件．如果销售这批衬衫每天盈利1250元，设衬衫单价降了x 元，根据题意，可列方程（）A ．(40)(202)1250x x -+=B ．(402)(20)1250x x -+=C ．(40)(202)1250x x +-=D ．(402)(20)1250x x +-=6．如图，已知BC 是⊙O 的直径，半径OA ⊥BC ，点D 在劣弧AC 上（不与点A ，点C 重合），BD 与OA 交于点E ．设∠AED ＝α，∠AOD ＝β，则（）A ．3α+β＝180°B ．2α+β＝180°C ．3α﹣β＝90°D ．2α﹣β＝90°7．如图，已知AB 是O 的直径，BC 与O 相切于点B ，连接AC ，OC ，若1sin 3BAC ∠=，则tan BOC ∠等于（）A BC ．23D ．438．如图，AB 是O 的弦，点C 在圆上，已知40OBA ∠=︒，则C ∠等于（）A ．50︒B ．60︒C ．70︒D ．80︒9．下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（）A ．10x x+=B ．235x y -=C ．2320x x -+=D ．13x +=10．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，连接OA ，OC ，若∠AOC ：∠ADC ＝2：3，则∠ABC 的度数为（）A ．30°B ．40°C ．45°D ．50°二、填空题11．若一个正方形的外接圆的半径为4，则这个正方形的边长是______．12．设x 1，x 2是关于x 的方程x 2﹣3x+m ＝0的两个根，且2x 1＝x 2，则m ＝___．13．超市决定招聘一名广告策划人员，某应聘者三项素质测试的成绩如表：测试项目创新能力综合知识语言表达测试成绩/分728096如果将创新能力、综合知识和语言表达三项测试成绩按4：3：1的比例计入总成绩，则该应聘者的总成绩是____分．14．如图，点A ，B ，C 在⊙O 上，∠A ＝50°，∠C ＝10°，则∠B ＝_____°．15．如图，ABC 的顶点A 、B 、C 均在⊙O 上，若90ABC AOC ∠+∠=︒，则AOC ∠=__．16．某市2018年投入教育经费3600万元，预计2020年投入4900万元．设这两年投入教育经费的年平均增长百分率为x ，则可列方程___．17．如图，AB 是⊙O 的直径，弦BC=4cm ，F 是弦BC 的中点，∠ABC=60°．若动点E 以2cm/s 的速度从A 点出发沿着A→B→A 的方向运动，设运动时间为t （s ）（0≤t ＜6），连接EF ，当△BEF 是直角三角形时，t 的值为______．18．如图，点O 是矩形ABCD 的对角线BD 上的一点，O 经过点D ，且与AB 边相切于点E ，若3AB =，4BC =，则该圆半径是__________．三、解答题19．解下列方程：（1）()()5131x x x -=-；（2）22730x x --=．20．已知关于x 的方程x 2+2mx+m 2﹣1＝0（m 为常数）．（1）求证：不论m 为何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程有一个根是﹣2，求2021﹣m 2+4m 的值．21．如图，O 的弦AB CD 、相交于点P ，且AB CD =．求证PB PD =．22．某校开展了一次数学竞赛（竞赛成绩为百分制），并随机抽取了50名学生的竞赛成绩（本次竞赛没有满分），经过整理数据得到以下信息：信息一：50名学生竞赛成绩频数分布直方图如图所示，从左到右依次为第一组到第五组（每组数据含前端点值，不含后端点值）．信息二：第三组的成绩（单位：分）为：767676737275747173747876根据信息解答下列问题：（1）补全第二组频数分布直方图（直接在图中补全）；（2）第三组竞赛成绩的众数是分，抽取的50名学生竞赛成绩的中位数是分；（3）若该校共有2000名学生参赛，请估计该校参赛学生成绩不低于80分的人数．23．如图，PA、PB分别是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，已知∠BAC＝26°，请用两种方法求∠P的度数．24．在一次数学探究活动中，王老师设计了一份活动单：已知线段BC＝2，使用作图工具作∠BAC＝30°，尝试操作后思考：（1）这样的点A唯一吗？（2）点A的位置有什么特征？你有什么感悟？“追梦”学习小组通过操作、观察、讨论后汇报：点A的位置不唯一，它在以BC为弦的圆弧上（点B、C除外），…．小华同学画出了符合要求的一条圆弧（如图1）．（1）小华同学提出了下列问题，请你帮助解决．①该弧所在圆的半径长为；②△ABC面积的最大值为；（2）经过比对发现，小明同学所画的角的顶点不在小华所画的圆弧上，而在如图1所示的弓形内部，我们记为A′，请你利用图1证明∠BA′C ＞30°．（3）请你运用所学知识，结合以上活动经验，解决问题：如图2，在平面直角坐标系的第一象限内有一点B ，坐标为（2，m ），过点B 作AB ⊥y 轴，BC ⊥x 轴，垂足分别为A 、C ，若点P 在线段AB 上滑动（点P 可以与点A 、B 重合），发现使得∠OPC ＝45°的位置有两个，则m 的取值范围为．25．如图，已知△ABC 是⊙O 的内接三角形，AD 是⊙O 的直径，连结BD ，BC 平分∠ABD ．（1）求证：∠CAD=∠ABC ；（2）若AD=6，求 CD的长．26．如图，在Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，以AB 为直径作O ，点D 为O 上一点，且CD CB =，连接DO 并延长交CB 的延长线于点E ．的位置关系，并说明理由；（1）判断直线CD与O（2）若2BE=，4DE=，求圆的半径及AC的长．27．请用无刻度直尺按要求画图，不写画法，保留画图痕迹．（用虚线表示画图过程，实线表示画图结果）（1）如图1，在正方形网格中，有一圆经过了两个小正方形的顶点A，B，请画出这个圆的一条直径；（2）如图2，BA，BD是⊙O中的两条弦，C是BD上一点，∠BAC＝50°，在图中画一个含有50°角的直角三角形．参考答案1．B2．D3．C 4．D 5．A 6．D 7．B 8．A 9．C 10．C 11．【详解】解：如图所示：∵四边形ABCD 是正方形，∴∠B ＝90°，AB ＝BC ，∴AC 是⊙O 的直径，△ABC 是等腰直角三角形，∴AC ＝8，AB ＝BC ＝2AC ＝，故答案为：．12．2【详解】解：∵1x ，2x 是关于x 的方程x 2﹣3x ＋m ＝0的两个根，∴12=-=3b x x a+，12cx x m a == ，又∵21x ＝2x ，∴12=x x +1123x x +=，解得：11x =，∴212=2x x =，∴122m x x == ．故答案为：2．13．78【分析】由创新能力、综合知识和语言表达三项测试成绩按4：3：1的比例计入总成绩，可以列式431728096888⨯+⨯+⨯，即可得到答案．【详解】解：∵创新能力、综合知识和语言表达三项测试成绩按4：3：1的比例计入总成绩∴431728096888⨯+⨯+⨯＝78（分）．则该应聘者的总成绩是78分．故答案为：7814．60【分析】本题首先根据同弧所对的圆心角等于圆周角的二倍求解∠BOC 的度数，继而根据三角形内角和定理求解∠B ．∵B A BOC C ∠+∠=∠+∠，故答案为：60．【点睛】本题考查圆与三角形的综合，解题关键在于对相应概念的理解，其次注意计算仔细即可．15．60︒【分析】根据圆周角定理得到同弧所对的圆周角等于圆心角的一半即可解题．【详解】解： AC AC= 12ABC AOC∴∠=∠90ABC AOC ∠+∠=︒1902AOC AOC ∴∠+∠=︒3902AOC ∴∠=︒60AOC ∴∠=︒，故答案为：60︒．16．23600(1)4900x +=．【详解】根据题意可知2019年的教育经费为：3600(1)x ⨯+，2020年的教育经费为：3600(1)(1)x x ⨯+⨯+，即23600(1)x +．那么可得方程：23600(1)4900x +=．故答案为：23600(1)4900x +=．17．2或72或92．【分析】求出E 移动的路程是0≤s ＜12，求出∠C=90°，求出AB ，分为三种情况：画出图形，根据图形求出移动的距离即可．【详解】解：解：∵0≤t ＜6，动点E 以2cm/s 的速度从A 点出发沿着A→B→A 的方向运动，∴E 运动的距离小于12cm ，设E 运动的距离是scm ，则0≤s ＜12，∵AB 是⊙O 直径，∴∠C=90°，∵F 为BC 中点，BC=4cm ，∴BF=CF=2cm ，∵∠C=90°，∠B=60°，∴∠A=30°，∴AB=2BC=8cm ，分为三种情况：①当∠EFB=90°时，∵∠C=90°，∴∠EFB=∠C ，∴AC ∥EF ，∵FC=BF ，∴AE=BE ，即E 和O 重合，AE=4，t=4÷2=2（s ）；②当∠FEB=90°时，∵∠ABC=60°，∴∠BFE=30°，112BE BF ∴==AE=8-1=7，7722t =÷=（s ）③当到达B 后再返回到E 时，∠FEB=90°，此时移动的距离是8+1=9，9922t =÷=（s ）故答案为1或72或92．【点睛】本题考查了圆周角定理，含30度角的直角三角形性质，平行线分线段成比例定理等知识点的综合运用，注意要进行分类讨论．18．209【分析】连接OE ，根据勾股定理求出BD ，根据切线的性质得到OE ⊥AB ，证明△BEO ∽△BAD ，根据相似三角形的性质列出比例式，代入已知数据计算，得到答案．【详解】解：连接OE ，∵四边形ABCD 为矩形，∴AD=BC=4，∠A=90°，∴，∵AB 是⊙O 的切线，∴OE ⊥AB ，∴∠OEB=90°，∵四边形ABCD 为矩形，∴∠A=90°，∴∠OEB=∠A ，∴OE//AD ，∴△BEO ∽△BAD ，∴OE BO AD BD =，即545OE OD -=，∵OE=OD ，∴545OE OE -=解得，OE=209，故答案为：209．【点睛】本题考查的是切线的性质、矩形的性质、相似三角形的判定和性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．19．（1）x 1=1，x 2=35．（2）1x =2x =【分析】（1）利用因式分解法求解即可；（2）利用公式法求解即可．【详解】解：（1）∵5x （x-1）=3（x-1），∴5x （x-1）-3（x-1）=0∴（x-1）（5x-3）=0，则x-1=0或5x-3=0，解得x 1=1，x 2=35．（1）22730x x --=∵a=2，b=-7，c=-3，∴△=（-7）2-4×2×（-3）=73＞0，则724b x a -==，即174x +=，274x =．【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．20．（1）见解析；（2）2024．【分析】（1）根据0 >，一元二次方程有两个不相等的实数根直接进行求解；（2）将方程的根代入方程中，在进行移项即可求解．【详解】（1）证明：∵b 2﹣4ac ＝（2m ）2﹣4（m 2﹣1）＝4m 2﹣4m 2+4＝4＞0，即Δ＞0，∴不论m 为何值，该方程都有两个不相等的实数根；（2）解：∵方程有一个根是﹣2，∴4﹣4m+m 2﹣1＝0，∴﹣m 2+4m ＝3，∴2021﹣m 2+4m ＝2024．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式的运用，以及一元二次方程的解的定义，熟练掌握一元二次方程根的判别式和一元二次方程的解的概念是解答此题的关键．21．证明见解析；【详解】证明：连接BD ．AB CD=，D B∴∠=∠．PB PD∴=．22．（1）补全频数分布直方图见解析；（2）76，77；（3）该校2000名学生中成绩不低于80分的大约960人．【分析】（1）用抽取的总人数减去第一组、第三组、第四组与第五组的人数即可得第二组的人数，然后再补全频数分布直方图即可；（2）根据众数和中位数的定义求解即可；（3）样本估计总体，样本中不低于80分的占20450+，进而估计1500名学生中不低于80分的人数．【详解】（1）50﹣4﹣12﹣20﹣4＝10（人），补全频数分布直方图如下：（2）第三组数据中出现次数最多的是76分，共出现4次，因此众数是76分，将抽取的50名学生的成绩从小到大排列后，处在中间位置的两个数的平均数为76782+＝77（分），因此中位数是77分，故答案为：76，77；（3）2000×20450+＝960（人），答：该校2000名学生中成绩不低于80分的大约960人．【点睛】本题考查了条形统计图的意义和制作方法，从两个统计图中获取数量及数量之间的关系是解决问题的关键，样本估计总体是统计中常用的方法．23．∠P ＝52°．【分析】方法一：根据切线长定理可得PA ＝PB ，从而得到∠PBA ＝∠PAB ，根据切线的性质可得∠CAP ＝90°，则∠PAB ＝90°﹣26°＝64°，进而得出结果；方法二：：连接OB ，根据四边形内角和定理可得∠P ＝∠BOC ，进而得出答案．【详解】方法一：∵PA 、PB 分别是⊙O 的切线，A 、B 为切点，∴OA ⊥PA ，PA ＝PB ，∴∠CAP ＝90°，∵∠BAC ＝26°，∴∠PAB ＝90°﹣26°＝64°，∴∠PBA ＝∠PAB ＝64°，∴∠P ＝180°﹣64°﹣64°＝52°；方法二：连接OB ，如图，∵PA 、PB 分别是⊙O 的切线，A 、B 为切点，∴OA ⊥PA ，OB ⊥PB ，∴∠OAP ＝∠OBP ＝90°，∴180OAP OBP ∠∠︒+＝,∴∠P+∠AOB ＝180°，∵OA ＝OB ，∴∠OAB ＝∠ABO ＝26°，∴∠BOC ＝∠OAB+∠ABO ＝52°，∵∠P+∠AOB ＝180°，∠BOC+∠AOB ＝180°，∴∠P ＝∠BOC ＝52°．【点睛】本题考查了切线长定理，切线的性质，三角形外角的性质，四边形的内角和问题，等知识点，熟练掌握基础知识是解题的关键．24．（1）①2；（2）见解析；（3）21m ≤<．【分析】（1）①由圆周角定理可得∠BOC ＝60°，可证△OBC 是等边三角形，即可求解；②由题意可得当点A 到BC 的距离最大时，△ABC 的面积最大，即可求解；（2）由同弧所对的圆周角相等可得∠BHC ＝∠BAC ，由三角形的外角的性质可得结论；（3）以BC 为边作等腰直角三角形ODC ，以点O 为圆心，OD 为半径作圆D ，可得当点P 在OC 上方的圆D 上时，∠OPC ＝45°，分别求出点B 在圆D 和线段AB 与圆D 相切时，m 的值，即可求解．【详解】（1）①如图1，设O 为圆心，连接BO ，CO ，∵∠BAC ＝30°，∴∠BOC ＝60°，又∵OB ＝OC ，∴△OBC 是等边三角形，∴OB ＝OC ＝BC ＝2，即半径为2，故答案为2；②∵△ABC 以BC 为底边，BC ＝2，∴当点A 到BC 的距离最大时，△ABC 的面积最大，如图1，过点O 作BC 的垂线，垂足为E ，延长EO ，交圆于D ，∴BE ＝CE ＝1，DO ＝BO ＝2，∴OE =∴DE，∴△ABC 的最大面积为12×2×，；（2）如图1﹣1，延长BA'，交圆于点H ，连接CH ，∵ BC＝ BC ，∴∠BHC ＝∠BAC ，∵∠BA'C ＝∠BHC+∠A'CH ，∴∠BA'C ＞∠BHC ，∴∠BA'C ＞∠BAC ，即∠BA'C ＞30°；（3）如图2，以OC 为边作等腰直角三角形ODC ，以点O 为圆心，OD 为半径作圆D ，∴OD ＝CD ODC ＝90°，∴当点P 在OC 上方的圆D 上时，∠OPC ＝45°，当点A 或点B 在圆D 上时，BC ＝OC ＝2，即m ＝2，当AB 与圆D 相切时，m ＝∴21m ≤<．故答案为：21m ≤<．【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆周角定理，等边三角形的判定和性质，圆的有关知识，确定点P 的运动轨迹是解题的关键．25．（1）证明见解析；（2）32π．【分析】（1）利用角平分线的性质结合圆周角定理即可证明；（2）可证得 CD = AC ，则 CD 的长为圆周长的14．【详解】（1）证明：∵BC 平分∠ABD ，∴∠DBC=∠ABC ，∵∠CAD=∠DBC ，∴∠CAD=∠ABC ；（2）解：∵∠CAD=∠ABC ，∴ CD= AC ，∵AD 是⊙O 的直径，且AD=6，∴ CD的长=14×π×6=32π．【点睛】本题考查了角平分线的性质以及圆周角定理，证得 CD = AC 是解(2)题的关键．26．（1）DC 是O 的切线；理由见解析；（2）圆的半径为1.5，AC 的长为【分析】（1）欲证明CD 是切线，只要证明OD ⊥CD ，利用全等三角形的性质即可证明；（2）设⊙O 的半径为r ．在Rt △OBE 中，根据222OE EB OB =+，可得222(4)2r x -=+，推出r ＝1.5，由tan OB CD E EB DE∠==，推出1.524CD =，可得CD ＝BC ＝3，再利用勾股定理即可解决问题；【详解】（1）证明：连接OC ．CB CD = ，CO CO =，OB OD =，()OCB OCD SSS ≌∴∆∆，90ODC OBC ∴∠=∠=︒，OD DC ∴⊥，DC ∴是O 的切线；（2）解：设O 的半径为r ．在Rt OBE ∆中，222OE EB OB =+ ，222(4)2r x ∴-=+，1.5r ∴=，tan OB CD E EB DE ∠== ，1.524CD ∴=，3CD BC ∴==，在Rt ABC ∆中，AC ===∴圆的半径为1.5，AC 的长为【点睛】本题考查直线与圆的位置关系、圆周角定理、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．27．（1）见解析；（2）见解析．【分析】（1）根据垂径定理可得，AB 的垂直平分线过圆心，连接AB ，利用网格找到相应的格点，作出弦AB 的垂直平分线即可；（2）根据直径所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角相等，即可画出一个含有50°角的直角三角形．【详解】解：（1）如图1，线段EF 即为所求；（2）如图2，Rt △BEF 即为所求．。
苏科版数学九年级上学期《期中考试卷》含答案
苏 科 版 数 学 九 年 级 上 学 期期 中 测 试 卷学校________ 班级________ 姓名________ 成绩________考试时间90分钟 满分100分姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________一、选择题（本大题共8小题,每小题2分,共16分）在每小题所给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．（2019秋•江苏省淮安区期中）下列方程是一元二次方程的是（ ） A ．ax 2+bx +c ＝0 B ．x 2+2x ＝x 2﹣1C ．（x ﹣1）（x ﹣3）＝0D ．x ＝22．（2019秋•江苏省宿豫区期中）小亮同学想知道自己的体重在班级中是否属于中等水平,则需了解全班同学体重的（ ） A ．平均数B ．中位数C ．众数D ．极差3．（2019秋•江苏省宿豫区期中）将一元二次方程2x 2﹣6x +1＝0配方,得（x +h ）2＝k ,则h 、k 的值分别为（ ）A ．3、8B ．﹣3、8C ．32、74D ．−32、744．（2019秋•江苏省宿豫区期中）下列关于三角形的外心说法正确的是（ ） A ．三角形的外心一定在它的外部B ．三角形的外心是它三边垂直平分线的交点C ．三角形的外心到它的三边距离相等D ．三角形的外心与它的内心不可能重合5．（2020春•江苏省滨湖区期中）掷一枚普通的正六面体骰子,出现的点数中,以下结果机会最大的是（ ） A ．点数为3的倍数 B ．点数为奇数 C ．点数不小于3D ．点数不大于36．（2019秋•江苏省建湖县期中）如图,是小飞同学的答卷,他的得分应该是（ ）A．40分B．60分C．80分D．100分7．（2020春•江苏省洪泽区期中）如图,点A、B、C在⊙O上,且∠ACB＝100°,则∠α度数为（）A．160°B．120°C．100°D．80°8．（2019秋•江苏省镇江期中）如图,AB是⊙O的直径,BC是弦,点P是劣弧BĈ（含端点）上任意一点,若AB ＝5,BC＝4,则AP的长不可能是（）A．2B．3C．4D．5二、填空题（本大题共10小题,每小题2分,共20分）请把答案直接填写在横线上9．（2019秋•江苏省宿豫区期中）有一组数据：8,9,7,9,7,8,8,这组数据的众数为．10．（2019秋•江苏省新北区期中）某种商品原价是250元,经两次降价后的价格是160元,则平均每次降价的百分率为．11．（2019秋•江苏省铜山区期中）一个不透明的布袋里共装有9个球（只有颜色不同）,其中3个是红球,6个是白球,从中任意摸出一个球,则摸出的球是红球的概率是．12．（2020•仪征市二模）一个圆锥的母线长为5cm,底面半径为2cm,那么这个圆锥的侧面积为cm2．13．（2019秋•江苏省台安县期中）设a、b是方程x2+x﹣2020＝0的两个不等实根,则a2+2a+b的值是．14．（2018秋•镇江期末）如图,⊙O是△ABC的外接圆,若∠AOB＝100°,则∠ACB的度数是°．15．（2019秋•江苏省淮安区期中）如图,Rt△ABC中,∠ACB＝90°,CD＝5,D是AB的中点,则外接圆的半径r ＝．16．（2019秋•江苏省建湖县期中）如图,P为⊙O外一点,P A、PB分别切⊙O于A、B,CD切⊙O于点E,分别交P A,PB于点C、D,若△PCD的周长为24,⊙O的半径是5,则点P到圆心O的距离．17．（2019秋•江苏省鼓楼区期中）如图,AB是⊙O的内接正方形一边,点C在弧AB上,且AC是⊙O的内接正六边形的一边,若将BC看作是⊙O的内接正n边形的一边,则n的值是．18．（2019秋•江苏省建邺区期中）如图,△ABC为等边三角形,AB＝4,以点A为圆心,半径为1作⊙A．M为BC边上的一动点,过点M作⊙A的一条切线,切点为N,则MN的最小值是．三、解答题（本大题共9小题,共64分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（2019秋•江苏省淮安区期中）解方程（1）x2+16＝8x（2）（2﹣3x）+（3x﹣2）2＝020．（2019秋•江苏省宿豫区期中）甲、乙两人在相同条件下各立定跳远5次,距离如下（单位：cm）：甲：225,230,240,230,225；乙：220,235,225,240,230．（1）计算这两组数据的方差；（2）谁的跳远技术较稳定？为什么？21．（2019•南京）如图是某市连续5天的天气情况．（1）利用方差判断该市这5天的日最高气温波动大还是日最低气温波动大；（2）根据如图提供的信息,请再写出两个不同类型的结论．̂的中点,连接AM,BM．22．（2019秋•江苏省镇江期中）如图,正方形ABCD内接于⊙O,M为CD（1）求证：AM ̂=BM ̂； （2）求AM̂的度数．23．（2018•通州区三模）关于x 的一元二次方程x 2+2x +k ﹣1＝0有两个不相等的实数根． （1）求k 的取值范围；（2）当k 为正整数时,求此时方程的根．24．（2019秋•江苏省新北区期中）已知：在△ABC 中,AB ＝AC ．点A 在以BC 为直径的⊙O 外． （1）请仅用无刻度的直尺画出点O 的位置（保留画图痕迹）； （2）若△ABC 的外接圆的圆心M ,OM ＝4,BC ＝6,求△ABC 的面积．25．（2019秋•江苏省宿豫区期中）如图,在矩形ABCD 中,AB ＝12cm ,BC ＝6cm ,点P 从A 点出发沿AB 以2cm /s 的速度向点B 移动,一直到达点B 为止；同时,点Q 从C 点出发沿CD 以1cm /s 的速度向点D 移动,当点P 停止运动时,点Q 也停止运动．（1）经过多长时间P 、Q 两点之间的距离是6cm ？ （2）经过多长时间P 、Q 两点之间的距离是10cm ？26．（2019秋•江苏省如皋市期中）如图,AB 是⊙O 的切线,切点为B ,OA 交⊙O 于点C ,过点C 的切线交AB 于点D ．若∠BAO ＝30°,CD ＝2．（1）求⊙O的半径；（2）若点P在BmĈ上运动,设点P到直线BC的距离为x,图中阴影部分的面积为y,求y与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围．27．（2019秋•江苏省鼓楼区期中）解题时,最容易想到的方法未必是最简单的,你可以再想一想,尽量优化解法．例题呈现关于x的方程a（x+m）2+b＝0的解是x1＝1,x2＝﹣2（a、m、b均为常数,a≠0）,则方程a（x+m+2）2+b ＝0的解是．解法探讨（1）小明的思路如图所示,请你按照他的思路解决这个问题小明的思路第1步把1,﹣2代入到第1个方程中求出m的值；第2步把m的值代入到第1个方程中求出−ba的值；第3步解第2个方程．（2）小红仔细观察两个方程,她把第二个方程中的“x+2”看做第一个方程中的“x”,则“x+2”的值为,从而更简单地解决了问题．策略应用（3）小明和小红认真思考后认为,利用方程结构的特点,无需计算“根的判别式”就能轻松解決以下问题,请用他们说的方法完成解答．已知方程（a2﹣2b2）x2+（2b2﹣2c2）x+2c2﹣a2＝0有两个相等的实数根,其中常数a、b、c是△ABC三边的长,判断△ABC的形状．答案与解析一、选择题（本大题共8小题,每小题2分,共16分）在每小题所给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．（2019秋•江苏省淮安区期中）下列方程是一元二次方程的是（ ） A ．ax 2+bx +c ＝0 B ．x 2+2x ＝x 2﹣1C ．（x ﹣1）（x ﹣3）＝0D ．x ＝2【分析】直接利用一元二次方程的定义计算得出答案． 【解析】A 、ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）,不合题意；B 、x 2+2x ＝x 2﹣1,整理得：2x +1＝0,故是一元一次方程,不合题意；C 、（x ﹣1）（x ﹣3）＝0,是一元二次方程,符合题意；D 、x ＝2,是一元一次方程,不合题意； 故选：C ．2．（2019秋•江苏省宿豫区期中）小亮同学想知道自己的体重在班级中是否属于中等水平,则需了解全班同学体重的（ ） A ．平均数B ．中位数C ．众数D ．极差【分析】根据中位数的定义进行解答即可．【解析】小亮同学想知道自己的体重在班级中是否属于中等水平,则需了解全班同学体重的中位数； 故选：B ．3．（2019秋•江苏省宿豫区期中）将一元二次方程2x 2﹣6x +1＝0配方,得（x +h ）2＝k ,则h 、k 的值分别为（ ）A ．3、8B ．﹣3、8C ．32、74D ．−32、74【分析】根据配方法解一元二次方程的步骤计算可得． 【解析】∵2x 2﹣6x ＝﹣1, ∴x 2﹣3x =−12,则x 2﹣3x +94=−12+94,即（x −32）2=74, ∴h =−32,k =74, 故选：D ．4．（2019秋•江苏省宿豫区期中）下列关于三角形的外心说法正确的是（ ）A ．三角形的外心一定在它的外部B ．三角形的外心是它三边垂直平分线的交点C ．三角形的外心到它的三边距离相等D ．三角形的外心与它的内心不可能重合【分析】分别根据三角形外心内心逐项判断即可．【解析】A ．三角形的外心还可以在三角形的边上或三角形的内部,故错误； B ．三角形的外心是它三边垂直平分线的交点,正确；C ．根据三角形的外心到三个顶点的距离相等,故此选项错误；D ．只有等边三角形的外心与内心重合,故错误． 故选：B ．5．（2020春•江苏省滨湖区期中）掷一枚普通的正六面体骰子,出现的点数中,以下结果机会最大的是（ ） A ．点数为3的倍数 B ．点数为奇数 C ．点数不小于3D ．点数不大于3【分析】根据概率公式分别计算出点数为3的倍数、奇数、不小于3、不大于3的概率,从而得出答案． 【解析】掷一枚普通的正六面体骰子,出现的点数中,点数为3的倍数的概率为26=13,点数为奇数的概率为36=12,点数不小于3的概率为46=23,点数不大于3的概率为36=12,故选：C ．6．（2019秋•江苏省建湖县期中）如图,是小飞同学的答卷,他的得分应该是（ ）A ．40分B ．60分C ．80分D ．100分【分析】根据垂径定理、圆心角、弧、弦的关系、等弧的定义以及三角形外心的性质解答即可． 【解析】①在同圆或等圆中相等圆心角所对的弧相等,所以小飞答对； ②平分弦（不能是直径）的直径垂直于这条弦,才是正确的,所以小飞答错；③能够完全重合的弧才是等弧,才是正确的,所以小飞答错；④半圆是弧,但弧不一定是半圆,才是正确的,所以小飞答错；⑤三角形的外心是各边垂直平分线的交点,它到三角形各顶点的距离相等,所以小飞答对．由以上分析可知小飞共答对2道题,所以得分为40分．故选：A．7．（2020春•江苏省洪泽区期中）如图,点A、B、C在⊙O上,且∠ACB＝100°,则∠α度数为（）A．160°B．120°C．100°D．80°【分析】在优弧AB上任取一点D,连接AD,BD,先由圆内接四边形的性质求出∠ADB的度数,再由圆周角定理求出∠AOB的度数即可．【解析】优弧AB上任取一点D,连接AD,BD,．∵四边形ACBD内接与⊙O,∠C＝100°,∴∠ADB＝180°﹣∠C＝180°﹣100°＝80°,∴∠AOB＝2∠ADB＝2×80°＝160°．故选：A．8．（2019秋•江苏省镇江期中）如图,AB是⊙O的直径,BC是弦,点P是劣弧BĈ（含端点）上任意一点,若AB ＝5,BC＝4,则AP的长不可能是（）A．2B．3C．4D．5【分析】连接AC,如图,利用圆周角定理得到∠ACB＝90°,利用勾股定理得到AC＝3,则3≤AP≤5,然后对各选项进行判断．【解析】连接AC,如图,∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB＝90°,∴AC=√AB2−BC2=√52−42=3,̂（含端点）上任意一点,∵点P是劣弧BC∴AC≤AP≤AB,即3≤AP≤5．故选：A．二、填空题（本大题共10小题,每小题2分,共20分）请把答案直接填写在横线上9．（2019秋•江苏省宿豫区期中）有一组数据：8,9,7,9,7,8,8,这组数据的众数为8．【分析】根据众数的定义直接解答即可．【解析】∵8出现了3次,出现的次数最多,∴这组数据的众数为8；故答案为：8．10．（2019秋•江苏省新北区期中）某种商品原价是250元,经两次降价后的价格是160元,则平均每次降价的百分率为20%．【分析】由相应的等量关系为：原价×（1﹣降低的百分率）2＝第二次降价后的价格,把相关数值代入即可．【解析】设平均每次降价的百分率为x,由题意得：250（1﹣x）2＝160,解得：x1＝0.2,x2＝1.8（不合题意,舍去）．故答案为：20%．11．（2019秋•江苏省铜山区期中）一个不透明的布袋里共装有9个球（只有颜色不同）,其中3个是红球,6个是白球,从中任意摸出一个球,则摸出的球是红球的概率是 13 ．【分析】用红球的个数除以总球的个数即可得出摸出的球是红球的概率．【解析】∵不透明的布袋里共装有9个球（只有颜色不同）,其中3个是红球,6个是白球,∴摸出的球是红球的概率是39=13； 故答案为：13． 12．（2020•仪征市二模）一个圆锥的母线长为5cm ,底面半径为2cm ,那么这个圆锥的侧面积为 10π cm 2．【分析】根据圆锥的侧面展开图为扇形,先计算出圆锥的底面圆的周长,然后利用扇形的面积公式求解．【解析】∵圆锥的底面半径为2cm ,∴圆锥的底面圆的周长＝2π•2＝4π,∴圆锥的侧面积=12•4π•5＝10π（cm 2）．故答案为：10π．13．（2019秋•江苏省台安县期中）设a 、b 是方程x 2+x ﹣2020＝0的两个不等实根,则a 2+2a +b 的值是 2019 ．【分析】利用一元二次方程的解及根与系数的关系可得出a 2+a ＝2020,a +b ＝﹣1,再将其代入a 2+2a +b ＝（a 2+a ）+（a +b ）中即可求出结论．【解析】∵a 、b 是方程x 2+x ﹣2020＝0的两个不等实根,∴a 2+a ﹣2020＝0,a +b ＝﹣1,∴a 2+a ＝2020,∴a 2+2a +b ＝（a 2+a ）+（a +b ）＝2020﹣1＝2019．故答案为：2019．14．（2018秋•镇江期末）如图,⊙O 是△ABC 的外接圆,若∠AOB ＝100°,则∠ACB 的度数是 50 °．【分析】根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半即可知∠ACB =12∠AOB ,从而可求解．【解析】根据圆周角定理,可知∠ACB=12∠AOB而∠AOB＝100°,∴∠ACB＝50°故答案为50．15．（2019秋•江苏省淮安区期中）如图,Rt△ABC中,∠ACB＝90°,CD＝5,D是AB的中点,则外接圆的半径r ＝5．【分析】本题首先利用直角三角形斜边中线等于斜边的一半的性质求出斜边AB的长,再利用直角三角形外心的位置特征得到斜边AB的长即为外接圆直径的长,从而求出r．【解析】在Rt△ABC中,∠ACB＝90°,CD＝5,D是AB的中点,∴AB＝2CD＝10,∵直角三角形的外心在斜边中点,∴斜边AB即是△ABC外接圆的直径,∴△ABC外接圆的直径＝10．∴r＝5,故答案为：5．16．（2019秋•江苏省建湖县期中）如图,P为⊙O外一点,P A、PB分别切⊙O于A、B,CD切⊙O于点E,分别交P A,PB于点C、D,若△PCD的周长为24,⊙O的半径是5,则点P到圆心O的距离13．【分析】根据切线长定理和勾股定理即可得到结论．【解析】∵P A、PB切⊙O于A、B,∴P A＝PB；同理,可得：EC＝CA,DE＝DB；∵△PCD的周长为24,∴P A+PB＝24,∴P A＝PB＝12,连接OA,OP,∴∠OAP＝90°,∴OP=√PA2+OA2=√122+52=13,故答案为：13．17．（2019秋•江苏省鼓楼区期中）如图,AB是⊙O的内接正方形一边,点C在弧AB上,且AC是⊙O的内接正六边形的一边,若将BC看作是⊙O的内接正n边形的一边,则n的值是12．【分析】根据中心角的度数＝360°÷边数,列式计算分别求出∠AOB,∠BOC的度数,则∠AOC＝30°,则边数n＝360°÷中心角．【解析】连接OC,∵AB是⊙O内接正方形的一边,∴∠AOB＝360°÷4＝90°,∵BC是⊙O内接正六边形的一边,∴∠BOC＝360°÷6＝60°,∴∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝90°﹣60°＝30°,∴n＝360°÷30°＝12；故答案为：12；18．（2019秋•江苏省建邺区期中）如图,△ABC为等边三角形,AB＝4,以点A为圆心,半径为1作⊙A．M为BC边上的一动点,过点M作⊙A的一条切线,切点为N,则MN的最小值是√11．【分析】作AD⊥BC于D,过D作⊙A的一条切线,切点为E,连接AE,由等边三角形的性质和勾股定理得出AD=√AB2−BD2=2√3,由切线的性质得出AE⊥DE,由勾股定理求出DE=√AD2−AE2=√11,当点M与D重合时,N与E重合,此时MN最小=√11．【解析】作AD⊥BC于D,过D作⊙A的一条切线,切点为E,连接AE,如图所示：∵△ABC是等边三角形,AD⊥BC,∴BC＝AB＝4,BD＝CD=12BC＝2,∴AD=√AB2−BD2=√42−22=2√3,∵DE是⊙A的一条切线,∴AE⊥DE,AE＝1,∴DE=√AD2−AE2=√(2√3)2−12=√11,当点M与D重合时,N与E重合,此时MN最小=√11,故答案为：√11．三、解答题（本大题共9小题,共64分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（2019秋•江苏省淮安区期中）解方程（1）x 2+16＝8x（2）（2﹣3x ）+（3x ﹣2）2＝0【分析】（1）先把方程化为一般式,然后利用因式分解法解方程；（2）利用因式分解法解方程．【解析】（1）x 2﹣8x +16＝0,（x ﹣4）2＝0,所以x 1＝x 2＝4；（2）（3x ﹣2）（﹣1+3x ﹣2）＝0,3x ﹣2＝0或﹣1+3x ﹣2＝0,所以x 1=23,x 2＝1．20．（2019秋•江苏省宿豫区期中）甲、乙两人在相同条件下各立定跳远5次,距离如下（单位：cm ）： 甲：225,230,240,230,225；乙：220,235,225,240,230．（1）计算这两组数据的方差；（2）谁的跳远技术较稳定？为什么？【分析】（1）根据平均数的计算公式先求出甲和乙的平均数,再代入方差公式S 2=1n [（x 1−x ）2+（x 2−x ）2+…+（x n −x ）2],进行计算即可得出答案；（2）根据方差的意义,方差越小数据越稳定,即可得出答案．【解析】（1）甲的平均数是：15（225+230+240+230+225）＝230（cm ）, 乙的平均数是：15（220+235+225+240+230）＝230（cm ）, 甲的方差是：15[（225﹣230）2+（230﹣230）2+（240﹣230）2+（230﹣230）2+（225﹣230）2]＝30（cm 2）,乙的方差是：15[（220﹣230）2+（235﹣230）2+（225﹣230）2+（240﹣230）2+（230﹣230）2]＝50（cm 2）；（2）由（1）知,S 甲2＜S 乙2,∴甲的跳远技术较稳定．21．（2019•南京）如图是某市连续5天的天气情况．（1）利用方差判断该市这5天的日最高气温波动大还是日最低气温波动大；（2）根据如图提供的信息,请再写出两个不同类型的结论．【分析】（1）方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数,叫做这组数据的方差；（2）用“先平均,再求差,然后平方,最后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的情况,这个结果叫方差,通常用s 2来表示,计算公式是：s 2=1n [（x 1−x ）2+（x 2−x ）2+…+（x n −x ）2]（可简单记忆为“方差等于差方的平均数”）．【解析】（1）这5天的日最高气温和日最低气温的平均数分别是 x 高=23+25+23+25+245=24,x 低=21+22+15+15+175=18, 方差分别是S 高2=(23−24)2+(25−24)2+(23−24)2+(25−24)2+(24−24)25=0.8, S 低2=(21−18)2+(22−18)2+(15−18)2+(15−18)2+(17−18)25=8.8, ∴S 高2＜S 低2,∴该市这5天的日最低气温波动大；（2）25日、26日、27日的天气依次为大雨、中雨、晴,空气质量依次良、优、优,说明下雨后空气质量改善了．22．（2019秋•江苏省镇江期中）如图,正方形ABCD 内接于⊙O ,M 为CD̂的中点,连接AM ,BM ． （1）求证：AM̂=BM ̂； （2）求AM̂的度数．【分析】（1）根据正方形的性质得到AD ＝BC ,求得AD̂=BC ̂,由M 为CD ̂的中点,得到DM ̂=CM ̂,于是得到结论；（2）连接OM ,OA ,OB ,求得∠AOB ＝90°,求得∠AOM ＝∠BOM =12（360°﹣90°）＝135°,即可得到结论．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD 是正方形,∴AD ＝BC ,∴AD̂=BC ̂, ∵M 为CD̂的中点, ∴DM̂=CM ̂, ∴AD̂+DM ̂=BC ̂+CM ̂, ∴AM̂=BM ̂； （2）解：连接OM ,OA ,OB ,∵正方形ABCD 内接于⊙O ,∴∠AOB ＝90°,∴∠AOM ＝∠BOM =12（360°﹣90°）＝135°,∴AM ̂的度数时135°．23．（2018•通州区三模）关于x 的一元二次方程x 2+2x +k ﹣1＝0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）当k为正整数时,求此时方程的根．【分析】（1）由方程根的情况,根据根的判别式可得到关于k的不等式,则可求得k的取值范围；（2）由k的取值范围可求得k的正整数值,代入方程求解即可．【解析】（1）∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根,∴△＞0,即22﹣4（k﹣1）＞0,∴k＜2；（2）∵k为正整数,∴k＝1,此时方程为x2+2x＝0,解得x1＝0,x2＝﹣2．24．（2019秋•江苏省新北区期中）已知：在△ABC中,AB＝AC．点A在以BC为直径的⊙O外．（1）请仅用无刻度的直尺画出点O的位置（保留画图痕迹）；（2）若△ABC的外接圆的圆心M,OM＝4,BC＝6,求△ABC的面积．【分析】（1）连接CE,BF交于点K,作直线AK交BC于点O,点O即为所求．（2）利用勾股定理求出CM,即可解决问题．【解析】（1）如图,点O即为所求．（2）∵点M是△ABC的外心,∴AM ＝MC ,由题意在Rt △OMC 中,∵∠MOC ＝90°,OM ＝4,OC ＝3,∴CM =√OM 2+OC 2=√42+32=5,∴OA ＝AM +OM ＝5+4＝9,∴S △ABC =12•BC •AO =12×9×6＝27． 25．（2019秋•江苏省宿豫区期中）如图,在矩形ABCD 中,AB ＝12cm ,BC ＝6cm ,点P 从A 点出发沿AB 以2cm /s 的速度向点B 移动,一直到达点B 为止；同时,点Q 从C 点出发沿CD 以1cm /s 的速度向点D 移动,当点P 停止运动时,点Q 也停止运动．（1）经过多长时间P 、Q 两点之间的距离是6cm ？（2）经过多长时间P 、Q 两点之间的距离是10cm ？【分析】过点Q 作QE ⊥AB 于点E ,设运动时间为xs ,则PE ＝（12﹣3x ）cm ,QE ＝6cm ．（1）根据勾股定理结合PQ ＝6cm ,即可得出关于x 的一元二次方程,解之即可得出结论；（2）根据勾股定理结合PQ ＝10cm ,即可得出关于x 的一元二次方程,解之取其较小值即可得出结论．【解析】过点Q 作QE ⊥AB 于点E ,如图所示．设运动时间为xs ,则PE ＝（12﹣3x ）cm ,QE ＝6cm ．（1）依题意,得：（12﹣3x ）2+62＝62,解得：x 1＝x 2＝4．答：经过4s 后P 、Q 两点之间的距离是6cm ．（2）由题意,得 （12﹣3x ）2+62＝102,解得：x 1=43,x 2=203．∵CQ ＝2x ≤12,∴x ≤6,∴x =43．答：经过43s 后P 、Q 两点之间的距离是10cm ．26．（2019秋•江苏省如皋市期中）如图,AB是⊙O的切线,切点为B,OA交⊙O于点C,过点C的切线交AB 于点D．若∠BAO＝30°,CD＝2．（1）求⊙O的半径；（2）若点P在BmĈ上运动,设点P到直线BC的距离为x,图中阴影部分的面积为y,求y与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围．【分析】（1）连结OB,根据切线长定理和切线的性质得到DB＝DC＝2,∠ABO＝∠ACD＝90°,则AD＝2BD＝4,AB＝AD+BD＝6,在Rt△AOB中,根据含30度的直角三角形三边的关系可计算出OB=√33AB＝2√3；（2）根据扇形面积公式S=nπr2360求出扇形AOB的面积,得到答案．【解析】（1）连结OB,如图,∵AB、CD是⊙O的切线,∴DB＝DC＝2,OB⊥AB,CD⊥OA,∴∠ABO＝∠ACD＝90°,∵∠BAO＝30°,∴AD＝2CD＝2BD,∴AD ＝4,AB ＝AD +BD ＝6,∴OB =√33AB ＝2√3,即⊙O 的半径为2√3；（2）∵∠BAO ＝30°,∴∠BOC ＝60°,∵点P 到直线BC 的距离为x ,∴△PBC 的面积为12×2√3×x =√3x , 弓形BC 的面积＝扇形COB 的面积﹣△COB 的面积=60×π×(2√3)2360−12×2√3×3 ＝2π−3√3,∴y =√3x +2π−3√3,当点P 到BC 的垂线经过圆心O 时,其值最大,即2√3+3,∴自变量x 的取值范围是0≤x ≤2√3+3．27．（2019秋•江苏省鼓楼区期中）解题时,最容易想到的方法未必是最简单的,你可以再想一想,尽量优化解法．例题呈现关于x 的方程a （x +m ）2+b ＝0的解是x 1＝1,x 2＝﹣2（a 、m 、b 均为常数,a ≠0）,则方程a （x +m +2）2+b ＝0的解是 x 1＝﹣1,x 2＝﹣4 ．解法探讨（1）小明的思路如图所示,请你按照他的思路解决这个问题小明的思路第1步把1,﹣2代入到第1个方程中求出m 的值；第2步把m 的值代入到第1个方程中求出−b a 的值；第3步解第2个方程．（2）小红仔细观察两个方程,她把第二个方程中的“x +2”看做第一个方程中的“x ”,则“x +2”的值为 1或﹣2 ,从而更简单地解决了问题．策略应用（3）小明和小红认真思考后认为,利用方程结构的特点,无需计算“根的判别式”就能轻松解決以下问题,请用他们说的方法完成解答．已知方程（a 2﹣2b 2）x 2+（2b 2﹣2c 2）x +2c 2﹣a 2＝0有两个相等的实数根,其中常数a 、b 、c 是△ABC 三边的长,判断△ABC 的形状．【分析】（1）把x 1＝1,x 2＝﹣2分别代入原方程求得m =12,于是得到原方程为：a （x +12）+b ＝0,求得−b a =94,将m =12和−b a =94代入第2个方程得于是得到结论；（2）把第二个方程中的“x +2”看做第一个方程中的“x ”,即可得到结论；（3）根据原方程的结构特点得到x ＝1,即原方程可化成m （x ﹣1）2＝0的形式,根据二次项系数和常数项相等于是得到结论．【解析】（1）把x 1＝1,x 2＝﹣2分别代入原方程得,{a(1+m)2+b =0a(−2+m)2+b =0, 解得：m =12,∴原方程为：a （x +12）+b ＝0,∴−b a =94,将m =12和−b a =94代入第2个方程得,（x +52）2=94,解得：x 1＝﹣1,x 2＝﹣4；故答案为：x 1＝﹣1,x 2＝﹣4；（2）把第二个方程中的“x +2”看做第一个方程中的“x ”,则x +2”的值为1或﹣2；故答案为：1或﹣2；（3）∵（a 2﹣2b 2）x 2+（2b 2﹣2c 2）x +2c 2﹣a 2＝0有两个相等的实数根,∴观察原方程可得x ＝1,即原方程可化成m （x ﹣1）2＝0的形式,由方程的结构特点可得,展开得：mx 2﹣2mx +m ＝0,∴二次项系数和常数项相等,即a 2﹣2b 2＝2c 2﹣a 2,∴a 2＝b 2+c 2,∴△ABC 是直角三角形,且∠A ＝90°．。
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B'
C'
C B 垞城矿校九年级（上）数学期中测试三
姓名 得分 （总分119分，卷面分1分） 一、选择题 (每小题2分,共20分)
13是同类二次根式的是：
( )
24
12
32
182、下列计算正确的是：
( )
A. 233+=
B.
2712
13
= C. (25)(25)3+=- D. 2(23)12=
3、杜丽为了备战2008年奥运会，刻苦进行10轮次50米手枪射击训练，为判断她的成绩是否稳定，教练对她10轮次训练的成绩进行统计分析，则教练需了解杜丽这10轮次成绩的 （ ） A ．众数 B ．方差 C ．平均数 D ．频数
4、一元二次方程x 2
+2ax+1=0的一根为1，则a 的值为： ( )
A. 1或0
B. 1
C. 0
D. -1
5、 我校九年级期中考试后，1、2两班的数学成绩（单位：分）的统计情况如下表所示：
班级
考试人数
平均分
中位数
众数
方
差
1 38 88 76
81 108
2
38
85
72
80
112 从成绩的波动情况来看，你认为________班学生的成绩的波动更大；从各统计指标（平均分、中位数、众数、方差）综合来看，你认为______班的成绩较好。
A. 1、1
B. 1、2
C.2、2
D. 2、1
6、等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则底角的度数为 ( )
A. 60°
B. 120°
C. 60°或120°
D. 60°或30° 7、下列判定四边形为平行四边形的方法中，错误的是： ( )
A. 两组对边分别相等
B. 两组对角分别相等
C. 一组对边平行，且一组对角相等
D. 一组对边平行另一组对边相等
8、一个直角三角形斜边上的中线为5，斜边上的高为4，则此三角形的面积为： ( )
A. 25
B. 16
C. 20
D. 10
9、在下列图形中，沿着虚线将长方形剪成两部分，那么由这两部分既能拼成三角形，又能拼成平行四边形和梯形的可能是： ( )
10、如图，边长为1的正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转30°，得到正方形A ’B ’C ’D ’，图中阴影部分的面积为：
A. 1
2
B. 33
3
3二、填空题 (每题3分，共18分)
11、写一个根为2和3的一元二次方程： 。
12、 若。
13、 某校高一新生参加军训，一学生进行五次实弹射击的成绩(单位：环)如下：8，6，10，7，9. 则该学生这五次射击成绩的标准差是____________.
14、在一次聚会中，每两个参加聚会的人都相互握了一次手，一共握了45次手，则参加这次聚会的人 是 人。
15、在四边形ABCD 中，已知AB ∥CD ，请补充一个条件： ，使得四边形ABCD 是平行四边形。
三、解答题：（17-20题每题7分；21、22每题8分；23、24题A 类6分，B 类8分） 17、8＋(－1)3－2×22
18、)2()2(32
-=-x x x
19、 ）（222
24244y x y
x y xy x -÷++- 其中x=1，y=1 20、已知：如图，OA 平分∠BAC ，且AB=AC
求证：∠1=∠2
21、国庆长假期间，徐州彭城旅行社为吸引市民组团去安徽黄山风景区旅游，推出了如下收费标准：
垞城煤矿工会组织今年的劳模旅游，共支付给彭城旅行社旅游费用27000元，请问我矿这次共有多
21O C B
A
少劳模去黄山旅游？
22、甲、乙两人在相同的条件下各射靶10次，每次命中的环数如下：
甲：9，7，8，9，7，6，10，10，6，8； 乙：7，8，8，9，7，8，9，8，10，6 （1）分别计算甲、乙两组数据，说出两人的成绩平均数、中位数、众数和方差； （2）根据计算结果比较两人的射击水平。
23、（A 类）解不等式组，并在数轴上表示解集来：⎪⎩⎪
⎨⎧>-+<+02)8(2
1042x x
（B 类）解分式方程：2
2(2)3(2)
20x x x x
++-+=． 我做 题：
24题（B 类图）
24、(A 类) 已知一次函数的图象经过点（2，1）和（-1，-3）;
（1） 求此一次函数表达式；
（2） 求此一次函数与x 轴、y 轴的交点坐标；
（3） 求此一次函数的图象与两坐标轴所围成的三角形的面积。
（B 类）如图所示,∆ABC 中,∠B=90°,点P 从A 点开始沿AB 边向点B 以1㎝/s 的速度移动,点Q 从B 点开始沿BC 边向点C 以2㎝/s 的速度移动.
(1)如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发，经几秒钟，使∆PBQ 的面积等于82
cm ？
(2)如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发，并且P 到B 点后又继续在BC 边上前进，Q 到C 点后又继续在CA 边上前进，经几秒钟，使∆PCQ 的面积等于12.62
cm 我做 题：
25、已知：如图，在△ABC 中，AB =AC ，AD △BC ， （9分） 垂足为点D ，AN 是△ABC 外角△CAM 的平分线，CE △AN ，垂足为点E ， （1）求证：四边形ADCE 为矩形；
（2）当△ABC 满足什么条件时，四边形ADCE 是一个正方形？并给出证明．
A
B C
D
M
N
E
A
B
C Q
P 6㎝ 8㎝
四、综合题（A类、B类题选做一个，A类题10分，B类题12分）
（A类）、如图所示，在平面直角坐标中，四边形OABC是等腰梯形，BC∥OA，OA=7，AB=4，∠ COA=60°，点P为x轴上的—个动点，点P不与点0、点A重合．连结CP，过点P作PD交AB于点D．（1）求点B的坐标；（3分）
（2）当点P运动什么位置时，△OCP为等腰三角形，求这时点P的坐标；（3分）
（3）当点P运动什么位置时，使得∠C
PD=∠OAB，且
5
8
BD
AB
=，求这时点P的坐标. （4分）
（B类）、问题背景某课外学习小组在一次学习研讨中，得到了如下两个命题：
①如图1，在正三角形ABC中，M，N分别是AC、AB上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON=60°．则BM=CN；
②如图2，在正方形ABCD中，M、N分别是CD、AD上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON=90°，则BM=CN.
然后运用类似的思想提出了如下命题：
③如图3，在正五边形ABCDE中，M、N分别是CD，DE上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON=108°，则BM=CN.
任务要求
(1) 请你从①，②，③三个命题中选择一个进行证明(说明：选①做对的得3分，选②做对的得2分，选③做对的得4分) ；
(2) 请你继续完成下面的探索：
①请在图3中过点D画出一条与CN相等的线段DH，使点H在正五边形的边上，且与CN相交所成的一个角是1080，这样的线段有几条？条。
（不必写出画法和证明）（2分）②如图4，在正五边形ABCDE中，M、N分别是DE，AE上的点，BM与CN相交于点O，∠BON=108°时，试问结论BM=CN是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由. （4分）
③如图5，在正n (n≥3) 边形ABCDEF⋅⋅⋅中，M、N分别是CD、DE上的点，BM与CN相交于点O，试问当∠BON等于多少度时，结论BM=CN成立? (直接写结论，不要求证明)（2分）
我选
证明：
图1图2图3图4图5。