复变函数总结

第一章 复数

1 2i =-1 1-=i 欧拉公式 z=x+iy

实部Re z 虚部 Im z

2运算 ①

2121Re Re z z z z =⇔≡ 21Im Im z z =

②()()()()()2121212121Im Im Re Re Im Re z z z z z z z z z z ++±=±+±=±

③

()()()()

122121212112212122112

1y x y x i y y x x y y y ix y ix x x iy x iy x z z ++-=-++=++=⋅

④

()()()()2

2

222

1212222212122222211222121y x y x x y i y x y y x x iy x iy x iy x iy x z z z z z z +-+++=-+-+== ⑤iy x z -= 共轭复数

()()

22y x iy x iy x z z +=-+=⋅ 共轭技巧

运算律 P1页

3代数，几何表示

iy x z += z 与平面点()y x ,一一对应，与向量一一对应

辐角 当z ≠0时，向量z 和x 轴正向之间的夹角θ，记作θ=Arg z=πθk 20+ k=±1±2±3… 把位于-π＜0θ≤π的0θ叫做Arg z 辐角主值 记作0θ=0arg z

4如何寻找arg z

例：z=1-i 4

π

-

z=i 2π z=1+i 4

π

z=-1 π

5 极坐标： θcos r x =，

θsin r y = ()θθsin cos i r iy x z +=+=

利用欧拉公式 θθθ

sin cos i e

i +=

可得到 θ

i re z =

()21212121212121θθθθθθ+=⋅=⋅=⋅i i i i i e r r e e r r e r e r z z

6 高次幂及n 次方

()θθθn i n r e r z z z z z n in n n sin cos +==⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=

凡是满足方程z n

=ω的ω值称为z 的n 次方根，记作 n z =ω

()

n

k i re

z ωπθ==+2 即n

r ω= n

r 1=ω

ϕπθn k =+2

n

k π

θϕ2+=

第二章解析函数

1极限 2函数极限

① 复变函数

对于任一D Z ∈都有E ∈W 与其对应()z f =ω 注：与实际情况相比，定义域，值域变化 例 ()z z f =

②()A =→z f z z 0

lim 0z z → 称()z f 当0z z →时以A 为极限

☆ 当()0z f =A 时，连续 例1

证明()z z f =在每一点都连续

证：()()0000→-=-=-z z z z z f z f 0z z → 所以()z z f =在每一点都连续

3导数

()()()()0

000lim

z z z z z z df z z z f z f z f =→=--=' 例2 ()C z f = 时有 ()0'

=C 证：对z ∀有()()0lim lim

00

=∆-=∆-∆+→∆→∆z C C z

z f z z f z z 所以()0'

=C 例3证明()z z f =不可导

解：令0z z -=ω

()()iy

x iy

x z z z z z z z z z z z f z f +-=

=--=--=--ωω000000 当0→ω时，不存在，所以不可导。

定理：()()()y x iv y x u z f ,,+=在iy x z +=处可导⇔u ，v 在()y x ,处可微，且满足C-R 条件

y v x u ∂∂=∂∂ x v y u ∂∂-=∂∂ 且()x

v

i x u z f ∂∂+∂∂=' 例4证明()z z f =不可导

解：()iy x z z f -== 其中()x y x u =, ()y y x v -=, u,v 关于x,y 可微

11-=∂∂≠=∂∂y

v x u 不满足C-R 条件 所以在每一点都不可导 例5 ()z z f Re =

解：()x z z f ==Re ()x y x u =, ()0,=y x v

01=∂∂≠=∂∂y

v x u 不满足C-R 条件 所以在每一点都不可导 例6： ()2

z z f =

解：()222

y x z

z f +== 其中()22,y x y x u += ()0,=y x v

根据C-R 条件可得02,02==y x 0,0==⇒y x 所以该函数在0=z 处可导

4解析

若()z f 在0z 的一个邻域内都可导，此时称()z f 在0z 处解析。 用C-R 条件必须明确u,v

四则运算()g f g f '±'='± ()()()()()z g g f z g f '⋅'='

()f k kf '='

()1

-='n n

nz

z

()g f g f g f '⋅+⋅'='

⋅ ☆()z

z

e

e ='

2g g f g f g f '

⋅-⋅'=⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛