多元函数的一阶偏导数练习3
多元函数极值问题解决
多元函数极值问题解决在数学中，多元函数是指依赖多个自变量的函数。
研究多元函数的极值问题是数学中重要的一个方向，通过极值问题解决可以了解函数的最大值和最小值，对于优化问题等具有重要意义。
本文将介绍解决多元函数极值问题的基本方法和技巧。
1. 多元函数极值问题概述多元函数的极值包括两种情况：最大值和最小值。
要找到多元函数的极值，需要通过计算导数或二阶导数来确定。
对于多元函数f(x,y)，要找到其极值，可以通过求解以下方程组来解决：$$ \\frac{\\partial f}{\\partial x} = 0, \\quad \\frac{\\partial f}{\\partial y} = 0 $$其中 $\\frac{\\partial f}{\\partial x}$ 和 $\\frac{\\partial f}{\\partial y}$ 分别表示f(x,y)对x和y的偏导数。
2. 求解多元函数极值的步骤步骤1：计算一阶偏导数首先，对多元函数f(x,y)分别对x和y求一阶偏导数，得到 $\\frac{\\partial f}{\\partial x}$ 和 $\\frac{\\partial f}{\\partial y}$。
步骤2：解方程组然后，解方程组 $\\frac{\\partial f}{\\partial x} = 0, \\quad \\frac{\\partial f}{\\partial y} = 0$，求解出使得导数为零的x和y的值。
步骤3：判别极值类型最后，通过计算二阶导数或利用二次型判断方法，判断得到的极值是极小值、极大值还是鞍点。
3. 多元函数极值问题例题下面通过一个例题来说明如何解决多元函数极值问题：例题：求函数f(x,y)=x2+2y2−2xy−2y的极值。
解：1.求解一阶偏导数：$$ \\frac{\\partial f}{\\partial x} = 2x - 2y, \\quad \\frac{\\partial f}{\\partial y} = 4y - 2x - 2 $$2.解方程组：令 $\\frac{\\partial f}{\\partial x} = 0, \\quad \\frac{\\partial f}{\\partial y} =0$，得到：$$ \\begin{cases} 2x - 2y = 0 \\\\ 4y - 2x - 2 = 0 \\end{cases} $$求解得到x=1,y=1。
多元函数微分习题
测 验 题
3、 x→0 3、lim( x + y )
2 2 y →0
x2 y2
=(
).
(A)0 (B)1 (C)2 (A)0；(B)1； (C)2； (D)e . 4、 处连续, 4、 函数 f ( x , y ) 在点( x0 , y0 ) 处连续,且两个偏导 数 f x ( x0 , y0 ), f y ( x0 , y0 )存在是 f ( x , y ) 在该点可微 的( ). 充分条件 但不是必要条件； 条件, （A）充分条件,但不是必要条件； （B）必要条件,但不是充分条件； 必要条件,但不是充分条件； 充分必要条件； （C）充分必要条件； 既不是充分条件,也不是必要条件. （D）既不是充分条件,也不是必要条件.
6、设 z = f ( x , v ), v = v ( x , y )其中 f , v 具有二阶 2 ∂ z 连续偏导数 导数. 连续偏导数.则 2 = ( ). ∂y 2 2 2 ∂ f ∂v ∂f ∂ v ∂f ∂ v ⋅ + ⋅ 2 ； (B) ⋅ 2 ； (A) ∂v∂y ∂y ∂v ∂y ∂v ∂y 2 2 2 2 ∂ f ∂v 2 ∂f ∂ v ∂ f ∂v ∂f ∂ v (C) 2 ( ) + ⋅ 2 ； (D) 2 ⋅ + ⋅ 2 . ∂v ∂y ∂v ∂y ∂v ∂y ∂v ∂y
2 2 2
极值
填空题: 一、 填空题: 2 2 1、 函数 f ( x, y) = (6x − x )(4 y − y ) 在 ___ 点取得极______值为________. ______值为 点取得极______值为________. 2、 函数 z = xy 在附加条件 x + y = 1下 的极_____值为_________. _____值为 的极_____值为_________. 2 2 2 3、 方 程 x + y + z − 2 x − 4 y − 6z − 2 = 0 所确定的函数 z = f ( x , y ) 的极大值 _______,极小值是________. 极小值是______ 是_______,极小值是________.
第六章 偏导数3
所以
∂p ∂V ∂T RT R V ⋅ ⋅ = − 2 ⋅ ⋅ = − RT = −1 . ∂V ∂T ∂p V p R pV
本例说明一个问题: 本例说明一个问题: 偏导数的记号是一个整体记 不能看作分子分母之商. 号,不能看作分子分母之商.
偏导数的几何意义
fx(x0, y0)=[ f(x, y0)]x′ 是截线z=f(x,y0)在点(x0,y0)处的 是截线z=f(x,y 在点(x
xy 2 2 f ( x, y) = x + y 0 x 2 + y 2 ≠ 0, x 2 + y 2 = 0.
在点(0,0), 有fx(0,0)=0, fy(0,0)=0, (0,0)= (0,0)= 在点(0,0), 但函数在点(0, 0)并不连续 并不连续. 但函数在点(0, 0)并不连续.
∂ z = 6 x 2 y − 9 y 2 −1 , ∂x∂y
2
∂ 2 z = 6 x 2 y − 9 y 2 −1 . ∂y∂x
∂ 2 z 及 ∂ 2 z 在区域 D 内连续 定理 如果二阶混合偏导数 , ∂y∂x ∂x∂y 那么在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等. 那么在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等.
为常数),求证: ),求证 例5 已知理想气体的状态方程为pV=RT(R为常数),求证: ∂p ∂V ∂T ⋅ ⋅ = −1 . ∂V ∂T ∂p 证
∂p 因为 p = RT , = − RT ; ∂V V V2 RT ∂V = R V= , ; p ∂T p
pV ∂T V = ; , T= ∂p R R
∂ ( ∂z ) = ∂ 2 z = f ( x, y) ∂ ∂z ∂ 2 z , ( ) = 2 = f yy ( x, y ) . yx ∂x ∂y ∂y∂x ∂y ∂y ∂y
一阶偏导数存在但不连续的连续例题
一阶偏导数存在但不连续的连续例题一、引言1.问题背景及意义在高等数学、工程数学、应用数学等课程中，偏导数的概念及其应用占据了重要地位。
偏导数是多元函数在某一点处的局部性质的描述，它可以反映函数在某一点处的变化情况。
然而，在实际问题中，函数的偏导数可能存在但不连续，这种现象具有一定的实际意义，因此研究一阶偏导数存在但不连续的连续例题具有重要的理论价值和实际应用背景。
2.研究对象与基本概念本文以一阶偏导数存在但不连续的连续函数为研究对象，探讨其在多元函数、泛函分析等领域的应用。
主要涉及的概念有一阶偏导数、连续函数、多元函数、泛函分析等。
二、一阶偏导数存在但不连续的连续例题分析1.例题1：一阶偏导数存在但不连续的函数已知函数f(x, y)在点(0, 0)处的一阶偏导数存在但不连续，求f(x, y)在点(0, 0)处的泰勒展开式。
解：根据泰勒公式，f(x, y)在点(0, 0)处的泰勒展开式为：f(x, y) ≈ f(0, 0) + x^2f_x(0, 0) + y^2f_y(0, 0) + (x^3f_xx(0, 0) +x^2f_y(0, 0)y + y^3f_yy(0, 0))/2! + ...2.例题2：一阶偏导数存在但不连续的多元函数已知函数f(x1, x2)在点(0, 0)处的一阶偏导数存在但不连续，求f(x1, x2)在点(0, 0)处的泰勒展开式。
解：根据泰勒公式，f(x1, x2)在点(0, 0)处的泰勒展开式为：f(x1, x2) ≈ f(0, 0) + x1^2f_x1(0, 0) + x2^2f_x2(0, 0) + (x1^3f_x1x1(0, 0) + x1^2f_x2(0, 0)x2 + x2^3f_x2x2(0, 0))/3! + ...3.例题3：一阶偏导数存在但不连续的泛函分析中的应用已知函数f(x, y)在区域D上连续，一阶偏导数存在但不连续，求f(x, y)在区域D上的最小值。
多元函数求导经典例题 (1)可修改文字
注意 驻点
极值点
定理 2（充分条件）
设函数z f ( x, y)在点( x0 , y0 )的某邻域内连续，
有一阶及二阶连续偏导数，
又 f x ( x0 , y0 ) 0,
f y ( x0 , y0 ) 0 ， 令
f xx ( x0 , y0 ) A， f xy ( x0 , y0 ) B ， f yy ( x0 , y0 ) C ，
12.复合函数求导法则
定理 如果函数u (t) 及v (t) 都在点t 可
导，函数z f (u,v)在对应点(u,v)具有连续偏导
数，则复合函数 z f [ (t ), (t )] 在对应点t 可
导，且其导数可用下列公式计算：
dz z du z dv ． dt u dt v dt
以上公式中的导数 dz 称为全导数.
y
z x
2z xy
fxy ( x, y),
z x y
2z yx
f yx ( x, y).
混合偏导
定义 二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏 导数.
９.偏导数在经济上的应用:交叉弹性
设函数z f x, y在x, y处偏导数
存在,函数对x的相对改变量
xz z
f x x, y f x, y f x, y
多元函数习题课
一 学习要求
(1) 理解多元函数的概念,理解二元函数的 几何意义;
(2) 理解二元函数的极限与连续性的概念, 以及有界闭域上连续函数的性质;
极多 限元 及函 连数 续的
概 念
(3) 理解偏导数和全微分的概念,会求全微
分,了解全微分存在的必要和充分条件,了 解全微分形式不变性;
多元函数偏导数(第六讲)
第六讲 多元函数偏导数与最值问题一、多元函数偏导数（抽象函数、隐函数、方程组）例1．设函数(,,)f x y z 是k 次齐次函数，即(,,)(,,)kf tx ty tz t f x y z =，k 为某一常数，求证：(,,)f f f xy z kf x y z x y z¶¶¶++=¶¶¶． 证明：令,,u tx v ty w tz ===，则(,,)(,,)k f tx ty tz t f x y z =化为(,,)(,,)k f u v w t f x y z =，上式两边对t 求导得1(,,)k f u f v f wkt f x y z u t v t w t -¶¶¶¶¶¶++=¶¶¶¶¶¶， 又 ,u v wx y z t t t ¶¶¶===¶¶¶有 1(,,)k f f f x y z kt f x y z u v w -¶¶¶++=¶¶¶上式两边同乘以t ，得(,,)k f f f tx ty tz kt f x y z u v w ¶¶¶++=¶¶¶ 即有 (,,)f f fu v w kf u v w u v w¶¶¶++=¶¶¶于是得 (,,)f f fxy z kf x y z x y z¶¶¶++=¶¶¶． 例2．设(,,)u f x y z =，2(,,)0y x e z j =，sin y x =，其中,f j 具有一阶连续偏导数，且0x j ¶¹¶，求du dx． 解：这是有显函数，隐函数构成的复合函数的求导问题，见复合关系图：有复合关系，有x y z du u u dy u dz dy dz f f f dx x y dx z dx dx dx¶¶¶¢¢¢=++=++¶¶¶ 由2(,,)0y x e z j =两边对x 求导，得xyzxyxuUn Re gi st er ed12320y dy dzx e dx dxj j j ¢¢¢++=g g ，又cos dyx dx=，代入上式得 1231(2cos )y dz x e x dx j j j ¢¢=-+¢g于是123cos (2cos )y z x y f du f f x x e x dx j j j ¢¢¢¢¢=+-+¢g ． 例3．已知函数(,)u v x y =，满足方程2222()0u u u ua x y x y¶¶¶¶-++=¶¶¶¶（1）试选择参数a ，b ，利用变量(,)(,)x y u x y v x y e a b +=，将原方程变形使得新方程中不含一阶偏导数项；（2）再令x y x =+，x y h =-，使新方程变换形式 解：（1）()x y x y x y u v ve v e v e x x xa b a b a b a a +++¶¶¶=+=+¶¶¶ 2222()()x y x y u v v v e v e x x x xa b a b a a a ++¶¶¶¶=+++¶¶¶¶ 222(2)x y v vv e x xa b a a +¶¶=++¶¶， ()x y u vv e y ya b b +¶¶=+¶¶， 22222(2)x y u v v v e y y ya b b b +¶¶¶=++¶¶¶ 将上述式子代入已知方程中，消去x yea b +变得到222222(2)(2)()0u u v v a a a a v x y x ya b a b a b ¶¶¶¶-+++-++-++=¶¶¶¶， 由题意，令2020a a a b +=ìí-+=î，解出22a aa b ì=-ïïíï=ïî，Un Re gi st er ed故原方程为 22220u ux y ¶¶-=¶¶．（2）令x y x =+，x y h =-，则v v v v v x x x x h x h x h ¶¶¶¶¶¶¶=+=+¶¶¶¶¶¶¶， v v v v v y y y x h x h x h¶¶¶¶¶¶¶=+=-¶¶¶¶¶¶¶ 22222222v v v v v x x x x xx h x hx x h x h h ¶¶¶¶¶¶¶¶¶=+++¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶ 222222v v v x x h h ¶¶¶=++¶¶¶¶ 同理 2222222v v v vy x x h h ¶¶¶¶=-+¶¶¶¶¶ 将上面式子代入22220u ux y¶¶-=¶¶中得到20vx h¶=¶¶． 二、求闭区域上连续函数的最值 （1）先求开区域内的最值，（2）再求区域边界上最值，这是由一元函数或拉格朗日乘数法求出．例4．求函数22(,)49z f x y x y ==++在闭区域{}22(,)4D x y x y =+£上最大值和最小值．解：先求(,)f x y 在区域D 内部的驻点，由(,)0x f x y ¢=，(,)0y f x y ¢=得到驻点(0,0)对应的函数值(0,0)9f =，再考虑函数(,)f x y 在区域D 边界224x y +=上的情形，方法1：讨论22(,)49f x y x y =++在约束条件224x y +=下条件极值， 令 2222(,)49(4)F x y x y x y l =++++-Un Re gi st er ed求导，得2222082040Fx x x Fy y y Fx y l l lì¶=+=ï¶ï¶ï=+=í¶ïï¶=+-=ï¶î， 解方程组，得0x =，2y =±，4l =-或2x =±，0y =，1l =-， 求出函数值(0,2)25f =，(0,2)25f -=，(2,0)13f =，(2,0)13f -=， 比较得(,)f x y 在闭区域D 上最大值{}max (0,0),(0,2),(2,0)25M f f f =±±=，最小值(0,0)9m f ==．方法2：将条件224x y +=写成参数形式2cos x t =，2sin y t =代入(,)f x y 中，22()(2cos ,2sin )4cos 16sin 9t f t t t t j ==++求导，得 ()8cos sin 32sin cos 24sin cos t t t t t t t j ¢=-+=令()0t j ¢=，得到0t =，2t p =，则(0)13j =，(252pj =， 因为()t j 是周期函数，所以只讨论0t =，2t p=就可以了，结论同上．Un Re gi st er ed。
偏导数(习题课)
的二元函数，记作 z f (x, y) 其中x, y为自变量， z为因变量，(x, y)变化的范围 D称为函
数的定义域。设点 (x0, y0 ) D,则，z f (x, y)称为对应于 (x0, y0 )
的函数值，函数值的总体称为函数的值域。 类似地，可定义三元函数及其他多元函数。
Hale Waihona Puke 2 z ex cos(2x y) 2ex sin(2x y) yx
JPZX９
学生练习：
1.求下列函数的偏导数:
(1) z xe y
(2) z arctan x y
2.求下列函数的二阶偏导数:
(1) z exy
(2) z sin2 (x y)
JPZX10
x x2 y2
f y(x, y) 1 2
2y 1
x2 y2
y x2 y2
所以
f (3,4) 1 3 2 55
f y(0,5) 11 0
JPZX5
高阶偏导数
高阶偏导数可定义为相应低一阶偏导数的偏导数.例如设
函数z f (x, y)在区域D内具有偏导数：
§18～6 偏导数（习题课）
• 复习回忆:
1.二元函数的定义 2.偏导数的概念 3.二元函数的偏导数 4.高阶偏导数
• 例题分析: • 学生练习:
例一: 例二: 例三:
JPZX1
二元函数的定义 定义1 设有三个变量 x, y和z,如果当变量 x, y在某一给定
的二元有序实数对 D内任取一对值 (x, y)时，变量z按照一定
x
z ex cos(2x y) y
多元函数偏导数
z ∴ x z y
= 2×1 + 3× 2 = 8 , = 3×1 + 2× 2 = 7 .
x =1 y= 2
例2
y 设 z = x ( x > 0, x ≠ 1) ,
x z 1 z + = 2z . 求证 y x ln x y
证
z yx y 1 , = x
z y = x ln x , y
x z 1 z x y 1 1 y x ln x + = yx + ln x y x ln x y y
思考题
若 函 数 f ( x , y ) 在 点 P0 ( x0 , y0 ) 连 续 , 能否断定 f ( x , y ) 在点 P0 ( x0 , y0 ) 的偏导数必定存在? 的偏导数必定存在?
思考题解答
不能. 不能 例如, 例如
f ( x, y) =
x +y ,
2 2
处连续, 在( 0,0)处连续
xy , x2 + y2 ≠ 0 2 z = f ( x, y ) = x + y 2 , 求f x ( 0, 0), f y (0, 0). 0, x2 + y2 = 0
3,偏导数存在与连续的关系 连续, 一元函数中在某点可导 连续, 连续, 多元函数中在某点偏导数存在 连续,
xy x2 + y2 , 例如,函数 例如 函数 f ( x , y ) = 0,
Φ = ( x, y + y ) ( x, y ); ( x, y ) = f ( x + x) f ( x, y )
u 验证函数2 ( x , y ) = ln x 2 + y 2 满足拉普拉 2u u + 2 = 0. 斯方程 2 x y
多元函数及偏导数
4 多元复合函数的导数 一元复合函数
z f [ y(x)] x Acos(t )
多元复合函数
假设 z f (u, v), u u(x, y), (x, y)
z f [u(x, y), (x, y)] 是变量x，y的多元复合函数
例如， 液体压强 静止 p p0 gh 流动时 p p(x, y, z,t)
x
类似地, y z y
y
如果两个自变量同时有增量x和y，
z f x x, y y f x, y
----全增量
举例： z xy
y xy
x y
y
xy yx
z x x)( y y xy
p
T
RT p2
注意：偏导数的记号是一个整体记号。
例1 、已知 z e2x cos 3y ， z z 2 z 2 z
求 ，， ，
x y x2 y2
解： z 2e2x cos 3y x
z 3e2x sin 3y y
2z x2
2e2x (2 cos 3y)
x、t ----自变量， p 、 ----因变量。
☞ 多元函数
例如： (x, y, z,t)
流体， p p(x, y, z,t)
vx vx (x, y, z,t) vy vy (x, y, z, t) vz vz (x, y, z, t)
2、偏导数
☞ 二元函数的极限
z f (x, y)
z f (x, y) 或 z z(x, y)
因变量
自变量
例如， z x2 3xy y2
S xy
V RT p
多元函数微分学偏导数与全微分
fx 1
x x2 y2
fy 1
y x2 y2
f y (0,2)
fx (0,1) 1, f y (0,2) 0
例2. u zxy 求偏导数
u x
z xy (ln
z) y
u y
z xy (ln z)x
u xyz xy1
z
例3.
f
(x,
y)
求 2z , 2z
yx xy
z x
1
1 ( y )2
(
y x2
)
y , x2 y2
x
z y
1 1 ( y)2
1 x
x x2
y2
,
x
2z yx
y2 x2 (x2 y2)2
2z xy
例6. z x3 y2 3xy3 xy 1
x2
y2 z2
,
u z
3xy2 z 2
sin
x2 y2 z2
2xy2 (x2
y2 ) cos
x2
z2
y2
2.
z
x sin
y x
cos
y x
,求
2z y 2
,
2z xy
z cos y 1 sin y ,
y
xx x
2z y 2
1 x
sin
y x
求 2z , 2z , 2z , 2z , 3z
x2 yx xy y 2 x3
z 3x2 y2 3y3 y, z 2x3 y 9xy2 x