2019高考数学一轮复习第4章第7讲正余弦定理的应用举例分层演练文
新高考数学一轮复习第四章三角函数解三角形7第7讲正弦定理与余弦定理教学案
第7讲正弦定理与余弦定理1．正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容asin A＝bsin B＝csin C＝2R(R为△ABC外接圆半径)a2＝b2＋c2－2bc cos__A；b2＝c2＋a2－2ca cos__B；c2＝a2＋b2－2ab cos__C 变形形式a＝2R sin__A，b＝2R sin__B，c＝2R sin__C；sin A＝a2R，sin B＝b2R，sin C＝c2R；a∶b∶c＝sin__A∶sin__B∶sin__C；a＋b＋csin A＋sin B＋sin C＝asin Acos A＝b2＋c2－a22bc；cos B＝c2＋a2－b22ca；cos C＝a2＋b2－c22ab2.三角形解的判断A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＝b sin A b sin A<a<b a≥b a>b 解的个数一解两解一解一解(1)S＝12ah(h表示边a上的高)；(2)S＝12bc sin A＝12ac sin__B＝12ab sin C；(3)S＝p（p－a）（p－b）（p－c），其中p＝12(a＋b＋c)．[疑误辨析]判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在△ABC 中，已知a ，b 和角B ，能用正弦定理求角A ；已知a ，b 和角C ，能用余弦定理求边c .( )(2)在三角形中，已知两角和一边或已知两边和一角都能解三角形．( ) (3)在△ABC 中，sin A >sin B 的充分不必要条件是A >B .( )(4)在△ABC 中，a 2＋b 2<c 2是△ABC 为钝角三角形的充分不必要条件．( ) (5)在△ABC 的角A ，B ，C ，边长a ，b ，c 中，已知任意三个可求其他三个．( ) 答案：(1)√ (2)√ (3)× (4)√ (5)× [教材衍化]1．(必修5P10A 组T4改编)在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝3，BC ＝7，则∠BAC ＝( ) A.π6 B.π3 C.2π3D.5π6解析：选C.因为在△ABC 中，设AB ＝c ＝5，AC ＝b ＝3，BC ＝a ＝7，所以由余弦定理得cos ∠BAC ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝9＋25－4930＝－12，因为∠BAC 为△ABC 的内角，所以∠BAC ＝23π.2．(必修5P18练习T1改编)在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝4，BC ＝23，则△ABC 的面积等于________．解析：因为23sin 60°＝4sin B ，所以sin B ＝1，所以B ＝90°，所以AB ＝2，所以S △ABC＝12×2×23＝2 3. 答案：2 3 [易错纠偏](1)利用正弦定理求角时解的个数弄错； (2)在△ABC 中角与角的正弦关系弄错； (3)判断三角形形状时弄错．1．在△ABC 中，已知b ＝40，c ＝20，C ＝60°，则此三角形的解的情况是( ) A ．有一解 B ．有两解 C ．无解D ．有解但解的个数不确定解析：选C.由正弦定理得b sin B ＝csin C，所以sin B ＝b sin Cc＝40×3220＝3>1.所以角B 不存在，即满足条件的三角形不存在．2．在△ABC 中，若sin A ＝sin B ，则A ，B 的关系为________；若sin A >sin B ，则A ，B 的关系为________．解析：sin A ＝sin B ⇔a ＝b ⇔A ＝B ； sin A >sin B ⇔a >b ⇔A >B . 答案：A ＝B A >B3．在△ABC 中，a cos A ＝b cos B ，则这个三角形的形状为________． 解析：由正弦定理，得sin A cos A ＝sin B cos B ， 即sin 2A ＝sin 2B ，所以2A ＝2B 或2A ＝π－2B ， 即A ＝B 或A ＋B ＝π2，所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形． 答案：等腰三角形或直角三角形利用正弦、余弦定理解三角形(高频考点)利用正、余弦定理解三角形是高考的热点，三种题型在高考中时有出现，其试题为中档题．主要命题角度有：(1)由已知求边和角； (2)三角恒等变换与解三角形． 角度一 由已知求边和角(1)(2020·金华市东阳二中高三调研)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若3b cos A ＝c cos A ＋a cos C ，则tan A 的值是( )A ．－2 2B ．－ 2C ．2 2D. 2(2)(2019·高考浙江卷)在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝4，BC ＝3，点D 在线段AC 上．若∠BDC ＝45°，则BD ＝________，cos ∠ABD ＝________．【解析】 (1)因为△ABC 中，由余弦定理得c cos A ＋a cos C ＝c ×b 2＋c 2－a 22bc ＋a ×a 2＋b 2－c 22ab＝b .所以根据题意，3b cos A ＝c cos A ＋a cos C ＝b ，两边约去b ，得3cos A ＝1，所以cos A ＝13>0，所以A 为锐角，且sin A ＝1－cos 2A ＝223，因此，tan A ＝sin Acos A＝2 2.(2)在Rt △ABC 中，易得AC ＝5，sin C ＝AB AC ＝45.在△BCD 中，由正弦定理得BD ＝BCsin ∠BDC×sin ∠BCD ＝322×45＝1225，sin ∠DBC ＝sin[π－(∠BCD ＋∠BDC )]＝sin (∠BCD ＋∠BDC )＝sin ∠BCD cos ∠BDC ＋cos ∠BCD sin ∠BDC ＝45×22＋35×22＝7210.又∠ABD ＋∠DBC ＝π2，所以cos ∠ABD ＝sin ∠DBC ＝7210. 【答案】 (1)C (2)1225 7210角度二 三角恒等变换与解三角形在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知b ＋c ＝2a cos B . (1)证明：A ＝2B ；(2)若cos B ＝23，求cos C 的值．【解】 (1)证明：由正弦定理得sin B ＋sin C ＝2sin A cos B ，故2sin A cos B ＝sin B ＋sin(A ＋B )＝sin B ＋sin A cos B ＋cos A sin B ，于是sin B ＝sin(A －B )．又A ，B ∈(0，π)， 故0＜A －B ＜π，所以B ＝π－(A －B )或B ＝A －B ， 因此A ＝π(舍去)或A ＝2B ， 所以A ＝2B .(2)由cos B ＝23得sin B ＝53，cos 2B ＝2cos 2B －1＝－19，故cos A ＝－19，sin A ＝459，cos C ＝－cos(A ＋B )＝－cos A cos B ＋sin A sin B ＝2227.(变问法)本例条件不变，若△ABC 的面积S ＝a 24，求角A 的大小．解：由S ＝a 24，得12ab sin C ＝a24，故有sin B sin C ＝12sin 2B ＝sin B cos B ，因为sin B ≠0，所以sin C ＝cos B ， 又B ，C ∈(0，π)，所以C ＝π2±B . 当B ＋C ＝π2时，A ＝π2；当C －B ＝π2时，A ＝π4.综上，A ＝π2或A ＝π4.(1)正、余弦定理的选用解三角形时，如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．(2)三角形解的个数的判断已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断．1．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .已知sin B ＋sin A (sin C －cos C )＝0，a ＝2，c ＝2，则C ＝( )A.π12B.π6C.π4D.π3解析：选B.因为sin B ＋sin A (sin C －cos C )＝0，所以sin(A ＋C )＋sin A sin C －sinA cos C ＝0，所以sin A cos C ＋cos A sin C ＋sin A sin C －sin A cos C ＝0，整理得sin C ·(sin A ＋cos A )＝0，因为sin C ≠0，所以sin A ＋cos A ＝0，所以tan A ＝－1，因为A ∈(0，π)，所以A ＝3π4，由正弦定理得sin C ＝c ·sin Aa ＝2×222＝12，又0<C <π4，所以C ＝π6.故选B.2．(2020·绍兴市一中高三期末检测)△ABC 中，D 为线段BC 的中点，AB ＝2AC ＝2，tan ∠CAD ＝sin ∠BAC ，则BC ＝________．解析：由正弦定理可知sin ∠CAD sin ∠BAD ＝2，又tan ∠CAD ＝sin ∠BAC ，则sin ∠CAD cos ∠CAD ＝sin (∠CAD＋∠BAD )，利用三角恒等变形可化为cos ∠BAC ＝12，据余弦定理BC ＝AC 2＋AB 2－2·AC ·AB ·cos ∠BAC ＝1＋4－2＝ 3.答案： 3利用正弦、余弦定理判定三角形的形状(1)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sinA ，则△ABC 的形状为( )A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．不确定(2)若a 2＋b 2－c 2＝ab ，且2cos A sin B ＝sin C ，那么△ABC 一定是( ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等腰直角三角形D ．等边三角形【解析】 (1)由正弦定理得sin B cos C ＋cos B sin C ＝sin 2A ，则sin(B ＋C )＝sin 2A ，由三角形内角和，得sin(B ＋C )＝sin A ＝sin 2A ，即sin A ＝1，所以∠A ＝π2.即△ABC 为直角三角形．(2)法一：利用边的关系来判断：由正弦定理得sin C sin B ＝c b ，由2cos A sin B ＝sin C ，有cos A ＝sin C 2sin B ＝c2b.又由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，所以c 2b ＝b 2＋c 2－a 22bc，即c 2＝b 2＋c 2－a 2，所以a 2＝b 2， 所以a ＝b .又因为a 2＋b 2－c 2＝ab .所以2b 2－c 2＝b 2，所以b 2＝c 2，所以b ＝c ，所以a ＝b ＝c . 所以△ABC 为等边三角形．法二：利用角的关系来判断：因为A ＋B ＋C ＝180°，所以sin C ＝sin(A ＋B )， 又因为2cos A sin B ＝sin C ，所以2cos A sin B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ， 所以sin(A －B )＝0.又因为A 与B 均为△ABC 的内角，所以A ＝B ， 又由a 2＋b 2－c 2＝ab ，由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝ab 2ab ＝12，又0°<C <180°，所以C ＝60°， 所以△ABC 为等边三角形． 【答案】 (1)A (2)D判定三角形形状的两种常用途径[提醒] “角化边”后要注意用因式分解、配方等方法得出边的相应关系；“边化角”后要注意用三角恒等变换公式、三角形内角和定理及诱导公式推出角的关系．1．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cb＜cos A ，则△ABC 为( ) A ．钝角三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形D ．等边三角形解析：选A.已知c b ＜cos A ，由正弦定理，得sin Csin B＜cos A ，即sin C ＜sin B cos A ，所以sin(A ＋B )＜sin B cos A ，即sin B cos A ＋cos B sin A －sin B cos A ＜0，所以cos B sinA ＜0.又sin A ＞0，于是有cosB ＜0，B 为钝角，所以△ABC 是钝角三角形．2．已知在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a sin B ＋bsin A ＝2c ，则△ABC是( )A ．等边三角形B ．锐角三角形C ．等腰直角三角形D ．钝角三角形解析：选C.因为a sin B ＋b sin A ＝2c ，所以由正弦定理可得sin A sin B ＋sin Bsin A＝2sin C ，而sin A sin B ＋sin Bsin A ≥2sin A sin B ·sin Bsin A＝2，当且仅当sin A ＝sin B 时取等号，所以2sin C ≥2，即sin C ≥1.又sin C ≤1，故可得sin C ＝1，所以∠C ＝90°.又因为sin A ＝sin B ，可得A ＝B ，故三角形为等腰直角三角形，故选C.与三角形面积有关的问题(高频考点)求解与三角形面积有关的问题是高考的热点，三种题型在高考中时有出现，其试题为中档题．主要命题角度有：(1)求三角形的面积；(2)已知三角形的面积解三角形；(3)求有关三角形面积或周长的最值(范围)问题． 角度一 求三角形的面积(1)(2020·台州市高考模拟)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝1，2b －3c ＝2a cos C ，sin C ＝32，则△ABC 的面积为( ) A.32B.34C.32或34D.3或32(2)已知△ABC ，AB ＝AC ＝4，BC ＝2.点D 为AB 延长线上一点，BD ＝2，连接CD ，则△BDC 的面积是________，cos∠BDC ＝________．【解析】 (1)因为2b －3c ＝2a cos C ，所以由正弦定理可得2sin B － 3 sin C ＝2sin A cos C ， 所以2sin(A ＋C )－3sin C ＝2sin A cos C ， 所以2cos A sin C ＝3sin C ， 所以cos A ＝32，所以A ＝30°， 因为sin C ＝32，所以C ＝60°或120°. A ＝30°，C ＝60°，B ＝90°，a ＝1，所以△ABC 的面积为12×1×2×32＝32，A ＝30°，C ＝120°，B ＝30°，a ＝1，所以△ABC 的面积为12×1×1×32＝34，故选C.(2)在△ABC 中，AB ＝AC ＝4，BC ＝2，由余弦定理得cos ∠ABC ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC ＝42＋22－422×4×2＝14，则sin ∠ABC ＝sin ∠CBD ＝154，所以S △BDC ＝12BD ·BC sin ∠CBD ＝152.因为BD ＝BC ＝2，所以∠CDB ＝12∠ABC ，则cos ∠CDB ＝cos ∠ABC ＋12＝104. 【答案】 (1)C (2)152104角度二 已知三角形的面积解三角形(1)(2020·杭州市七校高三联考)设△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边长依次为a 、b 、c ，若△ABC 的面积为S ，且S ＝a 2－(b －c )2，则sin A1－cos A＝________．(2)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知A ＝π4，b 2－a 2＝12c 2.①求tan C 的值；②若△ABC 的面积为3，求b 的值．【解】 (1)因为△ABC 的面积为S ，且S ＝a 2－(b －c )2＝a 2－b 2－c 2＋2bc ＝12bc ·sin A ，所以由余弦定理可得－2bc ·cos A ＋2bc ＝12bc ·sin A ，所以4－4cos A ＝sin A ，所以sin A 1－cos A ＝4－4cos A 1－cos A ＝4.故填4.(2)①由b 2－a 2＝12c 2及正弦定理得sin 2B －12＝12sin 2C ，所以－cos 2B ＝sin 2C . 又由A ＝π4，即B ＋C ＝34π，得－cos 2B ＝sin 2C ＝2sin C cos C ， 解得tan C ＝2.②由tan C ＝2，C ∈(0，π)，得 sin C ＝255，cos C ＝55.因为sin B ＝sin(A ＋C )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋C ，所以sin B ＝31010.由正弦定理得c ＝22b3，又因为A ＝π4，12bc sin A ＝3，所以bc ＝62， 故b ＝3.角度三 求有关三角形面积或周长的最值(范围)问题(1)(2020·浙江“七彩阳光”联盟联考)已知a ，b ，c 分别为△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边，其面积满足S △ABC ＝14a 2，则cb的最大值为( )A.2－1B. 2C.2＋1D.2＋2(2)(2020·绍兴市一中期末检测)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 且a cos C －12c ＝b .①求角A 的大小；②若a ＝3，求△ABC 的周长l 的取值范围．【解】 (1)选C.根据题意，有S △ABC ＝14a 2＝12bc sin A ，应用余弦定理，可得b 2＋c 2－2bc cosA ＝2bc sin A ，令t ＝cb，于是t 2＋1－2t cos A ＝2t sin A ．于是2t sin A ＋2t cos A ＝t 2＋1，所以22sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π4＝t ＋1t ，从而t ＋1t ≤22，解得t 的最大值为2＋1.(2)①由a cos C －12c ＝b 得sin A cos C －12sin C ＝sin B ，又sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ， 所以12sin C ＝－cos A sin C ，因为sin C ≠0， 所以cos A ＝－12，又0＜A ＜π，所以A ＝2π3.②由正弦定理得b ＝a sin Bsin A＝23sin B ，c ＝23sin C ， l ＝a ＋b ＋c ＝3＋23(sin B ＋sin C )＝3＋23[sin B ＋sin(A ＋B )] ＝3＋23⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin B ＋32cos B＝3＋23sin ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π3， 因为A ＝2π3，所以B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3，所以B ＋π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，2π3，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π3∈⎝ ⎛⎦⎥⎤32，1， 则△ABC 的周长l 的取值范围为(6，3＋2 3 ]．与三角形面积有关问题的解题策略(1)求三角形的面积．对于面积公式S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A ，一般是已知哪一个角就使用含哪个角的公式．(2)已知三角形的面积解三角形．与面积有关的问题，一般要利用正弦定理或余弦定理进行边和角的互化．(3)求有关三角形面积或周长的最值(范围)问题．一般转化为一个角的一个三角函数，利用三角函数的有界性求解，或利用余弦定理转化为边的关系，再应用基本不等式求解．1．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边，且B 为锐角，若sin A sin B ＝5c2b，sinB ＝74，S △ABC ＝574，则b 的值为________． 解析：由sin A sin B ＝5c 2b ⇒a b ＝5c 2b ⇒a ＝52c ，①由S △ABC ＝12ac sin B ＝574且sin B ＝74得12ac ＝5，②联立①②解得a ＝5，c ＝2，由sin B ＝74且B 为锐角知cos B ＝34，由余弦定理知b 2＝25＋4－2×5×2×34＝14，b ＝14.答案：142．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积为S ，且满足4S ＝a 2－(b －c )2，b ＋c ＝8，则S 的最大值为________．解析：由题意得4×12bc sin A ＝a 2－b 2－c 2＋2bc ，又a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，代入上式得2bc sin A ＝－2bc cos A ＋2bc ，即sin A ＋cos A ＝1，2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π4＝1，又0<A <π，所以π4<A ＋π4<5π4，所以A ＋π4＝3π4，所以A ＝π2，S＝12bc sin A ＝12bc ，又b ＋c ＝8≥2bc ，当且仅当b ＝c 时取“＝”，所以bc ≤16，所以S 的最大值为8.答案：83．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin A ＋3cos A ＝0，a ＝27，b ＝2.(1)求c ；(2)设D 为BC 边上一点，且AD ⊥AC ，求△ABD 的面积． 解：(1)由已知可得tan A ＝－3，所以A ＝2π3.在△ABC 中，由余弦定理得28＝4＋c 2－4c cos 2π3，即c 2＋2c －24＝0. 解得c ＝－6(舍去)，c ＝4. (2)由题设可得∠CAD ＝π2，所以∠BAD ＝∠BAC －∠CAD ＝π6. 故△ABD 面积与△ACD 面积的比值为 12AB ·AD ·sin π612AC ·AD ＝1.又△ABC 的面积为12×4×2sin ∠BAC ＝23，所以△ABD 的面积为 3.核心素养系列9 数学运算——三角形中最值问题一、求角的三角函数值的取值若△ABC 的内角满足sin A ＋2sin B ＝2sin C ，则cos C 的最小值是________． 【解析】 由sin A ＋2sin B ＝2sin C ，结合正弦定理可得a ＋2b ＝2c ，所以cos C＝a 2＋b 2－c 22ab ＝3a 2＋2b 28ab －24≥6－24( 3 a ＝ 2 b 时取等号)，故cos C 的最小值是6－24. 【答案】6－24在△ABC 中，a 2＋c 2＝b 2＋2ac . (1)求B 的大小；(2)求2cos A ＋cos C 的最大值． 【解】 (1)由余弦定理和已知条件可得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝2ac 2ac ＝22，又因为0<B <π，所以B ＝π4.(2)由(1)知A ＋C ＝3π4，所以2cos A ＋cos C ＝2cos A ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－A＝2cos A －22cos A ＋22sin A ＝22cos A ＋22sin A ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫A －π4. 因为0<A <3π4，所以当A ＝π4时，2cos A ＋cos C 取得最大值1.此类问题主要考查余弦定理、三角形内角和定理、辅助角公式以及三角函数的最值和基本不等式；解此类问题的关键是熟练地运用余弦定理、两角差的正余弦公式以及辅助角公式．二、求边的最值(1)在△ABC 中，B ＝60°，AC ＝3，则AB ＋2BC 的最大值为________． (2)如图，四边形ABCD 的对角线交点位于四边形的内部，AB ＝BC ＝1，AC ＝CD ，AC ⊥CD ，当∠ABC 变化时，BD 的最大值为________．【解析】 (1)因为BC sin A ＝AB sin C ＝AC sin B ＝3sin 60°，所以AB ＝2sin C ，BC ＝2sin A ，因此AB ＋2BC ＝2sin C ＋4sin A ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－A ＋4sin A ＝5sin A ＋3cos A ＝27sin(A ＋φ)，因为φ∈(0，2π)，A ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，2π3，所以AB ＋2BC 的最大值为27. (2)设∠ACB ＝θ⎝ ⎛⎭⎪⎫0<θ<π2，则∠ABC ＝π－2θ，∠DCB ＝θ＋π2，由余弦定理可知，AC2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos ∠ABC ，即AC ＝DC ＝2＋2cos 2θ＝2cos θ⎝ ⎛⎭⎪⎫0<θ<π2，由余弦定理知，BD 2＝BC 2＋DC 2－2BC ·DC cos ∠DCB ，即BD 2＝4cos 2θ＋1－2×1×2cos θ·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π2＝2cos 2θ＋2sin 2θ＋3＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2θ＋π4＋3.由0<θ<π2，可得π4<2θ＋π4<5π4，则()BD 2max＝22＋3，此时θ＝π8，因此(BD )max ＝2＋1.【答案】 (1)27 (2)2＋1边的最值一般通过三角形中的正、余弦定理将边转化为角的三角函数值，再结合角的范围求解．有时也可利用均值不等式求解．三、求三角形函数的最值在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2c cos B ＝2a ＋b ，若△ABC的面积S ＝3c ，则ab 的最小值为________．【解析】 在△ABC 中，2c cos B ＝2a ＋b ，由正弦定理，得2sin C cos B ＝2sin A ＋sinB ．又A ＝π－(B ＋C )，所以sin A ＝sin[π－(B ＋C )]＝sin(B ＋C )，所以2sin C cos B ＝2sin(B＋C )＋sin B ＝2sin B cos C ＋2cos B sin C ＋sin B ，得2sin B cos C ＋sin B ＝0，因为sin B ≠0，所以cos C ＝－12，又0<C <π，所以C ＝23π.由S ＝3c ＝12ab sin C ＝12ab ×32，得c ＝ab 4.由余弦定理得，c 2＝a 2＋b 2－2ab ·cos C ＝a 2＋b 2＋ab ≥2ab ＋ab ＝3ab (当且仅当a ＝b 时取等号)，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫ab 42≥3ab ，得ab ≥48，所以ab 的最小值为48.【答案】 48利用三角函数的有关公式，结合三角形的面积公式及正、余弦定理，将问题转化为边或角的关系，利用函数或不等式是解决此类问题的一种常规方法．[基础题组练]1．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若b 2＝ac ，c ＝2a ，则cos C ＝( ) A.24B ．－24C.34D ．－34解析：选B.由题意得，b 2＝ac ＝2a 2，b ＝2a ，所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋2a 2－4a 22a ×2a＝－24，故选B. 2．已知a ，b ，c 为△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，若3b cos C ＝c (1－3cos B )，则sin C ∶sin A ＝( )A ．2∶3B ．4∶3C ．3∶1D ．3∶2解析：选C.由正弦定理得3sin B cos C ＝sin C －3sin C cos B ，3sin(B ＋C )＝sin C ，因为A ＋B ＋C ＝π，所以B ＋C ＝π－A ，所以3sin A ＝sin C ，所以sin C ∶sin A ＝3∶1，选C.3．在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin A ＝223，a ＝3，S △ABC＝22，则b 的值为( ) A ．6 B ．3 C ．2D ．2或3解析：选D.因为S △ABC ＝22＝12bc sin A ，所以bc ＝6，又因为sin A ＝223，所以cos A ＝13，又a ＝3，由余弦定理得9＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝b 2＋c 2－4，b 2＋c 2＝13，可得b ＝2或b ＝3.4．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，若b sin A －3a cos B ＝0，且b 2＝ac ，则a ＋cb的值为( ) A.22B. 2 C ．2D ．4解析：选C.在△ABC 中，由b sin A －3a cos B ＝0， 利用正弦定理得sin B sin A －3sin A cos B ＝0， 所以tan B ＝3，故B ＝π3.由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac ·cos B ＝a 2＋c 2－ac ， 即b 2＝(a ＋c )2－3ac ，又b 2＝ac ，所以4b 2＝(a ＋c )2，求得a ＋cb＝2. 5．(2020·杭州市高三期末检测)设点P 在△ABC 的边BC 所在的直线上从左到右运动，设△ABP 与△ACP 的外接圆面积之比为λ，当点P 不与B ，C 重合时( )A ．λ先变小再变大B ．当M 为线段BC 中点时，λ最大 C ．λ先变大再变小D ．λ是一个定值解析：选D.设△ABP 与△ACP 的外接圆半径分别为r 1，r 2，则2r 1＝ABsin ∠APB，2r 2＝ACsin ∠APC，因为∠APB ＋∠APC ＝180°， 所以sin ∠APB ＝sin ∠APC ， 所以r 1r 2＝ABAC， 所以λ＝r 21r 22＝AB 2AC2.故选D.6．在△ABC 中，AC →·AB →＝|AC →－AB →|＝3，则△ABC 面积的最大值为( ) A.21B.3214C.212D ．321解析：选B.设角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ， 因为AC →·AB →＝|AC →－AB →|＝3， 所以bc cos A ＝a ＝3.又cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ≥1－92bc ＝1－3cos A2，所以cos A ≥25，所以0<sin A ≤215，所以△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝32tan A ≤32×212＝3214，故△ABC 面积的最大值为3214. 7．在△ABC 中，A ＝π4，b 2sin C ＝42sin B ，则△ABC 的面积为________．解析：因为b 2sin C ＝42sin B ， 所以b 2c ＝42b ，所以bc ＝42，S △ABC ＝12bc sin A ＝12×42×22＝2. 答案：28．若锐角△ABC 的面积为103，且AB ＝5，AC ＝8，则BC 等于________． 解析：由面积公式，得S ＝12×AB ×AC ×sin A ＝103，所以sin A ＝2035×8＝32.因为 A ∈(0，π2)，所以A ＝π3.由余弦定理，得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ×AC ×cos A ＝25＋64－2×5×8×cos π3＝49，所以BC ＝7.答案：79．(2020·温州市高考模拟)在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，记S 为△ABC 的面积，若A ＝60°，b ＝1，S ＝334，则c ＝________，cos B ＝________． 解析：因为A ＝60°，b ＝1，S ＝334＝12bc sin A ＝12×1×c ×32，所以解得c ＝3.由余弦定理可得a ＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝1＋9－2×1×3×12＝7，所以cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝7＋9－12×7×3＝5714.答案：3571410．(2020·金丽衢十二校联考模拟)在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，a cos B ＝b cos A ，4S ＝2a 2－c 2，其中S 是△ABC 的面积，则C 的大小为________．解析：△ABC 中，a cos B ＝b cos A ， 所以sin A cos B ＝sin B cos A ，所以sin A cos B －cos A sin B ＝sin(A －B )＝0， 所以A ＝B ，所以a ＝b ； 又△ABC 的面积为S ＝12ab sin C ，且4S ＝2a 2－c 2，所以2ab sin C ＝2a 2－c 2＝a 2＋b 2－c 2，所以sin C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝cos C ，所以C ＝π4.答案：π411．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C .(1)求角A 的大小；(2)若sin B ＋sin C ＝1，试判断△ABC 的形状． 解：(1)由题意知，根据正弦定理得2a 2＝(2b ＋c )b ＋(2c ＋b )c ， 即a 2＝b 2＋c 2＋bc .①由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 故cos A ＝－12，A ＝120°.(2)由①得sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ＋sin B sin C . 又sin B ＋sin C ＝1，故sin B ＝sin C ＝12.因为0°<B <90°，0°<C <90°，故B ＝C . 所以△ABC 是等腰钝角三角形．12．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a cos B ＝4，b sin A ＝3. (1)求tan B 及边长a 的值；(2)若△ABC 的面积S ＝9，求△ABC 的周长． 解：(1)在△ABC 中，a cos B ＝4，b sin A ＝3， 两式相除，有b sin A a cos B ＝sin B sin A sin A cos B ＝tan B ＝34，又a cos B ＝4，所以cos B >0，则cos B ＝45，故a ＝5.(2)由(1)知，sin B ＝35，由S ＝12ac sin B ＝9，得c ＝6.由b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝13，得b ＝13. 故△ABC 的周长为11＋13.[综合题组练]1．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若b ＝1，a ＝2c ，则当C 取最大值时，△ABC 的面积为( )A.33B.36C.233D. 3解析：选B.当C 取最大值时，cos C 最小， 由cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝3c 2＋14c ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫3c ＋1c ≥32，当且仅当c ＝33时取等号， 且此时sin C ＝12，所以当C 取最大值时，△ABC 的面积为12ab sin C ＝12×2c ×1×12＝36.2．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，a sin A ＋b sin B －c sin C sin B sin C ＝233a ，a ＝2 3.若b ∈[1，3]，则c 的最小值为( )A ．2B ．3C ．2 2D ．2 3解析：选B.由a sin A ＋b sin B －c sin C sin B sin C ＝233a ，得a 2＋b 2－c 22ab ＝33sin C ．由余弦定理可知cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ，即3cos C ＝3sin C ，所以tan C ＝3，故cos C ＝12，所以c 2＝b 2－23b ＋12＝(b －3)2＋9，因为b ∈[1，3]，所以当b ＝3时，c 取最小值3.3．已知在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，2a sin B ＝3b ，b ＝2，c ＝3，AD 是内角的平分线，则BD ＝________．解析：由2a sin B ＝3b 及正弦定理得 2sin ∠BAC ·sin B ＝3sin B ，所以sin ∠BAC ＝32. 因为∠BAC 为锐角，所以∠BAC ＝π3.因为AD 是内角平分线，所以BD DC ＝AB AC ＝c b ＝32.由余弦定理得BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC ·AB ·cos ∠BAC ＝4＋9－2×2×3×12＝7，所以BC ＝7，BD ＝357.答案：3574．(2020·金华十校联考)设△ABC 的面积为S 1，它的外接圆面积为S 2，若△ABC 的三个内角大小满足A ∶B ∶C ＝3∶4∶5，则S 1S 2的值为____________．解析：在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，又A ∶B ∶C ＝3∶4∶5，所以A ＝π4，B ＝π3，C ＝512π.由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R (a 、b 、c 为△ABC 中角A 、B 、C 的对边，R 为△ABC的外接圆半径)可得，a ＝sin A sin C ·c ，b ＝sin B sin C ·c ，R ＝c2sin C.所以S 1＝12ab sin C ＝12·sin A sin C ·sin B sin C ·c 2·sin C＝12sin A ·sin B ·sin C ·c2sin 2C，S 2＝πR 2＝π4·c 2sin 2C ， 所以S 1S 2＝2sin A ·sin B ·sin C π＝2×22×32×6＋24π＝3＋34π. 答案：3＋34π5．(2020·浙江省名校协作体高三联考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知c ＝2，C ＝π3.(1)当2sin 2A ＋sin(2B ＋C )＝sin C 时，求△ABC 的面积；(2)求△ABC 周长的最大值．解：(1)由2sin 2A ＋sin(2B ＋C )＝sin C 得4sin A cos A －sin(B －A )＝sin(A ＋B )，得2sin A cos A ＝sin B cos A ，当cos A ＝0时，A ＝π2，B ＝π6，a ＝433，b ＝233， 当cos A ≠0时，sin B ＝2sin A ，由正弦定理得b ＝2a ，联立⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－ab ＝4b ＝2a ，解得a＝233，b ＝433. 故△ABC 的面积为S △ABC ＝12ab sin C ＝233. (2)由余弦定理及已知条件可得：a 2＋b 2－ab ＝4，由(a ＋b )2＝4＋3ab ≤4＋3×（a ＋b ）24得a ＋b ≤4，故△ABC 周长的最大值为6，当且仅当三角形为正三角形时取到．6．(2020·杭州市高考模拟)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若m sin A ＝sin B ＋sin C (m ∈R )．(1)当m ＝3时，求cos A 的最小值；(2)当A ＝π3时，求m 的取值范围． 解：(1)因为在△ABC 中m sin A ＝sin B ＋sin C ，当m ＝3时， 3sin A ＝sin B ＋sin C ，由正弦定理可得3a ＝b ＋c ，再由余弦定理可得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＝b 2＋c 2－19（b ＋c ）22bc＝89（b 2＋c 2）－29bc 2bc ≥89·2bc －29bc 2bc ＝79， 当且仅当b ＝c 时取等号，故cos A 的最小值为79. (2)当A ＝π3时，可得32m ＝sin B ＋sin C ， 故m ＝233sin B ＋233sin C ＝233sin B ＋233sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－B ＝233sin B ＋233⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos B ＋12sin B ＝233sin B ＋cos B ＋33sin B ＝3sin B ＋cos B ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π6， 因为B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2π3， 所以B ＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，56π， 所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π6∈⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1， 所以2sin ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π6∈(1，2]， 所以m 的取值范围为(1，2]．。
(北京专用)2019版高考数学一轮复习第四章三角函数、解三角形第七节正弦定理和余弦定理课件理
6
3.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.若c2=(a-b)2+6,C= ,则
3
△ABC的面积是 ( C ) A.3
9 3 B. 2 3 3 C. 2
D.3 3
答案 C c2=(a-b)2+6即c2=a2+b2-2ab+6①.由C= 及余弦定理得c2=a2+b2
3
.
6
答案 解析
6
∴B= .
6.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若c=4,sin C=2sin A,sin B=
15 ,则a= 4
15 2 ,S△ABC=
.
15 答案 2;
解析 ∵sin C=2sin A,∴c=2a=4,∴a=2,∴S△ABC= ×2×4× = 15 .
3 6 6
故∠DBC=∠C,DB=DC. 设DC=x,则DB=x,DA=3x.
在△ADB中,由余弦定理得
AB2=DA2+DB2-2DA· DB· cos∠ADB,
即7=(3x)2+x2-2· 3x· x· =7x2,
解得x=1(舍负),即DC=1. (2)在△ADB中,由余弦定理得
1 AB 2 BD 2 AD 2 7 1 9 cos∠ABD= = =- , 2 AB BD 2 7 1 2 7 3 3 又∠ABD∈(0,π),故sin∠ABD= , 2 7 故tan∠ABD=-3 3 .
(2)解题中注意三角形内角和定理的应用及角范围的限制.
1-1 (2018北京海淀高三期末,15)如图,在△ABC中,点D在AC边上,且
AD=3DC,AB= 7 ,∠ADB= ,∠C= .
2019版高考数学(理)一轮总复习课件：4-专题研究2 正、余弦定理应用举例
思考题2 (1)在湖面上高为10 m处测得天空中一朵云的
仰角为30°，测得湖中影子的俯角为45°，则云距湖面的高度
为(精确到0.1 m)( )
A．2.7 m
B. 17.3 m
C. 37.3 m
D. 373 m
【解析】 依题意画出示意图， 则CtaMn3－0°10＝CtaMn4＋5°10， ∴CM＝ttaann4455°°＋－ttaann3300°°×10≈37.3(m) 【答案】 C
思考题 1 (2014·四川，理)如图所示，从气球 A 上测得正 前方的河流的两岸 B，C 的俯角分别为 67°，30°，此时气球的 高是 46 m，则河流的宽度 BC 约等于________ m．(用四舍五入 法将结果精确到个位．参考数据：sin67°≈0.92，cos67°≈0.39， sin37°≈0.60，cos37°≈0.80， 3≈1.73)
∠BDE＝180°－135°－30°＝15°.在Rt△BED中，
BE＝DBsin15°＝202×Fra bibliotek6－ 4
2＝10(
3－1)．
在Rt△ABE中，∠AEB＝30°，
∴AB＝BEtan30°＝130(3－ 3)(米)．
故所求的塔高为130(3－ 3) 米．
【答案】 130(3－ 3) 米
★状元笔记★ 高度问题的注意点 本题有两处易错点：①图形中为空间关系，极易当做平面 问题处理，从而致错；②对仰角、俯角等概念理解不够深入， 从而把握不准已知条件而致错．
【解析】 根据已知的图形可得 AB＝sin4667°. 在△ABC 中，∠BCA＝30°，∠BAC＝37°， 由正弦定理，得sinA3B0°＝sinB3C7°. 所以 BC≈2×04.962×0.60＝60 (m)． 【答案】 60
(北京专用)2019版高考数学一轮复习第四章三角函数、解三角形第七节正弦定理和余弦定理课件文
答案 或2
33
解析 ∵在△ABC中,cos A= 13 ,
14
∴sin A= 1= cos, 2 A 3 3
14
∵7a=3b,
∴sin B= bsi=n A ×7 3 =3 ,3
a 3 14 2
∵B∈(0,π),
∴B= 或2 .
33
故答案为 或2 .
33
.
9
5.(2018北京海淀高三期末)在△ABC中,a=1,b= 7,且△ABC的面积为
在△ABD中,AD= ,7AB=2x,∠B= ,
3
∴由余弦定理可得AD2=AB2+BD2-2AB·BD·cos B, 即7=4x2+9x2-2x·3x,解得x=1(舍负), ∴CD=1.
规律总结 (1)在解有关三角形的题目时,要有意识地考虑用哪个定理更合适,或是 两个定理都要用,要抓住能够利用某个定理的信息.一般地,如果式子中 含有角的余弦或边的二次式,要考虑用余弦定理;如果式子中含有角的 正弦或边的一次式,要考虑用正弦定理;以上特征都不明显时,则要考虑 两个定理都有可能用到. (2)解题时注意三角形内角和定理的应用及角的范围限制.
sin D
(2)求CD的长.
解析 (1)∵△ABC是等边三角形,∴AC=BC, 又∵BC=2CD,∴AC=2CD,
∴在△ACD中,由正弦定理可得 =CD , AC
sin CAD sin D
∴ sin=CA=D C. D 1
sin D AC 2
(2)设CD=x(x>0),则BC=2x, ∴BD=3x.
4
C3 .
1D.
4
6
答案 B 在△ABC中,∵sin(A+B)= 1 ,∴sin C=1 .
【赢在课堂】高考数学一轮复习 4.7正弦定理、余弦定理及其实际应用配套课件 理 新人教A版
2.(2012·湖南卷,文 8)在△ABC 中,AC= 7,BC=2,B=60° ,则 BC 边上的 高等于( A. C.
3 2 3+ 6 2
) B.
3 3 2 3+ 39 4
D.
【答案】B
【解析】在△ABC 中,由余弦定理可知: AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos B, 即 7=AB2+4-2× 2× AB× . 整理得 AB2-2AB-3=0, 解得 AB=-1(舍去)或 AB=3. 故 BC 边上的高 AD=AB·sin B=3× sin 60° =
第7讲
正弦定理、余弦定理及其 实际应用
考纲展示
1.正弦定理和余弦定理 掌握正弦定理、余弦定理, 并能解决一些简单的三角 形度量问题. 2.应用 能够运用正弦定理、余弦 定理等知识和方法解决一 些与测量和几何计算有关 的实际问题.
考纲解读
高考对正弦定理及余弦定理这部分内容的考查主 要涉及三角形的边角转化、三角形形状的判断、 三角形内的三角函数求值及三角恒等式的证明、 解析几何中有关的角及实际应用等问题 , 多以正 弦定理、余弦定理为框架 , 以三角形为主要依托 , 来综合考查三角知识 , 题型一般是选择题和填空 题,也有可能是中档难度的解答题.
(1)由 b2+c2-a2+bc=0 的结构形式,可联想余弦定理,求出 cos A,进而求出 A 的值. (2)由 a= 3及 b2+c2-a2+bc=0,可求出关于 b,c 的关系式,利用不等式,即 可求出 bc 的最大值. (3)由正弦定理可实现将边化为角,从而达到化简求值的目的.
【解】(1)∵ cos
3 3 . 2 1 2
T 题型三正、 余弦定理的综合应用
高三一轮总复习高效讲义第4章第6节正弦定理、余弦定理及应用举例课件
[对点练]
1．在△ ABC中，c－2ca
＝sin
2B 2
(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则
△ ABC的形状为( )
A．直角三角形
B．等边三角形
C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形
解析：由cos
B＝1－2sin
2B 2
得sin
2B 2
＝1－co2s
B ，所以c－2ca ＝1－co2s
AE sin sin
45° 30°
＝
2AB cos 15°
，因此CD＝AD
sin
60°＝ cos
2×10 （45°－30°）
×sin 60°＝10(3－ 3 )．
答案：10(3－ 3 )
备考第 2 步——突破核心考点，提升关键能力
考点1 利用正弦定理、余弦定理解三角形[自主演练]
1．△ ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a sin A－b sin B＝4c sin
答案：BC
4．在△ ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝4，b＝5，b>c， △ ABC的面积为5 3 ，则c＝________．
解析：由三角形面积公式，得12 ×4×5sin C＝5 3 ，
即sin
C＝
3 2
．又b>a，b>c，所以C为锐角，于是C＝60°．
由余弦定理，得c2＝42＋52－2×4×5cos 60°，解得c＝ 21 ．
3．(多选)在△ ABC中，角A，B，C所对的各边分别为a，b，c，若a＝1，b＝ 2 ，
A＝30°，则B等于( )
A．30°
B．45°
C．135°
D．150°
解析：根据正弦定理sina A ＝sinb B 得，
高考数学 4.7 正弦定理 余弦定理应用举例复习
正弦定理 余弦定理
由正弦定理 求出角 B；由 A＋B＋C＝ 180°，求出角 C；再利用正 弦定理或余 弦定理求 c. 可有两解，一
解或无解
整理课件
2. 用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题 型 测量距离问题、高度问题、角度问题、计 算面积问题、航海问题、物理问题等．
3．实际问题中的常用角 (1)仰角和俯角 与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和 目标视线的夹角，目标视线在水平视线上 方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯 角(如图①)．
解析 如图所示，设塔高为 h m. 由题意及图可知： (200－h)·tan 60°＝ta2n0600°. 解得：h＝4300 (m)．
整理课件
4．某人向正东方向走 x km 后，他向右转 150°， 然后朝新方向走 3 km，结果他离出发点恰 好 3 km，那么 x 的值为__3_或__2_．3 解析 如图，在△ABC 中，AB＝x，BC＝3， AC＝ 3，∠ABC＝30°， 由余弦定理得( 3)2＝32＋x2－2×3x×cos 30°， 即 x2－3 3x＋6＝0，解得 x1＝ 3，x2＝2 3， 经检验均合题意．
又 AD⊥CD，∴∠CDB＝30°， ∴BC＝sin161035°·sin 30°＝80 2≈113 (m)． 即两景点 B 与 C 之间的距离约为 113 m.
整理课件
题型二 测量高度问题 例 2 某人在塔的正东沿着南偏西 60°的方向前
进 40 米后，望见塔在东北方向，若沿途 测得塔顶的最大仰角为 30°，求塔高．
整理课件
5．如图，在△ABC 中，若 A＝120°， AB＝5，BC＝7，则△ABC 的面积 S＝___1_54_3___. 解析 设 AC＝x，则 72＝x2＋52－2×5× xcos 120°，即 x2＋5x－24＝0， ∴x＝3 或 x＝－8(舍去)． ∴S＝12×3×5×sin 120°＝154 3.
高考数学一轮复习 第四篇三角函数、解三角形第7讲 正弦定理、余弦定理应用举例教案 理
高考数学一轮复习第四篇三角函数、解三角形第7讲正弦定理、余弦定理应用举例教案理【2013年高考会这样考】考查利用正弦定理、余弦定理解决实际问题中的角度、方向、距离及测量问题．【复习指导】1．本讲联系生活实例，体会建模过程，掌握运用正弦定理、余弦定理解决实际问题的基本方法．2．加强解三角形及解三角形的实际应用，培养数学建模能力．基础梳理1．用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等．2．实际问题中的常用角(1)仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图(1))．(2)方位角指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图(2))．(3)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°，西偏东60°等．(4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数．一个步骤解三角形应用题的一般步骤：(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系．(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型．(3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解．(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等．两种情形解三角形应用题常有以下两种情形(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解．(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解．双基自测1．(人教A版教材习题改编)如图，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A，B 两点的距离为( )．A．50 2 m B．50 3 m C．25 2 m D.2522m解析由正弦定理得ABsin∠ACB＝ACsin B，又∵B＝30°∴AB＝AC·sin∠ACBsin B＝50×2212＝502(m)．答案 A2．从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为( )．A．α＞β B．α＝βC．α＋β＝90° D．α＋β＝180°解析根据仰角与俯角的定义易知α＝β.答案 B3．若点A在点C的北偏东30°，点B在点C的南偏东60°，且AC＝BC，则点A在点B的( )．A．北偏东15° B．北偏西15°C．北偏东10° D．北偏西10°解析如图．答案 B4．一船向正北航行，看见正西方向相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，则这艘船的速度是每小时( )． A ．5海里 B ．53海里 C ．10海里D ．103海里解析 如图所示，依题意有∠BAC ＝60°，∠BAD ＝75°，所以∠CAD ＝∠CDA ＝15°，从而CD ＝CA ＝10(海里)，在Rt △ABC 中，得AB ＝5(海里)， 于是这艘船的速度是50.5＝10(海里/时)．答案 C5．海上有A ，B ，C 三个小岛，测得A ，B 两岛相距10海里，∠BAC ＝60°，∠ABC ＝75°，则B ，C 间的距离是________海里．解析 由正弦定理，知BC sin 60°＝ABsin 180°－60°－75°.解得BC ＝56(海里)．答案 5 6考向一 测量距离问题【例1】►如图所示，为了测量河对岸A ，B 两点间的距离，在这岸定一基线CD ，现已测出CD ＝a 和∠ACD ＝60°，∠BCD ＝30°，∠BDC ＝105°，∠ADC ＝60°，试求AB 的长．[审题视点] 在△BCD 中，求出BC ，在△ABC 中，求出AB .解 在△ACD 中，已知CD ＝a ，∠ACD ＝60°，∠ADC ＝60°，所以AC ＝a .∵∠BCD ＝30°，∠BDC ＝105°∴∠CBD ＝45°在△BCD 中，由正弦定理可得BC ＝a sin 105°sin 45°＝3＋12a . 在△ABC 中，已经求得AC 和BC ，又因为∠ACB ＝30°，所以利用余弦定理可以求得A ，B 两点之间的距离为AB ＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos 30°＝22a . (1)利用示意图把已知量和待求量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解三角形的模型．(2)利用正、余弦定理解出所需要的边和角，求得该数学模型的解．【训练1】 如图，A ，B ，C ，D 都在同一个与水平面垂直的平面内，B 、D 为两岛上的两座灯塔的塔顶，测量船于水面A 处测得B 点和D 点的仰角分别为75°，30°，于水面C 处测得B 点和D 点的仰角均为60°，AC ＝0.1 km.试探究图中B 、D 间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B ，D 的距离．解 在△ACD 中，∠DAC ＝30°，∠ADC ＝60°－∠DAC ＝30°，所以CD ＝AC ＝0.1 km.又∠BCD ＝180°－60°－60°＝60°，故CB 是△CAD 底边AD 的中垂线，所以BD ＝BA . 又∵∠ABC ＝15°在△ABC 中，AB sin ∠BCA ＝ACsin ∠ABC ，所以AB ＝AC sin 60°sin 15°＝32＋620(km)，同理，BD ＝32＋620(km)．故B 、D 的距离为32＋620km.考向二 测量高度问题【例2】►如图，山脚下有一小塔AB ，在塔底B 测得山顶C 的仰角为60°，在山顶C 测得塔顶A 的俯角为45°，已知塔高AB ＝20 m ，求山高CD .[审题视点] 过点C 作CE ∥DB ，延长BA 交CE 于点E ，在△AEC 中建立关系． 解如图，设CD ＝x m ， 则AE ＝x －20 m ，tan 60°＝CD BD， ∴BD ＝CDtan 60°＝x 3＝33x (m)．在△AEC 中，x －20＝33x ， 解得x ＝10(3＋3) m ．故山高CD 为10(3＋3) m.(1)测量高度时，要准确理解仰、俯角的概念；(2)分清已知和待求，分析(画出)示意图，明确在哪个三角形内应用正、余弦定理． 【训练2】 如图所示，测量河对岸的塔高AB 时，可以选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D ，现测得∠BCD ＝α，∠BDC ＝β，CD ＝s ，并在点C 测得塔顶A 的仰角为θ，求塔高AB .解 在△BCD 中，∠CBD ＝π－α－β， 由正弦定理得BC sin ∠BDC ＝CDsin ∠CBD ，所以BC ＝CD sin ∠BDC sin ∠CBD ＝s ·sin βsin α＋β在Rt △ABC 中，AB ＝BC tan ∠ACB ＝s tan θsin βsin α＋β.考向三 正、余弦定理在平面几何中的综合应用【例3】►如图所示，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝5，AC ＝9，∠BCA ＝30°，∠ADB ＝45°，求BD 的长．[审题视点] 由于AB ＝5，∠ADB ＝45°，因此要求BD ，可在△ABD 中，由正弦定理求解，关键是确定∠BAD 的正弦值．在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝9，∠ACB＝30°，因此可用正弦定理求出sin ∠ABC ，再依据∠ABC 与∠BAD 互补确定sin ∠BAD 即可． 解 在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝9，∠BCA ＝30°. 由正弦定理，得AB sin ∠ACB ＝ACsin ∠ABC ，sin ∠ABC ＝AC ·sin∠BCA AB ＝9sin 30°5＝910.∵AD ∥BC ，∴∠BAD ＝180°－∠ABC ， 于是sin ∠BAD ＝sin ∠ABC ＝910. 同理，在△ABD 中，AB ＝5，sin ∠BAD ＝910，∠ADB ＝45°，由正弦定理：AB sin ∠BDA ＝BDsin ∠BAD，解得BD ＝922.故BD 的长为922.要利用正、余弦定理解决问题，需将多边形分割成若干个三角形，在分割时，要注意有利于应用正、余弦定理．【训练3】 如图，在△ABC 中，已知∠B ＝45°，D 是BC 边上的一点，AD ＝10，AC ＝14，DC ＝6，求AB 的长．解 在△ADC 中，AD ＝10，AC ＝14，DC ＝6，由余弦定理得cos ∠ADC ＝AD 2＋DC 2－AC 22AD ·DC＝100＋36－1962×10×6＝－12，∴∠ADC ＝120°，∴∠ADB ＝60°.在△ABD 中，AD ＝10，∠B ＝45°，∠ADB ＝60°，由正弦定理得ABsin∠ADB＝ADsinB，∴AB＝AD·sin∠ADBsin B＝10sin 60°sin 45°＝10×3222＝5 6.规范解答9——如何运用解三角形知识解决实际问【问题研究】1解三角形实际应用问题的一般步骤是：审题——建模准确地画出图形——求解——检验作答.,2三角形应用题常见的类型：,①实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理解之；,②实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个三角形，这时需按顺序逐步在两个三角形中求出问题的解；,③实际问题经抽象概括后，涉及的三角形只有一个，但由题目已知条件解此三角形需连续使用正弦定理或余弦定理.,【解决方案】航海、测量问题利用的就是目标在不同时刻的位置数据，这些数据反映在坐标系中就构成了一些三角形，根据这些三角形就可以确定目标在一定的时间内的运动距离，因此解题的关键就是通过这些三角形中的已知数据把测量目标归入到一个可解三角形中.【示例】►(本题满分12分)如图，甲船以每小时302海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处，此时两船相距102海里．问：乙船每小时航行多少海里？(1)分清已知条件和未知条件(待求)．(2)将问题集中到一个三角形中．(3)利用正、余弦定理求解．[解答示范] 如图，连接A1B2由已知A2B2＝102，A 1A 2＝302×2060＝102，∴A 1A 2＝A 2B 2.又∠A 1A 2B 2＝180°－120°＝60°， ∴△A 1A 2B 2是等边三角形，∴A 1B 2＝A 1A 2＝10 2.由已知，A 1B 1＝20， ∠B 1A 1B 2＝105°－60°＝45°，(8分) 在△A 1B 2B 1中，由余弦定理得B 1B 22＝A 1B 21＋A 1B 22－2A 1B 1·A 1B 2·cos 45°＝202＋(102)2－2×20×102×22＝200， ∴B 1B 2＝10 2.因此，乙船的速度为10220×60＝302(海里/时)．(12分)利用解三角形知识解决实际问题要注意根据条件画出示意图，结合示意图构造三角形，然后转化为解三角形的问题进行求解．【试一试】 如图所示，位于A 处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C 处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向即沿直线CB 前往B 处救援，求cos θ.[尝试解答] 如图所示，在△ABC 中，AB ＝40，AC ＝20，∠BAC ＝120°，由余弦定理，得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos 120°＝2 800，所以BC ＝207.由正弦定理，得sin ∠ACB ＝AB BC ·sin∠BAC ＝217. 由∠BAC ＝120°，知∠ACB 为锐角，故cos ∠ACB ＝277.故cos θ＝cos(∠ACB ＋30°)＝cos ∠ACB cos 30°－sin ∠ACB sin 30° ＝277×32－217×12＝2114.。
近年高考数学一轮复习第4章三角函数专题研究2正、余弦定理应用举例练习理(2021年整理)
2019高考数学一轮复习第4章三角函数专题研究2 正、余弦定理应用举例练习理编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2019高考数学一轮复习第4章三角函数专题研究2 正、余弦定理应用举例练习理）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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专题研究2 正、余弦定理应用举例1。
如图所示，为了测量某湖泊两侧A，B间的距离，李宁同学首先选定了与A，B不共线的一点C（△ABC的角A，B，C所对的边分别记为a，b，c),然后给出了三种测量方案：①测量A,C，b；②测量a，b，C；③测量A，B,a，则一定能确定A,B间的距离的所有方案的序号为（）A．①②B．②③C．①③D．①②③答案D解析由题意可知，在①②③三个条件下三角形均可唯一确定，通过解三角形的知识可求出AB.故选D.2.(2017·广东中山上学期期末)如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，∠ACB＝45°,∠CAB＝105°后，就可以计算出A，B两点的距离为（)A．50错误! m B．50错误! mC．25错误! m D.错误! m答案A解析由题意，得B＝30°.由正弦定理，得错误!＝错误!,∴AB＝错误!＝错误!＝50错误! (m）．故选A.3．某人在C点测得某塔在南偏西80°，塔顶仰角为45°，此人沿南偏东40°方向前进10米到D，测得塔顶A的仰角为30°，则塔高为( )A．15米B．5米C．10米D．1米答案C解析如图所示，设塔高为h，在Rt△AOC中，∠ACO＝45°，则OC＝OA＝h.在Rt△AOD中，∠ADO＝30°，则OD＝错误!h，在△OCD中,∠OCD＝120°,CD＝10，由余弦定理得OD2＝OC2＋CD2－2OC·CD cos∠OCD，即（3h)2＝h2＋102－2h×10×cos120°，∴h2－5h－50＝0,解得h＝10或h＝－5（舍去)．4．有一长为1千米的斜坡，它的倾斜角为20°，现要将倾斜角改为10°，则斜坡长为（）A．1千米B．2sin10°千米C．2cos10°千米D．cos20°千米答案C解析由题意知DC＝BC＝1，∠BCD＝160°，∴BD2＝DC2＋CB2－2DC·CB·cos160°＝1＋1－2×1×1cos(180°－20°）＝2＋2cos20°＝4cos210°，∴BD＝2cos10°。
高考数学一轮复习第4章 第7节 正弦定理、余弦定理的综合应用 (2)
正弦定理、余弦定理的综合应用[考试要求]能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．测量中的几个常用术语术语名称术语意义图形表示仰角与俯角在目标视线与水平视线(两者在同一铅垂平面内)所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰角，目标视线在水平视线下方的叫做俯角方位角从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角，方位角θ的范围是[0°，360°)方向角正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)α例：(1)北偏东α：(2)南偏西α：坡角与坡度坡面与水平面所成锐二面角叫坡角(θ为坡角)；坡面的垂直高度与水平宽度之比叫坡度(坡比)，即i＝hl＝tan θ提醒：涉及到角时，一定要弄清此角的始边和终边所在位置．如方位角135°的始边是指北方向线，始边顺时针方向旋转135°得到终边；方向角南偏西30°的始边是指南方向线，向西旋转30°得到终边．一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)东北方向就是北偏东45°的方向．( )(2)从A 处望B 处的仰角为α，从B 处望A 处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°.( )(3)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系．( )(4)方位角大小的范围是[0,2π)，方向角大小的范围一般是⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫0，π2.( )[答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)√ 二、教材习题衍生1．点A 在点B 的北偏东60°，则点B 在点A 的( ) A ．北偏西60° B ．南偏东30° C ．南偏西60°D ．北偏西30°C [如图所示，点B 在点A 的南偏西60°，故选C.]2．如图所示，设A ，B 两点在河的两岸，一测量者在A 所在的同侧河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50 m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°后，就可以计算出A ，B 两点的距离为( )A ．502 mB ．503 m C ．252 mD ．25 22mA [由正弦定理得ABsin∠ACB ＝ACsin B，又∵B＝30°，∴AB＝ACsin∠ACBsin B＝50×2212＝502(m)．]3.如图所示，D，C，B三点在地面的同一条直线上，DC＝a，从C，D两点测得A点的仰角分别为60°，30°，则A点离地面的高度AB＝________.32a[由已知得∠DAC＝30°，△ADC为等腰三角形，所以AC＝a，所以在Rt△ACB中，AB＝AC·sin∠ACB＝32a.]4．在一幢10 m高的房屋顶测得对面一塔顶的仰角为60°，塔基的俯角为30°，假定房屋与塔基在同一水平地面上，则塔的高度为________m.40[如图所示，BD＝10 m，则AB＝20 m，AD＝20 cos 30°＝103 m，在△ACD中，CD＝103·tan 60°＝30 m，所以塔的高度CB＝30＋10＝40 m．]考点一解三角形的实际应用利用正、余弦定理解决实际问题的一般步骤[典例1] (1)(2020·宜宾模拟)海上一艘轮船以60 nmile/h 的速度向正东方向航行，在A 处测得小岛C 在北偏西30°的方向上，小岛D 在北偏东30°的方向上，航行20 min 后到达B 处测得小岛C 在北偏西60°的方向上，小岛D 在北偏西15°的方向上，则两个小岛间的距离CD ＝________nmile.(2)如图所示，位于A 处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C 处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB 前往B 处救援，则cos θ的值为________．(1)106 (2)2114[(1)∵△ABC 中，由题意可得：∠CAB ＝120°，∠BCA ＝30°，AB ＝60×13＝20，∴由正弦定理BC sin∠CAB＝ABsin∠BCA，∴BC ＝AB·sin∠CAB sin∠BCA＝20×3212＝203.∵在△ABD 中，由于∠DAB ＝60°，∠ADB ＝45°，由正弦定理可得：BDsin∠DAB＝ABsin∠ADB，可得：BD＝AB·sin∠DABsin∠ADB＝20×3222＝106，∴△BCD中，由余弦定理可得CD2＝(106)2＋(203)2－2×106×203×cos 45°，∴解得：CD＝106.即两个小岛之间的距离CD为106 nmile.(2)在△ABC中，AB＝40，AC＝20，∠BAC＝120°，由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos 120°＝2 800，得BC＝207.由正弦定理，得ABsin∠ACB＝BCsin∠BAC，即sin∠ACB＝ABBC·sin∠BAC＝217.由∠BAC＝120°，知∠ACB为锐角，则cos∠ACB＝27 7.由θ＝∠ACB＋30°，得cos θ＝cos(∠ACB＋30°)＝cos∠ACB cos 30°－sin∠ACB sin 30°＝21 14.]点评：解答此类问题的关键是正确理解题意，包括所涉及的方向角、方位角及仰角、俯角等，依据题意画出示意图．[跟进训练]1．(2020·开封模拟)国庆阅兵式上举行升旗仪式，在坡度为15°的观礼台上，某一列座位与旗杆在同一个垂直于地面的平面上，某同学在该列的第一排和最后一排测得旗杆顶端的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为25米，则旗杆的高度约为( )A ．17米B ．22米C ．31米D ．35米C [如图所示，依题意可知∠ADC ＝45°，∠ACD ＝180°－60°－15°＝105°，∴∠DAC ＝180°－45°－105°＝30°， 由正弦定理可知CDsin∠DAC ＝ACsin∠CDA ，∴AC ＝CD·sin∠CDA sin∠DAC ＝252米．∴在Rt △ABC 中，AB ＝AC ·sin ∠ACB ＝252×32＝2562≈31米．∴旗杆的高度约为31米，故选C.]2．(2020·宜昌模拟)如图所示，为了测量A ，B 两座岛屿间的距离，小船从初始位置C 出发，已知A 在C 的北偏西45°的方向上，B 在C 的北偏东15°的方向上，现在船往东开2百海里到达E 处，此时测得B 在E 的北偏西30°的方向上，再开回C 处，由C 向西开26百海里到达D 处，测得A 在D 的北偏东22.5°的方向上，则A ，B 两座岛屿间的距离为( )A ．3百海里B ．32百海里C．4百海里D．42百海里B[如图所示，根据题意知：∠ADC＝∠DAC＝67.5°，∠ACB＝60°，DC＝26，CE＝2，∠BCE＝75°，∠CBE＝45°，∠CEB＝60°.所以在△BCE中，利用正弦定理CBsin∠CEB＝CEsin∠CBE，解得BC＝6，在△ADC中，∠ADC＝∠DAC＝67.5°，所以DC＝AC＝26，则在△ACB中，利用余弦定理AB2＝AC2＋CB2－2AC·CB·cos 60°，解得AB＝32，故选B.]考点二平面几何中的解三角形问题与平面图形有关的解三角形问题的关键及思路求解平面图形中的计算问题，关键是梳理条件和所求问题的类型，然后将数据化归到三角形中，利用正弦定理或余弦定理建立已知和所求的关系．具体解题思路如下：(1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解；(2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果．[典例2]如图，在平面四边形ABCD中，DA⊥AB，DE＝1，EC＝7，EA＝2，∠ADC＝2π3，且∠CBE，∠BEC，∠BCE成等差数列．(1)求sin∠CED；(2)求BE 的长． [解] 设∠CED ＝α.因为∠CBE ，∠BEC ，∠BCE 成等差数列， 所以2∠BEC ＝∠CBE ＋∠BCE ， 又∠CBE ＋∠BEC ＋∠BCE ＝π， 所以∠BEC ＝π3.(1)在△CDE 中，由余弦定理得EC 2＝CD 2＋DE 2－2CD ·DE ·cos ∠EDC ， 即7＝CD 2＋1＋CD ，即CD 2＋CD －6＝0， 解得CD ＝2(CD ＝－3舍去)． 在△CDE 中，由正弦定理得EC sin∠EDC＝CDsin α，于是sin α＝CD·sin 2π3EC ＝2×327＝217，即sin ∠CED ＝217.(2)由题设知0＜α＜π3，由(1)知cos α＝1－sin2α＝1－2149＝277，又∠AEB＝π－∠BEC －α＝2π3－α，所以cos ∠AEB ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2π3－α＝cos 2π3cos α＋sin 2π3sin α＝－12×277＋32×217＝714.在Rt △EAB 中，cos ∠AEB ＝EA BE ＝2BE ＝714，所以BE ＝47.点评：做题过程中，要用到平面几何中的一些知识点，如相似三角形的边角关系、平行四边形的一些性质，要把这些性质与正弦、余弦定理有机结合，才能顺利解决问题．[跟进训练](2020·江苏高考)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知a ＝3，c ＝2，B ＝45°.(1)求sin C 的值；(2)在边BC 上取一点D ，使得cos ∠ADC ＝－45，求tan ∠DAC 的值．[解] (1)在△ABC 中，因为a ＝3，c ＝2，B ＝45°，由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 得b 2＝9＋2－2×3×2cos 45°＝5，所以b ＝5.在△ABC 中，由正弦定理bsin B ＝csin C， 得5sin 45°＝2sin C ，所以sin C ＝55.(2)在△ADC 中，因为cos ∠ADC ＝－45，所以∠ADC 为钝角．而∠ADC ＋∠C ＋∠CAD ＝180°，所以∠C 为锐角． 故cos C ＝1－sin2C ＝255，则tan C ＝sin Ccos C ＝12.因为cos ∠ADC ＝－45，所以sin ∠ADC ＝1－cos2∠ADC＝35，所以tan ∠ADC ＝sin∠ADCcos∠ADC ＝－34.从而tan ∠DAC ＝tan(180°－∠ADC －∠C ) ＝－tan(∠ADC ＋∠C )＝－tan∠ADC＋tan C 1－tan∠ADC×tan C＝－－34＋121－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－34×12＝211.考点三 与三角形有关的最值、范围问题1．三角形中的最值、范围问题的解题策略(1)定基本量：根据题意或几何图形厘清三角形中边、角的关系，利用正、余弦定理求出相关的边、角或边角关系，并选择相关的边、角作为基本量，确定基本量的范围．(2)构建函数：根据正、余弦定理或三角恒等变换将待求范围的变量用关于基本量的函数解析式表示．(3)求最值：利用基本不等式或函数的单调性等求最值．2．求解三角形中的最值、范围问题的注意点(1)涉及求范围的问题，一定要搞清已知变量的范围，利用已知的范围进行求解，已知边的范围求角的范围时可以利用余弦定理进行转化．(2)注意题目中的隐含条件，如A ＋B ＋C ＝π，0＜A ＜π，b －c ＜a ＜b ＋c ，三角形中大边对大角等．求角(函数值)的最值(范围)[典例3－1] (2020·浙江高考)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2b sin A －3a ＝0.(1)求角B 的大小；(2)求cos A ＋cos B ＋cos C 的取值范围． [解] (1)由正弦定理，得2sin B sin A ＝3sin A ，故sin B ＝32，由题意得B ＝π3.(2)由A ＋B ＋C ＝π，得C ＝2π3－A .由△ABC 是锐角三角形，得A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π6，π2.由cos C ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2π3－A ＝－12cos A ＋32sin A ，得cos A ＋cos B ＋cos C ＝32sin A ＋12cos A ＋12＝sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫A ＋π6＋12∈⎝⎛⎦⎥⎥⎤3＋12，32. 故cos A ＋cos B ＋cos C 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎥⎤3＋12，32.点评：求角(函数值)的最值(范围)问题一般先将边转化为角表示，再根据三角恒等变换及三角形内角和定理转化为一个角的一个三角函数表示，然后求解．求边(周长)的最值(范围)[典例3－2] (2020·全国卷Ⅱ)△ABC 中，sin 2A －sin 2B －sin 2C ＝sin B sin C . (1)求A ；(2)若BC ＝3，求△ABC 周长的最大值． [解] (1)由正弦定理和已知条件得 BC 2－AC 2－AB 2＝AC ·AB . ①由余弦定理得BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC ·AB cos A ． ② 由①②得cos A ＝－12.因为0＜A ＜π，所以A ＝2π3.(2)由正弦定理及(1)得ACsin B ＝ABsin C ＝BCsin A ＝23，从而AC ＝23sin B ，AB ＝23sin(π－A －B )＝3cos B －3sin B .故BC ＋AC ＋AB ＝3＋3sin B ＋3cos B ＝3＋23sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫B ＋π3.又0＜B ＜π3，所以当B ＝π6时，△ABC 周长取得最大值3＋23.点评：求边(周长)的最值(范围)问题一般通过三角中的正、余弦定理将边转化为角的三角函数值，再结合角的范围求解，有时也可将角转化为边，利用均值不等式或函数最值求解．求三角形面积的最值(范围)[典例3－3] (2019·全国卷Ⅲ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知a sinA ＋C 2＝b sin A .(1)求B ；(2)若△ABC 为锐角三角形，且c ＝1，求△ABC 面积的取值范围． [解] (1)由题设及正弦定理得sin A sin A ＋C 2＝sin B sin A .因为sin A ≠0，所以sinA ＋C 2＝sin B .由A ＋B ＋C ＝180°，可得sinA ＋C 2＝cos B 2，故cos B2＝2sin B2cos B2.因为cos B2≠0，故sin B2＝12，所以B ＝60°. (2)由题设及(1)知△ABC 的面积S △ABC ＝34a .由正弦定理得a ＝csin Asin C＝错误!＝错误!＋错误!.由于△ABC 为锐角三角形，故0°<A <90°，0°<C <90°.由(1)知A ＋C ＝120°，所以30°＜C <90°，故12＜a ＜2，从而38＜S △ABC ＜32.因此，△ABC 面积的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫38，32.点评：求三角形面积的最值(范围)的两种思路(1)将三角形面积表示为边或角的函数，再根据条件求范围．(2)若已知三角形的一个内角(不妨设为A )，及其对边，则可根据余弦定理，利用基本不等式求bc 的最值从而求出三角形面积的最值．[跟进训练]1．在钝角△ABC 中 ，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，B 为钝角，若a cos A ＝b sin A ，则sin A ＋sin C 的最大值为( )A ．2B ．98C ．1D ．78B [∵a cos A ＝b sin A ，由正弦定理可得，sin A cos A ＝sin B sin A ，∵sin A ≠0，∴cos A ＝sin B ，又B 为钝角，∴B ＝A ＋π2，sin A ＋sin C ＝sin A ＋sin(A ＋B )＝sin A ＋cos 2A ＝sin A ＋1－2sin 2A ＝－2⎝⎛⎭⎪⎪⎫sin A －142＋98，∴sin A ＋sin C 的最大值为98.]2．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若角A ，B ，C 成等差数列，且b ＝32.(1)求△ABC 的外接圆直径； (2)求a ＋c 的取值范围．[解] (1)因为角A ，B ，C 成等差数列，所以2B ＝A ＋C ，又因为A ＋B ＋C ＝π，所以B ＝π3.根据正弦定理得，△ABC 的外接圆直径2R ＝bsin B ＝32sinπ3＝1. (2)由B ＝π3，知A ＋C ＝2π3，可得0＜A ＜2π3.由(1)知△ABC 的外接圆直径为1，根据正弦定理得，asin A ＝bsin B ＝csin C＝1， 所以a ＋c ＝sin A ＋sin C ＝sin A ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2π3－A ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32sin A ＋12cos A ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫A ＋π6.因为0＜A ＜2π3，所以π6＜A ＋π6＜5π6.所以12＜sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫A ＋π6≤1，从而32＜3sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫A ＋π6≤3，所以a ＋c 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎥⎤32，3. 3．△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知3a sin B －b cos A ＝0.(1)求角A ；(2)若a ＝2，求△ABC 面积的最大值． [解] (1)由3a sin B －b cos A ＝0及正弦定理得，3sin A sin B －sin B cos A ＝0，因为sin B ≠0，所以3sin A ＝cos A ，即tan A ＝33.因为0＜A ＜π，所以A ＝π6.(2)因为a ＝2，所以4＝c 2＋b 2－3bc ≥2bc －3bc ，所以4(2＋3)≥bc ，因为S△ABC ＝12bc sin A ＝14bc ，所以当且仅当b ＝c ＝6＋2时S △ABC 最大，所以△ABC 面积的最大值为2＋3.。
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第7讲 正、余弦定理的应用举例一、选择题1.两座灯塔A 和B 与海岸观察站C 的距离相等，灯塔A 在观察站南偏西40°，灯塔B 在观察站南偏东60°，则灯塔A 在灯塔B 的( )A ．北偏东10°B ．北偏西10°C ．南偏东80°D ．南偏西80°解析：选D.由条件及题图可知，∠A ＝∠B ＝40°，又∠BCD ＝60°，所以∠CBD ＝30°，所以∠DBA ＝10°，因此灯塔A 在灯塔B 南偏西80°.2．已知A 、B 两地间的距离为10 km ，B 、C 两地间的距离为20 km ，现测得∠ABC ＝120°，则A ，C 两地间的距离为( )A ．10 kmB ．10 3 kmC ．10 5 kmD ．107 km解析：选D.如图所示，由余弦定理可得：AC 2＝100＋400－2×10×20×cos 120°＝700， 所以AC ＝107(km)．3. 如图，两座相距60 m 的建筑物AB ，CD 的高度分别为20 m 、50 m ，BD 为水平面，则从建筑物AB 的顶端A 看建筑物CD 的张角∠CAD 等于( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°解析：选B.依题意可得AD ＝2010 m ，AC ＝30 5 m ，又CD ＝50 m ，所以在△ACD 中，由余弦定理得cos ∠CAD ＝AC 2＋AD 2－CD 22AC ·AD＝（305）2＋（2010）2－5022×305×2010＝6 0006 0002＝22， 又0°<∠CAD <180°，所以∠CAD ＝45°，所以从顶端A 看建筑物CD 的张角为45°. 4. 如图，一条河的两岸平行，河的宽度d ＝0.6 km ，一艘客船从码头A 出发匀速驶往河对岸的码头B .已知AB ＝1 km ，水的流速为2 km/h ，若客船从码头A 驶到码头B 所用的最短时间为6 min ，则客船在静水中的速度为( )A ．8 km/hB ．6 2 km/hC ．234 km/hD ．10 km/h 解析：选B.设AB 与河岸线所成的角为θ，客船在静水中的速度为v km/h ，由题意知，sin θ＝0.61＝35，从而cos θ＝45，所以由余弦定理得⎝ ⎛⎭⎪⎫110v 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫110×22＋12－2×110×2×1×45，解得v ＝6 2.5．一个大型喷水池的中央有一个强大的喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A 测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A 向北偏东30°前进100 m 到达点B ，在B 点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是( )A ．50 mB ．100 mC ．120 mD ．150 m解析：选A.设水柱高度是h m ，水柱底端为C ，则在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝h ，AB ＝100，BC ＝3h ，根据余弦定理得，(3h )2＝h 2＋1002－2·h ·100·cos 60°，即h 2＋50h －5 000＝0，即(h －50)(h ＋100)＝0，即h ＝50，故水柱的高度是50 m.6．(2018·江西联考)某位居民站在离地20 m 高的阳台上观测到对面小高层房顶的仰角为60°，小高层底部的俯角为45°，那么这栋小高层的高度为( )A ．20⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋33m B ．20(1＋3)mC ．10(2＋6)mD ．20(2＋6)m解析：选B.如图，设AB 为阳台的高度，CD 为小高层的高度，AE 为水平线．由题意知AB ＝20 m ，∠DAE ＝45°，∠CAE ＝60°，故DE ＝20 m ，CE ＝203m.所以CD ＝20(1＋3)m.故选B.二、填空题7.如图所示，一艘海轮从A 处出发，测得灯塔在海轮的北偏东15°方向，与海轮相距20海里的B 处，海轮按北偏西60°的方向航行了30分钟后到达C 处，又测得灯塔在海轮的北偏东75°的方向，则海轮的速度为________海里/分．解析：由已知得∠ACB ＝45°，∠B ＝60°，由正弦定理得AC sin B ＝ABsin ∠ACB，所以AC ＝AB ·sin B sin ∠ACB ＝20×sin 60°sin 45°＝106，所以海轮航行的速度为10630＝63(海里/分)．答案：638.(2018·河南调研)如图，在山底测得山顶仰角∠CAB ＝45°，沿倾斜角为30°的斜坡走1 000米至S 点，又测得山顶仰角∠DSB ＝75°，则山高BC 为________米．解析：由题图知∠BAS ＝45°－30°＝15°，∠ABS ＝45°－15°＝30°，所以∠ASB ＝135°，在△ABS 中，由正弦定理可得 1 000sin 30°＝ABsin 135°，所以AB ＝1 0002，所以BC＝AB2＝1 000. 答案：1 0009．江岸边有一炮台高30 m ，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距________m.解析：如图，OM ＝AO tan 45°＝30(m)， ON ＝AO tan 30°＝33×30＝103(m)， 在△MON 中，由余弦定理得，MN＝ 900＋300－2×30×103×32＝300＝103(m)． 答案：10 310．(2018·福州综合质量检测)在距离塔底分别为80 m ，160 m ，240 m 的同一水平面上的A ，B ，C 处，依次测得塔顶的仰角分别为α，β，γ.若α＋β＋γ＝90°，则塔高为________m.解析：设塔高为h m ，依题意得，tan α＝h 80，tan β＝h 160，tan γ＝h240.因为α＋β＋γ＝90°，所以tan(α＋β)tan γ＝tan(90°－γ)tan γ＝sin （90°－γ）sin γcos （90°－γ）cos γ＝cos γsin γsin γcos γ＝1，所以tan α＋tan β1－tan αtan β·tan γ＝1，所以h 80＋h1601－h 80·h 160·h 240＝1，解得h ＝80，所以塔高为80 m.答案：80 三、解答题11.如图，渔船甲位于岛屿A 的南偏西60°方向的B 处，且与岛屿A 相距12海里，渔船乙以10海里/时的速度从岛屿A 出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B 处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上．(1)求渔船甲的速度； (2)求sin α的值．解：(1)依题意知，∠BAC ＝120°，AB ＝12，AC ＝10×2＝20，∠BCA ＝α.在△ABC 中，由余弦定理，得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos∠BAC ＝122＋202－2×12×20×cos 120°＝784.解得BC ＝28.所以渔船甲的速度为BC2＝14海里/时．(2)在△ABC 中，因为AB ＝12，∠BAC ＝120°，BC ＝28，∠BCA ＝α， 由正弦定理，得ABsin α＝BCsin 120°，即sin α＝AB sin 120°BC ＝12×3228＝3314.12.已知在东西方向上有M ，N 两座小山，山顶各有一个发射塔A ，B ，塔顶A ，B 的海拔高度分别为AM ＝100 米和BN ＝200 米，一测量车在小山M 的正南方向的点P 处测得发射塔顶A 的仰角为30°，该测量车向北偏西60°方向行驶了1003米后到达点Q ，在点Q 处测得发射塔顶B 处的仰角为θ，且∠BQA ＝θ，经测量tan θ＝2，求两发射塔顶A ，B 之间的距离．解：在Rt△AMP中，∠APM＝30°，AM＝100，所以PM＝1003，连接QM，在△PQM中，∠QPM＝60°，又PQ＝1003，所以△PQM为等边三角形，所以QM＝100 3.在Rt△AMQ中，由AQ2＝AM2＋QM2，得AQ＝200.在Rt△BNQ中，tan θ＝2，BN＝200，所以BQ＝1005，cos θ＝5 5.在△BQA中，BA2＝BQ2＋AQ2－2BQ·AQ cos θ＝(1005)2，所以BA＝100 5.即两发射塔顶A，B之间的距离是1005米．。