中考数学专题复习(一)：规律探索性问题

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中考数学专题复习：规律探索题

中考链接观察“田”字中各数之间的关系：
，…，，则的值为
．
七、学业检测
一．选择题（共4小题，每题10分，共40分） 1．教材上“阅读与思考”曾介绍“杨辉三角”（如图），
利用“杨辉三角”展开（1﹣3x）5＝ a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，那么a1+a2+a3+a4+a5＝（）
“★”按一定规律组成的．已知第1个图形中有8个“●” 和1个“★”，第2个图形中有16个“●”和4个“★”，第 3个图形中有24个“●”和9个“★”，…，则第个图形中“★”的个数是“●”的个数的2倍．
类型三图形变化类规律探索
针对训练4 4.我们将如图所示的两种排列形式的点
的个数分别称作“三角形数”（如1，3， 6，10…）和“正方形数”（如1，4，9， 16…），在小于200的数中，设最大的“三角形数”为m，最大的“正方形数 ”为n，则m+n的值为．
中考链接
将从1开始的连续自然数按以下规律排列:
第1行
1
第2行
234
第3行
56789
第4行
10 11 12 13 14 15 16
第5行 17 18 19 20 21 22 23 24 25
若有序数对（n,m）表示第n行，从左到右第m个数，如（3,2）表示6,则表示99的有序数对是 .
中考链接
如图，点B1在直线l：y＝x上，点B1的横坐标为2，过点B1作 B1A1⊥l ，交x轴于点A1 ，以A1B1为边，向右作正方形A1B1B2C1 ，延长B2C1交x轴于点A2；以A2B2为边，向右作正方形A2B2B3C2 ，延长B3C2交x轴于点A3；以A3B3为边，向右作正方形A3B3B4C3 ，延长 B4C3交x轴于点A4；…；照这个规律进行下去，则第n个正方形 AnBnBn+1Cn的边长为 ________（结果用含正整数n的代数式表示）．

中考数学专题复习——规律探索(详细答案)

中考数学复习专题——规律探索一.选择题1. （2018·湖北随州·3 分）我们将如图所示的两种排列形式的点的个数分别称作“三角形数”（如 1，3， 6，10…）和“正方形数”（如 1，4，9，1，在小于 200 的数中，设最大的“三角形数”为 m ，最大的 “正方形数”为 n ，则 m +n 的值为（）A ．33B ．301C ．386D ．5712.（2018•山东烟台市•3 分）如图所示，下列图形都是由相同的玫瑰花按照一定的规律摆成的，按此规律摆下去，第 n 个图形中有 120 朵玫瑰花，则 n 的值为（）3.（2018•山东济宁市•3 分）如图，小正方形是按一定规律摆放的，下面四个选项中的图片，适合填补图中空白处的是（）A ．B ． B.C ．D ．4. （2018 湖南张家界 3.00 分）观察下列算式：21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，27=128，28=256…，则 2+22+23+24+25+…+21018 的末位数字是（）A ．8B ．6C ．4D ．0二、填空题 1. （2018·湖北江汉油田、潜江市、天门市、仙桃市·3 分）如图，在平面直角坐标系中，△P 1OA 1，△P 2A 1A 2， △P3A2A3，…都是等2.（2018•江苏淮安•3 分）如图，在平面直角坐标系中，直线l为正比例函数y=x 的图象，点A1的坐标为（1，，过点A1作x轴的垂线交直线l于点D1，以A1D1为边作正方形A1B1C1D1；过点C1作直线l的垂线，垂足为A2，交x 轴于点B2，以A2B2为边作正方形A2B2C2D2；过点C2作x 轴的垂线，垂足为A3，交直线l 于点D3，以A3D3为边作正方形A3B3C3D3，…，按此规律操作下所得到的正方形A n B n C n D n的面积是（92）n﹣1 ．3.（2018•山东东营市•3分）如图，在平面直角坐标系中，点A1，A2，A3，…和B1，B2，B3，…分别在直线y=15x+b和x轴上．△OA1B1，△B1A2B2，△B2A3B3，…都是等腰直角三角形．如果点A1（1，那么点A2018的纵坐标是20173()2．4.（2018•临安•3 分.）已知：2+23=22×23，3+38=32×38，4+415=42×415，5+524=52×524，…，若10+ba=102×ba符合前面式子的规律，则a+b= ．5. （2018•广西桂林•3分）将从1开始的连续自然数按如图规律排列：规定位于第m行，第n列的自然记为6. （2018•广西南宁•3 分）观察下列等式：30=1，31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，…，根据其中规律可得 30+31+32+…+32018 的结果的个位数字是．7. （2018·黑龙江龙东地区·3 分）如图，已知等边△A BC 的边长是 2，以 B C 边上的高 AB 1 为边作等边三角形，得到第一个等边△AB 1C 1；再以等边△AB 1C 1 的 B 1C 1边上的高 AB 2 为边作等边三角形，得到第二个等边△AB 2C 2；再以等边△A B 2C 2 的B 2C 2边上的高 A B 3 为边作等边三角形，得到第三个等边△AB 3C 3；…，记△B 1CB 2 的面积为 S 1，△B 2C 1B 3 的面积为 S 2，△B 3C 2B 4 的面积为 S 3，如此下去，则 S n = ．8.（2018·黑龙江齐齐哈尔·3 分）在平面直角坐标系中，点 A （3，1）在射线 O M 上，点 B （3，3）在射线 ON 上，以 AB 为直角边作 Rt △A BA 1，以 BA 1 为直角边作第二个 Rt △BA 1B 1，以A 1B 1 为直角边作第三个 Rt△A 1B 1A 2，…，依次规律，得到 R t △B 2017A 2018B 2018，则点 B 2018 的纵坐标为． 9.（2018•广东•3 分）如图，已B 1 作 B 1A 2∥OA 1 交双曲线于点 A 2，过 A 2 作 A 2B 2∥A 1B 1 交 x 轴于点 B 2，得到第二个等边△B 1A 2B 2；过 B 2 作 B 2A 3∥B 1A 2 交双曲线于点 A 3，过 A 3 作 A 3B 3∥A 2B 2 交 x 轴于点 B 3，得到第三个等边△B 2A 3B 3；以此类推，…，则点 B 6 的坐标为（）．nn201810. （2018•广西北海•3 分）观察下列等式： 30 = 1， 31 = 3， 32 = 9 ， 33 = 27 ， 34 = 81， 35= 243，…，根据其中规律可得 01220183+3+3+...3+的结果的个位数字是。

中考数学热点题型――规律探索篇

中考数学热点题型――规律探索篇新课程标准要求学生，能够初步学会运用数学的思维方式去观察、分析现实社会，去解决日常生活中和其他学科学习中的问题，增强应用数学的意识.为适应新的教学理念及社会和谐发展的需要，兼具双重性质考试的中考，既要考查三基，又要考查数学应用能力，考查和测试继续学习和深造的潜在的能力，即学习潜力，为高一级学校输送合格的新生.近几年来出现了颇具新意的观察探索归纳猜想类型题，以数学概念及数学思想方法为载体，考查潜能的创新题脱颖而出.为了方便同学们搞好后期的中考复习，现以2007年全国部分省市的中考试题为例说明如下：一、从数的运算中探索规律例1（广西河池课改试题）古希腊数学家把1，3，6，10，15，21，……，叫做三角形数，根据它的规律，则第100个三角形数与第98个三角形数的差为＿＿＿.分析观察这一组数有以下特征：1＝12(12+1)，3＝12(22+2)，6＝12(32+3)，10＝1 2(42+4)，15＝12(52+5)，21＝12(62+6)，……由此可以猜想第100个三角形数和第98个三角形数的大小，即可求解.解因为1＝12(12+1)，3＝12(22+2)，6＝12(32+3)，10＝12(42+4)，15＝12(52+5)，21＝12(62+6)，……，所以第98个这样的三角形数是12(982+98)，第100个这样的三角形数是12(1002+100)，即第100个三角形数与第98个三角形数的差为12(1002+100)－12(982+98)＝12(1002－982+100－98)＝12(198×2+2)＝199.故应填199.说明同学们通过求解这道中考题，感觉一定不错吧！在数学解题中，只要我们认真地去分析题目的本质特征，找到其中隐藏的规律，求解起来还是十分地方便快捷.二、从式的运算中探索规律例2（杭州市）给定下面一列分式：3xy，－52xy，73xy，－94xy，…，（其中x≠0）（1）把任意一个分式除以前面一个分式，你发现了什么规律？（2）根据你发现的规律，试写出给定的那列分式中的第7个分式.分析（1）后一个分式除以前面一个分式其结果都是负的，并且是一个恒定的代数式，（2）观察已知的一列分式可知分式的分母的指数依次增加1，分子的指数是分母指数的2倍加1，并且分母的指数是偶数的分式带有“－”号.解（1）因为－52xy÷3xy＝73xy÷(－52xy)＝－94xy÷(－73xy)＝…＝－2xy，所以任意一个分式除以前面一个分式的规律是恒等于－2xy.（2）因为已知的一列分式可知分式的分母的指数依次增加1，分子的指数是分母指数的2倍加1，并且分母的指数是偶数的分式带有“－”号，所以第7个分式应该是157x y. 说明求解此类中考试题除了要利用基础知识外，还要认真地分析每一个式子的特点，及时地发现、归纳出一般规律.三、从图形特征中探索规律例3（温州市）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一组数：1，1，2，3，5，8，13，…，其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两上数的和.现以这组数中的各个数作为正方形的长度构造如图1正方形：再分别依次从左到右取2个、3个、4个、5个正方形拼成如下矩形并记为①、②、③、④.相应矩形的周长如下表和如图2所示：若按此规律继续作矩形，则序号为⑩的矩形周长是＿＿＿.分析由数据1，1，2，3，5，8，13，…的规律可知矩形①、②、③、④、……的相应的长分别为2＝1+1，3＝1+2，5＝2+3，8＝3+5，…，89＝34+55，144＝55+89，233＝89+144，…，相应的宽分别为1，1+1，1+2，2+3，3+5，…，21+34，34+55，55+89，….由此可以获解.解依题意，得序号为⑩的矩形的宽为34+55＝89，长为55+89＝144，所以号为⑩的矩形周长是(89+144)×2＝233×2＝466.故应填上466.说明求解本题的关键一要正确理解1，1，2，3，5，8，13，…的规律，二是以这组数中的各个数作为正方形的长度构造正方形的意义，三是要弄清楚分别依次从左到右取2个、3个、4个、5个正方形拼成矩形的长和宽分别是多少.四、从图案中探索规律例4（乐山市）认真观察图3①的4个图中阴影部分构成的图案，回答下列问题：① ② 图3 11231511211321④③②①图2 11235...图1（1）请写出这四个图案都具有的两个共同特征.特征1：______；特征2：______.（2）请在图3②中设计出你心中最美丽的图案，使它也具备你所写出的上述特征.分析通过观察每一个图案的特征可以发现：它们既是轴对称图案，又是中心对称图案，并且面积相等，都等于4个单位等等.由此可以再仿照设计很多的图案.解（1）特征1：都是轴对称图形；特征2：都是中心对称图形；特征3：这些图形的面积都等于4个单位面积；等等.（2）满足条件的图形有很多，即答案不惟一.如，如图4所示.说明本题是一道开放型试题，求解时只要符合题意即可，另外，在平时的学习生活中一定留意身边的各种形状的图案，这样才能在具体求解问题时如鱼得水，一蹴而就.五、从阅读理解中探索规律例5（乐山市）如图5，在直角坐标系中，已知点P 0的坐标为(1，0)，将线段OP 0 按逆时针方向旋转45°，再将其长度伸长为OP 0的2倍，得到线段OP 1；又将线段OP 1按逆时针方向旋转45°，长度伸长为OP 1的2倍，得到线段OP 2；如此下去，得到线段OP 3，OP 4，…，OP n （n 为正整数）（1）求点OP 6的坐标；（2）求△P 5OP 6的面积；（3）我们规定：把点P n (x n ，y n )(n ＝0，1，2，3，…)的横坐标x n 、纵坐标y n 都取绝对值后得到的新坐标(n x ，n y )称之为点P n 的“绝对坐标”.根据图中点P n 的分布规律，请你猜想点P n 的“绝对坐标”，并写出来.分析先从中探索出一般规律，然后再进一步求解.解（1）根据旋转规律，点P 6落在y 轴的负半轴，而点P n 到坐标原点的距离始终等于前一个点到原点距离的2倍，故其坐标为P 6(0，26)，即P 6(0，64).（2）由已知可得，△P 0OP 1∽△P 1OP 2∽…∽△P n －1OP n ，设P 1(x 1，y 1)，则y 1＝2sin45°所以S △P 0OP 1＝12×1＝2.又因为61OP OP ＝32，所以5601P OP P OP S S △△＝2321⎛⎫ ⎪⎝⎭＝1024，即S △P 5OP 6＝1024×2＝（3）由题意知，OP 0旋转8次之后回到x 轴正半轴，在这8次中，点P n 分别落在坐标象限的平分线上或x 轴或y 轴上，但各点绝对坐标的横、纵坐标均为非负数，因此，点P n 的坐标可分三类情况：令旋转次数为n . ①当n ＝8k 或n ＝8k +4时（其中k 为自然数），点P n 落在x 轴上，此时，点P n 的绝对坐标为(2n ，0)；②当n ＝8k +1或n ＝8k +3或n ＝8k +5或n ＝8k +7时（其中k 为自然数），点P n 落在各象限的平分线上，此时，点P n 的绝对坐标为×2n，2×2n )，即(2n －2n －；③当n ＝8k +2或n ＝8k +6时（其中k 为自然数），点P n 落在y 轴上，此时，点P n 的绝对坐标为(0，2n).图4说明本题中定义的绝对坐标问题是我们没有见过的，但通过说明，对照图形，我们还5综上所言，规律探索试题一般是根据已知条件或所提供的若干个特例，通过观察、类比、归纳，提示和发现题目所蕴含的本质规律与特征的一类探索性问题.求解时，只要能根据已知条件或特例中发现规律即可简捷解答.。

【中小学资料】中考数学专题复习探索性问题复习学案 (新版)新人教版

探索性问题【学习目标】1.通过观察、类比、操作、猜想、探究等活动，了解探索性数学问题中的常见四大类型,并体会解题策略.2.能够根据相应的解题策略解决探索性问题.3.使学生会关注探索性数学问题，提高学生的解题能力. 【重点难点】重点：条件探索型、结论探索型、规律探索型的问题. 难点：对各探索型问题策略的理解. 【知识回顾】1._____．2. 观察下面的一列单项式：x ，22x -，34x ，48x -，…根据你发现的规律，第7个单项式为；第n 个单项式为 3. 观察算式：224135-=⨯； 225237-=⨯； 226339-=⨯ 2274311-=⨯；…………则第n （n 是正整数）个等式为________. 4.如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于D ．由以上两个条件可得________．(写出一个结论)【综合运用】例1抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的部分图象如图所示，根据这个函数图象，你能得到关于该函21 D CB A数的那些性质和结论？例2（1）探究新知：如图①，已知△ABC与△ABD的面积相等，试探究AB与CD的位置关系，并说明理由．（2）结论应用：①如图②，点M，N在反比例函数kyx（k＞0）的图象上，过点M作ME⊥y轴，过点N作NF⊥x轴，垂足分别为E，F．试探究MN与EF的位置关系．②若①中的其他条件不变，只改变点M，N的位置如图③所示，试探究MN与EF的位置【直击中考】1. 对一张矩形纸片ABCD进行折叠，具体操作如下：第一步：先对折，使AD与BC重合，得到折痕MN，展开；第二步：再一次折叠，使点A落在MN上的点A′处，并使折痕经过点B，得到折痕BE，同时，得到线段BA′，EA′，展开，如图1；第三步：再沿EA′所在的直线折叠，点B落在AD上的点B′处，得到折痕EF，同时得到线段B′F，展开，如图2．（1）证明：∠ABE=30°；（2）证明：四边形BFB′E为菱形．2. 已知点A(－1，－1)在抛物线y=(k2－1)x2－2(k－2)x+1上，（1）求抛物线的对称轴；（2）若B点与A点关于抛物线的对称轴对称，问是否存在与抛物线只交于一点B的直线？如果存在，求符合条件的直线；如果不存在，说明理由.【总结提升】1.请你画出本节课的知识结构图.2.通过本课复习你收获了什么？【课后作业】一、必做题：1、如图，坐标平面内一点A (2，－1)，O 为原点，P 是x 轴上的一个动点，如果以点P 、O 、A 为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点P 的个数为( )A .2B .3C .4D .5 2、已知（x 1，y 1），(x 2，y 2)为反比例函数xky图象上的点，当x 1＜x 2＜0时，y 1＜y 2，则k 的值可为___________.（只需写出符合条件的一个．．k 的值）二、选做题：3、（2010.山东临沂）如图1，已知矩形ABED ，点C 是边DE 的中点，且AB =2AD. (1)判断△ABC 的形状，并说明理由；(2)保持图1中的△ABC 固定不变，绕点C 旋转DE 所在的直线MN 到图2中的位置（当垂线段AD 、BE 在直线MN 的同侧）.试探究线段AD 、BE 、DE 长度之间有什么关系？并给予证明；(3)保持图2 中的△ABC 固定不变，继续绕点C 旋转DE 所在的直线MN 到图3中的位置（当垂线段AD 、BE 在直线MN 的异侧）.试探究线段AD 、BE 、DE 长度之间有什么关系？并给予证明.探索性问题复习学案答案综合运用例1.对称轴是x = -1,开口向下，与y 轴交于（0,3）点等例2. （1）证明：分别过点C ，D ，作CG ⊥AB ，DH ⊥AB ，垂足为G ，H ，则∠CGA =∠DHB =90°． ∴ CG ∥DH ．∵ △ABC 与△ABD 的面积相等， ∴ CG =DH ． ∴ 四边形CGHD 为平行四边形． ∴ AB ∥CD ．（2）①证明：连结MF ，NE ．设点M 的坐标为（x 1，y 1），点N 的坐标为（x 2，y 2）． ∵ 点M ，N 在反比例函数（k ＞0）的图象上，∴∵ ME ⊥y 轴，NF ⊥x 轴， ∴ OE =y 1，OF =x 2．∴ S △EFM = 111122x y k = S △EFN = 221122x y k =∴S △EFM =S △EFN ．由（1）中的结论可知：MN ∥EF ． ② MN ∥EF ．直击中考1. 证明：（1）∵对折AD 与BC 重合，折痕是MN ， ∴点M 是AB 的中点， ∴A ′是EF 的中点， ∵∠BA′E=∠A =90°， ∴BA ′垂直平分EF ， ∴BE =BF ，∴∠A′BE =∠A′BF ，由翻折的性质，∠ABE =∠A′BE ， ∴∠ABE =∠A′BE =∠A′BF ， ∴∠ABE =×90°=30°；（2）∵沿EA ′所在的直线折叠，点B 落在AD 上的点B′处，∴BE=B′E，BF=B′F，∵BE=BF，∴BE=B′E=B′F=BF，∴四边形BFB′E为菱形．2. （1）把点A的坐标代入抛物线方程并解得k=－3或k=1. ∵k2－1≠0 ∴k=1舍去∴y=8x2+10x+1 ∴对称轴为x=5 8 -（2）设点B坐标为(a，b)∵点B与A(－1，－1)关于x=58-对称.∴a58-=58-－(－1)得a=14-，b=－1∴点B坐标为(14-，－1)假设存在直线y=mx+n与抛物线y=8x2+10x+1只交于点B(14-，－1)，则14-m+n=－1…………①又由解得8x2+(10－m)x+1－n=0∵直线与抛物线只交于一点，即上述方程的两根相等，∴△=0 即(10－m)2－32(1－n)=0…………②另一方面，当直线过B(14-，－1)且与y轴平行时，直线与抛物线只有一个交点，此直线为x=1 4 -综上，符合条件的直线存在，并且有两条，分别为y=6x+12和x=14-.课后作业必做题：1.C 2.略选做题：3. （1）△ABC为等腰直角三角形. 如图1，在矩形ABED中，∵点C是边DE的中点，且AB=2AD，∴AD=DC=CE=EB，DD=DE=90°，∴Rt△ADC≌Rt△BEC，∴AC=BC，∠1=∠2=45°，∴∠ACB=90°，∴△ABC为等腰直角三角形；（2）DE=AD+BE；如图2，在Rt△ADC和Rt△CEB中，∵∠1+∠CAD=90°，∠1+∠2=90°，∴∠CAD=∠2，又∵AC=CB，∠ADC=∠CEB=90°，∴Rt△ADC≌Rt△CEB，∴DC=BE，CE=AD，∴DC+CE=BE+AD，即DE=AD+BE；（3）DE=BE-AD.如图3，Rt△ADC和Rt△CEB中，∵∠1+∠CAD=90°，∠1+∠2=90°，∴∠CAD=∠2，又∵∠ADC=∠CEB=90°，AC=CB，∴Rt△ADC≌Rt△CEB，∴DC=BE，CE=AD，∴DC-CE=BE-AD，即DE=BE-AD.。

中考数学专题复习《一次函数图象相关规律探索》测试卷-附带答案

中考数学专题复习《一次函数图象相关规律探索》测试卷-附带答案学校:___________班级:___________姓名:___________考号:___________1．对任意非零数m直线y＝mx+2﹣5m都经过一定点则定点坐标为（）A．（0 2）B．（1 2）C．（5 2）D．（2 ﹣2）2．定义：点A（x,y）为平面直角坐标系内的点若满足x=y 则把点A叫做“平衡点”．例如：M(1,1) N(-2,-2) 都是“平衡点”．当−1≤x≤3时直线y=2x+m上有“平衡点” 则m的取值范围是（）．A．0≤m≤1B．−3≤m≤1C．−3≤m≤3D．−1≤m≤0x的图象分别为直线l1、l2过点3．如图在平面直角坐标系中函数y=x和y=−12A1(1,−1)作x轴的垂线交l1于点A2过点A2作y轴的垂线交l2于点A3过点A3作x轴的垂线2交l1于点A4过点A4作y轴的垂线交l2于点A5……依次进行下去则点A2023的横坐标为（）A．21012B．−21012C．−21011D．210114．正方形A1B1C1O A2B2C2C1A3B3C3C2…按如图所示的方式放置点A1A2A3…和点C1C2C3…分别在直线y=x+1和x轴上已知B1(1,1),B2(3,2)则点B n的坐标是（）A．(2n−1,2n−1)B．(2n−1,2n−1)C．(2n−1,2n−1)D．(2n−1,2n−1)5．如图直线y=x+2与y轴相交于点A0过点A0作x轴的平行线交直线y=0.5x+1于点B1过点B1作y轴的平行线交直线y=x+2于点A1再过点A1作x轴的平行线交直线y= 0.5x+1于点B2过点B2作y轴的平行线交直线y=x+2于点A2… 依此类推得到直线y=x+2上的点A1A2A3… 与直线y=0.5x+1上的点B1B2B3… 则A8B9的长为（）A．64B．128C．256D．5126．如图所示已知直线y=√33x+1与x y轴交于B C两点A(0，0)在△ABC内依次作等边三角形使一边在x轴上另一个顶点在BC边上作出的等边三角形分别是第1个△AA1B1第2个△B1A2B2第3个△B2A3B3…则第n个等边三角形的边长等于（）A．√32n B．√32n−1C．12nD．√32n+17．如图在平面直角坐标系中点A1A2A3⋯和B1B2B3⋯分别在直线y=15x+ b和x轴上△OA1B1△B1A2B2△B2A3B3⋯都是等腰直角三角形如果点A1(1,1)那么A 2023的纵坐标是（）A ．(32)2022B ．(32)2023C ．(43)2022D ．(42)20238．如图分别过点P i (i,0)（i =1 2 … 2024）作x 轴的垂线交y =2x 2（x >0）的图象于点A i 交直线y =−2x 于点B i 则1A 1B 1+1A 2B 2+1A 3B 3+⋯+1A 2024B 2024的值为（）A ．20232024B ．20232025C ．10132025D ．101220259．如图在平面直角坐标系中直线l ：y =√3x +√3与两坐标轴交于A B 两点以AB 为边作等边△ABC 将等边△ABC 沿射线AB 方向作连续无滑动地翻滚．第一次翻滚：将等边三角形绕B 点顺时针旋转120° 使点C 落在直线l 上第二次翻滚：将等边三角形绕点C 顺时针旋转120° 使点A 落在直线l 上……当等边三角形翻滚2023次后点A 的对应点坐标是（）A ．(2023,2023√3)B ．(2022,2024√3)C ．(2021,2022√3)D ．(2021,2024√3)10．如图 Rt △A 1B 1C 1的斜边A 1B 1在直线y =√3x −√3上点B 1在x 轴上 C 1点坐标为(2,0)．先将△A 1B 1C 1沿较长直角边A 1C 1翻折得到△A 1B 2C 1 再将△A 1B 2C 1沿斜边A 1B 2翻折得到△A 1B 2C 2 再将△A 1B 2C 2沿较短直角边B 2C 2翻折得到△A 2B 2C 2 … 按此规律点A 11的坐标为（）A．(15,5√3)B．(15,6√3)C．(17,5√3)D．(17,6√3)11．如图在平面直角坐标系中点A1A2A3…都在x轴上点B1B2B3…都在直线y=x上△OA1B1△B1A1A2△B2B1A2△B2A2A3△B3B2A3…都是等腰直角三角形且OA1=1点B2023的横坐标是（）A．(√2)2021B．22022C．22023D．(√2)202412．如图△OAB1△B1A1B2△B2A2B3,⋯都是边长为2的等边三角形点A在x轴上点O B1B2B3,⋯都在正比例函数y=kx的图象l上则点B2023的坐标是（）A．(−2023√3,2023)B．(−2023,2023√3)C．(−2022√3,2022)D．(−2022,2022√3)13．如图平面直角坐标系中点A1的坐标为(1，2)以O为圆心OA1的长为半径画弧x于点B1过点B1作B1A2∥y轴交直线y=2x于点A2以O为圆心OA2长为半交直线y=12x于点B2过点B2作B2A3∥y轴交直线y=2x于点A3以点O为圆心径画弧交直线y=12x于点B3…按如此规律进行下去点B2023的坐标为（）OA3长为半径画弧交直线y=12A．(22022,22023)B．(22021,22022)C．(22022,22021)D．(22023,22022) 14．如图在平面直角坐标系中点A1A2A3…都在x轴上点B1B2B3…都在直线y=x上△B1A1A2△B2A2A3△B3A3A4…都是等腰直角三角形且OA1=1则点B2023的坐标是()A．(22021,22021)B．(22022,22022)C．(22023,22023)D．(22024,22024) 15．如图在平面直角坐标系中点A1、A2、A3⋅⋅⋅A n在x轴上B1、B2、B3⋅⋅⋅B n在直线y=kx上∠B1OA1=30°若A1(1,0)且△A1B1A2△A2B2A3… △A n B n A n+1都是等边三角形从左到右的小三角形（阴影部分）的面积分别记为S1、S2、S3、⋅⋅⋅、S n．则S n可表示为（）A．22n√3B．22n−1√3C．22n−2√3D．22n−3√316．如图已知直线l：y＝√3x过点A1（1 0）作A1B1⊥x轴与直线l交于点B1以原点O为圆心以OB1为半径作弧交x轴于点A2再作A2B2⊥x轴交直线l于点B2以原点O为圆心以OB2为半径作弧交x轴于点A3……按此作法进行下去则点An的坐标为（）A．（2n0）B．（2n﹣10）C．（2n+10）D．（2n+20）17．正方形A1B1C1A2A2B2C2A3A3B3C3A4…按如图所示的方式放置点A1A2A3…在直线y＝x＋1上点B1B2B3…在x轴上已知点A1是直线y＝x＋1与y轴的交点则C2022的纵坐标是（）A．22021−1B．22021C．22022−1D．2202218．如图线段AB是直线y=x+1的一部分其中点A在y轴上点B横坐标为2 曲线BC是双曲线y=kx（k≠0）的一部分由点C开始不断重复“A−B−C”的过程形成一组波浪线点P(2019 m)与Q(2025 n)均在该波浪线上G为x轴上一动点则△PQG周长的最小值为（）A．16B．6+2√13C．6+2√15D．9+√1719．如图在平面直角坐标系中四边形OA1B1C1,A1A2B2C2,A2A3B3C3…都是菱形点A1,A2,A3…都在x轴上点C1,C2,C3…都在直线y=√33x+√33上且∠C1OA1=∠C2A1A2=∠C3A2A3=⋯=60°,OA1=1则点C n的横坐标是（）A．3×2n−2−1B．3×2n−2+1C．3×2n−1−1D．3×2n−1+1 20．直线y=−x+n分别与x轴y轴交于点A B在△AOB内横纵坐标均为整数的点叫做“好点”．分别记n=1,2,3,⋅⋅⋅时△AOB内的“好点”数为a1,a2,a3,⋅⋅⋅则1a3+1a4+⋅⋅⋅+1a20=（）A．199B．179C．3019D．3619参考答案1．解：⊥y=mx+2-5m=m（x-5）+2⊥当x=5时y=2．故选C．2．解：⊥当−1≤x≤3时直线y=2x+m上有“平衡点”⊥满足x=y即x=-m⊥−1≤x≤3⊥−1≤−m≤3⊥−3≤m≤1故选择B．3．解：⊥过点A1(1,−12)作x轴的垂线交l1于点A2过点A2作y轴的垂线交l2于点A3过点A3作x轴的垂线交l1于点A4过点A4作y轴的垂线交l2于点A5……依次进行下去⊥A1与A2横坐标相同A2与A3纵坐标相同⊥当x=1时y=1⊥A2(1，1)⊥当y=1时x=−2A3(−2，1)同理可得：A4(−2,−2)A5(4,−2)A6(4,4)A7(−8,4)A8(−8,−8)…⊥A2n−1的横坐标为(−2)n−1当2n−1=2023时n=1012⊥点A2023的横坐标(−2)1012−1=−21011．故选：C．4．解：⊥点B1的坐标为（1 1）点B2的坐标为（3 2）⊥A3的坐标为（3 4）⊥点B3的坐标为（7 4）…⊥B n的横坐标是：2n−1纵坐标是：2n−1⊥B n的坐标是(2n−1,2n−1)．故选：B．5．解：对于直线y=x+2令x=0求出y=2∴A0(0,2)∵A0B1∥x轴∴B1的纵坐标为2将y=2代入y=0.5x+1中得：x=2∴B1(2,2)∴A0B1=2=21∵A1B1∥y轴∴A1的横坐标为2将x=2代入直线y=x+2中得：y=4A1(2,4)∴A1与B2的纵坐标为4将y=4代入y=0.5x+1中得：x=6∴B2(6，4)∴A1B2=6−2=4=22同理A2B3=8=23… A n﹣1B n=2n则A8B9的长为29=512．故选：D．6．解：⊥直线y=√33x+1与x y轴交于B C两点⊥OB=√3，OC=1⊥BC=2⊥∠OBC=30°，∠OCB=60°．而△AA1B1为等边三角形∠A1AB1=60°⊥∠COA1=30°⊥∠CA1O=90°．在Rt△CAA1中AA1=√32OC=√32同理得：B1A2=12A1B1=√322依此类推第n个等边三角形的边长等于√32n．故选：A．7．解：过A1作A1E1⊥x轴于E1过A2作A2E2⊥x轴于E2过A3作A3E3⊥x轴于E3…如图⊥A1(1,1)在直线y=15x+b上⊥1=15+b⊥b=45⊥y=15x+45设A2(x2,y2)A3(x3,y3)A4(x4,y4)… A2023(x2023,y2023)则有y2=15x2+45y 3=15x 3+45…又⊥△OA 1B 1 △B 1A 2B 2 △B 2A 3B 3…都是等腰直角三角形 A 1E 1⊥x 轴 A 2E 2⊥x 轴 A 3E 3⊥x 轴… ⊥OB 1=2A 1EB 1B 2=2A 2E 2B 2B 3=2A 3E 3… ⊥x 2=2y 1+y 2x 3=2y 1+2y 2+y 3…x 2023=2y 1+2y 2+2y 3+⋯+2y 2022+y 2023将点坐标依次代入直线解析式得到：y 2=15(2y 1+y 2)+45⊥y 2=12y 1+1同理y 3=12y 1+12y 2+1=32y 2y 4=32y 3 …y 2023=32y 2022又⊥y 1=1 ⊥y 2=32 y 3=(32)2y 4=(32)3…y 2023=(32)2022故选：A ．8．解：根据题意得：A i B i =2x 2−(−2x )=2x 2+2x =2x (x +1) ∴ 1A i B i=12x (x+1)=12(1x −1x+1)∴ 1A1B 1+1A2B 2+1A3B 3+⋯+1A2024B 2024=12(11×2+12×3+13×4+⋯+12024×2025)=12(1−12+12−13+13−14+⋯+12024−12025)=12(1−12025)=12×20242025=10122025．故选：D．9．解：⊥直线l：y=√3x+√3与两坐标轴交于A B两点⊥A(−1,0)B(0,√3)⊥AB=2OA=1OB=√3⊥tan∠BAO=OBOA=√3⊥∠BAO=60°如图等边△ABC经过第1次翻转后A1(−1,2√3)过点A2作A2M⊥x轴于点M则AA2=3AB=6⊥∠A2AM=60°⊥AM=AA2cos∠A2AM=6×12=3A2M=AA2sin∠A2AM=6×√32=3√3等边△ABC经过第2次翻转后A2(3,3√3)等边△ABC经过第3次翻转后点A仍在点A2处⊥每经过3次翻转点A向右平移3个单位向上平移3√3个单位⊥2023÷3=674……1第2次与第3次翻转后点A处在同一个点⊥点A经过2023次翻转后向右平移了3×674=2022个单位向上平移了3√3×674+ 2√3=2024√3个单位⊥等边三角形翻滚2023次后点A的对应点坐标是(2021,2024√3)故选：D．10．解：当y=0时x=1⊥B1(1,0)⊥Rt△A1B1C1的斜边A1B1在直线y=√3x−√3上⊥A1(2,√3)⊥C1点坐标为(2,0)⊥B1C1=1A1C1=√3⊥A1B1=2⊥∠A1B1C1=60°∠B1A1C1=30°⊥A2C1=3⊥A2(5,0)再由翻折可知∠B2A3A2=30°A2B2=2⊥A2A3=2√3⊥A3(5,2√3)同理可得A4(8,√3)A5(8,3√3)A6(11,2√3)A7(11,4√3)⊥A11(17,6√3)．故选：D11．解：∵OA1=1∴点A1的坐标为(1，0)∵△OA1B1是等腰直角三角形∴A1B1=1∴B1(1，1)∵△B1A1A2是等腰直角三角形∴A1A2=1B1A2=√A1B12+A1A22=√12+12=√2∵△B2B1A2是等腰直角三角形∴A2A3=2∴B2(2，2)同理可得：B3(22，22)B4(23，23)…∴B2023(22022，22022)即点B2023的横坐标是22022故选B．12．解：⊥△OAB1△B1A1B2△B2A2B3…都是边长为2的等边三角形⊥OA=OB1=OB2=B2B3=2过点B1作B1H⊥x轴于点H如图所示：⊥H为OA的中点⊥OH=1根据勾股定理可得B1H=√3⊥B1(−1,√3)把点B1(−1,√3)代入y=kx中得k=−√3⊥直线l的解析式为y=−√3x⊥B2(−2,2√3)B3(−3,3√3)⋯⊥B n(−n,n√3)按照此规律可得B2023(−2023,2023√3)故选：B．13．解：由题意可得点A1的坐标为(1，2)设点B1的坐标为(a,12a)⊥a2+(12a)2=12+22解得a=2（负根舍去）⊥点B1的坐标为(2，1)同理可得点A2的坐标为(2,4)点B2的坐标为(4，2)点A3的坐标为(4,8)点B3的坐标为(8,4)……⊥点B2023的坐标为(22023,22022)故选：D．14．解：∵OA1=1∴点A1的坐标为(1，0)当x=1时y=1∴B1(1，1)∴A1B1=1∵△B1A1A2是等腰直角三角形∴A1A2=1则OA2=2当x=2时y=2∴B2(2，2)A2B2=2∵△B2A2A3是等腰直角三角形∴A2A3=2则OA3=4当x=4时y=4⊥B3(22，22)同理可得：B4(23，23)…∴B2023(22022，22022)故选：B．15．解：⊥A1(1,0)⊥OA1=1⊥△A1B1A2△A2B2A3… △A n B n A n+1都是等边三角形∠B1OA1=30°⊥∠B1A1A2=60°⊥∠OB1A1=∠B1A1A2−∠A1OB1=30°⊥OA1=A1B1=A1A2=B1A2=1过点B1作B1C⊥x轴于点C⊥△A1B1A2中A1C=12A1A2=12×1=12B1C=√A1B12−A1C2=√1−(12)2=√32在Rt△OCB1中OC=OA1+A1C=1+12=32⊥B1(32,√32)且B1在直线y=kx上⊥3 2k=√32解得k=√33⊥直线的解析式为y=√33x⊥△A1B1A2△A2B2A3… △A n B n A n+1都是等边三角形⊥A1B1∥A2B2∥A3B3∥⋯∥A n B n B1A2∥B2A3∥B3A4∥⋯∥B n A n+1∠A1B1A2=∠A1A2B1=∠B1A1A2=60°⊥∠B1OA1=30°∠OA1B1=120°若A1(1,0)⊥∠OB1A1=30°⊥∠OB1A2=∠OB2A3=∠OB3A4=⋯=∠OB n A n+1=90°⊥A1B1=A1A2=B1A2=1A2B2=A2A3=B2A3=2A3B3=A3A4=B3A4=4⊥A n B n=A n A n+1=B n A n+1=2n−1⊥B1B2=√3B2B3=2√3则B n B n+1=2n−1√3⊥S1=12×1×√3=√32S2=12×2×2√3=2√3则S n=12×2n−1×2n−1√3=22n−3√3故选：D．16．解：当x=1时y=√3x=√3即A1B1=√3在Rt△OA1B1中由勾股定理得OB1=2⊥OB1=OA2⊥A2（2 0）同理可求：A3（4 0）A4（8 0）A5（16 0）……由点：A1（1 0）A2（2 0）A3（4 0）A4（8 0）A5（16 0）……即：A1（200）A2（210）A3（220）A4（230）A5（240）…可得A n（2n-10）故选：B．17．解：由题意可知令y＝x＋1中x=0 解得y=1 即A1纵坐标为1同理可得A2的纵坐标为2 A3的纵坐标为4 A4的纵坐标为8 …∵四边形A1B1C1A2是正方形∴A1和C1A2和C2A3和C3…An和Cn的纵坐标相同且C1C2C3C4C5的纵坐标分别为1 2 4 8 16由此规律可知Cn的纵坐标为2n−1故点C2022的纵坐标是22022−1=22021故选：B．18．解：当x=2时y=x+1=2+1=3⊥B（2 3）上⊥B（2 3）在双曲线y=kx⊥k=6得：y=1把x=6代入y=6x⊥C（6 1）⊥2019÷6=336......3 2025÷6=337 (3)⊥点P落在第337个“A-B-C”的P处而点Q落在第338个“A-B-C”的Q处示意如图：,把x=3代入y=6x∴y=2,∴P（2019 2）Q（2025 2）∵△PQG周长的最小PQ=6定值∴只要GP+GQ最小即可过Q作QH⊥x轴使Q,H关于x轴对称连接HP交x轴于G,∴H(2025,−2),∴PQ=6,QH=4,由勾股定理得：PH=√PQ2+HQ2=√62+42=2√13.⊥△PQG周长的最小值为PQ+GP+GQ=PH+PQ=6+2√13.故选B．19．解：分别过点C1,C2,C3,...作x轴的垂线交于D1,D2,D3,...再连接C1D1,C2D2,C3D3,...如下图：∵OA1=1∴OC1=1∴∠C1OA1=∠C2A1A2=∠C3A2A3=⋯=60°在Rt△OC1D1中根据勾股定理得：OD12=OC12−C1D12即OD12=12−(12)2解得：OD1=√32∴C1的纵坐标为：√32横坐标为12∴C1(12√3 2 )∵四边形OA1B1C1A1A2B2C2A2A3B3C3…都是菱形∴A1C2=2A2C3=4A3C4=8…∴C2的纵坐标为：C2D2=√A1C22−A1D22=√4−1=√3代入y=√33x+√33求得横坐标为2∴C2(2,√3)C3的纵坐标为：C3D3=√A2C32−A2D32=√16−4=2√3代入y=√33x+√33求得横坐标为5∴C3(52√3)∴C4(114√3)C5(238√3)∴C6(4716√3)…C n(3×2n−2−1则点C n的横坐标是：3×2n−2−1故选：A．20．解：如图：a1=0a2=0a3=1a4=1+2a5=1+2+3⋯⊥a n=1+2+3+⋅⋅⋅+n−2=(n−2+1)(n−2)2=(n−1)(n−2)2⊥1 a n =2(n−1)(n−2)=2⋅(1n−2−1n−1)．⊥1 a3+1a4+⋅⋅⋅+1a20=2(1−12+12−13+⋅⋅⋅+118−119)=3619．故选：D．。

中考数学专题复习探索规律问题

专题探索规律问题解读考点考点归纳归纳 1：数字猜想型基础知识归纳：数字规律问题主要是在分析比较的基础上发现题目中所蕴涵的数量关系,先猜想,然后通过适当的计算回答问题．注意问题归纳：要认真分析比较,从而发现题中蕴涵的数量关系,通过猜想,再通过计算解决问题．例1一列数：0,-1,3,-6,10,-15,21,……,按此规律第n个数为归纳 2：数式规律型基础知识归纳：数式规律问题主要是通过观察、分析、归纳、验证,然后得出一般性的结论,以列代数式即函数关系式为主要内容．注意问题归纳：要注意观察、分析、归纳、并验证得出结论．例2有一个计算程序,每次运算都是把一个数先乘以2,再除以它与1的和,多次重复进行这种运算的过程如下：则第n次运算的结果yn= 用含字母x和n的代数式表示．归纳 3：图形规律型基础知识归纳：图形规律问题主要是观察图形的组成、分拆等过程中的特点,分析其联系和区别,用相应的算式描述其中的规律,要注意对应思想和数形结合．注意问题归纳：要注意分析图形的组成与分拆过程中的特点,要注意数形结合．例3如图,是由一些点组成的图形,按此规律,在第n个图形中,点的个数为．归纳 4：数形结合猜想型基础知识归纳：数形结合猜想型问题首先要观察图形,从中发现图形的变化方式,再将图形的变化以数或式的形式反映出来,从而得出图形与数或式的对应关系,数形结合总结出图形的变化规律,进而解决相关问题．注意问题归纳：要注意观察图形,发现图形的变化方式,用好数形结合思想解决问题．例4如图,等腰Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=1,且AC边在直线a上,将△ABC绕点A顺时针旋转到位置①可得到点P1,此时AP1=；将位置①的三角形绕点P1顺时针旋转到位置②,可得到点P2,此时AP2=1+；将位置②的三角形绕点P2顺时针旋转到位置③,可得到点P3,此时AP3=2+；……,按此规律继续旋转,直至得到点P2014为止．则AP2014= ．归纳5：动态规律型基础知识归纳：动态规律问题是探求图形在运动变换过程中的变化规律,解答此类问题时,要将图形每一次的变化与前一次变化进行比较,明确哪些结果发生了变化,哪些结果没有发生变化,从而逐步发现规律．注意问题归纳：要注意探求图形的变化规律,明确发生变化的与没有发生变化的量,从而逐步发现规律．例5如图,在x轴的正半轴上依次间隔相等的距离取点A1,A2,A3,A4,……,An分别过这些点做x轴的垂线与反比例函数y=1x的图象相交于点P1,P2,P3,P4,……Pn作P2B1⊥A1P1,P3B2⊥A2P2,P4B3⊥A3P3,……,PnBn﹣1⊥An﹣1Pn﹣1,垂足分别为B1,B2,B3,B4,……,Bn﹣1,连接P1P2,P2P3,P3P4,……,Pn﹣1Pn,得到一组Rt△P1B1P2,Rt△P2B2P3,Rt△P3B3P4,……,Rt△Pn﹣1Bn﹣1Pn,则Rt△Pn﹣1Bn﹣1Pn的面积为．2年中考2015年题组1．2015绵阳将一些相同的“○”按如图所示的规律依次摆放,观察每个“龟图”中的“○”的个数,若第n个“龟图”中有245个“○”,则n=A．14 B．15 C．16 D．17考点：1．规律型：图形的变化类；2．综合题．2．2015十堰如图,分别用火柴棍连续搭建正三角形和正六边形,公共边只用一根火柴棍．如果搭建正三角形和正六边形共用了2016根火柴棍,并且正三角形的个数比正六边形的个数多6个,那么能连续搭建正三角形的个数是A．222 B．280 C．286 D．2923．2015荆州把所有正奇数从小到大排列,并按如下规律分组：1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23,25,27,29,31,…,现有等式Am=i,j表示正奇数m 是第i组第j个数从左往右数,如A7=2,3,则A2015=A．31,50 B．32,47 C．33,46 D．34,424．2015包头观察下列各数：1,43,97,1615,…,按你发现的规律计算这列数的第6个数为A．2531 B．3635 C．47 D．6263考点：1．规律型：数字的变化类；2．综合题．5．2015重庆市下列图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律组成的,其中第①个图形中一共有6个小圆圈,第②个图形中一共有9个小圆圈,第③个图形中一共有12个小圆圈,…,按此规律排列,则第⑦个图形中小圆圈的个数为A．21 B．24 C．27 D．306．2015泰安下面每个表格中的四个数都是按相同规律填写的：根据此规律确定x的值为A．135 B．170 C．209 D．252考点：1．规律型：数字的变化类；2．综合题．7．2015重庆市下列图形都是由几个黑色和白色的正方形按一定规律组成,图①中有2个黑色正方形,图②中有5个黑色正方形,图③中有8个黑色正方形,图④中有11个黑色正方形,…,依次规律,图⑩中黑色正方形的个数是A．32 B．29 C．28 D．26考点：1．规律型：图形的变化类；2．综合题．8．2015崇左下列图形是将正三角形按一定规律排列,则第4个图形中所有正三角形的个数有A．160 B．161 C．162 D．1639．2015贺州观察下列等式：21=2,22=4,23=8,24=16,25=32,26=64,27=128,…,解答下面问题：2+22+23+24+…+22015﹣1的末位数字是A．0 B．3 C．4 D．8考点：1．尾数特征；2．规律型；3．综合题．10．2015宜宾如图,以点O为圆心的20个同心圆,它们的半径从小到大依次是1、2、3、4、…、20,阴影部分是由第1个圆和第2个圆,第3个圆和第4个圆,…,第19个圆和第20个圆形成的所有圆环,则阴影部分的面积为A ．231π B．210π C．190π D．171π11．2015鄂州在平面直角坐标系中,正方形A1B1C1D1、D1E1E2B2、A2B2C2D2、D2E3E4B3、A3B3C3D3…按如图所示的方式放置,其中点B1在y 轴上,点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3…在x 轴上,已知正方形A1B1C1D1的边长为1,∠B1C1O=60°,B1C1∥B2C2∥B3C3…则正方形A2015B2015C2015D2015的边长是A ．201421）（B ．201521）（C ．201533）（D ．201433）（答案D ．考点：1．正方形的性质；2．规律型；3．综合题．12．2015庆阳在如图所示的平面直角坐标系中,△OA1B1是边长为2的等边三角形,作△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称,再作△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称,如此作下去,则△B2nA2n+1B2n+1n 是正整数的顶点A2n+1的坐标是A ．4n ﹣3．2n ﹣3．3 D ．313．2015宁德如图,在平面直角坐标系中,点A1,A2,A3…都在x 轴上,点B1,B2,B3…都在直线y x 上,△OA1B1,△B1A1A2,△B2B1A2,△B2A2A3,△B3B2A3…都是等腰直角三角形,且OA1=1,则点B2015的坐标是A ．20142,20142B ．20152,20152C ．20142,20152D ．20152,20142考点：1．一次函数图象上点的坐标特征；2．等腰直角三角形；3．规律型；4．综合题．14．2015河南省如图所示,在平面直角坐标系中,半径均为1个单位长度的半圆O1、O2、O3,…组成一条平滑的曲线,点P 从原点O 出发,沿这条曲线向右运动,速度为每秒2π个单位长度,则第2015秒时,点P 的坐标是A ．2014,0B ．2015,﹣1C ．2015,1D ．2016,0考点：1．规律型：点的坐标；2．规律型；3．综合题；4．压轴题．15．2015张家界任意大于1的正整数m 的三次幂均可“分裂”成m 个连续奇数的和,如：5323+=,119733++=,1917151343+++=,…按此规律,若3m 分裂后其中有一个奇数是2015,则m 的值是A ．46B ．45C ．44D ．4316．2015邵阳如图,在矩形ABCD 中,已知AB=4,BC=3,矩形在直线l 上绕其右下角的顶点B 向右旋转90°至图①位置,再绕右下角的顶点继续向右旋转90°至图②位置,…,以此类推,这样连续旋转2015次后,顶点A 在整个旋转过程中所经过的路程之和是A ．2015π B．π C ．3018π D．3024π17．2015威海如图,正六边形A1B1C1D1E1F1的边长为2,正六边形A2B2C2D2E2F2的外接圆与正六边形A1B1C1D1E1F1的各边相切,正六边形A3B3C3D3E3F3的外接圆与正六边形A2B2C2D2E2F2的各边相切,…按这样的规律进行下去,A10B10C10D10E10F10的边长为A ．92432B ．98132C ．9812 D ．88132考点：1．正多边形和圆；2．规律型；3．综合题．18．2015日照观察下列各式及其展开式：222()2a b a ab b +=++；33223()33a b a a b ab b +=+++；4432234()464a b a a b a b ab b +=++++；554322345()510105a b a a b a b a b ab b +=+++++；…请你猜想10()a b +的展开式第三项的系数是A ．36B ．45C ．55D ．66考点：1．完全平方公式；2．规律型；3．综合题．19．2015宁波如图,将△ABC 沿着过AB 中点D 的直线折叠,使点A 落在BC 边上的A2处,称为第1次操作,折痕DE 到BC 的距离记为h1；还原纸片后,再将△ADE 沿着过AD 中点D1的直线折叠,使点A 落在DE 边上的A2处,称为第2次操作,折痕D1E1到BC 的距离记为h2；按上述方法不断操作下去…,经过第2015次操作后得到的折痕D2014E2014到BC 的距离记为h2015,到BC 的距离记为h2015．若h1=1,则h2015的值为A ．201521B ．201421C ．2015211- D ．2014212-考点：1．相似三角形的判定与性质；2．三角形中位线定理；3．翻折变换折叠问题；4．规律型；5．综合题．20．2015常州数学家歌德巴赫通过研究下面一系列等式,作出了一个着名的猜想． 4=2+2； 12=5+7；6=3+3； 14=3+11=7+7；8=3+5； 16=3+13=5+11；10=3+7=5+5 18=5+13=7+11；…通过这组等式,你发现的规律是请用文字语言表达．21．2015淮安将连续正整数按如下规律排列：若正整数565位于第a 行,第b 列,则a+b= ．22．2015雅安若1m ,2m ,…,2015m 是从0,1,2这三个数中取值的一列数,若122015...m m m +++=1525,222122015(1)(1)...(1)1510m m m -+-++-=,则1m ,2m ,…,2015m 中为2的个数是．23．2015桂林如图是一个点阵,从上往下有无数多行,其中第一行有2个点,第二行有5个点,第三行有11个点,第四行有23个点,…,按此规律,第n 行有个点．24．2015梧州如图是由等圆组成的一组图,第①个图由1个圆组成,第②个图由5个圆组成,第③个图由12个圆组成…按此规律排列下去,则第⑥个图由个圆组成．25．2015百色观察下列砌钢管的横截面图：则第n 个图的钢管数是用含n 的式子表示26．2015北海如图,直线22y x =-+与两坐标轴分别交于A 、B 两点,将线段OA 分成n等份,分点分别为P1,P2,P3,…,Pn﹣1,过每个分点作x 轴的垂线分别交直线AB 于点T1,T2,T3,…,Tn ﹣1,用S1,S2,S3,…,Sn ﹣1分别表示Rt△T1OP1,Rt△T2P1P2,…,Rt△Tn ﹣1Pn ﹣2Pn ﹣1的面积,则当n=2015时,S1+S2+S3+…+Sn﹣1= ．考点：1．一次函数图象上点的坐标特征；2．规律型；3．综合题．27．2015南宁如图,在数轴上,点A 表示1,现将点A 沿x 轴做如下移动,第一次点A向左移动3个单位长度到达点A1,第二次将点A1向右移动6个单位长度到达点A2,第三次将点A2向左移动9个单位长度到达点,按照这种移动规律移动下去,第n次移动到点An,如果点An 与原点的距离不小于20,那么n 的最小值是．28．2015常德取一个自然数,若它是奇数,则乘以3加上1,若它是偶数,则除以2,按此规则经过若干步的计算最终可得到1．这个结论在数学上还没有得到证明．但举例验证都是正确的．例如：取自然数5．最少经过下面5步运算可得1,即：,如果自然数m 最少经过7步运算可得到1,则所有符合条件的m 的值为．29．2015株洲“皮克定理”是用来计算顶点在整点的多边形面积的公式,公式表达式为12b S a =+-,孔明只记得公式中的S 表示多边形的面积,a 和b 中有一个表示多边形边上含顶点的整点个数,另一个表示多边形内部的整点个数,但不记得究竟是a 还是b 表示多边形内部的整点个数,请你选择一些特殊的多边形如图1进行验证,得到公式中表示多边形内部的整点个数的字母是 ,并运用这个公式求得图2中多边形的面积是．30．2015内江填空：()()a b a b -+= ；22()()a b a ab b -++= ；3223()()a b a a b ab b -+++= ．2猜想：1221()(...)n n n n a b a a b ab b -----++++= 其中n 为正整数,且2n ≥．3利用2猜想的结论计算：98732222...222-+-+-+． 31．2015南平定义：底与腰的比是51-的等腰三角形叫做黄金等腰三角形．如图,已知△ABC 中,AB=BC,∠C=36°,BA1平分∠ABC 交AC 于A1．AB=AA1A C；122探究：△ABC是否为黄金等腰三角形请说明理由；提示：此处不妨设AC=13应用：已知AC=a,作A1B1∥AB交BC于B1,B1A2平分∠A1B1C交AC于A2,作A2B2∥AB 交B2,B2A3平分∠A2B2C交AC于A3,作A3B3∥AB交BC于B3,…,依此规律操作下去,用含a,n的代数式表示An﹣1An．n为大于1的整数,直接回答,不必说明理由考点：1．相似形综合题；2．新定义；3．探究型；4．综合题；5．压轴题；6．规律型．33．2015重庆市如果把一个自然数各数位上的数字从最高位到个位依次排出的一串数字,与从个位到最高位依次排出的一串数字完全相同,那么我们把这样的自然数称为“和谐数”．例如自然数12321,从最高位到个位依次排出的一串数字是：1,2,3,2,1,从个位到最高位依次排出的一串数字仍是：1,2,3,2,1,因此12321是一个“和谐数”,再加22,545,3883,345543,…,都是“和谐数”．1请你直接写出3个四位“和谐数”；请你猜想任意一个四位“和谐数”能否被11整除并说明理由；2已知一个能被11整除的三位“和谐数”,设其个位上的数字x1≤x≤4,x为自然数,十位上的数字为y,求y与x的函数关系式．2014年题组1．2014年南平中考如图,将1,若规定a,b表示第a排第b列的数,则8,2与2014,2014表示的两个数的积是A．B．C． D．12．2014年株洲中考在平面直角坐标系中,孔明做走棋的游戏,其走法是：棋子从原点出发,第1步向右走1个单位,第2步向右走2个单位,第3步向上走1个单位,第4步向右走1个单位……依此类推,第n步的走法是：当n能被3整除时,则向上走1个单位；当n被3除,余数为1时,则向右走1个单位；当n被3除,余数为2时,则向右走2个单位,当走完第100步时,棋子所处位置的坐标是A．66,34 B．67,33 C．100,33 D．99,343．2014年宜宾中考如图,将n个边长都为2的正方形按如图所示摆放,点A1,A2,……An分别是正方形的中心,则这n个正方形重叠部分的面积之和是A．n B．n-1 C.n11()4D．n1()4考点：1．正方形的性质；2．全等三角形的判定与性质．4．2014年崇左中考如图,在平面直角坐标系中,A1,1,B﹣1,1,C﹣1,﹣2,D1,﹣2．把一条长为2014个单位长度且没有弹性的细线线的粗细忽略不计的一端固定在点A处,并按A﹣B﹣C﹣D﹣A……的规律绕在四边形ABCD的边上,则细线另一端所在位置的点的坐标是A．﹣1,0 B．1,﹣2 C．1,1 D．﹣1,﹣15．2014年百色中考观察以下等式：32﹣12=8,52﹣12=24,72﹣12=48,92﹣12=80,……由以上规律可以得出第n个等式为．6．2014年衡阳中考如图,在平面直角坐标系xOy 中,已知点0M 的坐标为()10，,将线段0OM 绕原点O 逆时针方向旋转45,再将其延长至点1M ,使得100M M OM ⊥,得到线段1OM ；又将线段1OM 绕原点O 逆时针方向旋转45,再将其延长至点2M ,使得211M M OM ⊥,得到线段2OM ；如此下去,得到线段3OM 、4OM 、5OM 、……．根据以上规律,请直接写出线段2014OM 的长度为．答案2014．7．2014年抚顺中考如图,已知CO1是△ABC 的中线,过点O1作O1E1∥AC 交BC 于点E1,连接AE1交CO1于点O2；过点O2作O2E2∥AC 交BC 于点E2,连接AE2交CO1于点O3；过点O3作O3E3∥AC 交BC 于点E3,……,如此继续,可以依次得到点O4,O5,……,On 和点E4,E5,……,En ．则OnEn= AC ．用含n 的代数式表示考点：1．相似三角形的判定与性质；2．三角形中位线定理．8．2014年资阳中考如图,以O0,0、A2,0为顶点作正△OAP1,以点P1和线段P1A 的中点B 为顶点作正△P1BP2,再以点P2和线段P2B 的中点C 为顶点作△P2CP3,……,如此继续下去,则第六个正三角形中,不在第五个正三角形上的顶点P6的坐标是9．2014年宜宾中考在平面直角坐标系中,若点Px,y 的坐标x 、y 均为整数,则称点P 为格点,若一个多边形的顶点全是格点,则称该多边形为格点多边形．格点多边形的面积记为S,其内部的格点数记为N,边界上的格点数记为L,例如图中△ABC 是格点三角形,对应的S=1,N=0,L=4．1求出图中格点四边形DEFG 对应的S,N,L 的值．2已知格点多边形的面积可表示为S=N+aL+b,其中a,b为常数,若某格点多边形对应的N=82,L=38,求S的值．考点：1．规律型：图形的变化类； 2．二元一次方程组的应用．10．2014年凉山中考实验与探究：三角点阵前n行的点数计算如图是一个三角点阵,从上向下数有无数多行,其中第一行有1个点,第二行有2个点……第n行有n个点……容易发现,10是三角点阵中前4行的点数约和,你能发现300是前多少行的点数的和吗如果要用试验的方法,由上而下地逐行的相加其点数,虽然你能发现1+2+3+4+……+23+24=300．得知300是前24行的点数的和,但是这样寻找答案需我们先探求三角点阵中前n行的点数的和与n的数量关系前n行的点数的和是1+2+3+……+n﹣2+n﹣1+n,可以发现．2×1+2+3+……+n﹣2+n﹣1+n=1+2+3+……+n﹣2+n﹣1+n+n+n﹣1+n﹣2+……3+2+1把两个中括号中的第一项相加,第二项相加……第n项相加,上式等号的后边变形为这n个小括号都等于n+1,整个式子等于nn+1,于是得到1+2+3+……+n﹣2+n﹣1+n=12nn+1这就是说,三角点阵中前n项的点数的和是12nn+1下列用一元二次方程解决上述问题设三角点阵中前n行的点数的和为300,则有12nn+1整理这个方程,得：n2+n﹣600=0解方程得：n1=24,n2=25根据问题中未知数的意义确定n=24,即三角点阵中前24行的点数的和是300．请你根据上述材料回答下列问题：1三角点阵中前n行的点数的和能是600吗如果能,求出n；如果不能,试用一元二次方程说明道理．2如果把图中的三角点阵中各行的点数依次换成2、4、6、……、2n、……,你能探究处前n行的点数的和满足什么规律吗这个三角点阵中前n行的点数的和能使600吗如果能,求出n；如果不能,试用一元二次方程说明道理．1年模拟1．2015届山东省济南市平阴县中考二模在平面直角坐标系xOy中,对于点Px,y,我们把点P-y+1,x+1叫做点P的伴随点．已知点A1的伴随点为A2,点A2的伴随点为A3,点A3的伴随点为A4,…,这样依次得到点A1,A2,A3,…,An,…．例如：点A1的坐标为3,1,则点A2的坐标为0,4,…；若点A1的坐标为a,b,则点A2015的坐标为A．-b+1,a+1 B．-a,-b+2 C．b-1,-a+1 D．a,b2．2015届山东省潍坊市昌乐县中考一模如图,下面是按照一定规律画出的“树形图”,经观察可以发现：图A2比图A1多出2个“树枝”,图A3比图A2多出4个“树枝”,图A4比图A3多出8个“树枝”,…,照此规律,图A6比图 A2多出“树枝”A．32 B．56 C．60 D．643．2015届山西省晋中市平遥县九年级下学期4月中考模拟如图,四边形ABCD 中,AC=a,BD=b,且AC⊥BD,顺次连接四边形ABCD各边中点,得到四边形A1B1C1D1,再顺次连接四边形A1B1C1D1各边中点,得到四边形A2B2C2D2,如此进行下去,得到四边形AnBnCnDn．下列结论正确的是①四边形A4B4C4D4是菱形；②四边形A3B3C3D3是矩形；③四边形A7B7C7D7周长为；④四边形AnBnCnDn面积为．A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④4．2015届广东省深圳市龙华新区中考二模如图,已知直线y=-12x+2与x轴交于点B,与y轴交于点A．过线段AB的中点A1做A1B1⊥x轴于点B1,过线段A1B的中点A2作A2B2⊥x轴于点B2,过线段A2B的中点A3作A3B3⊥x轴于点B3…,以此类推,则△AnBnBn-1的面积为A ．112n -B ．12nC ．114n -D ．14n5．2014-2015学年山东省潍坊市诸城市实验中学中考三模如图放置的△OAB1,△B1A1B2,△B2A2B3,…都是边长为2的等边三角形,边AO 在y 轴上,点B1,B2,B3,…都在直线y=33x 上,则A2015的坐标是．考点：1．一次函数图象上点的坐标特征；2．等边三角形的性质；3．规律型．6．2015届北京市平谷区中考二模在平面直角坐标系中,点A,B,C 的坐标分别为()1,0,()0,1,()1,0-．一个电动玩具从坐标原点O 出发,第一次跳跃到点P1,使得点P1与点O 关于点A 成中心对称；第二次跳跃到点P2,使得点P2与点P1关于点B 成中心对称；第三次跳跃到点P3,使得点P3与点P2关于点C 成中心对称；第四次跳跃到点P4,使得点P4与点P3关于点A 成中心对称；第五次跳跃到点P5,使得点P5与点P4关于点B 成中心对称；．…照此规律重复下去．则点P3的坐标为；点Pn 在y 轴上,则点Pn 的坐标为．7．2015届北京市门头沟区中考二模在平面直角坐标系xOy 中,矩形OABC 如图放置,动点P 从0,3出发,沿所示方向运动,每当碰到矩形的边时反弹,反弹时反射角等于入射角,当点P 第2次碰到矩形的边时,点P 的坐标为；当点P 第6次碰到矩形的边时,点P 的坐标为；当点P 第2015次碰到矩形的边时,点P 的坐标为____________．答案7,4, 0,3 ,1,4．8．2015届安徽省安庆市中考二模一组按规律排列的式子：,,,,…则第n 个式子是 n为正整数．9．2015届山东省威海市乳山市中考一模在直角坐标系xOy中,对于点Px,y,我们把点P′y+1,-x+1叫做点P的影子点．已知点A1的影子点为A2,点A2的影子点为A3,点A3的影子点为A4,…,这样依次得到点A1,A2,A3,…,An,…若点A1的坐标为a,b,对于任意的正整数n,点An均在y轴的右侧,则a,b应满足的条件是．10．2015届山东省日照市中考模拟如图,在直角坐标系中,第一次将△OAB变换成△OA1B1,第二次将△OA1B1变换成△OA2B2,第三次将△OA2B2变换成△OA3B3,已知A1,3,A12,3,A24,3,A38,3,B2,0,B14,0,B28,0,B316,0．1观察每次变换前后的三角形有何变化,找出规律,按此变换规律再将△OA3B3变换成△OA4B4,则A4的坐标是．2若按1题找到的规律将△OAB进行了n次变换,得到的△OAnBn,比较每次变换中三角形顶点坐标有何变化,找出规律,推出Bn的坐标是．11．2015届广东省佛山市初中毕业班综合测试如图,依次连接第一个矩形各边的中点得到一个菱形,再依次连接菱形各边的中点得到第二个矩形,按照此方法继续下去．已知第一个矩形的两条邻边长分别为6和8,则第n个菱形的周长为．12．2015届湖北省黄石市6月中考模拟如图,点A1,A2,A3,A4,…,An在射线OA上,点B1,B2,B3,…,Bn﹣1在射线OB上,且A1B1∥A2B2∥A3B3∥…∥An﹣1Bn﹣1,A2B1∥A3B2∥A4B3∥…∥AnBn﹣1,△A1A2B1,△A2A3B2,…,△An﹣1AnBn﹣1为阴影三角形,若△A2B1B2,△A3B2B3的面积分别为1、4,则△A1A2B1的面积为__________；面积小于2011的阴影三角形共有__________个．13．2015届广东省佛山市初中毕业班综合测试若a是不为1的有理数,我们把11a-称为a的差倒数．如：2的差倒数是112-=-1,-1的差倒数是111(1)2=--．已知a1=-13,a2是a1的差倒数,a3是a2的差倒数,a4是a3的差倒数,…,依此类推．1分别求出a2,a3,a4的值；2求a1+a2+a3+…+a2160的值．。

初中数学规律探究性题目的解题技巧

初中数学规律探究性题目的解题技巧摘要：近年来有关规律探索性题目在初中数学各种考试的试题中频繁出现，这类题目要求学生学会观察，懂得分析，善于归纳、总结，它不仅有利于促进学生数学知识和数学方法的巩固和掌握，也有利于学生思维能力的提高和自主探索、创新精神的培养。

就这类题目从数形结合等数学思想的角度出发，探求出解决初中数学规律问题的常规方法和新方法。

规律问题作为一种全新的题型，因其渗透了丰富的数学建模等数学思想而成为学生感到难度较大的问题。

解决此类问题要经历一个观察、分析、猜想判断、归纳总结、验证数学规律的过程，其关键要强化分类意识，并力求找出各部分的共性和特性才能使问题变得简单。

关键词：初中数学；规律探究性题目；解题技巧；共性；特性；数学思想一、代数中的规律问题规律问题的设置，通常按照一定的顺序给出一序列量，要求我们根据这些已知的量找出一般规律。

而揭示的规律常常包含着事物的序列号。

所以，把变量和序列号放在一起加以比较，就能很快的发现其中的奥秘。

例1.有一组数为1，3，6，10，15，21......，第n 个数为――。

分析：第一步，寻找个体的共性。

这组数的每一个数都等于它的序列号数加上它前面的一个数字。

第二步，寻找个体的特性，探求特性中的共性（即找第一个数与1的关系，第二个数与2的关系，第三个数与3的关系……），第一个数1=1，第二个数3=2+1，第三个数6=3+3=3+2+1，第四个数10=4+6=4+3+2+1，第五个数15=5+10=5+4+3+2+1，也就是说每一个数都可表示为一个数列的和，因此，第n个数为n+（n-1）+（n-2）+（n-3）+（n-4）+（n-5）+……+3+2+1=n（n+1）/2。

例2.有一组数为1，4，9，16，25，36……求第20个数为――，第n个数为――分析：第一步，寻找个体的共性。

这组数的每一个数都等于某数的平方。

第二步，寻找个体的特性，探求特性中的共性（即找第一个数与1的关系，第二个数与2的关系，第三个数与3的关系……）这里的第一个数正好是1的平方，第二个数正好是2的平方，第三个数正好是3的平方，第四个数正好是4的平方，依此类推，第20个数为20的平方=400，第n个数为n2。

中考数学专题复习分考点归纳练习规律探究之数式(一)

中考数学专题复习分考点归纳练习规律探究之数式（一）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________评卷人得分一、单选题1．按规律排列的一组数据：12，35，□，717，926，1137，…，其中□内应填的数是（）A．23B．511C．59D．122．一列数1，5，11，19…按此规律排列，第7个数是（）A．37B．41C．55D．713．观察下列按一定规律排列的n个数：2，4，6，8，10,12，…；若最后三个数之和是3000，则n等于（）A．499B．500C．501D．10024．根据图中数字的规律，若第n个图中的143q ，则p的值为（）A．100B．121C．144D．1695．把黑色三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个黑色三角形，第①个图案中有3个黑色三角形，第①个图案中有6个黑色三角形，…，按此规律排列下去，则第①个图案中黑色三角形的个数为（）A．10B．15C．18D．216．观察等式：2+22＝23﹣2；2+22+23＝24﹣2；2+22+23+24＝25﹣2；…已知按一定规律排列的一组数：2100，2101，2102，…，2199，2200，若2100＝S，用含S的式子表示这组数据的和是（）A．2S2﹣S B．2S2+S C．2S2﹣2S D．2S2﹣2S﹣27．已知1a 为实数﹐规定运算：2111a a =-，3211a a =-，4311a a =-，5411a a=-，……，111n n a a -=-．按上述方法计算：当13a =时，2021a 的值等于（） A ．23-B ．13C ．12-D ．238．将从1开始的连续奇数按如图所示的规律排列，例如，位于第4行第3列的数为27，则位于第32行第13列的数是（）A ．2025B ．2023C ．2021D ．2019评卷人得分二、填空题 9．观察下列各项：112，124，138，1416，…，则第n 项是______________．10．将黑色圆点按如图所示的规律进行排列，图中黑色圆点的个数依次为：1，3，6，10，……，将其中所有能被3整除的数按从小到大的顺序重新排列成一组新数据，则新数据中的第33个数为___________．11．如图，用火柴棍拼成一个由三角形组成的图形，拼第一个图形共需要3根火柴棍，拼第二个图形共需要5根火柴棍；拼第三个图形共需要7根火柴棍；……照这样拼图，则第n 个图形需要___________根火柴棍．12．如图都是由同样大小的小球按一定规律排列的，依照此规律排列下去，第___个图形共有210个小球．13．如图是一组有规律的图案，它们是由边长相等的正三角形组合而成，第1个图案有4个三角形，第2个图案有7个三角形，第3个图案有10个三角形按此规律摆下去，第n 个图案有_______个三角形（用含n 的代数式表示）．14．观察下列等式： 2+22=23﹣2； 2+22+23=24﹣2； 2+22+23+24=25﹣2； 2+22+23+24+25=26﹣2； …已知按一定规律排列的一组数：220，221，222，223，224，…，238，239，240，若220=m ，则220+221+222+223+224+…+238+239+240=_____(结果用含m 的代数式表示)． 15．观察等式：232222+=-，23422222++=-，2345222222+++=-，……，已知按一定规律排列的一组数：1002，1012，1022，……，1992，若1002=m ，用含m 的代数式表示这组数的和是___________．16．观察下列等式：22110=-，22321=-，22532=-，…按此规律，则第n 个等式为21n -=__________________．17．按一定规律排列的一列数：3，32，3﹣1，33，3-4，37，3﹣11，318，…，若a ，b ，c 表示这列数中的连续三个数，猜想a ，b ，c 满足的关系式是______．18．把正整数1，2，3，4，5，……，按如下规律排列：按此规律，可知第n行有_________个正整数19．如图，将正整数按此规律排列成数表，则2021是表中第____行第________列．20．将正整数按如图所示的规律排列．若用有序数对(a，b)表示第a排，从左至右第b 个数．例如(4，3)表示的数是9，则(7，2)表示的数是_________.21．下表在我国宋朝数学家杨辉1261年的著作《详解九章算法》中提到过，因而人们把这个表叫做杨辉三角，请你根据杨辉三角的规律补全下表第四行空缺的数字是______．22．观察下面的变化规律：212112112111,,,133353557577979=-=-=-=-⨯⨯⨯⨯，……222213355720192021++++=⨯⨯⨯⨯__________．23．观察下列各式的规律：①2132341⨯-=-=-；①2243891⨯-=-=-；①235415161⨯-=-=-．请按以上规律写出第4个算式________．用含有字母的式子表示第n个算式为________．24．有一列数，按一定的规律排列成13，1-，3，9-，27，－81，…．若其中某三个相邻数的和是567-，则这三个数中第一个数是______．25．观察下列各式：1234523101526,,,,,357911a a a a a=====，根据其中的规律可得na=________（用含n的式子表示）．26．下面各图形是由大小相同的黑点组成，图1中有2个点，图2中有7个点，图3中有14个点，……，按此规律，第10个图中黑点的个数是________．27．如图图形都是由同样大小的菱形按照一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有3个菱形，第①个图形中一共有7个菱形，第①个图形中一共有13个菱形，…，按此规律排列下去，第①个图形中菱形的个数为________．28．幻方，最早源于我国，古人称之为纵横图．如图所示的幻方中，各行、各列及各条对角线上的三个数字之和均相等，则图中a的值为______．-1-610a-4-52-329．一组按规律排列的代数式：2335472,2,2,2a b a b a b a b+-+-，…，则第n个式子是30．将一些相同的“〇”按如图所示的规律依次摆放，观察每个“龟图”的“〇”的个数，则第30个“龟图”中有___________个“〇”．评卷人得分三、解答题 31．阅读解答：（1）填空：1022==_____()2=；2122-=_____()2=；3222-=_____()2=…… （2）探索（1）中式子的规律，试写出第n 个等式_________；（3）根据上述规律，计算：012342021222222++++++．参考答案：1．D 【解析】【分析】分子为连续奇数，分母为序号的平方1+，根据规律即可得到答案．【详解】观察这排数据发现，分子为连续奇数，分母为序号的平方1+，∴第n 个数据为：2211n n -+ 当3n =时的分子为5，分母为23110+= ∴这个数为51102= 故选：D ．【点睛】本题考查了数字的探索规律，分子和分母分别寻找规律是解题关键． 2．C 【解析】【分析】根据题意得出已知数组的规律，得到第n 个数的表示方法，从而得出结果. 【详解】解：1=1×2-1， 5=2×3-1， 11=3×4-1， 19=4×5-1， ...第n 个数为n （n+1）-1，则第7个数是：55 故选C. 【点睛】本题考查了数字型规律，解题的关键是总结出第n 个数为n （n+1）-1. 3．C【解析】【分析】根据题意列出方程求出最后一个数,除去一半即为n 的值．【详解】设最后三位数为x －4,x －2,x ．由题意得: x －4+x －2+x =3000, 解得x =1002． n =1002÷2=501．故选C ．【点睛】本题考查找规律的题型,关键在于列出方程简化步骤． 4．B 【解析】【分析】分别分析n 的规律、p 的规律、q 的规律，再找n 、p 、q 之间的联系即可．【详解】解：根据图中数据可知： 1,2,3,4n =，……22221,2,3,4,p =……222221,31,41,51,q =----……则2p n =，2(1)1q n =+-， ①第n 个图中的143q =， ①2(1)1=143q n =+-，解得：11n =或13n =-(不符合题意，舍去) ①2=121p n =，故选：B ．【点睛】本题主要考查数字之间规律问题，将题中数据分组讨论是解决本题的关键．5．B【解析】【分析】根据前三个图案中黑色三角形的个数得出第n个图案中黑色三角形的个数为1+2+3+4+……+n，据此可得第①个图案中黑色三角形的个数．【详解】解：①第①个图案中黑色三角形的个数为1，第①个图案中黑色三角形的个数3＝1+2，第①个图案中黑色三角形的个数6＝1+2+3，……①第①个图案中黑色三角形的个数为1+2+3+4+5＝15，故选：B．【点睛】本题主要考查图形的变化规律，解题的关键是根据已知图形得出规律：第n个图案中黑色三角形的个数为1+2+3+4+……+n．6．A【解析】【分析】根据已知条件和2100=S，将按一定规律排列的一组数：2100，2101，2102，…，2199，2200，求和，即可用含S的式子表示这组数据的和．【详解】解：①2100=S，①2100+2101+2102+…+2199+2200=S+2S+22S+…+299S+2100S=S（1+2+22+…+299+2100）=S（1+2100-2+2100）=S（2S-1）=2S2-S．故选：A．【点睛】本题考查了规律型——数字的变化类、列代数式，解决本题的关键是观察数字的变化寻找规律． 7．D 【解析】【分析】当13a =时，计算出23421,,3,32a a a ==-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅，会发现呈周期性出现，即可得到2021a 的值．【详解】解：当13a =时，计算出23421,,3,32a a a ==-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅，会发现是以：213,,32-，循环出现的规律，202136732=⨯+，2021223a a ∴==，故选：D ．【点睛】本题考查了实数运算规律的问题，解题的关键是：通过条件，先计算出部分数的值，从中找到相应的规律，利用其规律来解答． 8．B 【解析】【分析】根据数字的变化关系发现规律第n 行，第n 列的数据为：2n (n -1)+1，即可得第32行，第32列的数据为：2×32×(32-1)+1=1985，再依次加2，到第32行，第13列的数据，即可．【详解】解：观察数字的变化，发现规律：第n 行，第n 列的数据为：2n (n -1)+1， ①第32行，第32列的数据为：2×32×(32-1)+1=1985，根据数据的排列规律，第偶数行从右往左的数据一次增加2， ①第32行，第13列的数据为：1985+2×(32-13)=2023，故选：B ．【点睛】本题考查了数字的变化类，解决本题的关键是观察数字的变化寻找探究规律，利用规律解决问题．9．12nn + 【解析】【分析】根据已知可得出规律：第一项：1111122=+，第二项：2112242=+，第三项：3113382=+…即可得出结果．【详解】解：根据题意可知：第一项：1111122=+，第二项：2112242=+，第三项：3113382=+，第四项：41144162=+， … 则第n 项是12nn +；故答案为：12n n +．【点睛】此题属于数字类规律问题，根据已知各项的规律得出结论是解决此类题目的关键． 10．1275【解析】【分析】首先得到前n 个图形中每个图形中的黑色圆点的个数，得到第n 个图形中的黑色圆点的个数为()12n n +，再判断其中能被3整除的数，得到每3个数中，都有2个能被3整除，再计算出第33个能被3整除的数所在组，为原数列中第50个数，代入计算即可．【详解】解：第①个图形中的黑色圆点的个数为：1，第①个图形中的黑色圆点的个数为：()1222+⨯=3，第①个图形中的黑色圆点的个数为：()1332+⨯=6，第①个图形中的黑色圆点的个数为：()1442+⨯=10，...第n个图形中的黑色圆点的个数为()12n n+，则这列数为1，3，6，10，15，21，28，36，45，55，66，78，91，...，其中每3个数中，都有2个能被3整除，33÷2=16...1，16×3+2=50，则第33个被3整除的数为原数列中第50个数，即50512⨯=1275，故答案为：1275．【点睛】此题考查了规律型：图形的变化类，关键是通过归纳与总结，得到其中的规律．11．2n+1【解析】【分析】分别得到第一个、第二个、第三个图形需要的火柴棍，找到规律，再总结即可．【详解】解：由图可知：拼成第一个图形共需要3根火柴棍，拼成第二个图形共需要3+2=5根火柴棍，拼成第三个图形共需要3+2×2=7根火柴棍，...拼成第n个图形共需要3+2×（n-1）=2n+1根火柴棍，故答案为：2n+1．【点睛】此题考查图形的变化规律，找出图形之间的联系，得出运算规律解决问题．12．20【解析】【分析】根据已知图形得出第n 个图形中黑色三角形的个数为1+2+3++n =()12n n +，列一元二次方程求解可得．【详解】解：①第1个图形中黑色三角形的个数1，第2个图形中黑色三角形的个数3=1+2，第3个图形中黑色三角形的个数6=1+2+3，第4个图形中黑色三角形的个数10=1+2+3+4，……①第n 个图形中黑色三角形的个数为1+2+3+4+5++n =()12n n +，当共有210个小球时，()12102n n +=，解得：20n =或21-(不合题意，舍去)，①第20个图形共有210个小球．故答案为：20．【点睛】本题考查了图形的变化规律，解一元二次方程，解题的关键是得出第n 个图形中黑色三角形的个数为1+2+3+……+n ．13．()31n +【解析】【分析】由图形可知第1个图案有3+1=4个三角形，第2个图案有3×2+ 1=7个三角形，第3个图案有3×3+ 1=10个三角形...依此类推即可解答．【详解】解：由图形可知：第1个图案有3+1=4个三角形，第2个图案有3×2+ 1=7个三角形，第3个图案有3×3+ 1=10个三角形，...第n 个图案有3×n+ 1=（3n+1）个三角形．故答案为（3n+1）．【点睛】本题考查图形的变化规律，根据图形的排列、归纳图形的变化规律是解答本题的关键．14．()21m m﹣．【解析】【分析】由题意可得220+221+222+223+224+…+238+239+240=220(1+2+22+…+219+220)=220(1+221﹣2)=220(220×2﹣1)，再将220=m 代入即可求解．【详解】①220=m ，①220+221+222+223+224+…+238+239+240=220(1+2+22+…+219+220)=220(1+221﹣2)=m(2m ﹣1)．故答案为：m(2m ﹣1)．【点睛】本题考查了规律型问题：数字变化，列代数式等知识，解题的关键是学会探究规律，利用规律解决问题，属于中考填空题中的压轴题．15．2m m -【解析】【分析】根据规律将1002，1012，1022，……，1992用含m 的代数式表示，再计算0199222+++的和，即可计算1001011011992222++++的和．【详解】由题意规律可得：2399100222222++++=-．①1002=m①23991000222222=2m m +++++==， ①22991001012222222+++++=-，①10123991002222222=++++++12=2m m m m =+=．102239910010122222222+=++++++224=2m m m m m =++=．1032399100101102222222222=++++++++3248=2m m m m m m =+++=． ……①1999922m =．故10010110110199992222222m m m ++++=+++．令012992222S ++++=① 12310022222S ++++=②①-①，得10021S -=①10010110110199992222222m m m ++++=+++=()100221m m m -=- 故答案为：2m m -．【点睛】本题考查规律问题，用含有字母的式子表示数、灵活计算数列的和是解题的关键． 16．()221n n --．【解析】【分析】第一个底数是从1开始连续的自然数的平方，减去从0开始连续的自然数的平方，与从1开始连续的奇数相同，由此规律得出答案即可．【详解】解：①22110=-，22321=-，22532=-，…①第n 个等式为：()22211n n n -=-- 故答案是：()221n n --．【点睛】本题考查了数字的变化类，通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题的关键．17．bc =a##a=bc【解析】【分析】首先判断出这列数中，3的指数各项依次为 1，2，﹣1，3，﹣4，7，﹣11，18…，从第三个数起，前两数相除等于第三个数，可得这列数中的连续三个数，满足a ÷b ＝c ，据此解答即可．【详解】①3，32，3﹣1，33，3﹣4，37，3﹣11，318，…，121333-÷=，213333-÷=，134333--÷=，347333-÷=，4711333--÷=，71118333-÷=，…， ①a ，b ，c 满足的关系式是a ÷b ＝c ，即bc =a ．故答案为：bc =a ．【点睛】此题考查了实数的规律问题，同底数幂的除法运算，负整数指数幂等知识，解题的关键是正确分析出题目中指数之间的规律．18．12n -【解析】【分析】仔细观察各行数字的个数，不难发现，第一行有1102=2=1-个数字，第二行有2112=2=2-个数字，第三行有3122=2=4-4个数字，第四行有4132=2=8-个数字，由此得出规律求解即可．【详解】解：仔细观察各行数字的个数，不难发现，第一行有1102=2=1-个数字，第二行有2112=2=2-个数字，第三行有3122=2=4-4个数字，第四行有4132=2=8-个数字，①可以推出第n 行有12n -个数字，故答案为：12n -．【点睛】本题主要考查了数字类的规律型问题，解题的关键在于准确理解题意得到规律．19． 64 5【解析】【分析】找到第n 行第n 列的数字，找到规律，代入2021即可求解【详解】通过观察发现：1=13=1+26=1+2+310=1+2+3+4……故第n 行第n 列数字为：1(1)2n n +，则第n 行第1列数字为：1(1)(1)2n n n +--，即1(1)2n n -+1 设2021是第n 行第m 列的数字，则：1(1)2021()2m m n n n +=<- 即24421)0(n n m +=-,可以看作两个连续的整数的乘积，2263=396964=4096,,m n ，为正整数， 64n ∴=当64n =时，=5m故答案为：64，5【点睛】本题考查了规律探索，通过观察发现特殊位置的数字之间的关系，找到规律，通过计算确定行数，再根据方程求得列数，能正确发现规律是解题的关键．20．23【解析】【详解】根据图中所揭示的规律可知，1+2+3+4+5+6=21，所以第7排；应从左到右由小到大，从22开始数，第二个应是23，所以（7，2）表示的数是23．故答案是：23.21．3【解析】【分析】通过观察每一个数字等于它上方相邻两数之和．【详解】解：通过观察杨辉三角发现每一个数字等于它上方相邻两数之和的规律，例如：第3行中的2，等于它上方两个相邻的数1，1相加，即：211=+；第4行中的3，等于它上方两个相邻的数2，1相加，即：321=+；⋅⋅⋅⋅⋅⋅由此规律：故空缺数等于它上方两个相邻的数1，2相加，即空缺数为：3，故答案是：3．【点睛】本题考查了杨辉三角数的规律，解题的关键是：通过观察找到数与数之间的关系，从来解决问题．22．2020 2021【解析】【分析】本题可通过题干信息总结分式规律，按照该规律展开原式，根据邻项相消求解本题．【详解】由题干信息可抽象出一般规律：211a b a b=-•（,a b均为奇数，且2b a=+）．故222213355720192021++++=⨯⨯⨯⨯111111111111111202011()()()1 3355720192021335520192019202120212021 -+-+-++-=+-+-++--=-=．故答案：20202021．【点睛】本题考查规律的抽象总结，解答该类型题目需要准确识别题干所给的例子包含何种规律，严格按照该规律求解．23． 246524251⨯-=-=- ()()2211n n n ⨯+-+=- 【解析】【分析】（1）按照前三个算式的规律书写即可；（2）观察发现，算式序号与比序号大2的数的积减去比序号大1的数的平方，等于-1，根据此规律写出即可；【详解】（1）2132341⨯-=-=-，①2243891⨯-=-=-，①235415161⨯-=-=-，①246524251⨯-=-=-；故答案为246524251⨯-=-=-．（2）第n 个式子为：()()2211n n n ⨯+-+=-．故答案为()()2211n n n ⨯+-+=-．【点睛】本题主要考查了规律性数字变化类知识点，准确分析是做题的关键．24．81-【解析】【分析】题中数列的绝对值的比是-3，由三个相邻数的和是567-，可设三个数为n ，-3n ，9n ，据题意列式即可求解．【详解】题中数列的绝对值的比是-3，由三个相邻数的和是567-，可设第一个数是n ，则三个数为n ，-3 n ，9n由题意：()n 3n 9n 567+-+=-，解得：n=-81，故答案为：-81．【点睛】此题主要考查数列的规律探索与运用，一元一次方程与数字的应用，熟悉并会用代数式表示常见的数列，列出方程是解题的关键．25．()12121n n n ++-+【解析】【分析】观察发现，每一项都是一个分数，分母依次为3、5、7，…，那么第n 项的分母是2n+1；分子依次为2，3，10，15，26，…，变化规律为：奇数项的分子是n 2+1，偶数项的分子是n 2-1，即第n 项的分子是n 2+（-1）n+1；依此即可求解．【详解】解：由分析得21(1)21n n n a n ++-=+，故答案为：21(1)21n n n a n ++-=+【点睛】本题考查学生通过观察、归纳、抽象出数列的规律的能力，要求学生首先分析题意，找到规律，并进行推导得出答案．26．119【解析】【分析】根据题意，找出图形的规律，得到第n 个图形的黑点数为2(1)2n +-，即可求出答案．【详解】解：根据题意，第1个图有2个黑点；第2个图有7个黑点；第3个图有14个黑点；……第n 个图有2(1)2n +-个黑点；①当n=10时，有2(101)21212119+-=-=（个）；故答案为：119．【点睛】本题考查了图形的变化规律，找出图形的摆放规律，得出数字之间的运算方法，利用计算规律解决问题．27．57【解析】【分析】根据题意得出第n 个图形中菱形的个数为21n n ++；由此代入求得第①个图形中菱形的个数．【详解】解：第①个图形中一共有3个菱形，2312=+；第①个图形中共有7个菱形，2723=+；第①个图形中共有13个菱形，21334=+；…，第n 个图形中菱形的个数为：21n n ++；则第①个图形中菱形的个数为277157++=．故答案为：57．【点睛】本题考查了整式加减的探究规律—图形类找规律，其关键是根据已知图形找出规律． 28．-2【解析】【分析】先通过计算第一行数字之和得到各行、各列及各条对角线上的三个数字之和，再利用第二列三个数之和得到a 的值．【详解】解：由表第一行可知，各行、各列及各条对角线上的三个数字之和均为1616--+=-，①626a -++=-，①2a =-，故答案为：2-．【点睛】本题考查了数字之间的关系，解决本题的关键是读懂题意，正确提取表中数据，找到它们之间的关系等，该题对学生的观察分析能力有一定的要求，同时也考查了学生对有理数的和差计算的基本功．29．()12112n n n a b +-+-⋅ 【解析】【分析】根据已知的式子可以看出：每个式子的第一项中a 的次数是式子的序号；第二项中b 的次数是序号的2倍减1，而第二项的符号是第奇数项时是正号，第偶数项时是负号．【详解】解：①当n 为奇数时，()111n +-=；当n 为偶数时，()111n +-=-，①第n 个式子是：()1211?2n n n a b +-+-．故答案为：()1211?2n n n a b +-+- 【点睛】本题考查了多项式的知识点，认真观察式子的规律是解题的关键．30．875【解析】【分析】设第n 个“龟图”中有an 个“〇”（n 为正整数），观察“龟图”，根据给定图形中“〇”个数的变化可找出变化规律“an ＝n 2−n ＋5（n 为正整数）”，再代入n ＝30即可得出结论．【详解】解：设第n 个“龟图”中有an 个“〇”（n 为正整数）．观察图形，可知：a 1＝1＋2＋2＝5，a 2＝1＋3＋12＋2＝7，a 3＝1＋4＋22＋2＝11，a 4＝1＋5＋32＋2＝17，…，①an ＝1＋（n ＋1）＋（n −1）2＋2＝n 2−n ＋5（n 为正整数），①a 30＝302−30＋5＝875．故答案是：875．【点睛】本题考查了规律型：图形的变化类，根据各图形中“〇”个数的变化找出变化规律“an ＝n 2−n ＋5（n 为正整数）”是解题的关键．31．（1）1，0；2，1；4，2；（2）2n -2n -1=2n -1；（3）202221-【解析】【分析】（1）根据有理数的乘方的定义进行计算即可得解；（2）根据（1）中式子的规律，可得结果；（3）设S =20+21+22+23+24+…+22021，然后表示出2S ，再相减计算即可得解．【详解】解：（1）21-20=1=20，22-21=2=21，23-22=4=22；（2）由题意可得：2n -2n -1=2n -1；（3）设012342021222222S =++++++， ①12342022222222S =+++++， ①2S S S =-=()()1234202201234202122222222222+++++++++++- =202221-．【点睛】本题是对数字变化规律的考查，主要利用了有理数的乘方的计算，难点在于（3）利用整体思想求解．。

2017年中考数学专题复习规律探究问题

规律探究问题【专题点拨】规律探究问题是指给出一定条件(可以是有规律的算式、图形或图表)，让学生认真分析，仔细观察，综合归纳，大胆猜想，得出结论，进而加以验证的数学探究题. 类型有“数字规律”“数式规律”“图形规律”等题型．【解题策略】针对此类专题我们在解题过程中要从特殊情况入手→探索发现规律→综合归纳→猜想得出结论→验证结论。

当然面对具体问题还需要具体分析，找到切入点进行解答。

【典例解析】类型一：数字规律探究例题1：（2016·辽宁丹东·3分）观察下列数据：﹣2，，﹣，，﹣，…，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第11个数据是．【解析】规律型：数字的变化类．根据题意可得：所有数据分母为连续正整数，第奇数个是负数，且分子是连续正整数的平方加1，进而得出答案．【解答】解：∵﹣2=﹣，，﹣，，﹣，…，∴第11个数据是：﹣=﹣．故答案为：﹣．变式训练1：（2016广西南宁3分）观察下列等式：在上述数字宝塔中，从上往下数，2016在第层．类型二：代数式排列探究例题2：（2016·山东省滨州市·4分）观察下列式子：1×3+1=22；7×9+1=82； 25×27+1=262； 79×81+1=802； …可猜想第2016个式子为．【解析】观察等式两边的数的特点，用n 表示其规律，代入n=2016即可求解．【解答】解：观察发现，第n 个等式可以表示为：（3n﹣2）×3n+1=（3n﹣1）2，当n=2016时，（32016﹣2）×32016+1=（32016﹣1）2，故答案为：（32016﹣2）×32016+1=（32016﹣1）2．【点评】此题主要考查数的规律探索，观察发现等式中的每一个数与序数n 之间的关系是解题的关键．变式训练2：（2016·山东省东营市·4分）在求1＋3＋32＋33＋34＋35＋36＋37＋38的值时，张红发现：从第二个加数起每一个加数都是前一个加数的3倍，于是她假设：S ＝1＋3＋32＋33＋34＋35＋36＋37＋38①，然后在①式的两边都乘以3，得：3S ＝3＋32＋33＋34＋35＋36＋37＋38＋39②，②一①得：3S ―S ＝39－1，即2S ＝39－1， ∴S ＝39―12.得出答案后，爱动脑筋的张红想：如果把“3”换成字母m （m ≠0且m ≠1），能否求出1＋m ＋m 2＋m 3＋m 4＋…＋m 2016的值？如能求出，其正确答案是___________.类型三：图形规律探究例题3：（2016·湖北荆州·3分）如图，用黑白两种颜色的菱形纸片，按黑色纸片数逐渐增加1的规律拼成下列图案，若第n 个图案中有2017个白色纸片，则n 的值为（）A．671 B．672 C．673 D．674【解析】将已知三个图案中白色纸片数拆分，得出规律：每增加一个黑色纸片时，相应增加3个白色纸片；据此可得第n个图案中白色纸片数，从而可得关于n的方程，解方程可得．【解答】解：∵第1个图案中白色纸片有4=1+1×3张；第2个图案中白色纸片有7=1+2×3张；第3个图案中白色纸片有10=1+3×3张；…∴第n个图案中白色纸片有1+n×3=3n+1（张），根据题意得：3n+1=2017，解得：n=672，故选：B．【点评】本题考查了图形的变化问题，观察出后一个图形比前一个图形的白色纸片的块数多3块，从而总结出第n个图形的白色纸片的块数是解题的关键．变式训练3：（2016·重庆市A卷·4分）下列图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有4个小圆圈，第②个图形中一共有10个小圆圈，第③个图形中一共有19个小圆圈，…，按此规律排列，则第⑦个图形中小圆圈的个数为（）A．64 B．77 C．80 D．85类型四：坐标规律探究例题4：（2016·四川内江）一组正方形按如图3所示的方式放置，其中顶点B1在y轴上，顶点C1，E1，E2，C2，E3，E4，C3……在x轴上，已知正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O ＝60°，B1C1∥B2C2∥B3C3……则正方形A2016B2016C2016D2016的边长是( )A ．(12)2015B ．(12)2016C ．)2016 D ．)2015[答案] D[考点]三角形的相似，推理、猜想。

中考数学《规律探索》专题复习试题含解析

中考数学《规律(Lv)探索》专题复习试题含解析一(Yi)、选择题1. 如图，将一张等边(Bian)三角形纸片沿中位线剪成4个小三角形，称为第一次操作；然后，将其中的一个三角形按(An)同样方式再剪成4个小三(San)角形，共得到7个小(Xiao)三角形，称为第二次操作；再将其中一个三角形按同样方式再剪成4个小三角形，共得(De)到10个小三角形，称为第三次操(Cao)作；…根据以上操作，若要得到100个小三角形，则需要操作的次数是（）A．25 B．33 C．34 D．50【考点】规律型：图形的变化类．【分析】由第一次操作后三角形共有4个、第二次操作后三角形共有（4+3）个、第三次操作后三角形共有（4+3+3）个，可得第n次操作后三角形共有4+3（n﹣1）=3n+1个，根据题意得3n+1=100，求得n的值即可．【解答】解：∵第一次操作后，三角形共有4个；第二次操作后，三角形共有4+3=7个；第三次操作后，三角形共有4+3+3=10个；…∴第n次操作后，三角形共有4+3（n﹣1）=3n+1个；当3n+1=100时，解得：n=33，故选：B．2.观察图中正方形四个顶点所标的数字规律，可知，数2016应标在（）A．第504个正方形的左下角B．第504个正方形的右下角C．第505个正方形的左上角D．第505个正方形的右下角【考点】规律型：点的坐标．【分(Fen)析】根据图形中对应的数字和各个(Ge)数字所在的位置，可以推出数2016在第多少个正方形和它所在的位置，本(Ben)题得以解决．【解(Jie)答】解(Jie)：∵2016÷4=504，又(You)∵由题目中给出的几个(Ge)正方形观察可知，每个正方形对应四个数，而第一个最小的数是0，0在(Zai)右下角，然后按逆时针由小变大，∴第504个正方形中最大的数是2015，∴数2016在第505个正方形的右下角，故选D．3．（2016.山东省临沂市，3分）用大小相等的小正方形按一定规律拼成下列图形，则第n个图形中小正方形的个数是（）A．2n+1 B．n2﹣1 C．n2+2n D．5n﹣2【考点】规律型：图形的变化类．【分析】由第1个图形中小正方形的个数是22﹣1、第2个图形中小正方形的个数是32﹣1、第3个图形中小正方形的个数是42﹣1，可知第n个图形中小正方形的个数是（n+1）2﹣1，化简可得答案．【解答】解：∵第1个图形中，小正方形的个数是：22﹣1=3；第2个图形中，小正方形的个数是：32﹣1=8；第3个图形中，小正方形的个数是：42﹣1=15；…∴第n个图形中，小正方形的个数是：（n+1）2﹣1=n2+2n+1﹣1=n2+2n；故选：C．【点评】本题主要考查图形的变化规律，解决此类题目的方法是：从变化的图形中发现不变的部分和变化的部分及变化部分的特点是解题的关键．二、填空题1．如图，①是一个三角形，分别连接这个三角形三边中点得到图②，再连接图②中间小三角形三边的中点得到图③，按这样的方法进行下去，第n个图形中共有三角形的个数为4n﹣3 ．【考点】规律型：图形的变化类．【分析】结合题意，总结可知，每(Mei)个图中三角形个数比图形的编号的(De)4倍(Bei)少(Shao)3个三角形，即可(Ke)得出结果．【解(Jie)答】解：第(Di)①是(Shi)1个三角形，1=4×1﹣3；第②是5个三角形，5=4×2﹣3；第③是9个三角形，9=4×3﹣3；∴第n个图形中共有三角形的个数是4n﹣3；故答案为：4n﹣3．【点评】此题主要考查了图形的变化，解决此题的关键是寻找三角形的个数与图形的编号之间的关系．2．如图，直线l：y=－x，点A1坐标为（－3，0）. 过点A1作x轴的垂线交直线l于点B1，以原点O为圆心，OB1长为半径画弧交x轴负半轴于点A2，再过点A2作x 轴的垂线交直线l于点B2，以原点O为圆心，OB2长为半径画弧交x轴负半轴于点A 3，…，按此做法进行下去，点A2016的坐标为 .【考点】一次函数图像上点的坐标特征，规律型：图形的变化类．【分析】由直线l：y=－x的解析式求出A1B1的长，再根据勾股定理，求出OB1的长，从而得出A2的坐标；再把A2的横坐标代入y=－x的解析式求出A2B2的长，再根据勾股定理，求出OB2的长，从而得出A3的坐标；…，由此得出一般规律．【解(Jie)答】解(Jie)：∵点(Dian)A1坐(Zuo)标为（－3，0），知(Zhi)O A1=3，把(Ba)x=－3代入(Ru)直线(Xian)y=－x中，得y= 4 ，即A1B1=4.根据勾股定理，OB1===5，∴A2坐标为（－5，0），O A2=5；把x=－5代入直线y=－x中，得y=，即A2B2=.根据勾股定理，OB2====，∴A3坐标为（－3512，0），O A3=3512；把x=－3512代入直线y=－x中，得y=，即A3B3=.根据勾(Gou)股定理，OB 3====，∴A 4坐标(Biao)为（－3523，0），O A 4=3523；……同理(Li)可得(De)A n 坐(Zuo)标为（－，0），O A n =3521--n n ；∴A 2016坐(Zuo)标为（－，0）故(Gu)答案为：（− 3520142015，0）【点(Dian)评】本题是规律型图形的变化类题是全国各地的中考热点题型，考查了一次函数图像上点的坐标特征. 解题时，要注意数形结合思想的运用，总结规律是解题的关键. 解此类题时，要得到两三个结果后再比较、总结归纳，不要只求出一个结果就盲目的匆忙得出结论。

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中考数学专题复习（一）：规律探索性问题
一、课标要求
1.利用特殊值（特殊点、特殊数量、特殊线段、特殊位置等）进行归纳、概括，从特殊到一般，
从而得出规律．
2.反演推理法(反证法)，即假设结论成立，根据假设进行推理，看是推导出矛盾还是能与已知条件
一致．
二、课前热身
1．观察下列图形，则第n个图形中三角形的个数是（
）
A
．22
n+B．44
n+C．44
n-D．4n
2．把一张纸片剪成4块，再从所得的纸片中任取若干块，每块又剪成4块，像这样依次地进行下去，
到剪完某一次为止。

那么2007，2008，2009，2010这四个数中______________可能是剪出的纸片数。

3．有一列数
1234
251017
--
，，，，…，那么第7个数是．
4．如图，在△ABC中，∠A＝α．∠ABC与∠ACD的平分线交于点A1，得
∠A1；∠A1BC与∠A1CD的平分线相交于点A2，得∠A2；……；∠A2008BC
与∠A2008CD的平分线相交于点A2009，得∠A2009．∠A2009＝．
三．典型例题
例1．观察算式：
22
1.4135
-=⨯；22
2.5237
-=⨯；22
3.6339
-=⨯22
4.74311
-=⨯；…………
则第n（n是正整数）个等式为________.
例2．（2009年益阳市）如图是一组有规律的图案，第1个图案由4个基础图形组成，第2个图案
由7个基础图形组成，……，第n(n是正整数)个图案中由个基础图形组成．
-
例3．如图，图①是一块边长为1，周长记为P1的正三角形纸板，沿图①的底边剪去一块边长为1
2
的
正三角形纸板后得到图②，然后沿同一底边依次剪去一块更小的正三角形纸板（即其边长为前一块
被剪掉正三角形纸板边长的
2
1）后，得图③，④，…，记第n(n≥3) 块纸板的周长为P
n
，则P n－
P n-1= .
四、练习
1．观察下面的一列单项式：x，2
2x
-，3
4x，4
8x
-，…根据你发现的规律，第7个单项式
为；第n个单项式为
2．观察下列一组数：
2
1，
4
3，
6
5，
8
7，……，它们是按一定规律排列的．那么这一组数的第k
个数是．
4已知
2
1
(123...)
(1)
n
a n
n
==
+
，，，，记
11
2(1)
b a
=-，
212
2(1)(1)
b a a
=--，…，
12
2(1)(1) (1)
n n
b a a a
=---，则通过计算推测出
n
b的表达式
n
b＝_______．(用含n的代数
式表示)
五、课外作业
1．如图所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第n个
图形需要黑色棋子的个数是．
2．如图，用黑白两种颜色的正方形纸片，按黑色纸片数逐渐加1的规律拼成一列图案：
⑴第4个图案中有白色纸片___________张；⑵第n个图案台有白色纸片___________张．
3．如图7-①，图7-②，图7-③，图7-④，…，是用围棋棋子按照某种规律摆成的一行“广”字，
按照这种规律，第5个“广”字中的棋子个数是________，第n个“广”字中的棋子个数是________
4．一个叫巴尔末的中学教师成功地从光谱数据
5
9
，
12
16
，
21
25
，
32
36
，…中得到巴尔末公式，从而打
开了光谱奥秘的大门，请你按照这种规律，写出第n（n≥1）个数据是___________．
5．(2009年抚顺市)观察下列图形（每幅图中最小
．．的三角形都是全等的），请写出第n个图中最小
．．的
三角形的个数有个．
6．(2009年梅州市)如图，每一幅图中有若干个大小不同的菱形，第1幅图中有1个，第2幅图中
…
①②③
第1个第2个第3个
……
第1个图第2个图第3个图第4个图
B
A
C D
第6题图
A1
A2
(1) (2) (3)
……
第二轮复习
资料
第1个第2个第3个
有3个，第3幅图中有5个，则第4幅图中有个，第n 幅图中共有个．
7．观察图中一列有规律的数，然后在“？”处填上一个合适的数，这个数是______________． 8．如图，A 1A 2B 是直角三角形，且A 1A 2＝A 2B ＝a ，A 2A 3⊥A 1B ，垂足为A 3，A 3A 4⊥A 2B ，垂足为A 4，A 4A 5⊥A 3B ，垂足为A 5，……，A n ＋1A n ＋2⊥A n B ，垂足为A n ＋2，则线段A n ＋1A n ＋2(n 为自然数)的长为（）．
（A ）
n
)
2(a （
（C ）
2
a （D ）
9．如图所示，直线y ＝x ＋1与y 轴相交于点A 1，以OA 1为边作正方形OA 1B
1C 1，记作第一个正方形；
然后延长C 1B 1与直线y ＝x ＋1相交于点A 2，再以C 1A 2为边作正方形C 1A 2B 2C 2，记作第二个正方形；同样延长C 2B 2与直线y ＝x ＋1相交于点A 3，再以C 2A 3为边作正方形C 2A 3B 3C 3，记作第三个正方形；…依此类推，则第个正方形的边长为________________．
10．学校植物园沿路护栏纹饰部分设计成若干个全等菱形图案，每增加一个菱形图案，纹饰长度就
增加d cm ，如图所示．已知每个菱形图案的边长，其一个内角为60°．
（1）若d ＝26，则该纹饰要231个菱形图案，求纹饰的长度L ；
（2）当d ＝20时，若保持（1）中纹饰长度不变，则需要多少个这样的菱形图案？
11.如图所示，已知：点(00)A ，，0)B ，(01)C ，
在A B C △内依次作等边三角形，使一边在x 轴上，另一个顶点在B C 边上，作出的等边三角形分别是第1个11AA B △，第2个122B A B △，第3个
233B A B △，…，则第n 个等边三角形的边长等于．
12．如图，AD 是⊙O 的直径．
(1) 如图①，垂直于AD 的两条弦B 1C 1，B 2C 2把圆周4等分，则∠B 1的度数是，
∠B 2的度数是；
(2) 如图②，垂直于AD 的三条弦B 1C 1，B 2C 2，B 3C 3把圆周6等分，分别求∠B 1，∠B 2， ∠B 3的度数；
(3) 如图③，垂直于AD 的n 条弦B 1C 1，B 2C 2，B 3 C 3，…，B n C n 把圆周2n 等分，请你用含n
的代数式表示∠B n 的度数(只需直接写出答案)．
13.如图所示，在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，DE ∥BC ，如图①，然后将△ADE 绕A 点顺时针旋转一定角度，得到图②，然后将BD 、CE 分别延长至M 、N ，使DM ＝2
1BD ，EN ＝
2
1CE ，得到图
③，请解答下列问题：
(1)若AB ＝AC ，请探究下列数量关系：
①在图②中，BD 与CE 的数量关系是________________；
②在图③中，猜想AM 与AN 的数量关系、∠MAN 与∠BAC 的数量关系，并证明你的猜想；
(2)若AB ＝k ·AC(k ＞1)，按上述操作方法，得到图④，请继续探究：AM 与AN 的数量关系、∠MAN 与∠BAC 的数量关系，直接写出你的猜想，不必证明．
D 图①
D B C 2
图②
D n B -2
n
图③
…
…
第1幅
第2幅
第3幅第n 幅
A 2
A 1 A 3 A 4
A 6
A 5 B
第8题
第7题。