[数学]平面体系几何组成分析
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[精品]平面体系的几何组成分析
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三、点、刚片、结构的自由度
四、约束（联系）
1、约束：凡能减少自由度的装置。
2、一根链杆相当于一个约束(图3）。
y
o
x
（图3）
y
o
x
x
y
3、一个简单铰相当于两个约束(图4）。
y
o
x
（图4）
y
o
x
x
y
4、联结n个刚片的复铰相当于(n-1)个简单铰，减少(n-1)×2个约束（图5）。
（图5）
F
A
B
C
实饺：几何可变
虚饺：几何瞬变
2、三根链杆相互平行
实饺
虚饺
三饺共线（瞬变）
三个刚片上用不在同一直线上的三个铰两两相联结，形成无多余约束的几何不变体系。
三、三个刚片间的联结（规则三）：
第四节 几何组成分析的方法、步骤和举例
一、方法 一般先考察体系的计算自由度，若W0，则体系为几何可变，不必进行 几何组成分析；若W0，则应进行几何组成分析。
三、举例
例题1
结论: 无多余约束几何不变体系
第五节 体系几何组成与静定性的关系
一、几何可变体系 一般无静力解答。
二、无多余联系的几何不变体系 静力解答唯一确定。
三、几何瞬变体系 其平衡方程或者没有有限值解答，或在特殊情况下，解答不确定。
四、具有多余联系的几何不变体系 静力解答有无穷多组解。
二、两个刚片之间的联结（规则二）：
两个刚片上用一个铰和一根不通过此铰的一根链杆相连结，形成无多余约束的几何不变体系（或：两个刚片上用三根不交于一点、也不全平行的三根链杆相连结 ，形成无多余约束的几何不变体系）。
特殊情况： 1、三根链杆交于一点
四、约束（联系）
1、约束：凡能减少自由度的装置。
2、一根链杆相当于一个约束(图3）。
y
o
x
（图3）
y
o
x
x
y
3、一个简单铰相当于两个约束(图4）。
y
o
x
（图4）
y
o
x
x
y
4、联结n个刚片的复铰相当于(n-1)个简单铰，减少(n-1)×2个约束（图5）。
（图5）
F
A
B
C
实饺：几何可变
虚饺：几何瞬变
2、三根链杆相互平行
实饺
虚饺
三饺共线（瞬变）
三个刚片上用不在同一直线上的三个铰两两相联结，形成无多余约束的几何不变体系。
三、三个刚片间的联结（规则三）：
第四节 几何组成分析的方法、步骤和举例
一、方法 一般先考察体系的计算自由度，若W0，则体系为几何可变，不必进行 几何组成分析；若W0，则应进行几何组成分析。
三、举例
例题1
结论: 无多余约束几何不变体系
第五节 体系几何组成与静定性的关系
一、几何可变体系 一般无静力解答。
二、无多余联系的几何不变体系 静力解答唯一确定。
三、几何瞬变体系 其平衡方程或者没有有限值解答，或在特殊情况下，解答不确定。
四、具有多余联系的几何不变体系 静力解答有无穷多组解。
二、两个刚片之间的联结（规则二）：
两个刚片上用一个铰和一根不通过此铰的一根链杆相连结，形成无多余约束的几何不变体系（或：两个刚片上用三根不交于一点、也不全平行的三根链杆相连结 ，形成无多余约束的几何不变体系）。
特殊情况： 1、三根链杆交于一点
平面体系的几何组成分析课件
(4) 刚片与地基之间的固定支座和铰支座不计入g和h，而 应等效代换为三根支杆或两根支杆计入r。
All Rights Reserved
第17页/共52页
2.3 平面体系的计算自由度
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【例2-1】试求图示体系的计算自由度W。
(1)h m1 (3)h m2
m3 (3)h
其中：m为个刚片个数；g为单刚结个数，h为单铰结个数， r为与地 基之间加入的支杆数。
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第15页/共52页
2.3 平面体系的计算自由度
在应用公式时，应注意以下几点： (1) 地基是参照物，不计入m中。
(2) 计入m的刚片，其内部应无多余约束。如果遇到内部有多余 约束的刚片，则应把它变成内部无多余约束的刚片，而把它的附加约 束在计算体系的“全部约束数”d时考虑进去。
第27页/共52页
2.4 平面几何不变体系的基本组成规则
二元体规则
用两根不共线的链杆联结(发展)一个新结点的构造，称为二元 体。于是，规则Ⅰ也可用二元体的组成表述为：
在一个刚片上，增加一个二元体，仍为几何不变，且无多余约
束的体系。
A
A
A
①
②
①
②
①
②
由二元体的性质可知：在一个体系上依次加上（或取消）若干 个二元体，不影响原体系的几何可变性。这一结论常为几何组成分 析带来方便。
规则Ⅱ （表述之二）：两个刚片用三个链杆相连，且三根链 杆不全交于一点也不全平行，则组成内部几何不变且无多余约束 的体系。
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2.4 平面几何不变体系的基本组成规则
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2.3 平面体系的计算自由度
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【例2-1】试求图示体系的计算自由度W。
(1)h m1 (3)h m2
m3 (3)h
其中：m为个刚片个数；g为单刚结个数，h为单铰结个数， r为与地 基之间加入的支杆数。
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2.3 平面体系的计算自由度
在应用公式时，应注意以下几点： (1) 地基是参照物，不计入m中。
(2) 计入m的刚片，其内部应无多余约束。如果遇到内部有多余 约束的刚片，则应把它变成内部无多余约束的刚片，而把它的附加约 束在计算体系的“全部约束数”d时考虑进去。
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2.4 平面几何不变体系的基本组成规则
二元体规则
用两根不共线的链杆联结(发展)一个新结点的构造，称为二元 体。于是，规则Ⅰ也可用二元体的组成表述为：
在一个刚片上，增加一个二元体，仍为几何不变，且无多余约
束的体系。
A
A
A
①
②
①
②
①
②
由二元体的性质可知：在一个体系上依次加上（或取消）若干 个二元体，不影响原体系的几何可变性。这一结论常为几何组成分 析带来方便。
规则Ⅱ （表述之二）：两个刚片用三个链杆相连，且三根链 杆不全交于一点也不全平行，则组成内部几何不变且无多余约束 的体系。
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2.4 平面几何不变体系的基本组成规则
第2章 平面体系的几何组成分析
[例] 试对图示体系进行几何组成分析
因三铰在一直线上， 故该体系为瞬变体系。
例 试分析图所示体系的几何组成。
解 (1) 用公式 (2-1) 计算体 系的自由度 m = 3， h = 2， r = 5 W = 3m－2h－r = 3 × 3－2 × 2－5 = 0
(2)几何组成分析 先把杆 AB 、 BC 及地基分别看作是刚片 I ，Ⅱ，Ⅲ， 相互用实铰 A(1 ， 3) 、实铰 B(1 ， 2) 及虚铰 (2 ， 3) 相连， （虚铰是在两平行支承链杆的交点处，即无限远处。） 三铰不在 — 直线上，此部分是几何不变的。然后再加上 一个二元体，亦是几何不变。 因此，整个体系是几何不变的。
2.平面链杆系的自由度
仅在杆的两端用铰连接的杆件称为链杆，它是刚 片的特殊形式，桁架是由这类杆件组成。 链杆系的自由度也可以用式W = 3m – 2h – r ，但 在链杆系中复铰较多，计算有所不便，因此另外从 节点出发推导两个方便计算的公式。
在链杆系中，假如各节点都是互不相连地独 立存在，则每一节点在平面内的自由度是2。
例2-4 计算图所示体系的自由度。
解： 用式(2-3)计算 W=2j–b–r 因为 j＝9，b＝15，r＝3 所以 W= 2×9 –15 – 3 = 0 即体系没有自由度。
例2-5 计算图所示体系的自由度。
解：图中 A ， B ， C 应算作 节点。其余与地基相连的 铰不算入节点数 j 内 (因为两 斜杆视作支承链杆)。 因为 j = 3，b = 2，r = 5 所以 W = 2 j－b－r = 2× 3－2－5＝－1 即体系不但没有自由度， 且多一个约束。
解： 该体系不与基础相连，r=0，故 用式(2-2) V = 3m – 2h – 3 因为 m=7，h=7+2=9
平面体系的几何组成分析PPT教学课件
3. 三个刚片之间的组成方式 三个刚片之间用三个铰两两相连,且三个铰
不在一直线上,则组成无多余约束的几何不变体
系。
三角形规律
第19页/共55页
II
III
I
II III
I
§2-2 几何不变体系的组成规律
讨论没有多余约束的,几何不变体系的组成规律。
1. 一个点与一个刚片之间的组成方式 一个点与一个刚片之间用两根链杆相连,且三铰不在 一直线上,则组成无多余约束的几何不变体系。
2. 两个刚片之间的组成方式
两个刚片之间用一个铰和一根链杆相连, 且 三铰不在一直线上,则组成无多余约束的几何 不变体系. 或两个刚片之间用三根链杆相连,且 三根链杆不交于一点,则组成无多余约束的几 何不变体系。
3. 三个刚片之间的组成方式 三个刚片之间用三个铰两两相连,且三个铰
不在一直线上,则组成无多余约束的几何不变体
第3页/共55页
刚片(rigid plate)——平面刚体。
形状可任意替换
第4页/共55页
二、自由度 (Degree of Freedom) 杆系结构是由结点和杆件构成的，我们可以抽象为点
和线。分析一个体系的运动，必须先研究构成体系的点 和线的运动。
y
A'
D y n=2
A Dx
0
x
y
A'
B'
D
n=3
第46页/共55页
三刚片虚铰在无穷远处的讨论
(a) 一铰无穷远情况
不平行
第47页/共55页
几何不变体系
平行
几何瞬变体系
第48页/共55页
平
行
几何常变体系
等
长
第49页/共55页
第二章_平面体系的几何组成分析
三、三刚片组成规则
规则三：三个刚片用不在同一直线上的三个 铰两两相联，则组成没有多余约束的几何不 变体系。如图所示。
A
A
O2 O1 O2 O3O1
O3
B
B
C
C
第二章 平面结构的几何构造分析
现在来讨论三刚片联结的特殊情况。如果两个刚
片之间是通过平行链杆联结，则其形成的虚铰将在无 穷远处。三个刚片之间的联结包括一对、两对和三对 平行链杆的情况。
合理，因B而不能限制瞬时运动B 的情况。 C
C
A
B
A'
第二章 平面结构的几何构造分析
二、两刚片组成规则
规则二：两个刚片用一个铰和不通过该铰 的一根链杆或用不交于一点也不互相平行 的三根链杆相联结，则组成没有多余约束 的几何不变体系。如图所示。
O
几何可变体系
O
R P
几何不变体系
A
C
A CE
B
D
变，实际上就是判别该体系 是否存在刚体运动的自由度。 y
所谓体系的自由度，是指体
系运动时可以独立变化的几
何参数的数目，也就是确定
xA
物体位置所需的独立坐标数
目。例如一个点在平面内自 由运动时，其位置要用两个 o
y x
坐标和来确定（右图），所
以一个点的自由度等于2。
第二章 平面结构的几何构造分析
如一个刚片在平面
1
2
A
1
3
2
第二章 平面结构的几何构造分析
体系中的约束有的对组成几何不变体 系来说是必须的，这种约束称为必要约束， 而必要约束之外的约束称之为多余约束。 每一个必要约束都可以使体系的自由度减 少1个，而多余约束并不减少体系的自由 度。
规则三：三个刚片用不在同一直线上的三个 铰两两相联，则组成没有多余约束的几何不 变体系。如图所示。
A
A
O2 O1 O2 O3O1
O3
B
B
C
C
第二章 平面结构的几何构造分析
现在来讨论三刚片联结的特殊情况。如果两个刚
片之间是通过平行链杆联结，则其形成的虚铰将在无 穷远处。三个刚片之间的联结包括一对、两对和三对 平行链杆的情况。
合理，因B而不能限制瞬时运动B 的情况。 C
C
A
B
A'
第二章 平面结构的几何构造分析
二、两刚片组成规则
规则二：两个刚片用一个铰和不通过该铰 的一根链杆或用不交于一点也不互相平行 的三根链杆相联结，则组成没有多余约束 的几何不变体系。如图所示。
O
几何可变体系
O
R P
几何不变体系
A
C
A CE
B
D
变，实际上就是判别该体系 是否存在刚体运动的自由度。 y
所谓体系的自由度，是指体
系运动时可以独立变化的几
何参数的数目，也就是确定
xA
物体位置所需的独立坐标数
目。例如一个点在平面内自 由运动时，其位置要用两个 o
y x
坐标和来确定（右图），所
以一个点的自由度等于2。
第二章 平面结构的几何构造分析
如一个刚片在平面
1
2
A
1
3
2
第二章 平面结构的几何构造分析
体系中的约束有的对组成几何不变体 系来说是必须的，这种约束称为必要约束， 而必要约束之外的约束称之为多余约束。 每一个必要约束都可以使体系的自由度减 少1个，而多余约束并不减少体系的自由 度。
平面体系的几何组成分析
W 0 体系有多余约束。
§2.3 平面几何不变 体系的基本组成规律
§2.4瞬变体系
(1) 三个刚片的组成规则(三刚 片规则)
三个刚片，用不全在一条直线上 的3个单铰两两相连，组成无多 余约束的几何不变体系。
(a)
(b)
讨论
当三个单铰在一条直线上时，见图。若有荷 载作用在B铰上，B点可沿I、II两圆弧的公切 线做微小的移动，但移动后，三铰A,B,C不 再共线而成为几何不变体系，这种在某一瞬 时可产生微小运动的体系为几何瞬变体系。
W=3m-3g-2h-b
单铰：连接两个刚片的铰结点。 复铰：连接两个以上刚片的铰结点。 n个刚片用一个铰连接，相当于（n-1）个单铰。
１
１ １
１ １
２
２
m＝４h＝４ b＝３
m＝7 h＝9 b＝３
W=3×４－（２×４)－３ Ｗ＝３×７－（２×９）－３
=１
＝０
刚片本身不 应包含多余约束
Ｗ=３×1－３＝０ Ｗ＝３×１－３－３＝－３
Ｗ＝－３
Ｗ＝３×１－５＝ห้องสมุดไป่ตู้２
超静定结构
二、铰接链杆体系的自由度计算
j：结点数 b: 链杆数
Ｗ＝２j－b
杆件两端用 铰连接组成 的体系
j=4 b=4+3 Ｗ＝２×４－４－３＝１
j=8 b=12+4
Ｗ＝２×8－12－4＝0
三、自由度与几何体系构造特点
W 0 体系几何可变；
W 0 具有成为几何不变体系的约束数；
几何不变体系
几何可变体系
(2)机动分析
分析体系是几何不变还是几何 可变的工作即为机动分析或几 何构造分析。
(3)刚片
在机动分析中，不考虑材料的变 形，故可把一根杆件或几何不变 部分看作一个刚片。
§2.3 平面几何不变 体系的基本组成规律
§2.4瞬变体系
(1) 三个刚片的组成规则(三刚 片规则)
三个刚片，用不全在一条直线上 的3个单铰两两相连，组成无多 余约束的几何不变体系。
(a)
(b)
讨论
当三个单铰在一条直线上时，见图。若有荷 载作用在B铰上，B点可沿I、II两圆弧的公切 线做微小的移动，但移动后，三铰A,B,C不 再共线而成为几何不变体系，这种在某一瞬 时可产生微小运动的体系为几何瞬变体系。
W=3m-3g-2h-b
单铰：连接两个刚片的铰结点。 复铰：连接两个以上刚片的铰结点。 n个刚片用一个铰连接，相当于（n-1）个单铰。
１
１ １
１ １
２
２
m＝４h＝４ b＝３
m＝7 h＝9 b＝３
W=3×４－（２×４)－３ Ｗ＝３×７－（２×９）－３
=１
＝０
刚片本身不 应包含多余约束
Ｗ=３×1－３＝０ Ｗ＝３×１－３－３＝－３
Ｗ＝－３
Ｗ＝３×１－５＝ห้องสมุดไป่ตู้２
超静定结构
二、铰接链杆体系的自由度计算
j：结点数 b: 链杆数
Ｗ＝２j－b
杆件两端用 铰连接组成 的体系
j=4 b=4+3 Ｗ＝２×４－４－３＝１
j=8 b=12+4
Ｗ＝２×8－12－4＝0
三、自由度与几何体系构造特点
W 0 体系几何可变；
W 0 具有成为几何不变体系的约束数；
几何不变体系
几何可变体系
(2)机动分析
分析体系是几何不变还是几何 可变的工作即为机动分析或几 何构造分析。
(3)刚片
在机动分析中，不考虑材料的变 形，故可把一根杆件或几何不变 部分看作一个刚片。
第二章 平面体系的几何组成分析
(6) 复刚结点（P.15）
联结n个刚片间的刚结点相当于（n-1）个单刚结点 （P.16） (7) 复链杆
一般来说，联结n个点的复链杆相当于（2n-3） 个单链杆（P.16）
五、不同的装置对自由度的影响
1．一个支杆（或链杆）、可动铰支座→减少一个自由度。 2．两个相交的支杆、固定铰支座→ 减少两个自由度。 3．单铰（中间铰）：一个单铰减少两个自由度。 4．固定支座或刚结点：减少三个自由度。
几何不变体系的要求：杆件和支承数量要足够，组成方式 要合理。
可变
不变
可变
可变
可变
不变
二、二元体规则：一个点与一个刚片之间的连接方式。 1.约束：一个平面内的点有两个自由度，采用两个联系， 可使其几何不变。 2.规律I：一个刚片与一个点用不在同一直线上的两根 链杆相连，则组成没有多余约束的几何不变体系。
三、刚片与自由度
刚片：在平面内可以看成是几何形状不变的物体。 一根梁、一个柱、一根链杆、地基基础、地球
或体系中已经肯定为几何不变的某个部分都可看作 一个平面刚片。
四、约束（联系）： 减少自由度的装置或连接。
常见的约束：
(1)链杆：两端用铰与其它物体相连的杆。 链杆可以是直杆、折杆、曲杆。
y
O
x
进行几何组成分析时，应注意：
1）体系中的每根杆件和约束都不能遗漏，也不能 重复使用。 2）当分析无法进行下去时，一般是使用的刚片或 约束不恰当，应重新选择刚片或约束再试。 3）对于某一体系，可能有多种分析途径，但结论 是唯一的。
练习：分析图示体系的几何组成。
D
C
ED
C
E
D
C
E
A
B
A
B
平面体系的几何组成分析
第6章平面体系的几何组成分析6.1 几何组成分析的目的杆系结构是由若干杆件通过一定的互相联结方式所组成的几何不变体系，并与地基相联系组成一个整体，用来承受荷载的作用。
当不考虑各杆件本身的变形时，它应能保持其原有几何形状和位置不变，杆系结构的各个杆件之间以及整个结构与地基之间，不会发生相对运动。
受到任意荷载作用后，在不考虑材料变形的条件下，能够保持几何形状和位置不变的体系，称为几何不变体系。
图6.1a所示即为这类体系的一个例子。
而如图6.1b所示的例子是另有一类体系，在受到很小的荷载F作用，也将引起几何形状的改变，这类体系不能够保持几何形状和位置不变的体系称为几何可变体系。
显然，土木工程结构只能是几何不变体系而不能采用几何可变体系。
上述体系的区别是由于它们的几何组成不同。
分析体系的几何组成，以确定它们属于哪一类体系，称为体系的几何组成分析。
在对结构进行分析计算时，必须先分析体系的几何组成，以确定体系的几何不变性。
几何组成分析的目的是：1．判别给定体系是否是几何不变体系，从而决定它能否作为结构使用；2．研究几何不变体系的组成规则，以保证设计出合理的结构；3．正确区分静定结构和超静定结构，为结构的内力计算打下必要的基础。
在本章中，所讨论的体系只限于平面杆件体系。
6.2平面体系的自由度为了便于对体系进行几何组成分析，先讨论平面体系的自由度的概念。
所谓体系的自由度，是指该体系运动时，用来确定其位置所需独立的数目。
在平面内的某一动点A，其位置要由两个坐标x和y来确定(图6.2a)，所以一个点的自由度等于2，即点在平面内可以作两种相互独立的运动，通常用平行于坐标轴的两种移动来描述。
在平面体系中，由于不考虑材料的应变，所以可认为各个构件没有变形。
于是，可以把一根梁，一根链杆或体系中已经肯定为几何不变的某个部分看作一个平面刚体，简称为刚片。
一个刚片在平面内运动时，其位置将由它上面的任一点A的坐标x、y和过A点的任一直线AB的倾角ϕ来确定(图6.2b)。
第2章平面体系几何组成分析结构力学
结构力学多媒体课件2 平面体系的几何组成分析Geometric construction analysis基本要求：明确几何组成分析的目的，领会几何不变体系、几何可变体系、瞬变体系和刚片、约束、自由度等概念。
掌握几何不变体系的简单组成规则，能灵活运用三个规则对平面体系进行组成分析。
重点：几何不变体系的简单组成规则难点：如何正确应用几何不变体系的简单组成规则对平面体系进行几何组成分析，二元体的概念。
教学内容：﹡几何不变体系、几何可变体系及几何组成分析的目的﹡刚片、自由度和约束的概念﹡平面体系的计算自由度﹡无多余约束几何不变体系的组成规则﹡几何组成分析举例﹡结构的几何组成和静定性的关系§2-1 概述结构是由若干根杆件通过结点间的联接及与支座联接组成的。
结构是用来承受荷载的，因此必须保证结构的几何构造是不可变的。
问题：是不是若干杆件随意组合都能成为结构？1、几何不变体系和几何可变体系结构几何不变体系：体系受到任意荷载作用后，在不考虑材料变形的条件下，几何形状和位置保持不变的体系。
§2-1 概述1、几何不变体系和几何可变体系机构意荷载作用后，在不考虑材料变形的条件下，几何形状和位置可以改变的体系。
显然只有几何不变体系可作为结构，而几何可变体系是不可以作为结构的。
因此在选择或组成一个结构时必须掌握几何不变体系的组成规律。
§2-1 概述1、几何不变体系和几何可变体系P ∆瞬变体系：本来是几何可变，经微小位移后成为几何不变体系。
这是几何可变体系的一种特殊情况。
ααA BCP F NCA FNCBCPαsin2PF NCA=因此瞬变体系是不能作为结构使用的。
§2-1 概述1、几何不变体系和几何可变体系⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧瞬变体系常变体系几何可变体系几何不变体系体系 （图1） P （图2） P P∆（图3）§2-1 概述2、几何组成分析几何组成分析（机动分析或构造分析）—判断一个杆系是否是几何不变体系，同时还要研究几何不变体系的组成规律。
平面体系的几何组成分析
F F1＝ 2 sin a
当 a 0时， sin a 0, F 1 ,
即瞬变体系在外载很小的情况下，可以发生很大内力。因此，在 结构设计中，即使是接近瞬变体系的计算简图，也应想法避免。 图3-2
4．刚片与刚片系 在体系的几何组成分析中，由于不考虑杆件本身的变 形，因此可以把一根杆件，或是已知几何不变部 分都可看作是一个刚体，在平面体系中又将刚体 称为刚片。 由刚片所组成的体系称为刚片系。也就是说，刚片可 大可小，它大至地球、一幢高楼，也可小至一片 梁、一根链杆。由此可知，平面体系的几何组成 分析，实际上就变成考察体系中各刚片间的连接 方式了。因此，能否准确、灵活地划分刚片，是 能否顺利进行几何组成分析的关键。 5．实铰与虚铰 由两根杆件端部相交所形成的铰，称为实铰，如图33a示。 由两根杆件中间相交或延长线相交形成的铰，称为虚 铰，如图3-3b、c示。之所以称这样的铰为虚铰， 是由于在这个交点O处并不是真正的相铰。图3-3 b、c所示虚铰的位置是在两根链杆的交点上；在 此，值得指出的是，实铰与虚铰的约束作用是一 样的。
第二节
平面体系的计算自由度
一、自由度与约束 1．自由度 为了分析体系是否几何不变，可先计算其自由度。所谓体系 的自由度，是指该体系运动时，用以完全确定其位置所 需的独立几何坐标的数目。 例如，一个点A在平面内运动时，可以完全确定其位置的独 立坐标，是该点的两个独立的坐标变量ｘ和ｙ（图34a）,所以一个点在平面内有两个自由度。 一个刚片在平面内运动则有三个自由度，这是因为刚片的位 置，可以由刚片上任意一点A的ｘ和ｙ坐标，以及刚片上 任一直线AB的倾角φ （图3-4b）来确定。 2．约束 约束是能够减少自由度的装置。如果能减少一个自由度， 就叫一个约束；如果能减少两个自由度，就叫两个约束。 约束亦叫联系。体系最常用的约束或联系为链杆和铰。
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y o 独立变化的几何参数为：x、y、。
x
§ 3—2 平面体系的自由度计算 2.约束的概念 减少自由度的装置（又称为联系）。 凡是减少一个自由度的装置称为一个约束。 ⑴ 链杆: 一根链杆相当一个约束。 y
B A
o
x
§ 3—2 平面体系的自由度计算
⑵ 单铰： 连结两个刚片的铰称为单铰。 一个单铰相当于两个约束。
彼此用铰并用链杆与基础相联而组成。
w = 3m － 3g － (2h + r)
式中：W — 计算自由度 m— 刚片数目 g — 单刚结点片数目 h — 单铰数目 r — 链杆数目
§ 3—2 平面体系的自由度计算
(4）单刚结点:
一个单刚结点或一个固定支座具有３个约束。
§ 3—2 平面体系的自由度计算
§3-1 概述 研究平面体系几何组成分析的任务和目的：
(１) 研究结构的基本组成规则，来判定体系是否可作为 结构以及选取结构的合理形式。
(２) 根据结构的几何组成，选择相应的计算方法和计算 途径。
§3-1 概述 1. 自由度的概念
若干个杆件相互联结而组成的构造。 在任何荷载作用下，若不计杆件的变形， 其几何形状与位置均保持不变的体系。
瞬变体系的静力特性： 在微小荷载作用下可产生 无穷大内力。因此，瞬变体系 或接近瞬变的体系都是严禁作 为结构使用的。
瞬变体系一般是总约束数满 足但约束方式不满足规则的一 类体系，是特殊的几何可变体
系。
FNAB =FNAC =FP 2FNsina=FP FN =FP /(2 sina )
§3—5 平面体系几何组成分析应用举例
y
x Ⅰ
A
1
y
2
Ⅱ
o
x
§ 3—2 平面体系的自由度计算 ⑶复铰： 连结两个以上刚片的铰 称为复铰。 连结n 个刚片的复铰相 当于(n－1)个单铰。
y
x Ⅰ
A
1
y
2
Ⅱ
3
Ⅲ
o
x
3. 多余约束的概念 把体系上成为几何不变而必须的约束，称为必要约束；把 必要约束之外的约束则称为多余约束。
§ 3—2 平面体系的自由度计算 一个平面体系 ,通常由若干个刚片
Ⅱ
Ⅲ
Ⅰ
§3—3 几何不变体系的组成规则
1. 基本的三刚片规则（三角形规则）: 三个刚片用不共线的三个单铰两两相联组成的体系为几何不变。
例:
Ⅱ
Ⅲ
Ⅰ
此体系由三个刚片用不共线的三个单铰A、B、C 两两铰连接组成的，为几何不变。
§3—3 几何不变体系的组成规则
2. 二元体规则:
在一个刚片上增加一个二元体,仍为几何不变体系。 二元体： 两根不共线的链杆联结一个新结点的构造。 铰结点
Ⅱ Ⅰ
§3—4 瞬变体系
原为几何可变，但经过微小位移后转化为几何不变体系，这种体 系称为瞬变体系。瞬变体系也是一种几何可变体系。 例如:
o
.
瞬变体系
§3—4 瞬变体系
体系的形状和位置可以改变，并发生位移，这种体系称为常变体 系。瞬变体系和常变体系都是几何可变体系，不能用作结构。 例如:
常变体系
§3—4 瞬变体系
刚片Ⅰ
§3—3 几何不变体系的组成规则
3.两刚片规则: 或者两个刚片用三根不完全平行也不交于同一点的链杆 相联，为几何不变 Ａ
Ｃ 刚片Ⅰ
Ｅ
§3—3 几何不变体系的组成规则
3.两刚片规则: 例如： 基础为刚片 Ⅰ，杆BCE 为刚片Ⅱ，用链 杆AB、 EF、 CD 相联，为几 何不变体系。
例题
w = 3m－3g- (2h + r)
2
3 1
2 3 1
刚片个数
单铰个数
m = 9
h = 12
链杆个数
单刚结点片数
r = 3
g ＝0
W = 3×9 —（12×2 + 3） =0 讨论： 体系虽然 W=0, 但其上部有多余联系， 而下部又缺少联系，仍为几何可变。
§ 3—2 平面体系的自由度计算 任何平面体系的计算自由度，其计算结果将有 以下三种情况： ⑴ w＞0, 体系缺少足够的联系，为几何可变。
§ § 3—2 平面体系的自由度计算 1. 自由度的概念 自由度是指物体运动时可以独立变化的几何参数
的数目,即确定物体位置的独立坐标数目。
y
x y o
A
x
⑴ 平面上的点(A)有两个 自由度, 独立变化的几何参 数为：x、y。
§ § 3—2 平面体系的自由度计算 ⑵ 平面上的刚片有三个自由度
y B x A
⑵ w＝0, 体系具有成为几何不变所必需的最少 联系数目。
⑶ w＜0, 体系具有多余联系。
则几何不变体系的必要条件是: w≤0, 但 这不是充分条件，还必需研究几何不变体系的 合理组成规则。
§3—3 几何不变体系的组成规则
1. 基本的三刚片规则（三角形规则）: 三个刚片用不共线的三个单铰两两相连接组成的体系为几何不变。
F
§3-1 概述
即使不考虑材料的变形，在很小的荷载作 用下，会产生机械运动的体系，几何形状与位 置可变的体系。
F
§3-1 概述
判断体系是否几何不变，又称作几何组成分
析﹙或几何构造分析﹚。 刚片：一个在平面内完全不变形的刚性物体叫作刚片。在平 面杆件体系中，一根直杆、折杆或曲杆都可以视为刚片，并 且由这些构件组成的几何不变体系也可视为刚片。 刚片中任一两点间的距离保持不变，既由刚片中任意两点 间的一条直线的位置可确定刚片中任一点的位置。所以可由 刚片中的一条直线代表刚片。 B A
方法：首先计算自由度W，若W＞0,体系为几何可变； 若W≤0 ,应进行几何组成分析。
二元体规则要求： 二元体的两根杆不能在一条直线上。
二刚片规则要求：连接两个刚片的三根链杆不能汇交于一点，也不
能相互平行。
三刚片规则要求：连接三刚片的三个铰不能在一条直线上。
例：
刚 二元体
片
为没有多余约束的几何不变体系
结论：在一个体系上增加或拆除二元体， 不会改变原体系的几何构造性质。
§3—3 几何不变体系的组成规则
3.两刚片规则: 两个刚片用一个铰
和一根不通过此铰的链杆 相联,为几何不变体系。
O
.
① ②
铰
刚片Ⅰ
虚铰： O为相对转动中心。起 的作用相当一个单铰，称为虚铰。
计算平面体系自由度时，应注意：
（1）确定体系的刚片数m 时，将每一根杆都视为一 个刚片。 （2）单铰数目h 仅包含刚片之间互相连接的铰，不 包括刚片与支座或支座链杆相连接的铰。复铰须拆 成单铰。
§ 3—2 平面体系的自由度计 算
（3）对于体系的复杂结点时，即不完全铰结点，应 具体分析。
g:单刚节点片数目