导数8
常见函数导数表
以下是一些常见函数的导数：
1. 常数函数：f(x)=c的导数为0。
2. 幂函数：f(x)=x^n的导数为f'(x)=nx^(n-1)。
3. 指数函数：f(x)=a^x的导数为f'(x)=a^x*lna。
4. 对数函数：f(x)=lnx的导数为f'(x)=1/x。
5. 三角函数：
* 正弦函数：f(x)=sinx的导数为f'(x)=cosx。
* 余弦函数：f(x)=cosx的导数为f'(x)=-sinx。
* 正切函数：f(x)=tanx的导数为f'(x)=sec^2x。
6. 反三角函数：
* 反正弦函数：f(x)=arcsinx的导数为f'(x)=1/√(1-x^2)。
* 反余弦函数：f(x)=arccosx的导数为f'(x)=-1/√(1-x^2)。
* 反正切函数：f(x)=arctanx的导数为f'(x)=1/(1+x^2)。
7. 双曲函数：
* 自然双曲正弦函数：f(x)=shx的导数为f'(x)=chx。
* 自然双曲余弦函数：f(x)=chx的导数为f'(x)=shx。
8. 幂函数：对于形如f(x)=ax^n的幂函数，其导数为
f'(x)=nax^(n-1)。
9. 分式函数：对于形如f(x)=u/v的函数，其中u和v都是可导的，其导数为f'(x)=(u'v-uv')/v^2。
这只是一部分常见函数的导数，实际上还有很多其他类型的函数，这些函数的导数都需要根据具体情况进行计算。
202新数学复习第二章函数导数及其应用8导数与函数的零点问题含解析
课时作业18 导数与函数的零点问题1．设a为实数，函数f（x）＝－x3＋3x＋a.(1)求f(x)的极值;(2)是否存在实数a，使得方程f(x）＝0恰好有两个实数根？若存在，求出实数a的值；若不存在,请说明理由．解：(1)f′（x)＝－3x2＋3，令f′（x)＝0，得x＝－1或x＝1.∵当x∈(－∞,－1)时，f′(x）〈0；当x∈（－1,1）时,f′（x)>0；当x∈(1，＋∞)时，f′（x)〈0,∴f(x）在(－∞,－1），(1，＋∞）上单调递减，在（－1，1)上单调递增．∴f(x)的极小值为f（－1）＝a－2,极大值为f（1)＝a＋2。
（2）方程f（x）＝0恰好有两个实数根,等价于直线y＝a 与函数y＝x3－3x的图象有两个交点．∵y＝x3－3x，∴y′＝3x2－3。
令y′〉0，解得x>1或x〈－1;令y′<0，解得－1<x<1。
∴y＝x3－3x在（－1，1)上为减函数，在(1，＋∞）和(－∞，－1）上为增函数．∴当x＝－1时，y极大值＝2;当x＝1时,y极小值＝－2.∴y＝x3－3x的大致图象如图所示．y＝a表示平行于x轴的一条直线,由图象知，当a＝2或a ＝－2时，y＝a与y＝x3－3x有两个交点．故当a＝2或a＝－2时,方程f（x)＝0恰好有两个实数根．2．已知函数f(x)＝ln x＋错误!,g(x)＝错误!，a∈R。
（1）求函数f(x)的极小值;(2）求证:当－1≤a≤1时，f（x)>g(x)．解：（1)f′（x)＝错误!－错误!＝错误!(x〉0），当a－1≤0，即a≤1时，f′（x)〉0，函数f（x)在（0，＋∞）上单调递增,无极小值；当a－1>0，即a>1时，则当0〈x<a－1时，f′（x)<0，函数f(x)在(0,a－1)上单调递减，当x>a－1时，f′（x)>0，函数f（x)在（a－1，＋∞）上单调递增，故f（x）极小值＝f（a－1)＝1＋ln（a－1)．综上所述,当a≤1时，f(x）无极小值;当a>1时，f（x)极小值＝1＋ln（a－1)．(2）证明:令F（x）＝f（x)－g(x）＝ln x＋错误!－错误!＝错误!（x>0），当－1≤a≤1时，要证f（x）>g(x)，即证F（x)〉0,即证x ln x－a sin x＋1〉0。
高数知识点总结大一导数
高数知识点总结大一导数大一导数知识点总结在大一的数学学习中，导数是一个非常重要的概念。
导数是描述函数变化率的工具，它在数学以及其他学科的应用中起着关键的作用。
本文将总结大一导数的知识点，帮助大家理解和掌握导数的概念和基本计算方法。
1. 导数的定义导数描述了函数在某一点上的变化率。
对于函数y=f(x)，在点x处的导数可以用以下极限定义表示：f'(x) = lim┬(△x→0)〖(f(x+△x)-f(x))/△x〗其中，f'(x)表示函数f(x)在点x处的导数。
2. 导数的几何意义导数的几何意义是函数在某一点的切线斜率。
在图像上，切线的斜率等于函数导数的值。
3. 导数的基本性质导数具有以下基本性质：- 常数函数的导数为零：如果f(x)=c，那么f'(x)=0，其中c是一个常数。
- 幂函数的导数：对于幂函数f(x)=x^n，其中n是正整数，导数为f'(x)=n*x^(n-1)。
- e^x和ln(x)的导数：e^x的导数为e^x，ln(x)的导数为1/x。
- 三角函数的导数：sin(x)的导数为cos(x)，cos(x)的导数为-sin(x)，tan(x)的导数为sec^2(x)。
- 导数的加法和乘法：(f+g)'(x)=f'(x)+g'(x)，(f*g)'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)。
4. 链式法则链式法则是计算复合函数导数的重要工具。
对于复合函数y=f(g(x))，其导数可以用链式法则表示：(dy)/(dx) = (dy)/(dg) * (dg)/(dx)其中(dy)/(dg)表示f对g的导数，(dg)/(dx)表示g对x的导数。
5. 高阶导数高阶导数是指导数的导数。
对于函数f(x)，如果f的导数f'(x)存在导数，那么f的二阶导数表示为f''(x)，可以通过f''(x) = (f')'(x)来计算。
三角函数导数表大全
ห้องสมุดไป่ตู้
比如说，对于正弦函数 y=sinx，都知道导数 dy/dx=cosx， 那么 dx/dy=1/cosx， 而 cosx=√(1-(sinx)^2)=√(1-y^2)，所以 dx/dy=√(1-y^2)， y=sinx 可知 x=arcsiny，而 dx/dy=1/√(1-y^2)，所以 arcsiny 的导数就是 1/√(1-y^2)， 再换下元 arcsinx 的导数就是 1/√(1-x^2)。
第8讲 导数的概念与运算
新课标剖析满分晋级导数3级 导数的运算与几何意义导数1级导数的概念与运算导数2级 导数在研究函数中的简单应用第8讲 导数的概念 与运算导数的引入我们在必修一的时候学习了函数单调性的知识，可以从变化趋势来研究函数．比如增函数就是越来越大的，减函数就是越来越小的．我们知道了函数的增和减之后，自然引出的问题就是增和减的速度．就好比我们还是婴儿的时候，最开始掌握的运动方式是爬，开始是练习向前爬和向后爬，能掌握方向了之后，就要开始关注爬的速度．有些社区还会组织婴儿爬行比赛．回到函数的角度，我们原始的函数定义解决的是“在哪里”的问题（代入坐标求解），必修一的《函数单调性》这一节中我们初步解决了“往哪走”的问题．现在我们要研究的就是在大概知道“往哪走”的前提之下，解决具体“怎么走”“走多快”的问题．为了研究此类问题，聪明的人类引入了导数的概念．在介绍导数之前，我们先来了解一个简单概念：平均变化率．１．函数的平均变化率：一般地，已知函数()y f x =，0x ，1x 是其定义域内不同的两点，记10x x x ∆=-，10y y y ∆=-10()()f x f x =-00()()f x x f x =+∆-，则当0x ∆≠时，商00()()f x x f x yx x+∆-∆=∆∆称作函数()y f x =在区间[,]x x x +∆（或00[,]x x x +∆）上的平均变化率．【教师备案】讲变化率的时候可以和速度结合到一起，比如小车问题（课件中有图）有一个小车在忽忽悠悠的往前开，我们每隔1秒钟拍一张照片，就可以得到如下的图：1t s ∆=时：这时计算平均速度就可以用位移差除以时间差，这其实也是速度的定义：速度就是位移的8.1导数的概念知识点睛18m8m 2m 0m ss 1s 0s变化率．那么平均速度也就是位移的平均变化率．我们也可以把时间间隔变成0.5秒，就会变成下图：0.5t s ∆=时：比如我们要计算1到1.5秒间的平均速度，也需要用位移差s t∆∆． 如果我们排除位移、速度这样的具体物理概念，只研究“变化“这件事的话，我们就可以得到更广泛的平均变化率的概念．建议老师可以换一个例子，比如从圆的面积随半径的变化率入手．很自然的我们可以知道圆面积随半径的平均变化率是22π()π2ππx x x x x x x x+∆-=+∆+∆-我们很容易发现，在半径均匀变化的时候，圆面积随半径的平均变化率并不是均匀的，而是越变越快．这个现象在生活中有很实际的例子，比如我们去买蛋糕的时候，六寸、九寸、十二寸的蛋糕价格并不是均匀增长的，从九寸到十二寸的价格增长一定比从六寸到九寸的价格增长大．平均变化率有本身的缺陷，比如小车问题中，我们看到从0s 到1s 的平均速度是2/m s ，但是我们并不能说这一段时间每一个时刻的速度都是2/m s ．蛋糕问题也是一样的，比如我们有一个神奇的蛋糕，会越变越大，原来是六寸的，一段时间后涨到了七寸，然后出现一个神奇的小狗，把新出来的宽为一寸“蛋糕环”吃了，最后剩下的还是一个六寸的蛋糕．那么这段时间蛋糕大小的平均变化率应该是0，从这个角度讲是蛋糕没变的，但实际过程中有很复杂的变化．平均变化率在刻画此类问题的时候显得不够精确了．还有很多的例子，比如有一个人投资股票，一开始投入了10块钱，一年之后收回10块钱，那么这一年中的平均变化率就是0，但是这一年中肯定有起伏的变化．老师可以选取自己2.5s 1.5s0.5s 18m8m 2m 0m s2s 1s 0s比较擅长的例子进行讲解产生这个问题的重要原因是平均变化率只能刻画一个x ∆上的平均情况，只考虑起点和终点两个时刻的状态，而对于中间状态没有刻画（这里的x ∆可以指时间，也可以指刚才提过的半径变化）．而当我们精确处理每一个瞬间变化情况的时候，自然的想法就是让x ∆无限的小．此时得出的变化率就是瞬时变化率．我们可以重新看刚才举的例子，比如小车的问题，当时间间隔无限小的时候，得到的结果就是瞬时速度．圆的例子也是一样的，圆的面积随半径的平均变化率是2ππx x +∆，当x ∆趋向于零的时候，瞬时变化率也就变成了2πx ．这样我们就可以从平均变化率的问题引入到瞬时变化率的问题【教师备案】教师可以由前两个小车问题讲解平均变化率，在学生理解什么是平均变化率后，让学生做例1⑴．尖子班学案1也是平均变化率的问题，老师也可以选择性的让学生做做．建议老师在让学生计算平均变化率之前多举一些简单的例子，可以参考铺垫题中使用具体的某个数来计算平均变化率，然后再让学生去做用0x 解平均变化率的题．对于学生来说，一个比较合理的学习顺序是这样的：最后我们加入的易错门诊，强调的是导数的定义．然后就可以进入第二板块：导数的运算了．2．函数的瞬时变化率、函数的导数：设函数()y f x =在0x 附近有定义，当自变量在0x x =附近改变量为x ∆时，函数值相应的改变00()()y f x x f x ∆=+∆-．如果当x ∆趋近于0时，平均变化率00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆趋近于一个常数，那么常数称为函数()f x 在点0x 的瞬时变化率．“当x ∆趋近于零时，00()()f x x f x x+∆-∆趋近于常数l ”可以用符号“→”记作：“当0x ∆→时，00()()f x x f x l x +∆-→∆”，或记作“000()()lim x f x x f x l x∆→+∆-=∆”，符号“→”读作“趋近于”．函数在0x 的瞬时变化率，通常称为()f x 在0x x =处的导数，并记作()f x '．这时又称()f x 在0x x =“当0x ∆→时，000()()()f x x f x f x x +∆-'→∆”或“0000()()lim ()x f x x f x f x x ∆→+∆-'=∆”．考点1： 导数的定义【铺垫】求下列函数在区间[]22x +∆，和[]33x +∆，上的平均变化率①()f x x = ②2()f x x =【解析】 ①()f x x =在区间[]22x +∆，上的平均变化率为1yx ∆=∆； ()f x x =在区间[]33x +∆，上的平均变化率为1yx ∆=∆；②()2f x x =在区间[]22x +∆，上的平均变化率为4yx x ∆=+∆∆；()2f x x =在区间[]33x +∆，上的平均变化率为6yx x∆=+∆∆；【总结】可以让学生感受一下函数变化快慢，比如从上题的结果来看，在相同的时间内一次函数的变化是一直不变的；二次函数的变化是越来越快的．【教师备案】教师可以先讲铺垫，根据铺垫让学生从具体的区间体会函数的平均变化率，再由具体的区间引申出一般区间的平均变化率，然后讲例1⑴．【例1】平均变化率与瞬时变化率⑴ 求下列函数在区间00[]x x x +∆，上的平均变化率．① ()f x x = ② 2()f x x = ③ 3()f x x = ④1()f x x=⑤()f x ⑵ 求下列函数分别在1x =，2x =和3x =处的瞬时变化率．① ()f x x = ② 2()f x x = ③ 3()f x x = ④ 1()f x x=⑤()f x = 【追问】从瞬时变化率角度分析每个函数的整体变化趋势，我们可以很明显的看出对于一次函数，二次函数，三次函数来说，次数越高，往后变化越快．【教师备案】求例1⑵的瞬时变化率时，前三个是让学生体会简单函数的瞬时变化率，老师可以重点讲前三个，然后让学生自己体会后两个；如果学生的程度特别特别好，可以求下面两个函数在1x =处的瞬时变化率⑥()sin f x x = ⑦()cos f x x =【解析】 ⑴ ①1yx ∆=∆ ； ② 02y x x x ∆=+∆∆；③ 220033()y x x x x x ∆=+∆+∆∆；④2001y x x x x ∆=-∆+⋅∆；⑤y x∆=∆.⑵①在1x =处的瞬时变化率为(1)1f '=；在2x =处的瞬时变化率为(2)1f '=；在3x =处的瞬时变化率为(3)1f '=．经典精讲②在1x =处的瞬时变化率为(1)2f '=；在2x =处的瞬时变化率为(2)4f '=； 在3x =处的瞬时变化率为(3)6f '=．③在1x =处的瞬时变化率为(1)3f '=；在2x =处的瞬时变化率为(2)12f '=； 在3x =处的瞬时变化率为(3)27f '=．④在1x =处的瞬时变化率为(1)1f '=-；在2x =处的瞬时变化率为1(2)4f '=-；在3x =处的瞬时变化率为1(3)9f '=-．⑤在1x =处的瞬时变化率为1(1)2f '=；在2x =处的瞬时变化率为(2)f '=；在3x =处的瞬时变化率为(3)f '=．【总结】由例1⑵增长的，只不过增长速度越来越慢．【教师备案】⑥⑦只求在1x =处的瞬时变化率，解析为：⑥()()000000sin sin sin cos 1cos sin ()()x x x x x x xf x x f x y x x x x+∆-∆-+∆+∆-∆===∆∆∆∆ 20000sin 2sin cos sin sin sin 22sin sin cos 22x x x x x x x x x x x x ∆⎛⎫∆⎛⎫-+∆- ⎪ ⎪∆∆⎝⎭==⋅+ ⎪∆∆∆ ⎪⎝⎭， 在1x =处的瞬时变化率为()00sin sin 21lim lim sin1sin cos1cos122x x x y x x f x x x ∆→∆→⎡∆⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪∆∆∆'==⋅+=⎢⎥ ⎪∆∆∆⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⑦()000000sin cos cos ()()sin 2cos sin sin 22x x x x f x x f x y x x x x x x x x x ∆⎛⎫- ⎪+∆-+∆-∆∆∆===⋅- ⎪∆∆∆∆∆ ⎪⎝⎭， 在1x =处的瞬时变化率为()00sin sin 21lim lim cos1sin sin1sin122x x x y x x f x x x ∆→∆→⎡∆⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪∆∆∆'==⋅-=-⎢⎥ ⎪∆∆∆⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦． 【教师备案】⑥⑦的解析用到了0sin lim 1x xx→=的思想：证明：0sin lim 1x xx →=【解析】 sin xx为偶函数，只考虑0x >的情形，0sin tan x x x <<<，从图上直接读出 sin sin 1cos tan x xx x x>>=；容易证明 0limcos 1x x →=；于是由夹逼定理0sin 1lim 1x x x →≥≥，于是0sin lim 1x xx→=．（这个证明过程是不严格的，只从对极限的直观上作个说明）提高班学案1【拓1】 求函数3()2f x x x =-在[]11x +∆，上附近的平均变化率，在1x =处的瞬时变化率与导数． 【解析】 函数()f x 在[]11x +∆，上附近的平均变化率为：yx∆=∆2()31x x ∆+∆+， 在1x =处的瞬时变化率与导数相等，为(1)1f '=．尖子班学案1【拓2】已知()()40f x kx k =+≠，且()f x 在区间[]12-，上的平均变化率是4，则k =＿＿＿＿． 【解析】 4【总结】一次函数的平均变化率就是斜率．目标班学案1【拓3】 质点M 按规律()21s t at =+作直线运动，若质点M 在2t s =时的瞬时速度为8/m s ，求a 的值． 【解析】 2a =若()f x 在0x x =处可导，则()()0003lim x f x x f x x∆→+∆-=∆（ ）． A ．()013f x 'B ．()03f x 'C ．()0f x 'D ．0 【分析】 此题很容易出错．教师可以引导学生根据导数的定义来求解，从而加深学生对导数定义的真正理解，原来的x ∆是()x x x +∆-，跟21x x -是一回事，所以这里用21x x -给学生讲更直观，建议板书：)212limx x f x f x x →-【解析】 B【教师备案】在讲完易错门诊后，学生对导数的定义可能还有一些模糊，这时老师可以选择下面的４道小题让学生做做，让学生把导数的定义理解透彻．⑴若函数()y f x =在区间()a b ，内可导且0()x a b ∈，，则000()()lim h f x h f x h--→的值为（ ）A ．0()f x 'B ．02()f x 'C ．0()f x '-D ．0⑵设(3)4f '=，则0(3)(3)lim 2h f h f h→--=（ ）A ．1-B ．2-C ．3-D ．1⑶若000(2)()lim 13x f x x f x x ∆→+∆-=∆，则0()f x '等于（ ）A ．23B ．32C ．3D ．2⑷设()f x 在0x 可导，则()()0003lim x f x x f x x x∆→+∆--∆∆等于（ ）A ．()02f x 'B ．()0f x 'C ．()03f x 'D ．()04f x '【解析】 ⑴C⑵B ⑶B ⑷D现在我们要做的是从某一个点处的导数向一个函数的导数过渡． 延续我们刚才的学习顺序：关于求导公式：常见的求导公式我们可能并不会推导，但是建议和学生提及一下推导的要点，并说明这个推导并不是高中知识范畴之内的．这样可以让学生比较信服，也可以和学生强调公式是前人推导出来给我们做题用的．1．可导与导函数：如果()f x 在开区间(,)a b 内每一点都是可导的，则称()f x 在区间(,)a b 可导．这样，对开区间(,)a b 内每个值x ，都对应一个确定的导数()f x '．于是，在区间(,)a b 内，()f x '构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数()y f x =的导函数．记为()f x '或y '（或x y '）．导函数通常简称为导数．如果不特别指明求某一点的导数，那么求导数指的就是求导函数．2．常用函数()()()()()21f x C f x x f x x f x f x x ====，，，，【教师备案】常用函数的推导过程如下：8.2导数的运算知识点睛()()00limlim0x x f x x f x C CC x x∆→∆→+∆--'===∆∆；()()()00lim lim 1x x f x x f x x x x x x x∆→∆→+∆-+∆-'===∆∆；()()()()()222limlimlim 22x x x f x x f x x x x x x x x xx∆→∆→∆→+∆-+∆-'===+∆=∆∆；()()()2000111111lim lim lim x x x f x x f x x x x x x x x x x x ∆→∆→∆→'+∆--⎛⎫⎛⎫==-==- ⎪ ⎪∆∆+∆+∆⎝⎭⎝⎭；()()00lim lim lim x x x f x x f x x ∆→∆→∆→+∆-'====∆． 3．基本初等函数的导数公式⑴若()f x C =（C 为常数），则()0f x '=； ⑵若()()f x x αα*=∈Q ，则()1f x x αα-'=；⑶若()x f x a =，则()ln x f x a a '=；特别地， 若()e x f x =，则()e x f x '=；⑷若()log a f x x =，则()1ln f x x a '=；特别地，若()ln f x x =，则()1f x x'=； ⑸若()sin f x x =，则()cos f x x '=； ⑹若()cos f x x =，则()sin f x x '=-．【教师备案】基本初等函数的推导过程不要求学生掌握，学生只需把导数公式记住就行，老师在讲完 导数公式后可以让学生做例2⑴，本题可以老师带领学生一起做．4．导数的四则运算法则：其中()()f x g x ，都是可导函数，C 为常数：(()())()()f x g x f x g x '''±=±；[()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''=+；[()]()Cf x Cf x ''=；2()()()()()()()f x f x g x f x g x g x g x '''⎡⎤-=⎢⎥（()0g x ≠）． 设()()y f x g x =+，则()()()()y f x x g x x f x g x ∆=+∆++∆-+⎡⎤⎣⎦()()()()f x x f x g x x g x =+∆-++∆-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦f g =∆+∆y f g x x x ∆∆∆=+∆∆∆∴，0000lim lim lim lim x x x x y f g f g x x x x x ∆→∆→∆→∆→∆∆∆∆∆⎛⎫=+=+ ⎪∆∆∆∆∆⎝⎭∴，即()y f g f g ''''=+=+ 我们也可以换一种方式来解释这个公式基本上所有学生都学过“水上行舟”问题，我们可以把x 看做是时间，()f x 看做是船的位移，()g x 看做是水的位移，那么()'f x 和()'g x 分别指的就是船和水的瞬时变化率，也就是速度．这样我们的公式也就很好理解了．()()f x g x +总的位移，()()()'f x g x +就是总的速度，自然等于右边()()''f x g x +，也就是船速加水速． 四则运算记忆法则：①加法的导数等于导数的加法；②常数与函数之积的导数等于常数乘以函数的导数；③乘法的导数等于第一个导数乘以第二个+第二个导数乘以第一个； ④除法的导数等于分母不动乘以分子导数减去分子不动乘以分母导数，再除以分母平方．【教师备案】讲完导数的四则运算，可以让学生做例2⑵⑶；例2⑵属于简单函数的四则运算，例2⑶属于需要先把函数化简，再用四则运算；对于目标班的学生，因为程度比较好，所以可以让学生做做目标班学案2；在例2的后边还有一个【挑战十分钟】，【挑战十分钟】的主要目的是让学生熟练导数的四则运算，可以让学生在规定的时间内做做．考点2： 导数的运算【例2】导数的运算⑴ 求下列函数的导数①2012y x = ②2x y = ③e x y = ④ln y x = ⑵ 求下列函数的导数①3cos y x x =+ ②()231e x y x x =-+ ③e sin x y x =④ln xy x=⑤()tan f x x = ⑶ 求下列函数的导数① ()2211f x x x x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ ②)11y ⎫=⎪⎭③()sin cos 22x x f x x =-【解析】 ⑴ ①20112012y x '=； ②2ln 2x y '=； ③e x y '=； ④1y x'=．⑵ ①23sin y x x '=-；②()22e x y x x '=-- ；③()e sin cos x y x x '=+；④2ln 1ln x y x-'= ；⑤()21cos f x x'=⑶ ① ()2213f x x x '=-；② 13221122y x x --'=--．③()111sin (sin )1cos 222f x x x x x x '⎛⎫'''=-=-=- ⎪⎝⎭．【挑战十分钟】让学生熟练的掌握求导公式以及导数的运算法则求下列函数的导数⑴313y x =；⑵21y x=；⑶42356y x x x =--+；⑷2cos y x x =+；⑸2sin y x x =+；⑹sin cos y x x =-；⑺1y x x=+；⑻1y x =e x y x =；⑽sin y x x =；⑾2ln y x x =⑿cos sin y x x x =-；⒀121y x =+；⒁21x y x =+；⒂11x y x -=+；⒃sin x y x=；⒄()22πy x =；⒅)22y =；⒆()()22331y x x =+-；⒇()()211y x x x =+-+．【解析】 ⑴2y x '=；⑵32y x'=-；⑶3465y x x '=--；⑷2sin y x '=-；⑸2cos y x x '=+； ⑹cos sin y x x '=+；⑺211y x '=-；⑻21y x '=-；⑼()1e x y x '=+；⑽sin cos y x x x '=+；⑾2ln y x x x '=+；⑿sin y x x '=-；⒀()2221y x -'=+；⒁()22211x y x -'=+；⒂()221y x '=+； 经典精讲第8⒃2cos sin x x x y x -'=；⒄28πy x '=；⒅1y '=-；⒆21849y x x '=-+；⒇23y x '=．提高班学案2【拓1】设函数()322f x x ax x =++，()19f '=，则a = ． 【解析】 1尖子班学案2 【拓2】已知()ln xf x x=，若()0f a '=，则ln a = ． 【解析】 1【例3引入】导数实际也是一个函数，和原函数密切相关，关于导函数的单调性、奇偶性等等我们会在春季课上重点介绍．在预习课里我们先介绍一个函数的基本性质．在函数中我们有这样的结论：()y f x =是一个函数，是可以“动”的，而()1y f =就是一个数，因为自变量已经取定了，他就不能“动”了．所以在函数考察中曾经有过这样的问题：“()()121f x xf =+，求()f x ”，我们的做法很简单，就是把1x =代入，求出()1f 的值即可．解这类题的关键就在于理解()1f '其实是一个固定的数．例3就是这类题在导数中的考察．比如例3（1）中的()'1f -表示的就是()f x 这个函数在1x =-处的导数，这是一个固定的数．这类题解法的基本过程是：通过求导把原式转化为一个导函数的等式，然后代入需要求的值．强调这个概念的目的是防止学生在计算()1f x '-导数的时候把它当做两个函数相乘求导．【例3】()f a '实际是一个数⑴已知()()33215f x x f x '=--+，则()2f '-=______⑵已知函数()πcos sin 4f x f x x ⎛⎫'=+ ⎪⎝⎭，则π4f ⎛⎫⎪⎝⎭的值为 ．⑶已知函数()πsin 23f x x xf ⎛⎫'=+ ⎪⎝⎭，则π3f ⎛⎫- ⎪⎝⎭与π3f ⎛⎫⎪⎝⎭的大小关系是（ ）A ．ππ33f f ⎛⎫⎛⎫-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B ．ππ33f f ⎛⎫⎛⎫-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ C ．ππ33f f ⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ． 不能确定 【解析】 ⑴30⑵ 1 ⑶B8.3导数的几何意义知识点睛100 第8讲·尖子-目标·教师版设函数()y f x =的图象如图所示．AB 为过点00(,())A x f x 与00(,())B x x f x x +∆+∆的一条割线．由此割线的斜率是00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆，可知曲线割线的斜率就是函数的平均变化率．当点B 沿曲线趋近于点A 时，割线AB 绕点A 转动，它的最终位置为直线AD ，这条直线AD 叫做此曲线在点A的切线，即000()()lim x f x x f x x∆→+∆-∆切线的斜率，简单地说，曲线上某一点处切线的斜率就反映了曲线在这点处的变化率，所以说切线的斜率就是导数．【教师备案】切线的定义：“直线l 与曲线C 有一个交点”，是“直线l 是曲线C 的切线”的________条件 【解析】 既不充分也不必要一方面：只有一个交点不见得是切线，如图1；另一方面：切线不见得只有一个 交点，如图2；更加强，切线与函数可能会有无数个交点，如图3：图1图2图3对于程度很好的学生可以进一步解释：相切只是局部概念，不是整体概念，比方说知识点睛中的图只是在A 点附近割线逼近的情况，至于这个范围以外的部分和切线无关．什么是切线的的斜率，举个例子： 函数()f x 的图象在3x =处与x 轴相切，在1x =于5x =处的切线分别为AB CD ，，其中A B C ，，，D 的坐标分别为()03，，()20，，()40，，()63，，如图，则0(1)(1)lim x f x f x∆→+∆-=∆ ； ()3f '=_____；()5f '=_____．【解析】 33022-，，【教师备案】例4主要讲导数与切线斜率之间的关系，让学生从图象上充分了解导数与切线斜率之间的关系，老师在讲完导数的几何意义后可以让学生做例4；在学生理解导数与切线斜率之间的关系后讲切线方程，例5主要是求切线方程，例5后边有一个【挑战十分钟】，老师可以以例5为例讲切线方程，以【挑战十分钟】为练习让学生熟练的求切线方程；例6主要讲切点的核心作用，让学生灵活的运用导数与切线之间的关系，对于目标班的学生，因为程度很好，可以让学生做做目标班学案3．考点3：导数的几何意义【例4】导数等于切线斜率⑴如图，直线l是曲线()y f x=在4x=处的切线，则(4)f'=．⑵如图，曲线()y f x=在点(2(2))M f，处的切线方程是23y x=-，(2)(2)f f'+=．⑶函数siny x=的图象上一点π3⎛⎝⎭处的切线的斜率为（）A．1 BCD．12⑷设()f x是偶函数．若曲线()y f x=在点()()11f，处的切线的斜率为2，则该曲线在点()()11f--，处的切线的斜率为．【解析】⑴12⑵3⑶ D⑷2-【例5】切线方程⑴已知曲线1yx=上一点()12A，，求曲线在点A处的切线方程．⑵（2010丰台一模文12）函数()lnf x x=的图象在点()e,(e)f处的切线方程是．【追问】求xy e=在00(())x f x，处的切线方程，并且计算切线和x轴交点的坐标．由此找出指数函数切线的小性质——切线和x轴交点横坐标和切点的横坐标之间的差是一个定值，这个定值只受指数函数的底影响．最后由此性质类比可以得到对数函数的相关性质．【解析】⑴在点A处的切线方程为250x y+-=．⑵e0x y-=【总结】)'，本质就是点斜式经典精讲101第8讲·尖子-目标·教师版102 第8讲·尖子-目标·教师版【追问】000(1)x x y e x x e =+-，令0y =得01x x =-，故横截距与切点横坐标之差为1-.【挑战十分钟】学生在学完切线方程后，对切线方程可能还不是很熟悉，老师可以选择以下十个小题让学生多练练．①求曲线()214f x x =在点()21，处的切线方程； ②求函数()1f x x=-在点()11-，处的切线方程；③求曲线()321f x x x =++在点()213，处的切线方程； ④求函数()1f x x x =+在点522⎛⎫ ⎪⎝⎭，处的切线方程；⑤求曲线()ln f x x x =在点()e e ，处的切线方程；⑥求曲线()2e 3x f x x x =++在点()03，处的切线方程；⑦求曲线()11f x x =-在点()21-，处的切线方程； ⑧求曲线()21xf x x =-在点()11，处的切线方程； ⑨求曲线()cos f x x =在点π6⎛ ⎝⎭处的切线方程； ⑩求函数()sin f x x =在π6x =处的切线方程． 【解析】 ①10x y --=；②20x y --=；③14150x y --=；④3440x y -+=；⑤2e=0x y --；⑥30x y -+=；⑦30x y --=；⑧20x y +-=；⑨612π=0x y +-；⑩126=0y -+-．【例6】切点的应用⑴曲线2y x =在点P 处的切线的斜率为3，则点P 的坐标为（ ）A ．()39，B ．()39-，C ．3924⎛⎫ ⎪⎝⎭，D ．3924⎛⎫- ⎪⎝⎭，⑵ 若曲线21y x =-与31y x =-在0x x =处的切线互相垂直，则0x 等于（ ）．AB． C ．23 D ．23或0⑶ 已知直线1y x =+与曲线ln y x a =+相切，则a 的值为（ ）A ．1B ．2C ．1-D ．2-【解析】 ⑴C⑵ A ⑶ B【总结】切线的相关问题绝大多数都是围绕切点做的，这是由于切点是曲线和切线的结合点，它的坐标可以同时影响曲线和切线．一般来说，只要题目中出现了切点或切线，我们都需要设出切点坐标，然后利用切点的三个性质：切点在曲线上、切点在切线上、切点处的导数等于切线的斜率，列出三个方程．解出切点坐标后基本就ok 了．所以建议老师在课上强调切点的重要性，至少让学生见到类似问题的时候可以想到“切点”这个核心要素．例如：例6的（3），我们一开始就要明白这个题的关键是解出切点坐标，我们就可以列出：103第8讲·尖子-目标·教师版()0000001ln 1=1=y x y x a y x x ⎧⎪=+⋅⋅⋅⎪⎪=+⋅⋅⋅⎨⎪⎪'=⋅⋅⋅⎪⎩切点在直线上切点在曲线上切点处导数切线斜率提高班学案3【拓1】 ⑴曲线2y x =上切线的倾斜角为π4的点的坐标为 ． ⑵曲线33y x x =-上切线平行于x 轴的点的坐标 ．【解析】 ⑴1124⎛⎫⎪⎝⎭，⑵()12-，或()12-，尖子班学案3【拓2】 ⑴ 设函数3()3(0)f x x ax b a =-+≠．若曲线()y f x =在点()()22f ，处与直线8y =相切，求 a b ，的值．⑵ 已知直线1y ax =+与曲线ln 1y x =+相切，则a 的值为（ ）．A ．1B ．2C ．eD ．1e【解析】 ⑴424a b ==，．⑵ D目标班学案2【拓3】 已知抛物线21:2=+C y x x 和22:=-+C y x a ，如果直线l 同时是1C 和2C 的切线，称l 是1C 和2C 的公切线，公切线上两个切点之间的线段，称为公切线段．⑴ a 取什么值时，1C 和2C 有且仅有一条公切线？写出此公切线的方程； ⑵ 若1C 和2C 有两条公切线，证明相应的两条公切线段互相平分．【解析】 ⑴ 函数22=+y x x 的导数22'=+y x ，曲线1C 在点()21112+，P x x x 的切线方程是()()()21111222-+=+-y x x x x x ，即()21122=+-y x x x ①．函数2=-+y x a 的导数2'=-y x ，曲线2C 在点()222-+，Q x x a 的切线方程是()()22222y x a x x x --+=--，即2222=-++y x x x a ②．如果直线l 是过P 和Q 的抛物线1C ，2C 的公切线，则①式和②式都是l 的方程．所以1222121+=-⎧⎪⎨-=+⎪⎩，x x x x a ，消去2x 得方程2112210+++=x x a ． 若判别式()44210∆=-⨯+=a 时，即12=-a 时解得112=-x ，此时点P 与Q 是唯一确定的，即当12=-a 时，1C 和2C 有且仅有一条公切线，由①得公切线方程为14=-y x ．⑵ 由⑴可知，当12<-a 时，1C 和2C 有两条公切线，设一条公切线上切点为104 第8讲·尖子-目标·教师版()11，P x y ，()22，Q x y ，其中P 在1C 上，Q 在2C 上，则有121+=-x x ，()22121122+=++-+y y x x x a ()2211121=+-++x x x a 1=-+a ．线段PQ 的中点为1122-+⎛⎫- ⎪⎝⎭，a ，同理，另一条公切线段''P Q 的中点也是1122-+⎛⎫- ⎪⎝⎭，a ．所以公切线段PQ 和''P Q 互相平分．若曲线()321f x x x =-+与()21g x x =+在0x x =处的切线互相平行，则0x = ．【解析】 43【演练1】⑴ 若函数2()f x x=，则当1x =-时，函数的瞬时变化率为（ ） A ．1 B ．1- C ．2 D ．2-⑵已知函数2()f x x =，则0(1)(1)lim x f x f x∆→+∆-∆等于（ ）．A ．2x +∆B ．1x +∆C ．2D ．1【解析】 ⑴ D⑵ C【演练2】若()()0002lim 1x f x x f x x∆→+∆-=∆，则()0f x '等于（ ）． A ．2 B ．2- C ．12 D ．12-【解析】 C【演练3】⑴下列函数中，满足()()f x f x '=的函数是（ ）． A ．()1f x x =- B ．()f x x = C ．()0f x =D ．()1f x =⑵()f x '是31()213f x x x =++的导函数，则(1)f '-的值为________．⑶设()ln f x x x =，若0()2f x '=，则0x =（ ）．A ．2eB ．eC ．ln 22D ．ln2【解析】 ⑴ C⑵ 3 ⑶ B实战演练105第8讲·尖子-目标·教师版【演练4】已知函数()()221f x x xf '=+，则()0f '=（ ）A ．0B ．4-C ．2-D ．2【解析】 B【演练5】求曲线e 21x y x x =++在点()01，处的切线方程 【解析】 310x y -+=（2011北大保送）函数()sin f x ax x =+上有两个点处的切线互相垂直，求a 的值．【解析】 ()cos f x a x '=+，设()f x 在1x x =与2x x =处的切线互相垂直，则有12(cos )(cos )1a x a x ++=-．（*） 于是21212(cos cos )(cos cos 1)0a x x a x x ++++=． 将它看成关于a 的一元二次方程，则此方程有解，于是判别式21212(cos cos )4(cos cos 1)0x x x x ∆=+-+≥，即212(cos cos )4x x -≥．又12cos cos [11]x x ∈-，，，故12cos cos 2x x -≤， 于是212(cos cos )4x x -≤，故212(cos cos )4x x -=，12cos 1cos 1x x =⎧⇒⎨=-⎩或12cos 1cos 1x x =-⎧⎨=⎩．代入（*）式得0a =．从学而思钟的10点钟说起这两个数相等吗？有人认为不相等，怎么着这俩数也有那么点差距啊；其实这个问题可以转化为一个更加广为传播的问题：0.91=吗？有人认为相等，理由很有意思：证明：10.33⋅=，两边同时乘以三，结果就是：10.9⋅=那么这两个数究竟相等吗？这就涉及到极限的概念．我们先弄明白什么叫.0.9．观察下面的式子：阅读材料大千世界9.910=？106 第8讲·尖子-目标·教师版10.9110=-，210.99110=-，310.999110=-，所以我们可以得到一个式子就是10.99999110nn⋅⋅⋅=-，那么无限循环小数就可以写成：10.9lim 110n n ⋅→+∞⎛⎫=- ⎪⎝⎭．根据我们学过的极限的概念，等式右侧中的110n 的极限是零，所以右侧极限值为1．可能还有同学没有明白，这主要是“极限”的概念在高中阶段给的极为模糊．实际极限的定义是非常严格的，我们先看一个简单的例子：1lim 0n n→+∞= 怎么理解这个式子呢？其实可以理解为，随着n 无限的变大，1n的值和0之间的差距可以做到“要多小有多小”．比如你说11000很小了，那我1001n =就能比你小；你再说1100000已经很小了，那我100001n =就能比你小．无论你说多么小的数，我都能比你小．那么我们就可以说随着n 逐渐变大，1n 的极限是0．刚才那个例子也是一样的，你说0.9⋅和1之间的差距能有多少呢？我们可以想到，这就是所谓的要多小有多小．你随便说一个数，他们的差距都能比它小．所以我们可以认为他们是相等的．更进一步，我们在研究导数的时候，极限的概念往往是直接应用的，常见的技巧是解决0的形式．比如我们在推2x 导数的时候，用的是：()220lim x x x x x ∆→+∆-∆，本来是一个00的形式，但是我们可以把x ∆约掉，变成：()()2002limlim 2+x x x x x x x x ∆→∆→∆+∆=∆∆，这样就打破这个的形式了．所以我们在推导数的公式或者求瞬时变化率的时候，比较关键的一个步骤就是消灭掉x ∆，解决了分母上的0，其他的就好办了． 当然，也有x ∆不能约的情况，同学们如果有兴趣的话可以思考下面的问题：⑴sin lim 0x x x →+∞= ⑵0sin lim 1x xx→=。
导数公式大全
x 2 -3 x-2
（3）y ln ln ln x （4）y ln(x
x 1)
2
隐函数的导数
y与x的关系由方程（x，y）＝0确定，未解出因变量的 F 方程（x，y）=0所确定的函数y y( x)称为隐函数 F
dy 例6 设函数y y ( x)由方程y 1 xe 所确定，求 . dx
例4.求下列函数的导数： 1 y (3x 1) ; ）
2 3
2) y sin( x - 2); 4) y e
tan x
3) y ln cos x; 5) y 2
-x
;
解： 函数可以分解为y u ( x), u ( x) 3x 1, (1)
3 2
y ' [u 3 ( x)]' 3u 2 ( x) u ( x) ' 3(3x 2 1) 2 (3x 2 1) ' 3(3x 1) 6 x 18 x(3x 1)
= 12x3 - ex - 5sin x .
f (0) = (12x3 - ex - 5sin x)|x=0 = - 1
例2
设 y = xlnx ， 求 y .
解 根据乘法公式，有
y = (xlnx) = x (lnx) (x)lnx
1 x 1 ln x x
1 ln x .
导数的四则运算
设函数 u(x)、v(x) 在 x 处可导， v( x ) ( u( x ) 0) 则它们的和、差、积与商 u( x ) 在 x 处也可导， 且
(u(x) v(x)) = u(x) v (x); (u(x)v(x)) = u(x)v(x) + u(x)v(x);
利用导数求参数范围 8
利用导数求参数范围导数，作为解决与高次函数有关问题的一种工具，有着无可比拟的优越性。
也越来越受到高考命题专家的“青睐”。
其中，利用导数求参数的取值范围，更是成为近年来高考的热点。
甚至很多都安排在倒数第一、二题的位置上！探讨一下用导数求参数范围的几种常见题型及求解策略。
一 与二次函数的性质、单调性、不等式等相联系求解策略：利用“要使a x f >)(成立，只需使函数的最小值a x f >min)(恒成立即可；要使a x f <)(成立，只需使函数的最大值a x f <max)(恒成立即可”.这也是近两年高考考查和应用最多的一种.例1（湖北理）已知向量a =(2x ,1+x )，a =(x -1,t )，若b a x f •=)(在区间(-1,1)上是增函数，求t 的取值范围. 解析：由向量的数量积定义，)(x f =2x(x -1)+(1+x )t =3x -+2x +tx +t∴)(x f '=23x -+x 2+t .若)(x f 在区间(-1,1)上是增函数，则有)(x f '≥0⇔t ≥23x-x 2在 (-1,1)上恒成立.若令)(x g =23x -x 2=-3(31-x )2-31在区间[-1,1]上，max)(x g =)1(-g =5，故在区间(-1,1)上使t ≥)(x g 恒成立，只需t ≥)1(-g 即可，即t ≥5. 即t 的取值范围是[5，∞）.点评：本题除了用导数反映单调性，还借助了二次函数的性质求出最值，且要注意边界值的取舍。
例2使不等式4x -22x >a -2对任意的实数x 都成立，求实数a 的取值范围.解析：注意到不等式的次数较高，应想到构造函数，求导. 令)(x f =4x-22x ，则如果原不等式对任意的实数x 都成立等价于m in)(x f >a -2.又)(x f '=34x -x 4=42x (1-x )，令)(x f '=0，解得，x =0或x =1.)(x f '的符号及)(x f 的单调性如下：因为)(x f 在R 上的极值只有一个，故此极小值即为最小值，即m in)(x f =)1(f = -1，∴m in)(x f = -1>a -2，即a >3.点评：本题是利用导数求得函数的最值，进而求出参数范围的。
常用函数的导数
常用函数的导数
函数的求导是数学分析中最基本的操作之一，是数学分析中最基本的概念之一。
本文重点介绍一些常用函数的导数，以便更好地理解函数的求导操作。
1.性函数的导数
线性函数一般指 f (x) = ax + b式的函数，其导数：
f(x) = a
2. 二次函数的导数
二次函数一般指 f (x) = ax + bx + c式的函数，其导数：
f(x) = 2ax + b
3.数函数的导数
指数函数一般指 f (x) = a^x式的函数，其导数：
f(x) = a^x * ln(a)
4.数函数的导数
对数函数一般指 f (x) = ln(x)式的函数，其导数：
f(x) = 1/x
5. 三角函数的导数
三角函数一般指余弦和正弦函数，其导数如下：
Sin(x)的导数：
f(x) = cos(x)
Cos(x)的导数：
f(x) = -sin(x)
6.数幂函数的导数
指数幂函数一般指 f (x) = x^n式的函数，其导数：
f(x) = nx^(n-1)
7.比例函数的导数
反比例函数一般指 f (x) = a/x式的函数，其导数：
f(x) = -a/x
8.成函数的导数
合成函数就是将两个或多个函数合并成一个新函数的过程，比如f (x) = (x+1)(x-1)是合成函数，其导数：
f(x) = 2x
以上就是几种常用函数的导数，这些常用函数的求导也是中学数学教学中最基础的知识点，函数的求导也是高等数学中重要的概念。
只有理解了求导的概念和方法，才能更好地理解函数的作用和特点，以及解决实际数学问题。
第八章8 方向导数与梯度
2 π π ∂z = cos( − ) + 2 sin( − ) = − . 2 4 4 ∂l
y 点 1， ） 例2 求 数 f ( x, y) = x2 − xy + r 2在 （ ，1） 函 方 夹 为 方 射l 方 导 .并 沿 x轴 向 角 α 的 向 线 的 向 数 并 与 问 怎 的 向 此 向 数 在 样 方 上 方 导 有 2） （1） 大 ； （ ） 小 ； （3） 于 ？ ） 最 值 最 值 ） 等 零
类似于二元函数，此梯度也是一个向量， 类似于二元函数，此梯度也是一个向量， 其方向与取得最大方向导数的方向一致， 其方向与取得最大方向导数的方向一致，其模 为方向导数的最大值. 为方向导数的最大值
与曲面 z = f ( x , y ) 所交的曲线记为 C r 在 π上考察 C P0 P的方向与 l 对应
π
f ( x0 + ∆x, y0 + ∆y) − f ( x0 , y0 ) 表示C 的割线向量
r P0 P 与 l 的交角的正切值
ρ
即
r P0 P关于 的斜率 关于l
当ρ → 0时
即
( x0 + ∆x, y0 + ∆y) →( x0, y0 )
( 1 ,1 )
3π π 7π π （3）当α = ） 和α = 时， 方向导数等于 0. 4 4
5π π （2）当 α = ） 时，方向导数达到最小值− 2 ; 4
推广可得三元函数方向导数的定义
对于三元函数 u = f ( x , y , z )，它在空间一点 P ( x , y , z ) 沿着方向 L 的方向导数 ，可定义 为 ∂ f = lim f ( x + ∆ x , y + ∆ y , z + ∆ z ) − f ( x , y , z ) , ρ→0 ∂l ρ
导数知识归纳
导数及其应用第1课时 变化率与导数、导数的计算1．导数的概念：函数y ＝)(x f 的导数)(x f '，就是当Δx →0时，函数的增量Δy 与自变量的增量Δx 的比xy ∆∆ 的 ，即)(x f '＝ ＝ ．2．导函数：函数y ＝)(x f 在区间(a, b)内 的导数都存在，就说)(x f 在区间( a, b )内 ，其导数也是(a ,b )内的函数，叫做)(x f 的 ，记作)(x f '或x y '， 函数)(x f 的导函数)(x f '在0x x =时的函数值 ，就是)(x f 在0x 处的导数.3．导数的几何意义：设函数y ＝)(x f 在点0x 处可导，那么它在该点的导数等于函数所表示曲线在相应点),(00y x M 处的 .4．求导数的方法 (1) 八个基本求导公式)('C ＝ ； )('n x ＝ ；(n∈Q) )(sin 'x ＝ ， )(cos 'x ＝)('x e ＝ ， )('x a ＝ )(ln 'x ＝ ， )(log 'x a ＝(2) 导数的四则运算[]')()(x v x u ±＝ ])(['x Cf ＝][')()(x v x u ＝ ， )()('x u ＝ )0)((≠x v (3) 复合函数的导数设)(x u θ=在点x 处可导，)(u f y =在点)(x u θ=处可导，则复合函数)]([x f θ在点x 处可导， 且)(x f '＝ ，即x u x u y y '⋅'='.12+x 在x 0到x 0+Δx 之间的平均变化率. 解 ∵Δy=11)(11)(11)(20202020220+++∆+--+∆+=+-+∆+x x x x x x x x x .11)(2,11)()(220200202020+++∆+∆+=∆∆∴+++∆+∆+∆=x x x xx x y x x x x x x变式训练1. 求y=x 在x=x 0处的导数解 )())((lim lim lim00000000000x x x x x x x x x x x x x x x y x x x +∆+∆+∆+-∆+=∆-∆+=∆∆→∆→∆→∆.211lim 0000x x x x x =+∆+=→∆例2. 求下列各函数的导数： （1）;sin 25x xx x y ++=（2）);3)(2)(1(+++=x x x y（3）;4cos 212sin 2⎪⎭⎫⎝⎛--=x x y （4）.1111xxy ++-=解 (1)∵,sin sin 23232521xx x xxx x x y ++=++=-∴y′.cos sin 2323)sin()()(232252323x x x x x x x x x x-----+-+-='+'+'=（2）y=（x 2+3x+2）（x+3）=x 3+6x 2+11x+6，∴y′=3x 2+12x+11.（3）∵y=,sin 212cos 2sin x x x =⎪⎭⎫ ⎝⎛--∴.cos 21)(sin 21sin 21x x x y ='='⎪⎭⎫ ⎝⎛='（4）xx x xx x x y -=+--++=++-=12)1)(1(111111， ∴.)1(2)1()1(21222x x x x y -=-'--='⎪⎭⎫ ⎝⎛-=' 变式训练2：求y=tanx的导数. 解 y′.cos 1cos sin cos cos )(cos sin cos )(sin cos sin 22222x x xx x x x x x x x =+='-'='⎪⎭⎫ ⎝⎛=例3. 已知曲线y=.34313+x （1）求曲线在x=2处的切线方程；（2）求曲线过点（2，4）的切线方程.解 （1）∵y′=x 2,∴在点P （2，4）处的切线的斜率k='y |x=2∴曲线在点P （2，4）处的切线方程为y-4=4(x-2),即4x-y-4=0.（2）设曲线y=34313+x 与过点P （2，4）的切线相切于点⎪⎭⎫⎝⎛+3431,300x x A ，则切线的斜率k='y |0x x ==20x .∴切线方程为),(343102030x x x x y -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-即.34323020+-⋅=x x x y ∵点P （2，4）在切线上，∴4=,343223020+-x x 即,044,0432020302030=+-+∴=+-x x x x x ∴,0)1)(1(4)1(00020=-+-+x x x x∴(x 0+1)(x 0-2)2=0,解得x 0=-1或x 0=2, 故所求的切线方程为4x-y-4=0或x-y+2=0.变式训练3：若直线y=kx 与曲线y=x 3-3x 2+2x 相切，则k= . 答案 2或41-例4. 设函数bx ax x f ++=1)( (a,b∈Z )，曲线)(x f y =在点))2(,2(f 处的切线方程为y=3.（1）求)(x f 的解析式； （2）证明：曲线)(x f y =上任一点的切线与直线x=1和直线y=x 所围三角形的面积为定值，并求出此定值.（1）解2)(1)(b x a x f +-='， 于是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=++,0)2(1,3212b a b a 解得⎩⎨⎧-==,1,1b a 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==.38,49b a 因为a,b ∈Z ，故.11)(-+=x x x f （2）证明 在曲线上任取一点⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+11,00x xx ． 由200)1(11)(--='x x f 知，过此点的切线方程为)()1(11110200020x x x x x x y -⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=-+--． 令x=1，得1100-+=x xy ，切线与直线x=1交点为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+11,100x x ． 令y=x ，得120-=x y ，切线与直线y=x 的交点为)12,12(00--x x ．直线x=1与直线y=x 的交点为(1,1)． 从而所围三角形的面积为22212211121112100000=--=----+x x x x x ．所以，所围三角形的面积为定值2.变式训练4：偶函数f （x ）=ax 4+bx 3+cx 2+dx+e 的图象过点P （0，1），且在x=1处的切线方程为y=x-2，求y=f （x ）的解析式解 ∵f（x ）的图象过点P （0，1），又∵f（x ）为偶函数，∴f（-x ）=f （x ）故ax 4+bx 3+cx 2+dx+e=ax 4-bx 3+cx 2-dx+e.∴b=0，d=0. ②∴f（x ）=ax 4+cx 2+1.∵函数f （x ）在x=1处的切线方程为y=x-2，∴可得切点为（1，-1）∴a+c+1=-1. ③∵)1('f =(4ax 3+2cx)|x=1=4a+2c ，∴4a+2c=1.由③④得a=25，c=29-函数y=f （x ）的解析式为.12925)(24+-=x x x f第2课时 导数的概念及性质1． 函数的单调性⑴ 函数y ＝)(x f 在某个区间内可导，若)(x f '＞0，则)(x f 为 ；若)(x f '＜0，则)(x f 为 . （逆命题不成立）(2) 如果在某个区间内恒有0)(='x f ，则)(x f .注：连续函数在开区间和与之相应的闭区间上的单调性是一致的.(3) 求可导函数单调区间的一般步骤和方法： ① 确定函数)(x f 的 ；② 求)(x f '，令 ，解此方程，求出它在定义区间内的一切实根；③ 把函数)(x f 的间断点（即)(x f 的无定义点）的横坐标和上面的各个实根按由小到大的顺序排列起来， 然后用这些点把函数)(x f 的定义区间分成若干个小区间；④ 确定)(x f '在各小开区间内的 ，根据)(x f '的符号判定函数)(x f 在各个相应小开区间内的增减性.2．可导函数的极值⑴ 极值的概念： 设函数)(x f 在点0x 附近有定义，且对0x 附近的所有点都有 （或 ），则称)(0x f 为函数的一个极大（小）值．称0x 为极大（小）值点.⑵ 求可导函数极值的步骤： ① 求导数)(x f '；② 求方程)(x f '＝0的 ；③ 检验)(x f '在方程)(x f '＝0的根左右的符号，如果在根的左侧附近为正，右侧附近为负，那么函数y ＝)(x f 在这个根处取得 ； 如果在根的左侧附近为负，右侧为正，那么函数y ＝)(x f 在这个根处取得 .说明：“极值点”不是“点”，而是方程0)(/=x f 的根。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
班级 姓名 组名 组内评价 教师评价
§3.3.3函数的最大（小）值与导数
【学习目标】
⒈理解函数的最大值和最小值的概念
⒉掌握用导数求函数最值的方法和步骤
【重点难点】
重点:用导数求在给定区间上不超过三次的多项式函数的最大值,最小值 难点:函数最值与极值的区别和联系
课前准备
复习1：若0x 满足0)(0='x f ，且在0x 的两侧)(x f 的导数异号，则0x 是)(x f 的极值点，)(0x f 是极值，并且如果)(x f '在0x 两侧满足“左正右负”，则0x 是)(x f 的 点，)(0x f 是极 值；如果)(x f '在0x 两侧满足“左负右正”，则0x 是)(x f 的 点，)(0x f 是极 值复习2：已知函数32()(0)f x ax bx cx a =++≠在1x =±时取得极值，且(1)1f =-，
（1）试求常数a 、b 、c 的值；
（2）试判断1x =±时函数有极大值还是极小值，并说明理由.
【课前预习】
问题：观察在闭区间[]b a ,上的函数)(x f 的图象，你能找出它的极大（小）值吗？最大值，最小值呢？
在图1中，在闭区间[]b a ,上的最大值是 ，最小值是 ；
在图2中，在闭区间[]b a ,上的极大值是 ，极小值是 ；最大值是 ，最小值是 .
新知：一般地，在闭区间[]b a ,上连续的函数)(x f 在[]
b a ,上必有最大值与最小值.
图1 图2
上图的极大值点 ，为极小值点为 ；
最大值为 ，最小值为 .
反思：
1.函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．
2.函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续，是)(x f 在闭区间[]b a ,上有最大值与最小值的 条件
3.函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，可能一个没有.
【自我测评】
1. 若函数3()3f x x x a =--在区间[0,3]上的最大值、最小值分别为M 、N ，则M N -的值为（ ）
A ．2
B ．4
C ．18
D ．20
2. 函数32()3(1)f x x x x =-< （ ）
A ．有最大值但无最小值
B ．有最大值也有最小值
C ．无最大值也无最小值
D ．无最大值但有最小值
3. 已知函数223y x x =--+在区间[,2]a 上的最大值为
154，则a 等于（ ） A ．32- B ．12 C ．12- D ．12或3
2
-
4. 函数y x =-[0,4]上的最大值为
5. 已知32()26f x x x m =-+（m 为常数）在[2,2]-上有最大值，那么此函数在[2,2]-上的最小值是
【例题精讲】
例1 求函数31()443
f x x x =-+在[0,3]上的最大值与最小值.
小结：求最值的步骤
（1）求()f x 的极值；（2）比较极值与区间端点值，其中最大的值为最大值，最小的值为最小值.
例2 已知函数32()26f x x x a =-+在[2,2]-上有最小值37-.
（1）求实数a 的值；（2）求()f x 在[2,2]-上的最大值．
变式：设213a <<，函数323()2
f x x ax b =-+在区间[1,1]-上的最大值为1，最小值为
，求函数的解析式.
小结：本题属于逆向探究题型.解这类问题的基本方法是待定系数法，从逆向思维出发，实现由已知向未知的转化，转化过程中通过列表，直观形象，最终落脚在比较极值点与端点值大小上，从而解决问题．
【学习小结】
设函数)(x f 在[]b a ,上连续，在(,)a b 内可导，则求)(x f 在[]b a ,上的最大值与最小值的步骤如下：
⑴求)(x f 在(,)a b 内的极值；
⑵将)(x f 的各极值与)(a f 、)(b f 比较得出函数)(x f 在[]b a ,上的最值.
【当堂检测】：
1. 求函数3()3,[1,2]f x x x x =-∈的最值．
2. a 为常数，求函数3()3(01)f x x ax x =-+≤≤的最大值.
3. 已知函数32()39f x x x x a =-+++，（1）求()f x 的单调区间；（2）若()f x 在区间
[2,2]-上的最大值为20，求它在该区间上的最小值.
※ 知识拓展
利用导数法求最值，实质是在比较某些函数值来得到最值，因些我们可以在导数法求极值的思路的基础上进行变通.令()0f x '=得到方程的根1x ，2x ， ，直接求
得函数值，然后去与端点的函数值比较就可以了，省略了判断极值的过程.当然导数法与函数的单调性结合，也可以求最值.。