专题09 三角函数的恒等变换与求值(解读版)
三角函数恒等变换含问题详解及高考题
三角函数恒等变形的基本策略。
（1）常值代换：特别是用“1”的代换，如1=cos 2θ+sin 2θ=tanx ·cotx=tan45°等。
（2）项的分拆与角的配凑。
如分拆项：sin 2x+2cos 2x=(sin 2x+cos 2x)+cos 2x=1+cos 2x ；配凑角：α=（α+β）－β，β=2βα+－2βα-等。
（3）降次与升次。
（4）化弦（切）法。
（4）引入辅助角。
asin θ+bcos θ=22b a +sin(θ+ϕ)，这里辅助角ϕ所在象限由a 、b 的符号确定，ϕ角的值由tan ϕ=ab确定。
1．已知tan x =2，求sin x ，cos x 的值． 解：因为2cos sin tan ==xxx ，又sin 2x ＋cos 2x =1， 联立得⎩⎨⎧=+=，1cos sin cos 2sin 22x x xx 解这个方程组得.55cos 552sin ,55cos 552sin ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==x x x x 2．求)330cos()150sin()690tan()480sin()210cos()120tan(οοοοοο----的值．解：原式)30360cos()150sin()30720tan()120360sin()30180cos()180120tan(o οοοοοοοοοο--+---++-= .3330cos )150sin (30tan )120sin )(30cos (60tan -=---=οοοοοο 3．若,2cos sin cos sin =+-xx xx ，求sin x cos x 的值．解：法一：因为,2cos sin cos sin =+-xx xx所以sin x －cos x =2(sin x ＋cos x )，得到sin x =－3cos x ，又sin 2x ＋cos 2x =1，联立方程组，解得，，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==1010cos 10103sin 1010cos 10103sin x x x x所以⋅-=103cos sin x x 法二：因为,2cos sin cos sin =+-xx xx所以sin x －cos x =2(sin x ＋cos x )， 所以(sin x －cos x )2=4(sin x ＋cos x )2， 所以1－2sin x cos x =4＋8sin x cos x ， 所以有⋅-=103cos sin x x 4．求证：tan 2x ·sin 2x =tan 2x －sin 2x ．证明：法一：右边＝tan 2x －sin 2x =tan 2x －(tan 2x ·cos 2x )=tan 2x (1－cos 2x )=tan 2x ·sin 2x ，问题得证． 法二：左边=tan 2x ·sin 2x =tan 2x (1－cos 2x )=tan 2x －tan 2x ·cos 2x =tan 2x －sin 2x ，问题得证． 5．求函数)6π2sin(2+=xy 在区间[0，2]上的值域．解：因为0≤x ≤2π，所以,6π76π26π,π20≤+≤≤≤x x 由正弦函数的图象， 得到],1,21[)6π2sin(-∈+x所以y ∈[－1，2]． 6．求下列函数的值域．(1)y ＝sin 2x －cos x +2；(2)y ＝2sin x cos x －(sin x ＋cos x )．解：(1)y =sin 2x －cos x ＋2＝1－cos 2x －cos x ＋2=－(cos 2x ＋cos x )＋3， 令t =cos x ，则,413)21(413)21(3)(],1,1[222++-=++-=++-=-∈t t t t y t利用二次函数的图象得到].413,1[∈y (2)y ＝2sin x cos x －(sin x ＋cos x )=(sin x ＋cos x )2－1－(sin x ＋cos x )，令t =sin x ＋cos x 2=，)4πsin(+x ，则]2,2[-∈t 则，,12--=t t y 利用二次函数的图象得到].21,45[+-∈y7．若函数y =A sin(ωx +φ)(ω＞0，φ＞0)的图象的一个最高点为)2,2(，它到其相邻的最低点之间的图象与x 轴交于(6，0)，求这个函数的一个解析式．解：由最高点为)2,2(，得到2=A ，最高点和最低点间隔是半个周期，从而与x 轴交点的间隔是41个周期，这样求得44=T ，T =16，所以⋅=8πω又由)28πsin(22ϕ+⨯=，得到可以取).4π8πsin(2.4π+=∴=x y ϕ8．已知函数f (x )=cos 4x －2sin x cos x －sin 4x ．(Ⅰ)求f (x )的最小正周期； (Ⅱ)若],2π,0[∈x 求f (x )的最大值、最小值． 数xxy cos 3sin 1--=的值域．解：(Ⅰ)因为f (x )=cos 4x －2sin x cos x －sin4x ＝(cos 2x －sin 2x )(cos 2x ＋sin 2x )－sin2x )4π2sin(2)24πsin(22sin 2cos 2sin )sin (cos 22--=-=-=--=x x x x x x x所以最小正周期为π．(Ⅱ)若]2π,0[∈x ，则]4π3,4π[)4π2(-∈-x ，所以当x =0时，f (x )取最大值为;1)4πsin(2=--当8π3=x 时，f (x )取最小值为.2-1． 已知2tan =θ，求（1）θθθθsin cos sin cos -+；（2）θθθθ22cos 2cos .sin sin +-的值.解：（1）2232121tan 1tan 1cos sin 1cos sin 1sin cos sin cos --=-+=-+=-+=++θθθθθθθθθθ； (2) θ+θθ+θθ-θ=θ+θθ-θ222222cos sin cos 2cos sin sin cos 2cos sin sin 324122221cos sin 2cos sin cos sin 2222-=++-=+θθ+θθ-θθ=.说明：利用齐次式的结构特点（如果不具备，通过构造的办法得到），进行弦、切互化，就会使解题过程简化。
三角函数恒等变换ppt课件
解 (1)因为 tan α＝43，tan α＝csoins αα，所以 sin α＝43cos α. 因为 sin2α＋cos2α＝1，所以 cos2α＝295， 因此，cos 2α＝2cos2α－1＝－275. (2)因为 α，β 为锐角，所以 α＋β∈(0，π).又因为 cos(α＋β)＝－ 55， 所以 sin(α＋β)＝ 1－cos2（α＋β）＝255，因此 tan(α＋β)＝－2.
真题演练
1.对于三角函数的求值，需关注：
(1)寻求角与角关系的特殊性，化非特殊角为特殊角，熟练准确地应用公式； (2)注意切化弦、异角化同角、异名化同名、角的变换等常规技巧的运用； (3)对于条件求值问题，要认真寻找条件和结论的关系，寻找解题的突破口， 对于很难入手的问题，可利用分析法.
感谢同学们的聆听
Thanks for Listening
(1)解析 由 α，β 为锐角，则－π2<α－β<π2，由 sin(α－β)＝－ 1100，得 cos(α－β)＝31010， 又 sin α＝ 55，所以 cos α＝255， 所以 sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)
＝
55×3
1010－2
因为 tan α＝43，所以 tan 2α＝1－2tatnanα2α＝－274， 因 此 ， tan(α － β) ＝ tan[2α － (α ＋ β)] ＝ 1t＋ant2anα－2αttaann（（αα＋＋ββ））＝思路：找差异，化同角(名)，化简求值.三角变换的关键在于 对两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角公式，三角恒等变换公式的熟记和 灵活应用，要善于观察各个角之间的联系，发现题目所给条件与恒等变换公式的联 系. 2.求解三角函数中给值求角的问题时，要根据已知求这个角的某种三角函数值，然 后结合角的取值范围，求出角的大小.求解时，尽量缩小角的取值范围，避免产生 增解.
专题09 帮你走出三角恒等变换中的误区(解析版)
帮你走出三角恒等变换中的误区在三角恒等变换中，有多处误区，使得初学者防不胜防。
现结合实例分类阐述如下，以期让初学者少走弯路，尽快走出误区。
一、忽视三角函数值对角范围的限制例1..已知()1cos ,sin ,0,71422ππααβαβ=+=<<<<求cos β。
错解：由0,0,22ππαβ<<<<得0αβπ<+<，则()11cos 14αβ+=±。
由1cos ,7α=得sin 7α=。
故()()()71cos cos cos cos sin sin 98βαβααβααβα=+-=+++=⎡⎤⎣⎦或12。
剖析：0αβπ<+<，且()sin αβ+=<得03παβ<+<或23παβπ<+<。
又11cos ,72α=<所以32ππα<<。
从而23παβπ<+<，所以()cos αβ+不可能为1114。
由于没有注意到函数值对角的范围的影响从而造成了增根。
正解：由剖析，可知sin α=，()11cos 14αβ+=-。
故()cos cos βαβα=+-⎡⎤⎣⎦ ()()1cos cos sin sin 2αβααβα=+++=。
二、忽视三角形内在的约束条件例2.在⊿ABC 中，3sin 4cos 6,3cos 4sin 1A B A B +=+=，求C 的大小。
错解：由3sin 4cos 63cos 4sin 1A B A B +=⎧⎨+=⎩，得()1sin ,2A B +=则1sin 2C =,又()0,C π∈，所以6C π=或56π。
剖析：错解没有考虑三角形中角之间的内在联系。
三角形的三个内角都大于0小于π满足且A B C π++=，这是一个重要的隐含条件。
由3cos 4sin 1A B +=，可得11cos 2A -<<， 即3A π>，故C 不可能为56π。
三角函数的恒等式与解析式
三角函数的恒等式与解析式三角函数是数学中的重要概念，它们在三角学、解析几何、物理学等领域中有着广泛的应用。
本文将介绍三角函数的恒等式以及解析式，并讨论它们在数学问题中的运用。
一、基本的三角函数1. 正弦函数（sine function）正弦函数在数学中通常用sin表示，它的定义域为实数集，值域介于-1和1之间。
正弦函数的周期为2π，在坐标系中的图像是一个波浪形，对称于y轴。
2. 余弦函数（cosine function）余弦函数通常用cos表示，它的定义域也是实数集，值域也是-1到1之间。
余弦函数的周期同样是2π，它的图像也是对称于y轴的波浪形。
3. 正切函数（tangent function）正切函数用tan表示，它的定义域在实数集中除去所有余弦函数的零点，值域则为实数集。
正切函数是周期为π的图像，它在坐标系中表现为从负无穷趋向于正无穷的趋势。
二、三角函数的恒等式1. 余弦与正弦的关系最常见的三角函数恒等式之一是余弦与正弦的关系，表示为cos²θ + sin²θ = 1。
这是一个基本的恒等式，它适用于所有实数θ。
可以通过几何推理或三角恒等式的简化形式进行证明。
2. 三角函数的周期性另一个重要的三角函数恒等式是周期性恒等式。
对于任意实数θ和整数n，sin(θ + 2nπ) = sinθ，cos(θ + 2nπ) = cosθ，tan(θ + nπ) = tanθ。
这意味着三角函数在一个周期内是重复的，并且可以通过周期性来简化计算。
3. 三角函数的奇偶性三角函数还具有奇偶性，即cos(-θ) = cosθ，sin(-θ) = -sinθ，tan(-θ) = -tanθ。
这些恒等式表明三角函数在坐标系的对称性质，可以用来简化三角函数的计算。
三、三角函数的解析式1. 正弦函数的解析式正弦函数的解析式为sinθ = 垂直边/斜边，其中θ是一个角度，垂直边指的是以θ为终边的直角三角形中的垂直边，斜边是直角三角形的斜边。
三角函数的恒等变形与求值
1 tan15 (7)求值 : o 1 tan15
o
13
题组二：化简求值类 o o o 2sin 50 sin 80 (1 3 tan10 ) (1)求值 : o 1 cos10
练习: sin 50 (1 3 tan10 ) 4 17 7 (2)已知cos( +x)= , x 4 5 12 4 2 sin 2 x 2sin x 求 的值. 1 tan x
4
三角函数复习
任意角 的概念 角度制与 弧度制
任意角的 三角函数
y r
弧长与扇形 面积公式
o y
y sin r P(x,y) x cos r y tan x x
的终边
的终边
P
T
正弦线MP
正切线AT
5
A (1,0) 余弦线OM
o
M
x
三角函数值的符号：“第一象限全为正，二正三切四余弦”
a b sin( α φ )形式
2 2
9、见cosα·cosβ·cosθ····，先 sin 2 α 若不行，则化和差 运用cosα 2sinα 2 sin 10、见cosα+cos(α+β) 2 +cos(α+2 β )····， 想乘 2 sin 2
30
3 3 7 2
) 5 6 6
28
小结:
三角解题常规
指角的、函数的、运算的差异
分析差异
宏 观 思 路
寻找联系
利用有关公式，建立差异间关系
促进转化
活用公式，差异转化，矛盾统一
29
微 观 直 觉
1、以变角为主线，注意配凑和转化； 2、见切割，想化弦；个别情况弦化切； 3、见和差，想化积；见乘积，化和差； 4、见分式，想通分，使分母最简； 5、见平方想降幂，见“1±cosα”想升幂； 6、见sin2α，想拆成2sinαcosα； sinα+sinβ=p 7、见sinα±cosα或 想两边平方 cosα+cosβ=q 8、见a sinα+b cosα，想化为
三角函数的恒等变换
三角函数的恒等变换三角函数是高中数学中常见的一类函数，包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。
在学习三角函数的过程中，我们会遇到一些恒等变换，即一些等式关系，通过这些等式关系可以将一个三角函数的表达式转化为另一个等价的三角函数表达式。
这些恒等变换在解题中非常有用，可以简化计算或者转化为更容易求解的形式。
首先，我们来看看正弦函数和余弦函数的恒等变换。
对于任意实数x，我们有以下几个恒等变换：1. 正弦函数的恒等变换：- 正弦函数的周期性：sin(x + 2π) = sin(x)，sin(x + 360°) = sin(x)。
- 正弦函数的奇偶性：sin(-x) = -sin(x)，sin(π - x) =sin(x)，sin(π + x) = -sin(x)，sin(2π - x) = -sin(x)。
- 正弦函数的平方和恒等式：sin²(x) + cos²(x) = 1。
- 正弦函数的和差恒等式：sin(A + B) = sin(A)cos(B) +cos(A)sin(B)，sin(A - B) = sin(A)cos(B) - cos(A)sin(B)。
2. 余弦函数的恒等变换：- 余弦函数的周期性：cos(x + 2π) = cos(x)，cos(x + 360°) = cos(x)。
- 余弦函数的奇偶性：cos(-x) = cos(x)，cos(π - x) = -cos(x)，cos(π + x) = -cos(x)，cos(2π - x) = cos(x)。
- 余弦函数的平方和恒等式：cos²(x) + sin²(x) = 1。
- 余弦函数的和差恒等式：cos(A + B) = cos(A)cos(B) -sin(A)sin(B)，cos(A - B) = cos(A)cos(B) + sin(A)sin(B)。
接下来，我们来看看正切函数的恒等变换。
三角函数的恒等变换总结
三角函数的恒等变换总结三角函数是数学中的重要概念，涉及到三角学和解析几何等多个领域。
在解决各种数学问题和实际应用时，经常需要使用到三角函数的恒等变换。
三角函数的恒等变换指的是将一个三角函数表示为另外一个或多个三角函数的等价形式，这种变换可以简化问题的求解过程，扩展问题的应用范围。
本文将对常用的三角函数的恒等变换进行总结，以便读者了解和掌握。
1.正弦函数的恒等变换：-正弦函数的平方和余弦函数的平方等于1：sin²(x) + cos²(x) = 1-正弦函数的余角与余弦函数的关系：sin(π/2 - x) = cos(x)-正弦函数的反函数与余弦函数的关系：sin^(-1)(x) = arcsin(x) = π/2 - cos^(-1)(x)2.余弦函数的恒等变换：-余弦函数的平方和正弦函数的平方等于1：cos²(x) + sin²(x) = 1-余弦函数的补角与正弦函数的关系：cos(π/2 - x) = sin(x)-余弦函数的反函数与正弦函数的关系：cos^(-1)(x) = arccos(x) = π/2 - sin^(-1)(x)3.正切函数的恒等变换：-正切函数可以表示为正弦函数与余弦函数的比值：tan(x) = sin(x) / cos(x)-正切函数的平方与余切函数的平方等于1：tan²(x) + cot²(x) = 1-正切函数的倒数与余切函数的关系：tan^(-1)(x) = arctan(x) = π/4 - cot^(-1)(x) 4.余切函数的恒等变换：-余切函数可以表示为余弦函数与正弦函数的比值：cot(x) = cos(x) / sin(x)-余切函数的平方与正切函数的平方等于1：cot²(x) + tan²(x) = 1-余切函数的倒数与正切函数的关系：cot^(-1)(x) = arccot(x) = π/4 - tan^(-1)(x) 5.正割函数和余割函数的恒等变换：-正割函数可以表示为1与余弦函数的商：sec(x) = 1 / cos(x)-余割函数可以表示为1与正弦函数的商：csc(x) = 1 / sin(x)-正割函数和余割函数与正弦函数和余弦函数的关系：sec(x) = 1 / cos(x) = 1 / (1 / tan(x)) = cos^(-1)(x) /sin^(-1)(x)csc(x) = 1 / sin(x) = 1 / (1 / cot(x)) = sin^(-1)(x) /cos^(-1)(x)以上是常见的三角函数的恒等变换，可以应用于三角函数的化简、解方程、证明等各种数学问题的求解中。
三角函数的恒等变换
三角函数的恒等变换三角函数是数学中重要的一类函数，它们在几何、物理以及工程等领域都有广泛的应用。
在进行数学推导和计算时，使用三角函数的恒等变换是非常常见的技巧。
本文将介绍常见的三角函数恒等变换，以及它们的应用。
一、正弦和余弦的恒等变换1. 正弦函数的恒等变换正弦函数的恒等变换之一是正弦函数的和差化积公式：sin(A ± B) = sinAcosB ± cosAsinB该公式可以将正弦函数的和差转化为乘积形式，方便进行进一步的计算和推导。
同时，也可以通过该公式将乘积形式转化为和差形式。
2. 余弦函数的恒等变换余弦函数的恒等变换之一是余弦函数的和差化积公式：cos(A ± B) = cosAcosB ∓ sinAsinB该公式与正弦函数的和差化积公式类似，可以将余弦函数的和差转化为乘积形式，并且也可以通过该公式将乘积形式转化为和差形式。
二、正切和余切的恒等变换1. 正切函数的恒等变换正切函数的恒等变换之一是正切函数的和差化积公式：tan(A ± B) = (tanA ± tanB) / (1 ∓ tanAtanB)该公式可以将正切函数的和差转化为乘积形式，方便进行进一步的计算和推导。
2. 余切函数的恒等变换余切函数的恒等变换之一是余切函数的和差化积公式：cot(A ± B) = (cotAcotB ∓ 1) / (tanA ± tanB)该公式与正切函数的和差化积公式类似，可以将余切函数的和差转化为乘积形式。
三、正弦、余弦和正切的恒等变换1. 正弦函数的平方与余弦函数的平方的关系：sin²A + cos²A = 1这是三角函数中最为著名的恒等变换之一，称为三角恒等式。
它表明了正弦函数的平方与余弦函数的平方之和始终等于1。
2. 正切函数与余切函数的关系：tanA = 1 / cotA这个恒等变换表明了正切函数和余切函数互为倒数关系。
高考数学复习：三角函数恒等变换求值
知识点一．两角和与差的正余弦与正切①sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±；②cos()cos cos sin sin αβαβαβ±= ；③tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=；知识点二．二倍角公式①sin22sin cos ααα=；②2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-；③22tan tan 21tan ααα=-；补充：2倍角公式变形（扩角降幂）221cos 21cos 2sin cos 22αααα-+==；；知识点三．辅助角公式)sin(cos sin 22ϕααα++=+b a b a （其中a bb a a b a b =+=+=ϕϕϕtan cos sin 2222，，）．【常见式子变形】①2221cos 22cos 1cos 22sin 1sin 2(sin cos )ααααααα+=-=±=±；；②sin cos cos cos cos 22p p αβααβæöæö=Þ-=-=ç÷ç÷èøèø，具体是选2p α-还是2p α-要看题目给出的范围③sin cos tan 1tan sin cos tan 14βββp ββββ--æöÞ=+ç÷++èø高考数学复习：三角函数恒等变换求值2023新高考二卷T7：配完全平方公式【详解】因为cos 1α=-α为锐角，解得：sin2α==2023·新高考I 卷T8——和差公式+二倍角公式【分析】根据给定条件，利用和角、差角的正弦公式求出sin()αβ+，再利用二倍角的余弦公式计算作答.【详解】因为1sin()sin cos cos sin 3αβαβαβ-=-=，而1cos sin 6αβ=，因此1sin cos 2αβ=，则2sin()sin cos cos sin 3αβαβαβ+=+=，所以2221cos(22)cos 2()12sin ()12(39αβαβαβ+=+=-+=-´=.2022·新高考II 卷T6——和差公式【分析】由两角和差的正余弦公式化简，结合同角三角函数的商数关系即可得解.【详解】[方法一]：直接法由已知得：()sin cos cos sin cos cos sin sin 2cos sin sin αβαβαβαβααβ++-=-,即：sin cos cos sin cos cos sin sin 0αβαβαβαβ-++=，即：()()sin cos 0αβαβ-+-=所以()tan 1αβ-=-故选：C[方法二]：特殊值排除法解法一:设β=0则sinα +cosα =0，取=2pα，排除A, B ；再取α=0则sinβ +cosβ= 2sinβ，取β=4p，排除D ；选C.[方法三])cos()]44cos sin sin 444p pβαβαβαβp p pαβαβαβ+++++++=++++（）（）（（cos sin 44p pαβαβ+=+（）（）sin cos cos sin =044p p αβαβ+-+（）（）即sin =04pαβ+-（）sin =sin cos cos sin =0444p p p αβαβαβαβαβ\-+-+---（）（）（）（）（）sin =cos αβαβαβ\----（）（）即t an(）=-1,2018全国II 卷（理）T15——一题多解【答案】12-【分析】方法一：将两式平方相加即可解出．【详解】［方法一］：【最优解】两式两边平方相加得22sin()1αβ++=，1in()s 2αβ+=-．［方法二］： 利用方程思想直接解出sin 1αα=-=-1cos 2β=，则1sin 2α=．又cos sin αβìïïíïïîcos sin αβì=ïïíï=ïî，所以1in()s 2αβ+=-．［方法三］： 诱导公式+二倍角公式由cos sin 0αβ+=，可得3sin cos sin 2p βααæö=-=+ç÷èø，则322k pβp α=++或32()2k k p βp p αæö=+-+Îç÷èøZ ．若32()2k k pβp α=++ÎZ ，代入得sin cos 2sin 1αβα+==，即2131sin ,sin()sin 22cos22sin 1222k p ααβp αααæö=+=++=-=-=-ç÷èø．若2()2k k pβp α=--ÎZ ，代入得sin cos 0αβ+=，与题设矛盾．综上所述，1in()s 2αβ+=-．［方法四］：平方关系＋诱导公式由2222cos sin (1sin )(cos )22sin 1ββααα+=-+-=-=，得1sin 2α=．又sin 1cos tan tan tan cos sin 22αβββααβ-æö===-=-ç÷-èø，()2k k βαp =-ÎZ ，即22k αp β=-，则2()k k αβp α+=-ÎZ ．从而1sin()sin(2)sin 2k αβp αα+=-=-=-．［方法五］：和差化积公式的应用由已知得1(sin cos )(cos sin )(sin 2sin 2)cos()2αβαβαβαβ++=++-sin()cos()cos()0αβαβαβ=+-+-=，则cos()0αβ-=或sin()1αβ+=-．若cos()0αβ-=，则()2k k pαβp -=+ÎZ ，即()2k k pαβp =++ÎZ ．当k为偶数时，sin cos αβ=，由sin cos 1αβ+=，得1sin cos 2αβ==，又23cos sin 0,cos sin sin 4αβαββ+==-=-，所以131sin()sin cos cos sin 442αβαβαβ+=+=-=-．当k 为奇数时，sin cos αβ=-，得sin cos 0αβ+=，这与已知矛盾．若sin()1αβ+=-，则2()2k k pαβp +=-ÎZ ．则sin sin 2cos 2k p αp ββæö=--=-ç÷èø，得sin cos 0αβ+=，这与已知矛盾．综上所述，1in()s 2αβ+=-．【整体点评】方法一：结合两角和的正弦公式，将两式两边平方相加解出，是该题的最优解；方法二：通过平方关系利用方程思想直接求出四个三角函数值，进而解出；方法三：利用诱导公式寻求角度之间的关系，从而解出；方法四：基本原理同方法三，只是寻找角度关系的方式不同；方法五：将两式相乘，利用和差化积公式找出角度关系，再一一验证即可解出，该法稍显麻烦．题型一 知1求2长沙市明德中学2023-2024学年高三上学期入学考试T8【分析】由已知条件算出tan ,tan αβ即可求解.【详解】因为3πsin ,,π52ααæö=Îç÷èø，所以4sin 3cos ,tan 5cos 4αααα==-==-，因为()sin sin cos cos sin 34sin cos tan tan 4cos cos 55αβαβαβααββββ++==+=-=g ，所以17tan 4β=-，所以()317tan tan 1644tan 3171tan tan 7144αβαβαβ--++===-æöæö--´-ç÷ç÷èøèø.2024届·重庆市西南大学附中、重庆育才中学九月联考T15，【答案】4p【分析】根据已知得4sin 5α=，sin ββ==且π02αβ<-<，应用差角正弦公式求角的大小.【详解】由题设4sin 5α=，sin ββ==π0,2βæöÎç÷èø，而sin sin αβ>，故π02βα<<<，则π02αβ<-<，所以sin()sin cos cos sin αβαβαβ-=-=，则π4αβ-=题型二 结合平方公式sin cos q q ±，2sin 2q ±2024届·湖南长郡中学阶段考T73．已知π0,2αæöÎç÷èøπ2sin 4ααæö=+ç÷èø，则sin 2α=（ ）A ．34-B ．34C ．1-D ．1【答案】B【分析】法1：展开，结合平方公式；法2：换元+诱导公式.【详解】π2sin()4αα=+Q ，)22cos )cos sin αααα=+-Q ,1(cos sin )(cos sin )02αααα\+--=，又π0,2αæöÎç÷èø，则sin 0,cos 0αα>>，即cos sin 0αα+>所以1cos sin 2αα-=，因为π0,2αæöÎç÷èø，所以2(0,π)αÎ，sin20α>.由1cos sin 2αα-=平方可得11sin 24α-=，即3sin 24α=，符合题意.综上，3sin 24α=.湖北省部分学校2024届高三上学期10月联考·T7【分析】由倍角公式结合同角三角函数关系计算化简即可.πcos 2sin 4αααæö===-=-ç÷èø，且π3π,24αæöÎç÷èø，则π2π4π,4αæö-Îç÷èø，可得πsin 04αæö->ç÷èø，)π2sin sin cos 4αααæö=--ç÷èø；cos α=，且π3π,24αæöÎç÷，可得cos 0α<，α=；)sin cos αααα=-=.5．已知22ppαβ-<-<，sin 2cos 1αβ+=，cos 2sin αβ-=sin(3pβ+=A B C D 【答案】A【分析】先由sin 2cos 1αβ+=，cos 2sin αβ-=αβ、的关系式，代入sin 3p βæö+ç÷èø，即可求出结果.【详解】由sin 2cos 1αβ+=，cos 2sin αβ-=将两个等式两边平方相加，得()543sin αβ+-=，()12sin αβ-=-，22p p αβ-<-<Q ，6pαβ\-=-，即6p αβ=-，代入sin 2cos 1αβ+=，得13p βæö+=ç÷èø，即sin 3p βæö+ç÷èø故选A 2023·浙江杭州二模T15【分析】将sin cos 2sin q q α+=平方，结合2sin cos sin q q β=可得22124sin 0sin βα+=-，利用二倍角余弦公式将224cos 2cos 2αβ-化简求值，可得答案.【详解】将sin cos 2sin q q α+=平方得212sin cos 4sin q q α+=，结合2sin cos sin q q β=可得221i s n 2i 4s n αβ+=，即22124sin 0sin βα+=-，则224cos 2cos 2(2cos 2cos 2)(2cos 2cos 2)αβαβαβ-=-+()()2214sin 2sin 2cos 2cos 20αβαβ=-++=2024届·浙江省Z20名校联盟第一次联考题T7【分析】利用和差公式和同角三角函数关系以及二倍角即可得出结论.【详解】将1sin cos 5αα-=平方得112sin cos 25αα-=，所以242sin cos 25αα=，则π0,2αæöÎç÷èø．所以()22449sin cos 12sin cos 12525αααα+=+=+=，从而7sin cos 5αα+=．联立1sin cos 57sin cos 5ααααì-=ïïíï+=ïî，得4sin 53cos 5ααì=ïïíï=ïî．所以24sin 22sin cos 25ααα==，2222347cos 2cos sin5525αααæöæö=-=-=-ç÷ç÷èø．故)π247sin 2sin 2cos 242525éùæöæö-=---=ç÷ç÷êúèøèøëûααα题型三 和差公式2024届·长沙一中校月考（三）T78．已知角(),0,παβÎ，且()()sin cos 0,sin sin 3cos cos 0αβαβαβαβ++-=-=，则()tan αβ+=（ ）A ．2-B ．12-C ．12D ．2【答案】D【分析】由两角和与差公式化简后求解．【详解】由()()sin cos 0αβαβ++-=，可得sin cos cos sin cos cos sin sin 0αβαβαβαβ+++=，即sin cos cos sin 1cos cos sin sin αβαβαβαβ+=-+，故tan tan 11tan tan αβαβ+=-+.又sin sin 3cos cos 0αβαβ-=，故sin sin αβ3cos cos αβ=，即tan tan 3αβ=，代入tan tan 11tan tan αβαβ+=-+可得tan tan 4αβ+=-.故()tan tan tan 21tan tan αβαβαβ++==-云南师范大学附属中学2024届高三高考适应性月考卷（一）数学试题T7A ．()sin 31αβ-=B ．()sin 31αβ+=-C ．()sin 21αβ-=D ．()sin 21αβ+=-【答案】C【分析】对题中条件进行变化化简，可以得到π22αβ-=，进一步即可判断正确答案.【详解】tan cos 1sin ,αββ×=+Q sin cos 1sin ,cos αββα\×=+即sin cos cos sin cos ,αβαβα×=+×sin cos sin cos cos ,αββαα×-×=即πsin()cos sin(),2αβαα-==-又0,2p αæöÎç÷èø，0,2p βæöÎç÷èø，则ππππ,0,2222αβα-<-<<-<所以π2,sin(2)1,2αβαβ-=\-=，故C 正确.2024届·重庆市西南大学附中、重庆育才中学十月联考T7【分析】根据题意，由同角的平方关系可得()cos αβ+，再由余弦的和差角公式，即可得到结果.【详解】因为(),0,παβÎ，且1cos 7α=，所以sin α因为()sin αβ+=，所以()sin sin ααβ>+，所以()αβ+为钝角，所以()11cos 14αβ+==-，则()()()cos cos cos cos sin sin βαβααβααβα=+-=+++=éùû11111472-´+=，且()0,βp Î，则π3β=2024届·重庆市第八中学校适应性月考（一）T7【分析】根据两角和与差的正弦公式，化简得到sin 1sin tan βαα=，得到πsin sin()2βα=-，再由π,0,2αβæöÎç÷èø，结合正弦函数的性质，即可求解【详解】由()()()sin 2sin[()]2cos 2cos sin sin αβααβαβαβαα+++-+=-+()sin cos()cos sin()2cos sin ααβααβαβα+++=-+cos sin()cos sin()sin cos()cos()sin sin ααβααβααβαβαα++-+=-+=sin[()]sin sin sin αβαβαα+-==，所以sin 1sin tan βαα=，可得sin cos sin sin βααα=，即sin cos βα=，即πsin sin()2βα=-，因为π,0,2αβæöÎç÷èø，可得ππ0,22αæö-Îç÷èø，所以π2βα=-，所以π2αβ+=【分析】法一：利用两角和与差的三角函数公式求解；法二：利用特殊值法求解.【详解】法1：()tan tan tan 11tan tan αβαβαβ++==--Q .tan tan tan tan 1αβαβ\+=-，()()()()cos sin 1tan tan tan tan 1tan tan 1tan tan 2cos cos βααβαβαβαβαβαβ--+\=-++=--+=.2=èø题型四 2倍角公式2023届广州市一模T7【分析】由,2p αp æöÎç÷èø及二倍角的余弦公式可得()sin 1sin cos cos αβαβ+=，根据两角和的余弦公式可得()sin cos ααβ=+，由诱导公式及,αβ的范围即可求解.【详解】,,2p αβp æöÎç÷èøQ ，sin 0α\¹.由()()1cos 21sin sin 2cos αβαβ-+=，可得()22sin 1sin 2sin cos cos αβααβ+=，即()sin 1sin cos cos αβαβ+=.()sin cos cos sin sin cos ααβαβαβ\=-=+，()cos cos 2p αβαæö\+=-ç÷èø，,,2p αβp æöÎç÷èøQ ，2p αβp \<+<，且022pp α-<-<，根据函数cos y x =易知：22pαβαp +=-+，即得：522pαβ+=.【分析】利用降幂升角公式和诱导公式化简即可得到结果.【详解】221cos 21cos 222cos sin 4422x x x x p p p p æöæö++--ç÷ç÷æöæöèøèø++-=+ç÷ç÷èøèø1111sin 2sin 21sin 22222x x x =-+-=-【分析】利用正弦、余弦的二倍角公式先化已知角x 为2x，然后再由正切的二倍角公式求tan x ．【详解】2222112sin 2sin cos 2sin 2sin cos 1cos sin 22222221cos sin 2cos 2sin cos 12cos 12sin cos222222x x x x x x x x x x x x x x x x æö--++ç÷-+èø-===++æö++-+ç÷èø2sin (sin cos )222tan 22cos (cos sin )222x x x x x x x +==+，∴222tan2(2)42tan 1(2)31tan 2xx x ´-===---．2024届广东实验中学校考T1516．若两个锐角α，β满足1cos21cos22cos sin2sin2αβααβ+-=+，则cos 23p αβæö++=ç÷èø.【答案】【分析】根据二倍角的正弦、余弦公式，化简可得角α，β的关系，代入cos 23p αβæö++ç÷èø即可求解.【详解】因为1cos21cos22cos sin2sin2αβααβ+-=+，所以()22112sin 12cos 12cos 2sin cos 2sin cos βααααββ--+-=+所以22cos sin cos sin cos sin cos αβαααββ=+，因为α，β为锐角，所以有cos sin 1sin cos αβαβ=+，所以()cos cos sin 1sin αββα=+，即cos cos sin sin sin αβββα=+，所以cos cos cos cos sin αβαββ-=，即()cos +sin αββ=，因为α，β为锐角，所以有+2pαββ+=，即+22pαβ=，所以cos 2cos sin 3233p p p p αβæöæö++=+=-=ç÷ç÷èøèø2024届·广州市越秀区高三月考（十月）T7【分析】由倍角余弦公式并整理得23sin 2sin 10αα+-=，结合角的范围得1sin 3α=，进而求tan α，应用倍角正切公式求值即可.【详解】由23cos24sin 36sin 4sin 1αααα-=--=，即23sin 2sin 1(3sin 1)(sin 1)0αααα+-=-+=，所以1sin 3α=或sin 1α=-，又π,π2αæöÎç÷èø，则1sin 3α=，所以cos α=，则tanα=由22tan tan 21tan ααα==-2024届·广州市天河区高三综合测试（一）T7【分析】由商数关系及两角差的正切公式将已知化为ππtan 2tan 34αβæöæö-=-ç÷ç÷èøèø，得出ππ2π34k αβ-=-+，再根据二倍角的余弦公式即可得解.【详解】由πtan tanπsin cos tan 1π4tan 2tan π3sin cos tan 141tan tan 4ββββαβββββ---æöæö-====-ç÷ç÷++èøèø+，所以ππ2π34k αβ-=-+，即π2π,Z 12k k αβ=++Î，()()2π12cos 2cos 22cos 2π12k αβαβββæö--=--=-++-ç÷èøπππcos 2πcos 2πcos 1266k k æöæö=-+=-+=-=ç÷ç÷èøèø武汉市硚口区2024届高三上学期起点质量检测T15【答案】9798【分析】根据辅助角公式可得π1 sin614qæö-=ç÷èø，再根据二倍角与诱导公式求解即可.【详解】17cosq q=+即114cos12q qö-=÷÷ø，故π1sin614qæö-=ç÷èø.故2ππ97cos212sin3698q qæöæö-=--=ç÷ç÷èøèø.则97sin2sin2cos2632398p p p pq q qæöæöæö+=-+=-=ç÷ç÷ç÷èøèøèø.题型五统一角度化简2024届·重庆市第一中学校高三上学期9月月考·T15【分析】利用和角的正余弦公式化简，再利用诱导公式及齐次式求法求解即可.【详解】πtan9α=，7π7ππππcos cos sin sin cos sin sin cos tan tan1818999πππππsin cos cos sin sin cos cos sin tan tan99999αααααααααα---==+++3=.2023届·江苏省七市三模·T7【分析】利用和差角公式展开，得到2cos40cos cos80cos sin80sin0q q q°+°+°=，即可得到2cos40cos80tansin80q°+°=-°，再利用两角差的余弦公式计算可得.【详解】因为()()()cos40cos40cos800q q q°-+°++°-=，所以cos 40cos sin 40sin cos 40cos sin 40sin cos80cos sin 80sin 0q q q q q q °+°+°-°+°+°=，所以2cos 40cos cos80cos sin80sin 0q q q °+°+°=，所以2cos 40cos80sin80tan 0q °+°+°=，所以2cos 40cos80tan sin 80q °+°=-°()2cos 12080cos80sin 80°-°+°=-°()2cos120cos80sin120sin 80cos80sin 80°°+°°+°=-==°2022届·广东省汕头二模·T7【分析】根据诱导公式、同角三角函数基本关系、两角差的正弦公式和正弦的二倍角公式化简即可求解.【详解】因为sin160tan 20cos 70l ++=o o o 即()(sin 18020tan 20cos 9020l -++-o o o o o所以sin 20sin 20sin 20cos 20l ++=ooo o所以sin 20cos 20sin 20sin 20cos 20l ++=o o o o o o ，所以()11sin 20cos 2020sin 20220sin 202l ö+-=-÷÷øo o o oo o ，所以()()1sin 402sin 60cos 20cos 60sin 202sin 60202sin 402l +=-=-=o o o o o o o o ，所以122l +=，所以3l =题型六 和差公式+倍角公式2023湖南省五市十校高二下期末·T15【答案】19-【分析】化切为弦，然后逆用两角和正弦公式，求得1cos cos 2αβ=，再利用两角和与差的余弦公式求得()2cos 3αβ-=，根据二倍角公式即可得结果.【详解】()()sin sin cos sin cos 2sin tan tan cos cos cos cos αβαββααβαβαβαβ+++=+==，因为()1cos 3αβ+=，则()sin 0αβ+¹，因此1cos cos 2αβ=，而()1cos cos cos sin sin 3αβαβαβ+=-=，从而111sin sin 236αβ=-=，因此()112cos cos cos sin sin 263αβαβαβ-=+=+=，则()()21cos22cos 19αβαβ-=--=-.故答案为：19-.2024届·重庆市巴蜀中学适应性月考（二）·T11【分析】根据3cos25α=-，判断α的范围，再根据cos 2α，求出tan α，再由cos()αβ+=sin()αβ+，tan()βα-，cos()βα-，从而得出答案.【详解】因为0πα<<，所以022πα<<，又3cos 205α=-<，所以π3π222α<<，π3π44<<α，由3cos25α=-，得tan 2α=±.对于A 选项，若tan 2α=-，则π3π24α<<，又3ππ2β<<，所以3π9π24αβ<+<，而cos()0αβ+=<矛盾，所以tan 2α¹-.故A 错误；对于B 选项，根据A 选项知， tan 2α=，则ππ42α<<，又3ππ2β<<，所以5π2π4αβ<+<，而cos()0αβ+=<，所以5π3π42αβ<+<，这样sin()αβ+=B 正确；对于C 选项，根据A 2=，再根据B 选项中sin()αβ+=cos()αβ+=知tan()7αβ+=，从而tan()tan 1tan tan()1tan()tan 3αβαβαβααβα+-=+-==++，则tan tan tan()11tan tan βαβαβα--==-+，又3ππ2β<<，ππ24α-<-<-，π5π24βα<-<，所以3π4βα-=，故C 正确；对于D 选项，根据C 选项知3π4βα-=，所以cos()cos cos sin sinβαβααβ-=+=又cos()cos cos sinsin αβαβαβ+=-=解得cos cos αβ=D 错误2024·江苏省海安高级中学高三上学期10月月考·T6A ．53-B ．【答案】C【分析】根据三角函数的定义可得πtan 4,4q æö+=-ç÷èø进而又和差角公式得5tan θ3=，又二倍角和齐次式即可求解.【详解】由图可知πtan 4,4q æö+=-ç÷èø所以ππtan tan544tan ππ31tan tan44q q q æö+-ç÷èø==æö++ç÷èø，则()()()2sin cos 1sin 2sin cos tan 14cos 2cos sin cos sin cos sin 1tan q q q q q q q q q q q q q q++++====-+---【分析】注意到2236ππαβαβæö+=++-ç÷èø，后结合()0,πα，ππ,22βæöÎ-ç÷èø，利用二倍角，两角和的正弦公式可得答案.【详解】因()0,παÎ，则4333πππ，αæö+Îç÷è，又π1πsin sin 333æö+=<=ç÷èøα，则3πα+Îπ,π2æöç÷èø，得3πcos αæö+=ç÷èø.因πcos 6βæö-=ç÷èø22221663ππcos cosββéùæöæö-=--=-êúç÷ç÷èøèøëû.又ππ,22βæöÎ-ç÷èø，则π2ππ,633æö-Î-ç÷èøβ，结合π1πcos cos 623æö-=<=ç÷èøβ，则ππ,062æö-Î-ç÷èøβ，得6πsi n βæö-=-ç÷èø则22666πππsi n cos si n βββéùæöæöæö-=--=-êúç÷ç÷ç÷èøèøèøëû又注意到2236ππαβαβæö+=++-ç÷èø，则()ππππsin 2sin cos 2cos sin 23636éùéùæöæöæöæö+=+-++-ç÷ç÷ç÷ç÷êúêúøøèøëûαβαβαβ1233ææö=´-+´-=çç÷çèøè.。
《三角恒等变换》归纳整合课件
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详细描述
在三角恒等变换中，角度的取值范围对计算结果有着重 要的影响。如果角度的取值超出了特定范围，如90度 到270度或0度到180度，那么就需要使用不同的公式 或定理进行计算。忽视这一点，就会导致错误的结果。
不能灵活运用三角恒等变换的技巧
总结词
不能灵活运用三角恒等变换的技巧是学习中的一大难点。
详细描述
05
三角恒等变换的易错点分 析
忽视公式条件的使用范围
总结词
不重视公式条件的使用范围是三角恒等变换中的常见 错误。
详细描述
三角恒等变换的公式和定理都有一定的使用范围和条 件，如角度的范围、函数的种类等。如果忽视这些条 件，随意使用公式，会导致错误的结果。
忽视角度的范围对结果的影响
总结词
忽视角度的范围对三角恒等变换的结果有重要影响。
三角恒等变换的基本思路
通过引入已知的三角函数式，利用已知的三角恒等式将它们 联系起来，从而找到需要解决的表达式与已知表达式之间的 联系。
三角恒等变换的性质
三角恒等变换的性 质
三角恒等变换的性质主要包括奇 偶性、周期性、对称性以及三角 函数的和差倍角公式等。
奇偶性
对于一个函数f(x)，如果f(x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数 ；如果f(-x)=-f(x)，那么f(x)就 叫做奇函数。
常数变易的技巧
总结词
灵活运用，随机应变
详细描述
常数变易是通过将常数项变为变量，从而 改变等式中变量的系数，以达到简化计算 的目的。在三角恒等变换中，常数变易是 一种非常重要的技巧，可以广泛应用于各 种不同类型的等式中。
04
三角恒等变换的常见题型
求值题
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一.选择题
1.【三角函数的恒等变换】【2016，新课标2理数】若3
cos()45
π
α-=，则sin2α=（ ） A.725 B.15 C.15- D.725
- 【答案】D
2.【三角函数求值】【2015，新课标1，理2】o o o o sin 20cos10cos160sin10- =( )
A.2-
B.2
C.12-
D.1
2
【答案】D
3. 【两角和与差的正弦（余弦）公式，同角间的三角函数关系，三角函数的恒等变换】
【2015，重庆，理9】若tan 2tan 5πα=，则3cos()
10sin()5
π
απα-
=-（ ）
A.1
B.2
C.3
D.4 【答案】C
4. 【二倍角的余弦公式，充分条件与必要条件】【2015，陕西理6】“sin cos αα=”是“cos20α=”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件 【答案】A 二、非选择题
5. 【两角差正切公式】【2015，江苏，8】已知tan 2α=-，()1
tan 7
αβ+=，则tan β的值为_______. 【答案】3
6. 【三角函数的恒等变换，特殊角的三角函数值】【2015，四川，理12】=+ 75sin 15sin .
7. 【三角函数的恒等变换，三角函数的性质】【2015，浙江，理11】函数2
()sin sin cos 1f x x x x =++的最小正周期是____________，单调递减区间是__________．
【答案】π，]8
7,83[
ππππk k ++，Z k ∈. 2017
年真题
1.【三角函数的恒等变换，复合型二次函数的最值】【2017课标II ，理14】函数()23
sin 4
f x x x =+-
（0,
2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
）的最大值是____________。
【答案】1 【解析】
试题分析：化简三角函数的解析式：
()2
223131cos 3cos cos 3cos cos 1442f x x x x x x ⎛⎫
=-+-=-++=--+ ⎪ ⎪⎝
⎭， 由自变量的范围：0,
2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
可得：[]cos 0,1x ∈， 当3
cos 2
x =
时，函数()f x 取得最大值1。
【名师点睛】本题经三角函数式的化简将三角函数的问题转化为二次函数的问题，二次函数.二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法。
一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函
数值符号四个方面分析。
2. 【同角三角函数，诱导公式，两角差的余弦公式】【2017北京，理12】 在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称.
若1
sin 3α=，cos()αβ-=___________. 【答案】7
9
-
【解析】
试题分析：因为α和β关于y 轴对称，
所以2k αβππ+=+，那么1sin sin 3
βα==
，22
cos cos 3
αβ=-=
， 这样()2
2
2
7cos cos cos sin sin cos sin 2sin 19
αβαβαβααα-=+=-+=-=-. 3. 【两角和正切公式】【2017，江苏，5】若π1
tan(),46
α-=则tan α=_________.
【答案】
75
【解析】11tan()tan
7644tan tan[()]1445
1tan()tan 1446
ππ
αππααππα+-+=-+===---．故答案为75．
【名师点睛】三角函数求值的三种类型
(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数. (2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异. ①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；
②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的.
(3)给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角.
4. 【三角函数求值，三角函数的性质】【2017，浙江，18】已知函数f （x ）=sin 2x –cos 2x –23 sin x cos x （x ∈R ）． （Ⅰ）求)3
2(
π
f 的值． （Ⅱ）求)(x f 的最小正周期及单调递增区间．
【答案】（Ⅰ）2；（Ⅱ）最小正周期为π，单调递增区间为Z k k k ∈++]3
2,
6
[
ππ
ππ
． 【解析】
试题分析：（Ⅰ）由函数概念3
2cos 32sin 3232cos 32sin )32(
22πππππ--=f ，分别计算可得；（Ⅱ）化简函数关系式得)sin(ϕω+=x A y ，结合ω
π
2=T 可得周期，利用正弦函数的性质求函数的单调递增区
间．
试题解析：（Ⅰ）由23
32sin
=π，2
132cos
-=π，)21(2332)21()23()32(22-⨯⨯---=πf 得2)3
2(
=π
f （Ⅱ）由x x x 2
2
sin cos 2cos -=与x x x cos sin 22sin =得
)6
2sin(22sin 32cos )(π
+-=--=x x x x f
所以)(x f 的最小正周期是π
由正弦函数的性质得
Z k k x k ∈+≤
+
≤+,22
36
222
ππ
π
ππ
解得
Z k k x k ∈+≤
≤+,3
26
ππ
ππ
所以)(x f 的单调递增区间是Z k k k ∈++]3
2,
6
[
ππ
ππ
．。