2015高考数学(基础过关+能力训练)：三角函数、三角恒等变换及解三角形 三角函数的图象和性质(含答案)

第三章 三角函数、三角恒等变换及解三角形第3课时
三角函
数的图象和性质
1. 将函数y ＝sin(x ＋φ)的图象F 向左平移π
6
个单位长度后得到图象F′、若F′的一个对称
中心为⎝⎛⎭
⎫π
4，0、则φ＝________。

答案：k π－5π
12
、k ∈Z
解析：图象F′对应的函数y′＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋φ、其一个对称中心为⎝⎛⎭
⎫π
4，0、则π4＋π6＋
φ＝k π、k ∈Z 、即φ＝k π－5π
12
、k ∈Z .
2. 把函数y ＝sin ⎝
⎛⎭⎫5x －π
2的图象向右平移π4个单位、再把所得函数图象上各点的横坐标
缩短为原来的1
2
、所得的函数解析式为________。

答案：y ＝sin ⎝
⎛⎭⎫10x ＋π
4
解析：将原函数的图象向右平移π4个单位、得到函数y ＝sin[5(x －π4)－π
2
]＝
sin ⎝⎛⎭⎫5x －74π的图象、再把所得函数图象上各点的横坐标缩短为原来的1
2
、得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫10x －7π4的图象、即y ＝sin ⎝
⎛⎭⎫10x ＋π
4.
3. 若函数f(x)＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0)的图象的相邻两条对称轴的距离是π、则ω＝________。

答案：1
解析：函数y ＝f(x)的图象的相邻两条对称轴的距离是π、所以T
2
＝π、即T ＝2π、所
以2π
ω
＝2π、解得ω＝1. 4. 将函数f(x)＝sin ωx(ω>0)的图象向右平移π4个单位长度、所得图象经过点⎝⎛⎭
⎫3π
4，0、
则ω的最小值是________。

答案：2
解析：函数向右平移π4得到函数g(x)＝f ⎝⎛⎭⎫x －π4＝sin ω⎝
⎛⎭⎫x －π
4、因为此时函数过点
⎝⎛⎭⎫3π4，0、所以sin ω⎝⎛⎭⎫3π4－π4＝0、即ω·⎝⎛⎭⎫3π4
－π4＝ωπ2＝k π、所以ω＝2k 、k ∈Z 、所以
ω的最小值为2.
5. 若函数y ＝Asin(ωx ＋φ)⎝
⎛⎭⎫A>0，ω>0，|φ|<π
2的最小值为－2、其图象上相邻最高点
与最低点的横坐标之差为π
2
、且图象过点(0、3)、则其解析式是________________。

答案：y ＝2sin ⎝
⎛⎭⎫2x ＋π
3
解析：由题意、得A ＝2、T 2＝π
2
、所以T ＝π、ω＝2、所以f(x)＝2sin(2x ＋φ)。

由f(0)
＝2sin φ＝3、|φ|<π2、得φ＝π3、从而y ＝2sin ⎝
⎛⎭⎫2x ＋π
3.
6. 若函数f(x)＝sin ωx(ω＞0)在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增、在区间⎣⎡⎦
⎤π3，π
2上单调递减、
则ω＝________。

答案：32
解析：由于f(x)＝sin ωx 图象过原点、由已知条件画图象可知、π
3
为该函数的四分之一
周期、所以2πω＝4π3、ω＝3
2.
7. 函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0、0＜φ＜π)的周期为π、且函数图象关于点⎝⎛⎭
⎫－π
3，0对称、
则函数解析式为____________。

答案：y ＝sin ⎝
⎛⎭⎫2x ＋2π
3
解析：T ＝2πω
、∴ ω＝2.又图象关于⎝⎛⎭⎫－π
3，0对称、
∴ sin ⎣⎡⎦
⎤2⎝⎛⎭⎫－π3＋φ＝0、φ－23π＝k π(k ∈Z )、φ＝2
3π＋k π(0<φ<π)、∴ k ＝0、φ
＝23
π. ∴ y ＝sin ⎝
⎛⎭⎫2x ＋2π
3.
8. (2013·南通三模)函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)(A ＞0、ω＞0、0≤φ＜2π)在R 上的部分图象如图所示、则f(2 013)＝________。

答案：－53
2
解析：从图象可知、A ＝5、周期T ＝2(5＋1)＝12、ω＝π
6
、f(0)＞0、f(5)＝0、0≤φ＜
2π、故φ＝π6、f(x)＝5sin ⎝⎛⎭⎫π6x ＋π6、f(2 013)＝f(9)＝5sin ⎝⎛⎭⎫π6
×9＋π6＝－5cos π6＝－53
2.
9. 已知函数y ＝Asin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2的图象过点P ⎝⎛⎭
⎫π
12，0、图象上与
点P 最近的一个顶点是Q ⎝⎛⎭
⎫π
3，5.
(1) 求函数的解析式；
(2) 求函数f(x)的递增区间。

解：(1) 依题意得A ＝5、周期T ＝4⎝⎛⎭
⎫π3－π
12＝π、
∴ ω＝2π
π
＝2.
故y ＝5sin(2x ＋φ)。

又图象过点P ⎝⎛⎭⎫π12，0、∴ 5sin ⎝⎛⎭⎫π
6＋φ＝0、
由已知可得π
6＋φ＝k π、k ∈Z 、
∴ φ＝－π6、∴ y ＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x －π
6.
(2) 由－π2＋2k π≤2x －π6≤π
2＋2k π、k ∈Z 、
得－π6＋k π≤x ≤π
3
＋k π、k ∈Z 、
故函数f(x)的递增区间为[k π－π6、k π＋π
3](k ∈Z )。

10. 函数f(x)＝Asin ⎝
⎛⎭⎫ωx －π
6＋1(A>0、ω>0)的最大值为3、其图象相邻两条对称轴之
间的距离为π
2
.
(1) 求函数f(x)的解析式；
(2) 设α∈⎝
⎛⎭⎫0，π
2、f ⎝⎛⎭⎫α2＝2、求α的值。

解：(1) 由题意、A ＋1＝3、所以A ＝2.
因为函数图象相邻两条对称轴之间的距离为π
2
、所以最小正周期T ＝π、所以ω＝2.故
函数f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π
6＋1.
(2) 因为f ⎝⎛⎭⎫α2＝2sin ⎝
⎛⎭⎫α－π6＋1＝2、 所以sin ⎝
⎛⎭⎫α－π6＝1
2.又0<α<π2、
所以α－π6＝π6、即α＝π
3
.
11. 已知函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)(A>0、ω>0、|φ|<π
2
、x ∈R )的部分图象如下图所示。

(1) 求函数f(x)的解析式；
(2) 当x ∈⎣
⎡⎦⎤－6，－2
3时、求函数y ＝f(x)＋f(x ＋2)的最大值与最小值及相应的x 的值。

解：(1) 由图象知A ＝2、T ＝8.∵ T ＝2πω
＝8、∴ ω＝π
4.
又图象经过点(－1、0)、
∴ 2sin ⎝⎛⎭⎫－π
4＋φ＝0.
∵ |φ|<π2、∴ φ＝π4、∴ f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4
x ＋π
4.
(2) y ＝f(x)＋f(x ＋2)＝2sin(π4x ＋π4)＋2sin(π4x ＋π2＋π4)＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋π4＋2cos ⎝⎛⎭⎫π4
x ＋π
4 ＝22sin ⎝⎛⎭⎫π4
x ＋π
2＝22cos π4x.∵ x ∈⎣⎡⎦⎤－6，－23、 ∴ －3π2≤π4x ≤－π6、∴ 当π4x ＝－π6、即x ＝－2
3
时、
y ＝f(x)＋f(x ＋2)取最大值为6；当π
4
x ＝－π、即x ＝－4时、
y ＝f(x)＋f(x ＋2)取最小值为－2 2.。