梁艳荣不等式认识
高中数学第五届全国青年教师观摩与评比活动基本不等式教案说明
基本不等式（第一课时）一、内容和内容解析本节课是人教版高中数学必修5中第三章第4节的内容。
主要是二元均值不等式。
它是在系统地学习了不等关系和不等式性质，掌握了不等式性质的基础上展开的，作为重要的基本不等式之一，为后续的学习奠定基础。
要进一步了解不等式的性质及运用，研究最值问题，此时基本不等式是必不可缺的。
基本不等式在知识体系中起了承上启下的作用，同时在生活及生产实际中有着广泛的应用，因此它也是对学生进行情感价值观教育的优良素材，所以基本不等式应重点研究。
教学中注意用新课程理念处理教材，学生的数学学习活动不仅要接受、记忆、模仿和练习，而且要自主探究、动手实践、合作交流、阅读自学，师生互动，教师发挥组织者、引导者、合作者的作用，引导学生主体参与、揭示本质、经历过程。
就知识的应用价值上来看，基本不等式是从大量数学问题和现实问题中抽象出来的一个模型，在公式推导中所蕴涵的数学思想方法如数形结合、抽象归纳、演绎推理、分析法证明等在各种不等式的研究中均有着广泛的应用；另外，在解决函数最值问题中，基本不等式也起着重要的作用。
就内容的人文价值上来看，基本不等式的探究与推导需要学生观察、分析、归纳，有助于培养学生创新思维和探索精神，是培养学生数形结合意识和提高数学能力的良好载体。
二、教学目标和目标解析教学目标：了解基本不等式的几何背景，能在教师的引导下探究基本不等式的证明过程，理解基本不等式的几何解释，并能解决简单的最值问题；借助于信息技术强化数形结合的思想方法。
在教师的逐步引导下，能从较为熟悉的几何图形中抽象出基本不等式，实现对基本不等式几何背景的初步了解。
学生已经学习了不等式的基本性质，可以运用作差法给出基本不等式的证明，同时，介绍并渗透分析法证明的思想方法，从而完成基本不等式的代数证明。
进一步通过探究几何图形，给出基本不等式的几何解释，加强学生数形结合的意识。
通过应用问题的解决，明确解决应用题的一般过程。
这是一个过程性目标。
走进生活，发展素养——“基本不等式的应用”说课案例
走进生活，发展素养——“基本不等式的应用”说课案例发布时间：2021-03-29T06:05:48.335Z 来源：《中小学教育》2021年第424期作者：曲晓平[导读] 《普通高中数学课程标准》中指出，高考命题时，应有一定数量的应用题。
山东省青岛第六十七中学266100摘要：《普通高中数学课程标准》中指出，高考命题时，应有一定数量的应用题。
应用题体现学以致用的思想，突出对数学知识应用性的考查，因此，在平时教学中，需要加强对数学应用性的教学，增强学生的应用意识。
关键词：核心素养数学建模情境创设评价【课程背景】基本不等式是高中数学中解决最值问题的一个重要工具，同时在实际生活中有着非常广泛的应用。
基于以上背景，我选择了这节基本不等式的应用——数学建模课程与大家分享。
【学情分析】高一新生已经掌握了不等式相关性质，知道了基本不等式的内容和使用条件，他们也具有数学思维不严谨、数学语言表达不准确的特点。
本节课是对已有知识的深加工，也是对学生数学核心素养的深层次培养。
【教法学法】新课程标准的教学理念是“以学生为主体，教师为主导，知识为主线，发展素养为主旨”。
本节课为学生提供充分从事数学活动的机会，让他们在自主探索与合作交流过程中掌握数学知识和技能，培养数学思想和方法。
【教学目标】1.理解基本不等式的内容，发展逻辑推理素养。
2.结合具体实例，用基本不等式解决生活中的优化问题，发展数学运算和数学建模素养。
3.结合真实时代背景，厚植家国情怀，树立正确的价值观，培养民族自信心和自豪感。
【学习过程】第一阶段，创设情境引入新课。
2020年是极不平凡的一年，防疫是全年的底色。
通过一段新闻视频，让学生看到祖国在抗击疫情中采取的正确策略，视频中方舱医院建设，为本节课的课堂探究赋予真实的时代背景。
第二阶段，课堂探究发展素养。
本节课的课堂活动共设计了三个探究题目，层层递进。
明线是方舱医院建设过程中面积最大、费用最少的设计方案，暗线是基本不等式在求最值过程中的三种不同用法。
问题驱动：一把实现高效课堂的密钥——“用导数证明不等式”教学实录与反思
㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０２２ ２０问题驱动一把实现高效课堂的密钥问题驱动：一把实现高效课堂的密钥㊀㊀㊀ 用导数证明不等式 教学实录与反思Һ吕金晶㊀（浙江省嵊州中学，浙江㊀嵊州㊀３１２４００）㊀㊀ʌ摘要ɔ 问题驱动 教学，顾名思义，是基于问题的教学方法．教师在讲授某一教学内容时，遵循一定的教学原则，预设教学目标，并由此进行整体布局，设计出明确的㊁具有启发性和挑战性的问题，引领学生寻知求索，通过自主学习㊁独立思考㊁小组讨论等学习方式，让他们掌握知识，提高能力，发展思维，从而实现高效课堂教学．ʌ关键词ɔ问题驱动；导数；不等式；几何直观前㊀言浙江省教育厅 百人千场 名师送教暨嵊州中学课堂教学展示同课异构活动于２０２２年３月４日在浙江嵊州隆重举行．本次活动以人教版数学选择性必修第二册第五章 导数在研究函数中的应用 用导数证明不等式 为同课异构教学内容．笔者有幸参加了此次活动，并与各位名师一起上了这堂同课异构课．现将本堂课的教学实录与反思一一呈现，以期批评指正．１㊀教材解析导数是微积分的核心内容之一，是现代数学的基本概念，蕴含着微积分的基本思想；导数定量地刻画了函数的局部变化，是研究函数增减性㊁变化快慢㊁最大（小）值等性质的基本方法，因而也是解决诸如增长率㊁膨胀率㊁效率㊁密度㊁速度㊁加速度等实际问题的基本工具．本节课是一节综合应用课，目的是让学生在掌握用导数研究函数的单调性㊁极值和最值后，用导数的相关知识证明不等式．２㊀教学目标２．１㊀通过具体函数的图像，发现函数间的不等关系，体会数形结合思想，发展直观想象素养．２．２㊀观察不等式ｆ（ｘ）ȡｇ（ｘ）（或ｆ（ｘ）ɤｇ（ｘ））的结构，能构造辅助函数ｈ（ｘ），把不等式证明问题转化为利用导数研究函数ｈ（ｘ）的单调性和最值等问题．２．３㊀结合信息技术手段进行图像演示，让学生亲历感知和发现的过程，培养学生推理演绎的能力，发展逻辑推理核心素养．３㊀教学重点与难点重点：掌握利用导数证明不等式的基本方法 构造函数法．难点：在证明过程中出现的隐零点问题及函数的二分法．４㊀教学实录引导语：通过对本章的学习，我们知道，导数是研究函数的法宝，它定量刻画了函数的局部变化，是研究函数单调性㊁变化快慢㊁最大（小）值等性质的基本方法．今天，我们接着来学习：用导数证明不等式．４．１㊀教材实例㊀引入新课问题１㊀㊀设ｘ＞０，ｆ（ｘ）＝ｌｎｘ，ｇ（ｘ）＝１－１ｘ，两个函数的图像如图１所示．判断ｆ（ｘ），ｇ（ｘ）的图像与Ｃ１，Ｃ２之间的对应关系．图１师生活动㊀学生回答后，教师在学生回答的基础上进行总结：ｆᶄ（ｘ）＝１ｘ，ｇᶄ（ｘ）＝１ｘ２．①当０＜ｘ＜１时，ｇᶄ（ｘ）＞ｆᶄ（ｘ）＞１，说明ｇ（ｘ）的图像比ｆ（ｘ）的图像要 陡峭 ；②当ｘ＞１时，０＜ｇᶄ（ｘ）＜ｆᶄ（ｘ）＜１，说明ｇ（ｘ）的图像比ｆ（ｘ）的图像要 平缓 ．可知，Ｃ１代表ｇ（ｘ）的图像㊁Ｃ２代表ｆ（ｘ）的图像．设计意图㊀学生通过观察思考分析出函数所对应的图像，既是对前面所学知识的应用，也可为后续问题的提出做好铺垫，起到承上启下的作用．问题２㊀请同学们继续观察这两个函数的图像，是否存在相应的不等关系呢？师生活动㊀学生观察思考后集体回答：ｇ（ｘ）ɤｆ（ｘ），即１－１ｘɤｌｎｘ．设计意图㊀在学生自主发现后，教师引出本节课的主题，让学生直观感知函数间的不等关系，充分调动学生的主观能动性，加强学生对不等关系进行抽象概括的能力，并为后面不等关系的证明做好铺垫．４．２㊀探索新知㊀深化课堂问题３㊀如何证明不等式１－１ｘɤｌｎｘ？师生活动㊀学生思考并回答，学生到黑板上板演．证明：设φ（ｘ）＝ｌｎｘ＋１ｘ－１，易知ｘ＞０，则φᶄ（ｘ）＝１ｘ－１ｘ２＝ｘ－１ｘ２，φ（ｘ）在（０，１）上单调递减，在（１，＋ɕ）上单调递增，从而φｍｉｎ＝φ（１）＝０，所以φ（ｘ）ȡφ（１）＝０，即ｌｎｘ＋１ｘ－㊀㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０２２ ２０１ȡ０．所以，当ｘ＞０时，１－１ｘɤｌｎｘ．师生活动㊀教师再次梳理证明过程，证明ｆ（ｘ）ȡｇ（ｘ）⇔ｆ（ｘ）－ｇ（ｘ）ȡ０，通过作差法构造φ（ｘ）＝ｆ（ｘ）－ｇ（ｘ），利用导数研究φ（ｘ）的单调性和最值，从而证得ｆ（ｘ）－ｇ（ｘ）ȡ０．问题３．１㊀对于类似不等式的证明，是否只能通过作差法来构造函数？学生１：可以用作商法构造函数．学生２：还可以用换元法构造函数．学生３：还可以用对数法构造函数．教师：非常好！根据不等式本身的结构特点，我们可以构造一个新的函数，通过研究该函数的性质证明不等式．设计意图㊀通过一道典型不等式的证明题，一方面温故知新，夯实基础，另一方面通过师生互动总结出构造函数法是证明不等式的基本方法，落实本堂课的教学目标．问题４㊀接下来我们回到原来的图像，两个函数图像都经过同一点（１，０），函数ｙ＝ｌｎｘ在点（１，０）处的切线的方程是什么？同学们是否能发现其中的不等关系？（如图２所示）图２学生４：切线方程为ｙ＝ｘ－１，且由图可知，直线ｙ＝ｘ－１的图像恒在ｙ＝ｌｎｘ图像的上方，可知，ｌｎｘɤｘ－１．追问１：你会如何证明这个不等式呢？学生４：通过构造函数法不难证得．追问２：请同学们思考，如何用这个结论再次证明不等式１－１ｘɤｌｎｘ？学生５：用换元法，对于不等式ｌｎｘɤｘ－１，令ｘ＝１ｔ，得到ｌｎ１ｔɤ１ｔ－１，通过化简即可得１－１ｘɤｌｎｘ．教师：回答得非常好！我们可以通过对这个重要不等式ｌｎｘɤｘ－１进行适当换元，从而得到形形色色的不等式，这也正是对数不等式的 万花筒 特性．设计意图㊀通过比较函数图像，培养学生的直观想象能力，初步培养学生对超越函数进行切线放缩的意识，同时巩固用导数证明不等式的方法．４．３㊀推波助澜㊀升华课堂问题５㊀我们再次回到对数函数ｙ＝ｌｎｘ上，它的反函数为指数函数ｙ＝ｅｘ，可知它们的图像关于直线ｙ＝ｘ对称，请同学们观察它们有怎样的不等关系．师生活动㊀学生观察，集体回答，有ｅｘ＞ｌｎｘ，ｘ＞０．问题５．１㊀如果加大难度，将函数ｙ＝ｅｘ的图像向右平移两个单位长度，得到ｙ＝ｅｘ－２的图像，ｙ＝ｅｘ－２与ｙ＝ｌｎｘ又有怎样的不等关系呢？学生６：从图像的角度，不难看出ｅｘ－２＞ｌｎｘ，但是如何严谨地证明它，我还要再想想．问题５．２㊀请同学们来谈谈，要证明这个不等式：ｅｘ－２＞ｌｎｘ，我们有哪些方法？学生７：可以通过作差法构造函数．学生８：可以通过切线放缩，由ｅｘȡｘ－１，ｌｎｘɤｘ－１，不难得到ｅｘ－２＞ｌｎｘ．教师：都非常有想法！设计意图㊀从同一个对数函数ｙ＝ｌｎｘ入手，引入它的反函数ｙ＝ｅｘ，再从学生的原有知识基础入手，让学生亲历动态的变化过程，将学生的思维引向深处，引发其基于问题的思考，为后续的动手演练打下伏笔．问题６㊀基于刚才的思考，同学们是否可以写出严格的证明过程？请动手操作．师生活动㊀全班同学动笔证明，教师请一位学生上台板演证明过程．学生７：设ｆ（ｘ）＝ｅｘ－２－ｌｎｘ，ｘ＞０，那么ｆᶄ（ｘ）＝ｅｘ－２－１ｘ，易知ｆᶄ（ｘ）为（０，＋ɕ）上的单调递增函数，且ｆᶄ（１）＝１ｅ－１＜０，ｆᶄ（２）＝１－１２＞０，则存在唯一的ｘ０ɪ（１，２），使得ｆᶄ（ｘ０）＝０，即ｅｘ０－２＝１ｘ０．当ｘɪ（０，ｘ０）时，ｆᶄ（ｘ）＜０，即ｆ（ｘ）在（０，ｘ０）上单调递减；当ｘɪ（ｘ０，＋ɕ）时，ｆᶄ（ｘ）＞０，即ｆ（ｘ）在（ｘ０，＋ɕ）上单调递增．在ｘ０ɪ（１，２）时，ｆ（ｘ）ȡｆ（ｘ０）＝１ｘ０－ｌｎｘ０ɪ１２－ｌｎ２，１()老师，我进行不下去了！教师：请先回到自己的座位．同学们，让我们一起来找找问题出在哪里了．学生９：１２－ｌｎ２ʈ－０．１９３＜０，无法说明最小值ｆ（ｘ０）＞０．追问１：为什么会出现这个情况呢？学生９：隐零点ｘ０的范围（１，２）找得太大了．追问２：有什么办法可以改进范围？学生１０：可以用二分法缩小隐零点的范围，ｆᶄ３２()＝ｅ－１２－２３＝１ｅ－１３２＜０，则尝试ｆᶄ５３()＝ｅ－１３－３５＝１ｅ１３－１５３＞０，且ｆᶄ（１）＜０，则ｘ０ɪ１，５３()，而３５－ｌｎ５３ʈ０．０９＞０，从而１ｘ０－ｌｎｘ０ɪ３５－ｌｎ５３，１()＞０．教师：请同学们在学生７的基础上改进他的证法．学生１１：可以不缩小隐零点的范围，我们只需用 指对变换 ，对于唯一的ｘ０ɪ（１，２），使得ｆᶄ（ｘ０）＝０，即ｅｘ０－２＝１ｘ０㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０２２ ２０且ｘ０－２＝－ｌｎｘ０，则ｆ（ｘ）ȡｆ（ｘ０）＝１ｘ０＋ｘ０－２＞０，从而ｅｘ－２＞ｌｎｘ，ｘ＞０，不等式得证．教师：回答得非常棒！设计意图㊀让学生用构造函数法这一基本方法来证明这个不等式，牵引出隐零点的相关知识，让学生体会隐零点灵活多变的用法，同时渗透二分法来改进问题．本环节通过不断追问将问题层层递进，推向高潮，也实现了知识间的融会贯通．问题７㊀同学们是否可以从切线放缩的角度给出严谨的证明呢？师生活动㊀全班学生动笔证明，教师请一位学生上台板演证明过程．学生８：设ｇ（ｘ）＝ｅｘ－２－ｘ＋１，ｘ＞０，那么ｇᶄ（ｘ）＝ｅｘ－２－１，当ｘɪ（０，２）时，ｇᶄ（ｘ）＜０，即ｇ（ｘ）在（０，２）上单调递减；当ｘɪ（２，＋ɕ）时，ｇᶄ（ｘ）＞０，即ｇ（ｘ）在（２，＋ɕ）上单调递增，则ｇ（ｘ）ȡｇ（２）＝０，当且仅当ｘ＝２时，等号成立，从而ｅｘ－２ȡｘ－１．设φ（ｘ）＝ｌｎｘ－ｘ＋１，ｘ＞０，那么φᶄ（ｘ）＝１ｘ－１＝１－ｘｘ，当ｘɪ（０，１）时，φᶄ（ｘ）＞０，即φ（ｘ）在（０，１）上单调递增；当ｘɪ（１，＋ɕ）时，φᶄ（ｘ）＜０，即φ（ｘ）在（１，＋ɕ）上单调递减，则φ（ｘ）ɤφ（１）＝０，当且仅当ｘ＝１时，等号成立，从而ｘ－１ȡｌｎｘ．得到不等式组ｌｎｘɤｘ－１ɤｅｘ－２，由于等号不同时取得，从而证得ｅｘ－２＞ｌｎｘ，ｘ＞０．设计意图㊀要证明ｆ（ｘ）ȡｇ（ｘ），可以观察不等式的结构特征，通过构造函数法来证明；也可以通过寻找一个简单的过渡函数φ（ｘ），通过证明不等式组ｆ（ｘ）ȡφ（ｘ）ȡｇ（ｘ），从而证得ｆ（ｘ）ȡｇ（ｘ）．尤其是当两个超越函数同时出现时，更需要对不等式进行转化，来降低做题的难度，这一方法实则是切线放缩的思想．４．４㊀大道至简㊀小结课堂一个主题：用导数证明不等式．两种方法：构造函数法和放缩法．一类思想：数形结合思想．４．５㊀回归本质㊀检测课堂１．已知函数ｆ（ｘ）＝１２ｘ２＋ｌｎｘ，求证：在区间（１，＋ɕ）上，函数ｆ（ｘ）的图像在函数ｇ（ｘ）＝２３ｘ３的图像的下方．２．设函数ｆ（ｘ）＝ａｅｘｌｎｘ＋ｂｅｘ－１ｘ，曲线ｙ＝ｆ（ｘ）在点（１，ｆ（１））处的切线方程为ｙ＝ｅ（ｘ－１）＋２．（１）求ａ，ｂ；（２）证明：ｆ（ｘ）＞１．３．已知函数ｆ（ｘ）＝ａｅｘ－ｌｎｘ－１．（１）设ｘ＝２是ｆ（ｘ）的极值点，求ａ，并求ｆ（ｘ）的单调区间；（２）证明：当ａȡ１ｅ时，ｆ（ｘ）ȡ０．５㊀教学反思利用问题驱动数学教学，是指教师需要深入挖掘知识背后的深刻问题，结合学生实际，创设真实高效的问题情境，将问题融入情境让学生在探究活动中自然生成概念㊁性质㊁法则等，并获得相应的思想与方法．５．１㊀立足学生的问题设计问题是数学的心脏，立足于学生主体的问题设计，更能起到画龙点睛的作用．我们知道，学生是课堂的主体，问题的设置和推进应贴近学生的客观实际．在宝贵的课堂时间内，教师立足于学生主体的恰到好处的提问既是提高课堂效率㊁增强学生注意力的有效方法之一，也是激发学生思维㊁加速问题解决的催化剂．因此，教师在备课时要根据学生的实际情况来设计问题串，并因材施教，这样才能实现课堂效能最大化．５．２㊀立足学生的教学设计５．２．１㊀遵循课堂限定的教学目标教学目标是课堂教学活动的根本，只有制定合理的教学目标，才能有序开展教学活动．教师应以课堂教学目标为指导，根据学生已有的知识基础，精心设计问题串，通过阶梯式的提问，循循善诱，让学生在思考中解决问题，在解决问题中实现教学目标的顺利达成．５．２．２㊀采撷课堂中的闪光点数学课堂应该是灵动的．在课堂教学中，处处都会碰撞出思维的火花，时时都可能有学生的奇思妙想，这或许是与原本的问题设计不一致的．此时，教师应敏锐地捕捉学生思维的闪光点，将它变为打开学生思维枷锁的钥匙．６㊀结束语‘麦肯锡教我的思考武器：从逻辑思考到真正解决问题“一书中写道： 用有力的思考去解决工作当中的真正的问题． 我们倡导以问题驱动学生的学习，其实质就是让问题为学习提供源动力，引发学生真思考㊁真探索㊁真研究，从而促使学生深度学习的发生，让学生的核心素养得以生成．问题驱动让学习 基于问题㊁为了问题㊁在问题中 ．通过这堂课，笔者认识到：问题驱动教学法对教师提出了更高要求，教师必须具备较强的课堂掌控能力，课前，教师既要了解学科的知识特点，也要关注学生现有的认知水平，提出针对性的问题；课堂上，教师要关注学生自主学习㊁合作探究㊁讨论交流等活动；课后，教师要予以恰当评价，着眼长远，关注能力，重视品格，聚焦素养．如此，问题驱动教学法才能真正成为推动高效课堂生成的有力抓手．ʌ参考文献ɔ［１］丁称兴．知识与方法并举㊀规范与实效齐抓：高三数学一轮复习的几点建议［Ｊ］．数学教学研究，２０１５（９）．［２］罗鸿斌．打开思维异度空间㊀培养创新解题能力［Ｊ］．数学教学通讯，２０１３（４）．［３］王春．浅析平面向量数量积问题的常用处理方法［Ｊ］．福建中学数学，２０１４（５）．［４］曹广福．问题驱动的中学数学课堂教学［Ｍ］．北京：清华大学出版社，２０１８．。
中国教育学会2018年度优秀课堂教学展示与观摩活动 高中数学不等式的性质教学设计
3.1不等关系与不等式（2）——不等式的性质（普通高中课程标准实验教科书数学人教A版·必修5）一．教学内容解析本节内容为《普通高中课程标准实验教科书数学人教A版·必修5》第三章《不等式》第一节《不等式与不等关系》的第二课时.第一课时，学生感受到了现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，会用不等式（组）来表示不等关系.本节课研究的不等式的性质，是解不等式、不等式的应用和不等式证明的理论依据，在本章中具有核心地位.本节课也是对初中不等式学习的延续和拓展，是实数理论的进一步发展.在本节课的学习过程中将让学生了解不等式的一些基本性质并能给出严格的理论证明，能用不等式的基本性质进行一些简单的不等式证明，进而更深一层次地从理性角度建立不等观念.为学生利用不等式更好地研究不等关系、解不等式以及对不等式的证明奠定理论基础.通过思考、交流、探究，应用观察、类比、归纳、逻辑分析，得出不等式的基本性质后，再对不等式的一些基本性质给出严格的理论证明，并用不等式的基本性质进行一些简单的不等式证明，进而更深一层次地从理性角度建立不等观念.这是学习本节课的目的也是本节课的内容安排在本章的地位与作用.课外作业安排了一些简单的，学生易于处理的问题，用意在于让学生注意对数学知识和方法的应用，同时也能激发学生的学习兴趣，并进一步让学生体会研究不等式基本性质的必要性.二．教学目标1.理解不等式的性质；2.会用不等式的性质证明简单的不等式；3.通过学生分组探究活动，类比等式的性质，猜想不等式的性质.培养类比、分析、归纳能力.三．学生学情分析昆明滇池中学地处昆明市主城区，是云南省一级完全中学，高中录取分数在昆明市一级学校中处于中游水平.学生大多来自昆明市市区，接触面较广，个性较活跃，数学基础的差异不大，所以可以采用启发、讨论、参与的教学方式和自主、合作、探究的学习方式.但学生缺乏自主合作探究的经验，学生学习的自主性、主动性不够，学习有依赖性，自主研究学习的信心不足.所以需要教师精心设计，做好准备工作.四．教学重点1.不等式的性质；2.初步会用不等式的性质证明简单的不等式．五．教学难点1.类比等式的性质，猜想归纳不等式的性质；2.初步理解并证明不等式的性质.六．教学策略分析本节课采取启发、讨论、参与的教学方式，积极引导学生自主提出问题，猜想“不等式的性质”.培养学生发现问题、提出问题的能力.通过自主、合作、探究的学习方式，放手让学生尝试去猜想归纳不等式的性质，教师不过早地干预他们的研究.各自研究，上讲台交流，把研究结果实物投影.向学生要他们活动背后的思维过程.把新知识、方法与已经学知识和方法建立有机联系，使得新知识“长根”——有源.探索等式、不等式的共性，归纳出等式性质、不等式性质的研究思路和思想方法，猜想不等式的基本性质，并给出证明.最后利用不等式的基本性质来证明一些简单的不等式.提高学生对“运算”在代数学中作为核心概念地位的认识，提升学生的数学运算、逻辑推理素养.七．教学条件PPT课件、多媒体投影和实物投影.八．教学过程设计0a b \->，0c a \>当时，(ac bc \>0,1ab ab c c a b\>\>c c a b\>板书设计第一版第二版第三版0a>-时，(ac bc>0a<-时，(ac bc<1aaba \?“不等式的性质”的点评本节课的教学设计是：在复习不等式的概念后提出研究问题，接下来该研究什么？为什么要研究这个问题？在教师的启发、引导下，学生议论后，明确本节课研究的课题是“不等式的性质”.对于一个数学对象，明确了其意义后，接下来应该研究它的性质.这是数学研究问题的方法.学生分组自主研究不等式的性质，教师放手让学生尝试去完成这个任务.在教师启发下，学生通过类比等式的性质猜想不等式的性质.然后由学习小组选代表汇报、交流.教师再展示等式的性质，学生类比猜想出不等式的性质，完善之前学生自主探究的结果.并结合实数的运算性质作差法对不等式的性质进行了论证.最后利用不等式的性质来证明一些简单的不等式.（1）从总体看，本节课的教学活动设计，采取启发、讨论、参与的教学方式，积极引导学生自主提出问题，培养学生发现问题、提出问题的能力.学生分组探究活动，类比等式的性质，猜想不等式的性质.培养学生类比、分析、归纳能力.（2）从教学设计的角度，任课教师将学习任务与教学内容很好地整合在一起，内容的设计一方面放在了学生的“最近发展区”内，是学生感兴趣的内容；另一方面，该项学习任务又有一定的开放性和挑战性，体现了新课程的理念，一切为了学生的发展.（3）从教学实施的角度，学生成为课堂教学的主体，而教师又体现了主导作用.学生分组自主研究，热烈讨论，类比等式的性质猜想出不等式的性质，再归纳总结完善各小组自主探究的结果.教学活动很好地体现了新课程的理念，不仅取得了很好的课堂教学效果，而且让学生学会了如何学习.第二。
融入生活实践 还原数学本质——以“一元一次不等式组”课堂教学为例
学生培养２０２４年１月下半月㊀㊀㊀融入生活实践㊀还原数学本质以 一元一次不等式组 课堂教学为例◉山东省淄博市淄博大学城实验中学㊀张子翼㊀张苍燕㊀㊀摘要:一元一次不等式组 是学习了一元一次不等式解法之后的内容．由于一元一次不等式解法的纯理论性,如果按照相同的方法继续展开 一元一次不等式组 的学习,学习过程会显得枯燥无味,课堂教学效果可想而知．为了打破传统的教学模式,本文中给出了大胆的设计,创建了以实践为探究核心的教学方式,从课前导学式实践过程出发,让学生在课堂教学过程中经历开放式的选择体验,实现思维式的实践方法和反思式的实践途径．关键词:生活实践;一元一次不等式;课堂教学㊀㊀随着社会的发展,教育也在不断前行．初中数学课堂教学融入生活中的实践越来越凸显出来．这是对传统教学模式的一场革命,以教师主讲㊁学生被动接受知识的灌输式的方法已经成为教育时空中的历史[１]．然而,在现行的课程标准提出的以学生为主体㊁培养学生的自主学习能力和创新能力指导思想下,如何转变传统教学的思维方式去与时代接轨呢初中数学课堂教学又何去何从基于此,笔者以 一元一次不等式组 课堂教学为例,谈谈融入生活实践㊁还原数学本质这个话题,与各位同仁交流,旨在与时代同步㊁与社会同行．１将传统课后感知式实践转化为课前导学式实践过程㊀㊀数学的知识体系属于一种自然科学的范畴,是人们从大量的生活实际中总结归纳出的结晶．因此,实践活动是初中生由感性认识转化为发现数学本质的重要途径．但对所学数学知识的实践活动,教师往往倾向于在接纳新知之后再布置给学生去完成,仿佛是可以通过学以致用来内化所学的知识．笔者认为,假如在新知接纳之前让学生自主探究实践,则能使学生对新知形成表象,同时能通过实践活动积累丰富的知识技能等经验[２]．如,对于苏科版七年级下册的 一元一次不等式组 的教学,笔者先去超市调查水果的单价,把家长给１００元钱让学生去超市购买几样不同的水果作为课前感知的实践活动,设计了这样的课前实践导学案:(１)若你用１００元钱去超市购买苹果㊁梨和橘子三种水果,你需要预先知道哪些数据?(２)当你知道了这些数据后,怎样确定用１００元钱所购买的苹果㊁梨和橘子的质量?创设目的:课前让学生利用已经学习的一元一次不等式的知识去超市购买三种水果,设计选择水果的方案,积累建立一元一次不等式组的经验．在实践过程中,学生也会发现一些新问题 购买的水果是按质量最大㊁还是个数最多㊁还是符合家人的口味等,引导学生认识一元一次不等式组解决生活中的实际问题的重要性．２将单一选择实践转化为开放式的选择体验课堂实践活动内容是相同的,而学生的活动过程可以是不同的,但最终归纳出的数学知识又是相同的．这就意味着活动方案的设计是开放式的,最终得到了异曲同工之妙．如,在 一元一次不等式组 的课堂教学过程中,笔者创设了如下实践活动情境．在上节课结束后要求每一个学生准备十根不同长度的小棍棒(如木筷㊁竹签等),在本节课课题引入环节要求学生先取出两根小棍棒测量其长度,然后思考:取出第三根小棍棒,用这两根小棍棒与第三根组成三角形支撑框架,试确定第三根小棍棒的长度．创设目的:因为要求学生准备的是十根不同长度的小棍棒,取出了两根之后还余下有八根小棍棒,很多学生会将余下的八根小棍棒与先取出的两根一一尝试组成三角形支撑框架,将能够组成三角形的第三根长度测量出来．学生通过实践活动发现,第三根小棍棒的长度有多种结果．为什么会出现这种情况通过引导即可得出本节课的新概念一元一次不等式组．其中,要求每个学生准备十根不同长度的小棍棒,是为了制造麻烦让学生花费较长时间去完成活动任务,让学生在有限的时间内探究出三角形第三边长度２５２０２４年１月下半月㊀学生培养㊀㊀㊀㊀的特征,从而潜移默化地渗透了本堂课的重难点,实现了数学实践的真正意义．假若在课堂上分发相同的实践材料,虽然便于操作实践的有效展开,但是很多学生会借助别人的成果而不愿意动手实践．因此,单一化的选择会使学生渐渐失去独立思考的能力,而开放式的探究材料能更好地让学生设计实践活动方案,拓展思路,提升对新知识的辨析能力．３将动手式的实践转化为思维式的实践方法很多人以为课堂实践活动就是一种动手的过程,其实不然,仅仅简单的动手活动是不能够获取数学理论知识的,还需要有一定的逻辑思考过程．而初中生的推理能力还处于萌芽状态,因此需要在课堂教学中去开发㊁拓展．如,在 一元一次不等式组 的课堂教学中,学生总结出三角形的第三边与另外两边的关系就是一个实践活动的反思过程,应该属于实践活动的范畴,可以说是实践活动的提升过程．教师可以将某学生前面实践活动的结果以投影的形式展示出来(表１中的数据是笔者假定的一组结果)．表１单位:c m测量出来的长度先取出的两根小棍棒８,４第三根小棍棒１０,１５,４,６,５,３,７,１２㊀㊀该学生发现能够组成三角形的第三根长度分别为１０c m,６c m,５c m,７c m四种情况．提出问题:为什么１５c m,４c m,３c m,１２c m四种情况不能与先取出的两根小棍棒组成三角形呢?假如还有两根长度分别是９c m和３．５c m的小棍棒,能否与先取出的两根小棍棒组成三角形?当然,其他学生没必要再去实践该学生的过程,因为学生在探究过程中就已经在思考探寻其中的数学规律: 三角形两边的和大于第三边,三角形两边的差小于第三边． 应用这一数学规律,就会找到第三根小棍棒长度l的范围,即８＋４＞l＞８－４．因此,１５c m,４c m,３c m,１２c m均不在这个范围之中;在新给出的小棍棒中也只有９c m在这个范围内,是可以组成三角形的．所以说,思维推理的过程也是实践活动的重要组成部分．４将直观式的实践转化为反思式的实践途径学生在课堂实践活动中多是采用有形的探究．结合几何图形分析规律是一种由表象特征去寻找问题本质的过程,需要学生在探究过程中不断发现问题㊁解决问题,这也是一种判断性的反思过程．例如,给出一元一次不等式组的概念后,学生对 组 这个概念的理解,在笔者假定的某学生先取出两根小棍棒为８c m和４c m时,假设第三根长度为x c m,则有１２＞x＞４或４＜x＜１２等表达形式,它们都属于一元一次不等式组．而一元一次不等式组的解是一个范围,可以借助数轴表示出来(如图１)．图１这些并不能作为实际问题中组成三角形的第三根小棍棒长度的解,第三根小棍棒长度是在这个范围之中,１０c m,６c m,５c m,７c m这四种情况才是它的解．学生在教师的引领下,学会建立数学模型,认识一元一次不等式组的表示形式㊁一元一次不等式组解的表示形式以及实际问题中的解与一元一次不等式组的解的关系．所有这些新的数学概念的生成都需要学生在辨析过程中不断地去甄别㊁反思[３]．因此,课堂实践活动可以是多角度㊁多层面的:可以是通过一些比较有趣的实践活动来理解㊁记住一些数学概念或定理;也可以是通过实践活动去发掘某些数学规律,掌握数学探究的方法过程;还可以是利用一些比较常见的事物来建构一些数学模型等．这充分说明了开展课堂实践活动是数学学习中非常有效的途径之一[４]．总之,初中数学课堂中融入生活实践活动是为了更好地 学 ．作为教师,只有将传统课后感知式实践转化为课前导学式实践过程,将单一选择实践转化为开放式的选择体验,将动手式的实践转化为思维式的实践方法,将直观式的实践转化为反思式的实践途径,才会还原实践的本质,才能真正实现实践的意义．这样我们的课堂教学才是参与者的思想优化过程,才能做到融入生活实践,还原数学本质．参考文献:[１]许加伟．还原数学本质,灵动数学课堂 浅谈数学生活中的素质培养[J]．数学大世界(上旬),２０１９(８):５９．[２]李生华．生活实际融入初中数学教学的实践与反思 以垃圾分类问题为例[J]．福建中学数学,２０１８(４):２６Ｇ２８．[３]浦叙德．初中数学单元教学的实践与思考 以苏科版 一元一次不等式 章首课为例[J]．中学数学月刊,２０２０(３):１Ｇ３．[４]桑春国．教研引领课堂建模 以 用一元一次不等式解决问题 教学为例[J]．中学数学,２０２２(１８):２４Ｇ２５．Z３５。
山东省滨州市高三数学教学研讨会专题-不等式
《第2单元不等式》复习意见《第2单元不等式》复习意见一、本部分在高考中的地位和作用1、考纲要求了解日常生活中的不等关系，了解不等式的有关概念及其分类，掌握不等式的性质及其应用；明确各个性质中结论成立的前提条件。
会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型；通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系；会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图。
了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组；了解线性规划的意义并会简单应用。
掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单应用。
掌握用比较法、分析法、综合法证明简单的不等式。
2、在高考中的地位不等关系与不等式的性质是不等式的理论基础，是证明不等式和求解不等式的主要依据，也是高考的重要内容，在高考中一般不单独命题，而是以其他知识（如函数、集合、充要条件等）为载体进行考查，主要体现它的基础性和工具性。
若直接考查，则常以选择题和填空题形式出现。
一元二次不等式也是高考重点考查的知识点之一，它的应用范围几乎涉及到高中数学的所有章节，且常考常新，在选择题、填空题、解答题中都有可能出现。
线性规划问题的考查主要以选择题和填空题为主，利用基本不等式求函数的最值、证明不等式、比较大小、求代数式的取值范围等问题是该部分重点，也是高考考查的重点，题型多种多样，涉及面广。
二、近三年部分省市高考试题统计分析三、典型高考试题分析例1、（08山东，12）设二元一次不等式组2190802140x y x y x y ⎧+-⎪-+⎨⎪+-⎩，，≥≥≤所表示的平面区域为M ，使函数(01)xy a a a =>≠，的图象过区域M 的a 的取值范围是（ C ）A ．[13]，B ．[2C ．[29]，D ．例2、（08山东，16）若不等式34x b -<的解集中的整数有且仅有123，，， 则b 的取值范围为 (5,7) ．例3、（2008湖北文科）如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏的面积之和为18000cm 2,四周空白的宽度为10cm ，两栏之间的中缝空白的宽度为5cm ，怎样确定广告的高与宽的尺寸（单位：cm ），能使矩形广告面积最小？ 解：解法1：设矩形栏目的高为a cm ，宽为b cm ，则ab =9000. ①广告的高为a +20，宽为2b +25，其中a ＞0，b ＞0. 广告的面积S ＝(a +20)(2b +25)＝2ab +40b +25a +500＝18500+25a +40b≥18500+2b a 4025∙=18500+.245001000=ab当且仅当25a ＝40b 时等号成立，此时b =a 85,代入①式得a =120，从而b =75. 即当a =120，b =75时,S 取得最小值24500.故广告的高为140 cm,宽为175 cm 时，可使广告的面积最小.解法2：设广告的高为宽分别为x cm ，y cm ，则每栏的高和宽分别为x －20，,225-y 其中x ＞20，y ＞25两栏面积之和为2(x －20)18000225=-y ,由此得y =,252018000+-x 广告的面积S =xy =x (252018000+-x )＝252018000+-x x , 整理得S =.18500)20(2520360000+-+-x x 因为x －20＞0，所以S ≥2.2450018500)20(2520360000=+-⨯-x x当且仅当)20(2520360000-=-x x 时等号成立，此时有(x －20)2＝14400(x ＞20)，解得x =140，代入y =2018000-x +25,得y ＝175， 即当x =140，y ＝175时，S 取得最小值24500，故当广告的高为140 cm ，宽为175 cm 时，可使广告的面积最小. (21) （本大题满分12分）设椭圆中心在坐标原点，A(2,0)、B(0,1)是它的两个顶点，直线)0(>=k kx y 与AB 相交于点D ，与椭圆相较于E 、F 两点. (Ⅰ)若 DF ED 6=,求k 的值； 求四边形AEBF 面积的最大值.（Ⅰ）解：依题设得椭圆的方程为2214x y +=， 直线AB EF ，的方程分别为22x y +=，(0)y kx k =>． ····································· 2分 如图，设001122()()()D x kx E x kx F x kx ，，，，，，其中12x x <，且12x x ，满足方程22(14)4k x +=， 故21x x =-=．①由6ED DF = 知01206()x x x x -=-，得021215(6)77x x x x =+==；由D 在AB 上知0022x kx +=，得0212x k=+．所以212k =+， 化简得2242560k k -+=，解得23k =或38k =． ······················································································ 6分 （Ⅱ）解法一：根据点到直线的距离公式和①式知，点E F ，到AB的距离分别为1h ==2h ==． ······················································· 9分又AB ==AEBF 的面积为121()2S AB h h =+12===≤当21k =，即当12k =时，上式取等号．所以S的最大值为 ························ 12分 解法二：由题设，1BO =，2AO =．设11y kx =，22y kx =，由①得20x >，210y y =->， 故四边形AEBF 的面积为BEF AEF S S S =+△△222x y =+ ···································································································· 9分===当222x y =时，上式取等号．所以S 的最大值为 ······································· 12分四、明年高考预测1从近几年高考题目来看，不等式的性质和解不等式问题多以一个选择题的形式出现，且多与集合、简易逻辑、函数知识相结合，难度较低；均值不等式是历年高考的重点考查内容，考查方式多样，在客观题中出现，一般只有一个选择或填空，考查直接，难度较低；在解答题中出现，其应用范围几乎涉及高中数学的所有章节，且常考常新，难度较高。
必修5第三章不等式教材分析(姚晖)
必修5第三章不等式教材分析不等量关系和等量关系都是反映客观世界中的量与量之间最基本的数学关系．本章强调把不等式作为刻画和描述现实世界中事物不等关系的一种工具，作为描述、刻画优化问题的一种数学模型．它与方程一样，都是解决数学问题的重要工具．在数学研究和解决实际问题中起着同样重要的作用．不等式在中学数学中有着广泛的应用，它与数、式、方程、函数、导数等知识有着密切的关系．例如讨论方程或方程组解的情况；研究函数的定义域、值域、单调性、最值；解决线性规划问题；讨论曲线的分布范围等都需要用到不等式的相关知识．因此，不等式在中学数学中有着重要的地位，也是进一步学习数学的基础之一．一、内容与结构（一）内容：（1）不等关系和不等式；（2）不等式的性质；（3）均值不等式；（4）一元二次不等式及其解法；（5）不等式的应用；（6）二元一次不等式（组）与简单线性规划问题．（二）结构（三）选修4-5《不等式选讲》中的内容（非高考部分）不等式的基本性质；不等式证明的基本方法；基本不等式；绝对值不等式及其解法；绝对值的三角不等式；柯西不等式；排序不等式；平均值不等式；贝努利不等式；数学归纳法等．从上述内容中不难看到，在课标中不等式的学习不是一次到位的，而是一个螺旋上升的过程．在后续的学习中，还要通过“不等式选讲”、“导数及其应用”和“推理与证明”等内容，不断推进不等式的学习．实际上，课标在必修5模块中强调了不等式作为刻画不等关系的数学模型，突出它的现实背景和实际应用，而对不等式的推理和证明要求不高．这种变化要求我们在教学上要做相应的调整，一定要把好教学的尺度．需要说明的是，尽管本章没有专门研究不等式的证明方法，但对于比较、分析、综合的方法，在教学中要有一定程度的渗透．例如，在学习不等式的性质证明时，就可以渗透比较的方法；在性质使用时，可以体会分析综合的方法；在基础不等式的使用中，带领学生再次认识分析综合的方法，最终提升对这种常用的解决问题方法的认识．在现实世界和日常生活中，不等关系大量存在。
不等式的性质与证明
[例2]已知：1≤a-b≤2，2≤a+b≤4， 求4a-2b的范围。 x+ y
x = a b a = 2 解：令 ,则 y x y = a + b b =
∴4a-2b=3x+y
2
∵1≤x≤2 2≤y≤4 ∴5≤4a-2b≤10
a + b + ab + 1 .a b 证明：（方法一） 1 2 = 2a + 2b 2 + 2 + 2ab 2a 2b 2 1 2 2 2 = (a 1) + (b 1) + (a + b ) 2
a + b + c ≥ 33 abc
1 1 1 1 3 + + ≥3 a b c abc
1 1 1 1 3 3 ∴ (a + b + c)( + + ) ≥ 3 abc 3 =9 a b c abc
又∵a+b+c=1
1 1 1 ∴ + + ≥9 a b c
（方法二） ∵ a + b + c = 1 1 1 1 1 1 1 ∴ + + = (a + b + c)( + + ) a b c a b c a+b+c a+b+c a+b+c = + + a b c b c a c a b = 1+ + + +1+ + + +1 a a b b c c b a c a c b = 3+ + + + + + a b a c b c b a c a c b ≥ 3+ 2 +2 +2 a b a c b c =9 1 1 1 ∴ + + ≥9 a b c
全国数学联赛金牌教练-高中奥数辅导：第五讲-不等式的证明
全国高中数学联赛 金牌教练员讲座兰州一中数学组第五讲 不等式的证明知识、方法、技能不等式在数学中占有重要地位，由于其证明的困难性和方法的多样性，而成为竞赛和高考的热门题型. 证明不等式就是对不等式的左右两边或条件与结论进行代数变形和化归，而变形的依据是不等式的性质，不等式的性分类罗列如下：不等式的性质：.0,0<-⇔<>-⇔≥b a b a b a b a 这是不等式的定义，也是比较法的依据. 对一个不等式进行变形的性质： （1）a b b a <⇔>（对称性） （2）c b c a b a +>+⇔>（加法保序性） （3）.0,;0,bc ac c b a bc ac c b a <⇒<>>⇒>>（4）*).(,0N n b a b a b a nn nn ∈>>⇒>>对两个以上不等式进行运算的性质.（1）c a c b b a >⇒>>,（传递性）.这是放缩法的依据. （2）.,d b c a d c b a +>+⇒>> （3）.,d b c a d c b a ->-⇒<> （4）.,,0,0bc ad dbc a cd b a >>⇒>>>> 含绝对值不等式的性质：（1）.)0(||22a x a a x a a x ≤≤-⇔≤⇔>≤ （2）.)0(||22a x a x a x a a x -≤≥⇔≥⇔>≥或（3）||||||||||||b a b a b a +≤±≤-（三角不等式）.（4）.||||||||2121n n a a a a a a +++≤+++证明不等式的常用方法有：比较法、放缩法、变量代换法、反证法、数学归纳法、构造函数方法等.当然在证题过程中，常可“由因导果”或“执果索因”.前者我们称之为综合法；后者称为分析法.综合法和分析法是解决一切数学问题的常用策略，分析问题时，我们往往用分析法，而整理结果时多用综合法，这两者并非证明不等式的特有方法，只是在不等式证明中使用得更为突出而已.此外，具体地证明一个不等式时，可能交替使用多种方法.赛题精讲例1：,0,,>c b a 求证：.6)()()(abc a c ca c b bc b a ab ≥+++++ 【略解】abc a c ca c b bc b a ab 6)()()(-+++++)()()()2()2()2(222222222≥-+-+-=-++-++-+=b a c a c b c b a ab b a c ac c a b bc c b a.6)()()(a b c a c ca c b bc b a ab ≥+++++∴【评述】（1）本题所证不等式为对称式（任意互换两个字母，不等式不变），在因式分解或配方时，往往采用轮换技巧.再如证明ca bc ab c b a ++≥++222时，可将22b a +)(ca bc ab ++-配方为])()()[(21222a c c b b a -+-+-，亦可利用,222ab b a ≥+ca a c bc c b 2,22222≥+≥+，3式相加证明.（2）本题亦可连用两次基本不等式获证.例2：0,,>c b a ，求证：.)(3c b a cb a abc c b a ++≥【思路分析】显然不等式两边为正，且是指数式，故尝试用商较法.【略解】不等式关于c b a ,,对称，不妨+∈---≥≥R c a c b b a c b a ,,,则，且cb b a ,， ca都大于等于1..1)()()()(3333333333232323≥⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅==---------------++c a c b b a b c a c c b a b c a b a b a c c a b c b a c b a cb a ca cb ba ccbbaacbaabc c b a【评述】（1）证明对称不等式时，不妨假定n 个字母的大小顺序，可方便解题.（2）本题可作如下推广：若≥=>na n aa i a a a n i a 2121),,,2,1(0则.)(2121na a a n na a a +++（3）本题还可用其他方法得证。
一道求不等式最值的解题探源
一道求不等式最值的解题探源
发表时间：2014-06-18T16:34:00.263Z 来源：《中学课程辅导*教学研究》2014年6月上供稿作者：唐荣琼[导读] 通过对一道不等式求最值的探索，不仅能够更加清晰地认识命题思想，寻找命题的背景材料，追踪索源，还可以开发试题的教学功效。
通过对本试题的探索，达到对知识更深刻的认识。
唐荣琼
摘要：通过对一道不等式求最值的探索，不仅能够更加清晰地认识命题思想，寻找命题的背景材料，追踪索源，还可以开发试题的教学功效。
通过对本试题的探索，达到对知识更深刻的认识。
关键词：不等式；最值；解题
评注这种思想方法是在对知识有相当深刻认识的基础上得到的。
看似简单，其蕴含的思想相当丰富。
通过以上八种思想的处理，我们会发现数学中的很多知识都有着千丝万缕的联系，只要我们能够更多地去探索和思考，就会对知识的产生发展过程有更加深刻的认识。
作者简介：唐荣琼，女，大学本科毕业，从事数学教学21年，有较扎实的数学功底，带过多届毕业班，教学成绩突出，是学校的骨干教
师。
作者单位：广西桂林市全州县第二中学高数组邮政编码：541500。
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3、一个含有未知数的不等式的 所有解，组 成这个不等式的解集。 4、求 不等式解集的过程 叫做解不式 。
自学检测一
1、判断下列各式中哪些是不等式，哪些不是。 （是打“√”不是打“×”） ⑴ x+1=2 （×） ⑶ x-6 （ × ） ⑸ 7＞4 （× ） ⑵ 5x-3＞1 （ √） ⑷ 11x-4≤6（ √ ） ⑹2x-y≥0 （ √）
通过这节课的学习:
我的收获是……
我还感到疑惑的是……
达标检测
合并同类项 （口答）
(1)7x + 3x 10x (2)
2x2 2 2 4x - 2x
2 3 2 3
(3) 5ab - 13b a 2 －8ab (5)3m-8x-9x
3m-17x
2
2
(4) –9x y + 5x y 2 3 －4x y
自学检测二
2、判断下列各数，哪些是不等式x+2＞4 的解。（是打“√”不是打“×”） ⑴ -1（ ） ⑵ -3（ ） ⑶ -2.5（ ） ⑷ 0（ ） ⑸ 1（ ） ⑹ 2（ ） ⑺ 3（ ） ⑻ 3.5（ ） ⑼ 4（ ）
自学检测二
3、用适当的不等式符号表示下列关系：
• a是负数； • (2) a是非负数； (3) a与b的和小于5； (4) x与2的差大于－1； (5) x的4倍不大于7； (6) y的一半不小于3．
数学来源于生活!
问题一 ：捐款结束,面对这一堆不同面值
的钱,你如何数，才快速算出总数?
人教版七年级数学(上)
2.2.1整式加减 ——合并同类项
火车站中学 梁艳荣
学习目标
1、知道什么叫做不等式，并会举例。 2、理解不等式的解的意义，能列举和 验证不等式的解。 3、能根据题义列出不等式。
自学指导：
2 2
(6) 5a +2ab-4a -4ab
a2-2ab
布置作业：
必做题：书P65 1、（3）（4）2 2ab b 4ab 5b
2 2
2
1 a 3, b 2
自学检测一
1、有八只小白兔，每只身上都标有一个单 项式，你能根据这些单项式的特征将这些小 白兔分到不同的房间里吗？
8n
6xy
5n
3ab2
2a2b -ab2
-7a2b
-3xy
小组合作
合并同类项的步骤：
1、找出同类项 用不同的线标记出各组同类项，注意每一项的符 号。 2、把同类项移在一起 用括号将同类项结合，括号间用加号连接。 3、合并同类项 系数相加,字母及字母的指数不变 。
达标检测
认真看课本P114---115页练习前面的内容。
1、什么是不等式？试举例。
2、什么是不等式的解？
3、什么是不等式的解集？如何在数轴上表示不 等式的解集。
6分钟后比一比谁学得好！
自学检测一
1、用 ＞ 或 ＜ 表示 大小 关系的式子，叫不等 式。用 ≠ 表示不等关系的式子也是不等式。
2、 我们把 使不等式成立的未知数的值 做不等式的解。 叫
请同学们做扳手腕 游戏,比比谁的力气 大!!
合 作 探 究
票价 每张票5元; 一次购票满 30 张，每张 票4元. 领队王小华 说: “我去买 票了!”
聪明的小敏急 忙 提 醒 说 :“ 王 小 华 ， 买 30 张 团体票合算！”
组织委员小方吃惊地 说: “买30张怎么会合 算？不是浪费3张吗？ 应该买27张！”