高中数学《向量的线性运算》课件2 苏教版必修4

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苏教版高中数学必修四2.2向量的线性运算ppt课件1

(5)( k l ) k l (6)k ( ) k k (7)( kl ) k ( l ) (8)1
例:设有线性方程组 a x a x a x b
11 1 12 2 1s s 1 a x a x a x b 21 1 22 2 2s s 2 an1 x1 an 2 x2 ans xs bn
b1 b 2 b n
列向量可用转置记号要把列(行)向量写成行 , 例如
b1 b2 可写成 ( b1 , b2 , , bn )T b n
称为n维列向量 .bi 称为的第i个分量.
§2.2向量及其线性运一、向量的概念算定义2 .1 数域F上的n个数a , a , , a 组成的有序数组(a , a , , a
1 2 n 1 2
n
)
称为数域F上的一个n维向量,其中ai 称为该向量的第i个分量. 一般用 , , 等希腊字母表示向量. ( a1 , a2 , , an ) 称为n维行向量.其中ai 称为向量的第i个分量;
a1 j a2 j 都是n维行向量, 每一列 ( j 1, 2, , m )都是m维列向量. a mj
a11 a21 A a m1
a12 a22 am 2

a1n a2 n 中的每一行 ( ai1 , ai 2 , , ain )( i 1, 2, , m ) amn
定义2.6(实n维向量空间)
定义所有n维实向量的集合记为R n , 我们称Rn为实n维向量空间, 它是指在Rn中定义了加法及数乘这两种运算, 并且这两种运算满足以下8条规律 :

2.2平面向量的概念与线性运算备课与复习课件(苏教版必修四)

• (4)向量有起点、终点、方向；而线段都没有，只有端点． • (5)两个向量平行的充要条件： • 若a与b不共线且λa＝μb，则λ＝μ＝0.若a与b 是两个非零向量，则它们共线的充要条件是存在两个均不是零的实数λ、μ，使λa＋μb＝0.
• 应特别注意非零条件的限制，要注意向量平行与直线平行的区别，向量平行包括基线重合的情形．
→ ＋ OC → ＝2 OG → ，∴G为BD的中点，∴四边形＝a＋c＝ OA ABCD的两对角线互相平分，∴四边形ABCD为平行四边形． → ＝OB → －OA → ＝b－a，解法二：AB → ＝OD → －OC → ＝d－c＝－(b－a)＝－AB →， CD ∴AB綊CD，∴四边形ABCD为平行四边形．
②运算性质： a＋b＝b＋a(交换律)； (a＋b)＋c＝a＋(b＋c)(结合律)； a＋0＝0＋a＝a. ③加法的几何意义：从法则可以看出，如下图所示 (2)减法 ①三角形法则：已知向量a，b，在平面上任取一点O， → ＝a，OB → ＝b，则BA → ＝a－b. 作OA ②减去一个向量等于加上这个向量的相反向量．
②运算性质： a＋b＝b＋a(交换律)； (a＋b)＋c＝a＋(b＋c)(结合律)； a＋0＝0＋a＝a. ③加法的几何意义：从法则可以看出，如下图所示 (2)减法 ①三角形法则：已知向量a，b，在平面上任取一点O， → ＝a，OB → ＝b，则BA → ＝a－b. 作OA ②减去一个向量等于加上这个向量的相反向量．
→ 叫做点A相对于点O的相对于O的位置被a唯一确定， OA 位置向量．
2．向量的加法和减法 (1)加法 ①法则三角形法则：已知向量a、b，在平面上任取一点A，作 → ＝a，BC → ＝b，则AC → ＝a＋b叫做a与b的和． AB 平行四边形法则：已知向量a、b，在平面上任取一点 → ＝a， AD → ＝b，以AB，AD为邻边作平行四边形 A，作 AB → ＝a＋b为向量a与b的和． ABCD，则AC 多个向量和的多边形法则．

高中数学必修四 2.2《平面向量的线性运算》课件

对于向量a（a≠0）和b，若存在实数 λ，使b=λa，则向量a与b的方向有什么关系？
若向量a（a≠0）与b共线，则一定存在实数λ，使b=λa成立吗？
综上可得向量共线定理：向量a（a≠0）与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b=λa. 若a＝0，上述定理成立吗？
若存在实数λ，使 AB BC，则A、B、 C三点的位置关系如何？
探究四:向量的数乘运算性质
你认为－2×（5a），2a＋2b， (3 2)a可分别转化为什么运算？
-2× (5a)= -10a ；
2a ＋ 2b = 2(a+b)；
(3＋ 2 )a =3a＋ 2 a.
一般地，设λ，μ为实数，则λ(μa)， (λ＋μ) a，λ(a＋b)分别等于什么？
λ(μa)=(λμ) a ； (λ＋μ) a =λa ＋μa； λ(a＋ b)=λa＋λb.
1.实数与向量可以相乘，其积仍是向量，但实数与向量不能相加、相减.实数除以向量没有意义，向量除以非零实数就是数乘向量.
2.若λa=0，则可能有λ=0，也可能有 a=0. 3.向量的数乘运算律，不是规定，而是可以证明的结论.向量共线定理是平面几何中证明三点共线，直线平行，线段数量关系的理论依据.
作业： P90练习：3，4，5，6.
2
设a为非零向量，那么 a和 a3还是向2 量吗？它们分别与向量a有什么关系？
a
2
2a
3a
一般地，我们规定：实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘. 记作λa，该向量的长度与方向与向量a 有什么关系？
（1）|λa|=|λ||a|；
（2）λ>0时,λa与a方向相同； λ<0时,λa与a方向相反； λ=0时,λa =0.

苏教版高中数学必修四课件：2.2 向量的线性运算—向量的数乘1

b
解： a a 2a
b b 3b
-3b
方法一：
3b
方法二：
2a
2a–3b
-3b
2a–3b
2aHale Waihona Puke 10实数乘法的运算律：
·
1、交换律： ab = ba
2、结合律：a·（bc）=（ab）·c = b（·ac） 3、分配律： a·（b+c）= ab + ac
想一想：实数乘法的运算律在向量数乘中是否适用？
11
3b
c)
(3a
2b
c)
a 5b 2c
13
学以致用
牛刀小试：
1、下面四个命题中不正确的是__D___.
(A)对于实数m和向量a、b,恒有m(a-b)=ma-mb (B)对于实数m、n和向量a,恒有(m-n)a=ma-na (C)若ma=mb(m R,m ≠ 0)，则a=b (D)若ma=na (m,n R)，则m=n
求 4a - 3b 。（用e1 ，e2表示）
解:4a-3b= 4(e1 + e2)-3( 3e1 - 5e2 )
= 4e1 + 4e2 - 9e1 +15e2 = e1(4 - 9)+ e2(4 +15) = -5e1 +19e2
16
学以致用
跳一跳摘到桃子
2、设x，y 是未知向量，a，b是已知向量，解下列方程（组）.
14
学以致用
牛刀小试： 2、计算：
（1）3(a-b)-2(a+2b)=_a_-_7_b
（2）2(2a+6b-3c)-3(-3a+4b-2c)=_1_3_a_
注:（1）它们的结果都是一个向量；

苏教版必修四2.2《向量的线性运算》ppt课件1

a21x1
a22 x2 a2s xs
b2
an1x1 an2 x2 ans xs bn
若令
(2.7)
a11
a12
a1s
b1
1
a21
, 2
a22
,,s
a2s
,
b2
an1
an2
ans
bn
则方程组可表示为向量形式:
x11 x22 xss
§2.2向量及其线性运算
一、向量的概念
定义2.1 数域F上的n个数a1, a2 , , an组成的有序数组(a1, a2 , , an )
称为数域F上的一个n维向量,其中ai称为该向量的第i个分量.
一般用 , , 等希腊字母表示向量. (a1, a2,, an) 称为n维行向量.其中ai称为向量的第i个分量;
零向量 O (0,0,,0)
负向量
的负向量, 记为 , 即 (a1,a2 ,,an ).
定义2.4(向量的加法) (a1 b1, a2 b2 , , an bn ). 定义2.5(数与向量的乘法) k (ka1, ka2 , , kan ).
定义2.6(实n维向量空间)
定义所有n维实向量的集合记为Rn ,我们称Rn为实n维向量空间,它是指在Rn中定义了加法及数乘这两种运算,并且这两种运算满足以下8条规律 :
设 , , 都是n维向量, k, l为实数.
(1) (2) ( ) ( ) (3) o (4) ( ) o
(5)(k l) k l (6)k( ) k k (7)(kl) k(l ) (8)1
例:设有线性方程组
a11x1 a12 x2 a1s xs b1
定义2.7 设V 是R n的一个非空子集,如果满足

高中数学第2章平面向量 2.2 向量的线性运算知识导航苏教版必修4(2021年整理)

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2。

2 向量的线性运算知识梳理一、向量加法1。

定义:如图2-2—1，在平面内任取一点A,作AB=a,BC=b，则向量AC叫做向量a与b的和，记作a+b，即a+b=AB+BC=AC.图2—2-1求两个向量和的运算，叫做向量的加法。

对于零向量与任意向量a，仍然有a+0=0+a=a。

2。

运算律(1)交换律：a+b=b+a。

（2）结合律：（a+b)+c=a+（b+c).二、向量减法与a长度相等且方向相反的向量，叫做a的相反向量,记作-a。

定义：求两个向量差的运算叫做向量的减法:a—b=a+(-b)，即向量a减去向量b相当于加上向量b的相反向量-b.三、向量数乘1。

定义：一般地,实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa，它的长度与方向规定如下:（1）|λa｜=｜λ｜｜a｜;(2)当λ>0时，λa的方向与a的方向相同，当λ〈0时，λa的方向与a的方向相反；(3）当λ=0时,λa=0。

2.运算律设λ、μ是实数,则有:(1)λ(μa）=(λμ)a;（结合律）(2）（λ+μ）a=λa+μa;(第一分配律)(3）λ(a+b)=λa+λb。

（第二分配律）知识导学数能进行运算，向量是否也能进行运算呢?要学好本节内容，从数的加法启发我们，借助于物理中位移的合成、力的合成来理解向量的加法,从而顺理成章地接受向量的加法定义。

苏教版高中数学必修四课件：2.2 向量的线性运算—向量的加法—五四杯

ab ba
Ab
C
a a+b b + aa
O
bB
基本运算法则:
向量的加法满足:结合律
(a b) c a (b c)
a （b c） D
（a b） c
c
bc
C A
ab
a
b
B
概念应用
课堂练习:(看图填写)
(1)c d
(2)a b d
(3)c d e
g
课堂练习:(不看图填写)
问题探究
已知两个向量 a和 b
a
如何作出它们的和向量?
b
A bB
A
C
a a+b
O
向量加法的三角形法则
a
O
平行四边形法则与三角形法则有何异同?注意点？
a+b
b
B
向量加法的平行
四边形形法则
基本概念
a 已知两个向量和 ,b在平面内任取一点O,作
OA ,a A则B 向 b量叫做O两B个向量的和向量,记
江苏省宿迁中学
问题情境
由于大陆和台湾没有直航，乘飞机要先从台北到香港，再从香港到上海
上海:B
通航以后,就可以直接从台北香港:A 飞往上海这几次位移之间有什么关系？
台北:O
问题情境
两个力F1与F2对物体共同作用产生的效果，与
一个力F对物体作用产
生的效果相同，物理学
中把里F叫做F1、 F2的合力。
解：如图，设 AB表示水流的速度，AD表示渡船的速度， AC表示渡船实际垂直过江的速度。
AB AD AC，
四边形ABCD为平行四边形。 D
C
在RtACD中，ACD 90，

高中数学必修四第2章平面向量课件 2.2.1 向量加法运算及其几何意义

③A→B＋A→D＋C→D＝________； ④A→C＋B→A＋D→A＝________. [思路探索] 首先观察各向量字母的排列顺序，再进行恰当的组合，利用向量加法法则运算求解．解 (1)C→D＋B→C＋A→B＝(A→B＋B→C)＋C→D＝A→C＋C→D＝A→D. (2)A→B＋D→F＋C→D＋B→C＋F→A ＝(A→B＋B→C)＋(C→D＋D→F)＋FA ＝A→C＋C→F＋F→A＝A→F＋F→A＝0.
(3)①A→D＋A→B＝A→C，
②C→D＋A→C＋D→O＝C→O＋A→C＝A→O，
③A→B＋A→D＋C→D＝A→C＋C→D＝A→D，
④A→C＋B→A＋D→A＝D→C＋B→A＝0.
答案
→ (1)AD
(2)0
(3)①A→C
②A→O
③A→D
④0
[规律方法] (1)解决该类题目要灵活应用向量加法运算，注意各向量的起、终点及向量起、终点字母排列顺序，特别注意勿将0 写成0. (2)运用向量加法求和时，在图中表示“首尾相接”时，其和向量是从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点．
类型一向量的加法运算【例 1】化简或计算：(1)C→D＋B→C＋A→B＝________. (2)A→B＋D→F＋C→D＋B→C＋F→A＝________.
(3)在平行四边形 ABCD 中(如图)，对角线 AC、BD 交于点 O. 则①A→D＋A→B＝________； ②C→D＋A→C＋D→O＝________；
类型二利用向量证明几何问题【例 2】在平行四边形 ABCD 的对角线 BD 的延长线及反向延长线上，取点 F、E，使 BE＝DF(如图)．用向量的方法证明：四边形 AECF 也是平行四边形．
[思路探索] 本题主要考查利用向量方法证明几何问题，只需证明一组对边对应的向量相等即可．

苏教版数学高一必修4素材 2.2向量的线性运算

2.2 向量的线性运算向量的加法、减法、实数与向量的积统称为向量的线性运算。

向量的加法和减法主要是依据三角形法则和平行四边形法则，结合图形理解。

其中要注意作向量减法时必须将两个向量平移到同一个起点，可简记为“起点归一，指向被减向量”。

由于向量加法的交换律和结合律及实数与向量的运算律与代数运算中的实数运算律相似，因此向量的线性运算可以仿照多项式的运算法则来进行。

向量共线的充要条件实际上是由实数与向量的积的概念推出的，他深刻地揭示了平面内全体与非零向量a 共线的向量的基本结构。

有了这个定理，我们就能够比较容易地证明一些与直线有关系的问题，如三点共线和两直线平行等问题。

例1、试判断下列各命题的真假，并说明理由：(1)若非零向量a 与b 的方向相同或相反，则a ＋b 的方向必与a 、b 之一的方向相同. (2)三角形ABC 中，必有AB →＋BC →＋CA →＝0.(3)若AB →＋BC →＋CA →＝0，则A 、B 、C 三点是一个三角形的三顶点. (4)｜a ＋b ｜≥｜a －b ｜.分析：(1)a 与b 方向相同，则a ＋b 的方向与a 和b 方向都相同；若a 与b 方向相反，则有可能a 与b 互为相反向量，此时a ＋b ＝0的方向不确定，说与a 、b 之一方向相同不妥.(2)由向量加法法则AB →＋BC →＝AC →，AC →与CA →是互为相反向量，所以有上述结论. (3)因为当A 、B 、C 三点共线时也有AB →＋BC →＋AC →＝0，而此时构不成三角形. (4)当a 与b 不共线时，｜a ＋b ｜与｜a －b ｜分别表示以a 和b 为邻边的平行四边形的两条对角线的长，其大小不定.当a 、b 为非零向量共线时，同向则有｜a ＋b ｜＞｜a －b ｜，异向则有｜a ＋b ｜＜｜a －b ｜；当a 、b 中有零向量时，｜a ＋b ｜＝｜a －b ｜. 综上所述，只有(2)正确.说明：从本例中的（4）可以得到结论：｜a ｜—｜b ｜≤｜a ＋b ｜≤｜a ｜＋｜b ｜，该结论可以通过平面几何中“三角形两边之差小于第三边及三角形两边之和大于第三边”的直观性来说明，但要注意“=”成立的条件。

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1.将向量平移到同一起点 2.和向量即以它们作为邻边平行四边形的共起点的对角线
a b
物理模型“位移的合成”理解.
对于零向量与任一向量 a,我们规定 a 0 0 a a
向量加法
特例：共线向量
a b a b B
AC a b
A
C
C
A
AC a b
B
方向相同
D
C
解：
A
B
（1）如图所示， AD表示船速， AB表示水速，以AD、AB为邻边作船实际航行的速度. ABCD, 则 AC表示
例2.长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮船进行运输，如图所示，一艘船从长江南岸A点出发，以 2 3 km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2km/h. （1）试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度；（2）求船实际航行的速度的大小与方向（用与江水速度的夹角来表示）。
E
O
F1+F2=F F是以F1与F2为邻边所形成的平行四边形的对角线
E
O
F
向量加法
上述事例表明，两个向量可以相加，并且两个向量的和还是一个向量. 一般地，求两个向量和的运算，叫做向量的加法.
向量加法
向量加法向量加法的定义
任意给出两个向量a与b. 如何求a+ b.
a b
C B
向量加法
学以致用
例１.化简
AD (1) AB CD BC ________
(2) MA BN AC CB B BD CA DC _____ 0

向量加法
已知D,E,F分别是三角形ABC三边BC,CA,AB的中点。
1.两种方法做出的结果一样吗? 2.它们之们有联系吗?
向量加法
向量加法
方法巩固:
向量加法的三角形法则可推广到多个向量相加，如：
向量加法的三角形法则:
向量加法的平行四边形法则:
AB BC CD DE EF AF ， 1.将向量平移使得它们首尾相连 2.和向量即是第一个向量的首指向第二个向量的尾这时也必须 “首尾相连” .可结合
向量加法
日常生活中遇到的向量加法问题:
例如:某人从A点向东走到B.然后从B点向北走到C. 思考:这个人所走过的位移是多少? 分析 :由物理知识可以知道:
C
从A点到B点然后到C点的合位移,就是从A点到C点的位移.
AB
+
A
B
BC
=
AC
向量加法
向量加法
例如:橡皮条在力F1与F2的作用下,从E点伸长到了O点. 同时橡皮条在力F的作用下也从E点伸长到了O点.
c
D
D
C
c
C
a + (b + c) (a + b) + c a+b b B A a A
b+c b B a
向量加法
向量加法满足交换律和结合律
(1)向量加法交换律：
a b b a
(2)向量加法结合律：
( a + b ) + c a (b c )
以上两个运算律可以推广到任意多个向量.
a，不 b 共线或共线反向 a，共 b 线且同向
a，反 b 向且 a b a，反 b 向且 a b
问题探究
运算律可以帮助我们有效地简化运算
实数的加法运算满足交换律，即对任意 a，b∈R，都有a＋b=b＋a.那么向量的加法也满足交换律吗？如何检验？
a
b
a+b
b
a
向量加法
问题探究
实数的加法运算满足结合律，即对任意a，b，c∈R，都有（a＋b）＋ c=a＋（b＋c）.那么向量的加法也满足结合律吗？如何检验？
求证： (1) BD CE AF (2) AD BE CF
例2.长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮船进行运输，如图所示，一艘船从长江南岸A点出发，以 2 3 km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2km/h. （1）试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度；
复习回顾：
有向线段
向量的表示: 向量向量的方向
向量的大小 (长度、模) 单位向量与零向量相等向量与相反向量
平行向量 (共线向量)
既有大小又有方向的量叫向量；
向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小.
节引言：
两个实数可以相加，从而给数赋予了新的内涵.如果向量仅停留在概念的层面上，那是没有多大意义的.我们希望两个向量也能相加，拓展向量的数学意义，提升向量的理论价值，这就需要建立相关的原理和法则.
解： (2)在Rt ABC中， | AB | 2,| BC | 2 3
| AB | | BC | 2 (2 3)
2 2 2 2
D
C
| AC |
4
tan CAB
2 3 2

3
A
B
CAB 60 .
答：船实际航行速度为4km/h,方向与水的流速间的夹角为60º 。
向量加法
问:合力F与力F1、F2有怎样的关系？
E
O
F1+F2=F
E
O
F
力F对橡皮条产生的效果，与力F1和F2共同作用产生的效果相同，物理学中把力F叫做F1和F2的合力.
向量加法
例如:橡皮条在力F1与F2的作用下,从E点伸长到了O点. 同时橡皮条在力F的作用下也从E点伸长到了O点.
问:合力F与力F1、F2有怎样的关系？
C
B
A
AB BC AC
A
O
1.两种方法做出的结果一样吗? 2.它们之们有联系吗?
向量加法
向量加法向量加法的定义
任意给出两个向量a与b. 如何求a+ b.
a b
三角形法则: C
b
平行四边形法则: C B
b b
B
A
a
A
O
a
位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型. 力的合成可以看作向量加法平行四边形法则的物理模型.
方向相反
问题：除了零向量，有没有不能用平行四边形法则求和向量的情况？
请选用合适符号连接：
a b _ _ _ _ a b ( < , > , , , )
非零向量 a , b处于什么位置时？
探究
(1) a b a b (2) a b a b (3) a b a b (4) a b b a
探究
若水流速度和船速的大小保持不变, 最后要能使渡船垂直过江,则船的航向应该如何?并作图探究.
D
2 3
C
A
2
B
向量加法
练习题