16离散时间系统的Z域分析
离散系统的Z域分析法
D z-1
X(k-1)
z-1X(z)
X
注意:z域框图只能求系统零状态响应 注意 域框图只能求系统零状态响应
第
例题
1.求如图系统的单位响应 求如图系统的单位响应h(k)和单位阶跃响应 和单位阶跃响应g(k) 求如图系统的单位响应 和单位阶跃响应
8 页
2. 知 阶 散 统 初 条 为 zi (0) = 2, yzi (1) =1 已 二 离 系 的 始 件 y , 当 入 (k) = ε (k)时 输 f , 1 5 k k 输 全 应 (k) =[ + 4⋅ 2 − ⋅ 3 ]ε (k), 出 响 y 2 2 求 差 方 .， 画 系 框 。 此 分 程 并 出 统 图
求解线性时不变离散系统的差分方程有两种方法： 求解线性时不变离散系统的差分方程有两种方法： •时域方法: y(k) =y zi (k) + yzs (k) yzs (k) = h(k) ∗ x(k) 时域方法: 时域方法 •z变换方法: 变换方法: 变换方法 Yzs (z) = H(z) ⋅ X(z)
X
第
二.系统框图的z域分析法
基本思路: 基本思路 时域框图 z域框图 域框图 z域代数方程 域代数方程 Yzs(z)
7 页
yzs(k)
x(k) ⇒ X (z) yzs (k) ⇒ Yzs (z) 延迟单元 x(k)
x(k)ε (k) ↔ X(z) x(k −1)ε (k) ↔ z−1X(z) + x(−1)
y(k)
X
第 5 页
优点: 优点:
•差分方程经 变换→代数方程； 差分方程经z变换 代数方程； 差分方程经 变换→ •将时域卷积→z域乘积； 将时域卷积→ 域乘积； 将时域卷积 域乘积 •部分分式展开后求解z逆变换较容易； 部分分式展开后求解z 部分分式展开后求解 逆变换较容易； •z变换过程自动引入了系统初始状态（相当于0变换过程自动引入了系统初始状态（相当于0 变换过程自动引入了系统初始状态 的条件） 可同时求出零输入和零状态响应。 的条件）,可同时求出零输入和零状态响应。 ， 注意：z域求解系统只需 －状态[y(-1)，y(-2), …,] 注意： 域求解系统只需0 状态 域求解系统只需 时域求解系统要递推出0 状态确定待定系数。 时域求解系统要递推出 ＋状态确定待定系数。
第6章离散时间体统z域分析ppt课件
a n
a
n
令 f (n) an x(n) ，则它的Z变换
F(z)
f (n)zn
a n x(n) z n
n
n
所以 an x(n) X ( z )
a
《信号与线性系统》
第6章 离散时间体统z域分析
6.2.5 z域微分特性
若x(n)←——→X(z),收敛域为R，则nx(n)←→
z
dX (z) dz
《信号与线性系统》
第6章 离散时间体统z域分析
u(n) U(z)
1 1 z1
,
z
1
u(n 1)
z1U (z)
z 1 1 z1 ,
z
1
(n)
u(n)
u(n
1)
1 1 z1
z 1 1 z1
1
《信号与线性系统》
第6章 离散时间体统z域分析
6.2.2 移序特性
若 x(n)←——→X(z) 的 收 敛 域 为 A ， 则 x(n-n0)←—— →z-n0 X(z)的收敛域也为A，但在零点和无穷远点可能 发生变化。
z re j eT e jT
(6―11)
《信号与线性系统》
第6章 离散时间体统z域分析
6.2 Z变换的性质
6.2.1 线性特性 设x1(n)X1(z)其收敛域为A，x2(n)X2(z),其收敛域为
B ， 则 有 ax1(n)+bx2(n)aX1(z)+bX2(z) 其 收 敛 域 为 A∩B （这里a,b为常数）。这一关系显然是和拉普拉斯变换 的同一特性相对应，为了避免不必要的重复，它的证 明从略。
(3)n1＞0,n2＞0时，有
n2
X (z) x(n)zn
第九章：离散时间系统的z域分析
(
z a
)
z sin 0 za sin 0 n a a sin(n 0 )u (n) 2 2 2 z 2 z cos 1 z 2 za cos 0 a 0 a a
( z a )
4. 序列线性加权( z 域微分) 设 x(n) X ( z ) （ r1 z r2 ） ，则
m 1 k x( k ) z X ( z) k m
m x(n m)u(n) z X ( z )
x( k ) z
k 0
m1
k
9.1.4 z变换和s变换的关系
② x(n) 是因果序列，则
x(n m)u(n) z m X ( z)
jnω0
( z a)
4. 复指数序列 e
X ( z)
u(n)
n
x(n)z
n
e
n 0
jn0
z
n
(e
n 0
j0
z 1 ) n
1 1 e
j0
z
1
z z e j0
j0 1 jnω0 1 收敛域 q e z z 1 ， 即 z 1 。表示为 e u(n) z e j0
上式中，第一项级数是左边序列，收敛域为 z r2 ，第二项级数 是右边序列， 级数域为 z r1 ，X ( z ) 的收敛域取二个级数收敛域的公 共部分。如果 r2 r1 ，则 X ( z ) 的收敛域为 r1 z r2 ；如果 r2 r1 ，则二 个级数的收敛域无公共部分， X ( z ) 不存在。 4. x(n) 是有限长序列
Z变换离散时间系统的Z域分析
| x[n] | M
n1
z 1
显然lim X (z) x[0]
z
学习材料
22
§8.2 Z变换及其收敛域
终值定理：假设n<0，xn]=0,则序列的终值为
lim x[n] lim{( z 1)X (z)}
n
z1
证明：利用单边Z 变换时移性质，有：
Z{x[n 1]} x[n 1]zn zX (z) zx[0] n0
注：交集 R1 一R2般小于R1或R2。但有时会扩大，如
零点与极点相消时。
学习材料
15
§8.2 Z变换及其收敛域
2).时域平移(双边信号〕
x[n] X (z), ROC Rz x[n n0 ] zn0 X (z), ROC Rz ,
证明：依据双边Z变换的定义式，有
Z[x[n n0 ]} x[n n0 ]zn zn0 x[k]zk
X (z) x[n]r ne jn DTFT{x[n]r n} n
DTFT{x[n] | z |n}
即x[n] | z |n 是收敛的
假设 x[n] | z |n x[n] n , n由0 .
| z |n n | z |
即，右边函数时收敛域为| z|>α的圆外地域。
其它信号依学习此材料 类推…。
z
,
n0
z 1
极点z1 1,
1
Re
∴收敛域为 |z|>1 的单位圆以外。
ROC | z | a
例8-2.求 x[n] anu的[nz变1换] 。xn]是一个从-1到-∞的左
边序列。
解：
X (z) x[n]zn anu[n 1]zn
n
n
1
离散时间系统的Z域分析
第八章 Z 变换、离散时间系统的Z 域分析Z 变换的定义和收敛典型信号的z 变换Z 变换的性质求Z 逆变换系统函数H (z )幂级数展开部分分式法围线积分法定义由零极点决定系统的时域特由零极点决定系统的频域特由零极点决定系统的稳定性例题 •例题1：求z 变换•例题2：求逆变换•例题3：求系统的响应•例题4：求系统函数及频率响应等•例题5：零极点，初值定理例8-1利用性质求序列的z 变换方法一：利用典型序列的z 变换及线性性质求解方法二：利用z 变换时移性质直接求解若 则 ()()()n u n n x 2-=()()[]()()[]()()1z 12312122222>--=---=-=-z z z z z z z n u n nu Z n u n Z ()[]()z X n x Z =()()[]()()km k n n z k x z z X z n u m n x Z ---=--∑+=-1方法三把原序列如下表示 所以例8-2，求其逆变换。
方法一：因为X (z )不是真分式，首先把X (z )写成多项式与真分式两相之和的形式，即 其中 ()()[]()z X z m n u m n x Z n -=--()()[]()()km k n n z k x z z X z n u m n x Z --=∑-=+10()()[]()z X z m n u m n x Z n =++()()()()()()()()()()()()()()()时，二者才相同。
，为有始序列只有当，而不是的左移序列是相同；为因果序列时，二者才，只有当而不是的右移序列是由上式可见，0=<+++---n x m n n x n u m n x m n u m n x n u n x n x n u m n x m n u m n x n u n x ()()[]()()1 123 )2()1(122222222>--=-+-+-=-∴---z z z z z z z z z z z n u n Z ()()()()()()12222-----=-n n n u n n u n δδ()()[]()()1 12321222121>--=--+-=---z z z z z z z n u n Z ()21z 616511211>+-+=---z z z z X ()()() 616561611121+--+=+=z z z z F z Q z X () 31-z A 21-z A 6165616112121+=+--=z z z z F则 所以方法二观察X (z )的分子多项式的根，其中含有一个零点为z=0 ，式中则 所以原序列为两种方法求逆z 变换，其结果完全一致。
信号与系统第8章 离散时间系统的z域分析
零状态响应为
Yf
(z)
(1 z 1 z 2 ) 2 3z 1 z 2
1 1 z 1
1/ 6 0.5 5 / 6 1 z1 1 z1 1 0.5z1
yf [k] Z 1{Yf (z)}{1/ 6 0.5(1)k (5/ 6)(0.5)k}u[k]
y[k] yx[k] yf [k] {1/ 6 3.5(1)k (4 / 3)(0.5)k}u[k]
离散时间信号与系统的Z域分析
• 离散时间信号的Z域分析 • 离散时间系统的Z域分析 • 离散时间系统函数与系统特
性
离散时间信号的Z域分析
• 理想取样信号的拉普拉斯变换 • 单边Z变换定义 • 单边Z变换的收敛域 • 常用序列的Z变换 • 单边Z变换的性质 • Z反变换
理想取样信号的拉普拉斯变换
fs (t) f (t) (t kT) f (kT) (t kT)
Re(z)
三、常用序列的Z变换
1) Z{ (k)} 1, z 0
2) 3)
Z{u(k)} 1 1 z
Z{aku(k)}
1 , 1
1 a
z
z
1
1 z
a
4)
Z{e
j0k
u(k
)}
1
e
1
j0
z
1
z z e j0
5)
Z{e-
j0k u (k
)}
1
1 e- j0
z
1
z z e- j0
z e j0 z e j0
解代数方程
二阶系统响应的z域求解
y[k] a1 y[k 1] a2 y[k 2] b0 f [k] b1 f [k 1] k 0
初始状态为y[1], y[2] 对差分方程两边做Z变换，利用
第2章离散时间信号与系统的Z域分析ppt课件
xn
xn,
n1 nn2
0, 其它
n2
Xzxnznxnzn
n
nn1
若 xnzn, n1nn2 每一项都有界
则必有 zn , n1 nn2
第2章离散时间信号与系统的Z域分析
9 /186
第2章离散时间信号与系统的Z域分析
10 /186
当n1 0、n2 0时，显然在0 z 内的z值都满 足该条件，收敛域为除去原点和无穷远点的z平面，
，2 z 3
利用部分分式展开法求z反变换 x(n) 。
解 X(z) 5 A 1 A 2 z (z2)z(3) z2 z3
A1 (z2)Xz(z)z2 1 A1(z2)Xz(z)z2 1
第2章离散时间信号与系统的Z域分析
34 /186
则
X(z) z z
z2 z3
上式第一项只有极点 z2，由收敛域中 z 3可知，
列 就是各x(n部) 分分式的z反变换之和。在求各部分
分式z反变换时，可利用表2.1.2中的基本z变换对。
第2章离散时间信号与系统的Z域分析
M
表示成有理分式形式 X(z) P(z)
bi zi
i0
Q(z)
N
1 ai zi
展成以下部分分式形式
i1
29 /186
X (z) M n 0 N B n z n N k 1 s1 A zk kz 1 k s 1(1 C zik z 1 )k
该项的反变换应为右边因果序列，则
Z1[ z ](3)n z3
，
n
0
第二项只有极点 z3，同样由收敛域中 z 3可
知，该项的反变换应为左边序列，则
Z1[ z ](3)n，n1
第六章离散时间信号与系统的z域分析
例6.1 求双边序列 f k a
k
a 1
的Z变换，并确定它的收敛域。
解：双边指数序列可写为右边序列和左边序列之和，即 a k a k k a k k 1
右边序列
a k k 的Z变换 Fa z
k
z Fa z , z a za
以后我们的讨论将限于单边z变换，记做F ( z ) Z f (k )
k 0
2、s平面和z平面间的对应关系 z e sT e ( j )T eT e jT z e j z eT
Im[ z ] j
s平面 z平面 Re[z ]
T
二、z变换的收敛域 z变换是z的幂级数，F ( z ) z变换存在的充要条件是
Z [ f (k－m) (k m)] z m F ( z ) Z [ f (k m) ( k m)] z m F ( z )
例如：
Z [ f ( k 1) ( k )] zF ( z ) zf (0) Z [ f ( k 2) ( k )] z 2 F ( z ) z 2 f (0) zf (1)
则左移后 f (k m) (k ) z m [ F ( z ) f (k ) z k ]
k 0 m 1
右移后 f (k m) (k ) z [ F ( z )
m
k m
1
f (k ) z k ]
(3) 若f (k )是因果序列，其单边 变换为 f ( k ) (k ) F ( z ) z Z [ f (k－m) (k )] z m F ( z ) m 1 常用 Z [ f (k m) (k )] z m F ( z ) z m f (k ) z k k 0
实验6-离散时间系统的z域分析
一，实验目的理解关于z变换及其反变换的定义和MATLAB实现，理解系统零极点分布与系统特性的关系。
二，实验原理1.z变换z变换调用函数Z=ztrans(F)z反变换调用函数F=ilaplace(Z)2.离散时间系统的系统函数3.离散时间系统的零极点分析可以通过调用函数zplane：zplane(b,a)：b、a为系统函数的分子、分母多项式的系数向量。
zplane(z,p)：z、p为零极点序列。
三，实验内容（1）已知因果离散时间能系统的系统函数分别为：①②试采用MATLAB画出其零极点分布图，求解系统的冲击响应h（n）和频率响应H（），并判断系统是否稳定。
①MATLAB程序如下:b=[1 2 1]a=[1 -0.5 -0.005 0.3]subplot(131)zplane(b,a)subplot(132)impz(b,a,0:10)subplot(133)[H,w]=freqz(b,a)plot(w/pi,H)程序执行结果如下：由程序执行结果，当t趋于无穷，响应趋于0，所以该系统是稳定系统。
②MATLAB程序如下:b=[1]a=[1 -1.2*2^(1/2) 1.44]subplot(131)zplane(b,a)subplot(132)impz(b,a,0:10)subplot(133)[H,w]=freqz(b,a)plot(w/pi,H)程序执行结果如下：由程序执行结果，t趋于无穷，系统响应发散，故该系统是不稳定系统。
（2）已知离散时间系统系统函数的零点z和极点p分别为：试用MATLAB绘制下述6种不同情况下，系统函数的零极点分布图，并绘制相应单位抽样响应的时域波形，观察分析系统函数极点位置对单位抽样响应时域特性的影响和规律。
①z=0，p=0.25MATLAB程序如下:b=[1 0]a=[1 -0.25]sys=tf(b,a)subplot(211)zplane(b,a)subplot(212)impz(b,a)程序执行结果如下：②z=0，p=1 MATLAB程序如下: b=[1 0]a=[1 -1]sys=tf(b,a) subplot(211) zplane(b,a) subplot(212)impz(b,a)程序执行结果如下：③z=0，p=-1.25 MATLAB程序如下: b=[1 0]a=[1 1.25]sys=tf(b,a) subplot(211) zplane(b,a) subplot(212)impz(b,a)程序执行结果如下：④z=0，p1=0.8，p2=MATLAB程序如下:b=[1 0]a=[1 -1.6*cos(pi/6) 0.64] sys=tf(b,a)subplot(211)zplane(b,a)subplot(212)impz(b,a)程序执行结果如下：⑤z=0，p1=，MATLAB程序如下:b=[1 0]a=[1 -cos(pi/4) 1] sys=tf(b,a) subplot(211) zplane(b,a) subplot(212)impz(b,a)程序执行结果如下：⑥z=0，p1=1.2，p2=1.2MATLAB程序如下:z=0p=[1.2*exp(3*i*pi/4) 1.2*exp(-3*i*pi/4)] subplot(211)zplane(z,p)subplot(212)b=[1 0]a=[1 -2.4*cos(3*pi/4) 1.44]impz(b,a,0:30)程序执行结果如下：答：由执行结果知，当极点p在单位圆内时，系统响应收敛，该系统为稳定系统；当极点p 在单位圆上时，系统响应保持不变；当极点p在单位圆外时，系统响应发散，该系统为非稳定系统。
离散信号与系统的 Z 域分析
第 六 章 离散信号与系统的 Z 域分析引言与线性连续系统的频域分析和复频域分析类似，线性离散系统的频域分析是输入信号分解为基本信号e jΩk 之和,则系统的响应为基本信号的响应之和。
这种方法的数学描述是离散时间傅里叶变换和逆变换。
如果把复指数信号e jΩk 扩展为复指数信号Z k ,Z=re jΩ ,并以Zk 为基本信号， 把输入信号分解为基本信号Z k 之和， 则响应为基本信号Z k 的响应之和。
这种方法的数学描述为Z 变换及其逆变换,这种方法称为离散信号与系统的Z 域分析法.如果把离散信号看成连续时间信号的 抽样值序列，则Z 变换可由拉普拉斯变换引入.因此离散信号与系统的Z 域分析 和连续时间信号与系统的复频域分析有许多相似之处.通过Z 变换，离散时间信 号的卷积运算变成代算,离散时间系统的差分方程变成Z 域的代数方程,因此可 以比较方便的分析系统的响应。
Z 变换从拉普拉斯变换到Z 变换对连续信号f(t)进行理想抽样，即f（t）乘以单位冲击序列δT （t），T 为 抽样间隔，得到抽样信号为f s （t）=f（t）δT （t）= =对fs（t）取双边拉普拉斯变换，得F s （s）=￡[fs（t）]=令z=e sT , 则Fs（s）=F(z) ,得F（z）=因为T为常数,所以通常用f(k)表示f(kT),于是变为F(z)=称为f(k)的双边Z变换,z为复变量。
z和s的关系为:z=e sTs=（1/T）㏑z由复变函数理论,可以得到f(k)= ∮cF(z)z k-1 dz式(7.1-5)称为F(z)的双边Z逆变换(后面讨论).双边Z变换的定义和收敛域§双边 Z 变换的定义对于离散序列f(k)(k=0,±1,±2,┄),函数(z的幂级数)F(z)=称为f(k)的双边Z变换,记为F(z)=Z[f(k)].F(z)又称为f(k)的象函数,f(k)又 称为F(z)的原函数.为了表示方便,f(k)与F(z)之间的对应关系可表示为 f(k) F(z)§双边 Z 变换的收敛域f(k)的双边Z变换为一无穷级数,因此存在级数是否收敛的问题.只有当 (7.1-6)式的级数收敛,F(z)才存在.F(z)存在或级数收敛的充分条件是 ∞在f(k)给定的条件下,式(7.1-6)级数是否收敛取决于z的取值.在z复平面上, 使级数收敛的z取值区域称为F(Z)的收敛域。
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三、收敛域（ROC）
注意：对双边Z变换必须表明收敛域， 否则其对应的原序列将不唯一。
例
f1k
2k uk
F1z
z
z 收敛域 z 2
2
f2k
2k u
k
1
F2z
z
z
收敛域 z 2
2
四、常用单边序列的Z变换
z2 F z 1* z2 2* z1 z2F z 1 2z1
1
例 求单边Z变换
f k
2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
11
1 0 1 2
k
单边
F z 1 2z1 z2 z3
1 左移f
f k2uk
3) 左边序列(圆内)
N2
F (z)
f [k]zk
k
ROC z R
例：f
[k
]
bk
k
u[k
1]
Im(z)
1
F(z)
bk zk bk zk
k
1 bk zk
k 0
k 1
1
1
1 b
1
z
Re(z)
1
F(z) f [k]z k
k
F(z)
f [k]z k
k 0
1
f [k] 2πj c
F (z)z k1dz
C为F(z) 的ROC中的一闭合曲线。
物理意义： 将离散信号分解为不同频率复指数rej的线性组合
三、收敛域（ROC）
收敛域（ ROC ）:
f [k]zk
km u k
zm F
z
m1
f
k 0
k
z
k
，m>0
2
1 1 z2 F z 1* z0 2* z1 z2F z z2 2z
2 1 0 1 k
1
五、单边Z变换的主要性质
3. 指数加权特性
ak f [k]Z F (z / a) ROC a Rf
1 bz
1
zb
三、收敛域（ROC）
收敛域（ ROC ）: f [k]zk
k
4) 双边序列(圆环 )
F (z) f [k]zk ROC R z R
k
Im(z)
例：f [k] aku[k] bku[k 1]
F(z) 1 1
1 az 1 1 bz 1
Re(z)
a z b
必须在|b||a|的条件下，序列的Z变换才存在。
三、收敛域（ROC）
序列的收敛大致有以下几种情况： (1)对于有限长的序列，其双边Z变换在整个平
面。 (2)对因果序列，其Z变换收敛域在某个圆外区
域。 (3)对反因果序列，其Z变换收敛域在某个圆内
2. 位移特性
因果序列的位移 f [k n] znF(z) ROC = Rf
f k muk m zmF z
f
k
muk
zm
F
z
1 k m
f
k zk
f
k
muk
zm
F
z
m1 k 0
f
1 cos 0 z 1 2z 1 cos 0
z 2
sin(
0 k )u[k ]
1
sin 0 z 1 2z 1 cos 0
z
2
五、单边Z变换的主要性质
f1[k]F1(z), z R f 1 f2[k] F2 (z), z R f 2
k
zk
例 求单边Z变换
f kuk
2
11
1 0 1 2
k
1
单边
F z 1 2z1 z2 z3
f k 2uk
右移f
k
mu k
zm
F
z
1 k m
f
k zk
，m
0
2
11
1 0 1 2
k
2) 右边序列(圆外) F(z) f [k]zk
k N1
例：f [k] aku[k]
F(z)
k 0
ak zk
1 1 az1
ROC : z a
f [k]zk
k
ROC z R
Im(z)
Re(z)
三、收敛域（ROC）
收敛域（ ROC ）: f [k]zk
离散时间信号与系统的Z域分析
离散时间信号的Z域分析 离散时间系统的Z域分析 离散时间系统函数与系统特性 离散时间系统的模拟
离散时间信号的Z域分析
理想取样信号的拉普拉斯变换 Z变换定义 Z变换的收敛域 常用序列的Z变换 单边Z变换的性质 Z反变换
一、从傅里叶变换到拉普拉斯变换
f [k]= k u[k] >0的傅里叶变换？ 不存在!
1) Z{[k]} 1, z 0
2)
Z{
k u[k
]}
1
1
z 1
z
3) Z{e j0k u[k]}
1
1 cos 0 z 1 jsin 0 z 1
1 e j0 z 1
1 2z 1 cos 0 z 2
cos( 0k)u[k] 1
1.线性特性
af1[k] bf2[k] aF1(z) bF2 (z)
z max(Rf 1, Rf 2 ) 例：RN [k] u[k] u[k N ]
F(z)
1
zN
1 zN
z 0
1 z 1 1 z 1 1 z 1
ROC
扩大
五、单边Z变换的主要性质
将 f[k] 乘以衰减因子r -k
F[ f [k ]r k ] k r ke jk k (rej )k
k 0
k 0
令z rej
k zk
k 0
1
1 z1
1, z
z
二、Z变换定义
双边Z变换 单边Z变换 Z反变换：
1) 有限长序列(整个Z平面收敛) k N2 F(z) f [k]zk ROC 0 z
k N1
例：f
[k]
1 0
0 k N 1
其它
RN [k]
N 1
F(z)
k 0
z k
1 1
zN z 1
z 0
三、收敛域（ROC）
收敛域（ ROC ）: