湖南省六校联考高考数学模拟试卷理(含解析)

湖南省六校联考2015届高考数学模拟试卷（理科）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）（i为虚数单位）为纯虚数，则实数a的值（）A．1 B．﹣1 C．﹣D．2．（5分）某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，收集数据如下：加工零件x（个）10 20 30 40 50加工时间y（分钟）64 69 75 82 90经检验，这组样本数据具有线性相关关系，那么对于加工零件的个数x与加工时间y这两个变量，下列判断正确的是（）A．成正相关，其回归直线经过点（30，75）B．成正相关，其回归直线经过点（30，76）C．成负相关，其回归直线经过点（30，76）D．成负相关，其回归直线经过点（30，75）3．（5分）已知命题p：x＞0，q：x＞sinx，则p是q的（）A．充分必要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）要得到函数y=sin2x的图象，只要将y=sin（2x+）函数的图象（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位5．（5分）已知n=（x2﹣xcosx）dx，则（x+）n的展开式中的常数项为（）A．6 B．15 C．20 D．706．（5分）函数f（x）=，函数g（x）=f（x）﹣x恰有三个零点，则实数m的取值范围为（）A．[﹣2，3] B．[﹣1，3] C．（﹣2，3] D．（﹣1，3）7．（5分）已知x＞1，y＞1，log2x+log2y=log2（x+y），log2x+log2y+log2z=log2（x+y+z），则z的范围为（）A．[1，）B．（1，）C．（1，] D．[﹣﹣]8．（5分）如图，半圆O的直径为2，A为直径延长线上一点，OA=2，B为半圆上任一点，以AB为一边作等边三角形ABC，则•的值为（）A．﹣3 B．﹣C．3 D．9．（5分）如图是一个四面体的三视图，则其外接球的体积为（）A．8B．C．4D．10．（5分）设函数f（x）的定义域为（﹣1，1），若对任意的x1，x2∈（﹣1，1），均有|f（x1）﹣f（x2）|≤2|x1﹣x2|，则称函数f（x）具有性质“L”，给出下面三个定义在（﹣1，1）上的函数：①f1（x）=；②f2（x）=ln（x+1）；③f3（x）=，其中具有性质“L”的函数的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3二、选做题：（共1小题，每小题5分，满分5分）11．（5分）在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为（t为参数），以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ=3，设其离心率为e，若直线l经过点（e，e），则常数a=．选做题：（共1小题，每小题5分，满分5分）12．（5分）已知f（x）=|2x+1|﹣|2x﹣1|，若f（x）≤a恒成立，则实数a的范围为．选做题：（共1小题，每小题0分，满分0分）13．如图，△ABC的外接圆的切线AE与BC的延长线相交于点E，∠BAC的平分线与BC相交于点D，若EB=8，EC=2，则ED=．三，必做题：（共3小题，每小题5分，满分15分）14．（5分）如图所示的流程图，根据最后输出的变量s的值，得s的末位数值是．15．（5分）已知x，y满足，且x2+y2的最小值为8，则正实数a的取值范围为．16．（5分）在平面直角坐标系中，定义d（P、Q）=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|为P（x1，y1），Q（x2，y2）两点之间的“折线距离”．则直线+=1上的一点Q与抛物线x2=﹣8y上的一点P之间的“折线距离”的最小值为．四、解答题（共6小题，满分75分）17．（12分）袋中有4个红球、4个白球共8个球，这些球除颜色外完全相同．（1）从袋中任取一球，记下颜色后放回袋中，如此重复4次，求4次取球中至少有3次取得白球的概率；（2）某商场开展了一次促销活动，每个顾客可以凭购物票据参加一次抽奖游戏，游戏规定，抽奖者须一次性地从袋中任取4球．若取出的4球均为红球，则获得价值100元的奖品；若取出的4球中恰有3只红球，则获得价值80元的奖品；若取出的4球中恰有2只红球，则获得价值50元的奖品；否则没有任何奖品．求顾客甲获得奖品价值X的分布列与期望．18．（12分）已知f（x）=2cos（cos﹣sin）．（1）求f（x）的单调递增区间；（2）在△ABC中，AB=1，f（C）=+1，S△ABC=，求sinA+sinB．19．（12分）如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，AD=DC=AB=1，PA⊥平面ABCD，异面直线AC与PB所成角的余弦值为，M为PB的中点，G为△AMC的重心．（1）求证：BC⊥平面PAC；（2）求DG与平面AMC所成角的正弦值．（13分）已知数列{a n}的前n项为S n，a1=1，S10=100，且对任意正整数n，均有S n=．20．（1）求证{a n}是等差数列，并求a n；（2）数列{b n}满足b n=，记{b n}的前n项和为T n，求证T n＞ln（n+1）．21．（13分）椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，点P（1，）作圆x2+y2=1的切线，切点分别为A、B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点．（1）求椭圆C的方程；（2）过点Q（﹣5，0）作一直线l交椭圆C于M、N两点，记=λ，线段MN上的点R满足=﹣λ，求点R的轨迹方程．22．（13分）已知函数f（x）=alnx+（x﹣1）2．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若函数f（x）有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，是否存在常数k∈[﹣1，0]，使得f（x1）+f（x2）≥ka2恒成立？请说明理由．湖南省六校联考2015届高考数学模拟试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）（i为虚数单位）为纯虚数，则实数a的值（）A．1 B．﹣1 C．﹣D．考点：复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出．解答：解：==为纯虚数，则=0，≠0，解得a=1，故选：A．点评：本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义，属于基础题．2．（5分）某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，收集数据如下：加工零件x（个）10 20 30 40 50加工时间y（分钟）64 69 75 82 90经检验，这组样本数据具有线性相关关系，那么对于加工零件的个数x与加工时间y这两个变量，下列判断正确的是（）A．成正相关，其回归直线经过点（30，75）B．成正相关，其回归直线经过点（30，76）C．成负相关，其回归直线经过点（30，76）D．成负相关，其回归直线经过点（30，75）考点：线性回归方程．专题：概率与统计．分析：根据表中所给的数据，得到两变量为正相关，求出横标和纵标的平均数，得到样本中心点，进而得到结论．解答：解：由表格数据知，加工时间随加工零件的个数的增加而增加，故两变量为正相关，又由=30，=（64+69+75+82+90）=76，故回归直线过样本中心点（30，76），故选：B．点评：本题考查线性相关及回归方程的应用，解题的关键是得到样本中心点，为基础题．3．（5分）已知命题p：x＞0，q：x＞sinx，则p是q的（）A．充分必要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．解答：解：设f（x）=x﹣sinx，则f′（x）=1﹣cosx≥0，则函数f（x）为增函数，∵则当x＞0时，f（x）＞f（0），即x﹣sinx＞0，则x＞sinx，反之，也成立，故p是q的充要条件，故选：A点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据导数研究函数的性质是解决本题的关键．4．（5分）要得到函数y=sin2x的图象，只要将y=sin（2x+）函数的图象（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：由于y=sin（2x+）=sin2（x+），再根据y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．解答：解：由于y=sin（2x+）=sin2（x+），故将y=sin（2x+）函数的图象向右平移个单位，可得函数y=sin2x的图象，故选D．点评：本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于中档题．5．（5分）已知n=（x2﹣xcosx）dx，则（x+）n的展开式中的常数项为（）A．6 B．15 C．20 D．70考点：二项式定理的应用；定积分．专题：综合题；二项式定理．分析：利用定积分求出n，再求出展开式通项，令x的指数为0，即可求出展开式中的常数项．解答：解：n=（x2﹣xcosx）dx=（）=6，（x+）6的展开式通项为T r+1=，令6﹣2r=0，则r=3，∴（x+）n的展开式中的常数项为=20，故选：C．点评：本题考查展开式中的常数项，考查二项式定理的应用，考查学生的计算能力，属于中档题．6．（5分）函数f（x）=，函数g（x）=f（x）﹣x恰有三个零点，则实数m的取值范围为（）A．[﹣2，3] B．[﹣1，3] C．（﹣2，3] D．（﹣1，3）考点：根的存在性及根的个数判断．专题：函数的性质及应用．分析：化简g（x）=f（x）﹣x=，而方程﹣x+3=0的解为3，方程x2+3x+2=0的解为﹣1，﹣2；故只需，从而可得答案．解答：解：∵f（x）=，∴g（x）=f（x）﹣x=，而方程﹣x+3=0的解为3，方程x2+3x+2=0的解为﹣1，﹣2；若函数g（x）=f（x）﹣x恰有三个零点，则，解得﹣1＜m＜3，即实数m的取值范围是（﹣1，3）．故选：D．点评：本题考查了分段函数的化简与函数零点的判断，属于基础题．7．（5分）已知x＞1，y＞1，log2x+log2y=log2（x+y），log2x+log2y+log2z=log2（x+y+z），则z的范围为（）A．[1，）B．（1，）C．（1，] D．[﹣﹣]考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：由题意可得xy=x+y，xyz=x+y+z，进而由基本不等式可得xy≥4，变形可得z=1+，由不等式的性质可得取值范围．解答：解：由题意可得log2xy=log2（x+y），log2xyz=log2（x+y+z），∴xy=x+y，xyz=x+y+z，由xy=x+y≥2可解得xy≥4，当且仅当x=y=2时取等号，∴xy≥4，由xyz=x+y+z可得z===1+，∵xy≥4，∴xy﹣1≥3，∴0＜≤，∴1＜1+≤，故选：C点评：本题考查基本不等式求最值，涉及对数的运算和不等式的性质，属中档题．8．（5分）如图，半圆O的直径为2，A为直径延长线上一点，OA=2，B为半圆上任一点，以AB为一边作等边三角形ABC，则•的值为（）A．﹣3 B．﹣C．3 D．考点：向量在几何中的应用．专题：计算题；平面向量及应用．分析：取AB的中点E，则==•=（），即可得出结论．解答：解：取AB的中点E，则==•=（）=﹣，故选：B．点评：本题考查向量在几何中的应用，考查学生的计算能力，比较基础．9．（5分）如图是一个四面体的三视图，则其外接球的体积为（）A．8B．C．4D．考点：球的体积和表面积；简单空间图形的三视图．专题：空间位置关系与距离．分析：根据三视图得出一个四面体的三视图，则其外接球，与棱长为的正方体的外接球相同，求解体对角线，即可得出半径，子求解体积问题．解答：解：如图一个四面体的三视图，则其外接球，与棱长为的正方体的外接球相同，∵正方体的体对角线为，∴外接球的半径为，∴×π×（）3=π，故选：B．点评：本题考查了空间几何体的三视图，与几何体的直观图原图的关系，转为正方体求解外接球的问题，难度不大，关键是想到这个问题．10．（5分）设函数f（x）的定义域为（﹣1，1），若对任意的x1，x2∈（﹣1，1），均有|f（x1）﹣f（x2）|≤2|x1﹣x2|，则称函数f（x）具有性质“L”，给出下面三个定义在（﹣1，1）上的函数：①f1（x）=；②f2（x）=ln（x+1）；③f3（x）=，其中具有性质“L”的函数的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3考点：命题的真假判断与应用．专题：简易逻辑．分析：直接举例说明①②不具有性质“L”；对于③，把，|f（x1）﹣f（x2）|分子有理化后放缩说明具有性质“L”．解答：解：对于：①f1（x）=，取，则|f（x1）﹣f（x2）|=||=90＞2|﹣1+|=，则①不具有性质“L”；对于：②f2（x）=ln（x+1），取，则|f（x1）﹣f（x2）|=||=2＞2||=2||，则②不具有性质“L”；对于：③f3（x）=，|f（x1）﹣f（x2）|==，故③具有性质“L”．∴具有性质“L”的函数的个数为1．故选：B．点评：本题是新定义题，考查了命题的真假判断与应用，考查了函数的性质，训练了放缩法证明函数不等式，是中档题．二、选做题：（共1小题，每小题5分，满分5分）11．（5分）在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为（t为参数），以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ=3，设其离心率为e，若直线l经过点（e，e），则常数a=．考点：简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．专题：坐标系和参数方程．分析：首先把直线l的参数方程转化成直角坐标方程，进一步把曲线的极坐标方程转化成直角坐标方程，进一步求出双曲线的离心率，最后求出结果．解答：解：直线l的参数方程为（t为参数），换化成直角坐标方程为：x+y﹣2a=0．曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ=3，转化为：2（ρcosθ）2﹣ρ2=3，转化成直角坐标方程为：x2﹣y2=3所以：双曲线的离心率为，直线l经过点（，），代入直线方程解得：a=．故答案为：点评：本题考查的知识要点：极坐标方程与直角坐标方程的互化，参数方程与直角坐标方程的互化，等轴双曲线的离心率的应用．选做题：（共1小题，每小题5分，满分5分）12．（5分）已知f（x）=|2x+1|﹣|2x﹣1|，若f（x）≤a恒成立，则实数a的范围为[2，+∞）．考点：绝对值不等式的解法．专题：函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：运用绝对值不等式的性质，可得|2x+1|﹣|2x﹣1|≤|（2x+1）﹣（2x﹣1）|=2，再由f（x）≤a恒成立，即有f（x）max≤a，即可得到a的范围．解答：解：f（x）=|2x+1|﹣|2x﹣1|，由|2x+1|﹣|2x﹣1|≤|（2x+1）﹣（2x﹣1）|=2，即有f（x）的最大值为2，f（x）≤a恒成立，即有f（x）max≤a，则a≥2．即有a的取值范围是[2，+∞）．故答案为：[2，+∞）．点评：本题考查绝对值不等式的性质，主要考查不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，属于基础题和易错题．选做题：（共1小题，每小题0分，满分0分）13．如图，△ABC的外接圆的切线AE与BC的延长线相交于点E，∠BAC的平分线与BC相交于点D，若EB=8，EC=2，则ED=4．考点：与圆有关的比例线段．专题：直线与圆．分析：利用三角形的外角定理、角平分线的性质、切割线定理即可得出．解答：解：∵∠ADE=∠ABD+∠BAD，∠DAE=∠DAC+∠EAC，而∠ABD=∠EAC，∠BAD=∠DAC，∴∠ADE=∠DAE．∴EA=ED，∴ED2=EA2=EC•EB=16，∴ED=4．点评：熟练掌握三角形的外角定理、角平分线的性质、切割线定理等是解题的关键．三，必做题：（共3小题，每小题5分，满分15分）14．（5分）如图所示的流程图，根据最后输出的变量s的值，得s的末位数值是4．考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算并输出S值．模拟程序的运行过程，用表格对程序运行过程中各变量的值进行分析，不难得到最终的输出结果．解答：解：模拟执行程序框图，可得s=1，n=2008，i=1不满足条件i＞2014，s=2008，i=2不满足条件i＞2014，s=20082，i=3…不满足条件i＞2014，s=20082013，i=2014不满足条件i＞2014，s=20082014，i=2015满足条件i＞2014，退出循环，输出s的值为20082014，事实上S具有的数值为20082009，根据题目要求只需考虑8n的尾数变化即可．首先来观察8n的末位数字的变化规律．n 2 3 4 58n的末位数字 4 2 6 88n的末位数字的变化是以4为周期的规律循环出现．2014被4除余数为2，所以20082014的末位数字为4．故答案为：4．点评：本题考查循环结构的程序框图，解决本题的关键是弄清开始和结束循环的条件．15．（5分）已知x，y满足，且x2+y2的最小值为8，则正实数a的取值范围为（0，2]．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，根据x2+y2的最小值为8，确定直线ax﹣y﹣2=0满足的条件即可得到结论．解答：解：设z=x2+y2，则z的几何意义是区域内的点到原点的距离的平方，圆心到直线x+y﹣4=0的距离d=，此时d2=（2）2=8，满足x2+y2的最小值为8，即切点F在区域ABC内，即F在ax﹣y﹣2=0的上方，∵x+y﹣4=0的斜率为﹣1，OF⊥AC，∴OF的斜率k=1，即OF的直线方程为y=x，由，解得，即F（2，2），则满足2a﹣2﹣2≤0，解得a≤2，∵a＞0，∴0＜a≤2，故答案为：（0，2]．点评：本题主要考查线性规划的应用，根据条件确定直线ax﹣y﹣2=0满足的条件，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．16．（5分）在平面直角坐标系中，定义d（P、Q）=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|为P（x1，y1），Q（x2，y2）两点之间的“折线距离”．则直线+=1上的一点Q与抛物线x2=﹣8y上的一点P之间的“折线距离”的最小值为．考点：直线与圆锥曲线的关系；点到直线的距离公式．专题：计算题；作图题；方案型；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：先固定点P，从而可推出d（P、Q）的最小值为|y1﹣y2|，再求点P到直线+=1上的距离的最小值，从而求得．解答：解：先固定点P，如图，d（P、Q）=PG+GQ，d（P、Q1）=PG+GQ1；而直线方程为+=1，故GQ＞GQ1，故d（P、Q）的最小值为d（P、Q1）=|y1﹣y2|，再使点P在抛物线x2=﹣8y上运动，点P到直线+=1上的距离的最小值为；故×=；故答案为：．点评：本题考查了学生对新定义的接受能力与应用能力，同时考查了数形结合的思想应用，属于中档题．四、解答题（共6小题，满分75分）17．（12分）袋中有4个红球、4个白球共8个球，这些球除颜色外完全相同．（1）从袋中任取一球，记下颜色后放回袋中，如此重复4次，求4次取球中至少有3次取得白球的概率；（2）某商场开展了一次促销活动，每个顾客可以凭购物票据参加一次抽奖游戏，游戏规定，抽奖者须一次性地从袋中任取4球．若取出的4球均为红球，则获得价值100元的奖品；若取出的4球中恰有3只红球，则获得价值80元的奖品；若取出的4球中恰有2只红球，则获得价值50元的奖品；否则没有任何奖品．求顾客甲获得奖品价值X的分布列与期望．考点：离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．专题：概率与统计．分析：（1）判断“4次取球中有k次取得白球”服从二项分布，每次恰好取得白球的概率为，利用概率公式求解即可．（2）确定X的取值为100，80，50，0，根据排列组合公式求解相应的概率即可，列出分布列，求解数学期望．解答：解：（1）即事件为A：“4次取球中至少有3次取得白球”，则“4次取球中有k次取得白球”服从二项分布，每次恰好取得白球的概率为，∴P（A）=C（）4+（）4=，（2）X的取值为100，80，50，0，P（X=100）==，P（X=80）==，P（X=50）==，P（X=0）==，∴X的分布列为：X 100 80 50 0PE（X）=×100=．点评：本题考查了离散型的概率分布列，数学期望的求解，关键是分清随机变量的取值，及相应的概率，计算准确．18．（12分）已知f（x）=2cos（cos﹣sin）．（1）求f（x）的单调递增区间；（2）在△ABC中，AB=1，f（C）=+1，S△ABC=，求sinA+sinB．考点：两角和与差的正弦函数；正弦函数的单调性．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质．分析：（1）由三角函数恒等变换化简函数解析式可得：f（x）=﹣2sin（x﹣）+，由2kπ+≤x﹣≤2kπ，k∈Z可解得f（x）的单调递增区间．（2）由f（C）=，结合C的范围，可求C的大小，由S△ABC=可求ab，由余弦定理可求a2+b2=7，从而可得a+b=，由正弦定理即可得解．解答：解：（1）f（x）=+cosx﹣sinx=﹣2sin（x﹣）+，…（3分）∴由2kπ+≤x﹣≤2kπ，k∈Z可解得f（x）的单调递增区间为[2kπ+，2kπ]，k∈Z…（5分）（2）由f（C）=﹣2sin（C﹣）+=，可得sin（C﹣）=﹣，∵0＜C＜π，可得﹣＜C﹣＜∴可解得：C=，由S△ABC=absinC=有ab=2，由c2=a2+b2﹣2abcosC有a2+b2=7，…（8分）∴a+b=，…（10分）∴sinA+sinB==1+…（12分）点评：本题主要考查了三角函数恒等变换，三角函数的图象与性质，余弦定理，正弦定理以及三角形面积公式的应用，熟练掌握相关定理是解题的关键，属于基本知识的考查．19．（12分）如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，AD=DC=AB=1，PA⊥平面ABCD，异面直线AC与PB所成角的余弦值为，M为PB的中点，G为△AMC的重心．（1）求证：BC⊥平面PAC；（2）求DG与平面AMC所成角的正弦值．考点：直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）首先根据已知条件，利用线段的值求出AC2+BC2=AB2，进一步利用线面垂直的性质定理，求出线线垂直，进一步得到线面垂直．（2）利用异面直线夹角求出PA=1，进一步建立空间直角坐标系，利用法向量，求出线面的夹角的余弦值．解答：证明：（1）已知四棱锥P﹣ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，AD=DC=AB=1，利用勾股定理解得：BC=AC=，所以：AC2+BC2=AB2所以：AC⊥BC，又PA⊥平面ABCD，所以：PA⊥BC，所以：BC⊥平面PAC．（2）过点B作BE∥AC，交CD的延长线于点E，连接PE，设PA=x，异面直线AC与PB所成角的余弦值为，即：PB与BE所成角的余弦值为，所以解得：，AE=，，，在△PBE中，COS∠P BE=，解得：x=1，即：PA=1．建立空间直角坐标系：A﹣xyz，M为PB的中点，G为△AMC的重心．则：A（0，0，0），P（0，0，1），B（0，2，0），D（1，0，0），C（1，1，0），M（0，1，），G（，，），则：，，．设平面AMC的法向量为：，则：，解得：．设DG与平面AMC所成角为θ，sinθ===即：DG与平面AMC所成角的正弦值为．点评：本题考查的知识要点：线面垂直的判定定理，异面直线的夹角的应用，空间直角坐标系，法向量，向量的数量积，线面的夹角的应用．及相关的运算问题．（13分）已知数列{a n}的前n项为S n，a1=1，S10=100，且对任意正整数n，均有S n=．20．（1）求证{a n}是等差数列，并求a n；（2）数列{b n}满足b n=，记{b n}的前n项和为T n，求证T n＞ln（n+1）．考点：数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）由S n=，即2S n=na n+n，当n≥2时，2S n﹣1=（n﹣1）a n﹣1+（n﹣1），可得2a n=na n﹣（n﹣1）a n﹣1+1，同理可得2a n+1=（n+1）a n+1﹣na n+1，可得2a n=a n﹣1+a n+1，再利用等差数列的通项公式即可得出；（2）由（1）可得：S n==n2，可得b n==，因此{b n}的前n项和为T n=1++…+．首先证明ln（1+x）＜x，x＞0，利用导数研究其单调性即可得出．再利用数学归纳法证明：T n＞ln（n+1）即可．解答：证明：（1）∵S n=，即2S n=na n+n，当n≥2时，2S n﹣1=（n﹣1）a n﹣1+（n﹣1），∴2a n=na n﹣（n﹣1）a n﹣1+1，同理可得2a n+1=（n+1）a n+1﹣na n+1，∴2a n=a n﹣1+a n+1，∴{a n}是等差数列，设公差为d，∵a1=1，S10=100，∴=100，解得a10=19，∴1+9d=19，解得d=2，∴a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1．（2）由（1）可得：S n==n2，∴b n==，∴{b n}的前n项和为T n=1++…+，首先证明ln（1+x）＜x，x＞0，令f（x）=ln（1+x）﹣x，f′（x）==＜0，∴函数f（x）在（0，+∞）上单调递减，∴f（x）＜f（0）=0，∴ln（1+x）＜x，x＞0，成立．下面利用数学归纳法证明：T n＞ln（n+1）．（i）当n=1时，1＞ln2，成立；（ii）假设当n=k时，T k＞ln（k+1），则当n=k+1时，＞ln（k+1）+=ln（k+1）﹣ln（k+2）++ln（k+2）=+ln（k+2）＞ln（k+1+1），因此当n=k+1时，不等式成立．综上可得：∀n∈N*，T n＞ln（n+1）成立．点评：本题考查了递推式的应用、等差数列的通项公式及其前n项和公式、数学归纳法，考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21．（13分）椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，点P（1，）作圆x2+y2=1的切线，切点分别为A、B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点．（1）求椭圆C的方程；（2）过点Q（﹣5，0）作一直线l交椭圆C于M、N两点，记=λ，线段MN上的点R满足=﹣λ，求点R的轨迹方程．考点：轨迹方程；椭圆的标准方程．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）利用圆的方程相减即可得出两圆相交的交点所在的直线的方程，进而得出椭圆的焦点、顶点，再利用椭圆的性质即可得出方程；（2）由题意知，设方程为x=ty﹣5），M（x1，y1），N（x2，y2），R（x0，y0）．把直线l的方程与椭圆方程联立得到根与系数的关系，再利用向量=λ，即可得出坐标之间的关系，=﹣λ，消去λ及k即可得出结论．解答：解：（1）设点P（1，），O（0，0）．则以线段OP为直径的圆的方程为：（x﹣）2+（y﹣）2=与方程x2+y2=1相减得x+y=1．令x=0，得y=2；令y=0，得x=1．∴焦点为（1，0），上顶点为（0，2）．∴c=1，b=2．a2=b2+c2=5．∴椭圆的方程为．（2）设方程为x=ty﹣5，M（x1，y1），N（x2，y2），R（x0，y0）．代入椭圆方程得（5+4t2）y2﹣40ty+80=0．由题意△=（﹣40t）2﹣320（5+4t2）＞0，即t2＞5，∴y1+y2=，y1y2=①由=λ，得，代入①整理可得=﹣且x2=②由=﹣λ，得x0=，y0=由①②得x0=﹣1，y0=∈（﹣，），∴R的轨迹方程为x=﹣1（﹣＜y＜）．点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、根与系数的关系、向量的运算性质等基础知识与基本技能，考查了推理能力和计算能力．22．（13分）已知函数f（x）=alnx+（x﹣1）2．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若函数f（x）有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，是否存在常数k∈[﹣1，0]，使得f（x1）+f（x2）≥ka2恒成立？请说明理由．考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．专题：导数的综合应用．分析：（1）先求出函数的导数，通过讨论a的范围，解关于导函数的不等式，从而求出函数的单调区间；（2）问题转化为k≤ln+﹣对0＜a＜恒成立，令x=，则上式等价于k≤tln+t2﹣t=﹣tln（2t）+t2﹣t对t＞2恒成立，令g（t）=﹣tln（2t）+t2﹣t，通过求导得到g（t）在（2，+∞）单调递增，求出g（t）的最小值，从而得到答案．解答：解：（1）：f′（x）=，x＞0，f′（x）＞0⇔2x2﹣2x+a＞0，△=4﹣8a，①若a≥，则f′（x）≥0，f（x）在（0，+∞）单调递增，②若0＜a＜，则f′（x）＞0⇔x＞或x＜，于是f（x）在（0，）递增，在（，）递减，在（，+∞）递增，③若a≤0，则f′（x）＞0⇔x＞，f′（x）＜0⇔0＜x＜，于是f（x）在（0，）递减，在（，+∞）递增；综上：a≥时，f（x）在（0，+∞）单调递增；0＜a＜时，f（x）在（0，）递增，在（，）递减，在（，+∞）递增，a≤0时，f（x）在（0，）递减，在（，+∞）递增；（2）由（1）得：0＜a＜，且x1=，x2=，x1+x2=1，x1•x2=，于是f（x1）+f（x2）=+﹣2（x1+x2）+2+aln（x1 x2）=1﹣a+aln≥ka2对0＜a＜恒成立⇔k≤ln+﹣对0＜a＜恒成立，令x=，则上式等价于k≤tln+t2﹣t=﹣tln（2t）+t2﹣t对t＞2恒成立，令g（t）=﹣tln（2t）+t2﹣t，（t＞2），则g′（t）=﹣ln（2t）+2t﹣2，g″（t）=﹣+2＞0，∴g′（t）在（2，+∞）递增，∴g′（t）＞g′（2）=2﹣ln4＞0，∴g（t）在（2，+∞）递增，∴g（t）＞g（2）=2﹣4ln2，∴k≤2﹣4ln2，而2﹣4ln2＞﹣1，故存在k∈[﹣1，2﹣4ln2]满足条件．点评：本题考查了函数的单调性，考查导数的应用，考查分类讨论思想，转化思想，本题是一道难题．。