2020-2021学年衡水中学高考数学复习冲刺阶段精选汇编(文科)模拟试题 (20)
2023年河北省衡水中学高考数学模拟试卷+答案解析(附后)
2023年河北省衡水中学高考数学模拟试卷1. 已知全集，，，则( )A. B.C. D.2. 已知复数，，若z在复平面上对应的点在第三象限，则( )A. 4B.C.D.3.已知等差数列的前n项和为，，则( )A. 66B. 78C. 84D. 964. 条件p：，，则p的一个必要不充分条件是( )A. B. C. D.5. 函数的部分图象大致是( )A. B. C. D.6. 在中，，，，P，Q是平面上的动点，，M是边BC上的一点，则的最小值为( )A. 1B. 2C. 3D. 47. 已知抛物线C：过点，动点M，N为C上的两点，且直线AM 与AN的斜率之和为0，直线l的斜率为，且过C的焦点F，l把分成面积相等的两部分，则直线MN的方程为( )A. B.C. D.8. 《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，其中有很多对几何体外接球与内切球的研究.其中的一些研究思想启发着后来者的研究方向.已知正四棱锥的外接球半烃为R，内切球半径为r，且两球球心重合，则( )A. 2B.C.D.9. 统计学是源自对国家的资料进行分析，也就是“研究国家的科学”.一般认为其学理研究始于希腊的亚里士多德时代，迄今已有两千三百多年的历史.在两千多年的发展过程中，将社会经济现象量化的方法是近代统计学的重要特征.为此，统计学有了自己研究问题的参数，比如：均值、中位数、众数、标准差.一组数据：，，⋯，记其均值为m，中位数为k，标准差为s，则( )A.B.C.新数据：，，，⋯，的标准差为D.新数据：，，，⋯，的标准差为2s10. 已知，，且满足，则的取值可以为( )A. 10B. 11C. 12D. 2011. 圆O：与双曲线交于A，B，C，D四点，则( )A. r的取值范围是B. 若，矩形ABCD的面积为C. 若，矩形ABCD的对角线所在直线是E的渐近线D. 存在，使四边形ABCD为正方形12. 已知函数的导函数为，则( )A. 有最小值B. 有最小值C. D.13. 已知角终边上有一点，则______ .14. 甲、乙两人下围棋，若甲执黑子先下，则甲胜的概率为；若乙执黑子先下，则乙胜的概率为假定每局之间相互独立且无平局，第二局由上一局负者先下，若甲、乙比赛两局，第一局甲、乙执黑子先下是等可能的，则甲、乙各胜一局的概率为______ .15. 已知函数的部分图像如图所示，在区间内单调递减，则的最大值为______ .16. 如图，在多面体ABCDEFG中，四边形ABCD为菱形，，，，且平面ABCD，四边形BEFG是正方形，则______ ；异面直线AG与DE所成角的余弦值为______ .17. 已知数列满足，且，求证：是等比数列，并求的通项公式；若数列的前n项和为，求使不等式成立的n的最小值.18. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且求的最小值；若M为的重心，，求19. 第22届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在我国杭州举行，这是我国继北京后第二次举办亚运会.为迎接这场体育盛会，浙江某市决定举办一次亚运会知识竞赛，该市A社区举办了一场选拔赛，选拔赛分为初赛和决赛，初赛通过后才能参加决赛，决赛通过后将代表A社区参加市亚运知识竞赛.已知A社区甲、乙、丙3位选手都参加了初赛且通过初赛的概率依次为、、，通过初赛后再通过决赛的概率均为，假设他们之间通过与否互不影响.求这3人中至多有2人通过初赛的概率；求这3人中至少有1人参加市知识竞赛的概率；某品牌商赞助了A社区的这次知识竞赛，给参加选拔赛的选手提供了两种奖励方案：方案一：参加了选拔赛的选手都可参与抽奖，每人抽奖1次，每次中奖的概率均为，且每次抽奖互不影响，中奖一次奖励600元；方案二：只参加了初赛的选手奖励200元，参加了决赛的选手奖励500元.若品牌商希望给予选手更多的奖励，试从三人奖金总额的数学期望的角度分析，品牌商选择哪种方案更好.20. 如图，在直四棱柱中，四边形ABCD是平行四边形，，，AD与平面所成的角为求；求二面角的余弦值.21. 如图，已知椭圆的右顶点为A，下顶点为B，且直线AB的斜率为，的面积为1，O为坐标原点.求C的方程；设直线l与C交于，两点，且，N与B不重合，M与C的上顶点不重合，点Q在线段MB上，且轴，AB平分线段QN，点到l的距离为d，求当d取最大值时直线MN的方程.22. 已知函数证明：当时，为增函数；若有3个零点，求实数a的取值范围，参考数据：，答案和解析1.【答案】A【解析】解：因为，，所以，又因为，所以则故选：求出集合M、N，再利用并集和补集的定义，即可求解．本题主要考查交集、补集的混合运算，属于基础题．2.【答案】B【解析】解：因为，则，解得，因为复数z在复平面上对应的点在第三象限，则，解得，因此，故选：利用复数的除法化简复数z，利用复数的模长公式以及复数的几何意义可求得实数a的值．本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．3.【答案】B【解析】解：设等差数列的首项为，公差为d，由可得，整理可得，所以，则故选：设等差数列的首项为，公差为d，结合题意可得，结合等差数列的性质代入等差数列的前n项和公式即可求解．本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的应用，属于基础题．4.【答案】A【解析】解：若，使得，则，可得，则，因为函数在上单调递减，在上单调递增，且，故当时，，即p：，所以p的一个必要不充分条件是故选：对于命题p，由参变量分离法可得，求出函数在上的最大值，可得出实数a的取值范围，再利用必要不充分条件的定义可得出合适的选项．本题主要考查充分条件、必要条件的定义，属于基础题．5.【答案】C【解析】解：对于函数，有，可得，所以，函数的定义域为，因为，，所以，函数为偶函数，排除AB选项；当时，，则，此时，排除D选项．故选：分析函数的定义域、奇偶性及其在上的函数值符号，结合排除法可得出合适的选项．本题主要考查了函数的奇偶性在函数图象判断中的应用，属于基础题．6.【答案】B【解析】解：取PQ的中点N，则，可得，，当且仅当N在线段AM上时，等号成立，故，显然当时，取到最小值，，故故选：根据向量运算可得，结合图形分析的最小值即可得结果．本题主要考查了向量的线性表示及向量数量积的性质的应用，属于中档题．7.【答案】D【解析】解：因为抛物线C：过点，所以，解得：，所以，设，，直线MN：，代入中整理得，所以，，所以，即，则，解得：，所以直线MN：，直线l的斜率为，且过C的焦点，所以l：，则到直线l的距离为，所以l把分成面积相等的两部分，因为直线l与直线MN平行，所以到直线l：的距离为到直线MN：距离的，，解得：或舍去所以直线MN的方程为故选：由题意求出抛物线方程为，设，，直线MN：，联立直线和抛物线的方程结合韦达定理由，可求出，再求出直线l的方程，由题意可转化为到直线l：的距离为到直线MN：距离的，代入求解即可得出答案．本题主要考查了抛物线的性质，考查了直线与抛物线的位置关系，属于中档题．8.【答案】B【解析】解：设底面正方形ABCD的对角线长为2a，高为h，，正方形的中心为O，外接球的球心为，则有即，在中，，①，②，以O为原点，建立空间直角坐标系，如图所示：则有，，设平面PCD的一个法向量为，则有，即，令，解得，，设向量与平面PCD的夹角为，则，球心到平面PCD的距离，，由①得，即③，故设，则③可整理成，两边平方得，，由①②得故选：正四棱锥的外接球和内接球球心重合，说明其结构特殊，找出结构的特殊性，再计算．本题主要考查了正四棱锥的外接球和内切球问题，考查了学生的空间想象能力，属于中档题．9.【答案】AD【解析】解：对于A选项，因为，样本数据最中间的项为，由中位数的定义可知，A对；对于B选项，不妨令，则，B错；对于C选项，数据，，，⋯，的均值为，方差为，所以，数据，，，⋯，的标准差为s，C错；对于D选项，数据，，，⋯，的均值为，其方差为，所以，新数据：，，，⋯，的标准差为2s，D对．故选：利用中位数的定义可判断A选项；取，可判断B选项；利用方差公式可判断CD选项．本题主要考查了均值、中位数和标准差的计算公式，属于基础题．10.【答案】CD【解析】解：因为，，所以，，故，当，且，而时，即等号不能同时成立，所以，故AB错误，CD正确．故选：根据条件及基本不等式可得，进而即得．本题主要考查基本不等式及其应用，属于基础题．11.【答案】BD【解析】解：对于选项A，双曲线的顶点坐标为，渐近线方程为，因为圆O：与双曲线交于A，B，C，D四点，所以，故A错误；对于选项B，C，当时，圆O：，联立方程，解得，所以或或或，不妨令，，，，所以，，所以，则，所以AC：，故不是双曲线的渐近线，即B正确，C错误；对于选项D，若四边形ABCD为正方形，不妨设A为第一象限内的交点，设，，由，解得，又，所以，所以当时，使四边形ABCD为正方形，故D正确；故选：首先求出双曲线的顶点坐标与渐近线方程，即可判断A，对于B、C，求出交点坐标，即可判断B、C，设，求出m、r，即可判断本题主要考查了双曲线的性质，考查了圆与双曲线的综合问题，属于中档题．12.【答案】ACD【解析】解：由于函数的导函数为，则，又得其导函数为，故在定义域为单调递增函数，知无最小值，故B错误；当时，，，，故；当时，，，，但是指数函数始终增长的最快，故；又因为，，故一定存在，使得，所以在时为单调递减，在时为单调递增，故在处取得最小值，故A正确；又在定义域为单调递增函数，可知在为凹函数，可得，即，故C正确；令，易知，，，令，故在定义域为单调递增函数，故，则，故D正确．故选：对选项逐一判断，首先对求导得到，再对进行求导，得出的单调性及零点，即可得出，最值及单调性，即可判断AB的正误，由的增减性可知的凹凸性，由此可知，的大小，即可判断C的正误，再构造，同理可判断D的正误．本题主要考查了导数与单调性，函数性质的综合应用，属于中档题．13.【答案】【解析】解：，，根据同角关系有，故答案为：根据正切的定义，运用诱导公式以及同角关系求解．本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．14.【答案】【解析】解：分两种情况讨论：第一局甲胜，第二局乙胜：若第一局甲执黑子先下，则甲胜第一局的概率为，第二局乙执黑子先下，则乙胜的概率为，若第一局乙执黑子先下，则甲胜第一局的概率为，第二局乙执黑子先下，则乙胜的概率为，所以第一局甲胜，第二局乙胜的概率为；第一局乙胜，第二局甲胜：若第一局甲执黑子先下，则乙胜第一局的概率为，第二局甲执黑子先下，则甲胜的概率为，若第一局乙执黑子先下，则乙胜第一局的概率为，第二局甲执黑子先下，则甲胜的概率为，所以，第一局乙胜，第二局甲胜的概率为综上所述，甲、乙各胜一局的概率为故答案为：分两种情况讨论：第一局甲胜，第二局乙胜：第一局乙胜，第二局甲胜．分析出每局输赢的情况，结合独立事件和互斥事件的概率公式可求得所求事件的概率．本题主要考查了独立事件的概率乘法公式，属于基础题．15.【答案】2【解析】解：由图可知函数过点，所以，即，所以或，，因为，所以或，又函数在原点右侧最近的零点的右侧的极值点函数取得最小值，所以，所以，因为在区间内单调递减，，所以，所以，所以，则或解得或，所以的最大值为故答案为：根据函数过点求出的值，再根据x的范围求出的范围，结合函数的单调性与周期性求出的大致范围，再根据正弦函数的性质得到不等式组，解得即可．本题主要考查了正弦函数性质的应用，属于中档题．16.【答案】【解析】解：由四边形ABCD为菱形，，可得为正三角形，设H为AB的中点，连接DH，所以又，因此又平面ABCD，故以D为原点，分别以DE，DC，DF所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示：设，，，，则，，，，由题意，则平面ABCD，平面ABCD，设，，从而，因为四边形BEFG是正方形，所以，所以，解得，所以，，设，则，因为，所以，所以，即，所以，所以，设异面直线AG与DE所成角为，又，所以，即异面直线AG与DE所成角的余弦值为故答案为：；根据线面垂直，建立空间直角坐标系，利用向量法求解距离及异面直线所成角的余弦值．本题主要考查了利用空间向量求线段的长，以及利用空间向量求异面直线所成的角，属于中档题．17.【答案】解：由，，可得，所以，则，又因为，所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，则，所以，则，所以由可知：，当n为偶数时，，当n为奇数时，，因为，，所以使不等式成立的n的最小值为【解析】根据递推公式即可证明是等比数列，然后利用等比数列的通项公式和已知条件即可求解；结合的通项公式求出数列的前n项和为，然后讨论即可求解．本题主要考查数列递推式，数列的求和，考查运算求解能力，属于中档题．18.【答案】解：，，当且仅当，即时，等号成立，的最小值为；分别延长BM，CM，AM，交三角形的对应边于点D，E，F，点M为的重心，，在中，，D为边AC的中点，，，设，，则，，在中，又勾股定理可得：，即，同理在中，，即，在中，，即，消去x，y得，又，所以，从而解得，即，在中，由余弦定理可得：，，同理在中，，，【解析】利用余弦定理及基本不等式即可求解最小值；利用重心性质及勾股定理求出边长关系，利用余弦定理求出两个角的余弦值，然后通过同角关系求出正弦值即可．本题考查解三角形，余弦定理勾股定理，基本不等式的应用，方程思想，属中档题．19.【答案】解：人全通过初赛的概率为，所以这3人中至多有2人通过初赛的概率为；甲参加市知识竞赛的概率为，乙参加市知识竞赛的概率为，丙参加市知识竞赛的概率为，所以这3人中至少有1人参加市知识竞赛的概率为；方案一：设三人中奖人数为X，所获奖金总额为Y元，则，且，所以元，方案二：记甲、乙、丙三人获得奖金之和为Z元，则Z的所有可能取值为600、900、1200、1500，则，，，，所以所以，所以从三人奖金总额的数学期望的角度分析，品牌商选择方案二更好．【解析】计算出3人全通过初赛的概率，再利用对立事件的概率公式可求得所求事件的概率；计算出3人各自参加市知识竞赛的概率，再利用独立事件和对立事件的概率公式可求得所求事件的概率；利用二项分布及期望的性质求出方案一奖金总额的期望，对方案二，列出奖金总额为随机变量的所有可能取值，并求出对应的概率，求出其期望，比较大小作答．本题主要考查了独立事件的概率乘法公式，考查了二项分布的概率公式和期望公式，属于中档题．20.【答案】解：因为，，在中，由余弦定理可得，则，所以，则，又因为为直四棱柱，所以平面ABCD，所以，DA，DB两两垂直，建立如图所示空间直角坐标系，设，则，，，，，，，所以，，，设平面的法向量为，则，则可取，由题意可知：AD与平面所成的角为，所以，解得，所以由知：平面的法向量，，，设平面的法向量为，则，则可取，则，由图可知：二面角为锐二面角，所以二面角的余弦值【解析】根据，，利用余弦定理可得，结合已知条件，建立空间直角坐标系，设，写出相应点的坐标，求出平面的法向量和AD的方向向量，线面角即可求解；结合的结论和平面的法向量，再求出平面的法向量，利用空间向量的夹角公式即可求解．本题考查空间向量在立体几何中的运用，考查空间想象能力，推理论证能力和运算求解能力，考查直观想象和数学运算等核心素养，属于中档题．21.【答案】解：由已知得，，，即①又因为的面积为1，所以，即②联立①②解得，，所以椭圆C的方程为；根据题意，直线l的斜率存在，且l不过C的上、下顶点，故可设其方程为，，设Q点的横坐标为，AB与QN的交点为T，其横坐标为，由得，，则，即，又，由已知直线MB的方程为，直线AB的方程为，直线QN的方程为，联立，解得，即，联立，解得，即，因为AB平分线段QN，所以T为线段QN的中点，所以，即，整理得，把代入上式整理得，因为，所以，化简得，又由得，解得，，设，则，所以，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以，当时，有最大值，即d有最大值，所以，所以直线MN的方程为【解析】根据已知条件列出关于a，b的方程组求解即可；设l的方程为，，Q点的横坐标为，AB与QN的交点为T，其横坐标为，由已知可得，结合韦达定理可得出，从而可求点到l的距离d，再通过构造函数，利用函数单调性求出d取最大值时的条件，从而可求直线MN 的方程．本题主要考查了椭圆性质在椭圆方程求解中的应用，还考查了直线与椭圆位置关系的应用，属于中档题．22.【答案】解：将代入的解析式得：，，令，显然是增函数，，，使得，此时，当时，，单调递减，当时，，单调递增，，显然是关于得减函数，，由，，得，，，即，是增函数；令，，，令，令，则有，，，显然是增函数，第21页，共21页，，使得，当时，，单调递减，当时，，单调递增，，，时，，即，是增函数，时，，即是减函数，时，是增函数，所以在处，有极大值，在处有极小值，的大致图像如下：欲使得原函数有3个零点，a 得取值范围是，综上，a 得取值范围是【解析】将代入函数解析式，求导，求出导函数的极小值即可；参数分离，构造函数，求出其单调区间以及函数的大致图像即可．本题主要考查了导数与单调性关系的应用，还考查了函数性质在零点个数判断中的应用，特殊值是解决本题的一个关键，对于导函数的研究的一个原则是多次求导直到导函数能够比较清晰的观察出其单调性为好，属于中档题．。
2020-2021学年（新课标i卷）高考数学文科模拟试题及答案解析
2020-2021学年（新课标i卷）⾼考数学⽂科模拟试题及答案解析绝密★启封并使⽤完毕前试题类型：普通⾼等学校招⽣全国统⼀考试⽂科数学注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(⾮选择题)两部分.第Ⅰ卷1⾄3页，第Ⅱ卷3⾄5页. 2.答题前，考⽣务必将⾃⼰的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上⽆效.4.考试结束后，将本试题和答题卡⼀并交回.第Ⅰ卷⼀. 选择题：本⼤题共12⼩题，每⼩题5分，在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的.（1）设集合{1,3,5,7}A =，{|25}B x x =≤≤，则A B =I（A ）{1,3}（B ）{3,5}（C ）{5,7}（D ）{1,7}(2)设(12i)(i)a ++的实部与虚部相等，其中a 为实数，则a=（A ）－3（B ）－2（C ）2（D ）3（3）为美化环境，从红、黄、⽩、紫4种颜⾊的花中任选2种花种在⼀个花坛中，余下的2种花种在另⼀个花坛中，则红⾊和紫⾊的花不在同⼀花坛的概率是（A ）13（B ）12（C ）13（D ）56（4）△ABC 的内⾓A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.已知a =2c =，2cos 3A =，则b=（A （B C ）2（D ）3（5）直线l 经过椭圆的⼀个顶点和⼀个焦点，若椭圆中⼼到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离⼼率为（A ）13（B ）12（C ）23（D ）34（6）若将函数y=2sin (2x+π6)的图像向右平移14个周期后，所得图像对应的函数为（A ）y=2sin(2x+π4) （B ）y=2sin(2x+π3) （C ）y=2sin(2x –π4) （D ）y=2sin(2x –π3)（7）如图，某⼏何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该⼏何体的体积是28π3，则它的表⾯积是（A ）17π（B ）18π（C ）20π（D ）28π（8）若a>b>0，0（A ）log a c（D ）c a>c b（9）函数y=2x 2–e |x|在[–2,2]的图像⼤致为（A ）（B ）（C ）（D ）（10）执⾏右⾯的程序框图，如果输⼊的0,1,x y ==n=1,则输出,x y 的值满⾜（A ）2y x =（B ）3y x = （C ）4y x = （D ）5y x =（11）平⾯α过正⽂体ABCD —A 1B 1C 1D 1的顶点A 11//CB D α平⾯,ABCD m α=I 平⾯，11ABB A n α=I 平⾯，则m ，n 所成⾓的正弦值为（A ）3（B ）22（C ）3（D ）13（12）若函数1()sin 2sin 3f x x -x a x =+在(),-∞+∞单调递增，则a 的取值范围是（A ）[]1,1-（B ）11,3??-（C ）11,33??-（D ）11,3--第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考⽣都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题，考⽣根据要求作答. ⼆、填空题：本⼤题共3⼩题，每⼩题5分（13）设向量a=(x ，x+1)，b=(1，2)，且a ⊥b ，则x=. （14）已知θ是第四象限⾓，且sin(θ+π4)=35，则tan(θ–π4)=. （15）设直线y=x+2a 与圆C ：x 2+y 2-2ay-2=0相交于A ，B 两点，若，则圆C 的⾯积为。
2020-2021年数学高考模拟试卷
2020-2021年数学高考模拟试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
)1. 已知集合M＝{x|y＝}，N＝{x|y＝log2(x−1)2}，则集合M∩N＝（）A.{x|0≤x≤2}B.{x|0≤x<1或1<x≤2}C.{x|1<x≤2}D.{x|0<x<2}2. 复数z满足：z+＝2，则z＝（）A.-iB.-iC.+iD.+i3. 人口普查是世界各国所广泛采用的搜集人口资料的一种科学方法，是提供全国基本人口数据的主要来源．根据人口普查的基本情况，可以科学的研究制定社会、经济、科教等各项发展政策，是国家科学决策的重要基础工作，人口普查资料是制定人口政策的依据和前提．截止2020年10月10日，我国共进行了六次人口普查，如图是这次人口普查的人数和增幅情况，下列说法正确的是（）A.人口数逐次增加，第二次增幅最大B.第六次普查人数最多，第四次增幅最小C.第六次普查人数最多，第三次增幅最大D.人口数逐次增加，从第二次开始增幅减小4. 已知圆C:x2+y2−4x−2y+3＝0，过原点的直线l与圆C相交于A，B两点，则当△ABC的面积最大时，直线l的方程为（）A.y＝0或y＝xB.y＝2x或y＝-xC.x＝0或y＝xD.y＝x5. 将3名男生1名女生分配到甲、乙、丙三个社区参加社会实践，每个社区至少一名同学，则恰好一名女生和一名男生分到甲社区的概率是（）A. B. C. D.6. 函数f(x)＝ln(|x|+1)⋅sin2x的部分图象大致是（）A. B.C. D.7. 雪花曲线因其形状类似雪花而得名，它的产生与雪花类似，由等边三角形开始，把三角形的第一条边三等分，并以每一条边三等分后的中段为边，向外作新的等边三角形，但要去掉与原三角形叠合的边，接着对每一个等边三角形“尖出”的部分继续上述过程，即以每条边三等分后的中段为边向外作新的等边三角形（如图：（2），（3），（4）是等边三角形（1）经过第一次，第二次，第三次，变化所得雪花曲线）．若按照上述规律，一个边长为3的等边三角形，经过四次变化得到的雪花曲线的周长是（）A. B. C. D.8. 如图，直角三角形△ABC中，∠ABC＝90∘，AB＝3，BC＝4，M点是线段AC一动点，若以M为圆心半径为的圆与线段AC交于P，Q两点，则•的最小值为（）A. B. C. D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分)9. 对任意实数a，b，c，有以下命题中，正确的是（）A.若ac2<bc2，则a<bB.若a>b，则>1C.>，则a<|b|D.若a>1>b>0，则log a(a−b)>010. 设M，N是函数f(x)＝2sin(ωx+φ)(ω>0, 0<φ<π)的图象与直线y＝2的交点，若M，N两点距离的最小值为6，P(−，2)是该函数图象上的一个点，则下列说法正确的是（）A.该函数图象的一个对称中心是(7, 0)B.该函数图象的对称轴方程是x＝-+3k，k∈ZC.f(x)在[-，-]上单调递增D.f(x)＝2cos（x+）11. 如图所示，在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，M，N分别为棱A1D1，DD1的中点，则以下四个结论正确的是（）A.B1C // MNB.B1C⊥平面MNC1C.A到直线MN的距离为D.过MN作该正方体外接球的截面，所得截面的面积的最小值为12. 已知函数f(x)＝−ln x+m在区间(1, e)内有唯一零点，则m的可能取值为（）A.-B.C.D.1+三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020-2021学年最新高考总复习数学高考冲刺压轴卷(文卷二)及答案解析
最新高考冲刺压轴卷·全国数学（文卷二）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分． 共 4页．满分150分，考试时间120分钟． 考试结束，将试卷答题卡交上，试题不交回．第Ⅰ卷 选择题（共50分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座号涂写在答题卡上．2．选择题每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．3．第Ⅱ卷试题解答要作在答题卡各题规定的矩形区域内，超出该区域的答案无效． 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1．（2015·山东潍坊市二模·1)设全集R U =，集合}1|||{≤=x x A ，}1log |{2≤=x x B ，则B A UI 等于（ ）A ．]1,0(B ．]1,1[-C ．]2,1(D ．]2,1[)1,(Y --∞２．（2015·山东日照市高三校际联合检测·1)在复平面内，复数121iz i+=-（i 是虚数单位）对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3. （2015·山东青岛市二模·3)某校共有高一、高二、高三学生1290人，其中高一480人，高二比高三多30人，为了解该校学生健康状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有高一学生96人，则该样本中的高三学生人数为（ ）A ．84B ．78C ．81D ．964．（2015·山东济宁市二模·4)已知α，β表示两个不同的平面，m 为平面α内的一条直线，则“αβ⊥”是“m β⊥”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．（2015·山东德州市二模·5)已知向量AB AC 与uu u r uuu r的夹角为602=AB AC AP AB AC AP λ==+⊥，且，若，且ouuu r uuu u r uu u r uu u r uu u r uu u r BC uu u r ，则实数λ的值为（ ）A ．12B ．1C ．2D ．12-6．（2015·山东淄博市二模·6)ABC ∆的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，若a,b,c ，成等比数列，且c=2a ，则cosC=（ ）A ．4B ．4-C ．34D ．34-7. （2015·山东聊城市二模·7)已知函数()()2log ,1,2,0 1.x x f x f x x ≥⎧⎪=⎨<<⎪⎩则1212f ⎡⎤⎛⎫⎢⎥= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦（ ） A. 32B.1C.12D.1-8．（2015·山东省济宁市曲阜市第一中学三模·9)设P 为双曲线221916x y -=右支上一点，12,F F 分别是双曲线的左焦点和右焦点，过P 点作12PH F F ⊥，若12PF PF ⊥，则PH =（ ） A ．645B ．85C ．325D ．1659. （2015·山东潍坊市第一中学4月份过程性检测·9)函数()22sin 1,0,24,0x x x f x x x x ⎧-+>⎪=⎨--≤⎪⎩的零点个数为（ ）A.0B.1C.2D.310．（2015·山东兖州市第一中学4月月考·10)函数()(2)()f x x ax b =-+为偶函数，且在(0,)+∞单调递增，则(2)0f x ->的解集为（ ）A ．{|22}x x x ><-或B ．{|22}x x -<<C ．{|04}x x x <>或D ．{|04}x x <<第Ⅱ卷 非选择题（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡中相应题的横线上．11．（2015·山东淄博市二模·11)若x,y都是锐角，且51sin tan,3x y x y==+=，则_________．12．（2015·山东菏泽市二模·12)设,x y满足约束条件302x yx yx-+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩,则22x y+的最大值为；13．（2015·山东烟台市二模·11)14．（2015·山东潍坊市二模·12)当输入的实数[2,30]x∈时，执行如图所示的程序框图，则输出的x不小于103的概率是；15．（2015·山东潍坊市二模·14)已知实数,x y 满足102x y x y >>+=，且，则213x y x y++-的最小值为________． 三、解答题：本大题共6小题，共75分．16.（2015·山东聊城市二模·16) （本小题满分12分）一个小商店从某食品有限公司购进10袋白糖，称池内各袋白糖的重量（单位：g ），如茎叶图所示，其中有一个数据被污损. （I ）若已知这些白糖重量的平均数为497g ，求污损处的数据a ；（II ）现从重量不低于498g 的所购各袋白糖中随机抽取2袋，求重量是508g 的那袋被抽中的概率.17．（2015·山东省济宁市曲阜市第一中学三模·17)（本题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和n S ，常数0λ>且11n n a a S S λ=+对一切正整数n 都成立． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设10,100a λ>=，当n 为何值时，数列1lg n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的 前n 项和最大？18．（2015·山东潍坊市第一中学4月份过程性检测·17)（本小题满分12分）已知三棱柱111ABC A B C -中，11=9022,BCA AA AC BC A ∠===o ，在底面ABC 上的射影恰为AC 的中点D.（1）求证：11AC BA ⊥； （2）求四棱锥111A BCC B -的体积.19．（2015·山东济南二模·17)（本小题满分12分）济南天下第一泉风景区为了做好宣传工作，准备在A 和B 两所大学分别招募8名和12名志愿者，将这20名志愿者的身高编成如右茎叶图（单位：cm ）.若身高在175cm 以上（包括175cm ）定义为“高精灵”，身高在175cm 以下 （不包括175cm ）定义为“帅精灵”.已知A 大学志愿者的身高的平均数为176cm ，B 大学志愿者的身高的中位数为168cm. （I ）求,x y 的值；（II ）如果用分层抽样的方法从“高精灵”和“帅精灵”中抽取5人，再从这5人中选2人.求至少有一人为“高精灵”的概率.20．（2015·山东菏泽市二模·20)（本小题满分13分）已知椭圆C 的中心在坐标原点，右焦点为(7,0)F ，A ,B 是椭圆C 的左、右顶点，D 是椭圆C 上异于A ，B 的动点，且△ADB 面积的最大值为12．（1）求椭圆C 的方程；（2）求证：当点),(00y x P 在椭圆C 上运动时，直线2:00=+y y x x l 与圆1:22=+y x O 恒有两个交点，并求直线l 被圆O 所截得的弦长L 的取值范围．21．（2015·山东烟台市二模·20) （本小题满分14分）数学（文卷二）参考答案与解析1．C【命题立意】本题旨在考查集合的运算。
(精选3份合集)2020届衡水中学高考数学模拟试卷
C. n点溶质是KOH和HCOOK的混合溶液，溶液显碱性，根据电荷守恒和溶液呈碱性，因此溶液中存在：c (K＋) > c(HCOO－)，q点是HCOOK和HCOOH的混合溶液，溶液呈中性，根据电荷守恒和呈中性，得到溶液中存在c (K＋) = c(HCOO－)，故C错误；
⑥酸性溶液中，Fe2+、NO3-、I-会发生氧化还原反应，不能大量存在，⑥不合题意。
综合以上分析，只有②④⑤符合题意。故选C。
2．298K时，向20mL一定浓度的KOH溶液中滴加0.1mol·L-1HCOOH溶液，混合溶液中水电离出的氢氧根离子浓度与滴加甲酸(弱酸)溶液体积(V)的关系如图所示。下列说法不正确的是（）
故选B。
4．向100mL0.1mol∙L-1硫酸铝铵[NH4Al(SO4)2]溶液中逐滴滴入0.1mol∙L-1Ba(OH)2溶液。随着Ba(OH)2溶液体积V的变化，沉淀总物质的量n的变化如图所示。下列说法正确的（）
A．a点的溶液呈中性
B．a点沉淀的质量比c点沉淀的质量大
C．b点加入Ba(OH)2溶液的体积为250mL
继续滴加Ba(OH)2，Al(OH)3溶解，发生反应Al(OH)3+OH-=AlO2﹣+2H2O，由方程式可知要使0.01mol Al(OH)3完全溶解，需再加入0.005mol Ba(OH)2，此时溶液为氨水与偏铝酸钡溶液．（b到c）
【详解】
A．由分析可知，从开始到a点，发生反应为SO42﹣+Ba2+=BaSO4↓，Al3++3OH﹣= Al(OH)3↓，a点对应的沉淀为BaSO4和Al(OH)3，溶液中的溶质是(NH4)2SO4，该物质水解溶液呈酸性，A错误；
2020-2021学年高考总复习数学(文科)仿真模拟试题及答案解析一
最新高考数学模拟试卷（文科）（5月份）一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．在复平面内，复数对应的点的坐标为（）A．（2，1）B．（1，﹣2）C．（1，2）D．（2，﹣1）2．设平面向量，若，则等于（）A．B． C． D．3．设集合A={{x|＜2x＜16}，B={x|y=ln（x2﹣3x）}，从集合A中任取一个元素，则这个元素也是集合B中元素的概率是（）A．B．C．D．4．甲几何体（上）与乙几何体（下）的组合体的三视图如图所示，甲、乙的体积分别为V1、V2，则V1：V2等于（）A．1：4 B．1：3 C．2：3 D．1：π5．函数y=的图象可能是（）A．B．C．D．6．设f（x）=x+sinx（x∈R），则下列说法错误的是（）A．f（x）是奇函数B．f（x）在R上单调递增C．f（x）的值域为R D．f（x）是周期函数7．执行如图所示的程序框图，输出的x值为（）A．4 B．5 C．6 D．78．函数的部分图象如图所示，则=（）A．﹣10 B．﹣5 C．5 D．109．设x，y满足约束条件，若z=x+3y的最大值与最小值的差为7，则实数m=（）A．B． C．D．10．已知函数g（x）=x﹣1，函数f（x）满足f（x+1）=﹣2f（x）﹣1，当x∈（0，1]时，f（x）=x2﹣x，对于∀x1∈（1，2]，∀x2∈R，则（x1﹣x2）2+（f（x1）﹣g（x2））2的最小值为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．某单位为了了解用电量y度与气温x°C之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：气温（°C）18 13 10 ﹣1用电量（度）24 34 38 64由表中数据得线性回归方程中b=﹣2，预测当气温为﹣4°C时，用电量的度数约为．12．已知函数f（x）=x2+2bx的图象在点A（0，f（0））处的切线l与直线x﹣y+3=0平行，若数列的前n项和为S n，则S2016= ．13．若log4（3a+4b）=log2，则a+b的最小值是．14．已知直线ax+by+c=0与圆：x2+y2=1相交于A、B两点，且，则= ．15．已知双曲线的半焦距为c，过右焦点且斜率为1的直线与双曲线的右支交于两点，若抛物线y2=4cx的准线被双曲线截得的弦长是（e为双曲线的离心率），则e的值为．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.16．已知=（sinx，2），=（2cosx，cos2x），函数f（x）=•，（1）求函数f（x）的值域；（2）在△ABC中，角A，B，C和边a，b，c满足a=2，f（A）=2，sinB=2sinC，求边c．17．襄阳市某优质高中为了选拔学生参加“全国中学生英语能力竞赛（NEPCS）”，先在本校进行初赛（满分150分），若该校有100名学生参加初赛，并根据初赛成绩得到如图所示的频率分布直方图．（1）根据频率分布直方图，计算这100名学生参加初赛成绩的中位数；（2）该校推荐初赛成绩在110分以上的学生代表学校参加竞赛，为了了解情况，在该校推荐参加竞赛的学生中随机抽取2人，求选取的两人的初赛成绩在频率分布直方图中处于不同组的概率．18．在四棱锥E﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，AC与BD交于点O，EC⊥底面ABCD，G、F分别为EO、EB中点，且AB=CE．（Ⅰ）求证：DE∥平面ACF；（Ⅱ）求证：CG⊥平面BDE；（Ⅲ）若AB=1，求三棱锥F﹣ACE的体积．19．已知数列{a n}是公差不为零的等差数列，a1=2，且a2，a4，a8成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项；（Ⅱ）设{b n﹣（﹣1）n a n}是等比数列，且b2=7，b5=71，求数列{b n}的前n项和T n．20．已知函数，对任意的x∈（0，+∞），满足，其中a，b为常数．（1）若f（x）的图象在x=1处切线过点（0，﹣5），求a的值；（2）已知0＜a＜1，求证：；（3）当f（x）存在三个不同的零点时，求a的取值范围．21．已知椭圆C：的离心率为，点在椭圆C上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设动直线l与椭圆C有且仅有一个公共点，判断是否存在以原点O为圆心的圆，满足此圆与l相交两点P1，P2（两点均不在坐标轴上），且使得直线OP1，OP2的斜率之积为定值？若存在，求此圆的方程；若不存在，说明理由．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．在复平面内，复数对应的点的坐标为（）A．（2，1）B．（1，﹣2）C．（1，2）D．（2，﹣1）【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】利用复数代数形式的乘除运算分钟化简复数为：a+bi的形式，即可得答案．【解答】解：∵复数===2+i．∴复数在复平面内对应的点的坐标为（2，1）．故选：A．2．设平面向量，若，则等于（）A．B． C． D．【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示；向量的模．【分析】由向量平行的到b=﹣4，从而得到=（﹣3，6），由此能求出．【解答】解：∵平面向量，，∴，解得b=﹣4．∴=（2，﹣4），=（﹣3，6），∴==3．故选：D．3．设集合A={{x|＜2x＜16}，B={x|y=ln（x2﹣3x）}，从集合A中任取一个元素，则这个元素也是集合B中元素的概率是（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】先根据集合A，B，求出A∩B，再利用长度型的几何概型的意义求解即可．【解答】解：∵集合A={x|＜2x＜16}=（﹣2，4），B={x|y=ln（x2﹣3x）}=（0，3），∴A∩B={x|0＜x＜3}，∴事件“x∈A∩B”的概率是=故选：C．4．甲几何体（上）与乙几何体（下）的组合体的三视图如图所示，甲、乙的体积分别为V1、V2，则V1：V2等于（）A．1：4 B．1：3 C．2：3 D．1：π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由几何体的三视图可知，甲几何体为球体，乙几何体为圆锥，结合体积公式进行比较即可．【解答】解：由几何体的三视图可知，甲几何体为球体，球的半径为1，故V1=，乙几何体为圆锥，底面半径为2，高为3，故V2=×π×22×3=，∴V1：V2=1：3，故选：B．5．函数y=的图象可能是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】根据函数的表达式得出函数的奇偶性，根据奇函数图象关于原点对称，再利用特殊值法排除D选项即可．【解答】解：定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），且函数为奇函数，∴图象关于原点对称，排除A，C，当x为无穷大时，显然函数值为正，故排除D，故选：B．6．设f（x）=x+sinx（x∈R），则下列说法错误的是（）A．f（x）是奇函数B．f（x）在R上单调递增C．f（x）的值域为R D．f（x）是周期函数【考点】三角函数的周期性及其求法．【分析】由题意可得f（﹣x）=﹣f（x），即可判断f（x）为奇函数，从而A正确；利用f′（x）=1﹣cosx≥0，可得函数f（x）在R上单调递增，B正确；根据f（x）在R上单调递增，可得f（x）的值域为R，故C正确；由f（x）不是周期函数，可得D错误．即可得解．【解答】解：因为f（﹣x）=﹣x+sin（﹣x）=﹣（x+sinx）=﹣f（x），所以f（x）为奇函数，故A正确；因为f′（x）=1﹣cosx≥0，所以函数f（x）在R上单调递增，故B正确；因为f（x）在R上单调递增，所以f（x）的值域为R，故C正确；f（x）不是周期函数，故选：D．7．执行如图所示的程序框图，输出的x值为（）A．4 B．5 C．6 D．7【考点】程序框图．【分析】执行程序框图，依次写出每次循环得到的x，y的值，当x=6，y=64时，满足条件y=64＞10×6+3，退出循环，输出x的值为6．【解答】解：执行程序框图，有a=2，x=3，y=8不满足条件y＞10x+3，x=4，y=16不满足条件y＞10x+3，x=5，y=32不满足条件y＞10x+3，x=6，y=64满足条件y=64＞10×6+3，退出循环，输出x的值为6．故选：C．8．函数的部分图象如图所示，则=（）A．﹣10 B．﹣5 C．5 D．10【考点】正弦函数的图象；平面向量数量积的运算．【分析】根据根据函数的部分图象，求得A、B的坐标，再利用两个向量的数量积公式求得要求式子的值．【解答】解：根据函数的部分图象，可得sin x=0，由五点作图法知x=π，故x=2，∴A（2，1）．令y=2sin x+1=﹣1，求得sin x=﹣1，求得x=3，故B（3，﹣1）．∴=（8，﹣1）•（1，﹣2）=8+2=10，故选：D．9．设x，y满足约束条件，若z=x+3y的最大值与最小值的差为7，则实数m=（）A．B． C．D．【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件画出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，进一步求出最值，结合最大值与最小值的差为7求得实数m的值．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（1，2），联立，解得B（m﹣1，m），化z=x+3y，得．由图可知，当直线过A时，z有最大值为7，当直线过B时，z有最大值为4m﹣1，由题意，7﹣（4m﹣1）=7，解得：m=．故选：C．10．已知函数g（x）=x﹣1，函数f（x）满足f（x+1）=﹣2f（x）﹣1，当x∈（0，1]时，f（x）=x2﹣x，对于∀x1∈（1，2]，∀x2∈R，则（x1﹣x2）2+（f（x1）﹣g（x2））2的最小值为（）A．B．C．D．【考点】全称命题．【分析】函数f（x）满足f（x+1）=﹣2f（x）﹣1，当x∈（0，1]时，f（x）=x2﹣x，∀x1∈（1，2]，x1﹣1∈[0，1]，则f（x1）=﹣2f（x1﹣1）﹣1﹣1=+6x1﹣5．设直线y=x+m与抛物线y=﹣2x2+6x﹣5相切，化为2x2﹣5x+5+m=0，令△=0，解得m．利用平行线之间的距离公式即可得出．【解答】解：函数f（x）满足f（x+1）=﹣2f（x）﹣1，当x∈（0，1]时，f（x）=x2﹣x，∀x1∈（1，2]，x1﹣1∈[0，1]，则f（x1）=﹣2f（x1﹣1）﹣1=﹣2﹣1=+6x1﹣5．设直线y=x+m与抛物线y=﹣2x2+6x﹣5相切，化为2x2﹣5x+5+m=0，令△=25﹣8（5+m）=0，解得m=．∴两条平行线y=x﹣1与y=x﹣的距离d==．∴（x1﹣x2）2+（f（x1）﹣g（x2））2的最小值为．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．某单位为了了解用电量y度与气温x°C之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：气温（°C）18 13 10 ﹣1用电量（度）24 34 38 64由表中数据得线性回归方程中b=﹣2，预测当气温为﹣4°C时，用电量的度数约为68 ．【考点】回归分析的初步应用．【分析】根据所给的表格做出本组数据的样本中心点，根据样本中心点在线性回归直线上，利用待定系数法做出a的值，现在方程是一个确定的方程，根据所给的x的值，代入线性回归方程，预报要销售的件数．【解答】解：由表格得，为：（10，40），又在回归方程上且b=﹣2∴40=10×（﹣2）+a，解得：a=60，∴y=﹣2x+60．当x=﹣4时，y=﹣2×（﹣4）+60=68．故答案为：68．12．已知函数f（x）=x2+2bx的图象在点A（0，f（0））处的切线l与直线x﹣y+3=0平行，若数列的前n项和为S n，则S2016= ．【考点】数列的求和；二次函数的性质．【分析】通过向量相等、求导并解方程可知b=，进而裂项可知=﹣，并项相加即得结论．【解答】解：∵函数f（x）=x2+2bx的图象在点A（0，f（0））处的切线l与直线x﹣y+3=0平行，∴f′（0）=0+2b=1，即b=，∴f（x）=x2+x，==﹣，∴S2016=1﹣+﹣+…+﹣=，故答案为：．13．若log4（3a+4b）=log2，则a+b的最小值是7+4．【考点】基本不等式．【分析】log4（3a+4b）=log2，可得3a+4b=ab，a，b＞0.＞0，解得a＞4．于是a+b=a+=+7，再利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵log4（3a+4b）=log2，∴=，∴，∴3a+4b=ab，a，b＞0．∴＞0，解得a＞4．a+b=a+=+7≥7+=，当且仅当a=4+2时取等号．∴a+b的最小值是7+4．故答案为：7+4．14．已知直线ax+by+c=0与圆：x2+y2=1相交于A、B两点，且，则= ．【考点】向量在几何中的应用．【分析】直线与圆有两个交点，知道弦长、半径，不难确定∠AOB的大小，即可求得•的值．【解答】解：依题意可知角∠AOB的一半的正弦值，即sin =所以：∠AOB=120°则•=1×1×cos120°=．故答案为：．15．已知双曲线的半焦距为c，过右焦点且斜率为1的直线与双曲线的右支交于两点，若抛物线y2=4cx的准线被双曲线截得的弦长是（e为双曲线的离心率），则e的值为．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出抛物线的准线，根据准线和双曲线相交的弦长关系建立方程，得出a和c的关系，从而求出离心率的值．【解答】解：∵抛物线y2=4cx的准线：x=﹣c，它正好经过双曲线C：﹣=1（a＞b＞0）的左焦点，∴当x=﹣c时，﹣=1，即=﹣1==，即y=±，即准线被双曲线C截得的弦长为：，∵抛物线y2=4cx的准线被双曲线截得的弦长是，∴=be2，即：c2=3ab，∴2c4=9a2（c2﹣a2），∴2e4﹣9e2+9=0∴e=或，又过焦点且斜率为1的直线与双曲线的右支交于两点，∴渐近线y=x的斜率＜1，即b＜c，则b2＜c2，即c2﹣a2＜a2，则c2＜2a2，c＜a，则e=＜∴e=．故答案为：三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.16．已知=（sinx，2），=（2cosx，cos2x），函数f（x）=•，（1）求函数f（x）的值域；（2）在△ABC中，角A，B，C和边a，b，c满足a=2，f（A）=2，sinB=2sinC，求边c．【考点】平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】（1）根据向量的坐标运算以及二倍角公式，化简求出f（x），根据三角函数的性质求出值域；（2）先求出A的大小，再根据正弦余弦定理即可求出．【解答】解：（1）∵=（sinx，2），=（2cosx，cos2x），∴f（x）=•=2sinxcosx+2cos2x=sin2x+cos2x+1=2sin（2x+）+1，∵﹣1≤sin（2x+）≤1，∴﹣1≤2sin（2x+）+1≤3，∴函数f（x）的值域为[﹣1，3]；（2）∵f（A）=2，∴2sin（2A+）+1=2，∴sin（2A+）=∴2A+=2kπ+，或2A+=2kπ+，k∈Z，∴A=kπ，（舍去），A=kπ+，k∈Z，∵0＜A＜π，∴A=，∵sinB=2sinC，由正弦定理可得b=2c，∵a=2，由余弦定理可得，a2=b2+c2﹣2bccosA，∴3c2=4，解得c=．17．襄阳市某优质高中为了选拔学生参加“全国中学生英语能力竞赛（NEPCS）”，先在本校进行初赛（满分150分），若该校有100名学生参加初赛，并根据初赛成绩得到如图所示的频率分布直方图．（1）根据频率分布直方图，计算这100名学生参加初赛成绩的中位数；（2）该校推荐初赛成绩在110分以上的学生代表学校参加竞赛，为了了解情况，在该校推荐参加竞赛的学生中随机抽取2人，求选取的两人的初赛成绩在频率分布直方图中处于不同组的概率．【考点】频率分布直方图．【分析】（1）根据频率分布直方图，求出每个矩形的面积，即每组的概率，每组的中值乘以每组的频率之和即这100名学生参加选拔测试的平均成绩；（2）利用频率分布直方图计算分数在[110，130）和[130，150）的人数分别予以编号，列举出随机抽出2人的所有可能，找出符合题意得情况，利用古典概型计算即可．【解答】（1）设初赛成绩的中位数为x，则：（0.001+0.004+0.009）×20+0.02×（x﹣70）=0.5…解得x=81，所以初赛成绩的中位数为81；…（2）该校学生的初赛分数在[110，130）有4人，分别记为A，B，C，D，分数在[130，150）有2人，分别记为a，b，在则6人中随机选取2人，总的事件有（A，B），（A，C），（A，D），（A，a），（A，b），（B，C），（B，D），（B，a），（B，b），（C，D），（C，a），（C，b），（D，a），（D，b），（a，b）共15个基本事件，其中符合题设条件的基本事件有8个…故选取的这两人的初赛成绩在频率分布直方图中处于不同组的概率为P=…18．在四棱锥E﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，AC与BD交于点O，EC⊥底面ABCD，G、F分别为EO、EB中点，且AB=CE．（Ⅰ）求证：DE∥平面ACF；（Ⅱ）求证：CG⊥平面BDE；（Ⅲ）若AB=1，求三棱锥F﹣ACE的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）连结OF，在正方形ABCD中，AC与BD交于点O，由三角形的中位线定理可得OF∥DE，然后利用线面平行的判定得答案；（Ⅱ）由EC⊥底面ABCD，得EC⊥BD，再由BD⊥AC，由线面垂直的判定得BD⊥平面ACE，进一步得到CG⊥BD，在正方形ABCD中，由线段间的长度关系得到CG⊥EO，再由线面垂直的判定得答案；（Ⅲ）由AB=1，求得，进一步得到EC⊥底面ABCD，然后利用等积法求得三棱锥F﹣ACE的体积．【解答】证明：（Ⅰ）连结OF，在正方形ABCD中，AC与BD交于点O，则O为BD的中点，又∵F是EB中点，∴OF是△BDE的中位线，∴OF∥DE，∵DE⊄平面ACF，OF⊂平面ACF，∴DE∥平面ACF；（Ⅱ）∵EC⊥底面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴EC⊥BD，∵BD⊥AC，且AC∩CE=C，∴BD⊥平面ACE，∵CG⊂平面ACE，∴CG⊥BD，在正方形ABCD中，AC与BD交于点O，且，∴，在△OCE中，G是EO中点，∴CG⊥EO，∵EO∩BD=E，∴CG⊥平面BDE；解：（Ⅲ）∵AB=1，∴，∵F是EB中点，且EC⊥底面ABCD，∴．19．已知数列{a n}是公差不为零的等差数列，a1=2，且a2，a4，a8成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项；（Ⅱ）设{b n﹣（﹣1）n a n}是等比数列，且b2=7，b5=71，求数列{b n}的前n项和T n．【考点】等差数列与等比数列的综合．【分析】（Ⅰ）设出等差数列的公差，结合a1=2，且a2，a4，a8成等比数列列式求出公差，则数列{a n}的通项可求；（Ⅱ）把数列{a n}的通项代入b n﹣（﹣1）n a n，由{b n﹣（﹣1）n a n}是等比数列，且b2=7，b5=71列式求出等比数列的公比，得到等比数列的通项公式，则数列{b n}的通项可求，然后分n为奇数和偶数利用分组求和得答案．【解答】解：（Ⅰ）设数列{a n}的公差为d（d≠0），∵a1=2且a2，a4，a8成等比数列，∴（3d+2）2=（d+2）（7d+2），解得d=2，故a n=a1+（n﹣1）d=2+2（n﹣1）=2n．（Ⅱ）令，设{c n}的公比为q，∵b2=7，b5=71，a n=2n，∴c2=b2﹣a2=7﹣4=3，c5=b5+a5=71+10=81，∴，故q=3，∴，即，∴．T n=b1+b2+b3+…+b n=（30+31+…+3n﹣1）+[﹣2+4﹣6+…+（﹣1）n2n]当n为偶数时，；当n为奇数时，=．∴．20．已知函数，对任意的x∈（0，+∞），满足，其中a，b为常数．（1）若f（x）的图象在x=1处切线过点（0，﹣5），求a的值；（2）已知0＜a＜1，求证：；（3）当f（x）存在三个不同的零点时，求a的取值范围．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的零点与方程根的关系；导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（1）由求得a=b，代入原函数求得则f′（1），再求出f（1）由直线方程点斜式求得切线方程，代入（0，﹣5）求得a=﹣2；（2）求出=，令g（x）=（0＜x＜1），利用导数求得g（x）在（0，1）上为减函数，则由g（x）＞g（1）＞0得答案；（3）求出函数f（x）=lnx﹣ax+的导函数，分析可知当a≤0时，f′（x）＞0，f（x）为（0，+∞）上的增函数，不符合题意；当a＞0时，由△＞0求得a的范围．进一步求得导函数的两个零点，分别为，则x1＜1，x2＞1，由f（x）在（x1，1）上递增，得f（x1）＜f（1）=0，再由，可得存在，使得f（x0）=0，结合，f（1）=0，可得使f（x）存在三个不同的零点时的实数a的取值范围是（0，）．【解答】（1）解：由，且，得，即，∴a=b．则f（x）=lnx﹣ax+，∴，则f′（1）=1﹣2a，又f（1）=0，∴f（x）的图象在x=1处的切线方程为y﹣0=（1﹣2a）（x﹣1），即y=（1﹣2a）x﹣1+2a．∵（0，﹣5）在切线上，∴﹣5=﹣1+2a，即a=﹣2；（2）证明：∵f（x）=lnx﹣ax+，∴=，令g（x）=（0＜x＜1），则=＜0．∴g（x）在（0，1）上为减函数，∵x∈（0，1）时，g（x）＞g（1）=2ln1﹣+2﹣ln2=．∴0＜a＜1时，；（3）由f（x）=lnx﹣ax+，得=．当a=0时，，f（x）为（0，+∞）上的增函数，不符合题意；当a＜0时，，f（x）为（0，+∞）上的增函数，不符合题意；当a＞0时，由△=1﹣4a2＞0，得0．则当x∈（0，），（）时，f′（x）＜0；当x∈（）时，f′（x）＞0．设，则x1＜1，x2＞1，∵f（x）在（x1，1）上递增，∴f（x1）＜f（1）=0，又，∴存在，使得f（x0）=0，又，f（1）=0，∴f（x）恰有三个不同的零点．综上，使f（x）存在三个不同的零点时的实数a的取值范围是（0，）．21．已知椭圆C：的离心率为，点在椭圆C上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设动直线l与椭圆C有且仅有一个公共点，判断是否存在以原点O为圆心的圆，满足此圆与l相交两点P1，P2（两点均不在坐标轴上），且使得直线OP1，OP2的斜率之积为定值？若存在，求此圆的方程；若不存在，说明理由．【考点】圆锥曲线的定值问题；椭圆的标准方程．【分析】（Ⅰ）利用离心率列出方程，通过点在椭圆上列出方程，求出a，b然后求出椭圆的方程．（Ⅱ）当直线l的斜率不存在时，验证直线OP1，OP2的斜率之积．当直线l的斜率存在时，设l的方程为y=kx+m与椭圆联立，利用直线l与椭圆C有且只有一个公共点，推出m2=4k2+1，通过直线与圆的方程的方程组，设P1（x1，y1），P2（x2，y2），结合韦达定理，求解直线的斜率乘积，推出k1•k2为定值即可．【解答】（本小题满分14分）（Ⅰ）解：由题意，得，a2=b2+c2，…又因为点在椭圆C上，所以，…解得a=2，b=1，，所以椭圆C的方程为．…（Ⅱ）结论：存在符合条件的圆，且此圆的方程为x2+y2=5．…证明如下：假设存在符合条件的圆，并设此圆的方程为x2+y2=r2（r＞0）．当直线l的斜率存在时，设l的方程为y=kx+m．…由方程组得（4k2+1）x2+8kmx+4m2﹣4=0，…因为直线l与椭圆C有且仅有一个公共点，所以，即m2=4k2+1．…由方程组得（k2+1）x2+2kmx+m2﹣r2=0，…则．设P1（x1，y1），P2（x2，y2），则，，…设直线OP1，OP2的斜率分别为k1，k2，所以=，…将m2=4k2+1代入上式，得．要使得k1k2为定值，则，即r2=5，验证符合题意．所以当圆的方程为x2+y2=5时，圆与l的交点P1，P2满足k1k2为定值．…当直线l的斜率不存在时，由题意知l的方程为x=±2，此时，圆x2+y2=5与l的交点P1，P2也满足．综上，当圆的方程为x2+y2=5时，圆与l的交点P1，P2满足斜率之积k1k2为定值．…2016年6月14日。
河北省衡水市衡水中学2021届高三数学试题模拟合辑含详解
（Ⅰ）当 t 0 时，求 f x 的弹性区间 D； （Ⅱ）若 f x 1 在（Ⅰ）中的区间 D 上恒成立，求实数 t 的取值范围.
5
数学参考答案 _210210
一、选择题
1.B【解析】因为 A {x∣0 x 2}, B {x∣0 x 4} ， C {0, 2, 4, 6,} ，所以 A B {x∣0 x 4} ，所以
B. g(x) 的最小正周期为
C.点
8
,
0
是
g(x)
图象的一个对称中心
D. g(x) 的最大值为 5
12. 已 知 函 数
f
(x)
sin(
x
)
0,|
|
2
在区间
2
,
2 3
上至少存在两个不同的
x1, x2
满足
f
x1
f
x2 1 ，且
f
x
在区间
3
,
12
上具有单调性，点
6
的答案是 S1, S3 , S2 成等差数列. 如果甲、乙两名同学记得的答案是正确的，请通过推理把条件补充完整并解答此题.
4
22.（12 分）
定义可导函数 y f x 在 x 处的弹性函数为 f (x) x ，其中 f (x) 为 f (x) 的导数.在区间 D 上，若函数
f (x)
f x 的弹性函数值大于 1，则称 f x 在区间 D 上具有弹性，相应的区间 D 也称作 f x 的弹性区间. （1）若 r(x) ex x 1 ，求 r x 的弹性函数及弹性函数的零点；
1 2
x
2020届河北省衡水中学新高考冲刺模拟考试(十)文科数学
2020届河北省衡水中学新高考冲刺模拟考试（十)文科数学试题★祝你考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考考查范围。
2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。
5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
6、保持卡面清洁，不折叠，不破损。
7、本科目考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第I 卷(选择题共60分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确选项的代号填在答题卡的指定位置.）1.已知集合{|A x y ==，{|12}B x x =-≤≤，则A B =I （ ）A. [1,2]-B. [1,2]C. (1,2]D. [1,1]{2}-U【答案】B 【解析】由{|{|1}A x y x x ===≥得，[1,)A =+∞，又因为{|12}B x x =-≤≤，[1,2]A B ∴=I ，故选B.2.“,0a b c >>”是“ac bc >”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】试题分析：由不等式的性质知“,0a b c ac bc >>⇒>”是真命题，但反过来，若ac bc >，不能得出,0a b c >>，如(5)(1)(2)(1)-⨯->-⨯-，但52-<-，因此选A.考点：充分必要条件.3.某家庭去年收入的各种用途占比统计如下面的折线图，今年收入的各种用途占比统计如下面的条形图.已知今年的“旅行”费用比去年增加了3500元，则该家庭今年“衣食住”费用比去年增加了（ ）A. 2000元B. 2500元C. 3000元D. 3500元【答案】B 【解析】 【分析】根据折线图与条形图可得35%35%3500y x -=，即10000y x -=，从而得到“衣食住”费用的变化情况. 【详解】设该家庭去年的收入为x 元，今年的收入为y 元， 由题意得，35%35%3500y x -= ，解得10000y x -=，∴今年“衣食住”费用比去年多25%25%2500y x -=元，故选B.【点睛】本题考查对条形图和折线图的认识和应用，考查分析问题解决问题的能力． 4.函数()[]cos sin ,,=-∈-f x x x x x ππ的大致图象为（ ）A. B.C. D.【答案】D 【解析】 【分析】判断函数的奇偶性和对称性，利用2f π⎛⎫⎪⎝⎭的符号进行排除即可． 【详解】()()()cos sin cos sin f x x x x x x x f x -=-+=--=-， 函数()f x 是奇函数，图象关于原点对称，排除,A Ccos sin 102222f ππππ⎛⎫=-=-< ⎪⎝⎭，排除B ，故选D ．【点睛】本题考查函数的图象的判断与应用，考查函数的零点以及特殊值的计算，是中档题；已知函数解析式，选择其正确图象是高考中的高频考点，主要采用的是排除法，最常见的排出方式有根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等性质，同时还有在特殊点处所对应的函数值或其符号，其中包括,,0,0x x x x +-→+∞→-∞→→等.5.在ABC ∆中，BC 边上的中线AD 的长为3，BC =AB AC ⋅=u u u r u u u r（ ）A. 1-B. 1C. 2D. 3【答案】D 【解析】由题意得22()()()()()(69)3AB AC DB DA DC DA DB DA DB DA DB DA ⋅=-⋅-=-⋅--=--=--=u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v 【点睛】本题考查的是平面向量基本定理与向量的拆分，需要选择合适的基底，再把其它向量都用基底表示．6.已知角α的终边经过点(P -，则sin 2α=B. C. 12-D. 4-【答案】B 【解析】 分析】先求出点P 到原点的距离，再用三角函数的定义依次算出正、余弦值，利用二倍角公式计算结果即可． 【详解】角α的终边经过点p （﹣1），其到原点的距离r ==2 故cos 12α=-，sin 2α= ∴sin22α=sin αcos 122α=⨯-=（）故选B ．【点睛】本题考查了任意角三角函数的定义，考查了二倍角公式，属于基础题．7.若a r，b r =2，且（a b -r r ）a ⊥r ，则a r 与b r 的夹角是A.6πB.4π C.3π D.512π 【答案】B 【解析】2()202a b a a a b a b a b -⊥=-⋅=-⋅=⇒⋅=r r r r r r r r Q r r,cos 2||a b a b a b ⋅∴〈⋅〉===⋅r r r r u u r r,所以a 与b 的夹角是4π. 8.在数列 {}n a 中，112,2nn n a a a +=-=-，则2017a 的值为 （ ）A. 20162B. 20182C. 20172-D. 20172【答案】C 【解析】2112132122,2,,2n n n n n n a a a a a a a a Q -+-=-∴=-=-⋅⋅⋅=- ，以上等式相加得1121231211(12)(222)212n n n n n n a a a a a a a a ----++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+∴=-=-- ，201720172a ∴=- ．故选C ．9.已知函数()sin cos ,()f x x x g x =-为()f x 的导函数，则下列结论中正确的是 ( ) A. 函数()f x 的值域与()g x 的值域不同B. 存在0x ，使得函数()f x 和g()x 都在0x 处取得最值C. 把函数()f x 的图象向左平移π2个单位，就可以得到函数()g x 的图象 D. 函数()f x 和g()x 在区间π(0,)2上都是增函数【答案】C 【解析】 【分析】根据辅助角公式化简可得f （x ）=（x 4π-），求导化简可得g （x ）=（x 4π+），结合三角形的函数的图象和性质即可判断【详解】()sin cos 4f x x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，值域为：，()()'cos sin4g x f x x x x π⎛⎫==+=+ ⎪⎝⎭，值域为：］，两函数的值域相同，所以，A 错误；B 选项，不存在x 0，使得函数f （x ）和g （x ）都在x 0处取得极值点，B 错误；C 选项，()f x 的图像向右平移2π个单位：()24h x x ππ⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦与()g x 相同，C 正确；求出单调递增区间可知，()g x 在区间π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上不是增函数，D 错误．故选C【点睛】本题考查了导数的应用和三角函数的图象和性质，属于中档题.10.己知点(1,0)A -，(1,0)B 分别为双曲线2222:1(0,0)x yC a b a b-=>>的左、右顶点，点M 在双曲线C 上，若ABM V 是顶角为120︒的等腰三角形，则双曲线C 的方程为A. 2214y x -=B. 2213y x -=C. 2212y x -=D. 221x y -=【答案】D 【解析】分析：由条件可得1a =，不妨设点M 在双曲线的右支上，由题意可得等腰△ABM 中，120ABM ∠=︒且2AB BM ==，由此可得点M 的坐标，然后根据点M 在双曲线上可得1b =，故可得曲线方程．详解：由题意得1a =，故双曲线的方程为2221(0)y x b b-=>．设点M 在双曲线的右支上且在第一象限，则在等腰△ABM 中，有120ABM ∠=︒且2AB BM ==，∴点M 的横坐标为12cos 602M x =+︒=，纵坐标为2sin60M y =︒=，∴点M 的坐标为．又点在双曲线上，∴221-=，解得21b =， ∴双曲线的方程为221x y -=． 故选D ．点睛：对于圆锥曲线中的特殊几何图形的问题，解题时要根据题意将几何图形的性质转化为曲线中的有关系数的问题处理，如根据等腰三角形可得线段相等、底边上的高与底边垂直等．11.定义在R 上的函数()f x 满足(3)(3)f x f x +=-，当31x -≤<-时2()(2)f x x =-+，当13x -≤<时()f x x =，则(1)(2)(3)(2019)f f f f ++++L =（）A. 335B. 338C. 339D. 340【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的周期性，将函数值进行转化即可．【详解】解：(3)(3)f x f x +=-Q ，(6)()f x f x ∴+=()f x ∴为以6为周期的周期函数.Q 当31x -<-„时，2()(2)f x x =-+当13x -<„时，()f x x =，∴()11f =， ()22f =， ()3(3)1f f =-=-，()4(2)0f f =-=， ()5(1)1f f =-=-， ()6(0)0f f ==，∴()()()()()()1234561f f f f f f +++++=， ∴()()()123(2019)f f f f +++⋯+()()()336123f f f =+++ 338=．故选B ．【点睛】本题主要考查函数值的计算，根据函数的周期性，进行转化是解决本题的关键．12.椭圆与双曲线共焦点1F 、2F ，它们的交点P 对两公共焦点1F 、2F 的张角为122F PF θ∠=，椭圆与双曲线的离心率分别为1e 、2e ，则（ ）A.222212cos sin 1e e θθ+= B. 222212sin cos 1e e θθ+= C .2212221cos sin e e θθ+= D. 2212221sin cos e e θθ+=【答案】B 【解析】 【分析】设椭圆的长轴长为12a ，双曲线的实轴长为22a ，并设1PF m =，2PF n =，利用椭圆和双曲线的定义以及余弦定理可得出1a 、2a 关于c 的等式，从而可得出1e 、2e 的关系式.【详解】设椭圆的长轴长为12a ，双曲线的实轴长为22a ，并设1PF m =，2PF n =，焦距为2c ，在12PF F ∆中，由余弦定理得()2222cos 22m n mn c θ+-=，由椭圆和双曲线的定义得1222m n a m n a +=⎧⎨-=⎩，解得1212m a a n a a =+⎧⎨=-⎩. 代入()2222cos 22m n mn c θ+-=，得()()()()222121212122cos 24a a a a a a a a c θ++--+-=，即()222221221cos 22a a a a c θ++-=，()()222121cos21cos22a a c θθ∴-++=，即22222122sin 2cos 2a a c θθ+=，22221222sin cos1a a c cθθ∴+=，因此，222212sin cos 1e e θθ+=. 故选B.【点睛】本题考查共焦点和共交点的椭圆和双曲线的综合问题，要充分结合椭圆、双曲线的定义以及余弦定理列等式求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13.已知实数,x y 满足约束条件222020x x y x y ≤⎧⎪-+≥⎨⎪++≥⎩，则3xz y =-+的最大值为_____【答案】43【解析】 【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z 的最大值．【详解】解：作出实数,x y 满足约束条件222020x x y x y ≤⎧⎪-+≥⎨⎪++≥⎩，对应的平面区域如图：（阴影部分）由3x z y =-+的得13y x z =+，平移直线13y x z =+由图象可知当直线13y x z =+经过点A 时，直线13y x z =+的截距最大，此时z 最大．由2220x x y =⎧⎨-+=⎩解得()2,2A ．代入目标函数3xz y =-+得24233z =-+=．即3xz y =-+的最大值为：43．故答案为43．【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．利用平移确定目标函数取得最优解的条件是解决本题的关键．14.已知()1,4a =r ，()2,b k =-r，且()2a b +r r ∥()2a b -r r ，则实数k =___________.【答案】8- 【解析】 【分析】根据向量坐标的运算可得()23,42a b k +=-+r r ，()24,8a b k -=-r r，根据向量平行即可求出k . 【详解】由己知得，()23,42a b k +=-+r r ，()24,8a b k -=-r r，由于()2a b +r r ∥()2a b -r r ,所以3(8)4(42)k k --=⨯+ 得8k =-. 故答案为：8-【点睛】本题主要考查了平面向量的坐标运算，向量平行的充要条件，属于中档题. 15.若正三棱柱111ABC A B C -的棱长均相等，则1AB 与侧面11ACC A 所成角的正切值为___.【答案】15 【解析】【详解】设棱长为1.取中点,连接,根据正三棱柱的特点,,根据线面角的定义可知,为1AB 与侧面11ACC A 所成角,在中，.考点：线面角的定义.16.若过点32(,)(0,0,3)P a b a b b a a >>≠-可作曲线32()3f x x x =-的切线恰有两条，则11a b+的最小值为__________【答案】4+【解析】 【分析】求出f （x ）的导数，设切点（x 0，f （x 0）），求得切线的方程，代入切点，整理化简可得2x 03﹣（3+3a ）x 02+6ax 0+b=0（*）由条件切线恰有两条，方程（*）恰有两根．令u （x ）=2x 3﹣（3+3a ）x 2+6ax+b ，求出导数，求得极值点，令其中一个极值为0，可得3a+b=1，运用乘1法和基本不等式，计算即可得到所求最小值．【详解】f′（x ）=3x 2﹣6x ， 过点P （a ，b ）作曲线的切线，设切点（x 0，f （x 0）），则切线方程为：y ﹣b=（3x 02﹣6x 0）（x ﹣a ）， 将（x 0，f （x 0））代入得：f （x 0）=（3x 02﹣6x 0）（x 0﹣a ）+b=x 03﹣3x 02， 即2x 03﹣（3+3a ）x 02+6ax 0+b=0（*） 由条件切线恰有两条，方程（*）恰有两根．令u （x ）=2x 3﹣（3+3a ）x 2+6ax+b ，u′（x ）=6x 2﹣（6+6a ）x+6a=6（x ﹣a ）（x ﹣1）， 可得u （1）=0或u （a ）=0， 即有3a+b=1或b=a 3﹣3a 2（舍去），则11a b +=（3a+b ）（11a b +）=4+3b a a b +，当且仅当12时，取得等号．即有11a b+的最小值为故答案为【点睛】（1）本题考查导数的运用，考查求切线的方程和极值，考查基本不等式的运用（注意乘1法），考查转化思想和化简整理的运算能力．（2）本题的解题关键是常量代换，即把11a b +化成11a b+=（3a+b ）（11a b+），再利用基本不等式求函数的最小值. 利用基本不等式求最值时，要注意“一正二定三相等”，三个条件缺一不可.三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.）17.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，1(2)3n n S n a =+． （1）求n a ；（2）求证:121111na a a ++⋯+<． 【答案】（1）(1)n a n n =+；（2）证明见解析. 【解析】 试题分析：（1）由()32n n S n a =+，得()()11312n n S n a n --=+≥，两式相减整理得()1121n n a n n a n -+=≥-，然后利用累乘可得数列的通项公式．（2）由（1）可得()111n a n n =+，利用列项求和后利用放缩可得不等式成立． 试题解析：（1）∵()32n n S n a =+， ∴()()11312n n S n a n --=+≥，两式相减得，()()1321n n n a n a n a -=+-+，∴()1121n n a n n a n -+=≥-， ∴123211232111432(1),212321n n n n n n n a a a a a n n n a a n n n a a a a a n n n -----+-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅=+≥---L L又12a =，满足上式． ∴()1(*)n a n n n N =+∈．（2）由（1）得()111111n a nn n n ==-++． ∴()1211111112231n a a a n n ++⋯+=++⋯+⋅⋅+ 1111112231n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋯+- ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭1111n =-<+． 18.手机运动计步已经成为一种新时尚．某单位统计了职工一天行走步数（单位：百步），绘制出如下频率分布直方图：（1）求直方图中a 的值，并由频率分布直方图估计该单位职工一天步行数的中位数； （2）若该单位有职工200人，试估计职工一天行走步数不大于13000的人数；（3）在（2）的条件下，该单位从行走步数大于15000的3组职工中用分层抽样的方法选取6人参加远足拉练活动，再从6人中选取2人担任领队，求这两人均来自区间（150，170]的概率． 【答案】（1）125；（2）112；（3）25【解析】 【分析】(1)由频率和为1,列出关于a 的方程,然后求出a 的值,再利用中位数两边频率相等,求出中位数的值; (2)根据一天行走步数不大于13000频率⨯样本容量,求出频数;(3)根据分层抽样原理抽取6人,利用列举法求出基本事件数,计算所求的概率值.【详解】解:(1)由题意,得(0.0020.0060.0080.0100.0080.0020.002)201a +++++++⨯=,所以0.012a =.设中位数为110x +,则0.002200.006200.008200.0120.5x ⨯+⨯+⨯+=, 所以15x =,所以中位数为125.(2)由200(0.002200.006200.008200.01220)112⨯⨯+⨯+⨯+⨯=, 所以估计职工一天步行数不大于13000步的人数为112人. (3)在区间(150,170]中有2000.0082032⨯⨯=人, 在区间(170,190]中有2000.002208⨯⨯=人, 在区间(190,210]中有2000.002208⨯⨯=人,按分层抽样抽取6人,则从(150,170]中抽取4人,(170,190]中抽取1人,(190,210]中抽取1人;设从(150,170]中抽取职工为a 、b 、c 、d ,从(170,190]中抽取职工为E ,从(190,210]中抽取职工为F , 则从6人中抽取2人的情况有ab 、ac 、ad 、aE 、aF 、bc 、bd 、bE 、bF 、cd 、cE 、cF 、dE 、dF 、EF 共15种情况,它们是等可能的,其中满足两人均来自区间(150,170]的有ab 、ac 、ad 、bc 、bd 、cd 共有6种情况, 所以两人均来自区间(150,170]的概率62155P ==; 【点睛】本题考查了利用频率分布直方图求中位数和古典概型的概率计算问题,属基础题.19.如图，正方形ABCD 的边长为2，点E 是边CD 的中点，将△ADE 沿AE 翻折得到△ASE ，且平面ASE ⊥平面ABCE ．（1）求三棱锥B ﹣CES 的体积； （2）设线段SC 上一点G 满足2SGGC=，在BE 上是否存在点H 使GH ∥平面SAE ？若存在，求出EH 的长度；若不存在，说明理由． 【答案】（1）515；（25【解析】 【分析】(1)过S 作SO AE ⊥于O ,从而得到SO ⊥平面ABCE ,进一步得到B CES S BCE V V --=,由此求出三棱锥B CES -的体积.(2)连接AC ,交BE 于H ,连接GH ,推导出//GH SA ,由此能求出结果.【详解】解:(1)过S 作SO AE ⊥于O ,因为平面ASE ⊥平面ABCE 交线为AE , 所以SO ⊥平面ABCE .在Rt ASE ∆中由1,2SE SA ==,得25SO =, 因为112122BCE S ∆=⨯⨯=,所以11225133155B CES S BCE BCE V V S SO --∆==⋅=⨯⨯=. 所以三棱锥B CES -的体积为2515.(2)连接AC ,交BE 于H ,连接GH , 因为//CE AB ,12CE AB =, 所以ABH CEH ∆∆∽,所以12CH EH CE HA HB AB ===, 又因为2SG GC =,所以12CG GS =,所以CG CHGS HA=,所以//GH SA . 又因为GH ⊂/平面SAE ,SA ⊂平面SAE ,所以//GH 平面SAE ,此时153EH BE ==.【点睛】本题考查了折叠问题、三棱锥体积的求法和线面平行的判定定理,考查了转化思想和运算求解能力,属中档题.20.已知函数()221xf x xe ax x =+++在1x =-处取得极值.（1）求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()1y f x m =--在[]22-,上恰有两个不同的零点，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）f （x ）在（-∞，-1）递减；在（-1，+∞）递增；（2）212m 1,ee ⎛⎤∈--- ⎥⎝⎦.【解析】【详解】试题分析：（1）求出函数的导数，得到关于a 的方程，求出a ，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）问题等价于22x xe x x m ++=在[-2，2]上恰有两个不同的实根．令g （x ）=xex+x2+2x ，求出函数的单调性求出g （x ）的最小值，从而求出m 的范围即可． 试题解析：（1）f'（x ）=e x +xe x +2ax+2，∵f（x ）在1x =-处取得极值， ∴f'（-1）=0，解得a=1．经检验a=1适合， ∴f（x ）=xe x+x 2+2x+1，f'（x ）=（x+1）（e x+2），当x∈（-∞，-1）时，f'（x ）＜0，∴f（x ）在（-∞，-1）递减； 当x∈（-1+∞）时，f'（x ）＞0，∴f（x ）在（-1，+∞）递增． （2）函数y=f （x ）-m-1在[-2，2]上恰有两个不同的零点， 等价于xe x+x 2+2x-m=0在[-2，2]上恰有两个不同的实根， 等价于xe x +x 2+2x=m 在[-2，2]上恰有两个不同的实根． 令g （x ）=xe x +x 2+2x ，∴g'（x ）=（x+1）（e x +2）， 由（1）知g （x ）在（-∞，-1）递减； 在（-1，+∞）递增． g （x ）在[-2，2]上的极小值也是最小值； ． 又，g （2）=8+2e 2＞g （-2）， ∴，即．点睛：已知函数有零点求参数常用的方法和思路：（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成函数的值域问题解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一个平面直角坐标系中，画出函数的图像，然后数形结合求解.21.已知椭圆1C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为12,F F ，右顶点为A ，且1C 过点3(3,)B ，圆O 是以线段12F F 为直径的圆，经过点A 且倾斜角为030的直线与圆O 相切. （1）求椭圆1C 及圆O 的方程；（2）是否存在直线l ，使得直线l 与圆O 相切，与椭圆1C 交于,C D 两点，且满足OC OD CD +=u u u v u u u v u u u v？若存在，请求出直线l 的方程，若不存在，请说明理由.【答案】（1）椭圆1C 的方程为22143x y +=，圆O 的方程为221x y +=；（2）不存在 【解析】【详解】分析：（1）由题意得01sin302c a ==，再根据椭圆过点B 得到关于,,a b c 的方程组，求解后可得椭圆和圆的方程．（2）先假设存在直线满足条件．（ⅰ）当直线斜率不存在时，可得直线方程为1x =±，求得点,C D 的坐标后验证可得OC OD CD +≠u u u v u u u v u u u v；（ⅱ）当直线斜率存在时，设出直线方程，与椭圆方程联立消元后得到一元二次方程，结合根据系数的关系可得0OC OD ⋅=u u u v u u u v不成立．从而可得不存在直线l 满足题意．详解：(1)由题意知()1,0F c -,()2,0F c ,(),0A a ，圆O 的方程为222x y c +=由题可知022222303314c sin aa b a b c⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得21a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩， 所以椭圆1C 的方程为22143x y +=，圆O 的方程为221x y +=.（2）假设存在直线l 满足题意.由OC OD CD +=u u u v u u u v u u u v ，可得OC OD OD OC +=-u u u v u u u v u u u v u u u v ，故0OC OD ⋅=u u u v u u u v．（ⅰ）当直线l 的斜率不存在时，此时l 的方程为1x =±． 当直线1l x =方程为时，可得331,,1,,22C D ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以9104OC OD ⋅=-≠u u u v u u u v ．同理可得，当1l x =-方程为时，0OC OD ⋅≠u u u v u u u v. 故直线l 不存在．（ⅱ）当直线l 的斜率存在时，设l 方程为y kx m =+， 因为直线l 与圆O 相切，1=，整理得221m k =+①由22143y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 整理得()2223484120k x kmx m +++-=，设()()1122,,,C x y D x y ，则122834km x x k -+=+，212241234m x x k -=+， 因为OC OD CD +=u u u v u u u v u u u v ， 所以OC OD OD OC +=-u u u v u u u v u u u v u u u v ，则0OC OD ⋅=u u u v u u u v，即12120x x y y +=， 所以()()()()221212121210x x kx m kx m k x xkm x x m +++=++++=，所以()222224128103434m kmkkm m k k--+++=++， 整理得22712120m k --=② 由①②得21k =-，此时方程无解. 故直线l 不存在． 由（i ）（ii ）可知不存直线l 满足题意.点睛：圆锥曲线中存在性问题的求解步骤假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在；否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在．（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.在平面角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=，将曲线C 向左平移2个单位长度得到曲线D . （1）求曲线D 的参数方程；（2）已知P 为曲线D 上的动点，,A B 两点的极坐标分别为)6π，求AP BP ⋅u u u r u u u r的最大值.【答案】（1）曲线D 的参数方程为2cos 2sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数）；（2）13-【解析】试题分析：（1）题设给出的是曲线C 的极坐标方程，把它变形为24cos ρρθ=后利用222,cos x y x ρρθ==+把后者化为()2224x y -+=，向左平移2个单位长度后得到曲线D ，其方程为224x y +=，其参数方程为2cos 2sin x y αα=⎧⎨=⎩ （α为参数）.（2）,A B 两点的直角坐标为()(3,0,，利用（1）算出的曲线D 的参数方程计算·1312cos AP BP αα=--u u u v u u u v，利用辅助角公式可以求其最大值.解析：（1）2224cos ,4cos ,4x y x ρθρρθ=∴=∴+=Q ,则曲线C 的直角坐标方程为()2224x y -+=，易知曲线C 为圆心是()2,0，半径为2的圆，从而得到曲线D 的直角坐标方程为224x y += ，故曲线D的参数方程为 ()2cos 2sin x y ααα=⎧⎨=⎩为参数.（2）,A B 两点的直角坐标分别为()(3,03，，依题意可设()2cos ,2sin P αα ，则 ()(2cos 3,2sin ,2cos 3,2sin AP BP αααα=-=-u u u v u u u v，()(22cos 32sin 2sin 412cos 9AP BP a a ααα∴⋅=-+=--+u u u v u u u v()13αφ=-+，故AP BP ⋅u u u r u u u r的最大值为13-23.设函数()21f x x x =+--. （1）求不等式()1f x >的解集；（2）若关于x 的不等式()412f x m +≥-有解，求实数m 的取值范围． 【答案】(1) (0,)+∞;(2) 34m -≤≤. 【解析】试题分析：（1）由条件利用绝对值的意义求得不等式f （x ）＞1解集;（2）根据题意可得|x+2|-|x-1|+4≥|1-m|有解，即|x+2|-|x-1|+4 的最大值大于或等于|1-m|，再利用绝对值的意义求得|x+2|-|x-1|+4 的最大值，从而求得m 的范围． 试题解析：（1）函数()f x 可化为()3,2,{21,21,3,1,x f x x x x -≤-=+-<<≥当2x ≤-时，()30f x =-<，不合题意；当21x -<<时，()2110f x x x =+>⇒>，即01x <<；当1x ≥时，()31f x =>，即1x ≥.综上，不等式()1f x >的解集为()0,+∞.（2）关于x 的不等式()412f x m +≥-有解等价于()()max412f x m +≥-，由（1）可知()max 3f x =，（也可由()()()21213f x x x x x =+--≤+--=，得()max 3f x =），即127m -≤，解得34m -≤≤.。
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课时作业(六十一) 几何概型
一、选择题 1．（2020-2021学年衡水中学高考数学复习冲刺阶段精选汇编（文科）模拟试题）(2020模拟·茂名二模)已知在△ABC 中，∠ABC ＝60°，AB ＝2，BC ＝6，在BC 上任取一点D ，则使△ABD 为钝角三角形的概率为( )
A .16
B .13
C .12
D .23
解析：如图所示，当BE ＝1时，∠AEB 为直角，则点D 在线段BE(不包含B 、E 点)上时，△ABD 为钝角三角形；当BF ＝4时，∠BAF 为直角，则点D 在线段CF(不包含F 点)
上时，△ABD 为钝角三角形．所以△ABD 为钝角三角形的概率为1＋26＝1
2
.故选C .
答案：C
2．在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C.现作一矩形，邻边长分别等于线段AC ，CB 的长，则该矩形面积大于20 cm 2的概率为( )
A .16
B .13
C .23
D .45
解析：设AC ＝x cm,0<x<12，则CB ＝(12－x) cm ，要使矩形面积大于20 cm 2，只要x(12
－x)>20，则x 2－12x ＋20<0，解得2<x<10，所求概率为P ＝10－212＝2
3
.
答案：C
3．(2020模拟·南昌二模)在满足不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
x －y ＋1≥0，x ＋y －3≤0，
y ≥0
的平面区域内随机取一点
M(x 0，y 0)，设事件A 为“y 0<2x 0”，那么事件A 发生的概率是( )
A .14
B .34
C .13
D .23
解析：如图所示，不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
x －y ＋1≥0，x ＋y －3≤0，
y ≥0表示的平面区域的面积S △ABC ＝1
2
×(1＋
3)×2＝4.
不等式组⎩⎪⎨⎪⎧
x －y ＋1≥0，
x ＋y －3≤0，
y ≥0，
y<2x 表示的平面区域的面积S △AOC ＝1
2
×3×2＝3，因此所求的
概率为3
4
，故选B .
答案：B
4．在[－4,4]上随机取一个实数m ，能使函数f(x)＝x 3＋mx 2＋3x 在R 上单调递增的概率为( )
A.14
B.38
C.58
D.34
解析：由题意，得f ′(x )＝3x 2＋2mx ＋3，要使函数f (x )在R 上单调递增，则3x 2＋2mx
＋3≥0在R 上恒成立，即Δ＝4m 2－36≤0，解得－3≤m ≤3，所以所求概率为3－(－3)4－(－4)＝3
4
，
故选D.
答案：D 5．(2015·陕西卷)设复数z ＝(x －1)＋y i(x ，y ∈R )，若|z |≤1，则y ≥x 的概率为( ) A.34＋12π B.12＋1π C.12－1π D.14－12π 解析：|z |＝(x －1)2＋y 2≤1，即(x －1)2＋y 2≤1，表示的是圆及其内部，如图所示．当|z |≤1
时，y ≥x 表示的是图中阴影部分，其面积为S ＝14π×12－1
2×1×1＝π－24
.又圆的面积为π，
根据几何概型公式得概率P ＝π－24π＝14－1
2π
.
答案：D
6.
(2020模拟·泉州二模)如图所示，在一不规则区域内，有一边长为1 m 的正方形，向区域内随机地撒1 000颗黄豆，落在正方形区域内(含边界)的黄豆数为375，则以此试验数据为依据，可以估计出该不规则图形的面积为( )
A ．2 m 2 B.72 m 2 C.83 m 2 D.9
4
m 2
解析：设该不规则图形的面积为x m 2，则根据几何概型的概率计算公式可知3751 000＝1
x
，
解得x ＝8
3.故选C.
答案：C 二、填空题
7.
(2020模拟·山东青岛一模，14)如图所示，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼
成一个边长为2的大正方形，若直角三角形中较小的锐角θ＝π
6
.现在向该正方形区域内随机
地投掷一枚飞镖，则飞镖落在小正方形内的概率是________．
解析：易知小正方形的边长为3－1，故小正方形的面积为S 1＝(3－1)2＝4－23，大
正方形的面积为S ＝2×2＝4，故飞镖落在小正方形内的概率P ＝S 1S ＝4－234＝2－3
2
.
答案：2－32
8．(2020模拟·黄山一模)向面积为S 的△ABC 内任意投掷一点P ，则△PBC 的面积小于S
2
的概率为________． 解析：∵S △PBC <12S △ABC ，∴h ′<h
2
，其中h ′为△PBC 中BC 边上的高，h 为△ABC 中
BC 边上的高．
设DE 为△ABC 的中位线(如图所示)，则梯形BCED (阴影部分)中的点满足要求，
∴所求概率P ＝S 梯形BCED S △ABC
＝3
4.
答案：3
4
9．在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点O 为底面ABCD 的中点，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为________．
解析：由题意可知，正方体的体积为23＝8，满足点P 到点O 的距离大于1的几何体的
体积为23－12·4π3×13，所以概率P ＝23－12·4π3×13
23
＝1－π
12
. 答案：1－π
12
三、解答题 10．（2020-2021学年衡水中学高考数学复习冲刺阶段精选汇编（文科）模拟试题）已知|x |≤2，|y |≤2，点P 的坐标为(x ，y )，求当x ，y ∈R 时，P 满足(x －2)2＋(y －2)2≤4的概率．
解析：
如图，点P 所在的区域为正方形ABCD 的内部(含边界)，满足(x －2)2＋(y －2)2≤4的点的区域为以(2,2)为圆心，2为半径的圆面(含边界)．
∴所求的概率P 1＝1
4π×224×4＝π
16
.
11．（2020-2021学年衡水中学高考数学复习冲刺阶段精选汇编（文科）模拟试题）正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，在正方体内随机取点M ，
(1)求四棱锥M －ABCD 的体积小于1
6
的概率；
(2)求M 落在三棱柱ABC －A 1B 1C 1内的概率； (3)求M 落在三棱锥B －A 1B 1C 1内的概率．
解析：(1)正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，设M －ABCD 的高为h ，则13×S 四边形ABCD ×h ＝1
6
，
又S 四边形ABCD ＝1，∴h ＝1
2
.
若体积小于16，则h <1
2，即点M 在正方体的下半部分，
∴P ＝12V
正方体V 正方体＝12
.
(2)∵V 三棱柱＝12×12×1＝1
2
，
∴所求概率P 1＝V 三棱柱V 正方体＝1
2.
(3)∵V 三棱柱＝13×S △A 1B 1C 1×B 1B ＝13×12×12×1＝1
6
，
∴所求概率P 2＝V 三棱锥V 正方体＝1
6
.
12．已知向量a ＝(－2,1)，b ＝(x ，y )．
(1)若x ，y 分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数，求满足a ·b ＝－1的概率；
(2)若x ，y 在连续区间[1,6]上取值，求满足a ·b <0的概率．
解析：(1)将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次，所包含的基本事件总数为6×6＝36(个)；
由a ·b ＝－1，得－2x ＋y ＝－1， 所以满足a ·b ＝－1的基本事件为(1,1)，(2,3)，(3,5)，共3个，
故满足a ·b ＝－1的概率为336＝1
12
.
(2)若x ，y 在连续区间[1,6]上取值，则全部基本事件的结果为Ω＝{(x ，y )|1≤x ≤6,1≤y ≤6}．
满足a ·b <0的基本事件的结果为
A ＝{(x ，y )|1≤x ≤6,1≤y ≤6且－2x ＋y <0}． 画出图形如图：
矩形的面积为S 矩形＝25，
阴影部分的面积为S 阴影＝25－1
2
×2×4＝21，
故满足a ·b <0的概率为21
25
.。