10.1分式的意义沈惠东
沪教版(上海)初中数学七年级第一学期 10.1 分式的意义 教案
如果别人思考数学的真理像我一样深入持久，他也会找到我的发现。
——高斯
上海市启秀实验中学教案
教师姓名：杨晓青
一天，毕达哥拉斯应邀到朋友家做客。
这位习惯观察思考的人，突然，对主人家地面上一块块漂亮的正方形大理石感兴趣。
他没有心思听别人闲聊，沉思于脚下排列规则，大小如一的大理石彼此间产生的数的关系中。
他越想越兴奋，完全被自己的思考迷住，索性蹲到地上，拿出笔尺。
在4块大理石拼成的大正方上，均以每块大理石的对角线为边，画出一个新的正方形，他发现这个正方形的面积正好等于2块大理石的面积;他又以2块大理石组成的矩形对角线为边，画成一个更大的正方形，而这个正方形正好等于5块大理石的面积。
于是，毕达哥拉斯根据自己的推算得出结果：直角三角形斜边的平方等于两条直角边的平方和。
著名的毕达哥拉斯定理就这样产生了。
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10.1分式的意义
10.1分式的意义上海市万祥学校 黄慧吉教学目标1、理解和掌握分式的概念，能准确地辨别分式与整式.2、会求使分式有意义、无意义、分式值为零时的字母取值.教学重点及难点1、明确分式无意义、有意义和值为零的条件.教学过程一、 情景引入1、一名运动员在上海金茂大厦跳伞，从350米的高度跳下，（1）若到落地时用了15秒，那么他的平均降落速度是每秒多少米？（2）若到落地时用了20秒，那么他的平均降落速度是每秒多少米？（3）到落地时用了x 秒，那么他的平均降落速度是每秒多少米？（4）运动员从h 米的高度跳下，到落地时用了（x +t ）秒，那么他的平均降落速度是每秒多少米？2、思考问题（1）与（2）的答案分别是15350，20350，它们是分数，而（3）与（4）中的答案x 350，tx h +是代数式，那么它们是整式吗？ 3、板书课题：10.1分式的意义二、 新课探究1、 讨论：像x 350,t x h +，a b 2, cb a b +++23这些代数式的分子与分母有什么特点?2、 分式的定义：两个整式A 、B 相除，即A ÷B 时，可以表示为BA .如果B 中含有字母，那么BA 叫做分式，A 叫做分式的分子，B 叫做分式的分母.(板书) 3、 练一练，下列式子中哪些是整式？哪些是分式？4、 我们知道分数的分母不能为零，反过来，分数的分母为零时，分数是无意义的。
其根本原因是：分数是由除法转变而来的，因为除法中除数不能为零，因此由分数与除法的关系，分母也不能为零。
那么，定义与分数类似的分式，它的分母是不是也有这个要求呢？讨论：当A ，B 为何值时，分式BA （1）无意义；（2）有意义；（3）分式的值为零.三、 例题讲解例题1 当x =-3，y =2时，分别计算下列分式的值：（1）x y x 23-； （2）73+-x y . 例题2 x 取什么值时，下列分式无意义？（1）xx 212+； （2）25++x x . 例题3 x 取什么值时，分式13152+-+x x x 有意义？ 巩固练习，练习册习题10.1第3题例题4 x 取什么值时，分式1312-+x x 的值为零？ 巩固练习，校本练习10.1第10题四、 本课小结1、 两个整式A 、B 相除，即A ÷B 时，可以表示为B A .如果B 中含有字母，那么BA 叫做分式，A 叫做分式的分子，B 叫做分式的分母. 2、 如果一个分式的分母为零，那么这个分式无意义.五、 拓展提高1、 练习册习题10.1第5题2、 当x _____，y ______时，分式21+-y x 的值为零. 3、 要使分式()()xx x x -+-211的值为零，则x 应取（ ） （A ）1或-1 （B ）1 （C ）-1 （D ）0或14、 如果x 354-的值是负的，那么x 的取值是________.。
沪教版(上海)初中数学七年级第一学期 10.1 分式的意义 教案
课题：10.1分式的意义一、教学目标1．理解分式的概念，会求使分式符合题意的字母的取值或范围；2.通过生活实际问题的引入，使学生经历分式的形成过程，同时利用整式与分式的比较加深对分式概念的理解；3. 在合作与探究中产生思维的碰撞，体验成功的快乐.二、教学重点及难点教学重点：理解分式的概念；会求使分式有意义、无意义、值为零、值为1、值为（非）正（负）数的字母的取值或范围．教学难点：使分式的值为零的条件.三、教学方法启发、探究式四、教具准备1、PPT2、教案.五、教学过程（一）创设情境，引入新课思考1上海金茂大厦举办国际跳伞比赛，一名运动员从350米的高度跳下，到落地时用了28秒，那么他的平均降落速度是每秒多少米？另一名运动员到落地时用了x秒，那么他的平均降落速度又是每秒多少米？NBA联赛期间姚明7场球个人进球共得115分，请问他平均每场比赛得几分？若他7场球个人共得ｙ分，则他平均每场得几分？若在z场球中共投进2分球a 个、3分球b个、罚球共得c分，则他平均每场得几分？2分球得分数占总分的几分之几？（二）合作交流，探索新知请将刚才得到的六个代数式按照你认为的共同特征进行分类，并将同一类移入一个圈内（圈的个数自己选定,若不够可再画），并说明理由.整式特征：分母中含有字母分式的概念：两个整式A、B相除，即A÷B时，可以表示为.如果B中含有字母，那么叫做分式，A叫做分式的分子，B叫做分式的分母.（三）初步应用1、判断下列各式是分式还是整式.2、从代数式201、a、2a+3、x+y、3x- 4y中任意选取两个，分别组成一个整式和一个分式.例1 将下列式子表示为分式：【说明：分数线不仅起除号作用，而且还兼有括号的作用.】（四）探索新知思考2 在下表空格中填写适当的数.y -1 0 1-1 无意义 3无意义0 1变式：当x取什么值时，上述分式有意义？例3当x取什么值时，下列分式的值为零？例4当x为何值时，分式的值为1？例5当x为何值时，分式的值为负数？变式：当x为何值时，分式的值为正数？值为非负数呢？拓展练习1. 对于，当x________时，该分式有意义；当x________时，该分式的值为零.2. 已知，且，求分式的值.（五）归纳总结，形成体系这节课我们学习了分式，请同学们谈一下你对本节课学习的体会．（六）布置作业，巩固提高练习册10.1；校本10.1。
(精品)初中数学讲义10分式的意义和性质(学生)
第10课时分式的意义和性质课时目标1.理解分式的定义，分式的有无意义的条件，分式为零的条件.2. 理解分式的概念，会确定使分式有意义的分式中字母的取值范围.3. 掌握分式的基本性质，会约分，通分.知识精要1. 分式的定义两个整式A,B相除，即A B÷时，可以表示为AB.如果B中含有字母，那么AB叫做分式.其中，A叫做分式的分子，B叫做分式的分母.2. 分式有意义，无意义的条件（1）分式AB有意义的条件是: 0B≠.（2）分式AB无意义的条件是: 0B=.3. 分式的值为零的条件分式AB的值为零的条件是: 0B≠且0A=.4. 分式的基本性质（1）分式的分子，分母都乘以同一个不等于零的整式，分式的值不变.即A A MB B M⨯=⨯（0B≠，0M≠）（2）分式的分子，分母都除以同一个不等于零的整式，分式的值不变.即A A NB B N÷=÷（0B≠，0N≠）5. 约分把分式中分子和分母的公因式约去的过程，叫做约分.6. 约分的步骤（1）分式的分子，分母能分解因式的要分解因式写成积的形式；（2）分子，分母都除以它们的公因式.注意：（1）约分的理论依据是分式的基本性质，约分后的结果不一定是分式.（2）当分母是多项式时，能分解因式的要先分解因式，在约分.例：2221(1)1,11x x x x x x -+-==+-- 7. 最简分式如果一个分式的分子与分母没有相同的因式（1除外），那么这个分式叫做最简分式.热身练习1. 下列各式中哪些是整式？哪些是分式？（1）1x ； （2）3x ； （3）2xy x y -； （4）222a b +； （5）31x π+；（6）21(1)a a+2. 当x 取什么值时，下列分式有意义？（1）1-x x （2）212xx + （3）1562-+-x x x （4）2312+--x x x3. 当x 为何值时，下列分式的值为零？（1）11-+x x （2）1+-x b x （3）221x x -- （4）4162+-x x4. 不改变分式的值，把下列各式的分子与分母中各项系数都化为整数（1）04.03.05.001.0+-a b a （2）y x yx 41314131-+ （3）y y x 53232151+-+ （4）y x x y 21345.0+--5. 分别写出下列等式中括号里面的分子或分母（1）()225)(22+=+a a b （2）()nm n mn n mn +=++22（3）222693y xy x xyx +--=()y x -3 （4）()3323-=+-abab ab ab a6. 判断下列约分是否正确？并把不正确的改正过来.（1）44x x =； （2）x a a x b b +=+ （3）22222a ab b a b a b a b +++=-- （4）1555262a b b a -=-7. 某人打靶，有m 次是每次中靶a 环，有n 次是每次中靶b 环，则平均每次中靶的环数是______________.8. 一条般在河中航行，往返于相距100千米的甲、乙两地之间，已知水流速度为2千米/时，船在静水中的速度为x 千米/时，请用分式表示出往返一次所需要的时间______________.精解名题例1 已知1-=x 时，分式ax bx -+无意义，1=x 时，此分式值为零，求b a -的值.例2 若分式1-x x的值是整数，则整数x 的值是 .例3 设2<x <3,则_____________3322=+--+--xx x x x x .例4 若b －2a =0,abb a 22+的值是_______________.例5 已知311=-y x .则分式yxy x y xy x ---+2232的值为 . 例6 已知234x y z ==，求分式x y z x++的值.例7 如果把分式x yxy+中的x 、y 同时扩大2倍，那么该分式的值如何变化？例8 若0142=+-a a ，求（1）a a 1+；（2）221a a +；（3）441aa + .备选例题例1 若ba ba b b ab a +-≠=-+22,0,0222求的值例2 已知：2222,4yxy x y x x y x --+=+求的值例3 已知：222222222111,0,0cb a b ac a c b c b a abc -++-++-+=++≠求巩固练习一、选择题1.下列分式中，一定有意义的是（ ）A. 251x x --B. 211y y -+C. 213x x +D. 21xx +2.下列各式计算正确的是（ ）A. 22y y x x =B. b c bc d d+=+ C.2933x x x -=++ D. 1x y x y --=-+ 3. 在下面说法中，正确的是（ ）A. 分数是分式B. 分式是分数C. 分式是有理式D. 整式是分式 4. 在下列说法中，正确的是（ ）A.5+πx是有理数B.当x =0时，分式()1+x x x的值为零C ．当x ,y 全不为零时，分式xyyx +有意义D ．如果A 、B 表示两个整式，那么BA叫做分式 5. 一件工作，甲单独做a 小时完成，乙单独做b 小时完成，则甲、乙两人合作完成需要（ ）小时。
分式的意义：说课稿
《分式的意义》说课稿一、教材分析1．地位和作用“分式的意义”是九年制义务教育课本中七年级第二学期第十五章的第一节内容，是中学知识体系的重要组成部分。
分式的概念与整式是紧密相联的，是前面知识的延伸，同时也是对前面知识的进一步运用和巩固。
学生掌握了分式的意义后，为进一步学习分式、函数、方程等知识作好铺垫；有助于培养学生的分析、归纳、概括的能力。
2．学情分析我任教班级学生基础不是很扎实，学习能力不够高．通过分数的学习，学生可能会用分数的定义去理解分式．但是在分式中，它的分母不是具体的数，而是含有字母的整式。
为了让学生能切实掌握所学知识，提高学生的能力，在教学中对于教材中的例题和练习题，作了适当的延伸拓展和变式处理。
3．教学目标 (1) 知识目标：理解分式的概念，并能判断一个有理式是不是分式。
(2) 技能目标：掌握“如果分式的分母的值为零，则分式没有意义”；“如果分式的分子为零，而分母不为零时，分式的值为零”，会推断分式的分母中所含字母的取值范围。
(3) 能力目标：初步掌握整式和分式的思想方法，培养学生分析、归纳、概括的能力。
(4) 情感目标：通过学习分式的意义，培养学生的逆向思维能力和学生的辩证唯物主义观点。
4．教学重点与难点本着课程标准，在吃透教材基础上，我确立了如下的教学重点、难点（1）重点：分式的意义：分式与除法的关系；（2）难点：掌握“如果分式的分母的值为零，则分式没有意义”；“如果分式的分子为零，而分母不为零时，分式的值为零”。
二、教学方法与学法本节课教师将以引路的形式，运用启发式的教学方法，带着学生去发现和探究新知识，教师在实施教学的过程中注意学生的观察能力和语言表达能力的培养，分析、归纳、概括，通过不断的实践和认识，让学生全面地掌握分式的意义，让学生体会到数学不是一门枯燥的学科，对学习数学充满信心。
三、教学过程本节课的教学我主要分下面这样几个环节1．设问激疑，以旧探新，类比联想，形成概念教师先问学生两个问题，帮助学生回忆分数。
第1讲 分式的意义和基本性质(精品)
第十章 第1讲 分式知识精要(一)分式的意义 1.分式的概念两个整式B A 、相除，可以表示为B A .如果B 中含有字母，那么BA叫做分式，A 叫做分式的分子，B 叫做分式的分母.当B 为非零常数时，BA是整式，整式和分式统称为有理式.分式有无意义的条件：由于分式的分母表示除数，而除数不能为0，所以分式的分母不能为0，即当0≠B 时，分式B A 才有意义.或者说当0=B 时，分式BA没有意义.2.分式的值分式值为零的条件：分子为零，且分母不为零，注意是“同时”. (二)分式的基本性质 3.分式的基本性质分式的分子与分母同乘以(或除以)一个不等于0的整式，分子的值不变，即 N B NA MB M A B A ÷÷=⨯⨯= 其中N M 、为整式，且000≠≠≠N M B 、、. 4.约分根据分式的基本性质，把一个分式的分子和分母的公因式约去的过程，叫做分式的约分. 5.最简分式如果一个分式的分子与分母没有相同的因式(1除外)，那么这个分式叫做最简分式.化简分式时，如果分式的分子和分母都是单项式，约分时约去它们系数的最大公因数，相同因式的最低次幂。
如果分子、分母是多项式，先分解因式，再约分。
化简分式时，要将分式化成最简分式或整式。
6.通分利用分式的基本性质，把几个异分母的分式化成同分母的分式，叫做分式的通分。
经典题型精讲 (一)分式的意义例1.下列代数式中，哪些是分式?哪些是整式?21x +π，3122+-+x x x ，y x 322-，y x y x +-23，y x x -2，532+m .例2.当x 取什么值时，下列分式有意义?(1)23+x x (2)34-x (3)3422++x x x (4)43622-+-x x x (5)2432+-x x (6)121--+x x例3.分式22yx yx +-有意义的条件是( ) A .0≠xB .0≠yC .0≠x 或0≠yD .0≠x 且0≠y例4.当x 为何值时，下列分式的值为零?(1)22+-x x (2)392--x x (3)65)32(222+---x x x x (4)1322--+x x x例5.(1)当21-=a 时，求分式1242-+a a 的值.(2)若y x 43=)0(≠y ，求2222y y x -的值.(3)已知432zy x ==，且0≠xyz ，求分式222z y x zx yz xy ++++的值.例6.(1)当x ___________时，分式652-+-x x x 有意义； (2)当x ___________时，分式4162+-x x 的值为0；(3)当x ___________时，分式122+-x x 的值为负数； (4)当x ___________时，分式122--x x 的值为正数.例7.设32<<x ，则=+--+--xxx x x x 3322_________．例8.已知054222=++-+y x y x ，则=+xy 14_________．例9.某种长途电话的收费如下：接通电话的第一分钟收费a 元，之后的每一分钟收费b 元。
10.1分式的意义
请从代数式 2，x，y 2 中任取 2个，组成一个新的代数式。
说说你的答案
一 分式的概念：
两个整式A、B相除，即A÷B时，
可那以么表A示叫为做BA分。式如，果A叫B中做含分有式字的母分， B
子，B叫做分式的分母。
例题分析：
例1、将下列式子表示为解分：(1)式x y：2 ,(2)
2x x2
A
h
反思小结
这节课你学会了什么？
分式的概念
A
整式A、B相除可写为 B
的形式，若分母中含有字
A
母，那么 B 叫做分式。
分式有意义
分母B≠0
分式的值为零
①分子A=0 ②代入分母B≠0 ③最后答案
作业：
练习册：10.1
拓展提高：
（1）m取什么整数时， 分式 9 的值为整数。
m 1
拓展提高：
1 1
,
(3)
2x y 1
(1)（x+2）÷y (2) (2x-1)÷(x2+1) (3) 2x:(y+1)
分数线不仅起 除号作用，而 且还兼有括号 的作用。
解解：(解1：()1：x)(1x)yxy22y, (,2解2(：),2(1()2x2x2xx2)yx222x,x21(1211),2x(,1x213(3,)11(),y3(32y))2xy2yx1x211x1
（1）当x取什么值时，分式
有意义？
（2）当x取什么值时，分式
有意义？
变式1：当x取什么值时，分式
x 1 4x 1
有意义？
变式2：当x取什么值时，分式
有意义？
例题分析： 例3、当y取什么值时，分式 y 3 值为零？
y3
10.1 分式的意义
一、填空题1. 在221122,,,2,,,334b x x y a a b ab a x π---+中,分式有_________ 2、若分式x511-是负数，那么x 的取值范围是 。
3、要使分式123x x --有意义,x 应满足的条件是_______;要使分式241x x --的值为零,x 的值应为_____.4.分式1a a-,当a =_____时,其值为零;当a =________时,分式无意义. 5.分式24x x -,当x ________时,分式有意义;当x ________时,分式222x x x ---的值为零. 6.当x ________时,分式14x -+的值为正.二、选择题：7、使分式2x x +有意义的x 的取值范围是（ ） A ．2x ≠ B ．2x ≠- C ．2x >- D ．2x <8、如果2a b =，则2222a ab b a b -++= ( ) A ． 45B ． 1C ． 35D ． 2 9、要使分式2211x x -+有意义，则x 取值范围应是（ ） A 1- B 1 C 1± D 任意实数10、下列分式一定有意义的是( ) A 221a a + B 12a a -+ C 33a a -+ D 221a a + 11、下列说法正确的是（ ）A 如果A,B 都是整式，那么A B就是分式 B 只要分式的分子为零，则分式的值就为零 C 只要分式的分母为零，则分式必无意义 D 2x x不是分式，而是整式12、若分式1x x +有意义,则x 的取值范围是( )A 0x ≠B 0x >C 1x ≠-D 0x <13、若分式122+--a a a 的值为0，则a 的值为 （ ）A.1B.-1C.2D.2或-1三、简答题：14、.(1)当x 取什么值时,分式2(2)(3)x x x --+的值为零?(2) 当x 取什么值时,分式2(2)(3)x x x --+的无意义?四、简答题：15、当分式32+-x x 的值为0时，求分式1122+-+x x x的值。
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上海金茂大厦举办国际跳伞比赛，从350米的高度跳下，一名 运动员到落地时用了28秒，那么他的平均降落速度是每秒多 少米？另一名运动员到落地时用了x秒，那么他的平均降落速 度又是每秒多少米？
一个长方形的面 积是60平方米， 长12米，那么宽 是多少米？若面 积为s平方米，长 12米，那么宽如 何表示？若面积 为s平方米，长为 x米，那么宽又如 何表示？
例题分析：
y 3 例4、当y是什么值时，分式 的值是0？ y3
| y | 3 变式训练： （1）当y是什么值时，分式 y 3 的值是0？ （2）当y是什么值时，分式 y 3 的值是正数？ y3
由学生探究得出：分式的值为0需满足的 条件是分子的值为0且分母的值不为0。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
教学过程： 五、练习反馈，强化概念
两个整式A、B相除，即A÷B时，可 以表示为A/B。如果B中含有字母且 B≠0，那么A/B叫做分式，A叫做分 式的分子，B叫做分式的分母。
教学过程： 三、指导运用，巩固概念
巩固练习:
1、判断下列各式中哪些是分式？哪些是整式？
4 3x 2 x y xy x 、 、 、 、 x 2x 3 x y c 2b 3c
同学们在填表的过程中发现了什么问题？ 你认为这个问题该怎么处理？
教学过程： 四、变式训练，深化概念
例题分析：
例3、当x取什么值时，下列分式无意义？
3x 2 x5 （ 1 ） ；（2） 。 2x x2
变式训练： （1）当x取什么值时，分式 （2）当x取什么值时，分式
x5 x 2 有意义。 x5 有意义。 2 x 2
2
强调：分数线不 仅起除号作用， 而且还兼有括号 的作用。
例题分析：
例2、当x=-3、y=2时，分别计算下列分式 的值：
3x 2 y y 3 （ 1 ） ；（2） 。 x x7
思考题2： 在下表空格中填写适当的数。
y
y2 y 2 y 1 y2 1 2y y 1
-1
0
1
学生发现问题， 通过小组讨论 交流后得出： 如果分式中分 母的值等于零， 这个分式无意 义。
课堂练习：
1、下列式子中，哪些是整式？哪些是分式？哪些是有理式？
1 2x 1 2x y 2 （ 1 ） 、（2）x 2 y、（3） 2 、（4） 。 a2 x x3 3x 2 y x y 2、对于分式 x 2 y ：
（1）如果x=1，那么y取何值时，分式无意义？ （2）如果y=1，那么x取何值时，分式无意义？ （3）使分式无意义的x、y有多少对？ （4）要使得分式有意义，x、y应有什么关系？ （5）如果x=-1，那么y取什么值时，分式的值为0？ （6）当x、y满足什么关系时，分式的值为0？
一名篮球运动员在一个赛季 中参加了x场比赛，罚球进a 个，2分球投进b个，3分球投 进c个，那么他共得几分？平 均每场得几分？2分球占进球 数的几分之几？
教学过程： 二、类比联想，形成概念
思考题1：
请将刚才得到的几个代数式按照你认 为的共同特征放入不同的圈内，并说 明理由。 发现特征：分母中都含有字母； 命名并引出课题：分式。
教学过程： 六、分层作业，发展深化
布置作业：
练习题： x4 （1）当x为何值时，分式( x 4)(x 3)有意义？
( x 4)(x 3) （2）当x为何值时，分式 的值为0？ x4 | x | 3 （3）当x为何值时，分式 x 4 的值为负数？
思考题3：
一个分子为x-5的分式，且知它在x≠1时 有意义。你能写出一个符合上面条件的 分式吗？试试看。
应用拓展：
如图是一个半径为r的半圆和一个长 方形组成的一扇窗，根据设计要求整 扇窗的面积应为4平方米。 用r的代数式表示h.
r h
通过这节课的学习，我们有哪些收 获和感想？说说你学到了什么知识， 运用了怎样的研究方法和数学思想， 联系到了哪些生活中的问题，以及 在与同伴共同的学习过程中的的体 会与感想……
2、从代数式201、a、2a+3、x+y、3x-4y中任 意选取两个，分别组成一个整式和一个分式。 引导学生类比“整数和分数统称为有理数”， 得到：“整式和分式统称为有理式”。
例题分析：
例1、将下列式子表示为分式：
（ 1 ） 3 x； （2） 2ax by； （3） ( x 1) x； （4） 2x （3x 5）。