九年级上《圆的基本性质》单元测试卷含答案
2020年浙教新版九年级上册数学《第3章圆的基本性质》单元测试卷(解析版)
2020年浙教新版九年级上册数学《第3章圆的基本性质》单元测试卷一．选择题（共10小题）1．如图，小明顺着大半圆从A地到B地，小红顺着两个小半圆从A地到B地，设小明、小红走过的路程分别为a、b，则a与b的大小关系是（）A．a＝b B．a＜b C．a＞b D．不能确定2．如图，已知AB、AC都是⊙O的弦，OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别为M，N，若MN＝，那么BC等于（）A．5B．C．2D．3．我国著名的引滦工程的主干线输水管的截面如图所示，直径为2.6米，水最深为2.5米，则水面AB的宽为（）A．0.9 米B．1.0 米C．1.1米D．1.2米4．如图，AB为⊙O的直径，C为AB上一点，AD∥OC，AD交⊙O于点D，连接AC，CD，设∠BOC＝x°，∠ACD＝y°，则下列结论成立的是（）A．x+y＝90B．2x+y＝90C．2x+y＝180D．x＝y5．如图，以AB为直径的半⊙O上有两点D，E，ED与BA的延长线交于点C，且有DC＝OE，若∠EOB＝72°，则∠C的度数是（）A．24°B．30°C．36°D．60°6．下列物体的运动不是旋转的是（）A．坐在摩天轮里的小朋友B．正在走动的时针C．骑自行车的人D．正在转动的风车叶片7．如图，将Rt△ABC（∠B＝35°，∠C＝90°）绕点A按顺时针方向旋转到△AB1C1的位置，使得点C，A，B1在同一条直线上，那么旋转角等于（）A．55°B．70°C．125°D．145°8．如图四个圆形网案中，分别以它们所在圆的圆心为旋转中心，顺时针旋转72°后，能与原图形完全重合的是（）A．B．C．D．9．如图，△ABC三个顶点的坐标分别是A（1，﹣1），B（2，﹣2），C（4，﹣1），将△ABC绕着原点O旋转75°，得到△A1B1C1，则点B1的坐标为（）A．（，）或（﹣，﹣）B．（，）或（﹣，﹣）C．（﹣，﹣）或（，）D．（﹣，﹣）或（，）10．下列图案都是在一个图案的基础上，在“几何画板”软件中拖动一点后形成的，它们的共性是都可以由一个“基本图案”通过连续旋转得来，旋转的角度是（）A．30°B．45°C．60°D．90°二．填空题（共8小题）11．如图，⊙O的弦AB、半径OC延长交于点D，BD＝OA，若∠AOC＝105°，则∠D＝度．12．如图，MN为⊙O的直径，MN＝10，AB为⊙O的弦，已知MN⊥AB于点P，AB＝8，现要作⊙O的另一条弦CD，使得CD＝6且CD∥AB，则PC的长度为．13．如图是一个圆环形黄花梨木摆件的残片，为求其外圆半径，小林在外圆上任取一点A，然后过点A作AB与残片的内圆相切于点D，作CD⊥AB交外圆于点C，测得CD＝15cm，AB＝60cm，则这个摆件的外圆半径是cm．14．点A、C为半径是3的圆周上两点，点B为弧AC的中点，以线段BA、BC为邻边作菱形ABCD，顶点D恰在该圆直径的三等分点上，则该菱形的边长为．15．如图1，教室里有一只倒地的装垃圾的灰斗，BC与地面的夹角为50°，∠C＝25°，小贤同学将它扶起平放在地面上（如图2），则灰斗柄AB绕点C转动的角度为．16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝α，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转后得到△EDC，若点D在AB上，则此时旋转角的大小为（用含α的式子表示）．17．如图所示的图案，可以看成是由字母“Y”绕中心每次旋转度构成的．18．如图，在平面直角坐标系中，将△ABO绕点A顺时针旋转到△AB1C1的位置，点B，O 分别落在点B1，C1处，点B1在x轴上，再将△AB1C1绕点B1顺时针旋转到△A1B1C2的位置，点C2在x轴上，将△A1B1C2绕点C2顺时针旋转到△A2B2C2的位置，点A2在x轴上，依次进行下去…．若点A（，0），B（0，4），则点B2018的坐标为．三．解答题（共8小题）19．已知线段AB＝4cm，以3cm长为半径作圆，使它经过点A、B，能作几个这样的？请作出符合要求的图．20．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，连接BC，AC，OD⊥BC于E．（1）求证：OD∥AC；（2）若BC＝8，DE＝3，求⊙O的直径．21．一根横截面为圆形的下水管道的直径为1米，管内有少量的污水（如图），此时的水面宽AB为0.6米．（1）求此时的水深（即阴影部分的弓形高）；（2）当水位上升到水面宽为0.8米时，求水面上升的高度．22．如图，在△ACE中，AC＝CE，⊙O经过点A，C，且与边AE，CE分别交于点D，F，点B是劣弧AC上的一点，且＝，连接AB，BC，CD．求证：△CDE≌△ABC．23．小明与小刚约好下午4：30在书店门口集合，一同去买课外用书．当小明下午4：00出门赶到书店门口时（路上用去的时间不超过1小时），却没有见到小刚．他怀疑自己迟到了，于是朝书店墙上的时钟一看，只见钟面上的时针与分针刚好重合在一起．请你运用学过的数学知识计算一下，这时的准确时间是多少？24．如图，∠AOB＝120°，OC平分∠AOB，∠MCN＝60°，CM与射线OA相交于M点，CN与直线BO相交于N点．把∠MCN绕着点C旋转．（1）如图1，当点N在射线OB上时，求证：OC＝OM+ON；（2）如图2，当点N在射线OB的反向延长线上时，OC与OM，ON之间的数量关系是（直接写出结论，不必证明）25．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，5），B（﹣2，1），C（﹣1，3）（1）若△ABC经过平移后得到的△A1B1C1，已知点C1的坐标为（4，0），写出顶点A1，B1的坐标；（2）若△ABC和△A2B2C2关于原点O成中心对称图形，写出△A2B2C2的各顶点的坐标；（3）将△ABC绕着点O按顺时针方向旋转90°得到△A3B3C3，写出△A3B3C3的各顶点的坐标．26．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，5），B（﹣2，1），C（﹣1，3）．若△ABC和△A1B1C1关于原点O成中心对称图形，画出图形并写出△A1B1C1的各顶点的坐标．2020年浙教新版九年级上册数学《第3章圆的基本性质》单元测试卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．如图，小明顺着大半圆从A地到B地，小红顺着两个小半圆从A地到B地，设小明、小红走过的路程分别为a、b，则a与b的大小关系是（）A．a＝b B．a＜b C．a＞b D．不能确定【分析】根据图形，得两个小半圆的直径之和等于大半圆的直径，则根据圆周长公式，得二人所走的路程相等．【解答】解：设小明走的半圆的半径是R．则小明所走的路程是：πR．设小红所走的两个半圆的半径分别是：r1与r2，则r1+r2＝R．小红所走的路程是：πr1+πr2＝π（r1+r2）＝πR．因而a＝b．故选：A．【点评】本题考查了圆的认识，注意计算两个小半圆周长的时候，可以提取，则两个小半圆的直径之和是大半圆的直径．2．如图，已知AB、AC都是⊙O的弦，OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别为M，N，若MN＝，那么BC等于（）A．5B．C．2D．【分析】先根据垂径定理得出M、N分别是AB与AC的中点，故MN是△ABC的中位线，由三角形的中位线定理即可得出结论．【解答】解：∵OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别为M、N，∴M、N分别是AB与AC的中点，∴MN是△ABC的中位线，∴BC＝2MN＝2，故选：C．【点评】本题考查的是垂径定理、三角形中位线定理；熟知平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键．3．我国著名的引滦工程的主干线输水管的截面如图所示，直径为2.6米，水最深为2.5米，则水面AB的宽为（）A．0.9 米B．1.0 米C．1.1米D．1.2米【分析】作OC⊥AB交圆于C，交AB于D，连接OA，根据勾股定理求出AD，根据垂径定理解答．【解答】解：作OC⊥AB交圆于C，交AB于D，连接OA，则OA＝1.3，OD＝1.2，由勾股定理得，AD＝＝0.5，则AB＝2AD＝1.0（米），故选：B．【点评】本题考查的是垂径定理的应用，掌握平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键．4．如图，AB为⊙O的直径，C为AB上一点，AD∥OC，AD交⊙O于点D，连接AC，CD，设∠BOC＝x°，∠ACD＝y°，则下列结论成立的是（）A．x+y＝90B．2x+y＝90C．2x+y＝180D．x＝y【分析】连接BC，根据圆周角定理求出∠B，根据平行线的性质，圆内接四边形的性质，三角形内角和定理计算即可．【解答】解：连接BC，由圆周角定理得，∠BAC＝∠BOC＝x°，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠B＝90°﹣x°，∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠D＝180°﹣∠B＝90°+x°，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC＝x°，∵AD∥OC，∴∠DAC＝∠OCA＝x°，∴∠ACD＝180°﹣∠DAC﹣∠D，即y＝180°﹣x°﹣（90°+x°）＝90°﹣x°，∴x+y＝90，故选：A．【点评】本题考查的是圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系定理，掌握圆内接四边形的性质，圆周角定理是解题的关键．5．如图，以AB为直径的半⊙O上有两点D，E，ED与BA的延长线交于点C，且有DC＝OE，若∠EOB＝72°，则∠C的度数是（）A．24°B．30°C．36°D．60°【分析】根据等腰三角形的性质、三角形的外角的性质计算，得到答案．【解答】解：∵OE＝OD，DC＝OE，∴DC＝DO，∴∠C＝∠DOC，∴∠ODE＝2∠C，∵OD＝OE，∴∠ODE＝∠OED，∴∠OED＝2∠C，∵∠BOE＝∠C+∠OED，∴∠C+2∠C＝72°，解得，∠C＝24°，故选：A．【点评】本题考查的是圆周角定理、三角形的外角的性质，掌握等腰三角形的性质、三角形的外角的性质是解题的关键．6．下列物体的运动不是旋转的是（）A．坐在摩天轮里的小朋友B．正在走动的时针C．骑自行车的人D．正在转动的风车叶片【分析】根据旋转的定义来判断即可．【解答】解：骑自行车的人在前进的过程中没有发生旋转．故选：C．【点评】本题主要考查了生活中的旋转现象，解题的关键是要正确理解旋转的特征：①对应点到旋转中心的距离相等；②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；③旋转前、后的图形全等．7．如图，将Rt△ABC（∠B＝35°，∠C＝90°）绕点A按顺时针方向旋转到△AB1C1的位置，使得点C，A，B1在同一条直线上，那么旋转角等于（）A．55°B．70°C．125°D．145°【分析】首先根据三角形的内角和定理，求出∠BAC的度数是多少；然后根据对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，可得旋转角的度数等于∠BAB1的度数，据此解答即可．【解答】解：∵∠B＝35°，∠C＝90°，∴∠BAC＝180°﹣35°﹣90°＝55°，∵点C，A，B1在同一条直线上，∴∠BAB1＝180°﹣∠BAC＝180°﹣55°＝125°，即旋转角等于125°．故选：C．【点评】此题主要考查了旋转的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①对应点到旋转中心的距离相等．②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．③旋转前、后的图形全等．8．如图四个圆形网案中，分别以它们所在圆的圆心为旋转中心，顺时针旋转72°后，能与原图形完全重合的是（）A．B．C．D．【分析】观察图形，从图形的性质可以确定旋转角，然后进行判断即可得到答案．【解答】解：A图形顺时针旋转120°后，能与原图形完全重合，A不正确；B图形顺时针旋转90°后，能与原图形完全重合，B不正确；C图形顺时针旋转180°后，能与原图形完全重合，C不正确；D图形顺时针旋转72°后，能与原图形完全重合，D正确，故选：D．【点评】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．9．如图，△ABC三个顶点的坐标分别是A（1，﹣1），B（2，﹣2），C（4，﹣1），将△ABC绕着原点O旋转75°，得到△A1B1C1，则点B1的坐标为（）A．（，）或（﹣，﹣）B．（，）或（﹣，﹣）C．（﹣，﹣）或（，）D．（﹣，﹣）或（，）【分析】根据题意只研究点B的旋转即可，OB与x轴夹角为45°，分别按顺时针和逆时针旋转75°后，与y轴负向、x轴正向分别夹角为30°，由此计算坐标即可．【解答】解：由点B坐标为（2，﹣2）则OB＝2，且OB与x轴、y轴夹角为45°当点B绕原点逆时针转动75°时，OB1与x轴正向夹角为30°则B1到x轴、y轴距离分别为，，则点B1坐标为（，）；同理，当点B绕原点顺时针转动75°时，OB1与y轴负半轴夹角为30°，则B1到x轴、y轴距离分别为，，则点B1坐标为（﹣，﹣）；故选：C．【点评】本题为坐标旋转变换问题，考查了图形旋转的性质、特殊角锐角三角函数值，解答时注意分类讨论和确定象限符号．10．下列图案都是在一个图案的基础上，在“几何画板”软件中拖动一点后形成的，它们的共性是都可以由一个“基本图案”通过连续旋转得来，旋转的角度是（）A．30°B．45°C．60°D．90°【分析】根据旋转的性质，观察图形，中心角是由四个角度相同的角组成，结合周角是360°求解．【解答】解：∵中心角是由四个角度相同的角组成，∴旋转的角度是360°÷4＝90°．故选：D．【点评】本题把旋转的性质和一个周角是360°结合求解．旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变．二．填空题（共8小题）11．如图，⊙O的弦AB、半径OC延长交于点D，BD＝OA，若∠AOC＝105°，则∠D＝25度．【分析】解答此题要作辅助线OB，根据OA＝OB＝BD＝半径，构造出两个等腰三角形，结合三角形外角和内角的关系解决．【解答】解：连接OB，∵BD＝OA，OA＝OB所以△AOB和△BOD为等腰三角形，设∠D＝x度，则∠OBA＝2x°，因为OB＝OA，所以∠A＝2x°，在△AOB中，2x+2x+（105﹣x）＝180，解得x＝25，即∠D＝25°．【点评】此题主要考查了等腰三角形的基本性质，以及三角形内角和定理，难易程度适中．12．如图，MN为⊙O的直径，MN＝10，AB为⊙O的弦，已知MN⊥AB于点P，AB＝8，现要作⊙O的另一条弦CD，使得CD＝6且CD∥AB，则PC的长度为或．【分析】分AB、CD在圆心O的两侧、AB、CD在圆心O的同侧两种情况，根据垂径定理、勾股定理计算即可．【解答】解：当AB、CD在圆心O的两侧时，如图，连接OA、OC，∵AB∥CD，MN⊥AB，∴AP＝AB＝4，MN⊥CD，∴CQ＝CD＝3，在Rt△OAP中，OP＝＝3，同理：OQ＝4，则PQ＝OQ+OP＝7，∴PC＝＝＝，当AB、CD在圆心O的同侧时，PQ＝OQ﹣OP＝1，∴PC＝＝＝；故答案为：或．【点评】本题考查了勾股定理和垂径定理以及分类讨论，掌握垂径定理和勾股定理，灵活运用分类讨论思想是解题的关键．13．如图是一个圆环形黄花梨木摆件的残片，为求其外圆半径，小林在外圆上任取一点A，然后过点A作AB与残片的内圆相切于点D，作CD⊥AB交外圆于点C，测得CD＝15cm，AB＝60cm，则这个摆件的外圆半径是37.5cm．【分析】根据切线的性质和已知条件证出O、D、C共线，根据垂径定理求得AD＝30cm，然后根据勾股定理得出方程，解方程即可求得半径．【解答】解：如图，设点O为圆环的圆心，连接OA和OD，∵AB是内圆O的切线，∴AB⊥OD，∴∠ADO＝90°，∵CD⊥AB，∴∠ADC＝90°，∴∠ODC＝180°，∴O、D、C共线，∴OC⊥AB，∴AD＝AB＝30cm，∴设OA为rcm，则OD＝（r﹣15）cm，根据题意得：r2＝（r﹣15）2+302，解得：r＝37.5．∴这个摆件的外圆半径长为37.5cm；故答案为：37.5．【点评】本题考查了垂径定理的应用以及勾股定理的应用，作出辅助线构建直角三角形是本题的关键．14．点A、C为半径是3的圆周上两点，点B为弧AC的中点，以线段BA、BC为邻边作菱形ABCD，顶点D恰在该圆直径的三等分点上，则该菱形的边长为或2．【分析】过B作直径，连接AC交AO于E，如图①，根据已知条件得到BD＝×2×3＝2，如图②，BD＝×2×3＝4，求得OD＝1，OE＝2，DE＝1，连接OD，根据勾股定理得到结论，【解答】解：过B作直径，连接AC交AO于E，∵点B为的中点，∴BD⊥AC，如图①，∵点D恰在该圆直径的三等分点上，∴BD＝×2×3＝2，∴OD＝OB﹣BD＝1，∵四边形ABCD是菱形，∴DE＝BD＝1，∴OE＝2，连接OC，∵CE＝＝，∴边CD＝＝；如图②，BD＝×2×3＝4，同理可得，OD＝1，OE＝1，DE＝2，连接OC，∵CE＝＝＝2，∴边CD＝＝＝2，故答案为或2．【点评】本题考查了圆心角，弧，弦的关系，勾股定理，菱形的性质，正确的作出图形是解题的关键．15．如图1，教室里有一只倒地的装垃圾的灰斗，BC与地面的夹角为50°，∠C＝25°，小贤同学将它扶起平放在地面上（如图2），则灰斗柄AB绕点C转动的角度为105°．【分析】连结AC并且延长至E，根据旋转的性质和平角的定义，由角的和差关系即可求解．【解答】解：如图：连结AC并且延长至E，∠DCE＝180°﹣∠DCB﹣∠ACB＝105°．故灰斗柄AB绕点C转动的角度为105°．故答案为：105°．【点评】考查了生活中的旋转现象，本题关键是由角的和差关系得到∠DCE的度数．16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝α，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转后得到△EDC，若点D在AB上，则此时旋转角的大小为2α（用含α的式子表示）．【分析】由直角三角形的性质得出∠B＝90°﹣α，由旋转的性质得出CD＝CB，由等腰三角形的性质得出∠CDB＝∠B＝90°﹣α，由三角形内角和定理即可得出答案．【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠A＝α，∴∠B＝90°﹣α，由旋转的性质得：CD＝CB，∴∠CDB＝∠B＝90°﹣α，∴∠BCD＝180°﹣∠B﹣∠CDB＝180°﹣2（90°﹣α）＝2α；故答案为：2α．【点评】本题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质等知识；熟练掌握旋转的性质和等腰三角形的性质是解题的关键．17．如图所示的图案，可以看成是由字母“Y”绕中心每次旋转36度构成的．【分析】如果某一个图形围绕某一点旋转一定的角度（小于360°）后能与原图形重合，那么这个图形就叫做旋转对称图形．利用基本图形和旋转次数，即可得到旋转的角度．【解答】解：根据图形可得：这是一个由字母“Y”绕着中心连续旋转9次，每次旋转36度角形成的图案．故答案为：36．【点评】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．18．如图，在平面直角坐标系中，将△ABO绕点A顺时针旋转到△AB1C1的位置，点B，O 分别落在点B1，C1处，点B1在x轴上，再将△AB1C1绕点B1顺时针旋转到△A1B1C2的位置，点C2在x轴上，将△A1B1C2绕点C2顺时针旋转到△A2B2C2的位置，点A2在x轴上，依次进行下去…．若点A（，0），B（0，4），则点B2018的坐标为（10090，4）．【分析】首先根据已知求出三角形三边长度，然后通过旋转发现，B、B2、B4…每偶数之间的B相差10个单位长度，根据这个规律可以求得B2018的坐标．【解答】解：∵AO＝，BO＝4，∴AB＝，∴OA+AB1+B1C2＝++4＝10，∴B2的横坐标为：10，且B2C2＝4，∴B4的横坐标为：2×10＝20，∴点B2018的横坐标为：1009×10＝10090．∴点B2018的纵坐标为：4．故点B2018的坐标为（10090，4）．故答案为：（10090，4）．【点评】此题考查了点的坐标规律变换，通过图形旋转，找到所有B点之间的关系是本题的关键．题目难易程度适中，可以考察学生观察、发现问题的能力．三．解答题（共8小题）19．已知线段AB＝4cm，以3cm长为半径作圆，使它经过点A、B，能作几个这样的？请作出符合要求的图．【分析】先作AB的垂直平分线l，再以点A为圆心，3cm为半径作圆交l于O1和O2，然后分别以O1和O2为圆心，以3cm为半径作圆即可．【解答】解：这样的圆能画2个．如图：作AB的垂直平分线l，再以点A为圆心，3cm为半径作圆交l于O1和O2，然后分别以O1和O2为圆心，以3cm为半径作圆，则⊙O1和⊙O2为所求圆．【点评】本题考查了圆的认识，解题的关键是找出圆心O1和O2．20．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，连接BC，AC，OD⊥BC于E．（1）求证：OD∥AC；（2）若BC＝8，DE＝3，求⊙O的直径．【分析】（1）由圆周角定理得出∠C＝90°，再由垂径定理得出∠OEB＝∠C＝90°，即可得出结论；（2）令⊙O的半径为r，由垂径定理得出BE＝CE＝BC＝4，由勾股定理得出方程，解方程求出半径，即可得出⊙O的直径．【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠C＝90°，∵OD⊥BC，∴∠OEB＝∠C＝90°，∴OD∥AC；（2）解：令⊙O的半径为r，根据垂径定理可得：BE＝CE＝BC＝4，由勾股定理得：r2＝42+（r﹣3）2，解得：r＝，所以⊙O的直径为．【点评】本题考查了垂径定理、勾股定理、圆周角定理；熟练掌握圆周角定理和垂径定理，由勾股定理得出方程是解决问题（2）的关键．21．一根横截面为圆形的下水管道的直径为1米，管内有少量的污水（如图），此时的水面宽AB为0.6米．（1）求此时的水深（即阴影部分的弓形高）；（2）当水位上升到水面宽为0.8米时，求水面上升的高度．【分析】（1）作半径OD⊥AB于C，连接OB，根据勾股定理计算；（2）分水位上升到圆心以下、水位上升到圆心以上两种情况，根据垂径定理、勾股定理计算即可．【解答】解：（1）作半径OD⊥AB于C，连接OB，由垂径定理得：BC＝AB＝0.3，在Rt△OBC中，OC＝＝0.4CD＝0.5﹣0.4＝0.1，此时的水深为0.1米；（2）当水位上升到圆心以下时水面宽0.8 米则OC＝＝0.3，水面上升的高度为：0.3﹣0.2＝0.1米；当水位上升到圆心以上时，水面上升的高度为：0.4+0.3＝0.7米，综上可得，水面上升的高度为0.1米或0.7米．【点评】本题考查的是垂径定理的应用，掌握垂径定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．22．如图，在△ACE中，AC＝CE，⊙O经过点A，C，且与边AE，CE分别交于点D，F，点B是劣弧AC上的一点，且＝，连接AB，BC，CD．求证：△CDE≌△ABC．【分析】连接DF，根据圆内接四边形的性质得到∠CAE＝∠DFE、∠B＝∠CDE，根据圆心角、弧、弦的关系定理得到BC＝DE，根据全等三角形的判定定理证明即可．【解答】证明：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ABC＝∠CDE，∵＝，∴∠BAC＝∠DCE，在△CDE和△ABC中，，∴△CDE≌△ABC（AAS）．【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系、全等三角形的判定、等腰三角形的性质，掌握圆心角、弧、弦的关系定理是解题的关键．23．小明与小刚约好下午4：30在书店门口集合，一同去买课外用书．当小明下午4：00出门赶到书店门口时（路上用去的时间不超过1小时），却没有见到小刚．他怀疑自己迟到了，于是朝书店墙上的时钟一看，只见钟面上的时针与分针刚好重合在一起．请你运用学过的数学知识计算一下，这时的准确时间是多少？【分析】利用分针与时针的速度关系，列出方程求出时针走的圆心角的度数，再由时针走1°相当于2分钟，即可求出准确时间．【解答】解：分针的速度是时针速度的12倍，设时针走了x°，则分针走了12x°，∵小明下午4：00出门赶到书店门口时（路上用去的时间不超过1小时），且时针与分针刚好重合在一起．∴12x°﹣x°＝120°，解得x°＝°，∵时针走1°相当于2分钟，∴时针走过的分钟为°×2＝21分．∴这时准确的时间为4时21分．【点评】本题主要考查了生活中的旋转现象，解题的关键是求出时针走了多少度．24．如图，∠AOB＝120°，OC平分∠AOB，∠MCN＝60°，CM与射线OA相交于M点，CN与直线BO相交于N点．把∠MCN绕着点C旋转．（1）如图1，当点N在射线OB上时，求证：OC＝OM+ON；（2）如图2，当点N在射线OB的反向延长线上时，OC与OM，ON之间的数量关系是OC＝OM﹣ON（直接写出结论，不必证明）【分析】（1）作∠OCG＝60°，交OA于G，证明△OCG是等边三角形，得出OC＝OG，∠CGM＝60°＝∠CON，证出∠OCN＝∠GCM，证明△OCN≌△GCM（ASA），得出ON＝GM，即可得出结论；（2）作∠OCG＝60°，交OA于G，证明△OCG是等边三角形，得出OC＝OG，∠CGM＝60°＝∠CON，证出∠OCN＝∠GCM，证明△OCN≌△GCM（ASA），得出ON＝GM，即可得出结论．【解答】（1）证明：作∠OCG＝60°，交OA于G，如图1所示：∵∠AOB＝120°，OC平分∠AOB，∴∠CON＝∠COG＝60°，∴∠OCG＝∠COG，∴OC＝CG，∴△OCG是等边三角形，∴OC＝OG，∠CGM＝60°＝∠CON，∵∠MCN＝∠OCG＝60°，∴∠OCN＝∠GCM，在△OCN和△GCM中，，∴△OCN≌△GCM（ASA），∴ON＝GM，∵OG＝OM+GM，∴OC＝OM+ON；（2）解：OC＝OM﹣ON，理由如下：作∠OCG＝60°，交OA于G，如图2所示：∵∠AOB＝120°，OC平分∠AOB，∴∠CON＝∠COG＝60°，∴∠CON＝120°，∠OCG＝∠COG，∴OC＝CG，∴△OCG是等边三角形，∴OC＝OG，∠CGO＝60°，∴∠CGM＝120°＝∠CON，∵∠MCN＝∠OCG＝60°，∴∠OCN＝∠GCM，在△OCN和△GCM中，，∴△OCN≌△GCM（ASA），∴ON＝GM，∵OG＝OM﹣GM，∴OC＝OM﹣ON；故答案为：OC＝OM﹣ON【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、旋转的性质等知识；熟练掌握等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．25．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，5），B（﹣2，1），C（﹣1，3）（1）若△ABC经过平移后得到的△A1B1C1，已知点C1的坐标为（4，0），写出顶点A1，B1的坐标；（2）若△ABC和△A2B2C2关于原点O成中心对称图形，写出△A2B2C2的各顶点的坐标；（3）将△ABC绕着点O按顺时针方向旋转90°得到△A3B3C3，写出△A3B3C3的各顶点的坐标．【分析】（1）依据△ABC经过平移后得到的△A1B1C1，点C1的坐标为（4，0），即可得到顶点A1，B1的坐标；（2）依据△ABC和△A2B2C2关于原点O成中心对称图形，即可得出△A2B2C2的各顶点的坐标；（3）依据△ABC绕着点O按顺时针方向旋转90°得到△A3B3C3，即可得到△A3B3C3的各顶点的坐标．【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求，顶点A1，B1的坐标分别为（2，2）和（3，﹣2）；（2）如图所示，A2的坐标为（3，﹣5）；B2的坐标为（2，﹣1）；C2的坐标为（1，﹣3）；（3）如图所示，△A3B3C3即为所求；A3的坐标为（5，3），B3的坐标为（1，2），C3的坐标为（3，1）．【点评】本题主要考查平移变换和旋转变换，熟练掌握平移变换和旋转变换的定义是解题的关键．26．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，5），B（﹣2，1），C（﹣1，3）．若△ABC和△A1B1C1关于原点O成中心对称图形，画出图形并写出△A1B1C1的各顶点的坐标．【分析】根据关于原点成中心对称的图形横纵坐标都互为相反数即可得结论．【解答】解：如图所示：△A1B1C1即为所求作的图形．A1（3，﹣5），B1（2，﹣1），C1（1，﹣3）．【点评】本题考查了旋转变换、中心对称图形，解决本题的关键是掌握中心对称图形的坐标特征．。
最新浙教版九年级数学上学期《圆的基本性质》单元测试卷及答案解析.docx
九年级上数学圆的基本性质单元测试卷班级 姓名一、选择题1、下列命题中不正确的是( ) A.圆有且只有一个内接三角形;B.三角形的外心是这个三角形任意两边的垂直平分线的交点;C.三角形只有一个外接圆;D.等边三角形的外心也是三角形的三条中线、高、角平分线的交点. 2、过⊙内一点M 的最长弦长为10cm ，最短弦长为8cm ，那么OM 的长为（ ）（A ）3cm （B ）6cm （C ）cm （D ）9cm3、如图，AB 是⊙O 的直径，点C 、D 在⊙O 上，∠BOC ＝110°，AD ∥OC ，则∠AOD ＝（ ） A70° B 、60° C 、50° D 、40°4、如图，弧AD 是以等边三角形ABC 一边AB 为半径的四分之一圆周，P 为弧AD 上任意一点，若AC ＝5，则四边形ACBP 周长的最大值是（ ）A 、15B 、20C 、2515+D 、5515+（第3题） （第4题） （第5题） （第6题） 5、如图，点A 、B 、C 、D 为圆O 的四等分点，动点P 从圆心O 出发，沿O —C —D —O 的路线作匀速运动，设运动时间为t 秒，∠APB 的度数为y 度，则下列图象中表示y 与t 之间函数关系最恰当的是（）A B C D6、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，若以点C为圆心，CB长为半径的圆恰好经过AB的中点D，则AC的长等于（）A、35B、5 C、25D、67．如图，圆锥的底面半径为3cm，母线长为5cm，则它的侧面积为（）A. 60πcm2B. 45πcm2C. 30πcm2D15πcm2ABCP15c m3c m9c m(第7题) (第8题) (第9题)8．如图，小华同学设计了一个圆直径的测量器，标有刻度的尺子OA、OB在0点钉在一起，并使它们保持垂直，在测直径时，把0点靠在圆周上，读得刻度OE＝8个单位，OF＝6个单位，则圆的直径为( )A．12个单位B．10个单位C．4个单位D．15个单位9．如图,有一块边长为6 cm的正三角形ABC木块,点P是边CA延长线上的一点,在A、P 之间拉一细绳,绳长AP为15 cm.握住点P,拉直细绳,把它紧紧缠绕在三角形ABC木块上(缠绕时木块不动),则点P运动的路线长为(精确到0.1厘米,π≈3.14)( )A.28.3 cmB.28.2 cmC.56.5 cmD.56.6 cm10、如图，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠CAB ＝30°，BC ＝2，O ，H 分别为边AB 、AC 的中点，将△ABC 绕点B 顺时针旋转120°到△11BC A 的位置，则整个旋转过程中线段OH 所扫过部分的面积（即阴影部分的面积）为（ ）A 、38737-π B 、38734+π C 、π D 、334+π （第10题）二、填空题（每题4分，共32分）11．在半径为5厘米的圆内有两条互相平行的弦,一条弦长为8厘米,另一条弦长为6厘米,则两弦之间的距离为_______.12.同圆的内接正三角形与内接正方形的边长的比是______.13. 如图，△ABC 是等腰直角三角形，BC 是斜边，点P 是△ABC 内的一点，将△ABP 绕点A 逆时针旋转后与△ACP ′重合.如果AP=3，那么线段PP ′的长是______.（第13题） （第14题）14.如图，三角形ABC 是等边三角形，以BC 为直径作圆交AB ，AC 于点D ，E ，若BC=1，则DC=________.（第16题）14、如图，两正方形彼此相邻，且内接于半圆，若小正方形的面积为162cm ，则该半圆的半径为 ．15、一根水平放置的圆柱形输水管道横截面中有水部分水面宽312米，半径为12米，则积水部分面积为 ．16、如图所示，在⊙O 内有折线OABC ，其中OA ＝8，AB ＝12，∠A ＝∠B ＝60°，则BC 的长为 ．17、在平面直角坐标系中，已知一圆弧点A （－1，3），B （－2，－2），C （4，－2），则该圆弧所在圆的圆心坐标为 ．18、如图⊙O 的半径为1cm ，弦AB ，CD 的长度分别为2cm ，1cm ，则弦AC ，BD 相交所夹的锐角 ＝ ． 三、解答题（第18题）19、已知:如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,∠B=25°,以C 为圆心,CA 长为半径的圆交AB 于D,求的度数.DCBAE DCBA O（第19题）20、 “圆材埋壁”是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题,“今有圆材,埋壁中,不知大小,以锯锯之,深一寸,锯道长一尺,问径几何？”用现在的数学语言表述是:“如图3－2－16所示,CD 为⊙O 的直径,弦AB ⊥CD,垂足为E, CE=1寸,求直径CD 的长.”（第20题）21、如图所示,OA 、OB 、OC 都是圆O 的半径,∠AOB=2∠BOC ． 求证:∠ACB=2∠BAC.CBAO（第21题）22、如图所示，BC 是⊙O 的直径，AD ⊥BC ，垂足为D ，AB ＝AF ，BF 和AD 相交于E ；求证：BE ＝AE ．（第22题）23、（1）如图1，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点E，连结OC，若AB＝10，CD＝8，求AE的长；（2）如图2，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA，PD⊥OA，若PC＝4，求PD的长度．24、如图，⊙O是△ABC的外接圆，且AB＝AC，点D在弧BC上运动，过点D作DE∥BC，DE交AB的延长线于点E，连结AD、BD．（1）求证：∠ADB＝∠E；（2）当AB＝5，BC＝6，求⊙O的半径．（第24题）25、如图所示，已知⊙O的直径为32，AB为⊙O的弦，且AB=4，P是⊙O上一动点，问是否存在以A，P，B为顶点的面积最大的三角形，试说明理由，若存在，求出这个三角形的面积.第25题26、如图所示，⊙O的直径AB=12 cm，有一条定长为8 cm的动弦CD在AB上滑动（点C与A不重合，点D与B不重合），且CE⊥CD交AB于点E，DF⊥CD交AB于点F. （1）求证：AE=BF；（2）在动弦CD滑动的过程中，四边形CDFE的面积是否为定值？若是定值，请给出说明，并求出这个定值；若不是，请说明理由.第26题27、一位小朋友在粗糙不打滑的“Z”字形平面轨道上滚动一个半径为10cm的圆盘，如图所示，AB与C D是水平的，BC与水平面的夹角为600，其中AB=60cm，CD=40cm，BC=40cm，请你做出该小朋友将圆盘从A点滚动到D点其圆心所经过的路线的示意图，并求出此路线的长度.40cm40cm60cm DCB A 60O参考答案：1~5：AADCC 6~10：ADBCC11. 7厘米或1厘米 12.6213.32 点拨：由旋转的性质，知∠PAP ′等于90°，AP ′=AP=3，所以PP ′=22AP AP '+ =2233+=32. 14.3215、33648-π16、2017、（1，0）18、75°19、50°20、26寸21、求证圆周角∠ACB=2∠BAC,只要证明弧AB 的度数是弧BC 度数的两倍即可,由已知条件∠AOB=2∠BOC 容易得到.22、证明：∵BC 是⊙O 的直径，∴∠BAC ＝90°，∵AD ⊥BC ，∴∠BAD ＋∠CAD ＝∠CAD ＋∠C ＝90°，∴∠BAD ＝∠C ，∵AB ＝AF ，∴∠ABF ＝∠C ，∴∠BAD ＝∠ABF ，∴BE ＝AE23、解：（1）∵AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，∴CE ＝DE ，∵AB ＝10，CD ＝8，∴OC ＝5，CE ＝4，∴OE ＝3，∴AE ＝2（2）224、（1）证明：∵AB ＝AC ，点D 在弧BC 上运动，过点D 作DE ∥BC ，∴AB⌒ ＝AC ⌒ ， ∠ABC ＝∠AED ，∠ABC ＝∠ACB ，∠ADB ＝∠ACB ，∴∠ADB ＝∠E ；（2）解：连结AO 并延长交BC 于F ，连结OB ，OC ，∵AB ＝AC ，OB ＝OC ，∴AO 垂直平分BC ，∴BF ＝CF ＝21BC ＝21×6＝3， 在直角△ABF 中，由勾股定理可得AF ＝4，设⊙O 的半径为r ，在直角△OBF 中，OB ＝r ，BF ＝3，OF ＝4－r ，∴222)4(3r r -+=，解得825=r ，∴⊙O 的半径是825 25.解：存在以A ，P ，B 为顶点的面积最大的三角形.如答图6所示，作PD ⊥AB 于点D ，∵当点P 在优弧AB 上时，PD 可能大于⊙O 的半径，当点P 在劣弧AB 上时，PD 一定小于⊙O 的半径,且AB 的长为定值，∴当点P 在优弧AB 上且为优弧AB 的中点时△APB 的面积最大，此时PD 经过圆心O.作⊙O 的直径AC ，连结BC ，则∠ABC=90°.∴BC=22AC AB -=22(32)4-=2.∵AO=OC,AD=BD ，∴OD 为△ABC 的中位线，OD=12BC =22.∴PD=PO+OD=322+22=22.∴APB S =12AB ·PD=12×4×22=42. 26.（1）证明：过点O 作OH ⊥CD 于点H ，∴H 为CD 的中点.∵CE ⊥CD ，DF ⊥CD ，∴EC ∥OH ∥FD,则O 为EF 的中点，OE=OF.又∵AB 为直径，∴OA=OB ，∴AE=OA-OE=OB-OF=BF,即AE=BF.（2）解：四边形CDFE 的面积为定值，是216 5 cm .理由：∵动弦CD 在滑动过程中，条件EC ⊥CD ，FD ⊥CD 不变，∴CE ∥DF 不变.由此可知，四边形CDFE 为直角梯形或矩形，∴CDFE S 四边形=OH ·CD.连结OC.∴OH=22OC CH -=2212822⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=25（cm ）.又∵CD 为定值8 cm,∴CDFE S 四边形=OH ·CD=25×8=165（2cm ）,是常数.即四边形CDFE 的面积为定值.27.示意图略，路线的长度为140－π3103320+。
2022-2023学年浙教版九年级数学上册《第3章圆的基本性质》单元达标测试题(附答案)
2022-2023学年浙教版九年级数学上册《第3章圆的基本性质》单元达标测试题（附答案）一．选择题（共8小题，满分40分）1．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠BCD＝121°，则∠BOD的度数为（）A．138°B．121°C．118°D．112°2．如图，⊙O的直径AB与弦CD相交于点E，若AE＝5，EB＝1，∠AEC＝30°，则CD 的长为（）A．5B．2C．4D．3．如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，连接BC，过点O作OF⊥BC于F，若BD ＝8，OF＝，则OE的长为（）A．3B．4C．2D．54．把半径长为2.5的球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知CD＝4，则EF＝（）A．2B．2.5C．4D．55．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，AC＝CD，⊙O的半径为2，则△AOC 的面积为（）A．B．2C．2D．46．如图，AB是⊙O的直径，C是弧AB的中点，点D在弧BC上，AC，BD的延长线交于点E，则∠AEB﹣∠BCD等于（）A．30°B．45°C．55°D．60°7．如图，点A的坐标为A（8，0），点B在y轴正半轴上，且AB＝10，点P是△AOB外接圆上一点，且∠BOP＝45°，则点P的坐标为（）A．（7，7）B．（7，7）C．（5，5）D．（5，5）8．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AE⊥CB交CB的延长线于点E，若BA平分∠DBE，AD＝7，CE＝5，则AE＝（）A．3B．C．D．二．填空题（共8小题，满分40分）9．如图，矩形ABCD与圆心在AB上的⊙O交于点G，B，F，E，GB＝5，EF＝4，那么AD ＝．10．如图所示，圆内接四边形ABCD中，对角线AC是直径，BD＝AB，BE⊥AC，BE＝4，CD＝6，则CE＝．11．如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，＝，CE＝1，AB＝6，则弦AF 的长度为．12．如图，AB是半圆O的直径，D是半圆O上一点，C是的中点，连接AC交BD于点E，连接AD，若BE＝4DE，CE＝6，则AB的长为．13．如图，C、D是以AB为直径的圆O上的两个动点（点C、D不与A、B重合），M是弦CD的中点，过点C作CP⊥AB于点P．若CD＝3，AB＝5，则PM的范围是．14．如图，在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°，AB＝2，点D为AB的中点，以点D为圆心作圆心角为90°的扇形DEF，点C恰在弧EF上，则图中阴影部分的面积为．15．如图，在⊙O中，半径OC与弦AB垂直于点D，M为AD的中点，N为上的点，且MN∥CD．若CD＝5，MN＝4，则⊙O的半径为．16．如图，点A，B分别在x轴，y轴上（OA＞OB），以AB为直径的圆经过原点O，C是的中点，连接AC，BC，若OA﹣OB＝4，则点C的坐标是．三．解答题（共5小题，满分40分）17．如图所示，某地欲搭建一座圆弧型拱桥，跨度AB＝32米，拱高CD＝8米（C为AB的中点，D为弧AB的中点）．（1）求该圆弧所在圆的半径；（2）在距离桥的一端4米处欲立一桥墩EF支撑，求桥墩的高度．18．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，以点A为圆心，AC长为半径作圆，交BC于点D，交AB于点E，连接DE．（1）若∠ABC＝20°，求∠DEA的度数；（2）若AC＝3，AB＝4，求CD的长．19．如图，AB是⊙O的直径，C是的中点，CE⊥AB于点E，BD交CE于点F．（1）求证：CF＝BF；（2）若CD＝6，AC＝8，求⊙O的半径及CE的长．20．如图，在⊙O中，AB，AC为弦，CD为直径，AB⊥CD于E，BF⊥AC于F，BF与CD 相交于G．（1）求证：ED＝EG；（2）若AB＝8，OG＝1，求⊙O的半径．21．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，＝，AC为直径，DE⊥BC，垂足为E．（1）求证：CD平分∠ACE；（2）若AC＝9，CE＝3，求CD的长．参考答案一．选择题（共8小题，满分40分）1．解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠A+∠BCD＝180°，∴∠A＝180°﹣121°＝59°，∴∠BOD＝2∠A＝2×59°＝118°，故选：C．2．解：过点O作OF⊥CD于F，连接DO，∵AE＝5，BE＝1，∴AB＝6，∴⊙O的半径为3，∴OE＝3﹣1＝2．∵∠AEC＝30°，∴OF＝1，∴CF＝2，∴CD＝2CF＝4，故选：C．3．解：连接OB、AB，∵BD⊥AO，BD＝8，∴BE＝ED＝BD＝4，∵OF⊥BC，∴CF＝FB，∵CO＝OA，OF＝，∴AB＝2OF＝2，由勾股定理得：AE＝＝2，在Rt△BOE中，OB2＝OE2+BE2，即OA2＝（OA﹣2）2+42，解得：OA＝5，∴OE＝OA﹣AE＝5﹣2＝3．故选：A．4．解：设球的平面投影圆心为O，过点O作ON⊥AD于点N，延长NO交BC于点M，连接OF，如图所示：则NF＝EN＝EF，∵四边形ABCD是矩形，∴∠C＝∠D＝90°，∴四边形CDNM是矩形，∴MN＝CD＝4，ON＝MN﹣OM＝4﹣2.5＝1.5，在Rt△ONF中，由勾股定理得：ON2+NF2＝OF2，∴NF＝＝2，EF＝2NF＝4，故选：C．5．解：∵CD⊥AB，∴CE＝DE＝，∠AEC＝90°，∵AC＝CD，∴CE＝，∴sin A＝，∴∠A＝30°，∵OA＝OC，∴∠A＝∠OCA＝30°，∴∠COE＝60°，在Rt△COE中，sin∠COE＝，即sin60°＝，∴CE＝，∴S△AOC＝＝＝．故选：C．6．解：∵AB是⊙O的直径的直径，∴∠ADB＝∠ADE＝∠ACB＝90°，∴∠AEB+∠EAD＝90°，∵C是弧AB的中点，∴AC＝BC，∴∠CAB＝∠CBA＝45°，∴∠EAD+∠BAD＝45°，∵∠BCD＝∠BAD，∴∠EAD+∠BCD＝45°，∴∠AEB+∠EAD﹣（∠EAD+∠BCD）＝90°﹣45°＝45°，∴∠AEB﹣∠BCD＝45°．故选：B．7．解：作PH⊥x轴于H，连接P A、PB，∵∠AOB＝90°，∴AB为△AOB外接圆的直径，∴∠BP A＝90°，∵AB＝10，∠BAP＝∠BOP＝45°，∴P A＝5，设OH＝t，则PH＝t，AH＝8﹣t，在Rt△PHA中，∵PH2+AH2＝P A2，即t2+（8﹣t）2＝（5）2，解得，t1＝1（舍去），t2＝7，∴点P的坐标为（7，7），故选：A．8．解：连接AC，如图，∵BA平分∠DBE，∴∠ABE＝∠ABD，∵∠ABE＝∠CDA，∠ABD＝∠ACD，∴∠ACD＝∠CDA，∴AC＝AD＝7，∵AE⊥CB，∴∠AEC＝90°，∴AE＝＝＝2．故选：C．二．填空题（共8小题，满分40分）9．解：过O作OM⊥EF于M，连接OE，则∠OMD＝90°，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠D＝90°，∴四边形AOMD是矩形，∴OM＝AD，∵OM⊥EF，OM过圆心O，EF＝4，∴EM＝FM＝2，∵OG＝OB，BG＝5，∴OB＝OG＝2.5＝OE，在Rt△OME中，由勾股定理得：OM＝＝＝1.5，∴AD＝OM＝1.5，故答案为：1.5．10．解：延长BO交AD于G，连接OD，∵OA＝OD，AB＝BD，∴直线BG是线段AD的垂直平分线，∴∠AGO＝90°，AG＝DG，∵BE⊥AC，∴∠BEO＝∠AGO＝90°，在→AGO和△BEO中，，∴△AGO≌△BEO（AAS），∴AG＝BE，∵BE＝4，∴AG＝4，∴DG＝AG＝4，即AD＝8，∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝∠ADC＝90°，∵CD＝6，∴直径AC＝＝10，∵∠ABC＝∠AEB＝∠BEC＝90°，∴∠BAE+∠ABE＝90°，∠ABE+∠CBE＝90°，∴∠BAE＝∠CBE，∴＝，解得：CE＝2或8，11解：连接OA、OB，OB交AF于G，如图，∵AB⊥CD，∴AE＝BE＝AB＝3，设⊙O的半径为r，则OE＝r﹣1，OA＝r，在Rt△OAE中，32+（r﹣1）2＝r2，解得r＝5，∴OE＝5﹣1＝4，∵＝，∴OB⊥AF，AG＝FG，∵AG•OB＝OE•AB，∴AG＝＝，∴AF＝2AG＝．故答案为．12．解：如图，连接OC交BD于K，连接BC．∵＝，∴OC⊥BD，∵BE＝4DE，∴可以假设DE＝k．BE＝4k，则DK＝BK＝2.5k，EK＝1.5k，∵AB是直径，∴∠ADK＝∠DKC＝∠ACB＝90°，∴AD∥CK，∴AE：EC＝DE：EK，∴AE：6＝k：1.5k，∴AE＝4，∵△ECK∽△EBC，∴EC2＝EK•EB，∴36＝1.5k×4k，∵k＞0，∴k＝，∴BC＝＝＝2，∴AB＝＝＝4．故答案为4．13．解：如图：延长CP交⊙O于N，连接DN．∵AB⊥CN，∴CP＝PN，∵CM＝DM，∴PM＝DN，∴当DN为直径时，PM的值最大，最大值为，当DN＝NC时，PM最小，最小值为0，∴PM的范围是0≤PM≤且PM≠1.5．故答案为：0≤PM≤且PM≠1.5．14．解：连接CD，∵CA＝CB，∠ACB＝90°，∴∠B＝45°，∵点D为AB的中点，∴DC＝AB＝BD＝1，CD⊥AB，∠DCA＝45°，∴∠CDH＝∠BDG，∠DCH＝∠B，在△DCH和△DBG中，，∴△DCH≌△DBG（ASA），∴S四边形DGCH＝S△BDC＝S△ABC＝AB•CD＝×2×1＝．∴S阴影＝S扇形DEF﹣S△BDC＝﹣＝﹣．故答案为﹣．15．解：连接AO，ON，延长NM交⊙O于F，过O作OE⊥NF于E，如图，设⊙O的半径为r，AD＝t，∵CD⊥AB，MN∥CD，∴∠ODM＝∠DME＝∠MEO＝90°，∴四边形MEOD是矩形，∴OE＝DM＝t，OD＝ME＝r﹣5，在Rt△AOD中，（r﹣5）2+t2＝r2，①在Rt△NOE中，（r﹣5+4）2+（t）2＝r2，②②×4﹣①得2r﹣21＝0，解得r＝，即⊙O的半径为．故答案为：．16．解：∵C是的中点，∴＝，∴AC＝BC，过点C作CD⊥OA，CE⊥OB，∴∠BEC＝∠ADC＝90°在△BCE和△ACD中，，∴△BCE≌△ACD（AAS），∴AD＝BE，CE＝CD，∵∠DOE＝∠OEC＝∠ODC＝90°，∴四边形ODCE是矩形，∵CE＝CD，∴矩形ODCE是正方形，∴OD＝OD＝CD＝CE，∵AD＝OA﹣OD，BE＝OB+BE＝OB+OD，∵AD＝BE，∴OA﹣OD＝OB+OD，∵OA﹣OB＝4，∴OD＝2，∴CD＝CE＝2，∴C（2，﹣2）．故答案为：（2，﹣2）．三．解答题（共5小题，满分40分）17．解：（1）设弧AB所在的圆心为O，D为弧AB的中点，CD⊥AB于C，延长DC经过O 点，设⊙O的半径为R，在Rt△OBC中，OB2＝OC2+CB2，∴R2＝（R﹣8）2+162，解得R＝20；（2）OH⊥FE于H，则OH＝CE＝16﹣4＝12，OF′＝R＝20，在Rt△OHF中，HF＝＝16，∵HE＝OC＝OD﹣CD＝20﹣8＝12，EF＝HF﹣HE＝16﹣12＝4（米），∴在离桥的一端4米处，桥墩高4米．18．解：（1）如图，连接AD．∵∠BAC＝90°，∠ABC＝20°，∴∠ACD＝70°．∵AC＝AD，∴∠ACD＝∠ADC＝70°，∴∠CAD＝180°﹣70°﹣70°＝40°，∴∠DAE＝90°﹣40°＝50°．又∵AD＝AE，∴．（2）如图，过点A作AF⊥CD，垂足为F．∵∠BAC＝90°，AC＝3，AB＝4，∴BC＝5．又∵•AF•BC＝•AC•AB，∴，∴．∵AC＝AD，AF⊥CD，∴．19．（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠A＝90°﹣∠ABC．∵CE⊥AB，∴∠CEB＝90°，∴∠ECB＝90°﹣∠ABC，∴∠ECB＝∠A．又∵C是的中点，∴＝，∴∠DBC＝∠A，∴∠ECB＝∠DBC，∴CF＝BF；（2）解：∵＝，∴BC＝CD＝6，∵∠ACB＝90°，∴AB＝＝＝10，∴⊙O的半径为5，∵S△ABC＝AB•CE＝BC•AC，∴CE＝＝＝．20．（1）证明：如图：连接BD，∵AB⊥CD于E，BF⊥AC于F，∴∠CFG＝∠GEB，∵∠CGF＝∠BGE，∴∠C＝∠GBE，∵∠C＝∠DBE，∴∠GBE＝∠DBE，∵AB⊥CD于E，∴∠GEB＝∠DEB，在△GBE和△DBE中，，∴△BGE≌△BDE（ASA），∴ED＝EG．（2）解：如图：连接OA，设OA＝r，则DG＝r+1，由（1）可知ED＝EG，∴OE＝，∵AB⊥CD于E，AB＝8，∴AE＝BE＝4，∴在Rt△OAE中，根据勾股定理得：OE2+AE2＝OA2，即（）2+42＝r2，解得：r＝，即⊙O的半径为．21．（1）证明：∵四边形ABCD是⊙O内接四边形，∴∠BAD+∠BCD＝180°，∵∠BCD+∠DCE＝180°，∴∠DCE＝∠BAD，∵＝，∴∠BAD＝∠ACD，∴∠DCE＝∠ACD，∴CD平分∠ACE；（2）解：∵AC为直径，∴∠ADC＝90°，∵DE⊥BC，∴∠DEC＝90°，∴∠DEC＝∠ADC，∵∠DCE＝∠ACD，∴＝，即＝，∴CD＝3．。
浙教版九年级数学上册 第3章 圆的基本性质 单元测试卷(含解析)
浙教版九年级数学上册第3章圆的基本性质单元测试卷题号一二三总分得分一、选择题（本大题共11小题，共33分）1.已知⊙O的半径为4cm，点A到圆心O的距离为3cm，则点A与⊙O的位置关系是()A. 点A在⊙O内B. 点A在⊙O上C. 点A在⊙O外D. 不能确定2.如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上两点，∠AOC=130°，则∠D等于()A. 65°B. 35°C. 25°D. 15°3.如图，已知经过原点的⊙P与x、y轴分别交于A、B两点，点C是劣弧OB上一点，则∠ACB=()A. 80°B. 90°C. 100°D. 无法确定4.已知正六边形的边长为6，则它的边心距()A. 3√3B. 6C. 3D. √35.如图，☉O的半径为3，四边形ABCD内接于☉O，连接OB，OD，若∠BCD=∠BOD，则BD⌢的长为()π C. 2π D. 3πA. πB. 326.如图，在圆内接正五边形ABCDE中，对角线AC和BD相交于点P，则∠APB等于()A. 36∘B. 60∘C. 72∘D. 108∘7.如图，⊙O的半径为13，弦AB的长度是24，ON⊥AB，垂足为N，则ON=()A. 5B. 7C. 9D. 118.如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠A=22.5∘，OC=4，CD的长为()A. 2√2B. 4C. 4√2D. 89.半径为3，圆心角为120°的扇形的面积是()A. 3πB. 6πC. 9πD. 12π10.在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=15，AC=17，以AB为直径作半圆，则此半圆的面积为()A. 16πB. 12πC. 10πD. 8π11.如图，C是以AB为直径的半圆O上一点，连结AC，BC，分别以AC，BC为边向外作正方形ACDE，BCFG.DE，FG，AC⏜,BC⏜的中点分别是M，N，P，Q.若MP+NQ= 14，AC+BC=18，则AB的长为()C. 13D. 16A. 9√2B. 907二、填空题（本大题共9小题，共35分）12.如图，⊙O的内接四边形ABCD中，∠BOD=140°，则∠A等于______°.13.正五边形每个外角的度数是______．14.在⊙O中，已知半径为5，弦AB的长为8，那么圆心O到AB的距离为_______．15.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，如果AC⏜=CD⏜，则∠ACD的度数是______．16.有一张矩形的纸片，AB=3cm，AD=4cm，若以A为圆心作圆，并且要使点D在⊙A内，而点C在⊙A外，⊙A的半径r的取值范围是______．17.如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A=45°，BC=4，则⊙O的直径为______．18.如图，在直角坐标系中，已知点A(−3,0)，B(0,4)，对△OAB连续作旋转变换，依次得到三角形1、2、3、4….则三角形2016的直角顶点坐标为______ ．19.如图，CD是⊙O的直径，点A是半圆上的三等分点，B是弧AD的中点，P点为直线CD上的一个动点，当CD=6时，AP+BP的最小值为______．20.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=1，将其放入平面直角坐标系，使A点与原点重合，AB在x轴上，△ABC沿x轴顺时针无滑动的滚动，点A再次落在x轴时停止滚动，则点A经过的路线与x轴围成图形的面积为______．三、解答题（本大题共4小题，共52分）21.如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点均落在格点上．(1)将△ABC绕点O顺时针旋转90°后，得到△A1B1C1.在网格中画出△A1B1C1；(2)求线段OA在旋转过程中扫过的图形面积；(结果保留π)22.如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上的两点，且OD//BC，OD与AC交于点E．(1)若∠B=70°，求∠CAD的度数；(2)若AB=4，AC=3，求DE的长．23.如图，AB是⊙O的直径，点C是圆上一点，连接CA，CB，过点O作弦BC的垂线，交BC⌢于点D，连接AD．(1)求证：∠CAD=∠BAD；(2)若⊙O的半径为1，∠B=50°，求AC⌢的长．24.如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，连接BC，AC，OD⊥BC于E．(1)求证：OD//AC；(2)若BC=8，DE=3，求⊙O的直径．答案和解析1.【答案】A【解析】解：∵圆的半径是4cm，点A到圆心的距离是3cm，小于圆的半径，∴点A在圆内．故选A．根据点到圆心的距离与圆的半径大小的比较，确定点与圆的位置关系．本题考查的是点与圆的位置关系，点A到圆心的距离是3cm，比圆的半径4cm小，可以判断点A就在圆内．2.【答案】C【解析】【分析】∠BOC，求出∠BOC即可．根据圆周角定理：∠D=12本题考查圆周角定理，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．【解答】解：∵∠BOC=180°−∠AOC，∠AOC=130°，∴∠BOC=50°，∠BOC=25°，∴∠D=12故选：C．3.【答案】B【解析】解：∵∠AOB与∠ACB是优弧AB所对的圆周角，∴∠AOB=∠ACB，∵∠AOB=90°，∴∠ACB=90°．故选B．由∠AOB与∠ACB是优弧AB所对的圆周角，根据圆周角定理，即可求得∠ACB=∠AOB= 90°．此题考查了圆周角定理．此题比较简单，解题的关键是观察图形，得到∠AOB与∠ACB是优弧AB所对的圆周角．【解析】解：如图所示，此正六边形中AB=6，则∠AOB=60°；∵OA=OB，∴△OAB是等边三角形，∵OG⊥AB，∴∠AOG=30°，=3√3，∴OG=OA⋅cos30°=6×√32故选：A．已知正六边形的边长为6，欲求边心距，可通过边心距、边长的一半和内接圆半径构造直角三角形，通过解直角三角形求解即可．此题主要考查正多边形的计算问题，属于常规题．解答时要注意以下问题：①熟悉正六边形和正三角形的性质；②作出半径和边心距，构造出直角三角形，利用解直角三角形的知识解答．5.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了弧长公式，圆内接四边形的性质，圆周角定理；熟练掌握圆内接四边形的性质和圆周角定理，求出∠BOD=120°是解决问题的关键．由圆内接四边形的性质和圆周角定理求出∠A=60°，得出∠BOD=120°，再由弧长公式即可得出答案．【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠BCD+∠A=180°，∵∠BOD=2∠A，∠BOD=∠BCD，∴2∠A+∠A=180°，解得：∠A=60°，∴∠BOD=120°，∴BD⏜的长．故选C．【解析】【分析】本题考查了正多边形和圆的知识，题目中还用到了三角形的外角的性质及正多边形的性质等，比较简单．首先根据正五边形的性质得到AB=BC，∠ABC=108°，∠ACB=36°，最后利用三角形的外角的性质得到∠APB=∠PBC+∠ACB．【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠ABC=108∘，BA=BC，∴∠ACB=36∘．同理∠PBC=36∘，∴∠APB=∠PBC+∠ACB=72∘．故选C．7.【答案】A【解析】【分析】本题考查垂径定理与勾股定理的综合应用，解题的关键是明确垂径定理的内容，利用垂径定理解答问题．根据⊙O的半径为13，弦AB的长度是24，ON⊥AB，可以求得AN的长，再根据勾股定理求得ON的长．【解答】解：由题意可得，OA=13，∠ONA=90∘，AB=24，∴AN=1AB=12.在Rt△OAN中，ON=√OA2−AN2=√132−122=5．2故选A．8.【答案】C【解析】【分析】本题考查圆周角定理，垂径定理，等腰直角三角形的判定，勾股定理．先由圆周角定理求出∠BOC=45°，再由垂径定理得出∠OEC=90°，CD=2CE，则△OCE为等腰直角三角形，由勾股定理求出CE的长，即可得出CD长．【解答】解：∵∠A=22．5∘，∴∠BOC=2∠A=45∘，∵⊙O的直径AB垂直于弦CD，∴CE=DE，△OCE为等腰直角三角形，OC=2√2，∴CD=2CE=4√2．∴CE=√22故选C．9.【答案】A【解析】【分析】把已知数据代入S=nπR2，计算即可．360是解题的关键．本题考查的是扇形面积的计算，掌握扇形的面积公式：S=nπR2360【解答】=3π，解：半径为3，圆心角为120°的扇形的面积是：120π×32360故选A．10.【答案】D【解析】解：根据题意画图如下，在Rt△ABC中，AB=√AC2−BC2=√172−152=8，π⋅42=8π．则S半圆=12故选D．首先根据勾股定理求出AB的长，再根据半圆的面积公式解答即可．此题考查了勾股定理，用到的知识点是勾股定理以及圆的面积公式，关键是根据勾股定理求出半圆的半径．11.【答案】C【解析】解：连接OP，OQ，∵DE，FG，AC⏜,BC⏜的中点分别是M，N，P，Q，∴OP⊥AC，OQ⊥BC，∴H、I是AC、BC的中点，(AC+BC)=9，∴OH+OI=12∵MH+NI=AC+BC=18，MP+NQ=14，∴PH+QI=18−14=4，∴AB=OP+OQ=OH+OI+PH+QI=9+4=13，故选C．连接OP，OQ，根据DE，FG，AC⏜,BC⏜的中点分别是M，N，P，Q得到OP⊥AC，OQ⊥BC，(AC+BC)=9和从而得到H、I是AC、BC的中点，利用中位线定理得到OH+OI=12PH+QI，从而利用AB=OP+OQ=OH+OI+PH+QI求解．本题考查了中位线定理，解题的关键是正确的作出辅助线，题目中还考查了垂径定理的知识，难度不大．12.【答案】110【解析】【分析】根据圆周角定理求出∠C，根据圆内接四边形的性质计算即可．本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．【解答】∠BOD=70°，解：由圆周角定理得，∠C=12∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠A=180°−∠C=110°，故答案为：110．第18页，共18页 13.【答案】72°【解析】解：360°÷5=72°．故答案为：72°．利用正五边形的外角和等于360度，除以边数即可求出答案．本题主要考查了多边形的外角和定理，任何一个多边形的外角和都是360°．14.【答案】3【解析】【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理．作OC ⊥AB 于C ，连接OA ，根据垂径定理得到AC =BC =12AB =3，然后在Rt △AOC 中利用勾股定理计算OC 即可． 【解答】解：作OC ⊥AB 于C ，连结OA ，如图，∵OC ⊥AB ，∴AC =BC =12AB =12×8=4， 在Rt △AOC 中，OA =5，∴OC =√OA 2−AC 2=3，即圆心O 到AB 的距离为3．故答案为3．15.【答案】60°【解析】解：∵AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，∴AC⏜=AD ⏜， ∵AC⏜=CD ⏜， ∴AC⏜=CD ⏜=AD ⏜， 即AC ⏜、CD ⏜、AD ⏜的度数是13×360°=120°，∴∠ACD=1×120°=60°，2故答案为：60°．根据垂径定理求出AC⏜=CD⏜，求出AC⏜、CD⏜、AD⏜的度数，即可求出答案．本题考查了垂径定理，圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系等知识点，能求出AD⏜的度数是解决此题的关键．16.【答案】4cm<r<5cm【解析】解：∵矩形的纸片，AB=3cm，AD=4cm，∴AC=5cm，∴以A为圆心作圆，并且要使点D在⊙A内，而点C在⊙A外，⊙A的半径r的取值范围为4cm<r<5cm．故答案为4cm<r<5cm．先利用勾股数得到AC=5cm，然后根据点与圆的位置关系，要使点D在⊙A内，则r>4；要使点C在⊙A外，则r<5，然后写出它们的公共部分即可．本题考查了点与圆的位置关系：点与圆的位置关系有3种，设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：点P在圆外⇔d>r；点P在圆上⇔d=r；点P在圆内⇔d<r．17.【答案】4√2【解析】解：如图，连接OB，OC，∵∠A=45°，∴∠BOC=90°，∴△BOC是等腰直角三角形，又∵BC=4，∴BO=CO=BC⋅cos45°=2√2，∴⊙O的直径为4√2，故答案为：4√2．连接OB，OC，依据△BOC是等腰直角三角形，即可得到BO=CO=BC⋅cos45°=2√2，进而得出⊙O的直径为4√2．本题主要考查了三角形的外接圆以及圆周角定理的运用，三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．18.【答案】(8064,0)【解析】解：∵A(−3,0)，B(0,4)，∴OA=3，OB=4，∴AB=√32+42=5，∴△ABC的周长=3+4+5=12，∵△OAB每连续3次后与原来的状态一样，∵2016=3×672，∴三角形2016与三角形1的状态一样，∴三角形2016的直角顶点的横坐标=672×12=8064，∴三角形2016的直角顶点坐标为(8064,0)．故答案为(8064,0)．先利用勾股定理计算出AB，从而得到△ABC的周长为12，根据旋转变换可得△OAB的旋转变换为每3次一个循环，由于2016=3×672，于是可判断三角形2016与三角形1的状态一样，然后计算672×12即可得到三角形2016的直角顶点坐标．本题考查了坐标与图形变化−旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°.解决本题的关键是确定循环的次数．19.【答案】3√2【解析】【分析】本题考查了轴对称最短线段问题，垂径定理和勾股定理等知识，由轴对称的性质正确确定P点的位置是解题的关键．设A′是A关于CD的对称点，连接A′B，与CD的交点即为点P.此时PA+PB=A′B是最小值，可证△OA′B是等腰直角三角形，从而得出结果．【解答】解：作点A关于CD的对称点A′，连接A′B，交CD于点P，此时PA+PB=A′B是最小值，连接OA′，AA′．第18页，共18页∵点A与A′关于CD对称，点A是半圆上的一个三等分点，∴∠A′OD=∠AOD=60°，PA=PA′，∵点B是弧AD的中点，∴∠BOD=30°，∴∠A′OB=∠A′OD+∠BOD=90°，又∵OA=OA′=OB=3，∴A′B=3√2．∴PA+PB=PA′+PB=A′B=3√2．故答案为：3√2．20.【答案】π+12【解析】解：∵∠C=90°，AC=BC=1，∴AB=√12+12=√2；根据题意得：√2△ABC绕点B顺时针旋转135°，BC落在x轴上；△ABC再绕点C顺时针旋转90°，AC落在x轴上，停止滚动；∴点A的运动轨迹是：先绕点B旋转135°，再绕点C旋转90°；如图所示：∴点A经过的路线与x轴围成的图形是：一个圆心角为135°，半径为√2的扇形，加上△ABC，再加上圆心角是90°，半径是1的扇形；∴点A经过的路线与x轴围成图形的面积=135×π×(√2)2360+12×1×1+90×π×12360=π+12．故答案为：π+12．由勾股定理求出AB，由题意得出点A经过的路线与x轴围成的图形是一个圆心角为135°，半径为√2的扇形，加上△ABC，再加上圆心角是90°，半径是1的扇形；由扇形的面积和三角形的面积公式即可得出结果．本题考查了旋转的性质、扇形面积的计算公式；根据题意得出点A经过的路线与x轴围成的图形由三部分组成是解决问题的关键．21.【答案】解：(1)如图．△A1B1C1即为所求三角形；(2)由勾股定理可知OA=√22+22=2√2，线段OA在旋转过程中扫过的图形为以OA为半径，∠AOA1为圆心角的扇形，则．答：扫过的图形面积为2π．【解析】(1)根据图形旋转的性质画出旋转后的图形即可；(2)先根据勾股定理求出OA的长，再根据线段OA在旋转过程中扫过的图形为以OA为半径，∠AOA1为圆心角的扇形，利用扇形的面积公式得出结论即可；本题考查的是作图−旋转变换、扇形的面积公式，熟知图形旋转后所得图形与原图形全等的性质是解答此题的关键．22.【答案】解：(1)∵AB是半圆O的直径，∴∠ACB=90°，又∵OD//BC，∴∠AEO=90°，即OE⊥AC，∠CAB=90°−∠B=90°−70°=20°，∠AOD=∠B=70°．∵OA=OD，∴∠DAO=∠ADO=1800−∠AOD2=1800−7002=55°，∴∠CAD=∠DAO−∠CAB=55°−20°=35°；(2)在直角△ABC中，BC=√AB2−AC2=√42−32=√7．∵OE⊥AC，第18页，共18页∴AE=EC，又∵OA=OB，∴OE=12BC=√72．又∵OD=12AB=2，∴DE=OD−OE=2−√72．【解析】本题考查了圆周角定理以及三角形的中位线定理，正确证明OE是△ABC的中位线是关键．(1)根据圆周角定理可得∠ACB=90°，则∠CAB的度数即可求得，在等腰△AOD中，根据等边对等角求得∠DAO的度数，则∠CAD即可求得；(2)易证OE是△ABC的中位线，利用中位线定理求得OE的长，则DE即可求得．23.【答案】解：(1)证明：∵O是圆心，OD⊥BC，∴弧CD=弧BD，∴∠CAD=∠BAD；(2)连接CO，∵∠B=50°，∴∠AOC=100°，∴弧AC的长：nπr180=100×π×1180=5π9．【解析】本题考查了垂径定理及圆周角定理，弧长的计算．(1)利用垂径定理及圆周角定理即可证明；(2)连接CO，先求得∠AOC=100°，再利用弧长公式计算即可．24.【答案】(1)证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠C=90°，∵OD⊥BC，∴∠OEB=∠C=90°，∴OD//AC；(2)解：令⊙O的半径为r，则OE=r−3∵OD⊥BCBC=4，根据垂径定理可得：BE=CE=12在ΔOBE中由勾股定理得：r2=42+(r−3)2，，解得：r=256．所以⊙O的直径为253【解析】本题考查了垂径定理、勾股定理、圆周角定理；熟练掌握圆周角定理和垂径定理，由勾股定理得出方程是解决问题(2)的关键．(1)由圆周角定理得出∠C=90°，再由垂径定理得出∠OEB=∠C=90°，即可得出结论；BC=4，由勾股定理得出方程，解(2)令⊙O的半径为r，由垂径定理得出BE=CE=12方程求出半径，即可得出⊙O的直径．第18页，共18页。
人教版九年级上册数学《圆》单元测试卷(含答案)
人教版数学九年级上学期《圆》单元测试(满分120分，考试用时120分钟)一、单选题OP ，则点P与O的位置关系是( ) 1．已知O的半径为5，同一平面内有一点P，且7A．点P在圆内B．点P在圆上C．点P在圆外D．无法确定2．已知正六边形的边长是2，则该正六边形的边心距是()A．1 B C．2 D．23．如图，已知在⊙O中，BC是直径，AB＝DC，∠AOD＝80°，则∠ABC等于( )A．40°B．65°C．100°D．105°4．如图，ABCD为⊙O内接四边形，若∠D=85°，则∠B=( )A．85°B．95°C．105°D．115°5．如图，已知AB是⊙O直径，∠AOC＝130°，则∠D等于()A．65°B．25°C．15°D．35°6．如图，AB是⊙O的直径，C，D为⊙O上的点，AD CD，如果∠CAB＝40°，那么∠CAD的度数为()A．25°B．50°C．40°D．80°7．已知⊙O的半径为4，直线l上有一点与⊙O的圆心的距离为4，则直线l与⊙O的位置关系为() A．相离B．相切C．相交D．相切、相交均有可能8．在平面直角坐标系中，以原点O为圆心，5为半径作圆，若点P的坐标是(3，4)，则点P与⊙O的位置关系是()A．点P在⊙O外B．点P在⊙O内C．点P在⊙O上D．点P在⊙O上或在⊙O外9．若⊙A的半径为5，圆心A的坐标是(1，2)，点P的坐标是(5，2)，那么点P的位置为()A．在⊙A内B．在⊙A上C．在⊙A外D．不能确定10．如图，AB是⊙O直径，若∠AOC＝140°，则∠D的度数是()A．20°B．30°C．40°D．70°11．如图，MN是⊙O的直径，MN＝4，∠AMN＝30°，点B为弧AN的中点，点P是直径MN上的一个动点，则P A+PB的最小值为()A．4 B．C．D．212．“圆材埋壁”是我国古代著名的数学著作《九章算术》中的一个问题:“今有圆材，埋在壁中，不知大小，，以锯锯之，深一寸，锯道长六寸，问径几何？”用现代的数学语言表述是:“CD为O的直径，弦AB CD垂足为E，CE=1寸，AB=10寸，求直径CD的长”，依题意得CD的长为( )A．12寸B．13寸C．24寸D．26寸二、填空题13．如图，AB是⊙O的直径，D是AB延长线上一点，DC切⊙O于C，连接AC，若∠CAB＝30°，则∠D ＝_____度．14．如图，已知AB是⊙O的直径，AB=2，C、D是圆周上的点，且∠CDB=30°，则BC的长为______.15．若一个扇形的圆心角为45°，面积为6π，则这个扇形的半径为_______．16．如图，用一个半径为30cm，面积为300πcm2的扇形铁皮，制作一个无底的圆锥(不计损耗)，则圆锥的底面半径r为______．三、解答题17．已知如图所示，OA、OB、OC是⊙O的三条半径，弧AC和弧BC相等，M、N分别是OA、OB的中点．求证:MC=NC．18．如图，AB为⊙O的直径，过点C的切线DE交AB的延长线于点D，AE⊥DC，垂足为E．求证:AC平分∠BAE．19．如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，BD 是∠ABC 的角平分线，过点D 分别作DE ⊥AB ，DF ⊥BC ，垂足分别为E 、F ．(1)求证:△AED ≌△CFD;(2)若AB ＝10，BC ＝8，∠ABC ＝60°，求BD 的长度．20．如图，矩形ABCD 中，3AB =，4AD =．作DE ⊥AC 于点E ，作AF ⊥BD 于点F ．(1)求AF 、AE 的长;(2)若以点A 为圆心作圆， B 、C 、D 、E 、F 五点中至少有1个点在圆内，且至少有2个点在圆外，求A的半径 r 的取值范围．21．如图，已知O ．(1)用尺规作正六边形，使得O 是这个正六边形的外接圆，并保留作图痕迹; (2)用两种不同的方法把所做的正六边形分割成六个全等的三角形．22．校运会期间，小捷同学积极参与各项活动．在铅球项目中，他掷出的铅球在场地上压出一个小坑(图示是其主视图)，经测量，其中坑宽AB为8cm，小坑的最大深度为2cm，请帮助小捷同学计算铅球的半径OA 的长为多少？23．如图，P是⊙O外一点，P A是⊙O的切线，A是切点，B是⊙O上一点，且P A＝PB，延长BO分别与⊙O、切线P A相交于C、Q两点．(1)求证:PB是⊙O的切线;(2)QD为PB边上的中线，若AQ＝4，CQ＝2，求QD的值．24．如图，O 的直径AB 垂直弦CD 于M ，且M 是半径OB 的中点，8CD cm =，求直径AB 的长．25．如图，四边形ABCD 内接于O ，AB 为O 的直径，点C 为BD 的中点．若40A ∠=，求B ∠的度数．26．如图是破残的圆形轮片，求作此残片所在的圆．(不写作法，保留作图痕迹)参考答案一、单选题12．“圆材埋壁”是我国古代著名的数学著作《九章算术》中的一个问题:“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长六寸，问径几何？”用现代的数学语言表述是:“CD 为的直径，弦，垂足为E ，CE=1寸，AB=10寸，求直径CD 的长”，依题意得CD 的长为( )A ．12寸B ．13寸C ．24寸D ．26寸【答案】D 【解析】【分析】连接AO ，设直径CD 的长为寸，则半径OA=OC=寸，然后利用垂径定理得出AE ，最后根据勾股定理进一步求解即可.【详解】如图，连接AO ，设直径CD 的长为寸，则半径OA=OC=寸，∵CD 为的直径，弦，垂足为E ，AB=10寸，∴AE=BE=AB=5寸，根据勾股定理可知， O AB CD⊥2xx 2x x O AB CD ⊥12在Rt △AOE 中，，∴，解得:，∴，即CD 长为26寸.【点评】本题主要考查了垂径定理与勾股定理的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.二、填空题13．如图，AB 是⊙O 的直径，D 是AB 延长线上一点，DC 切⊙O 于C ，连接AC ，若∠CAB ＝30°，则∠D ＝_____度．【答案】30【解析】【分析】连接OC ，如图，根据切线的性质得∠OCD =90°，再根据等腰三角形的性质和三角形外角性质得到∠COD =60°，然后利用互余计算∠D 的度数．【详解】连接OC ，如图，∵DC 切⊙O 于C ，∴OC ⊥CD ，∴∠OCD =90°．∵OA =OC ，∴∠ACO =∠CAB =30°，∴∠COD =∠ACO +∠CAB =60°，∴∠D =90°﹣∠COD =90°﹣60°=30°． 故答案为30．222AO AE OE =+()22251x x =+-13x =226x=【点评】本题考查了切线的性质:圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了等腰三角形的性质． 14．如图，已知AB 是⊙O 的直径，AB=2，C 、D 是圆周上的点，且∠CDB=30°，则BC 的长为______.【答案】1【解析】【分析】根据同弧或等弧所对的圆周角相等可得∠A=∠CDB=30°，再根据AB 是⊙O 的直径，得出∠ACB=90°，则BC=AB ，从而得出结论． 【详解】解:∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB=90°，∵∠A=∠CDB=30°，∴BC=AB=， 故答案为1．【点评】本题考查了圆周角定理:在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论:半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．15．若一个扇形的圆心角为45°，面积为6π，则这个扇形的半径为_______．12121212⨯=【答案】【解析】【分析】已知了扇形的圆心角和面积，可直接根据扇形的面积公式求半径长．【详解】设扇形的半径为r．根据题意得:6π解得:r＝故答案为【点评】本题考查了扇形的面积公式．熟练将公式变形是解题的关键．16．如图，用一个半径为30cm，面积为300πcm2的扇形铁皮，制作一个无底的圆锥(不计损耗)，则圆锥的底面半径r为______．【答案】10cm【解析】【分析】根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形面积公式得到•2π•r•30=300π，然后解方程即可．【详解】解:根据题意得•2π•r•30=300π，解得r=10(cm)．245360rπ=1212故答案为:10cm．【点评】本题考查了圆锥的计算:圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．三、解答题17．已知如图所示，OA、OB、OC是⊙O的三条半径，弧AC和弧BC相等，M、N分别是OA、OB的中点．求证:MC=NC．【答案】证明见解析【解析】【分析】根据弧与圆心角的关系，可得∠AOC=∠BOC，又由M、N分别是半径OA、OB的中点，可得OM=ON，利用SAS判定△MOC≌△NOC，继而证得结论．【详解】证明:∵弧AC和弧BC相等，∴∠AOC=∠BOC，∵OA=OB又∵M、N分别是OA、OB的中点∴OM=ON，在△MOC和△NOC中，OM ONAOC BOCOC OC，=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△MOC≌△NOC(SAS)，∴MC=NC．【点评】此题考查了弧与圆心角的关系以及全等三角形的判定与性质;证明三角形全等是解决问题的关键．18．如图，AB为⊙O的直径，过点C的切线DE交AB的延长线于点D，AE⊥DC，垂足为E．求证:AC平分∠BAE．【答案】证明见解析【解析】【分析】连接OC，根据切线的性质得到OC⊥CD，根据平行线的性质、等腰三角形的性质得到∠EAC=∠CAO，即AC平分∠BAE．【详解】如图:连接OC．∵DE切⊙O于点C，∴OC⊥DE．又∵AE⊥DC，∴OC∥AE，∴∠ACO=∠EAC．∵OA=OC，∴∠ACO=∠OAC，∴∠EAC=∠OAC，∴AC平分∠BAE．【点评】本题考查了切线的性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．19．如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，BD 是∠ABC 的角平分线，过点D 分别作DE ⊥AB ，DF ⊥BC ，垂足分别为E 、F ．(1)求证:△AED ≌△CFD;(2)若AB ＝10，BC ＝8，∠ABC ＝60°，求BD 的长度．【答案】(1)见解析【解析】【分析】(1)由角平分线性质定理可得DE ＝DF ，由圆内接四边形性质可得∠A ＋∠BCD ＝180°，然后代换可得∠A ＝∠DCF ，又∠DEA ＝∠F ＝90°， 所以△AED ≌△CFD;(2)由三角形全等可得AE ＝CF ，BE ＝BF ，设AE ＝CF ＝x ，可得x ＝1;在Rt △BFD ，根据30°所对的直角边是斜边的一半，则BD ＝2DF ，利用勾股定理解得BD ＝【详解】(1)∵四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，∴∠A ＋∠BCD ＝180°，又∵∠DCF ＋∠BCD ＝180°，∴∠A ＝∠DCF∵BD 是∠ABC 的角平分线，又∵DE ⊥AB ，DF ⊥BC ，∴DE ＝DF ，∠DEA ＝∠F ＝90°，∴△AED ≌△CFD.(2)∵△AED ≌△CFD ，∴AE ＝CF ，BE ＝BF ，设AE ＝CF ＝x ，则BE ＝10－x ，BF ＝8＋x ，即10－x ＝8＋x ，解得x ＝1，在Rt △BFD ，∠DBC ＝30°，设DF ＝y ，则BD ＝2y ，∵BF 2＋DF 2＝BD 2，∴y 2＋92＝(2y)2，y ＝BD ＝【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，勾股定理等知识，由条件灵活转移线段关系是解题关键. 20．如图，矩形中，，．作DE ⊥AC 于点E ，作AF ⊥BD 于点F ． (1)求AF 、AE 的长;(2)若以点为圆心作圆， 、、、E 、F 五点中至少有1个点在圆内，且至少有2个点在圆外，求的半径 的取值范围．【答案】(1)，;(2) 【解析】【分析】(1)先利用等面积法算出AF=，再根据勾股定理得出; (2)根据题意点F 只能在圆内，点C 、D 只能在圆外，所以⊙A 的半径r 的取值范围为.【详解】解:如图，ABCD 3AB =4AD =A B C D Ar 125AF =165AE = 2.44r <<125165AE = 2.44r <<(1)在矩形中，，．∴∵DE ⊥AC ，AF ⊥BD ，∴ ; ∴AF=， 同理，DE=, 在Rt △ADE 中，=, (2) 若以点为圆心作圆， 、、、E 、F 五点中至少有1个点在圆内，则r>2.4,当至少有2个点在圆外，r<4,故⊙A 的半径r 的取值范围为:21．如图，已知．(1)用尺规作正六边形，使得是这个正六边形的外接圆，并保留作图痕迹; (2)用两种不同的方法把所做的正六边形分割成六个全等的三角形．ABCD 3AB =4AD =11··22ABD S AB AD BD AF ==△125125165A B C D 2.44r <<O O【答案】(1)答案见解析;(2)答案见解析【解析】【分析】(1)利用正六边形的性质外接圆边长等于外接圆半径;(2)连接对角线以及利用正六边形性质．【详解】解:(1)如图所示:,(2)如图所示:【点评】此题主要考查了复杂作图以及全等三角形和正六边形的性质，根据正六边形性质得出作法是解题关键.22．校运会期间，小捷同学积极参与各项活动．在铅球项目中，他掷出的铅球在场地上压出一个小坑(图示是其主视图)，经测量，其中坑宽AB为8cm，小坑的最大深度为2cm，请帮助小捷同学计算铅球的半径OA 的长为多少？【答案】5cm【解析】【分析】先根据垂径定理求出AD 的长，设OA=rcm ，则OD=(r-2)cm ，再根据勾股定理求出r 的值即可．【详解】解:作OD ⊥AB 于D ，如图所示:∵AB=8cm ，OD ⊥AB ，小坑的最大深度为2cm ，∴AD=AB=4cm ． 设OA=rcm ，则OD=(r-2)cm在Rt △OAD 中，∵OA 2=OD 2+AD 2，即r 2=(r-2)2+42，解得r=5cm;即铅球的半径OA 的长为5cm ．【点评】本题考查的是垂径定理的应用，熟知平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键．23．如图，P 是⊙O 外一点，P A 是⊙O 的切线，A 是切点，B 是⊙O 上一点，且P A ＝PB ，延长BO 分别与⊙O 、切线P A 相交于C 、Q 两点．(1)求证:PB 是⊙O 的切线;(2)QD 为PB 边上的中线，若AQ ＝4，CQ ＝2，求QD 的值．12【答案】(1)详见解析;(2)QD【解析】【分析】(1)要证明PB 是⊙O 的切线，只要证明∠PBO=90°即可，根据题意可以证明△OBP ≌△OAP ，从而可以解答本题;(2)根据题意和勾股定理的知识，可以求得QD 的值．【详解】(1)证明:连接OA ，在△OBP 和△OAP 中，，∴△OBP ≌△OAP (SSS )，∴∠OBP ＝∠OAP ，∵P A 是⊙O 的切线，A 是切点，∴∠OAP ＝90°，∴∠OBP ＝90°，∵OB 是半径，∴PB 是⊙O 的切线;(2)连接OCPA PB OB OAOP OP ⎧⎪⎨⎪⎩＝＝＝∵AQ＝4，CQ＝2，∠OAQ＝90°，设OA＝r，则r2+42＝(r+2)2，解得，r＝3，则OA＝3，BC＝6，设BP＝x，则AP＝x，∵PB是圆O的切线，∴∠PBQ＝90°，∴x2+(6+2)2＝(x+4)2，解得，x＝6，∴BP＝6，∴BD＝3，∴QD，即QD【点评】本题考查切线的判定与性质，解题关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．24．如图，的直径垂直弦于，且是半径的中点，，求直径的长．【解析】【分析】连接OC ，根据垂径定理可求CM =DM =4cm ，再运用勾股定理可求半径OC ，则直径AB 可求．【详解】连接OC ．设圆的半径是r ．∵直径AB ⊥CD，∴CM =DM =CD =4cm ． ∵M 是OB 的中点，∴OM =r ，由勾股定理得:OC 2=OM 2+CM 2，∴r 2=(r )2+42，解得:r =，则直径AB =2r =(cm )．【点评】本题考查了垂径定理，解此类题一般要把半径、弦心距、弦的一半构建在一个直角三角形里，运用勾股定理求解．25．如图，四边形内接于，为的直径，点为的中点．若，求的度数． O AB CD M M OB 8CD cm =AB 1212123ABCD O AB O C BD 40A ∠=B ∠【答案】.【解析】【分析】连接AC ，根据圆周角定理可得∠ACB=90°，∠BAC=∠BAD ，然后根据∠B 与∠BAC 互余即可求解.【详解】解:连接，∵是直径，∴，∵点为的中点，，∴， ∴在中，．【点评】本题主要考查圆周角定理:在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．26．如图是破残的圆形轮片，求作此残片所在的圆．(不写作法，保留作图痕迹)【答案】见解析70B ∠=12AC AB 90ACB ∠=C BD 40BAD ∠=11402022BAC BAD ∠=∠=⨯=Rt ABC 902070B ∠=-=【解析】【分析】根据圆的性质，弦的垂直平分线过圆心，所以只要找到两条弦的垂直平分线，交点即为圆心，有圆心就可以作出圆轮．【详解】如图:圆O为所求．【点评】本题考查了圆的基本性质，是一种求圆心的作法．作圆的方法有:①圆心半径;②三个圆上的点．。
第3章 圆的基本性质 浙教版数学九年级上册测试(含答案)
浙教版数学九年级上册第三章圆的基本性质一、选择题1．下列说法正确的是（ ）A．三个点可以确定一个圆B．半圆（或直径）所对的圆周角是直角C．相等的圆心角所对的弧相等D．长度相等的弧是等弧2．已知一个扇形的面积是24π，弧长是2π，则这个扇形的半径为（ ）A．24B．22C．12D．63．如图，点A、B、C在⊙O上，∠C=40∘，则∠AOB的度数是（ ）A．50∘B．60∘C．70∘D．80∘4．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若BE=5，AE=1，则弦CD的长是（）A．5B．5C．25D．65．将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上．点A，B的读数分别为86°，30°，则∠ACB的度数是（ ）A．28°B．30°C．36°D．56°6．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，若∠OCA=50°，AB=4，则BC的长为（ ）A ．103πB ．109πC ．59πD ．518π7．如图， AB 是半圆O 的直径，点C ，D 在半圆O 上．若 ∠ABC =50° ，则 ∠BDC 的度数为（ ）A ．90°B ．100°C ．130°D ．140°8． 如图，正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，若⊙O 的周长等于6π，则正六边形的边长为（ ）A ．3B ．6C ．3D ．239．如图，正五边形ABCDE 内接于⊙O ，阅读以下作图过程：①作直径AF ；②以点F 为圆心，FO 为半径作圆弧，与⊙O 交于点M ，N ；③连接AM ，MN ，AN ．结论Ⅰ：△AMN 是等边三角形；结论Ⅱ：从点A 开始，以DN 长为半径，在⊙O 上依次截取点，再依次连接这些分点，得到正十八边形．对于结论Ⅰ和结论Ⅱ，下列判断正确的是（ ）A ．Ⅰ和Ⅱ都对B ．Ⅰ和Ⅱ都不对C．Ⅰ不对Ⅱ对D．Ⅰ对Ⅱ不对10．如图，抛物线y＝x2﹣8x+15与x轴交于A、B两点，对称轴与x轴交于点C，点D（0，﹣2），点E （0，﹣6），点P是平面内一动点，且满足∠DPE＝90°，M是线段PB的中点，连接CM．则线段CM的最大值是（ ）A．3B．412C．72D．5二、填空题11．如图，在⊙O中，弦AB，CD相交于点P．若∠A＝40°，∠APD＝75°，则∠B＝ °．12．如图，AB、AC是⊙O的弦，OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别为M、N．如果MN=2.5，那么BC= ．13．如图，四边形ABCD内接于⊙O ，若四边形ABCD的外角∠DCE=65°，则∠BAD的度数是 ．14．如图，四边形ABCD是菱形，⊙O经过点A、C、D，与BC相交于点E，连接AC、AE.若∠D＝70°，则∠EAC的度数为 .15．我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的割圆术：“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率π的近似值为3.1416．如图，⊙O的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计⊙O，若用圆内接正十二边形作近似估计，可得π的估计值为 ．的面积，可得π的估计值为33216．如图，点M(2,0)、N(0,4)，以点M为圆心5为半径作⊙M交y轴于A、B两点，点C为⊙M上一动点，连接CN，取CN中点D，连接AD、BD，则A D2+B D2的最大值为 ．三、解答题17．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，AC是⊙O的直径，AD=BD，∠CAB=32°．求∠ACD的度数．18．如图，OC为⊙O的半径，弦AB⊥OC于点D，OC＝10，CD＝4，求AB的长．19．如图，正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求解答下列问题：（1）△A1B1C1与△ABC关于坐标原点O成中心对称，则B1的坐标为__________；（2）BC与B1C1的位置和数量关系为___________；（3）将△ABC绕某点逆时针旋转90°后，其对应点分别为A2(―1,―2)，B2(1,―3)，C2(0,―5)，则旋转中心的坐标为___________．20．如图，⊙O的直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线交⊙O于点D，（1）求∠ACB的度数；（2）求BC的长；（3）求AD，BD的长．21．如图，AB是⊙O的直径，C是⏜BD的中点，CE⊥AB于点E，BD交CE于点F．（1）求证：CF=BF．（2）若CD=6，AC=8，求⊙O的半径及CE的长．22．如图所示，AB为☉O的直径，AC是☉O的一条弦，D为BC的中点，作DE⊥AC于点E，交AB的延长线于点F，连接DA.（1）若AB=90 cm，则圆心O到EF的距离是多少?说明你的理由.（2）若DA=DF=63，求阴影部分的面积(结果保留π).23．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB与点E，已知AB=10，AE=8，点P为AB上任意一点，（点P不与A､B重合），连结CP并延长与⊙O交于点Q，连QD，PD，AD．（1）求CD的长．（2）若CP=PQ，直接写出AP的长．（3）①若点P在A，E之间（点P不与点E重合），求证：∠ADP=∠ADQ．②若点P在B，E之间（点P不与点E重合），求∠ADP与∠ADQ满足的关系．答案解析部分1．【答案】B2．【答案】A3．【答案】D4．【答案】C5．【答案】A6．【答案】B7．【答案】D8．【答案】C9．【答案】D10．【答案】C11．【答案】3512．【答案】513．【答案】65°14．【答案】15°15．【答案】316．【答案】49217．【答案】61°18．【答案】1619．【答案】（1）(2,2)；（2）平行且相等；（3）(0,―1)．20．【答案】（1）∠ACB=90°（2）BC=8cm（3）BD=AD=52cm21．【答案】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠A=90°-∠ABC．∵CE⊥AB，∴∠ECB=90°-∠ABC，又∵C是BD的中点，∴CD=BC，∴∠DBC=∠A，∴∠ECB=∠DBC，∴CF= BF；（2）解：∵BC=CD，∴BC=CD=6．在Rt△ABC中，AB= BC2+AC2=62+82=10，∴⊙O的半径为5；∵S△ABC= 12AB×CE= 12BC×AC，∴CE= BC×ACAB =6×810=245.22．【答案】（1）解：如图所示，连接OD，∵D为BC的中点，∴∠CAD=∠BAD.∵OA=OD，∴∠BAD=∠ADO.∴∠CAD=∠ADO.∴OD∥AE.∵DE⊥AC，∴OD⊥EF.∴OD的长是圆心O到EF的距离.∵AB=90 cm，∴OD=12AB=45 cm.（2）解：如图所示，过点O作OG⊥AD交AD于点G.∵DA=DF，∴∠F=∠BAD.由(1)，得∠CAD=∠BAD，∵∠F+∠BAD+∠CAD=90°，∴∠F=∠BAD=∠CAD=30°.∴∠BOD=2∠BAD=60°，OF=2OD.∵在Rt△ODF中，OF2-OD2=DF2，∴(2OD)2-OD2=(63)2，解得OD=6.在Rt△OAG中，OA=OD=6，∠OAG=30°，AG=OA2―O G2=33，AD=23，S△AOD=1×63×3=93.2+93=6π+93.∴S阴影=S扇形OBD+S△AOD=60π×6236023．【答案】（1）解：连接OD，∵直径AB=10，AE=8，∴BE=2.∴OE=5-2=3.又∵AB⊥CD，在Rt△PED中，P D2=P E2+E D2∴ED=52―32=4∴CD=2ED=8（2）解：若CP=PQ，则点P与点O重合，或点P与点E重合．所以AP=5或8（3）解：①连接AC，由图可知∠ACQ=∠ADQ，因为AB是⊙O的直径，AB⊥CD，所以CE=DE，即AB是CD的垂直平分线，所以AC=AD，PC=PD，因为AP=AP，所以∠ACP=∠ADP ，所以∠ADP=∠ADQ ．②∠ADP+∠ADQ=180°．理由如下：连接AC ，因为AB 是直径，AB ⊥CD ，所以AC=AD ，CE=DE ，所以△ACP ≌△ADP （SSS ），所以∠ACP=∠ADP ，因为∠ACP=12ADQ ，∠ADQ=12ACQ ，所以∠ACP+∠ADQ=12（ADQ +ACQ ）=180°．。
【浙教版】九年级数学上册第三章圆的基本性质单元综合测试（含答案）
【浙教版】九年级数学上册第三章圆的基本性质单元综合测试（含答案）浙教版九年级数学上册第三章圆的基本性质单元综合测试一.选择题（共10小题）1.如图,△ABC的顶点A.B.C均在⊙O上,若∠ABC+∠AOC=90°,则∠AOC的大小是（）A. 30°B. 45°C. 60°D. 70°(第1题) (第2题) (第4题)2.如图,...均为以O点为圆心所画出的四个相异弧,其度数均为60°,且G在OA上,C.E在AG上,若AC=EG,OG=1,AG=2,则与两弧长的和为何？（）A. πB.C.D.3.已知扇形的圆心角为45°,半径长为12,则该扇形的弧长为（）A. B. 2π C. 3π D. 12π4.如图,在⊙O中,AB是直径,BC是弦,点P是上任意一点.若AB=5,BC=3,则AP的长不可能为（）A. 3B. 4C.D. 55.有一直圆柱状的木棍,今将此木棍分成甲.乙两段直圆柱状木棍,且甲的高为乙的高的9倍.若甲.乙的表面积分别为S1.S2,甲.乙的体积分别为V1.V2,则下列关系何者正确？（）A. S1＞9S2B. S1＜9S2C. V1＞9V2D. V1＜9V26.如图所示,点A,B,C在圆O上,∠A=64°,则∠BOC的度数是（）A. 26°B. 116°C. 128°D. 154°(第6题) (第12题) (第15题)7.在半径为2的圆中,弦AB的长为2,则的长等于（）A. B. C. D.8.圆锥的母线长为4,底面半径为2,则此圆锥的侧面积是（）A. 6πB. 8πC. 12πD. 16π9.一个扇形的半径为8cm,弧长为cm,则扇形的圆心角为（）A. 60°B. 120°C. 150°D. 180°10.已知扇形的圆心角为60°,半径为1,则扇形的弧长为（）A. B. π C. D.二.填空题（共6小题）（除非特别说明,请填准确值）11.已知圆锥的底面半径是4,母线长是5,则该圆锥的侧面积是_________ （结果保留π）.12.如图,A.B.C是⊙O上的三点,∠AOB=100°,则∠ACB= _________ 度.13.若圆锥的轴截面是一个边长为4的等边三角形,则这个圆锥的侧面展开后所得到的扇形的圆心角的度数是_________ .14.在半径为2的圆中,弦AC长为1,M为AC中点,过M点最长的弦为BD,则四边形ABCD的面积为_________ .15.如图,已知A.B.C三点在⊙O上,AC⊥BO于D,∠B=55°,则∠BOC 的度数是_________ .16.圆锥的底面半径为6cm,母线长为10cm,则圆锥的侧面积为_________ cm2.三.解答题（共10小题）（选答题,不自动判卷）17.如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于点E,点M在⊙O上,MD 恰好经过圆心O,连接MB.（1）若CD=16,BE=4,求⊙O的直径；（2）若∠M=∠D,求∠D的度数.18.已知A,B,C,D是⊙O上的四个点.（1）如图1,若∠ADC=∠BCD=90°,AD=CD,求证：AC⊥BD；（2）如图2,若AC⊥BD,垂足为E,AB=2,DC=4,求⊙O的半径.19.如图,⊙O是△ABC的外接圆,弦BD交AC于点E,连接CD,且AE=DE,BC=CE.（1）求∠ACB的度数；（2）过点O作OF⊥AC于点F,延长FO交BE于点G,DE=3,EG=2,求AB的长.20.如图,正方形网格中的每个小正方形的边长都是1,每个小正方形的顶点叫做格点.△ABC的三个顶点A,B,C都在格点上,将△ABC绕点A 按顺时针方向旋转90°得到△AB′C′.（1）在正方形网格中,画出△AB′C′；（2）计算线段AB在变换到AB′的过程中扫过区域的面积.21.如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于点E,点P在⊙O上,PB与CD 交于点F,∠PBC=∠C.（1）求证：CB∥PD；（2）若∠PBC=22.5°,⊙O的半径R=2,求劣弧AC的长度.22.如图,A.B是圆O上的两点,∠AOB=120°,C是AB弧的中点.（1）求证：AB平分∠OAC；（2）延长OA至P使得OA=AP,连接PC,若圆O的半径R=1,求PC 的长.23.如图,点D是线段BC的中点,分别以点B,C为圆心,BC长为半径画弧,两弧相交于点A,连接AB,AC,AD,点E为AD上一点,连接BE,CE. （1）求证：BE=CE；（2）以点E为圆心,ED长为半径画弧,分别交BE,CE于点F,G.若BC=4,∠EBD=30°,求图中阴影部分（扇形）的面积.24.如图,AB是半圆O的直径,C.D是半圆O上的两点,且OD∥BC,OD与AC交于点E.（1）若∠B=70°,求∠CAD的度数；（2）若AB=4,AC=3,求DE的长.25.已知⊙O的直径为10,点A,点B,点C在⊙O上,∠CAB的平分线交⊙O于点D.（Ⅰ）如图①,若BC为⊙O的直径,AB=6,求AC,BD,CD的长；（Ⅱ）如图②,若∠CAB=60°,求BD的长.26.如图,⊙O1的圆心在⊙O的圆周上,⊙O和⊙O1交于A,B,AC切⊙O于A,连接CB,BD是⊙O的直径,∠D=40°,求：∠AO1B,∠ACB和∠CAD 的度数.参考答案与试题解析一.选择题（共10小题）1.（2014?重庆）如图,△ABC的顶点A.B.C均在⊙O上,若∠ABC+∠AOC=90°,则∠AOC的大小是（）A. 30°B. 45°C. 60°D. 70°考点：圆周角定理.专题：计算题.分析：先根据圆周角定理得到∠ABC=∠AOC,由于∠ABC+∠AOC=90°,所以∠AOC+∠AOC=90°,然后解方程即可.解答：解：∵∠ABC=∠AOC, 而∠ABC+∠AOC=90°, ∴∠AOC+∠AOC=90°, ∴∠AOC=60°.故选C.点评：本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半.2.如图,...均为以O点为圆心所画出的四个相异弧,其度数均为60°,且G在OA上,C.E在AG上,若AC=EG,OG=1,AG=2,则与两弧长的和为何？（）A. πB . C . D .考点：弧长的计算.分析：设AC=EG=a,用a表示出CE=2﹣2a,CO=3﹣a,EO=1+a,利用扇形弧长公式计算即可.解答：解：设AC=EG=a,CE=2﹣2a,CO=3﹣a,EO=1+a,+=2π（3﹣a）×+2π（1+a）×=（3﹣a+1+a）=.故选B.点评：本题考查了弧长的计算,熟悉弧长的计算公式是解题的关键.3.已知扇形的圆心角为45°,半径长为12,则该扇形的弧长为（）A. B. 2πC. 3πD. 12π考点：弧长的计算.分析：根据弧长公式l=,代入相应数值进行计算即可.解答：解：根据弧长公式：l==3π,故选：C.点评：此题主要考查了弧长计算,关键是掌握弧长公式l=.4.如图,在⊙O中,AB是直径,BC是弦,点P是上任意一点.若AB=5,BC=3,则AP的长不可能为（）A. 3B. 4C.D. 5考点：圆周角定理；勾股定理；圆心角.弧.弦的关系.分析：首先连接AC,由圆周角定理可得,可得∠C=90°,继而求得AC的长,然后可求得AP的长的取值范围,继而求得答案.解答：解：连接AC,∵在⊙O中,AB是直径,∴∠C=90°,∵AB=5,BC=3,∴AC==4,∵点P是上任意一点.∴4≤AP≤5.故选A.点评：此题考查了圆周角定理以及勾股定理.此题难度不大,注意掌握辅助线的作法,注意掌握数形结合思想的应用.5.有一直圆柱状的木棍,今将此木棍分成甲.乙两段直圆柱状木棍,且甲的高为乙的高的9倍.若甲.乙的表面积分别为S1.S2,甲.乙的体积分别为V1.V2,则下列关系何者正确？（）A. S1＞9S2B. S1＜9S2C. V1＞9V2D. V1＜9V2考点：圆柱的计算.分析：根据两圆柱的底面积相同,且甲的高为乙的高的9倍设圆柱的底面半径为r,乙圆柱的高为h,从而得到甲圆柱的高为9h,然后利用圆柱的体积和表面积的计算方法即可得到正确的选项.解答：解：∵两圆柱的底面积相同,且甲的高为乙的高的9倍,∴设圆柱的底面半径为r,乙圆柱的高为h,∴甲圆柱的高为9h,∴甲圆柱的表面积S1为2πr×9h+2πr2=2πr（9h+r）,体积V1为9πr2h；甲圆柱的表面积S2为2πrh+2πr 2=2πr（h+r）,体积V1为πr2h；∴S1＜9S2,V1=9V2,故选B.点评：本题考查了圆柱的计算,了解圆柱的表面积和体积的计算方法是解答本题的关键.6.如图所示,点A,B,C在圆O上,∠A=64°,则∠BOC的度数是（）A. 26°B. 116°C. 128°D. 154°考点：圆周角定理.分析：根据圆周角定理直接解答即可.解答：解：∵∠A=64°,∴∠BOC=2∠A=2×64°=128°.故选：C.点评：本题考查了圆周角定理,知道同弧所对的圆周是圆心角的一半是解题的关键.7.在半径为2的圆中,弦AB的长为2,则的长等于（）A. B. C. D.考点：弧长的计算.分析：连接OA.OB,求出圆心角∠AOB的度数,代入弧长公式求出即可.解答：解：连接OA.OB,∵OA=OB=AB=2,∴△AOB是等边三角形,∴∠AOB=60°,∴的长为：=,故选：C.点评：本题考查了弧长公式,等边三角形的性质和判定的应用,注意：已知圆的半径是R,弧AB对的圆心角的度数是n°,则弧AB的长=.8.圆锥的母线长为4,底面半径为2,则此圆锥的侧面积是（）A. 6πB. 8πC. 12πD. 16π考点：圆锥的计算.专计算题.题：分析：根据圆锥的侧面展开图为一扇形,这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长,扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式求解.解答：解：此圆锥的侧面积=?4?2π?2=8π. 故选：B.点评：本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形,这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长,扇形的半径等于圆锥的母线长.9.一个扇形的半径为8cm,弧长为cm,则扇形的圆心角为（）A. 60°B. 120°C. 150°D. 180°考点：弧长的计算.分析：首先设扇形圆心角为n°,根据弧长公式可得：=,再解方程即可.解答：解：设扇形圆心角为n°,根据弧长公式可得：=, 解得：n=120°,故选：B.点评：此题主要考查了弧长计算,关键是掌握弧长计算公式：l=.10.已知扇形的圆心角为60°,半径为1,则扇形的弧长为（）A. B. πC. D.考点：弧长的计算.分析：利用弧长公式l=即可直接求解.解答：解：弧长是：=. 故选：D.点评：本题考查了弧长公式,正确记忆公式是关键.二.填空题（共6小题）（除非特别说明,请填准确值）11.已知圆锥的底面半径是4,母线长是5,则该圆锥的侧面积是20π（结果保留π）.考点：圆锥的计算.分析：圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2.解答：解：∵底面圆的半径为4,∴底面周长=8π,∴侧面面积=×8π×5=20π. 故答案为：20π.点评：本题考查了圆锥的计算,利用了圆的周长公式和扇形面积公式求解.12.如图,A.B.C是⊙O上的三点,∠AOB=100°,则∠ACB= 50 度.点：圆周角定理.分析：根据圆周角定理即可直接求解.解答：解：∠ACB=∠AOB=×100°=50°. 故答案是：50.点评：此题主要考查了圆周角定理：在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半.13.若圆锥的轴截面是一个边长为4的等边三角形,则这个圆锥的侧面展开后所得到的扇形的圆心角的度数是180°.考点：圆锥的计算.专题：计算题.分析：根据圆锥的侧面展开图为一扇形,这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长,扇形的半径等于圆锥的母线长得到扇形的弧长为4π,扇形的半径为4,再根据弧长公式求解.解答：解：∵轴截面是一个边长为4的等边三角形, ∴母线长为4,圆锥底面直径为4,∴底面周长为4π,即扇形弧长为4π.设这个圆锥的侧面展开后所得到的扇形的圆心角的度数为n , 根据题意得4π=,解得n=180°.故答案为：180°.评：本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形,这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长,扇形的半径等于圆锥的母线长.14.在半径为2的圆中,弦AC长为1,M为AC中点,过M点最长的弦为BD,则四边形ABCD的面积为 2 .考点：垂径定理；勾股定理.分析：先由直径是圆中最长的弦得出BD=4,再根据垂径定理的推论得出AC⊥BD,则四边形ABCD的面积=AC?BD.解答：解：如图.∵M为AC中点,过M点最长的弦为BD,∴BD是直径,BD=4,且AC⊥BD,∴四边形ABCD的面积=AC?BD=×1×4=2.故答案为：2.点评：本题考查了垂径定理,四边形的面积,难度适中.得出BD是直径是解题的关键.15.如图,已知A.B.C三点在⊙O上,AC⊥BO于D,∠B=55°,则∠BOC 的度数是70°.考圆周角定理.专题：计算题.分析：根据垂直的定义得到∠ADB=90°,再利用互余的定义计算出∠A=90°﹣∠B=35°,然后根据圆周角定理求解.解答：解：∵AC⊥BO,∴∠ADB=90°,∴∠A=90°﹣∠B=90°﹣55°=35°, ∴∠BOC=2∠A=70°.故答案为：70°.点评：本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半.16.圆锥的底面半径为6cm,母线长为10cm,则圆锥的侧面积为60πcm2.考点：圆锥的计算.分析：圆锥的侧面积=π×底面半径×母线长,把相应数值代入即可求解.解答：解：圆锥的侧面积=π×6×10=60πcm2.点评：本题考查圆锥侧面积公式的运用,掌握公式是关键.三.解答题（共10小题）（选答题,不自动判卷）17.如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于点E,点M在⊙O上,MD 恰好经过圆心O,连接MB.（1）若CD=16,BE=4,求⊙O的直径；（2）若∠M=∠D,求∠D的度数.考点：垂径定理；勾股定理；圆周角定理.分析：（1）先根据CD=16,BE=4,得出OE的长,进而得出OB的长,进而得出结论；（2）由∠M=∠D,∠DOB=2∠D,结合直角三角形可以求得结果；解答：解：（1）∵AB⊥CD,CD=16,∴CE=DE=8,设OB=x,又∵BE=4,∴x2=（x﹣4）2+82,解得：x=10,∴⊙O的直径是20.。
2024-2025学年浙教版九年级上册数学 第三章 圆的基本性质 单元培优测试卷 (含详解)
圆的基本性质单元培优测试卷一、选择题（每题3分，共30分）1．如图，分别延长圆内接四边形ABCD的两组对边，延长线相交于点E，F．若∠E＝54°41'，∠F＝43°19'，则∠A的度数为（ ）第1题图第2题图第4题图A．42°B．41°20'C．41°D．40°20'2．如图，⊙O中，弦AB的长为43，点C在⊙O上，OC⊥AB，∠ABC=30°．⊙O所在的平面内有一点P，若OP=5，则点P与⊙O的位置关系是（ ）A．点P在⊙O上B．点P在⊙O内C．点P在⊙O外D．无法确定3．在平面直角坐标系中，已知点A(0，2)，点B在第一象限内，AO=AB，∠OAB=120°，将△AOB绕点O逆时针旋转，每次旋转60°，则第2024次旋转后，点B的坐标为（ ）A．(−3，3)B．(−3，0)C．(3，3)D．(−23，0)4．如图，在半圆O中，直径AB＝2，C是半圆上一点，将弧AC沿弦AC折叠交AB于D，点E是弧AD 的中点．连接OE，则OE的最小值为（ ）A．2−1B．2+1C．4−2D．22−25．△ABC内接于⊙O，过点A作直线EF，已知∠B=∠EAC，根据弦AB的变化，两人分别探究直线EF 与⊙O的位置关系：甲：如图1，当弦AB过点O时，EF与⊙O相切；乙：如图2，当弦AB不过点O时，EF也与⊙O相切；第5题图第6题图第7题图下列判断正确的是（ ）A ．甲对，乙不对B ．甲不对，乙对C ．甲乙都对D ．甲乙都不对6．如图，等圆⊙O 1和⊙O 2相交于A ，B 两点，⊙O 1经过⊙O 2的圆心O 2，若O 1O 2=2，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．2πB ．43πC ．πD ．23π7．如图，正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，点P 在边BC 上．结论Ⅰ：若⊙O 的半径为2，P 是边BC 的中点，则PE 的长为13；结论Ⅱ：连接PF ．若S △PEF =32，则EF 的长为π3，关于结论Ⅰ、Ⅱ，判断正确的是（ ）A ．只有结论Ⅰ对B ．只有结论Ⅱ对C ．结论Ⅰ、Ⅱ都对D ．结论Ⅰ、Ⅱ都不对8．已知等腰直角三角形OAC ，∠OAC ＝90°，以O 为圆心，OA 为半径的圆交OC 于点F ，过点F 作AC的垂线交⊙O 于点E ，交AC 于点B.连结AE ，交OC 于点D ，若OD ＝1+22，则AB 的长为（ ）第8题图 第9题图 第10题图A ．2B ．22C ．2+1D ．2+29．如图，在扇形BOC 中，∠BOC =60°，OD 平分∠BOC 交BC 于点D ，点E 为半径OB 上一动点．若OB =3，则阴影部分周长的最小值为（ ）A ．62+π2B ．22+π3C ．62+π3D ．2+2π310．如图，AB 是⊙O 的直径，点C ，点D 是半圆上两点，连结AC ，BD 相交于点P ，连结AD ，OD ．已知OD ⊥AC 于点E ，AB ＝2．下列结论其中正确的是（ ）①∠DBC +∠ADO ＝90°；②AD 2+AC 2＝4；③若AC ＝BD ，则DE ＝OE ；④若点P 为BD 的中点，则DE ＝2OE ．A ．①②③B ．①③④C ．②③④D ．①②④二、填空题（每题4分，共24分）11．如图，OA 是⊙O 的半径，BC 是⊙O 的弦，OA ⊥BC 于点D ，AE 是⊙O 的切线，AE 交OC 的延长线于点E ．若∠AOC =45°，BC =2，则线段AE 的长为 ．第11题图 第12题图 第13题图12．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝2．以点A 为圆心，AD 长为半径作弧交AB 于点E ，再以AB为直径作半圆，与DE 交于点F ，则图中阴影部分的面积为 ．13．如图，直线l 与⊙O 相切于点A ，点C 为⊙O 上一动点，过点C 作CB ⊥l ，垂足为B ，已知⊙O 的半径为6，则BC +43AB 的最大值为 ．14．如图，正方形ABCD 内接于⊙O ，线段MN 在对角线BD 上运动，若⊙O 的面积为2π，MN =1，则（1）⊙O 的直径长为 ；（2）△AMN 周长的最小值是 ．第14题图 第15题图 第16题图15．如图，AB 是半圆O 的直径，C ，D 是半圆O 上的点，连接CD ，AC ，OD ，且AB =4，OD ∥AC ，设CD =x,AC =y ，则y 与x 之间的函数表达式为 ．16．如图，AB 是半圆的直径，AC 是一条弦，D 是AC 的中点，DE ⊥AB 于点E ，交AC 于点F ，DB 交AC于点G ，连结AD ．给出下面四个结论：①∠ABD ＝∠DAC ；②AF ＝FG ；③当DG ＝2，GB ＝3时，FG =142；④当BD =2AD ，AB ＝6时，△DFG 的面积是3，上述结论中，正确结论的序号有 ．三、综合题（17-19每题6分，20-21每题8分，22题12分，共46分）17．如图，已知OA是⊙O的半径，过OA上一点D作弦BE垂直于OA，连接AB，AE．线段BC为⊙O的直径，连接AC交BE于点F．（1）求证：∠ABE=∠C；（2）若AC平分∠OAE，求AFFC的值18．如图，AC为⊙O的直径，BD是弦，且AC⊥BD于点E．连接AB、OB、BC．（1）求证：∠CBO=∠ABD；（2）若AE=4cm，CE=16cm，求弦BD的长．19．如图，AB是⊙O的直径，点C，D是⊙O上的点，且OD∥BC，AC分别与BD，OD相交于点E，F．（1）求证：点D为AC的中点；（2）若DF=4，AC=16，求⊙O的直径．20．如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC，BD交于点E，AC＝BD，AC⊥BD．（1）猜想∠ACB的度数，并说明理由．（2）若⊙O的半径为10，∠BCD=60°，求四边形ABCD的面积．（3）若过圆心O作OF⊥BC于点F．求证：AD＝2OF．21．已知：⊙O的两条弦AB，CD相交于点M，且AB=CD.（1）如图1，连接AD.求证：AM=DM.（2）如图2，若AB⊥CD，点E为弧BD上一点，BE=BC=α°，AE交CD于点F，连接AD、DE.①求∠E的度数(用含α的代数式表示).②若DE=7，AM+MF=17，求△ADF的面积.22．如图，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，D是AB上一动点，连接CD，以CD为直径的⊙M交AC 于点E，连接BM并延长交AC于点F，交⊙M于点G，连接BE．（1）求证：点B在⊙M上．（2）当点D移动到使CD⊥BE时，求BC：BD的值．（3）当点D到移动到使∠CMG=30°时，求证：A E2+C F2=E F2．答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】解：∵四边形ABCD 内接于圆O ，∴∠A+∠BCD=180°，∵∠BCD 、∠EBC 分别是△EBC 和△ABF 的一个外角，∠EBC=∠A+∠F ，∠BCD=∠E+∠EBC ，∴∠BCD=∠E+∠A+∠F ，∴∠A+∠E+∠A+∠F=180°，∴2∠A+54°41'+43°19'=180°，解之：∠A=41°.故答案为：C. 2．【答案】C【解析】【解答】解：如图，∵∠ABC=30°，∴∠AOC=2∠ABC=60°，∵OC ⊥AB ，且AB =43，∴∠ADO=90°，且AD =12AB =23，∵sin ∠AOC=sin60°=AD AO，∴AO =ADsin60°=2332=4，∵OP=5＞AO=4，∴点P 在圆O 外部.故答案为：C. 3．【答案】D【解析】【解答】解：过B 作BH ⊥y 轴于H ，在Rt△ABH中，∠AHB=90°,∠BAH=180°−120°=60°,AB=OA=2，∴∠ABH=30°，∴AH=12AB=1，OH=OA+AH=3，由勾股定理得BH=AB2−AH2=3，∴B(3,3)，由题意，可得：B1(−3,3),B2(−23,0),B3(−3,−3),B4(3,−3),B5(23,0),B6(3,3),⋯，6次一个循环，∵2024÷6=337……2，∴第2024次旋转后，点B的坐标为(−23,0)，故答案为：D．4．【答案】A【解析】【解答】解：连接CO，如图，由三角形两边之差小于第三边，当C、O、E共线时，OE最小，设⏜AC的弧度为x，则⏜BC的弧度为180°-x，∵∠CAB=∠CAD，∴⏜CD的弧度为180°-x，由折叠知：⏜AEC=⏜AC=x，⏜AD=x-(180°-x）=2x-180°，∵点E为弧AD的中点，∴⏜AE=12⏜AD=x-90°，∴⏜CE=⏜AC-⏜AE=90°，∴⏜CE所对圆心角为90°，∵直径AB=2，∴ CE=2，∴OE= CE-OC=2−1.故答案为：A.5．【答案】C【解析】【解答】解：甲：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠BAC+∠B=90°，∵∠EAC=∠B，∴∠EAC+∠BAC=90°，∴EF⊥AB，∵OA是半径，∴EF是⊙O的切线；乙：作直径AM，连接CM，如图所示：即∠B=∠M（在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等），∵∠EAC=∠B，∴∠EAC=∠AMC，∵AM是⊙O的直径，∴∠MCA=90°，∴∠MAC+∠AMC=90°，∴∠EAC+∠MAC=90°，∴EF⊥AM，∵OA是半径，∴EF是⊙O的切线．故答案为：C 6．【答案】D7．【答案】C【解析】【解答】解：如图，连接CE 、OB 、OC ，过点D 作DH ⊥CE 于点H ，∵六边形ABCDEF 为正六边形，∴∠BCD =∠CDE =(6−2)⋅180°6=120°，CD =DE ，∠BOC =360°6=60°，OB =OC ，∴∠DCE =∠DEC =12(180°−∠CDE)=30°，△OBC 是等边三角形，∴CH =EH =12CE =CD ⋅cos ∠DCE =3，∠PCE =∠BCD−∠DCE =90°，EF =BC =OB =OC =CD =2，∴CE =23，∵P 是边BC 的中点，∴CP =BP =12BC =1，∴PE =PC 2+CE 2=12+(23)2=13，故结论Ⅰ正确；设点N 是边BC 的中点，连接NO 并延长交EF 于点M ，连接OE 、OF ，过点D 作DH ⊥CE 于点H ，设正六边形ABCDEF 的边长为a ，∵六边形ABCDEF 为正六边形，∴NM ⊥EF ，NM ⊥BC ，FM =EM =12EF =12a ，∠EOF =360°6=60°，EF ∥BC ，∴S △NEF =S △PEF =32，由Ⅰ的解答过程可知，CH=EH=12CE=CD⋅cos∠DCE=32a，∠NCE=∠BCD−∠DCE=90°，EF=BC=OB=OC=a，∴CE=3a，四边形NCEM是矩形，∴MN=CE=3a，∴12EF⋅MN=12×a×3a=32，∴a=1，∴EF的长为60π×1180=π3，故Ⅱ正确，故答案为：C.8．【答案】C【解析】【解答】解：过点O作AE的垂线交BE于点H，连接AH，如图所示：设⊙O的半径为R∵∠OAC = 90°，OA=AC=R∴∠O=∠C=45°∴∠E=12∠O==22.5°在Rt△0AC中，由勾股定理得：OC = OA2+AC2=2R∵OD=2∴CD=OC-OD=2R−2∵EB⊥AC，∠C =45°∴△BFC为等腰直角三角形，∴∠BFC= ∠DFE=∠C = 45°∴∠ADC= ∠E + ∠DFE =22.5°+45°=67.5°在Rt△ABE中，∠E =22.5°，∠ABE = 90°∴∠CAE =90°-∠E=67.5°∴∠CAE = ∠ADC∴AC=CD，即R= 2R−2，解得：r=2+2，即OA=2+2∵OH⊥AEOH是AE的垂直平分线∴AH = EH∴∠EAH= ∠E= 22.5°∴∠HAB = ∠CAE- ∠EAH= 67.5°-22.5°=45°∴△ABH为等腰直角三角形∴AB =BH∴∠OAE= ∠OAC-∠OAE = 90° - 67.5°= 22.5°.'.∠OAH = ∠OAE + ∠EAH = 45°∴OH⊥AE，∠EAH=22.5°∴∠AHO =90°-∠EAH = 90° - 22.5°= 67.5°∴∠AOH = 180°- ∠OAH- ∠AHO=180°-45°-67.5°= 67.5°∴∠AHO = ∠AOH = 67.5°∴AH =OA=2+2，在Rt△ABH中，AB = BH，AH=2+2由勾股定理得：A B2+B H2=A H2即2A B2=（2+2）2∴AB=2+1故答案为：2+1.9．【答案】A【解析】【解答】解：由于CD是定值，要求阴影部分周长的最小值，即求CE+DE最小值即可作点D关于OB对称的对称点D′，连接CD′与直线OB交于点E，则OC=OD′，CE+DE=CD′，此时CE+DE为最小值连接OD′，∵OD平分∠BOC，∠BOC=60°，∴∠BOD =∠COD =12∠BOC =30°，∴∠BOD =∠BOD ′=30°，∠COD ′=90°，在Rt △COD ′中，CD ′=OC 2+OD ′2=2OC =2OB =32，CD =30π×3180=12π，阴影部分周长的最小值为12π+32=62+π2．故答案为：A ．10．【答案】B【解析】【解答】解：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB =∠ACB =90°，∵OD ⊥AC ，∴OD ∥BC ，∴∠DBC =∠BDO ，∵∠BDO +∠ADO =90°，∴∠DBC +∠ADO =90°，①正确；∵∠ACB =90°，∴B C 2+A C 2=A B 2=4，AB =2，根据条件无法得到BC =AD ，②错误；∵AC =BD ，∴⏜AD =⏜BD ，∴⏜AD =⏜BC ，∵OD ⊥AC ，∴⏜AD =⏜CD ，∴⏜AD=⏜BC=⏜CD，∴∠AOD=13×180°=60°，∵OA=OD，∴△AOD为等边三角形∵AE⊥OD，∴DE=OE，③正确；若点P为BD的中点，则PD=PB，∵∠PED=∠BCP=90°，∠EPD=∠CPB，∴△EPD≅△CPB(AAS)，∴DE=BC，∵OD⊥AC，O为AB的中点，∴BC=2OE，∴DE=2OE，④正确；故答案为：B.11．【答案】212．【答案】3+23π【解析】【解答】解：连接AF，EF，过点F作FH⊥AB于点H，∵以点A为圆心，AD长为半径作弧交AB于点E，∴AD=AE=AF=2，∵再以AB为直径作半圆，与DE交于点F，∴AE=BE=2，AE=EF，∴AF=AE=EF=2，∴△AEF是等边三角形，∴∠FAE=∠AEF=60°，AH=1，∴FH=AH·tan∠FAE=AH·tan60°=3∴S扇形FAE=60π×22360=23π，S弓形AF=60π×22360−12×23=23π−3，∴S阴影部分=S半圆AB-S扇形FAE-S弓形AF=12×4π−23π−(23π−3)=3+23π故答案为：3+2 3π.13．【答案】83614．【答案】22；415．【答案】y=−12x2+416．【答案】①②③【解析】【解答】解：如图：连接DC，∵D是AC的中点，∴AD=DC，由圆周角定理的推论得：∠ABD=∠DAC，故①正确；∵AB是直径，∴∠ADB=90°，∴∠DAC+∠AGD=90°，∵DE⊥AB∴∠BDE+∠ABD=90°，∵∠ABD=∠DAC，∴∠BDE=∠AGD，∴DF=FG，∵∠BDE+∠ABD=90°，∠BDE+∠ADE=90°，∴∠ADE=∠ABD，∵∠ABD=∠DAC，∴∠ADE=∠DAC，∴AF=FD，∴AF=FG，即②正确；在△ADG和△BDA，{∠ADG =∠BDA∠DAG =∠DBA ，∴△ADG ∽△BDA ，∴AD BD =GDAD ，即：AD 2+3=2AD，解得：AD =10，由勾股定理得：AG =AD 2+DG 2=10+4=14，∵AF =FG ，∴FG =12AG =142，故③正确；如图：假设半圆的圆心为O ，连接OD ,CO ,CD ，∵BD =2AD ，AB =6，D 是AC 的中点，∴AD =DC =13AB ,∴∠AOD =∠DOC =60°，∵OA =OD =OC ，∴△AOD ,△ODC 是等边三角形，∴OA =AD =CD =OC =OD =6，∴四边形ADCO 是菱形，∴∠DAC =∠OAC =12∠DAO =30°，∵∠ADB =90°，∴tan ∠DAC =tan30°=DGAD ，即33=DG 6，解得：DG =23，∴S △ADG =12AD ⋅DG =12×6×23=63，∵AF =FG∴S △DFG =12S △ADG =33，故④错误．故答案为：①②③．17．【答案】（1）证明：∵OA ⊥BE ，∴AB=AE，∴∠ABE=∠C；（2）解：∵AC平分∠OAE，∴∠OAC=∠EAC，∵∠EAC=∠EBC，∴∠OAC=∠EBC，∵OA=OC，∴∠OAC=∠C，∴∠EBC=∠C，∴BF=CF，由（1）∠ABE=∠C，∴∠ABE=∠C=∠EBC，∵BC为直径，∴∠BAC=90°，∴∠ABE+∠C+∠EBC=90°，∴∠ABE=30°，∴AF=12 BF，∴AF=12 CF，即AFCF=12．18．【答案】（1）证明：∵AC是直径，AC⊥BD ∴AB=AD∴∠ABD=∠C又∵OB=OC∴∠OBC=∠C∴∠CBO=∠ABD（2）解：∵AE=4cm，CE=16cm∴直径AC=AE+CE=20cm∴OA=OB=10cm∴OE=OA-AE=10-4=6cm∵AC是直径，AC⊥BD∴BE=ED= BO2−OE2=8cm∴BD=2BE=16cm19．【答案】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵OD∥BC，∴∠OFA＝90°，∴OF⊥AC，∴AC＝CD，即点D为AC的中点；（2）解：OF⊥AC，∴AF＝12AC＝8，∵DF＝4，∴OF＝OD−DF＝OA−4，∵OA2＝AF2＋OF2，∴OA2＝82＋(OA−4)2，∴OA＝10，∴⊙O的直径为20．20．【答案】（1）解：∠ACB＝45°，理由如下：∵AC⊥BD，∴∠AEB＝90°．∴∠ABE＋∠BAE＝90°．∴AD＋BC＝180°．∴AB＋CD＝180°．∵AC＝BD，∴AC＝BD．∴AC−AD=BD−AD．∴AB=CD．∴AB＝90°．∴∠ACB＝45°．（2）解：如图，连结BO，DO，过点O作OH⊥BD交BD于点H.∵∠BCD=60°, ∴∠BOD=120°.∵OH⊥BD,∴∠BOH=60°, BH=DH.在Rt△BHO中，∠BOH=60°,OB=10，∴OH=5,BH=53.∴BD=103=AC.∴S四边形ABCD=12×103×103=150.（3）证明：如图，延长BO交⊙O于点M，连结CM，DM．∵OF⊥BC，∴BF＝CF，即点F是BC的中点．又∵点O是BM的中点，∴OF是△BCM的中位线．∴CM＝2OF．∵DM⊥BD，AC⊥BD，∴DM∥AC．∴AD＝CM．∴AD＝2OF．21．【答案】（1）证明：如图1，∵AB=CD，∴AB=CD，即AC+BC=BD+BC，∴AC =BD ，∴∠A =∠D ，∴AM =DM ；（2）解：①∠M =90°−12α°.理由如下：连接AC ，如图，∵BE =BC =α°，∴∠CAB =12α°，∵AB ⊥CD ，∴∠AMC =90°，∴∠M =∠C =90°−12α°；②∵BE =BC =α°，∴∠CAB =∠EAB ，∵AB ⊥CD ，∴AC =AF ，∴∠ACF =∠AFC ，∵∠ACF =∠E ，∠AFC =∠DFE ，∴∠DFE =∠E ，∴DF =DE =7，∵AM =DM ，∴AM =MF +7，∵AM +MF =17，∴MF +7+MF =17，解得MF =5，∴AM =12，∴S △ADF =12×7×12=42.22．【答案】（1）证明：根据题意得CM=DM=12CD，∵∠ABC=90°，∴BM=12 CD，∴CM=DM=BM，∴点B在⊙M上．（2）解：连接DE，如图，∵CD⊥BE，CD为⊙M直径，∴BD=DE，∠ABC=∠DEC=90°，∵AB=BC，∠ABC=90°，∴∠DAE=∠ADE=45°，∴DE=AE，∴AD=2DE=2BD，∴AD+BD=AB=(2+1)BD，∴BC=(2+1)BD，∴BCBD=2+1．（3）证明：过点B作BN⊥BG，过点A作AN⊥AE，交BN于点N，连接DE，NE，∵AB=BC，∠ABC=90°，∴∠DAC=∠BCA=45°，∴∠BAN=∠BCF=45°，∵M为CD的中点，∴MD =MB =MC ，∵∠CMG =∠MBC +∠MCB =30°，∴∠MDB =∠MBD =75°，∠MBC =∠MCB =15°，∠DCE =∠BCE−∠MCB =30°，∴∠EDC =∠EBC =60°，∴∠EBF =∠EBC−∠MBC =45°，∴∠EBF =∠EBN =45°，∴∠ABN =90°−∠ABF =∠CBF ，∵{∠ABN=∠CBFAB =BC ∠BAN =∠BCF ，∴△BAN≌△BCF(ASA)，∴AN =CF ，BN =BF ，∵{BN =BF∠NBE =∠FBE BE =BE ，∴△NBE≌△FBE(SAS)，∴NE =EF ，在Rt △AEN 中，N E 2=A N 2+A E 2，∴E F 2=C F 2+A E 2．。
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江苏省南京市2015-2016学年 九年级上数学圆的基本性质单元测试卷班级 姓名一、选择题1、下列命题中不正确的是( ) A.圆有且只有一个内接三角形;B.三角形的外心是这个三角形任意两边的垂直平分线的交点;C.三角形只有一个外接圆;D.等边三角形的外心也是三角形的三条中线、高、角平分线的交点. 2、过⊙内一点M 的最长弦长为10cm ，最短弦长为8cm ，那么OM 的长为（ ）（A ）3cm （B ）6cm （C ）cm （D ）9cm3、如图，AB 是⊙O 的直径，点C 、D 在⊙O 上，∠BOC ＝110°，AD ∥OC ，则∠AOD ＝（ ） A70° B 、60° C 、50° D 、40°4、如图，弧AD 是以等边三角形ABC 一边AB 为半径的四分之一圆周，P 为弧AD 上任意一点，若AC ＝5，则四边形ACBP 周长的最大值是（ ）A 、15B 、20C 、2515+D 、5515+（第3题） （第4题） （第5题） （第6题）5、如图，点A 、B 、C 、D 为圆O 的四等分点，动点P 从圆心O 出发，沿O —C —D —O 的路线作匀速运动，设运动时间为t 秒，∠APB 的度数为y 度，则下列图象中表示y 与t 之间函数关系最恰当的是（ ）A B C D6、如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10，若以点C 为圆心，CB 长为半径的圆恰好经过AB 的中点D ，则AC 的长等于（ ）A 、35B 、5C 、25D 、67．如图，圆锥的底面半径为3cm ，母线长为5cm ，则它的侧面积为（ ） A. 60πcm 2 B. 45πcm 2 C. 30πcm 2 D15πcm 2P(第7题) (第8题)8．如图，小华同学设计了一个圆直径的测量器，并使它们保持垂直，在测直径时，把0个单位，则圆的直径为( )A．12个单位B．10个单位C．4个单位D．15个单位9．如图,有一块边长为6 cm的正三角形ABC木块,点P是边CA延长线上的一点,在A、P之间拉一细绳,绳长AP为15 cm.握住点P,拉直细绳,把它紧紧缠绕在三角形ABC木块上(缠绕时木块不动),则点P运动的路线长为(精确到0.1厘米,π≈3.14)( )A.28.3 cmB.28.2 cmC.56.5 cmD.56.6 cm10、如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，BC＝2，O，H分别为边AB、AC的中点，将△ABC绕点B顺时针旋转120°到△11BCA的位置，则整个旋转过程中线段OH所扫过部分的面积（即阴影部分的面积）为（）A、38737-πB、38734+πC、πD、334+π（第10题）二、填空题（每题4分，共32分）11．在半径为5厘米的圆内有两条互相平行的弦,一条弦长为8厘米,另一条弦长为6厘米,则两弦之间的距离为_______.12.同圆的内接正三角形与内接正方形的边长的比是______.13. 如图，△ABC是等腰直角三角形，BC是斜边，点P是△ABC内的一点，将△ABP绕点A逆时针旋转后与△ACP′重合.如果AP=3，那么线段PP′的长是______.（第13题）（第14题）14.如图，三角形ABC是等边三角形，以BC为直径作圆交AB，AC于点D，E，若BC=1，则DC=________.C（第16题）14、如图，两正方形彼此相邻，且内接于半圆，若小正方形的面积为162cm ，则该半圆的半径为 ．15、一根水平放置的圆柱形输水管道横截面中有水部分水面宽312米，半径为12米，则积水部分面积为 ．16、如图所示，在⊙O 内有折线OABC ，其中OA ＝8，AB ＝12，∠A ＝∠B ＝60°，则BC 的长为 ．17、在平面直角坐标系中，已知一圆弧点A （－1，3），B （－2，－2），C （4，－2），则该圆弧所在圆的圆心坐标为 ． 18、如图⊙O 的半径为1cm ，弦AB ，CD 的长度分别为2cm ，1cm ，则弦AC ，BD 相交所夹的锐角 ＝ ． 三、解答题（第18题）19、已知:如图,在△ABC 中,∠ACB =90°,∠B =25°,以C 为圆心,CA 长为半径的圆交AB 于D ,求的度数.A（第19题）20、 “圆材埋壁”是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题,“今有圆材,埋壁中,不知大小,以锯锯之,深一寸,锯道长一尺,问径几何？”用现在的数学语言表述是:“如图3－2－16所示,CD 为⊙O 的直径,弦AB ⊥CD ,垂足为E , CE =1寸,求直径CD 的长.”（第20题）21、如图所示,OA 、OB 、OC 都是圆O 的半径,∠AOB =2∠BOC ． 求证:∠ACB =2∠BAC .CBAO（第21题）22、如图所示，BC 是⊙O 的直径，AD ⊥BC ，垂足为D ，AB ＝AF ，BF 和AD 相交于E ；求证：BE ＝AE ．（第22题）23、（1）如图1，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点E，连结OC，若AB＝10，CD ＝8，求AE的长；（2）如图2，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA，PD⊥OA，若PC＝4，求PD的长度．24、如图，⊙O是△ABC的外接圆，且AB＝AC，点D在弧BC上运动，过点D作DE∥BC，DE交AB的延长线于点E，连结AD、BD．（1）求证：∠ADB＝∠E；（2）当AB＝5，BC＝6，求⊙O的半径．（第24题）25、如图所示，已知⊙O的直径为，AB为⊙O的弦，且AB=4，P是⊙O上一动点，问是否存在以A，P，B为顶点的面积最大的三角形，试说明理由，若存在，求出这个三角形的面积.第25题26、如图所示，⊙O的直径AB=12 cm，有一条定长为8 cm的动弦CD在AB上滑动（点C 与A不重合，点D与B不重合），且CE⊥CD交AB于点E，DF⊥CD交AB于点F.（1）求证：AE=BF；（2）在动弦CD滑动的过程中，四边形CDFE的面积是否为定值？若是定值，请给出说明，并求出这个定值；若不是，请说明理由.第26题27、一位小朋友在粗糙不打滑的“Z”字形平面轨道上滚动一个半径为10cm的圆盘，如图所示，AB与C D是水平的，BC与水平面的夹角为600，其中AB=60cm，CD=40cm，BC=40cm，请你做出该小朋友将圆盘从A点滚动到D点其圆心所经过的路线的示意图，并求出此路线的长度.60cm参考答案：1~5：AADCC 6~10：ADBCC 11. 7厘米或1厘米12.213.点拨：由旋转的性质，知∠PAP′等于90°，AP′=AP=3，所以PP′=15、33648-π 16、20 17、（1，0） 18、75° 19、50° 20、26寸21、求证圆周角∠ACB =2∠BAC ,只要证明弧AB 的度数是弧BC 度数的两倍即可,由已知条件∠AOB =2∠BOC 容易得到.22、证明：∵BC 是⊙O 的直径，∴∠BAC ＝90°，∵AD ⊥BC ， ∴∠BAD ＋∠CAD ＝∠CAD ＋∠C ＝90°，∴∠BAD ＝∠C ， ∵AB ＝AF ，∴∠ABF ＝∠C ，∴∠BAD ＝∠ABF ，∴BE ＝AE 23、解：（1）∵AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，∴CE ＝DE ，∵AB ＝10，CD ＝8，∴OC ＝5，CE ＝4，∴OE ＝3，∴AE ＝2（2）224、（1）证明：∵AB ＝AC ，点D 在弧BC 上运动，过点D 作DE ∥BC ，∴AB ⌒ ＝AC ⌒ ， ∠ABC ＝∠AED ，∠ABC ＝∠ACB ，∠ADB ＝∠ACB ，∴∠ADB ＝∠E ；（2）解：连结AO 并延长交BC 于F ，连结OB ，OC ， ∵AB ＝AC ，OB ＝OC ，∴AO 垂直平分BC ，∴BF ＝CF ＝21BC ＝21×6＝3， 在直角△ABF 中，由勾股定理可得AF ＝4，设⊙O 的半径为r ，在直角△OBF 中，OB ＝r ，BF ＝3，OF ＝4－r ，∴222)4(3r r -+=，解得825=r ，∴⊙O 的半径是825 25.解：存在以A ，P ，B 为顶点的面积最大的三角形.如答图6所示，作PD ⊥AB 于点D ，∵当点P 在优弧AB 上时，PD 可能大于⊙O 的半径，当点P 在劣弧AB 上时，PD 一定小于⊙O 的半径,且AB 的长为定值，∴当点P 在优弧AB 上且为优弧AB 的中点时△APB 的面积最大，此时PD 经过圆心O.作⊙O 的直径AC ，连结BC ，则∠ABC=90°.∴∵AO=OC,AD=BD ，∴OD 为△ABC 的中位线，OD=12BC =2.∴PD=PO+OD=2+2=.∴APBS =12AB ·PD=12×4×=26.（1）证明：过点O 作OH ⊥CD 于点H ，∴H 为CD 的中点.∵CE ⊥CD ，DF ⊥CD ，∴EC ∥OH ∥FD,则O 为EF 的中点，OE=OF.又∵AB 为直径，∴OA=OB ，∴AE=OA-OE=OB-OF=BF,即AE=BF.（2）解：四边形CDFE 的面积为定值，是2.理由：∵动弦CD 在滑动过程中，条件EC ⊥CD ，FD ⊥CD 不变，∴CE ∥DF 不变.由此可知，四边形CDFE 为直角梯形或矩形，∴CDFE S 四边形=OH·CD.连结OC.∴cm ）.又∵CD为定值8 cm,∴CDFE S 四边形=OH·CD=8=2cm ）,是常数.即四边形CDFE 的面积为定值.27.示意图略，路线的长度为140－π3103320+。