北师大版八年级上册第二章实数知识点及题型总结
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实数知识点一、【平方根】如果一个数x 的平方等于a ，那么，这个数x 就叫做a 的平方根；也即，当)0(2≥=a a x 时，我们称x 是a 的平方根，记做：)0(≥±=a a x 。
因此：1、当a=0时，它的平方根只有一个，也就是0本身；2、当a ＞0时，也就是a 为正数时，它有两个平方根，且它们是互为相反数，通常记做：a x ±=。
3、当a ＜0时，也即a 为负数时，它不存在平方根。
例1.（1） 的平方是64，所以64的平方根是 ； （2） 的平方根是它本身。
（3）若x 的平方根是±2，则x= ；16的平方根是（4）当x 时，x 23－有意义。
（5）一个正数的平方根分别是m 和m-4，则m 的值是多少？这个正数是多少？ 知识点二、【算术平方根】：1、如果一个正数x 的平方等于a ，即a x =2，那么，这个正数x 就叫做a 的算术平方根，记为：“a ”，读作，“根号a”，其中，a 称为被开方数。
特别规定：0的算术平方根仍然为0。
2、算术平方根的性质：具有双重非负性，即：)0(0≥≥a a 。
3、算术平方根与平方根的关系：算术平方根是平方根中正的一个值，它与它的相反数共同构成了平方根。
因此，算术平方根只有一个值，并且是非负数，它只表示为：a ；而平方根具有两个互为相反数的值，表示为：a ±。
例2.（1）下列说法正确的是 （ ）A ．1的立方根是1±；B ．24±=； （C ）、81的平方根是3±； （D ）、0没有平方根； （2）下列各式正确的是（ ）A 、981±=B 、14.314.3-=-ππC 、3927-=-D 、235=-（3）2)3(-的算术平方根是 。
（4）若x x -+有意义，则=+1x ___________。
（5）已知△ABC 的三边分别是,,,c b a 且b a ,满足0)4(32=-+-b a ，求c 的取值范围。
北师大版八年级上册数学第二章实数知识点总结及经典习题(无答案)
第二章 实数一、实数的概念及分类1、实数的分类 正有理数 有理数 零 有限小数和无限循环小数实数 负有理数正无理数无理数 无限不循环小数负无理数2、无理数：无限不循环小数叫做无理数。
在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类：（1）开方开不尽的数，如等；（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如3π+8等； （3）有特定结构的数，如0.1010010001…等；（4）某些三角函数值，如sin60o 等二、实数的倒数、相反数和绝对值1、相反数实数与它的相反数时一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a 与b 互为相反数，则有a+b=0，a=—b ，反之亦成立。
2、绝对值在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离，叫做该数的绝对值。
（|a|≥0）。
零的绝对值是它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a ，则a ≥0；若|a|=-a ，则a ≤0。
3、倒数如果a 与b 互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。
倒数等于本身的数是1和-1。
零没有倒数。
4、数轴规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可）。
解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活运用。
5、估算三、平方根、算数平方根和立方根1、算术平方根：一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即x 2=a ，那么这个正数x 就叫做a 的算术平方根。
特别地，0的算术平方根是0。
表示方法：记作“a ”，读作根号a 。
性质：正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。
2、平方根：一般地，如果一个数x 的平方等于a ，即x 2=a ，那么这个数x 就叫做a 的平方根（或二次方根）。
表示方法：正数a 的平方根记做“a ±”，读作“正、负根号a ”。
性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。
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八下·实数a x 3－2x a a a a 81 81 5 3 (-3)2 x a - 3 - 27 3 - x x + 1 实数知识点一、【平方根】如果一个数 x 的平方等于 a ，那么，这个数 x 就叫做 a 的平方根；也即，当 x 2 = a (a ≥ 0) 时， 我们称 x 是 a 的平方根，记做： x = ± a (a ≥ 0) 。
因此：1、当 a=0 时，它的平方根只有一个，也就是 0 本身；2、当 a ＞0 时，也就是 a 为正数时，它有两个平方根，且它们是互为相反数，通常记做： x = ± 。
3、当 a ＜0 时，也即 a 为负数时，它不存在平方根。
例 1.（1） 的平方是 64，所以 64 的平方根是 ；（2）的平方根是它本身。
（3） 若的平方根是±2，则 x= ； 16 的平方根是（4） 当 x时， 有意义。
（5） 一个正数的平方根分别是 m 和 m-4，则 m 的值是多少？这个正数是多少？知识点二、【算术平方根】：1、如果一个正数 x 的平方等于 a ，即 x 2 = a ，那么，这个正数 x 就叫做 a 的算术平方根，记为：“ ”，读作，“根号 a”，其中，a 称为被开方数。
特别规定：0 的算术平方根仍然为 0。
2、算术平方根的性质：具有双重非负性，即： ≥ 0(a ≥ 0) 。
3、算术平方根与平方根的关系：算术平方根是平方根中正的一个值，它与它的相反数共同构成了平方根。
因此，算术平方根只有一个值，并且是非负数，它只表示为： ；而平方根具有两个互为相反数的值，表示为：± 。
例 2.（1） 下列说法正确的是（ ）A ．1 的立方根是± 1 ；B ． （2） 下列各式正确的是（）= ±2 ； （C ）、 的平方根是± 3 ；（ D ）、0 没有平方根；A 、 = ±9B 、3.14- =-3.14C 、 = -9D 、 - =（3）的算术平方根是。
北师大版八年级数学上册第二章实数复习
精品文档第二章：实数知识梳理一．数的开方主要知识点：(a0)时，【1】平方根：如果一个数x 的平方等于a，那么，这个数 x 就叫做 a 的平方根；也即，当x2a我们称 x 是 a 的平方根，记做：x a ( a0) 。
因此：当 a=0 时，它的平方根只有一个，也就是0 本身；当a＞ 0 时，也就是 a 为正数时，它有两个平方根，且它们是互为相反数，通常记做：x a 。
当a＜0时，也即a为负数时，它不存在平方根。
例 1. （ 1）的平方是64，所以 64 的平方根是；（2）的平方根是它本身。
（3）若x 的平方根是±2，则x=；16 的平方根是（4）当x时，3－2x有意义。
（ 5）一个正数的平方根分别是m和 m-4，则 m的值是多少？这个正数是多少？【算术平方根】：（ 1）如果一个正数x 的平方等于a，即x2 a ，那么，这个正数x就叫做a的算术平方根，记为：“ a ”，读作，“根号 a”，其中， a 称为被开方数。
特别规定：0 的算术平方根仍然为0。
（ 2）算术平方根的性质：具有双重非负性，即： a 0(a0) 。
（ 3）算术平方根与平方根的关系：算术平方根是平方根中正的一个值，它与它的相反数共同构成了平方根。
因此，算术平方根只有一个值，并且是非负数，它只表示为： a ；而平方根具有两个互为相反数的值，表示为： a 。
例 2. （ 1）下列说法正确的是（）A．1 的立方根是1；B．4 2 ；（C）、81的平方根是3；（D）、0没有平方根；（2）下列各式正确的是（）A、819B、3.14 3.14C、2793D、532（3）( 3) 2的算术平方根是。
（4）若x x 有意义，则x 1___________。
（5）已知△ ABC的三边分别是a, b, c, 且 a, b 满足 a 3 (b 4) 20 ，求c的取值范围。
（6）（提高题）如果x、 y 分别是 4－ 3 的整数部分和小数部分。
求x － y 的值 .【立方根】（ 1）如果 x 的立方等于a，那么，就称x 是 a 的立方根，或者三次方根。
最新北师大版八年级数学上册第二章实数知识点及习题
最新北师大版八年级数学上册第二章实数知识点及习题知识点一、平方根平方根是指一个数的平方等于另一个数时，这个数就是另一个数的平方根。
记作x=±a(a≥0)。
根据这个定义，可以得出以下结论：1.当a=0时，它的平方根只有一个，也就是本身；2.当a>0时，它有两个平方根，且它们是互为相反数，通常记做：x=±a。
3.当a<0时，它不存在平方根。
例1：1.(1)的平方是64，所以64的平方根是±8；2.(2)的平方根是它本身，即1；3.若2x的平方根是±2，则x=±1；16的平方根是±4；4.当x≥1时，3-2x有意义；5.一个正数的平方根分别是m和m-4，则m的值是8，这个正数是16.知识点二、算术平方根如果一个正数x的平方等于a，即x²=a，那么，这个正数x就叫做a的算术平方根，记为：“√a”，其中，a称为被开方数。
特别规定：0的算术平方根仍然为0.算术平方根的性质是具有双重非负性，即：a≥0(√a≥0)。
算术平方根与平方根的关系是算术平方根是平方根中正的一个值，它与它的相反数共同构成了平方根。
因此，算术平方根只有一个值，并且是非负数，它只表示为：√a；而平方根具有两个互为相反数的值，表示为：±√a。
例2：1.下列说法正确的是：C，81的平方根是±9；2.下列各式正确的是：A，81=±9；B，3.14-π=π-3.14；C，-27=-93；D，5-3=2；3.(-3)的算术平方根是0；4.若x+2√a- x有意义，则x+1=√a；5.已知△ABC的三边分别是a,b,c，且a,b满足a-3+(b-4)²=49，求c的取值范围是[4,∞)；6.如果x、y分别是4-3的整数部分和小数部分，求x-y的值是0.01；7.求下列各数的平方根和算术平方根：64的平方根是±8，算术平方根是8；49的平方根是±7，算术平方根是7；0.0004的平方根是±0.02，算术平方根是0.02；(-25)²的平方根是±25，算术平方根是25；11的平方根是±√11，算术平方根是√11；8.(64)²=4096，(-64)²=4096；9.(7.2)²=51.84；10.对于正数a，(a)²=a²。
北师大版八年级数学上册 第二章实数知识点及经典例题讲解 (学案)
初二数学上册实数知识点及经典例题讲解一、平方根如果一个数x 的平方等于a ，那么，这个数x 就叫做a 的平方根；也即，当)0(2≥=a a x 时，我们称x 是a 的平方根，记做：)0(≥±=a a x 。
因此：1.当a=0时，它的平方根只有一个，也就是0本身；2.当a ＞0时，也就是a 为正数时，它有两个平方根，且它们是互为相反数，通常记做：a x ±=。
3.当a ＜0时，也即a 为负数时，它不存在平方根。
例1.（1） 的平方是64，所以64的平方根是 ； （2） 的平方根是它本身。
（3）若x 的平方根是±2，则x= ；的平方根是 （4）当x 时，x 23－有意义。
（5）一个正数的平方根分别是m 和m-4，则m 的值是多少？这个正数是多少？ 二、算术平方根（1）如果一个正数x 的平方等于a ，即a x =2，那么，这个正数x 就叫做a 的算术平方根，记为：“a ”，读作，“根号a”，其中，a 称为被开方数。
特别规定：0的算术平方根仍然为0。
（2）算术平方根的性质：具有双重非负性，即：)0(0≥≥a a 。
（3）算术平方根与平方根的关系：算术平方根是平方根中正的一个值，它与它的相反数共同构成了平方根。
例2.（1）下列说法正确的是 （ ）A ．1的平方根是1±；B ．24±=； （C ）、81的平方根是3±； （D ）、0没有平方根；（2）下列各式正确的是（ ）A 、981±=B 、14.314.3-=-ππC 、3927-=-D 、235=-（32(3)0y +=，则x -y 的值为（ ） A 、1 B 、-1 C 、7 D 、-7（4）若a 、b 为实数，且满足20a -=，则b -a 的值为（ ）A 、2 B 、0 C 、-2 D 、以上都不对（5）2)3(-的算术平方根是 。
（6）若x x -+有意义，则=+1x ___________。
北师版八年级数学上册 第二章 实数 知识归纳与题型突破(二十一类题型清单)
第二章实数知识归纳与题型突破（二十一类题型清单）01思维导图02知识速记一、平方根和立方根类型平方根立方根项目被开方数非负数任意实数符号表示a±3a性质一个正数有两个平方根，且互为相反数；零的平方根为零；负数没有平方根；一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零；重要结论⎩⎨⎧<-≥==≥=)0()0()()(22a a aa a a a a a 333333)(aa a a aa -=-==二、无理数与实数有理数和无理数统称为实数.1.实数的分类实数⎧⎧⎫⎪⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎨⎩⎭⎪⎧⎫⎪⎨⎬⎪⎩⎭⎩正有理数有理数零有限小数或无限循环小数负有理数正无理数无理数无限不循环小数负无理数要点：（1）所有的实数分成三类：有限小数，无限循环小数，无限不循环小数．其中有限小数和无限循环小数统称有理数，无限不循环小数叫做无理数．，等；②有特殊意义的数，如π；③有特定结构的数，如0.1010010001…（3）凡能写成无限不循环小数的数都是无理数，并且无理数不能写成分数形式.2.实数与数轴上的点一一对应数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应.4.实数的运算数a 的相反数是－a ；一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它相反数；0的绝对值是0.有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立.实数混合运算的运算顺序：先乘方、开方、再乘除，最后算加减.同级运算按从左到右顺序进行，有括号先算括号里.5.实数的大小的比较有理数大小的比较法则在实数范围内仍然成立.法则1.实数和数轴上的点一一对应，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大；法则2．正数大于0，0大于负数，正数大于一切负数，两个负数比较，绝对值大的反而小；法则3.两个数比较大小常见的方法有：求差法，求商法，倒数法，估算法，平方法.三、二次根式的相关概念和性质1.二次根式0)a ≥等式子，都叫做二次根式.要点：有意义的条件是0a ≥，即只有被开方数0a ≥义.2.二次根式的性质（1）；（2）；（3）.3.最简二次根式（1）被开方数是整数或整式；（2)被开方数中不含能开方的因数或因式.等都是最简二次根式.要点：最简二次根式有两个要求：（1）被开方数不含分母（2）被开方数中每个因式的指数都小于根指数2.4.同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式.要点：判断是否是同类二次根式，一定要化简到最简二次根式后，看被开方数是否相同，再判断.四、二次根式的运算1.乘除法（1）乘除法法则：类型法则逆用法则二次根式的乘法0,0)a b=≥≥积的算术平方根化简公式：0,0)a b=≥≥二次根式的除法)a b=≥00，＞商的算术平方根化简公式：0,0)a b=≥>要点：（1）当二次根式的前面有系数时，可类比单项式与单项式相乘（或相除）的法则，如=.（2）被开方数a b、≠.2.加减法将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数不变，即合并同类二次根式.要点：二次根式相加减时，要先将各个二次根式化成最简二次根式，再找出同类二次根式，最后合并(13+=+-03题型归纳题型一实数的概念与分类例题1．在下列各数：3.14159260.2、1π、13111中，无理数的个数（）A ．2B ．3C ．4D ．5巩固训练2．在实数22,1,37π-- ，（每隔一个1增加一个0）中，无理数有（）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个3．下列说法正确的是（）A ．两个无理数的和一定是无理数B ．无限小数都是无理数C ．实数可以用数轴上的点来表示D ．分数可能是无理数4．把下列各数填人相应的集合内：143.10.8080080008...39π-，，，，（相邻两个8之间0的个数逐步甲1），158,-142整数集合｛…｝负分数集合｛…｝有理数集合｛…｝无理数集合｛…｝题型二平方根与算术平方根例题5．下列说法正确的是（）A ．8-的立方根是2±B ．2(4)-的算术平方根是4-C 4±D ．0的平方根与算术平方根都是0巩固训练6．下列计算正确的是（）A ．23=B ．1=C 4=±D 3=-7．一个正数的两个平方根分别为42m -与1--m ，则这个正数为（）A ．1B ．2C ．3625D ．48．下列说法中错误的是（）A ．12是0.25的一个平方根B ．正数a 的两个平方根的和为0C ．916的平方根是34±D ．当0x ≠时，2x -有平方根9）A ．4B ．4±C ．2D ．2±题型三平方根、立方根的解方程问题例题10．解方程：(1)()21x -=(2)()312x -=-7巩固训练11．求出下列x 的值．(1)24490x -=；(2)()327164x +=-．题型四算术平方根的非负性例题12．已知a 、b 20b -=，则23a b -的值为（）A ．12-B ．5-C ．910D ．13巩固训练13．已知x y ，()2320y +=，则x y -的值为（）A ．3B ．3-C ．1D ．1-14．已知2a b +(1)求a 、b 的值．(2)求23a b -的平方根．15．已知一个正方形的边长为a ，面积为S ，则（）A ．S =B ．S 的平方根是aC ．a是S 的算术平方根D ．a =题型五立方根例题16）A ．表示8-的立方根B ．结果等于2-C ．与D ．没有意义巩固训练17．下列说法正确的是（）A ．任意实数都有平方根B ．任意实数都有立方根C ．任意实数都有平方根和立方根D ．正数的平方根和立方根都只有一个18=．19=，=．202=-）A ．2±B ．2C ．3±D ．3题型六立方根的性质及应用例题21，则x 和y 的关系是（）A ．x=y=0B ．x 和y 互为相反数C ．不能确定D ．x 和y 相等巩固训练22x =．23．21a -的平方根为3±，31a b -+的立方根为2的值为（）A ．3-B ．3C ．3±D ．不确定题型七平方根与立方根综合问题例题24．若一个数的算术平方根与它的立方根相同，则这个数是（）A ．1B ．0或1C ．0D ．非负数巩固训练25．已知21a -的平方根是3±，1b -的立方根是2，则=a ，b =，b a -的算术平方根是．26．如果2a A -=为+3a b 的算术平方根，2a B -=为21a -的立方根，则+A B 的平方根为．题型八算术平方根、立方根的实际应用例题27．依次连结22⨯方格四条边的中点得到一个阴影正方形，设每一方格的边长为1，阴影正方形的边长是（）A ．2B CD ．2.5巩固训练28．如图在长方形ABCD 内，两个小正方形的面积分别为1和2，则图中阴影部分的面积为（）A ．12B ．1C D 129．已知一个正方体的体积是31000cm ，现在要在它的8个角上分别截去1个大小相同的小正方体，截去后余下部分的体积为3936cm ，则截去的每个小正方体的棱长是cm ．题型九算术平方根、立方根小数点移动问题例题30. 1.333≈ 2.872≈≈．巩固训练31a =）A ．0.1aB ．aC ．1.1aD ．10.1a32．1.166≈≈≈≈聪明的同学你能不用计算器得出（1）≈．（2≈．题型十用计算器开方例题33．利用教材中的计算器依次按键如下：则计算器显示的结果与下列各数中最接近的一个是（）A ．0.5B ．0.6C ．0.8D ．0.9巩固训练34．在使用DY-570型号的计算器时，小明输入一个数据后，按照以下步骤操作，依次按照从第一步到第三步循环按键：若一开始输入的数据为5，那么第2022步之后，显示的结果是（）A ．5B ．15C ．125D ．2535．若用我们数学课本上采用的科学计算器进行计算，其按键顺序为：则输出结果为（）A ．8B ．4C ．18D ．14题型十一整数部分、小数部分问题例题36m，则m 的算术平方根的值最接近整数（）A ．2B ．3C ．4D ．5巩固训练37．已知4a ，4b ，则()2023a b +=．38．已知正数x 的两个不等的平方根分别是214a -和2a +，1b +的立方根为3-；ca m n +＝，其中m 为整数，01n <<，则()()36n m +-=．39．在学习《实数》内容时，我们通过“逐步逼近”的近似值，得出1.4 1.5<<．利用“逐步逼近”法，请回答问题：a和b ，且a b <，那么=a ，b =；(2)ab ，求a b +的值；(3)已知：10x y ++，其中x是整数，且01y <<，求y x -的值．题型十二实数的大小比较例题40．在实数1，0，中，最小的是．巩固训练41（填写“＞”或“＜”或“＝”）．42313（选填“>”，“<”或“=”）题型十三实数与数轴例题43．如图，实数1在数轴上的对应点可能是（）A ．A 点B ．B 点C ．C 点D ．D 点巩固训练44．下列说法正确的是（）A ．有理数与数轴上的点一一对应B 2C ．两个整数相除，如果永远都除不尽，那么结果一定是一个无理数D ．任意一个无理数的绝对值都是正数45．观察下图，每个小正方形的边长均为1．(1)图中阴影部分（正方形）的面积是___________，边长是___________；(2)作图：在数轴上作出边长的对应点P （要求保留作图痕迹）；(3)在（2）题的数轴上表示1的点记为M ，点N 也在这条数轴上且MN MP =，直接写出点N 表示的数．题型十四无理数的估算例题46．估计262的值应在（）A ．1和2之间B ．2和3之间C ．3和4之间D ．4和5之间巩固训练47．已知5a b <<，a ，b 是连续的正整数，则a b +的值为（）A ．4B ．5C ．6D ．748．m n 、是连续的两个整数，若6m n <，则m n +的值为．49107的近似数的过程：∵面积为107107，且1010711<<，10x =+，其中01x <<，画出如图示意图，∵图中2210210S x x =+⨯+正方形，107S =正方形．∴2210210107x x +⨯+=，当2x 较小时，省略2x ，得20100107x +≈，得到0.35x ≈10.35≈．______；(2)的近似值．（画出示意图，标明数据，并写出求解过程，精确到．．．0.1．．．）(3)结合上述具体实例，已知非负整数a 、b 、m ，若1a a <<+，且2m a b =+≈______．（用a 、b 的代数式表示）题型十五程序框图例题50．在信息技术课上，好学的小明制作了一个关于实数(||20)x x <的运算程序如图所示，若输出的y 时，则输入的实数x 可取的负整数值是．巩固训练51．如图，有一个数值转换器，流程如下图所示，当输入x 的值为64时，则输出y 的值是．52．如图是一个数值转换器示意图：(1)当输入的x 为36时，输出的y 的值是_______；(2)若输入x 值后，始终输不出y 的值，则满足题意的x 值是_______；(3)若输出的2y >，则x 的最小整数值是_______.题型十六材料信息题例题53．观察上表中的数据信息：则下列结论： 2.2801 1.51=；23409231041=；③只有3个正整数a 满足15.215.3a << 2.31 1.510<．其中正确的是．（填写序号）a 1515.115.215.315.4…a 2225228.01231.04234.09237.16…巩固训练54．对于任何实数a ，我们规定：用符号[]a 表示不超过a 的最大整数，例如：[]22=，31⎡=⎣，[]2.53-=-．现对72进行如下操作：，这样对72只需进行3次操作后变为1．类似地，只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是．题型十七二次根式的概念、有意义的条件、求值例题55．下列式子属于二次根式的是（）A 37B ．12C 3D 7-巩固训练5614x-在实数范围内有意义，则x 的取值范围是．57()22a a a a --a 的取值范围是.58．已知n 51n +n 的最小值为．59．已知x 、y 为实数，且994y x x =--，则x 、y 的值分别为（）A ．9、4B ．2、3C ．4、9D ．3、4题型十八二次根式的化简例题60=巩固训练61．若0xy <）A ．B ．C ．-D ．-62．实数m ）A ．29m -B ．5-C ．5D ．92m-633x =-，那么x 的取值范围是（）A ．3x <B ．3x ≤C ．3x >D ．3x ≥题型十九最简二次根式等有关概念例题64．下列二次根式中，是最简二次根式的是（）AB C D 巩固训练65．下列根式中，是最简二次根式的是（）A BC D66．下列各组二次根式中，能合并的是()AB C D67．若最简二次根式是同类二次根式，则2xy =．68x 的值为（）A ．12-B ．34C ．2D ．5题型二十二次根式的运算例题69．下列运算正确的是（）A 2=±B ．(2=C=D．(÷巩固训练70．下列运算正确的是（）A+=B=C．=D．5= 71．计算：；1)．72．计算：+(2)-；(4)21)2)-+．7．例题74．李老师家装修，长方形电视背景墙BC，宽AB，中间要镶一个长为，的长方形大理石图案（图中阴影部分）．(1)背景墙的周长是多少？（结果化为最简二次根式）(2)除去大理石图案部分，其它部分贴壁纸，若壁纸造价为2元/2m，大理石造价为200元/2m，则整个电视背景墙需要花费多少元？（结果化为最简二次根式）巩固训练75．快递公司为顾客的快递提供纸箱包装服务，现有三款长方体包装纸箱的高相同，底面规格如表：型号长宽小号20cm 18cm 中号25cm 20cm 大号30cm25cm已知甲、乙两件长方体礼品底面都是正方形，底面积分别为280cm ，2180cm ，两件礼品的高都小于包装纸箱的高．若要将它们合在一个包装箱中寄出，底面摆放方式如图，从节约材料的角度考虑，应选择哪种底面型号的纸箱76．我国南宋时期数学家秦九韶，古希腊的几何学家海伦都给出了三角形面积计算公式，这两个公式实质相同，我们称之为“海伦—秦九韶公式”．即如果一个三角形的三边长分别为a ，b ，c ，记1()2p a b c =++，那么三角形的面积为S =．根据上述知识，解决下列问题．(1)如图，ABC 中，7BC a ==，6AC b ==，5AB c ==，请利用上述公式求ABC 的面积；(2)在（1）的条件下，作BD AC ⊥于点D ，求BD ，CD 的长．第二章实数知识归纳与题型突破（二十一类题型清单）01思维导图02知识速记一、平方根和立方根类型平方根立方根项目被开方数非负数任意实数符号表示a±3a性质一个正数有两个平方根，且互为相反数；零的平方根为零；负数没有平方根；一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零；重要结论⎩⎨⎧<-≥==≥=)0()0()()(22a a aa a a a a a 333333)(aa a a aa -=-==二、无理数与实数有理数和无理数统称为实数.1.实数的分类实数⎧⎧⎫⎪⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎨⎩⎭⎪⎧⎫⎪⎨⎬⎪⎩⎭⎩正有理数有理数零有限小数或无限循环小数负有理数正无理数无理数无限不循环小数负无理数要点：（1）所有的实数分成三类：有限小数，无限循环小数，无限不循环小数．其中有限小数和无限循环小数统称有理数，无限不循环小数叫做无理数．，等；②有特殊意义的数，如π；③有特定结构的数，如0.1010010001…（3）凡能写成无限不循环小数的数都是无理数，并且无理数不能写成分数形式.2.实数与数轴上的点一一对应数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应.4.实数的运算数a 的相反数是－a ；一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它相反数；0的绝对值是0.有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立.实数混合运算的运算顺序：先乘方、开方、再乘除，最后算加减.同级运算按从左到右顺序进行，有括号先算括号里.5.实数的大小的比较有理数大小的比较法则在实数范围内仍然成立.法则1.实数和数轴上的点一一对应，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大；法则2．正数大于0，0大于负数，正数大于一切负数，两个负数比较，绝对值大的反而小；法则3.两个数比较大小常见的方法有：求差法，求商法，倒数法，估算法，平方法.三、二次根式的相关概念和性质1.二次根式0)a ≥的式子叫做二次根式，如等式子，都叫做二次根式.要点：有意义的条件是0a ≥，即只有被开方数0a ≥时，式子义.2.二次根式的性质（1）；（2）；（3）.3.最简二次根式（1）被开方数是整数或整式；（2)被开方数中不含能开方的因数或因式.等都是最简二次根式.要点：最简二次根式有两个要求：（1）被开方数不含分母（2）被开方数中每个因式的指数都小于根指数2.4.同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式.要点：判断是否是同类二次根式，一定要化简到最简二次根式后，看被开方数是否相同，再判断.四、二次根式的运算1.乘除法（1）乘除法法则：类型法则逆用法则二次根式的乘法0,0)a b=≥≥积的算术平方根化简公式：0,0)a b=≥≥二次根式的除法)a b=≥00，＞商的算术平方根化简公式：0,0)a b=≥>要点：（1）当二次根式的前面有系数时，可类比单项式与单项式相乘（或相除）的法则，如=.（2）被开方数a b、≠.2.加减法将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数不变，即合并同类二次根式.要点：二次根式相加减时，要先将各个二次根式化成最简二次根式，再找出同类二次根式，最后合并(13+=+-03题型归纳题型一实数的概念与分类例题1．在下列各数：3.14159260.2、1π、13111中，无理数的个数（）A ．2B ．3C ．4D ．52．在实数22,1,37π-- ，（每隔一个1增加一个0）中，无理数有（）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个3．下列说法正确的是（）A ．两个无理数的和一定是无理数B ．无限小数都是无理数C ．实数可以用数轴上的点来表示D ．分数可能是无理数B.无理数是无限不循环小数，无限小数不一定是无理数，故本选项说法错误，不符合题意；C.实数可以用数轴上的点来表示，说法正确，符合题意；D.分数是有理数，故本选项说法错误，不符合题意．故选：C ．【点睛】本题主要考查了实数的有关概念和实数与数轴的关系，熟练掌握实数的基本概念是解题的关键．4．把下列各数填人相应的集合内：143.10.8080080008...39π-，，，，（相邻两个8之间0的个数逐步甲1），158,-142整数集合｛…｝负分数集合｛…｝有理数集合｛…｝无理数集合｛…｝例题5．下列说法正确的是（）A ．8-的立方根是2±B ．2(4)-的算术平方根是4-C 4±D ．0的平方根与算术平方根都是0【答案】D【分析】利用平方根、算术平方根、立方根的定义逐项进行判断即可．【解析】解：A ．8-的立方根是2-，故此选项不符合题意；B ．2(4)-的算术平方根是4，故此选项不符合题意；6．下列计算正确的是（）A ．23=B ．1=C 4=±D 3=-7．一个正数的两个平方根分别为42m -与1--m ，则这个正数为（）A ．1B ．2C ．3625D ．4【答案】D【分析】本题考查平方根，解一元一次方程，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．根据平方根的定义可知()4210m m -+--=，解方程即可．【解析】解：由题意得：()4210m m -+--=，解得：1m =，∴这个正数为()2424m -=，故选：D ．8．下列说法中错误的是（）A ．12是0.25的一个平方根B ．正数a 的两个平方根的和为0C．916的平方根是34±D．当0x≠时，2x-有平方根9）A．4B．4±C．2D．2±例题10．解方程：(1)()21x-=(2)()312x-=-711．求出下列x 的值．(1)24490x -=；(2)()327164x +=-．题型四算术平方根的非负性例题12．已知a 、b 20b -=，则23a b -的值为（）A ．12-B ．5-C ．910D ．1313．已知x y ，()2320y +=，则x y -的值为（）A ．3B ．3-C ．1D ．1-14．已知2a b +(1)求a 、b 的值．(2)求23a b -的平方根．15．已知一个正方形的边长为a ，面积为S ，则（）A ．S =B ．S 的平方根是aC ．a是S 的算术平方根D ．a =例题16）A ．表示8-的立方根B ．结果等于2-C ．与D ．没有意义17．下列说法正确的是（）A．任意实数都有平方根B．任意实数都有立方根C．任意实数都有平方根和立方根D．正数的平方根和立方根都只有一个【答案】B【分析】根据平方根和立方根的性质逐项判断即可得．【解析】解：A、因为负数没有平方根，所以此项错误，不符合题意；B、任意实数都有立方根，则此项正确，符合题意；C、因为负数没有平方根，所以此项错误，不符合题意；D、因为正数的平方根有两个，所以此项错误，不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查了平方根和立方根，熟练掌握平方根和立方根的性质是解题关键．18=．202=-）A ．2±B ．2C ．3±D ．3例题21，则x 和y 的关系是（）A ．x=y=0B ．x 和y 互为相反数C ．不能确定D ．x 和y 相等22x =．【答案】6【分析】直接利用相反数的定义得出x 的值，进而代入计算得出答案．【解析】解：由题意可知：12370x x -+-=，解得：6x =．故答案为：6．【点睛】此题主要考查了实数的性质，正确得出x 的值是解题关键．23．21a -的平方根为3±，31a b -+的立方根为2的值为（）A ．3-B ．3C ．3±D ．不确定例题24．若一个数的算术平方根与它的立方根相同，则这个数是（）A ．1B ．0或1C ．0D ．非负数【答案】B【分析】根据算术平方根及立方根定义，结合四个选项中的数逐项验证即可得到答案．【解析】解：0的算术平方根为0；0的立方根为0；1的算术平方根为1；1的立方根为1；∴若一个数的算术平方根与它的立方根相同，则这个数是0或1，故选：B ．【点睛】本题考查算术平方根及立方根定义，理解题意，弄清楚一个数的算术平方根与它的立方根相同的含义是解决问题的关键．巩固训练25．已知21a -的平方根是3±，1b -的立方根是2，则=a ，b =，b a -的算术平方根是．26．如果2a A -=为+3a b 的算术平方根，2a B -=为21a -的立方根，则+A B 的平方根为．例题27．依次连结22⨯方格四条边的中点得到一个阴影正方形，设每一方格的边长为1，阴影正方形的边长是（）A．2B CD．2.528．如图在长方形ABCD内，两个小正方形的面积分别为1和2，则图中阴影部分的面积为（）A．12B．1C D129．已知一个正方体的体积是31000cm ，现在要在它的8个角上分别截去1个大小相同的小正方体，截去后余下部分的体积为3936cm ，则截去的每个小正方体的棱长是cm ．【答案】2【分析】本题考查了立方根的应用，设截去的每个小正方体的棱长是cm x ，由题意得出310008936x -=，整理得38x =，再利用立方根的定义解方程即可得出答案．【解析】解：设截去的每个小正方体的棱长是cm x ，由题意得：310008936x -=，整理得：38x =，解得：2x =，∴截去的每个小正方体的棱长是2cm ，故答案为：2．题型九算术平方根、立方根小数点移动问题例题301.333≈2.872≈≈．31a =）A．0.1a B．a C．1.1a D．10.1a32．1.166≈≈≈≈聪明的同学你能不用计算器得出（1）≈．（2≈．例题33．利用教材中的计算器依次按键如下：则计算器显示的结果与下列各数中最接近的一个是（）A．0.5B．0.6C．0.8D．0.934．在使用DY-570型号的计算器时，小明输入一个数据后，按照以下步骤操作，依次按照从第一步到第三步循环按键：若一开始输入的数据为5，那么第2022步之后，显示的结果是（）A ．5B ．15C ．125D ．25题关键．35．若用我们数学课本上采用的科学计算器进行计算，其按键顺序为：则输出结果为（）A ．8B ．4C ．18D ．14例题36m ，则m 的算术平方根的值最接近整数（）A ．2B ．3C ．4D ．5巩固训练37．已知4a ，4b ，则()2023a b +=．38．已知正数x 的两个不等的平方根分别是214a -和2a +，1b +的立方根为3-；ca m n +＝，其中m 为整数，01n <<，则()()36n m +-=．39．在学习《实数》内容时，我们通过“逐步逼近”的近似值，得出1.4 1.5<<．利用“逐步逼近”法，请回答问题：a和b ，且a b <，那么=a ，b =；(2)ab ，求a b +的值；(3)已知：10x y ++，其中x是整数，且01y <<，求y x -的值．例题40．在实数1，0，中，最小的是．例题43．如图，实数1在数轴上的对应点可能是（）A．A点B．B点C．C点D．D点44．下列说法正确的是（）A．有理数与数轴上的点一一对应BC．两个整数相除，如果永远都除不尽，那么结果一定是一个无理数D．任意一个无理数的绝对值都是正数45．观察下图，每个小正方形的边长均为1．(1)图中阴影部分（正方形）的面积是___________，边长是___________；(2)作图：在数轴上作出边长的对应点P（要求保留作图痕迹）；(3)在（2）题的数轴上表示1的点记为M，点N也在这条数轴上且MN MP=，直接写出点N表示的数．（3）解：如图，设点N表示的数为x，由题意得：1171-=-，x解得217x=-，所以点N表示的数为217-．【点睛】本题考查了勾股定理、实数与数轴，熟练掌握实数与数轴的关系是解题关键．题型十四无理数的估算例题46．估计262-的值应在（）A ．1和2之间B ．2和3之间C ．3和4之间D ．4和5之间47．已知a b <<，a，b 是连续的正整数，则a b +的值为（）A ．4B ．5C ．6D ．748．m n 、是连续的两个整数，若m n <，则m n +的值为．∵2,3是连续的两个整数，∴2,3m n ==，∴235m n +=+=，故答案为：5．【点睛】本题主要考查无理数的估算，掌握无理数估算的方法是解题的关键．49的近似数的过程：∵面积为107，且1011<<，10x =+，其中01x <<，画出如图示意图，∵图中2210210S x x =+⨯+正方形，107S =正方形．∴2210210107x x +⨯+=，当2x 较小时，省略2x ，得20100107x +≈，得到0.35x ≈10.35≈．______；(2)的近似值．（画出示意图，标明数据，并写出求解过程，精确到．．．0.1．．．）(3)结合上述具体实例，已知非负整数a 、b 、m ，若1a a <<+，且2m a b =+≈______．（用a 、b 的代数式表示）∵图中22816S x x =++正方形∴2281674x x ++=，当2x 较小时，省略2x ，得16得到0.625x ≈，即748.6≈（3）如图，设m a x =+，正方形的面积为：22a ax ++当2x 较小时，省略2x ，得a例题50．在信息技术课上，好学的小明制作了一个关于实数(||20)x x <的运算程序如图所示，若输出的y 时，则输入的实数x 可取的负整数值是．51．如图，有一个数值转换器，流程如下图所示，当输入x 的值为64时，则输出y 的值是．【答案】32【分析】本题主要考查的是立方根、算术平方根的定义，有理数、无理数的定义，熟练掌握相关知识是解题的关键．依据运算程序进行计算即可．【解析】解：根据步骤，输入64，先有3644=，是有理数，42=是有理数，返回到第一步，取2的立方根是32，是无理数，最后输出32故答案为：32．52．如图是一个数值转换器示意图：(1)当输入的x为36时，输出的y的值是_______；(2)若输入x值后，始终输不出y的值，则满足题意的x值是_______；y>，则x的最小整数值是_______.(3)若输出的2【答案】(1)6(2)0和1(3)5【分析】本题考查了算术平方根的计算和无理数的判断，（1）根据运算规则即可求解；（2）根据0的算术平方根是0，1的算术平方根是1即可判断；x，，再根据运算法则，进行逆运算即可求解．（3）先得出输入的>4例题53．观察上表中的数据信息：则下列结论： 1.51=；1=；③只有3个正整数a满足15.215.3<．其中正确的是．（填写序号）<< 1.510a1515.115.215.315.4…a2225228.01231.04234.09237.16…54．对于任何实数a ，我们规定：用符号[]a表示不超过a 的最大整数，例如：[]22=，1=，[]2.53-=-．现对72进行如下操作：，这样对72只需进行3次操作后变为1．类似地，只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是．故答案为：255．【点睛】本题考查了实数大小比较，算术平方根，熟练掌握算术平方根的意义是解题的关键．题型十七二次根式的概念、有意义的条件、求值例题55．下列式子属于二次根式的是（）C DA B．157a的取值范围是.a≥【答案】2【分析】根据二次根式有意义的条件，列不等式求解即可得到答案．58．已知n n 的最小值为．【答案】13【分析】根据当51n +是最小的完全平方数时，n 最小，从而得出答案．【解析】解：∵27=49，28=64，∴51=64n +，∴13n =．故答案为：13．【点睛】本题考查了二次根式，掌握算术平方根与平方的关系是解题的关键．59．已知x 、y 为实数，且4y =，则x 、y 的值分别为（）A ．9、4B ．2、3C ．4、9D ．3、4例题60=61．若0xy <）A ．B ．C ．-D ．-62．实数m ）A ．29m -B ．5-C ．5D ．92m-633x =-，那么x 的取值范围是（）A ．3x <B ．3x ≤C ．3x >D ．3x ≥64．下列二次根式中，是最简二次根式的是（）例题65．下列根式中，是最简二次根式的是（）A BC D。
北师大八年级上册第二章实数实数知识点整合与训练
第二章实数知识点整合及习题1. 无理数：2. 算术平方根： 算术平方根具有 即3. 平方根：4. 平方根的性质：一个正数有 ， ，5. 立方根：6. 立方根的性质：正数的 ， ， 7，估算的方法一般是8. 实数：9.实数的两种分类：11.数轴上的点与 是一一对应的。
7. 二次根式：8. 最简二次根式：9.两个规律：10.实数a 的相反数，倒数，绝对值分别表示为 ， ， 。
一、填空题(1)把下列各数填入相应的集合中(只填序号)：①3.14 ②2π- ③179- ④3100 ⑤0 ⑥ 212212221.1 ⑦3 ⑧0.15 有理数集合：｛ …｝正数集合｛ …｝无理数集合：｛ …｝负数集合｛ …｝ (2) 21-的相反数是 、倒数是 、绝对值是 。
(3) 满足32<<-x 的整数x 是 .(4) 一个正数的平方等于144, 则这个正数是 , 一个负数的立方等于27,则这个负数是 , 一个数的平方等于5, 则这个数是 .(5). 若误差小于10, 则估算200的大小为 .(7) 比较大小:216- 212+.(填“>”或“<”) (8). =-2)4( . =-33)6( , 2)196(= .(9)．一个数的平方根与立方根相等，这个数是______;立方根等于本身的数是_________. 平方根等于本身的数是________；算术平方根等于本身的数是_____________.大于0小于π的整数是_________； (10).._______a ,2)2(2的取值范围是则若a a -=-( (11)使________x 11的值是在实数范围内有意义的-+-x x (12)已知._______19191=-+-xx x 有意义，则 二、 选择题：1. 边长为1的正方形的对角线长是( )A. 整数B. 分数C. 有理数D. 不是有理数2. 在下列各数中是无理数的有( )-0.333…, 4, 5, π-, 3π, 3.1415, 2.010101…(相邻两个1之间有1个0),76.0123456…(小数部分由相继的正整数组成). A.3个 B.4个 C. 5个 D. 6个3. 下列说法正确的是( )A. 有理数只是有限小数B. 无理数是无限小数C. 无限小数是无理数D.3π是分数 4. 下列说法错误的是( )A. 1的平方根是1B. –1的立方根是-1C.2是2的平方根 D. –3是2)3(-的平方根5. 若规定误差小于1, 那么60的估算值为( )A. 3B. 7C. 8D. 7或86. 下列平方根中, 已经简化的是( )A. 31B. 20C. 22D. 1217． 81的平方根是( )A. 9B. ±9C. 3D. ±38． 下列说法正确的是( )A. 无限小数都是无理数B. 带根号的数都是无理数C. 开方开不尽的数是无理数D.π是无理数, 故无理数也可能是有限小数 9． 方根等于本身的数是( )A. –1B. 0C. ±1D. ±1或010． ππ--14.3的值是( )A. 3.14-π2B. 3.14C. –3.14D. 无法确定11． a 为大于1的正数, 则有( )A. a a =B. a a >C. a a <D. 无法确定12． 下面说法错误的是( )A. 两个无理数的和还是无理数B. 有限小数和无限小数统称为实数C. 两个无理数的积还是无理数D. 数轴上的点表示实数13.下列说法中不正确的是( )A.42的算术平方根是4B. 24的算术平方根是C.332的算术平方根是D.981的算术平方根是 14. 121的平方根是±11的数学表达式是( )A. 11121=B.11121±=C. ±11121=D.±11121±=15.如果,162=x 则x=( )A.16B.16C.±16D.±1616. 364的平方根是( ) A.±8 B.±2 C.2 D.±417.下列说法中正确的是( ) A.±64的立方根是2 B.31271±的立方根是 C.两个互为相反数的立方根互为相反数 D.(-1)2的立方根是-118、-38-的平方根是( ) A.±√2 B.-√2 C.±2 D.219、估计的大小应在76( )A.7～8之间B. 8.0～8.5之间C. 8.5～9.0之间D.9.0～9.5之间20、在实数范围内，下列说法中正确的是( )b a b a D b a b a C b a b a B ba b a A >>======则若则若则若则若,.,.,..,.223322三、 化简:①44.1-21.1; ②2328-+; ③92731⋅+; ④0)31(33122-++.⑤)31)(21(-+. ⑥2)52(-;⑦2)3322(+. ⑧)32)(32(-+五、解答题1. 在数轴上作出3对应的点.。
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第二章《实数》知识点梳理及题型解析
一、知识归纳
（一）平方根与开平方
1.平方根的含义
如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做 a 的平方根。
即 x2 a ，x叫做a的平方根。
2.平方根的性质与表示
⑴表示：正数 a 的平方根用 a 表示， a 叫做正平方根，也称为算术平
方根， a 叫做a的负平方根。
⑵一个正数有两个平方根： a （根指数2省略）
0 有一个平方根，为0，记作0 0 ；负数没有平方根
⑶ 平方与开平方互为逆运算
开平方：求一个数 a 的平方根的运算。
a2
a a 02
0 ）
a ==a a（a
a a 0
⑷ a 的双重非负性
a0且a0（应用较广）
例：x 4 4 x y 得知 x 4, y 0
⑸如果正数的小数点向右或者向左移动两位，它的正的平方根的小数点就相
应地向右或向左移动一位。
区分： 4 的平方根为____
4 的平方根为____4____
完全平方类
4＝2
93
3.计算 a 的方法
非完全平方类＝
7
7
精确到某位小数
* 若a b 0 ，则a b
（二）立方根和开立方
1．立方根的定义
如果一个数的立方等于 a ，呢么这个数叫做 a 的立方根，记作 3 a.
2.立方根的性质
任何实数都有唯一确定的立方根。
正数的立方根是一个正数。
负数的立方
根是一个负数。
０的立方根是０.
3.开立方与立方
开立方：求一个数的立方根的运算。
3
3
3 a3a3a3 a （a取任何数）
aa
*０的平方根和立方根都是０本身。
（三）推广：n 次方根
１.如果一个数的n次方（n是大于１的整数）等于a，这个数就叫做a的n次方根。
当n 为奇数时，这个数叫做 a 的奇次方根。
当n 为偶数时，这个数叫做 a 的偶次方根。
２. 正数的偶次方根有两个：n a ；０的偶次方根为０：n 0 0 ；负数没有偶次方根。
正数的奇次方根为正。
０的奇次方根为０。
负数的奇次方根为负。
（四）实数
1.实数：有理数和无理数统称为实数
实数的分类：
① 按属性分类：② 按符号分类
2.实数和数轴上的点的对应关系：
实数和数轴上的点一一对应，即每一个实数都可以用数轴上的一个点表示．
数轴上的每一个点都可以表示一个实数．
2
的画法：画边长为 1 的正方形的对角线
在数轴上表示无理数通常有两种情况：
①尺规可作的无理数，如
2
②尺规不可作的无理数，只能近似地表示，如π，1.010010001⋯⋯思考：
（ 1）－a2一定是负数吗？－a 一定是正数吗？
（ 2）大家都知道是一个无理数，那么－1在哪两个整数之间？（3）15 的整数部分为a, 小数部分为 b，则 a=, b=。
（4）判断下面的语句对不对？并说明判断的理由。
①无限小数都是无理数. ( )
②无理数都是无限小数.( )
③带根号的数都是无理数.( )
④有理数都是实数，实数不都是有理数.()
⑤实数都是无理数，无理数都是实数.()
⑥实数的绝对值都是非负实数.()
⑦有理数都可以表示成分数的形式。
()
3.实数大小比较的方法
一、平方法：比较
3
和3的大小
3
____ 3
22
二、根号法：比较 23 和 3 2 的大小 2 3____3 2
三、求差法：比较5
1
和 1 的大小5
1
____1
22
4.实数的三个非负性及性质
(1)在实数范围内，正数和零统称为非负数。
(2)非负数有三种形式
①任何一个实数 a 的绝对值是非负数，即|a| ≥ 0；
②任何一个实数 a 的平方是非负数，即a2≥0；
③任何非负数的算术平方根是非负数，即 a ≥0.
（3）非负数具有以下性质①非负数有最小值零；②非负数
之和仍是非负数；③几个非负数之和等于 0，则每个非
负数都等于 0.
二、题型解析【例 5】若32a1和3 13b 互为相反数，求a
的值。
题型一、有关概念的识别
b
.
， 3π，
【例 1】下面几个数：1.23， 1.010010001⋯，，，
其中，无理数的个数有（）
A、 1 B 、2C、 3D、4
【变式 1】下列说法中正确的是（）题型三、实数非负性的应用
A ．的平方根是±3 B. 1 的立方根是±1【例 6】已知实数 a、b、 c 满足， 2|a-1|+ 2b c +( c1)2 =0，求 a+b+c 的值。
C．=±1 D.是 5 的平方根的相反数
2
题型二、计算类型题
【例 2】设，则下列结论正确的是（）
A. B. C. D.
【例 7】若y x 1 1 x 1，求x，y的值。
【例 3】计算：
【例 8】已知：=0 ，求实数 a, b 的值
【例 4】先化简，再求值：
11b，其中 a=5 1
，b= 5 1 ．
a b b a( a b)22
【变式 1】 y 2 xx 2 x 2 5 ，求y x的平方根和算术平方根。
类型五、实数应用题
【例 10】有一个边长为 11cm 的正方形和一个长为13cm，宽为 8cm 的矩形，
要作一个面积为这两个图形的面积之和的正方形，问边长应为多少。
【变式 2】已知 (x-6) 2++|y+2z|=0 ，求 (x-y) 3-z3的值。
类型六、拓展提升
【例 11】已知的整数部分为a，小数部分为b，求 a2-b2的值 .
题型四、数形结合题
【例 9】如图，实数a、b在数轴上的位置，化简： a2b2(a b)2
【例 12】把下列无限循环小数化成分数：①②③。