重积分的计算方法数学毕业论文

重积分的计算方法摘要：本文介绍了几种重积分的计算方法，着重从累次积分的计算、变量代换等方法阐述二重积分的计算，同时介绍了一类特殊的二重积分的计算方法，并由二重积分的计算方法推广到三重积分的计算。

关键词：二重积分，三重积分，变量代换，对称法引言：重积分包括二重积分和三重积分，它是定积分的推广；被积函数由一元函数()x f 推广为二元函数()y x f ,（三元函数()z y x f ,,）;积分围由数轴上的区域推广为平面域（二重积分）和空间域（三重积分）。

我个人在学习与复习多重积分这一块时，感到多重积分的计算比较繁琐，而在日常生活中多重积分有着很多的应用。

通过在图书馆查阅资料、以及老师的指点，重积分的计算方法还是有规律可循的。

为了更好的应用重积分，本人结合前人的经验，在这里系统介绍几种常用的重积分计算方法，以及一些小技巧。

着重介绍累次积分的计算与变量代换。

一． 二重积分的计算 1．常用方法（1） 化累次积分计算法对于常用方法我们先看一个例子（师大学，2002年）]1[ 例1． 计算二重积分⎰⎰-Ddxdy x y 2，其中D 为区域20,1≤≤≤y x解：如图1所示D 可分为21D D1D 在2x y >，在2D 2x y <34222212111122222+=-+-=-+-=-∴⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰--πxxD D D dy y x dx dy x y dx dxdyy x dxdy x y dxdy x y对于重积分的计算主要采用累次积分法，即把一个二重积分表达为一个二次积分，通过两次定积分的计算求得二重积分值，分析上面的例子累次积分法其主要步骤如下：第一步：画出积分区域D 的草图；第二步：按区域D 和被积函数的情况选择适当的积分次序，并确定积分的上、下限；第三步：计算累次积分。

需要强调一点的是，累次积分要选择适当的积分次序。

积分次序的不同将影响计算的繁简，有些题这两种次序的难易程度可以相差很大，甚至对一种次序可以“积出来”，而对另一种次序却“积不出来”。

所以，适当选择积分次序是个很重要的工作。

选择积分次序的原则是：尽可能将区域少分块，以简化计算过程；第一次积分的上、下限表达式要简单，并且容易根据第一次积分的结果作第二次积分。

例2． 计算⎰⎰Ddxdy xxsin ，D 是由1,,0===x x y y 围成的区域 解：先画出区域D 的图形，如图2先对y 后对x 积分，则由⎩⎨⎧≤≤≤≤xy x D 010:知1cos sin sin sin sin 1010100+-====⎰⎰⎰⎰⎰⎰x xdx xdx x x dy dx x x dxdy x xx D如果先对x 后对y 积分，由于⎰dx xxsin 不能用初等函数表示，这时重积分“积不出来”。

更换积分次序的理论依据是什么呢？对于给定一个二重积分()⎰⎰Dd y x f σ,，若分别把它化为积分次序不同的二次积分而得下列等式：()()()()⎰⎰⎰⎰=x x baDdy y x f dx d y x f 21,,ϕϕσ①()()()()⎰⎰⎰⎰=y y dcDdx y x f dy d y x f 21,,ψψσ②则显然有()()()()()()⎰⎰⎰⎰=y y dcx x badx y x f dy dy y x f dx 2121,,ψψϕϕ③如果首先给出③式中的一个二次积分（例如左端），而此时又无法计算结果或比较麻烦，则我们可以写出③式中的另一个二次积分（例如右端），这时重积分重要问题则转化为更换积分次序问题。

例3．试更换()⎰⎰-211,xxdy y x f dx 的积分次序解：把先对y 积分更换为先对x 积分 由原累次积分的上、下限可得()()⎪⎩⎪⎨⎧=≤≤=-=≤≤=2101:21b x a x x y x x D ϕϕ，即⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≤≤2101x x y x由D 的联立双边不等式可画出域D 的图形，如图3再由图形写出先对x 的积分域的联立双边不等式，为此，作平行于x 轴的箭头穿区域D ，知先对x 后对y 积分必须将D 分为1D 和2D ，其中⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤2100:1y y x D ，⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≤≤12110:2y y x D 如图4 则()()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰--+==12110210121,,,yyxxdx y x f dy dx y x f dy dy y x f dx I对上面的例题可得更换积分次序的一般步骤为：ⅰ.由原累次积分的上、下限列出表示积分域D 的联立双边不等式，例如()()⎩⎨⎧≤≤≤≤b x a x y x D 21:ϕϕ ⅱ.根据上列联立双边不等式画出区域D 的图形ⅲ.按新的累次积分次序，列出与之相应的区域D 的联立双边不等式()()⎩⎨⎧≤≤≤≤y x y d y c D 21:ψψⅳ.按3中的不等式组写出新的累次积分的表达式。

关于这方面的应用我们再看一个例子。

例4．（华中理工大学,2000年）设()x f 在],[b a 上连续，证明()()()⎰⎰⎰-=babax adx x f x b dy y f dx证：改变积分顺序得：()()()()()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰-=-==bab ab yb ax abadx x f x b dy y f y b dx y f dy dy y f dx（2） 变量替换法在计算定积分时，求积的困难在于被积函数的原函数不易求得。

从而适当地利用换元法的好处是可以把被积函数的形状进行转化，以便于用基本求积公式。

在计算重积分时，求积的困难来自两个方面，除了被积函数的原因以外还在于积分区域的多样性。

而且，有时候其积分区域往往成为困难的主要方面。

为此，针对不同的区域要讨论重积分的各种不同算法。

例4．（大学2002年，中南矿治学院）求⎰⎰+Dyx ydxdy e，其中(){}0,0,1|,≥≥≤+=y x y x y x D解：令⎩⎨⎧==+u y u y x ，即⎩⎨⎧=-=u y vu x则D 变成了()()()1,,,010|,-=∂∂⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤≤≤='v u y x v u v v u D ()()1211110-=-===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰'+e dv e v du e dv dudv e dxdy evvu D vu Dyx y可以说变量替换法步骤如下： i.若可微分的连续函数()()v u y y v u x x ,,,==把oxy 上的有限区域D 单值唯一地映射平面ouv 上的域D '及雅哥比式()()0,,≠=v u D y x D I 则下之公式正确()()()()()()⎰⎰⎰⎰'∂∂=D Ddudv v u y x v u y v u x f d y x f ,,,,,,σ ii.设广义极坐标变换⎩⎨⎧+=+=θθsin cos br y y ar x x o o 将x y 平面上的有界闭区域D 一一地变成θr 平面上有界闭区域D '，()y x f ,在D 上连续，则()()⎰⎰⎰⎰'++=D o oDabrdrd br y ar xf d y x f θθθσcos ,cos ,特别，当()()1,0,0,===b a y x o o 时，公式变为：()()⎰⎰⎰⎰'=D Drdrd r r f d y x f θθθσsin ,cos ,——极坐标变换公式计算二重积分时，要从被积函数和积分域两个方面来考虑如何适当地选择坐标系，如能采用适当的坐标系，往往可以收到事半功倍的效果。

从积分域来考虑，一般情况下，圆形、扇形或者环形可以选用极坐标系。

关于这方面的应用我们看下面的例子：例5．将连续函数()y x f ,在两圆122=+y x 和 422=+y x 之间的环形区域D 上之二重积分化为二次积分。

解：先画出域D 的图形，如图5若用直角坐标，则需将D 分为四个区域：4321,,,D D D D 如图5所示，所以，在D 上的积分()()()()()()()()()dyy x f dx dy y x f dx dy y x f dx dy y x f dx dxdyy x f dxdy y x f dxdy y x f dxdy y x f dxdy y x f x x x x x x x x D D D D D⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰-----------------+++=+++=2222222243214421141141114412,,,,,,,,,若用极坐标，有()()⎰⎰⎰⎰=2120sin ,cos ,rdr r r f d dxdy y x f Dθθθπ显然，极坐标系下运算比较方便。

（3） 对称法对称法就是利用区域和被积函数的对称性简化积分。

在做题时，先考虑区域和被积函数有无对称性，有时一看就知道积分为零，有时可使积分化简。

否则的话，就会把时间花在无谓的计算上，有时不仅仅“得不偿失”，而且往往是“有失无得”。

利用区域和被积函数对称性简化积分的方法可以总结为：① 设域D 关于x 轴对称，x 轴上方部分为1D ，下方为2D ，当把()y x f ,中的x 看作常数时，若()y x f ,是y 的奇函数，则()0,=⎰⎰Ddxdy y x f 。

当把()y x f ,中的x 看作常数时，若()y x f ,是y 的偶函数，则()()⎰⎰⎰⎰=1,2,D Ddxdy y x f dxdy y x f② 设域D 关于y 轴对称，y 轴右边的部分为1D ,左边的部分为2D ，当把()y x f ,中的y 看作常数时，若()y x f ,是x 的奇函数，则()0,=⎰⎰Ddxdy y x f ；当把()y x f ,中的y 看作常数时，若()y x f ,是x 的偶函数，则()()⎰⎰⎰⎰=1,2,D Ddxdy y x f dxdy y x f我们只对第一个结论的前一部分做个简单的证明：例6．计算重积分()()()y x f y x f dxdy y x f D,,,,-=-⎰⎰，其中D 为两种形式：1D 是由11,0=+=-=y x y x x 和所构成；2D 是关于x 轴对称的平面凸域，其边界为()x g y =和()x g y -=，如图6解：()()()()()()()()[]⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰==----===------10111101111110001,1,|,,,1dx dx x x F x x F dx y x F dy y x f dx dxdy y x f xx xx D 其中利用了当()()y x f yy x F ,,1=∂∂时，()()()()()()()x x F x x F y x F dy y x f xx xx ----==------⎰1,1,|,,1111111，又()()y x f y x f ,,-=-()()()()()()01,1,,,1111=-----∴=-∴x x F x x F y x F y x F()()()()()()()()[]00,,,,212==--==⎰⎰⎰⎰⎰⎰-dx dx x g x F x g x F dy y x f dx dxdy y x f bab ax g x g baD再看一个例子例7．（大学，1992年）计算下列积分（1）⎰-10ln dx xx x ab ，其中ab 为常数，b a <<0；（2）⎰⎰-Dy dxdy e 2，其中D 为直线x y =与曲线31x y =围成的有界区域。