2013届高考数学一轮复习讲义第八章 8.4 直线、平面垂直的判定及其性质

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又 CD⊥FA，FA∩AB＝A，所以 CD⊥平面 ABF.
(3)解由(2)及已知，可得 AG＝ 2，即 G 为 AD 的中点．取 EF 的中点 N，连结 GN，则 GN⊥EF.
因为 BC∥AD，所以 BC∥EF. 过点 N 作 NM⊥EF，交 BC 于点 M，则∠GNM 为二面角 B－EF－A 的平面角．连结 GM，可得 AD⊥平面 GNM，故 AD⊥GM，从而 BC⊥GM.
∴四边形 FCBD 是矩形，∴DF⊥EC. 又 BA＝BC＝DF， ∴Rt△DEF≌Rt△ADB，∴DE＝DA.
(2)如图所示，取 AC 中点 N，连结 MN、NB， 1 ∵M 是 EA 的中点，∴MN 綊 EC. 2
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1 由 BD 綊 EC，且 BD⊥平面 ABC，可得四边形 MNBD 是矩形， 2 于是 DM⊥MN.∵DE＝DA，M 是 EA 的中点，
证明 (1)如图，在△PAD 中，因为 E，F 分别为 AP，AD 的中点，所以 EF∥PD.
又因为 EF⊄平面 PCD， PD⊂平面 PCD，所以直线 EF∥平面 PCD.
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(2)连结 BD.因为 AB＝AD，∠BAD＝60° ，所以△ABD 为正三角形．
因为 F 是 AD 的中点，所以 BF⊥AD. 因为平面 PAD⊥平面 ABCD，BF⊂平面 ABCD，平面 PAD∩平面 ABCD＝AD，所以 BF⊥平面 PAD. 又因为 BF⊂平面 BEF，所以平面 BEF⊥平面 PAD.
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线面、面面垂直的综合应用
例 3 如图所示，在四棱锥 P—ABCD 中，平面 PAD ⊥平面 ABCD，AB∥DC，△PAD 是等边三角形，已知 BD＝2AD＝8，AB＝2DC＝4 5. (1)设 M 是 PC 上的一点，求证：平面 MBD⊥平面 PAD； (2)求四棱锥 P—ABCD 的体积．
2 5＋4 5 8 5 ∴S 四边形 ABCD＝ × ＝24. 2 5 1 ∴VP—ABCD＝ ×24×2 3＝16 3. 3
探究提高
当两个平面垂直时，常作的辅助线是在其中一个面内作交线的垂线，把面面垂直转化为线面垂直，进而可以证明线线垂直．
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变式训练 3
(2011· 辽宁)如图，四边形 ABCD 为正方形，QA⊥平面 ABCD， 1 PD∥QA，QA＝AB＝ PD. 2 (1)证明：PQ⊥平面 DCQ； (2)求棱锥 Q－ABCD 的体积与棱锥 P－DCQ 的体积的比值．
(1)作出(找出)异面直线 CE 与 AF 所成的角∠CED. (2)证明 CD⊥AF、CD⊥AB 即可． (3)作出(找出)二面角 B—EF—A 的平面角．
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(1)解
因为四边形 ADEF 是正方形，所以 FA∥ED.
所以∠CED 为异面直线 CE 与 AF 所成的角．因为 FA⊥平面 ABCD，所以 FA⊥CD.故 ED⊥CD.
(2)解设 AB＝a. 由题设知 AQ 为棱锥 Q－ABCD 的高， 1 3 所以棱锥 Q－ABCD 的体积 V1＝ a . 3 由(1)知 PQ 为棱锥 P－DCQ 的高， 2 2 而 PQ＝ 2a，△DCQ 的面积为 a ， 2 1 3 所以棱锥 P－DCQ 的体积 V2＝ a . 3
故棱锥 Q－ABCD 的体积与棱锥 P－DCQ 的体积的比值为 1.
又平面 PAD⊥平面 ABCD， ∴PG⊥平面 ABCD. ∴PG⊥BG.
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又∵四边形 ABCD 是菱形且∠DAB＝60° ， ∴△ABD 是正三角形． ∴BG⊥AD.
又 AD∩PG＝G，∴BG⊥平面 PAD.
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平面与平面垂直的判定与性质
例 2 如图所示，△ABC 为正三角形，EC⊥平面 ABC，BD∥CE，EC＝CA＝2BD，M 是 EA 的中点．求证： (1)DE＝DA； (2)平面 BDM⊥平面 ECA.
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变式训练 4
在四棱锥 P—ABCD 中，底面 ABCD 是矩形．已知 AB＝3，AD ＝2，PA＝2，PD＝2 2，∠PAB＝60° . (1)证明：AD⊥平面 PAB； (2)求异面直线 PC 与 AD 所成的角的正切值的大小； (3)求二面角 P—BD—A 的正切值的大小．
(1)证明在△PAD 中，由题设 PA＝2，AD＝2，PD＝2 2，可得 PA2＋AD2＝PD2，于是 AD⊥PA. 在矩形 ABCD 中，AB⊥AD，又 PA∩AB＝A，所以 AD⊥平面 PAB. (2)解由题设，BC∥AD，所以∠PCB(或其补角)是异面直线 PC
(1)因为两平面垂直与 M 点位置无关，所以在平面 MBD 内一定有一条直线垂直于平面 PAD，考虑证明 BD⊥平面 PAD. (2)四棱锥底面为一梯形，高为 P 到面 ABCD 的距离．
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(1)证明
在△ABD 中，∵AD＝4，BD＝8，AB＝4 5，
∴AD2＋BD2＝AB2.∴AD⊥BD. 又∵面 PAD⊥面 ABCD，面 PAD∩面 ABCD＝AD， BD⊂面 ABCD，∴BD⊥面 PAD. 又 BD⊂面 BDM， ∴面 MBD⊥面 PAD.
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线面、二面角的求法
例 4 如图，在五面体 ABCDEF 中，四边形 ADEF 是正方形，FA⊥平面 ABCD，BC∥AD，CD＝1， AD＝2 2，∠BAD＝∠CDA＝45° . (1)求异面直线 CE 与 AF 所成角的余弦值； (2)证明：CD⊥平面 ABF； (3)求二面角 B－EF－A 的正切值．
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要点梳理
忆一忆知识要点
2．斜线和平面所成的角斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫斜线和平面所成的角． 3．平面与平面垂直 (1)平面与平面垂直的判定方法 ①定义法 ②利用判定定理：一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面垂直． (2)平面与平面垂直的性质两平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面．
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证明 (1)由四棱锥 P—ABCD 中， ∵PA⊥底面 ABCD，CD⊂平面 ABCD， ∴PA⊥CD.∵AC⊥CD，PA∩AC＝A， ∴CD⊥平面 PAC.
而 AE⊂平面 PAC，∴CD⊥AE.
(2)由 PA＝AB＝BC，∠ABC＝60° ，可得 AC＝PA.
∵E 是 PC 的中点，∴AE⊥PC. 由(1)，知 AE⊥CD，且 PC∩CD＝C， ∴AE⊥平面 PCD.
(1)证明 DE＝DA，可以通过图形分割，利用三角形全等证明． (2)证明面面垂直的关键在于寻找平面内一直线垂直于另一平面．
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证明 (1)如图所示，取 EC 中点 F，连结 DF. ∵EC⊥平面 ABC，BD∥CE， ∴DB⊥平面 ABC.∴DB⊥AB. 1 ∵BD∥CE，BD＝ CE＝FC， 2
∴Dபைடு நூலகம்⊥EA.又 EA∩MN＝M，
∴DM⊥平面 ECA，而 DM⊂平面 BDM， ∴平面 ECA⊥平面 BDM.
探究提高
面面垂直的问题常常转化为线面垂直、线线垂直的问题解决．
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变式训练 2
(2011· 江苏)如图，在四棱锥 P－ABCD 中，平面 PAD⊥平面 ABCD，AB＝AD，∠BAD＝60° ， E，F 分别是 AP，AD 的中点．求证：(1)直线 EF∥平面 PCD； (2)平面 BEF⊥平面 PAD.
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2 由已知，可得 GM＝ . 2 由 NG∥FA，FA⊥GM，得 NG⊥GM.
GM 1 在 Rt△NGM 中，tan ∠GNM＝ NG ＝ . 4 1 所以二面角 B－EF－A 的正切值为 . 4
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探究提高
解二面角首先要作出其平面角，一种重要的方法就是垂线法，即在二面角的一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过这条垂线的垂足作二面角棱的垂线，这样二面角的棱就垂直于这两条垂线所确定的平面，问题就解决了．这里的关键是如何作一个面的垂线，一个最重要的思路就是根据面面垂直的性质定理，在两个互相垂直的平面中的一个平面内作它们交线的垂线．
一轮复习讲义
直线、平面垂直的判定及其性质
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要点梳理
1．直线与平面垂直
忆一忆知识要点
(1)判定直线和平面垂直的方法 ①定义法 ②利用判定定理：一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线和此平面垂直． ③推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直这个平面． (2)直线和平面垂直的性质 ①直线垂直于平面，则垂直于平面内任意直线． ②垂直于同一个平面的两条直线平行． ③垂直于同一直线的两平面平行．
在 Rt△CDE 中，CD＝1，ED＝2 2， CE＝ CD2＋ED2＝3， ED 2 2 所以 cos ∠CED＝ CE＝ . 3
2 2 故异面直线 CE 与 AF 所成角的余弦值为 . 3
(2)证明如图，过点 B 作 BG∥CD，交 AD 于点 G，则∠BGA＝∠CDA＝45° .由∠BAD＝45° ，可得 BG⊥AB，从而 CD⊥AB.
(2)解过 P 作 PO⊥AD， ∵面 PAD⊥面 ABCD， ∴PO⊥面 ABCD，
即 PO 为四棱锥 P—ABCD 的高．又△PAD 是边长为 4 的等边三角形， ∴PO＝2 3.
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在底面四边形 ABCD 中，AB∥DC，AB＝2DC， ∴四边形 ABCD 为梯形．
4×8 8 5 在 Rt△ADB 中，斜边 AB 边上的高为＝， 5 4 5 此即为梯形的高．
(1)证明由条件知四边形 PDAQ 为直角梯形．因为 QA⊥平面 ABCD，QA⊂平面 PDAQ，所以平面 PDAQ⊥平面 ABCD，交线为 AD，所以 QA⊥DC，
又四边形 ABCD 为正方形，DC⊥AD，所以 DC⊥平面 PDAQ，可得 PQ⊥DC.
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2 在直角梯形 PDAQ 中可得 DQ＝PQ＝ PD，则 PQ⊥QD. 2 又 DQ∩DC＝D，所以 PQ⊥平面 DCQ.

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高考一轮复习通用版8.4直线平面平行的判定与性质课件(55张)

【对点训练】
1．如图所示，在四棱锥PABCD中，四边形ABCD是平行四边形，M 是PC的中点，在DM上取一点G，过G和PA作平面交BD于点H.
求证：PA∥GH.
2.[2022·江苏南通市检测]《九章算术》是我国古代的数学著作，是“算经十书”中最重要的一部，它对几何学的研究比西方要早1 000多年．在《九
线线平行”)
符号语言
因为 _l_∥__a__， _a_⊂__α__， __l⊄__α__，所以l∥α
因为 __l∥__α__， __l⊂__β__， ______，所以l∥b
[提醒] 应用判定定理时，要注意“内”“外”“平行”三个条件必须都具备，缺一不可．
2．平面与平面平行的判定定理和性质定理
2.在长方体ABCDA1B1C1D1中，已知AB＝AD， E为AD的中点，在线段B1C1上是否存在点F，使得平面A1AF∥平面ECC1？若存在，请加以证明，若不存在，请说明理由．
微专题29 函数思想破解立体几何中的问题
名师点评利用函数思想建立MN与a的函数关系式是解此题的关键，立体几何中的最值问题，通常借助函数思想求解．
因为 _α_∥__β__， ______， ______，所以a∥b
二、必明2个常用结论 1．平行间的三种转化关系
2．平行关系中的三个重要结论
(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β. (2)平行于同一平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ. (3)垂直于同一平面的两条直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a∥b.
关键能力—考点突破
考点一与线、面平行相关命题的判定 [基础性]
1．设a，b是空间中不同的直线，α，β是不同的平面，则下列说法正确的是( )

高三数学一轮复习精品课件5：8.4 直线、平面垂直的判定与性质

悟·技法 1.证明线面垂直的常用方法 (1)利用线面垂直的判定定理. (2)利用“两平行线中的一条与平面垂直,则另一条也与这个平面垂直”. (3)利用“一条直线垂直于两个平行平面中的一个,则与另一个也垂直”. (4)利用面面垂直的性质定理.
2.证明线线垂直的常用方法 (1)利用特殊图形中的垂直关系. (2)利用等腰三角形底边中线的性质. (3)利用勾股定理的逆定理. (4)利用直线与平面垂直的性质.
【规律方法】 1.面面垂直的证明方法 (1)定义法:利用面面垂直的定义,即判定两平面所成的二面角为直二面角,将证明面面垂直问题转化为证明平面角为直角的问题. (2)定理法:利用面面垂直的判定定理,即证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线,把问题转化成证明线线垂直加以解决. 提醒:两平面垂直,在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面.这是把面面垂直转化为线面垂直的依据.运用时要注意“平面内的直线”.
1 4
.由(1)知,CD⊥平面ABD,
所以三棱锥C-ABM的高h=CD=1,因此三棱锥A-MBC的体积
VA-MBC=VC-ABM=
1 3
S△ABM·h=1 12 Nhomakorabea.
命题角度2:利用直线垂直平面的性质证明线线垂直
【典例3】(2015·临沂模拟)如图所示,已知AB为圆O
的直径,点D为线段AB上一点,且AD=
1 3
DB,点C为
圆O上一点,且BC= 3 AC,PD⊥平面ABC,PD=DB.
求证:PA⊥CD.
【解答】因为AB为圆O的直径,所以AC⊥CB,在Rt△ABC中,由 3 AC =BC得,∠ABC=30°,设AD=1,由3AD=DB得,DB=3,BC=2 3 ,由余弦定理得CD2=DB2+BC2-2DB·BCcos30°=3, 所以CD2+DB2=BC2,即CD⊥AO. 因为PD⊥平面ABC,CD⊂平面ABC, 所以PD⊥CD,由PD∩AO=D得,CD⊥平面PAB,又PA⊂平面PAB, 所以PA⊥CD.

《直线、平面垂直的判定及其性质》新课程高中数学高三一轮复习课件

∴OQ 平面PAE,∴OQ⊥BC.
连接BO并延长交AC于F.
∵PA⊥平面ABC,BF 平面ABC,
∴PA⊥BF.又∵O是△ABC的垂心,∴BF⊥AC, ∴BF⊥平面PAC.
∵PC 平面PAC,∴BF⊥PC.
连接BQ并延长交PC于M,连接MF. ∵Q为△PBC的垂心,∴PC⊥BM.∵BM∩BF=B,
∵AB 平面EAB,∴AB⊥CD.
学后反思证明空间中两直线互相垂直,通常先观察两直线是否共面. 若两直线共面,则一般用平面几何知识即可证出,如勾股定理、等腰三角形的性质等.若两直线异面,则转化为线面垂直进行证明.
举一反三
1. （2010·淮安模拟）如图，在三棱柱BCE-ADF中，四边形ABCD是正方形，DF⊥平面ABCD，N是AC的中点，G是DF上的一点.求证： GN⊥AC.
第五节直线、平面垂直的判定及其性质
基础梳理
1. 直线与平面垂直
(1)定义:如果直线与l 平面α内的任意一条直线都垂直,我们就说直线与平l
面α互相垂直.这条直线叫做平面的垂线,这个平面叫做直线的垂面,交点叫做垂足.垂线上任意一点到垂足间的线段,叫做这个点到这个平面的垂线段, 垂线段的长度叫做点到平面的距离. (2)性质:如果一条直线垂直于一个平面,那么它就和平面内的任意一条直线垂直. (3)判定定理:如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直,则这条直线与这个平面垂直. (4)推论:如果在两条平行直线中,有一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于这个平面. (5)性质定理:如果两条直线垂直于同一个平面,那么这两条直线平行.
举一反三
2. 如图所示,P是△ABC所在平面外一点,且PA⊥平面 ABC,若O、Q分别是△ABC和△PBC的垂心，求证:OQ⊥平面PBC.

新高考数学一轮总复习课件第八章第四节直线、平面垂直的判定及其性质

(2)在 CC1 上取点 M 使得 CM＝2MC1，连接 DM，MF，EC1，因为 D1E＝2ED，DD1∥CC1，DD1＝CC1，所以 ED＝MC1，ED∥MC1，所以四边形 DMC1E 为平行四边形，所以 DM∥EC1，因为 MF∥DA，MF＝DA，所以四边形 MFAD 为平行四边形，所以 DM∥AF，所以 EC1∥AF，因此点 C1 在平面 AEF 内．
(2)过 M 作 PN 的垂线，交点为 H，如图：
因为 AO∥平面 EB1C1F， AO⊂ 平面 A1AMN，平面 A1AMN∩平面 EB1C1F＝NP，所以 AO∥NP，又因为 NO∥AP，所以 AO＝NP＝6，AP＝ON，因为 O 为△A1B1C1 的中心，
1
π1
π
所以 ON＝3 A1C1sin 3 ＝3 ×6×sin 3 ＝ 3 ，
A．α∥β⇒ m∥n
B．α⊥β⇒ m⊥n
C．m⊥α⇒ α⊥β
D．m⊥n⇒ m⊥α
【解析】选 C.由平面 α，β，直线 n⊂α，直线 m⊂β，知：对于 A，α∥β，则 m，n 平行或异面，故 A 错误；对于 B，α⊥β，则 m，n 相交、平行或异面，故 B 错误；对于 C，m⊥α，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故 C 正确；对于 D，m⊥n，则 m 与 α 相交、平行或 m⊂α，故 D 错误．
(2)选 C.因为平面 ABC⊥平面 BCD，平面 ABC∩平面 BCD＝BC，BC⊥BD，所以 BD⊥平面 ABC，又 AC⊂ 平面 ABC，所以 BD⊥AC，故①正确．因为 BD⊥AC，BD ⊥BC，AC∩BC＝C，所以 BD⊥平面 ABC，又因为 BD⊂ 平面 ABD，所以平面 ABD ⊥平面 ABC，故②正确．因为 AC⊥AB，BD⊥AC，AB∩BD＝B，所以 AC⊥平面 ABD，又 AC⊂ 平面 ACD，所以平面 ACD⊥平面 ABD，故③正确．

高考数学一轮总复习 8.4 直线、平面垂直的判定与性质课件理苏教版

第二十八页，共36页。
• 1．转化思想：垂直关系的转化
• 2．在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线图中不存在，则可通过作辅助线来解决．如有平面垂直时，一般要用性质(xìn第g二十z九页h，共ì3)6页定。理，在一个平面内
• 创新(chuàngxīn)突破7——求解立体几何中的探索性问题
第二十五页，共36页。
• 【训练(xùnliàn)3】 (2013·辽宁卷)如图，AB是圆O的直径，PA垂直圆O所在的平面，C是圆O 上的点．
• (1)求证：BC⊥平面PAC； • (2)设Q为PA的中点，G为△AOC的重心，
求证：QG∥平面PBC.
第二十六页，共36页。
• 证明 ( 1 ) 由 A B 是圆 O 的直径 ( z h íj ìn g ) ，得 AC⊥BC，
第二十页，共36页。
•审题路线 (1)取PA的中点H⇒证明四边形DCEH 是平行四边形⇒CE∥DH⇒根据线面平行的判定定理(dìnglǐ)可证．证•(2明)证(1明)如A图B，⊥取EPFA⇒的证中点明HA，B连⊥接FEGH⇒，D证H明. AB⊥平面因EF为GE⇒为证P明B 的M中N点⊥，平面EFG⇒得到结论．
• 么这两个平面互相垂直．即：a⊂α，a⊥β⇒
.
第三页，共36页。
3．直线与平面所成的角 (1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条斜线和这个平面所成的角． (2)线面角 θ 的范围：θ∈0，π2.
第四页，共36页。
• 辨析感悟 • 1．对线面垂直的理解 • (1)直线a，b，c；若a⊥b，b⊥c，则a∥c.
• 【典例】 (2012·北京卷)如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点．将△ADE沿DE折起到 △A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图2.

(高考密码)2013届高三理数学一轮复习课件第五节直线、平面垂直的判定与性质(人教A)

解:(1)设AC∩BD=G,连接FG,易知G是AC的中点,∵F是EC中点.∴在 △ACE中,FG∥AE, ∵AE⊄平面BFD,FG⊂平面BFD, ∴AE∥平面BFD.
(2)∵平面ABCD⊥平面ABE,BC⊥AB,
平面ABCD∩平面ABE=AB,∴BC⊥平面ABE, 又∵AE⊂平面ABE,∴BC⊥AE, 又∵AE⊥BE,BC∩BE=B,∴AE⊥平面BCE, ∴AE⊥BF,
1 2
解析
解析:∵PA⊥平面ABCD,
DQ⊂平面ABCD, ∴PA⊥DQ. 连接AQ.由PQ⊥QD得AQ⊥QD, ∴Rt△ABQ∽Rt△QCD,令BQ=x,
x a 则 = 2-2x+a2=0, ,即x 2 x a
又∵方程有正根,∴0<a≤1.
答案:①②
3.如图所示,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是∠DAB=60°的菱形,侧面 PAD为正三角形,其所在平面垂直于底面ABCD. (1)求证:AD⊥PB; (2)若E为BC边的中点,能否在棱PC上找到一点F,使平面DEF⊥平面 ABCD,并证明你的结论.
∴平面DHF⊥平面ABCD.
∵H是CG的中点,∴F是PC的中点, ∴在PC上存在一点F,满足平面DEF⊥平面ABCD.
对于探索类问题,书写步骤的格式有两种:
一种是:第一步,探求出点的位置.
第二步,证明符合要求. 第三步,给出明确答案. 第四步,反思回顾.查看关键点、易错点和答题规范. 另一种是:从结论出发,“要使什么成立”,“只须使什么成立”,寻求使结论成立的充分条件,类似于分析法.
1.证明直线和平面垂直的常用方法有:
方法一
利用判定定理
方法二
利用平行线垂直于平面的传递性
(a∥b,a⊥α⇒b⊥α)

高考数学一轮总复习第八章 8.5直线、平面垂直的判定与性质

思维升华
证明线面垂直的常用方法及关键 (1)证明线面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的面垂直的性质. (2)证明线面垂直的关键是证线线垂直，而证明线线垂直，则直的性质.
跟踪训练1 (2019·贵阳模拟)如图，在三棱锥ABCD中，A 平面ABD⊥平面BCD，点E，F(E与A，D不重合)分别在棱 EF⊥AD.
命题点1 直线与平面所成的角例3 如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，
A，B的一动点.
(1)证明：△PBC是直角三角形；
(2)若 PA＝AB＝2，且当直线 PC 与平面 ABC 所成角的正切值 AB 与平面 PBC 所成角的正弦值.
命题点2 与垂直有关的探索性问题例4 如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别是棱BC 点F在棱CC1上，已知AB＝AC，AA1＝3，BC＝CF＝2.
题组三易错自纠
4.(2018·赣州模拟)若l，m为两条不同的直线，α为平面，且
是“m⊥l”的
√A.充分不必要条件 C.充要条件
B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
解析由l⊥α且m∥α能推出m⊥l，充分性成立；若l⊥α且m⊥l，则m∥α或者m⊂α，必要性不成立，因此“m∥α”是“m⊥l”的充分不必要条件，故选A.
D.HG⊥平面AEF
14.(2018·全国Ⅰ)已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为
√3 3
A. 4
23 B. 3
32 C. 4
3 D. 2
拓展冲刺练
15.如图，在直角梯形ABCD中，BC⊥DC，AE⊥DC，且E为 N分别是AD，BE的中点，将三角形ADE沿AE折起，则下列 _①__②__.(写出所有正确说法的序号)

2013届高考数学(理)一轮复习课件：直线、平面垂直的判定及其性质

【思路点拨】 PQ⊥DQ.
(1) 证明 PQ⊥ 平面 DCQ ，只需证 PQ⊥DC 且
(2)设AB＝a，分别计算两棱锥体积，求出体积比．
【尝试解答】 (1)由条件知四边形 PDAQ 为直角梯形．因为 QA⊥平面 ABCD，所以 QA⊥DC，又四边形 ABCD 为正方形，DC⊥AD，又 QA∩AD＝A，所以 DC⊥平面 PDAQ，可得 PQ⊥DC. 2 在直角梯形 PDAQ 中可得 DQ＝PQ＝ PD， PQ⊥QD. 则 2 又 DQ∩DC＝D，所以 PQ⊥平面 DCQ.
【提示】
不可以．如果这无数条直线是平行的，则这条直线和
这个平面的位置关系不确定
2．两条直线和一个平面所成的角相等，这两条直线有什么位置关系？垂直于同一平面的两个平面呢？
【提示】这两条直线平行或相交或异面；垂直于同一个平面的两个平面可能平行，也可能相交
直线与平面垂直的判定与性质
(2011· 辽宁高考)如图 7－5－2，四边形 ABCD 为正方形，QA⊥平面 ABCD，PD∥QA，QA＝ 1 AB＝ PD. 2 (1)证明：PQ⊥平面 DCQ； (2)求棱锥 Q—ABCD 的体积与棱锥 P—DCQ 的体积的比值．
直线、平面垂直的综合应用
如图 7－ 5－6所示，平行四边形 ABCD中，
∠DAB＝60°，AB＝2，AD＝4，将△CBD 沿BD折起到△EBD的位置，使平面EDB⊥平
面ABD.
(1)求证：AB⊥DE； (2)求三棱锥E—ABD的侧面积．
【思路点拨】 (1) 在△ABD中，AB⊥BD → AB⊥平面BDE → AB⊥DE . (2)分别计算各侧面面积求和．
(1)定义：如果两个平面所成的二面角是___________，就说这两个直二面角

2013届高三数学第一轮复习课件8-5直线、平面垂直的判定及性质

(2)∵A1C1 ＝ B1C1 ， M 为 A1B1 的中点， ∴ C1M⊥A1B1 ，又平面 A1B1C1⊥ 平面 AA1B1B ，平面 A1B1C1∩ 平面 AA1B1B＝A1B1， ∴C1M⊥平面AA1B1B，又C1M⊂平面AC1M，∴平面AC1M⊥平面AA1B1B.
题型二平面与平面垂直的判定与性质例2 如图所示，已知△ABC是等边三角形，EC⊥平面ABC，BD⊥平面ABC，且EC、DB在平面ABC的同侧，M为EA的中点，CE＝2BD，求证： (1)平面BDM⊥平面ECA； (2)平面DEA⊥平面ECA.
证明：如图，取AC中点N，连接MN、BN， ∵EC⊥平面ABC， BD⊥平面ABC， ∴EC∥BD. △ECA中，M、N分别是EA、CA中点， ∴MN∥EC，且MN＝EC. 又∵EC＝2BD， ∴MN∥BD且MN＝BD. ∴四边形MNBD是平行四边形．
题型一直线与平面垂直的判定与性质例1 已知直角△ABC所在平面外一点S，且SA＝SB ＝SC，D为斜边AC中点． (1)求证：SD⊥面ABC； (2)若AB＝BC，求证：BD⊥面SAC.
证明：(1)如图，取AB中点E，连接SE、DE，在 Rt△ABC 中， D 、 E 分别为 AC 、 AB 的中点，故 DE∥BC，且DE⊥AB， ∵SA＝SB，∴△SAB为等腰三角形，∴SE⊥AB. ∵SE⊥AB，DE⊥AB，SE∩DE＝E， ∴AB⊥面SDE. 而SD⊂面SDE，∴AB⊥SD. 在△SAC中，∵SA＝SC，D为AC中点，∴SD⊥AC. ∵SD⊥AC，SD⊥AB，AC∩AB＝A，∴SD⊥面ABC.
4．(2012·山东枣庄八中模拟)如图，三棱柱A1B1C1 － ABC 的三视图中，正 ( 主 ) 视图和侧 ( 左 ) 视图是全等的矩形，俯视图是等腰直角三角形，点 M 是 A1B1的中点． (1)求证：B1C∥平面AC1M； (2)求证：平面AC1M⊥平面AA1B1B.

高三数学一轮复习第八章立体几何第四节直线平面垂直的判定与性质课件理

(1)设M是PC上的一点,证明:平面MBD⊥平面PAD; (2)求四棱锥P-ABCD的体积.
解析 (1)证明:在△ABD中, ∵AD=4,BD=4 3,AB=8,∴AD2+BD2=AB2. ∴AD⊥BD. 又平面PAD⊥平面ABCD, 平面PAD∩平面ABCD=AD,BD⊂平面ABCD, ∴BD⊥平面PAD. 又BD⊂平面MBD,∴平面MBD⊥平面PAD. (2)过点P作PO⊥AD于O, ∵平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD, ∴PO⊥平面ABCD. 即PO为四棱锥P-ABCD的高.
理数
课标版
第四节直线、平面垂直的判定与性质
教材研读
1.直线与平面垂直 (1)直线和平面垂直的定义直线l与平面α内的① 任意一条直线都垂直,就说直线l与平面α互相垂直. (2)直线与平面垂直的判定定理及性质定理
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判定一条直线与一个平面内的② 两条相交直线都垂直
定理 ,则该直线与此平面垂直
1.(2016浙江,2,5分)已知互相垂直的平面α,β交于直线l.若直线m,n满足m ∥α,n⊥β,则 ( ) A.m∥l B.m∥n C.n⊥l D.m⊥n 答案 C 对于A,m与l可能平行或异面,故A错;对于B、D,m与n可能平行、相交或异面,故B、D错;对于C,因为n⊥β,l⊂β,所以n⊥l,故C正确.故选C.
(2)若AB=5,AC=6,AE= 5 ,OD'=2 2 ,求五棱锥D'-ABCFE的体积.
4
解析 (1)证明:由已知得AC⊥BD,AD=CD.
又由AE=CF得 A E = C F,故AC∥EF. (2分)
AD CD
由此得EF⊥HD,EF⊥HD',所以AC⊥HD'. (4分)

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