二项分布经典例题+练习题培训讲学

二项分布经典例题+练

习题

二项分布

1．n 次独立重复试验

一般地，由n 次试验构成，且每次试验相互独立完成，每次试验的结果仅有两种对立的状态，即A 与A ，每次试验中()0P A p =>。我们将这样的试验称为n 次独立重复试验，也称为伯努利试验。

（1）独立重复试验满足的条件 第一：每次试验是在同样条件下进行的；第二：各次试验中的事件是互相独立的；第三：每次试验都只有两种结果。 （2）n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率

()P X k ==(1)k k

n k n

C p p --。 2．二项分布

若随机变量X 的分布列为()P X k ==k k n k n C p q -，其中

0 1.1,0,1,2,,,p p q k n <<+==则称X 服从参数为,n p 的二项分布，记作(,)X

B n p 。

1．一盒零件中有9个正品和3个次品，每次取一个零件，如果取出的次品不再放回，求在取得正品前已取出的次品数X 的概率分布。

2.一名学生每天骑车上学，从他家到学校的途中有6个交通岗，假设他在各个

交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是3

1

.

(1)设ξ为这名学生在途中遇到红灯的次数，求ξ的分布列； (2)设η为这名学生在首次停车前经过的路口数，求η的分布列； (3)求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率. 3.甲乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为

2

1

，乙每次击中目标的概率为3

2

.

（1）记甲击中目标的此时为ξ，求ξ的分布列及数学期望；

（2）求乙至多击中目标2次的概率；

（3）求甲恰好比乙多击中目标2次的概率.

【巩固练习】

1.已知箱中装有4个白球和5个黑球,且规定:取出一个白球的2分,取出一个黑

球的1分.现从该箱中任取(无放回,且每球取到的机会均等)3个球,记随机变量X为取出3球所得分数之和.

(Ⅰ)求X的分布列;

(Ⅱ)求X的数学期望E(X).

2甲、乙两人轮流投篮,每人每次投一球,.约定甲先投且先投中者获胜,一直到有

,乙每人获胜或每人都已投球3次时投篮结束.设甲每次投篮投中的概率为1

3

,且各次投篮互不影响.

次投篮投中的概率为1

2

(Ⅰ) 求甲获胜的概率;

(Ⅱ) 求投篮结束时甲的投篮次数 的分布列与期望

3．设篮球队A与B进行比赛，每场比赛均有一队胜，若有一队胜4场则比

，试求需要比赛场赛宣告结束，假定,A B在每场比赛中获胜的概率都是1

2

数的期望．

3．电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况,随机抽取了100名观众进行调查.下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图;

将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”. (Ⅰ)根据已知条件完成下面的22 列联表,并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关?

(Ⅱ)将上述调查所得到的频率视为概率.现在从该地区大量电视观众中,采用随机抽

样方法每次抽取1名观众,抽取3次,记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为X .若每次抽取的结果是相互独立的,求X 的分布列,期望()E X 和方差

()D X .

5.某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考试，否则即被淘汰，已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为5

4、5

3、5

2，且各轮问题能否正确回答互不影响. （Ⅰ）求该选手被淘汰的概率；

（Ⅱ）该选手在选拔中回答问题的个数记为ξ，求随机变量ξ的分布列与数数期望.（注：本小题结果可用分数表示）

A

B

C60?

湖北理工学湖北师范学

9

9 6515

16

17

89

12589

34 6

6. 一批产品共10件，其中7件正品，3件次品，每次从这批产品中任取一件，在下述三种情况下，分别求直至取得正品时所需次数ξ的概率分别布. (1)每次取出的产品不再放回去；

（2）每次取出的产品仍放回去；

（3）每次取出一件次品后，总是另取一件正品放回到这批产品中.

7. 设b和c分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，用随机变量ξ表示方程

x2+bx+c=0实根的个数（重根按一个计）．

（I）求方程x2+bx+c=0有实根的概率；

（II）求ξ的分布列和数学期望；

8.（本题满分12分）某商场为吸引顾客消费推出一项优惠活动.活

动规则如下：消费额每满100元可转动如图所示的转盘

一次，并获得相应金额的返券，假定指针等可能地停在任

一位置. 若指针停在A区域返券60元；停在B区域返券30元；停在C区域不返券. 例如：消费218元，可转动转盘2次，所获得的返券金额是两次金额之和.

（I）若某位顾客消费128元，求返券金额不低于30元的概率；

（II）若某位顾客恰好消费280元，并按规则参与了活动，他获得返券的金额记为X（元），求随机变量X的分布列和数学期望.

9. (本题满分12分)中国?黄石第三届国际矿冶文化旅游节将于2012年8月20日在黄石铁山举行，为了搞好接待工作，组委会准备在湖北理工学院和湖北师范学院分别招募8名和12名志愿者，将这20名志愿者的身高编成如下茎叶图（单位：cm）

若身高在175cm以上（包括175cm）定

义为“高个子”，身高在175cm以下（不包括

175cm）定义为“非高个子”，且只有湖北师

范学院的“高个子”才能担任“兼职导游”。

（1）根据志愿者的身高编茎叶图指出湖北师范学院志愿者身高的中位数；

（2）如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中抽取5人，再从这5人中选2人，那么至少有一人是“高个子”的概率是多少？

（3）若从所有“高个子”中选3名志愿者，用ξ表示所选志愿者中能担任“兼职导游”的人数，试写出ξ的分布列，并求ξ的数学期望。

10.某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数X依次为1,2，……，8，其中X≥5为标准A，X≥3为标准B，已知甲厂执行标准A生产该产品，产品的零售价为6元/件；乙厂执行标准B生产该产品，产品的零售价为4元/件，假定甲、乙两厂得产品都符合相应的执行标准

（I）已知甲厂产品的等级系数X1的概率分布列如下所示：

x 5 6 7 8

1

P 0．4 a b 0．1

且X1的数字期望EX1=6，求a，b的值；

（II）为分析乙厂产品的等级系数X2，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：

3 5 3 3 8 5 5 6 3 4

6 3 4

7 5 3 4

8 5 3

8 3 4 3 4 4 7 5 6 7

用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数X2的数学期望.

11.受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业产生每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关，某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年，现从该厂已售出的两种品牌轿车中随机抽取50辆，统计书数据如下：

将频率视为概率，解答下列问题：

（I ）从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求首次出现故障发生在保修期内的概率；

（II ）若该厂生产的轿车均能售出，记住生产一辆甲品牌轿车的利润为

1X ，生产一辆乙品牌轿车的利润为2X ，分别求1X ，2X 的分布列；

（III ）该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产

其中一种品牌轿车，若从经济效益的角度考虑，你认为应该产生哪种品牌的轿车？说明理由。

巩固练习答案

1.【解析】本题主要考察分布列,数学期望等知识点.

(Ⅰ) X 的可能取值有:3,4,5,6.

35395

(3)42

C P X C ===

; 21

5439

20

(4)42C C P X C ===;

12543

915(5)42C C P X C ===; 3

4392

(6)42

C P X C ===. 故,所求X 的分布列为

X 3

4

5

6

P

542

20104221

= 1554214

= 214221

=

(Ⅱ) 所求X 的数学期望E (X )为:

E (X )=6

4

13

()3

i i P X i =?==

∑. 【答案】(Ⅰ)见解析;(Ⅱ) 133.

2.【考点定位】本题考查离散随机变量的分布列和期望与相互独立事件的概率,

考查运用概率知识解决实际问题的能力,相互独立事件是指两事件发生的概率互不影响,注意应用相互独立事件同时发生的概率公式. 解:设,k k A B 分别表示甲、乙在第k 次投篮投中,则

()13k P A =,()1

2

k P B =, ()1,2,3k ∈

(1)记“甲获胜”为事件C,由互斥事件有一个发生的概率与相互独立事件同时发生的概率计算公式知,()()()()

111211223P C P A P A B A P A B A B A =++

()()()

()()()()()

()111211223P A P A P B P A P A P B P A P B P A =++

2

2

12112113323323????=+??+?? ? ????? 11113

392727

=++

= (2)ξ的所有可能为:1,2,3

由独立性知:()()()

1111212

13323

P P A P A B ξ==+=+?=

()()()

22

1121122211212

2323329

P P A B A P A B A B ξ????==+=??+= ? ?????

()(

)

2

2

1122211

3329

P P A B A B ξ????==== ? ?????

综上知,ξ有分布列

从而,22113

1233999

E ξ=?+?+?=(次)

3. 解：（1）事件“4X =”表示，A 胜4场或B 胜4场（即B 负4场或A 负4场），且两两互斥．

4400

044411112(4)()()()()222216

P X C C ==??+??=；

（2）事件“5X =”表示，A 在第5场中取胜且前4场中胜3场，或B 在第5场中取胜且前4场中胜3场（即第5场A 负且4场中A 负了3场），且这两者又是互斥的，所以

33431141441111114

(5)()()()()22222216

P X C C --==+=

（3）类似地，事件“6X =”、 “7X =”的概率分别为

33532252551111115

(6)()()()()22222216P X C C --==+=，

33633363661111115

(7)()()()()22222216

P X C C --==+=

比赛场数的分布列为

故比赛的期望为()4567 5.812516161616

E X =?+?+?+?=（场）

这就是说，在比赛双方实力相当的情况下，平均地说，进行6场才能分出胜负．

4.【答案及解析】

(I)由频率颁布直方图可知,在抽取的100人中,“体育迷”有25人,从而2×2列联表如下:

由2×2列联表中数据代入公式计算,得:

因为3.030<3.841,所以,没有理由认为“体育迷”与性别有关.

(II)由频率颁布直方图知抽到“体育迷”的频率为0.25,将频率视为概率,即从观众中抽取一名“体育迷”的概率为

1

4

,由题意, ,从而X 的分布列为:

【点评】本题主要考查统计中的频率分布直方图、独立性检验、离散型随机变量的分布列,期望()E X 和方差()D X ,考查分析解决问题的能力、运算求解能力,难度适中.准确读取频率分布直方图中的数据是解题的关键.

5.（Ⅰ）解法一：记“该选手能正确回答第i 轮的问题”的事件为(123)i A i =，

，， 则14()5P A =，23()5P A =，32

()5

P A =，

∴该选手被淘汰的概率

112223112123()()()()()()()P P A A A A A A P A P A P A P A P A P A =++=++

142433101

555555125

=+?+??=

． （Ⅰ）解法二：记“该选手能正确回答第i 轮的问题”的事件为(123)i A i =，

，， 则14()5P A =，23()5P A =，32

()5

P A =．

∴该选手被淘汰的概率

1231231()1()()()P P A A A P A P A P A =-=-

432101

1555125

=-??=

． （Ⅱ）ξ的可能值为123，，，11

(1)()5P P A ξ===，

1212428

(2)()()()5525P P A A P A P A ξ====?=

， 12124312

(3)()()()5525

P P A A P A P A ξ====?=

． ξ∴的分布列为

181257

1235252525

E ξ∴=?+?+?=

． 6.（1）X 的所有可能值为1，2，3，4。X 的分布列为 P(X=1)=7/10，

P(X=2)=3/10×7/9=7/30， P(X=3)=3/10×2/9×7/8=7/120， P(X=4)=3/10×2/9×1/8=1/120。

（2）X 的所有可能值为1，2，3，4。X 的分布列为 P(X=k)= 137

(

).1010

k - ，k=1，2，3，…… （3）X 的所有可能值为1，2，3，4。X 的分布列为 P(X=1)=7/10，

P(X=2)=3/10×8/10=6/25，P(X=3)=3/10×2/10×9/10=27/500，

P(X=4)=3/10×2/10×1/10=3/500。

7. 解：（I ）由题意知，本题是一个等可能事件的概率， 试验发生包含的基本事件总数为6×6=36，

满足条件的事件是使方程有实根，则△=b 2-4c≥0，即b≥2c 下面针对于c 的取值进行讨论

当c=1时，b=2，3，4，5，6； 当c=2时，b=3，4，5，6； 当c=3时，b=4，5，6； 当c=4时，b=4，5，6； 当c=5时，b=5，6； 当c=6时，b=5，6，

目标事件个数为5+4+3+3+2+2=19， 因此方程x 2+bx+c=0有实根的概率为

1936

（II ）由题意知用随机变量ξ表示方程x 2+bx+c=0实根的个数得到ξ=0，1，2

根据第一问做出的结果得到 则P(ξ=0)=

1736，P(ξ=1)= 236=118，P(ξ=2)= 1736

， ∴ξ的分布列为

∴ξ的数学期望Eξ=0×

1736+1×118+2×17

36

=1， 8.设指针落在A,B,C 区域分别记为事件A,B,C.

则111

(),(),()632

P A P B P C ===.

…………

（Ⅰ）若返券金额不低于30元，则指针落在A 或B 区域.

111

()()632P P A P B ∴=+=+=

即消费128元的顾客，返券金额不低于30元的概率是1

2

. （Ⅱ）由题意得，该顾客可转动转盘2次.

随机变量X 的可能值为0，30，60，90，120.

111(0);

224111

(30)2;

23311115

(60)2;

263318111

(90)2;

369111

(120).

6636P X P X P X P X P X ==?===??===??+?===??===?=

所以，随机变量X 的分布列为：

P

0 30 60 90 120 X

14 13 518 19 136

其数学期望

11511

030609012040

4318936EX =?+?+?+?+?=

9、解：（1）根据志愿者的身高编茎叶图知湖北师范学院志愿者身高的中位数为：

5.1682

169

168=+.…2分 （2）由茎叶图可知，“高个子”有8人，“非高个子”有12人，

∴按照分层抽样抽取的5人中“高个子”为8

5220

?

=人，“非高个子”为12

5320

?

=人； 则至少有1人为高个子的概率P ＝1－23257

10

C C =……6分

（3）由题可知：湖北师范学院的高个子只有3人，则ξ的可能取值为0,1，2,3；

故353810(0)56C P C ξ===，21533830

(1)56C C P C ξ===，12533

815(2)56C C P C ξ===，33381

(3)56

C P C ξ===

， …………11分

即ξ的分布列为：

ξ

0 1 2 3 P

1056 3056 1556 156

E ζ＝01056?＋13056?＋21556?＋3156?＝9

8

。

10. 解：（I ）因为16,50.46780.16,67 3.2.EX a b a b =?+++?=+=所以即 又由X 1的概率分布列得0.40.11,0.5.a b a b +++=+=即

由67 3.2,0.3,

0.5.0.2.

a b a a b b +==????+==??解得 （II ）由已知得，样本的频率分布表如下：

2X 3 4 5 6 7 8 f

0．3

0．2

0．2

0．1

0．1

0．1

用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，可得等级系数X 2的概率分布列如下：

2

X 3 4 5 6 7 8 P 0．3

0．2

0．2

0．1

0．1

0．1

所以

22222223(3)4(4)5(5)6(6)7(7)8(8)

EX P X P X P X P X P X P X ==+=+=+=+=+=30.340.250.260.170.180.1 4.8.=?+?+?+?+?+?= 即乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8. （III ）乙厂的产品更具可购买性，理由如下：

因为甲厂产品的等级系数的期望数学等于6，价格为6元/件，所以其性价比为

6

1.6

= 因为乙厂产吕的等级系数的期望等于4.8，价格为4元/件，所以其性价比

为

4.8

1.2.4

=据此，乙厂的产品更具可购买性。 11. （I ）首次出现故障发生在保修期内的概率为231

5010

P +==

（II ）随机变量1X 的分布列为 随机变量2X 的分布列为

（III ）1139

123 2.86255010EX =?+?+?=(万元) 219

1.8

2.9 2.791010

EX =?+?=(万元)

12EX EX > 所以应该生产甲品牌汽车。