正态分布及其经典习题和答案
课时作业12：§2.4 正态分布
§2.4 正态分布一、选择题1．关于正态分布N (μ，σ2)，下列说法正确的是( )A ．随机变量落在区间长度为3σ的区间之外是一个小概率事件B ．随机变量落在区间长度为6σ的区间之外是一个小概率事件C ．随机变量落在(－3σ，3σ)之外是一个小概率事件D ．随机变量落在(μ－3σ，μ＋3σ)之外是一个小概率事件2．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N (2，σ2)(σ>0)，若ξ在(0,2)内取值的概率为0.4，则ξ在(－∞，4)内取值的概率为( )A ．0.1B ．0.2C ．0.8D ．0.93．随机变量ξ～N (2,10)，若ξ落在区间(－∞，k )和(k ，＋∞)的概率相等，则k 等于( )A ．1B ．10C ．2 D.104．设两个正态分布N (μ1，σ21)(σ1＞0)和N (μ2，σ22)(σ2＞0)的密度函数图象如图所示，则有( )A ．μ1＜μ2，σ1＜σ2B ．μ1＜μ2，σ1＞σ2C ．μ1＞μ2，σ1＜σ2D ．μ1＞μ2，σ1＞σ25．设随机变量ξ～N (0,1)，若P (ξ＞1)＝p ，则P (－1＜ξ＜0)＝( )A ．12＋p B ．1－p C ．1－2p D ．12－p 二、填空题6．设随机变量ξ服从正态分布N (2,9)，若P (ξ＞c ＋1)＝P (ξ＜c －1)，则c 的值为________．7．已知随机变量X 服从正态分布N (0，σ2)，且P (－2≤X ≤0)＝0.4，则P (X ＞2)＝________.8．据抽样统计，在某市的公务员考试中，考生的综合评分X 服从正态分布N (60,102)，考生共10 000人，若一考生的综合评分为80分，则该考生的综合成绩在所有考生中的名次是第________名．三、解答题9．设X～N(5,1)，求P(6＜X≤7)．10．某年级的一次信息技术成绩近似服从正态分布N(70,100)，如果规定低于60分为不及格，不低于90分为优秀，那么成绩不及格的学生约占多少？成绩优秀的学生约占多少？(参考数据：P(μ－σ＜ξ≤μ＋σ)＝0.682 6，P(μ－2σ＜ξ≤μ＋2σ)＝0.954 4)．11．假设某省今年高考考生成绩ξ服从正态分布N(500,1002)，现有考生25 000名，计划招生10 000名，试估计录取分数线．参考答案1．【解析】∵P(μ－3σ＜X＜μ＋3σ)＝0.9974，∴P (X ＞μ＋3σ或X ＜μ－3σ)＝1－P (μ－3σ＜X ＜μ＋3σ)＝1－0.9974＝0.0026.∴随机变量落在(μ－3σ，μ＋3σ)之外是一个小概率事件．【答案】 D2．【解析】 ∵μ＝2，∴P (0<ξ<2)＝P (2<ξ<4)＝0.4，∴P (0<ξ<4)＝0.8.∴P (ξ<0)＝12(1－0.8)＝0.1，∴P (ξ<4)＝0.9. 【答案】 D3．【解析】 ∵区间(－∞，k )和(k ，＋∞)关于x ＝k 对称．∴x ＝k 为正态曲线的对称轴，∴k ＝2.【答案】 C4．【解析】 σ越小，曲线越“瘦高”，故σ1＜σ2，μ为对称轴的位置，由图易知μ1＜μ2.【答案】 A5．【解析】 如图，P (ξ＞1)表示x 轴、x ＞1与正态密度曲线围成区域的面积，由正态密度曲线的对称性知：x 轴、x ＜－1与正态密度曲线围成区域的面积也为p ，所以P (－1＜ξ＜0)＝1－2p 2＝12－p .【答案】 D6．【解析】 c ＋1与c －1关于ξ＝2对称，(c ＋1)＋(c －1)2＝2，∴c ＝2. 【答案】 27．【解析】 P (X ＞2)＝12[1－2P (－2≤X ≤0)]＝0.5－0.4＝0.1. 【答案】 0.18．【解析】 依题意，P (60－20＜x ≤60＋20)＝0.9544，P (X ＞80)＝12(1－0.9544)＝0.0228， 故成绩高于80分的考生人数为10000×0.0228＝228(人)．所以该生的综合成绩在所有考生中的名次是第229名．【答案】 2299．解 由已知得P (4＜X ≤6)＝0.682 6，P (3＜X ≤7)＝0.954 4.又∵正态曲线关于直线x ＝u ＝5对称∴P (3＜X ≤4)＋P (6＜X ≤7)＝0.954 4－0.682 6＝0.271 8.由对称性知P (3＜X ≤4)＝P (6＜X ≤7)．所以P (6＜X ≤7)＝0.271 82＝0.135 9. 10．解 由题意得：μ＝70，σ＝10，P (μ－σ＜ξ≤μ＋σ)＝0.682 6，P (μ－2σ＜ξ≤μ＋2σ)＝0.9544.(1)P (ξ＜60)＝12－12P (60＜ξ≤80) ＝12－12×0.682 6 ＝0.158 7.(2)P (ξ≥90)＝12－12P (50＜ξ≤90) ＝12－12×0.954 4 ＝0.022 8.答：成绩不及格的学生约占15.87%，成绩优秀的学生约占2.28%.11．解 这是一个实际问题，由题知其本质就是一个“正态分布下求随机变量在某一范围内取值的概率”问题．设分数线为a ，那么分数超过a 的概率应为录取率，即P (ξ≥a )＝10 00025 000＝0.4， 因为ξ～N (500,1002)，所以P (ξ≥a )＝P (ξ－500100≥a －500100) ＝1－P (ξ－500100＜a －500100)＝1－Φ(a －500100)． 于是有Φ(a －500100)＝1－P (ξ≥a )＝1－0.4＝0.6. 从标准正态分布表中查得Φ(0.25)＝0.598 7≈0.6，故a －500100≈0.25，即a ≈525. 由此可以估计录取分数线约为525分.。
【高中】对数正态分布经典练习题
【高中】对数正态分布经典练习题
在高中数学中，对数正态分布是一个常见的概率分布。
它通常
用于描述一些随机变量的分布情况，特别是在金融、生物学和环境
科学等领域。
本文将介绍一些对数正态分布的经典练题，帮助提高
学生对该分布的理解和应用能力。
练题一
某市的空气质量指数（AQI）服从对数正态分布，其均值为10，标准差为2。
现有一份空气质量报告显示该市二氧化氮（NO2）浓
度的对数值为8。
问：
1. 请计算该市NO2浓度大于10的概率。
2. 如果将该市的AQI限制在20以下，问NO2浓度大于20的
概率是多少？
练题二
一批电子元件的寿命（以小时计）服从对数正态分布，均值为1000，标准差为100。
现从中随机抽取一件电子元件，则它的寿命
大于1200 的概率是多少？
练题三
某家公司的年利润增长率服从对数正态分布，均值为5%，标
准差为3%。
问：
1. 请计算该公司年利润增长率大于10%的概率。
2. 如果将该公司的年利润增长率限制在8%以下，问年利润增
长率大于8%的概率是多少？
练题四
某品牌手机的售价（以元计）服从对数正态分布，均值为5000，标准差为200。
现从中随机抽取一部手机，则它的售价大于6000的概率是多少？
以上是一些对数正态分布的经典练习题，希望能够帮助学生更
好地理解和应用该分布。
通过这些练习，学生可以提升自己对概率
统计的掌握能力，为将来在相关领域的研究和应用打下坚实的基础。
(完整版)正态分布习题与详解(非常有用-必考点)
1. 若x ～N (0,1),求(l)P (-2.32<x <1.2)；(2)P (x >2). 解：(1)P (-2.32<x <1.2)=Φ(1.2)-Φ(-2.32)=Φ(1.2)-[1-Φ(2.32)]=0.8849-(1-0.9898)=0.8747.(2)P (x >2)=1-P (x <2)=1-Φ(2)=l-0.9772=0.0228. 2利用标准正态分布表，求标准正态总体(1)在N(1,4)下，求)3(F （2）在N （μ，σ2）下，求Ｆ（μ－σ，μ＋σ）； 解：（１）)3(F ＝)213(-Φ＝Φ（1）＝0.8413 （２）Ｆ（μ＋σ）＝)(σμσμ-+Φ＝Φ（1）＝0.8413Ｆ（μ－σ）＝)(σμσμ--Φ＝Φ（－1）＝１－Φ（1）＝１－0.8413＝0.1587 Ｆ（μ－σ，μ＋σ）＝Ｆ（μ＋σ）－Ｆ（μ－σ）＝0.8413－0.1587＝0.6826 3某正态总体函数的概率密度函数是偶函数，而且该函数的最大值为π21，求总体落入区间（－1.2，0.2）之间的概率 Φ（0.2）=0.5793, Φ（1.2）=0.8848]解：正态分布的概率密度函数是),(,21)(222)(+∞-∞∈=--x ex f x σμσπ，它是偶函数，说明μ＝0，)(x f 的最大值为)(μf ＝σπ21，所以σ＝1，这个正态分布就是标准正态分布 ( 1.20.2)(0.2)( 1.2)(0.2)[1(1.2)](0.2)(1.2)1P x -<<=Φ-Φ-=Φ--Φ=Φ+Φ-0.57930.884810.4642=+-=4.某县农民年平均收入服从μ=500元，σ=200元的正态分布 1）求此县农民年平均收入在500520元间人数的百分比；（2）如果要使此县农民年平均收入在（a a +-μμ,）内的概率不少于0.95，则a 至少有多大？[Φ（0.1）=0.5398, Φ（1.96）=0.975] 解：设ξ表示此县农民年平均收入，则)200,500(~2N ξ 520500500500(500520)()()(0.1)(0)0.53980.50.0398200200P ξ--<<=Φ-Φ=Φ-Φ=-=（2）∵()()()2()10.95200200200a a aP a a μξμ-<<+=Φ-Φ-=Φ-≥，()0.975200a ∴Φ≥ 查表知： 1.96392200aa ≥⇒≥1设随机变量(3,1),若,,则P(2<X<4)= ( A)( B)l —pC ．l-2pD ．【答案】 C 因为,所以P(2<X<4)=,选 C ．2．(2010·新课标全国理)某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为( )A ．100B ．200C ．300D ．400[答案] B[解析] 记“不发芽的种子数为ξ”，则ξ～B (1 000，0.1)，所以E (ξ)＝1 000×0.1＝100，而X ＝2ξ，故E (X )＝E (2ξ)＝2E (ξ)＝200，故选B.3．设随机变量ξ的分布列如下：其中a ，b ，c 成等差数列，若E (ξ)＝13，则D (ξ)＝( )A.49 B ．－19 C.23 D.59 [答案] D[解析] 由条件a ，b ，c 成等差数列知，2b ＝a ＋c ，由分布列的性质知a ＋b ＋c ＝1，又E (ξ)＝－a ＋c ＝13，解得a ＝16，b ＝13，c ＝12，∴D (ξ)＝16×⎝⎛⎭⎫－1－132＋13⎝⎛⎭⎫0－132＋12⎝⎛⎭⎫1－132＝59. 4．(2010·上海松江区模考)设口袋中有黑球、白球共7个，从中任取2个球，已知取到白球个数的数学期望值为67，则口袋中白球的个数为( )A ．3 B ．4 C ．5 D ．2[答案] A[解析] 设白球x 个，则黑球7－x 个，取出的2个球中所含白球个数为ξ，则ξ取值0,1,2， P (ξ＝0)＝C 7－x 2C 72＝(7－x )(6－x )42，P (ξ＝1)＝x ·(7－x )C 72＝x (7－x )21，P (ξ＝2)＝C x 2C 72＝x (x －1)42，∴0×(7－x )(6－x )42＋1×x (7－x )21＋2×x (x －1)42＝67，∴x ＝3.5．小明每次射击的命中率都为p ，他连续射击n 次，各次是否命中相互独立，已知命中次数ξ的期望值为4，方差为2，则p (ξ>1)＝( )A.255256B.9256C.247256D.764 [答案] C[解析] 由条件知ξ～B (n ，P )，∵⎩⎪⎨⎪⎧ E (ξ)＝4，D (ξ)＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧np ＝4np (1－p )＝2， 解之得，p ＝12，n ＝8，∴P (ξ＝0)＝C 80×⎝⎛⎭⎫120×⎝⎛⎭⎫128＝⎝⎛⎭⎫128， P (ξ＝1)＝C 81×⎝⎛⎭⎫121×⎝⎛⎭⎫127＝⎝⎛⎭⎫125， ∴P (ξ>1)＝1－P (ξ＝0)－P (ξ＝1) ＝1－⎝⎛⎭⎫128－⎝⎛⎭⎫125＝247256.5已知三个正态分布密度函数φi (x )＝12πσie －(x －μi )22σi 2(x ∈R ，i ＝1,2,3)的图象如图所示，则( )A ．μ1<μ2＝μ3，σ1＝σ2>σ3B ．μ1>μ2＝μ3，σ1＝σ2<σ3C ．μ1＝μ2<μ3，σ1<σ2＝σ3D ．μ1<μ2＝μ3，σ1＝σ2<σ3 [答案] D[解析] 正态分布密度函数φ2(x )和φ3(x )的图象都是关于同一条直线对称，所以其平均数相同，故μ2＝μ3，又φ2(x )的对称轴的横坐标值比φ1(x )的对称轴的横坐标值大，故有μ1<μ2＝μ3.又σ越大，曲线越“矮胖”，σ越小，曲线越“瘦高”，由图象可知，正态分布密度函数φ1(x )和φ2(x )的图象一样“瘦高”，φ3(x )明显“矮胖”，从而可知σ1＝σ2<σ3.6①命题“”的否定是:“”;②若,则的最大值为4;③定义在R 上的奇函数满足,则的值为0;④已知随机变量服从正态分布,则;其中真命题的序号是________(请把所有真命题的序号都填上).【答案】①③④ ①命题“”的否定是:“”;所以①正确.②若,则,即.所以,即,解得,则的最小值为4;所以②错误.③定义在R上的奇函数满足,则,且,即函数的周期是4.所以;所以③正确.④已知随机变量服从正态分布,则,所以;所以④正确,所以真命题的序号是①③④.7、在区间上任取两数m和n,则关于x的方程有两不相等实根的概率为___________.【答案】由题意知要使方程有两不相等实根,则,即.作出对应的可行域,如图直线,,当时,,所以,所以方程有两不相等实根的概率为.8、下列命题:` (1);(2)不等式恒成立,则;(3)随机变量X服从正态分布N(1,2),则(4)已知则.其中正确命题的序号为____________.【答案】(2)(3) (1),所以(1)错误.(2)不等式的最小值为4,所以要使不等式成立,则,所以(2)正确.(3)正确.(4),所以(4)错误,所以正确的为(2)(3).2已知某篮球运动员2012年度参加了40场比赛,现从中抽取5场,用茎叶图统计该运动员5场中的得分如图所示,则该样本的方差为（）A．26 B．25 C．23 D．18【答案】D样本的平均数为23,所以样本方差为,选D．3有一个容量为的样本,其频率分布直方图如图所示,据图估计,样本数据在内的频数为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 样本数据在之外的频率为,所以样本数据在内的频率为,所以样本数据在的频数为,选 C ．4．（2013年临沂市高三教学质量检测考试理科数学）如图所示,在边长为l 的正方形OABC 中任取一点P,则点P 恰好取自阴影部分的概率为 （ ）A ．B ．C ．D ．【答案】 【答案】B 根据积分的应用可知所求阴影部分的面积为,所以由几何概型公式可得点P 恰好取自阴影部分的概率为,选B ．5从集合{}1,2,3,4,5中随机选取3个不同的数,这个数可以构成等差数列的概率为______.【答案】25从集合{}1,2,3,4,5中随机选取3个不同的数有3510C =种.则3个数能构成等差数列的有,1,2,3;2,3,4;3,4,5;1,3,5;有4种,所以这个数可以构成等差数列的概率为42105=.。
正态分布习题(1)
注：正态分布的定义与性质要牢记。
正态分布典型例题解答
4. 设随机变量 X
N (0,1)，求随机变量 Y 1 2 | X |的概率密度。
返回
1 y 解：当 y 1时， FY ( y ) P{Y y} P{1 2 | X | y} P X 2 y 1 1 y P X P X 2 2 y 1 1 y 1 y 1 2 2 2 2 2 1 y 1 1 y f ( y ) 2 所以， Y 2 2 2
正态分布典型例题解答
1. 填空 (1) 设随机变量 X (2) (3)
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(4) (5) (6) 设 X , Y 服从相同分布 N (, 2 )，则 E (aX bY )(aX bY ) ______.
N (0,1)，则 P{| X | 1} _______. 1 设随机变量 X N (20, 22 )，若 P{ X a} ，则 a ______. 2 2 1 ( x85) e ,( x )，则 P{X 5} ____. 随机变量 X 的概率密度 f ( x) 8 2 设随机变量 X 与 Y 独立且都服从 N (, ) ，则 2 X Y 3 _______. 2 2 设随机变量 X N (3, 4 )，则 E ( X ) ______.
2. 某工厂生产的电子管的寿命 X(小时)服从 N (160, 2 ), 若要求概率 P{120 X 200} 0.80
3. 某物体的温度T(。F)是一个随机变量，已知 T
足 S 5 (T 32) ，求S的概率密度。 解答
正态分布(习题版)
正态分布（共62道题）1．在某次学科知识竞赛中（总分100分），若参赛学生成绩ξ服从N（80，σ2）（σ＞0），若ξ在（70，90）内的概率为0.8，则落在[90，100]内的概率为（）A．0.05B．0.1C．0.15D．0.22．设X～N（1，1），其正态分布密度曲线如图所示，那么向正方形ABCD中随机投掷10000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值是（）（注：若X～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）＝68.26%，P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）＝95.44%）A．7539B．6038C．7028D．65873．已知某次数学考试的成绩服从正态分布N（102，42），则114分以上的成绩所占的百分比为（）（附P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）＝0.9544，P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）＝0.9974）A．0.3%B．0.23%C．1.3%D．0.13%4．2017年1月我市某校高三年级1600名学生参加了2017届全市高三期末联考，已知数学考试成绩X～N（100，σ2）（试卷满分150分）．统计结果显示数学考试成绩在80分到120分之间的人数约为总人数的，则此次期末联考中成绩不低于120分的学生人数约为（）A．120B．160C．200D．2405．随机变量ξ服从标准正态分布N（0，1），已知P（ξ≤﹣1.96）＝0.025，则P（|ξ|＜1.96）等于（）A．0.025B．0.050C．0.950D．0.9756．已知随机变量ξ服从正态分布N（μ，16），且P（ξ＜﹣2）+P（ξ≤6）＝1，则μ＝（）A．﹣4B．4C．﹣2D．27．某市组织一次高三调研考试，考试后统计的数学成绩服从正态分布，其密度函数为f（x）＝，则下列命题中不正确的是（）A．该市在这次考试的数学平均成绩为80分B．分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同C．分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同D．该市这次考试的数学成绩标准差为1027．设随机变量X～N（3，σ2），若P（X＞a）＝0.2，则P（X＞6﹣a）＝．28．某一部件由四个电子元件按如图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3或元件4正常工作，则部件正常工作．设四个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布N（1000，502），且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为．29．某超市经营的某种包装优质东北大米的质量X（单位：kg）服从正态分布N（25，0.04），任意选取一袋这种大米，质量在24.8～25.4kg的概率为．（附：若Z～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜Z＜μ+2σ）＝0.6826，P（μ﹣σ＜Z＜μ+2σ）＝0.9544）30．设随机变量ξ服从正态分布N（1，2），若p（ξ＜2a﹣3）＝p（ξ＞3a+2），则a的值为．31．按照国家规定，某种大米每袋质量（单位：kg）必须服从正态分布ξ～N（10，σ2），根据检测结果可知P（9.9≤ξ≤10.1）＝0.96，某公司为每位职工购买一袋这种包装的大米作为福利，若该公司有1000名职工，则分到的大米质量在9.9kg以下的职工人数大约为．32．已知随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），若P（ξ＜2）＝P（ξ＞6）＝0.15，则P（2≤ξ＜4）等于．33．某个部件由四个电子元件按如图方式连接而成，元件1或元件2或元件3正常工作，且元件4正常工作，则部件正常工作．设四个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布N（1000，502），且各个元件能正常相互独立工作，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为．34．已知随机变量服从正态分布X～N（2，σ2），若P（X＜a）＝0.32，则P（a＜X＜4﹣a）＝．35．某种袋装大米的质量X（单位：kg）服从正态分布N（50，0.01），任意选一袋这种大米，质量在49.8～50.1kg的概率为．36．已知随机变量ξ服从正态分布N（2，9），若P（ξ＞3）＝a，P（1＜ξ≤3）＝b，则+的最小值是．1．已知随机变量ξ服从正态分布N（0，1），若P（﹣1＜ξ＜0）＝p，则P（ξ＞1）＝（）A．﹣B．+C．+p D．﹣p2．经统计，某市高三学生期末数学成绩X﹣N（85，σ2），且P（80＜X＜90）＝0.3，则从该市任选一名高三学生，其成绩不低于90分的概率是（）A．0.35B．0.65C．0.7D．0.853．某市一次高三年级数学统测，经抽样分析，成绩X近似服从正态分布N（84，σ2），且P（78＜X≤84）＝0.3．该市某校有400人参加此次统测，估计该校数学成绩不低于90分的人数为（）A．60B．80C．100D．1204．如果随机变量X～N（μ，σ2），且EX＝3，DX＝1，则P（0＜X＜1）等于（）A．0.021 5B．0.723C．0.215D．0.645．在某次高三联考数学测试中，学生成绩服从正态分布（100，σ2）（σ＞0），若ξ在（85，115）内的概率为0.75，则任意选取一名学生，该生成绩高于115的概率为（）A．0.25B．0.1C．0.125D．0.56．随机变量X服从正态分布X～N（10，σ2），P（X＞12）＝m，P（8≤X≤10）＝n，则的最小值为（）A．B．C．D．7．在某项测量中，测得变量ξ﹣N（1，σ2）（σ＞0）．若ξ在（0，2）内取值的概率为0.8，则ξ在（1，2）内取值的概率为（）A．0.2B．0.1C．0.8D．0.48．某校有1000人参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布N（105，σ2）（σ＞0），试卷满分150分，统计结果显示数学成绩优秀（高于120分）的人数占总人数的，则此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为（）A．150B．200C．300D．4009．在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C为正态分布N（﹣2，4）的密度曲线）的点的个数的估计值为（）（附：X⁓N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.6827，P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）＝0.9545．）A．906B．2718C．339.75D．341310．设随机变量X服从正态分布X～N（3，1），且P（2≤X≤4）＝0.6826，则函数f（t）＝t2+4t+X不存在零点的概率是（）A．0.5B．0.3174C．0.1587D．0.682611．若随机变量X～N（2，1），且P（X＞1）＝0.8413，则P（X＞3）＝（）A．0.1587B．0.3174C．0.3413D．0.682612．若随机变量X～N（3，σ2），且P（X≥5）＝0.2，则P（1＜X＜5）＝（）A．0.6B．0.5C．0.4D．0.313．设随机变量X～N（2，9），P（X＞m）＝P（X＜m﹣4），则m的值为（）A．1B．2C．3D．414．吸烟有害健康，远离烟草，珍惜生命．据统计一小时内吸烟5支诱发脑血管病的概率为0.02，一小时内吸烟10支诱发脑血管病的概率为0.16．已知某公司职员在某一小时内吸烟5支未诱发脑血管病，则他在这一小时内还能继吸烟5支不诱发脑血管病的概率为（）A．B．C．D．不确定15．若随机变量X服从分布X～N（2，σ2），且2P（X≥3）＝P（1≤X≤2），则P（X＜3）＝（）A．B．C．D．16．若随机变量ξ～N（﹣2，4），则ξ在区间（﹣4，﹣2]上取值的概率等于ξ在下列哪个区间上取值的概率（）A．（2，4]B．（0，2]C．[﹣2，0）D．（﹣4，4] 17．设随机变量ξ～N（2，4），若P（ξ＞2a+1）＝P（ξ＜2a﹣1），则实数a的值为（）A．1B．2C．3D．418．已知随机变量X～B（2，p），Y～N（2，σ2），若P（X≥1）＝0.64，P（0＜Y＜2）＝p，则P（Y＞4）＝（）A．0.1B．0.2C．0.4D．0.819．已知随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），若P（ξ＜2）＝P（ξ＞6）＝0.2，则P（2≤ξ＜4）等于（）A．0.3B．0.5C．0.4D．0.620．已知X～N（1，σ2），P（0＜X≤3）＝0.7，P（0＜X≤2）＝0.6，则P（X≤3）＝（）A．0.6B．0.7C．0.8D．0.921．已知随机变量ξ服从正态分布N（2，σ2），且P（ξ＜0）＝P（ξ＞a﹣2），则a＝（）A．﹣2B．2C．4D．622．已知随机变量X服从正态分布N（5，σ2），且P（X＜7）＝0.8，则P（3＜X＜5）＝（）A．0.6B．0.4C．0.3D．0.223．若随机变量X～N（3，1），且P（X＜4）＝0.8413，则P（X＞2）＝（）A．0.1587B．0.3413C．0.6826D．0.841324．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N（0，σ2），若ξ在（﹣∞，﹣1）内取值的概率为0.1，则ξ在（0，1）内取值的概率为（）A．0.8B．0.4C．0.2D．0.125．设随机变量X服从正态分布N（4，σ2），若P（X＞m）＝0.4，则P（X＞8﹣m）＝（）A．0.6B．0.5C．0.4D．与σ的值有关26．某工厂生产的零件外直径（单位：cm）服从正态分布N（10，0.04），今从该厂上、下午生产的零件中各随机取出一个，测得其外直径分别为9.75cm和9.35cm，则可认为（）A．上午生产情况异常，下午生产情况正常B．上午生产情况正常，下午生产情况异常C．上、下午生产情况均正常D．上、下午生产情况均异常27．设两个正态分布N1（μ1，σ）和N2（μ2，）的密度函数曲线如图所示，则有（）A．μ1＜μ2，σ1＜σ2B．μ1＜μ2，σ1＞σ2C．μ1＞μ2，σ1＜σ2D．μ1＞μ2，σ1＞σ228．2018年元旦期间，某高速公路收费站的三个高速收费口每天通过的小汽车数X（单位：辆）均服从正态分布N（600，σ2），若P（500＜X＜700）＝0.6，假设三个收费口均能正常工作，则这个收费口每天至少有一个超过700辆的概率为（）A．B．C．D．29．设随机变量ξ：N（2，2），则D（ξ）＝（）A．1B．2C．D．430．某学校的两个班共有100名学生，一次考试后数学成绩ξ（ξ∈N）服从正态分布N（100，102），已知P（90≤ξ≤100）＝0.3，估计该班学生数学成绩在110分以上的人数为（）A．20B．10C．14D．2131．当σ取三个不同值σ1，σ2，σ3时，正态曲线N（0，σ2）的图象如图所示，则下列选项中正确的是（）A．σ1＜σ2＜σ3B．σ1＜σ3＜σ2C．σ2＜σ1＜σ3D．σ3＜σ2＜σ1 32．已知随机变量X～N（2，σ2），若P（X≤1﹣a）+P（X≤1+2a）＝1，则实数a＝（）A．0B．1C．2D．433．已知随机变量ξ服从正态分布N（1，2），则D（2ξ+3）＝34．随机变量X～N（3，σ2），且P（0＜X＜3）＝0.35，则P（X＞6）＝．35．设随机变量X～N（1，δ2），且P（X＞2）＝，则P（0＜X＜1）＝．36．若随机变量Z～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜z≤μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ＜z≤μ+2σ）＝0.9544．已知随机变量X～N（6，4），则P（2＜X≤8）．37．随机变量ξ服从正态分布ξ：N（μ，σ2），若p（μ﹣2＜ξ≤μ）＝0.241，则P（ξ＞μ+2）＝．37．某中学为了了解该校高中学生的体重情况，现随机抽取该校150名高中学生，并测量每个人的体重后得到如图5的频率分布直方图．（1）求这150名高中学生体重的样本平均数和样本方差s2；（同一组中的数据用该区间的中点值代替）（2）根据频率分布直方图，我们认为该校高中学生的体重Z服从正态分布N（u，δ2），其中u近似为样本平均数，δ2近似为样本方差s2；如果体重Z满足Z＜33.4或Z＞106.6，则该生的体重有严重问题．①利用该正态分布，求P（Z＜33.4）；②某机构从该校高中学生中任取1000名学生，记X表示这1000名学生中体重有严重问题的人数，求EX．附：≈12.2，若Z～N（u+δ2），则P（u﹣δ＜Z＜u+δ）＝0.6826，P（u﹣2δ＜Z＜u+2δ）＝0.9544，P（u﹣3δ＜Z＜u+3δ）＝0.9974．38．为调查某校学生每周体育锻炼落实的情况，采用分层抽样的方法，收集100位学生每周平均锻炼时间的样本数据（单位：h）．根据这100个样本数据，副制作出学生每周平均锻炼时间的频率分布直方图（如图所示）．（Ⅰ）估计这100名学生每周平均锻炼时间的平均数和样本方差s2（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅱ）由频率分布直方图知，该校学生每周平均锻炼时间Z近似服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2．（Ⅰ）求P（0.8＜Z＜8.3）；（Ⅱ）若该校共有5000名学生，记每周平均锻炼时间在区间（0.8，8.3）的人数为ɛ，试求E（ɛ）．附：≈2.5，若Z～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜Z＜μ+σ）＝0.6827，P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）＝0.954539．甲市一次全市高中男生身高统计调查数据显示：全市100000名男生的身高服从正态分布N（168，16）．现从某学校高三年级男生中随机抽取50名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于160cm和184cm之间，将测量结果按如下方式分成6组：第1组[160，164），第2组[164，168），…，第6组[180，184]．如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．（I）根据50名高三男生身高的频率分布直方图，求这50名高三男生身高的中位数的估计值；（II）求这50名男生身高在172cm以上（含172cm）的人数；（III）在这50名男生身高在172cm以上（含172cm）的人中任意抽取2人，将该2人中身高排名（从高到低）在全市前130名的人数记为X，求X的数学期望．参考数据：若X～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）＝0.9544，P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）＝0.9974．40．从某技术公司开发的某种产品中随机抽取200件，测量这些产品的一项质量指标值（记为Z），由测量结果得如下频率分布直方图：（1）公司规定：当Z≥95时，产品为正品；当Z＜95时，产品为次品．公司每生产一件这种产品，若是正品，则盈利90元；若是次品，则亏损30元．记ξ为生产一件这种产品的利润，求随机变量ξ的分布列和数学期望；（2）由频率分布直方图可以认为，Z服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为样本平均数x，σ2近似为样本方差s2（同一组中的数据用该区间的中点值作代表）．①利用该正态分布，求P（87.8＜Z＜112.2）；②某客户从该公司购买了500件这种产品，记X表示这500件产品中该项质量指标值位于区间（87.8，112.2）的产品件数，利用①的结果，求E（X）．附：≈12.2．若Z～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜Z＜μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）＝0.9544．38．党的十八大以来，党中央从全面建成小康社会全局出发，把扶贫工作摆在治国理政的突出位置，全面打响脱贫攻坚战，2018年6月《中共中央、国务院关于打赢脱贫攻坚战三年行动的指导意见》发布，对精准脱贫这一攻坚战做出了新的部署，2019年3月，十三届全国人大二次会议召开，3月7日，国务院扶贫办刘永富回答记者问时表示：“我国脱贫攻坚取得显著成就，贫困人口从2012年的9899万人减少到2018年的1660万人，连续6年平均每年减贫1300多万人．并表示：“今年再努力一年，攻坚克难，再减少贫困人口1000万人以上，再摘帽300个县左右．”根据某市所在地区的收入水平、消费水平等情况，拟将家庭年收入低于1.2万元的家庭确定为“贫困户”，该市扶贫办为了打好精准脱贫攻坚战，在所辖某县的100万户家庭中随机抽取200户家庭，对其2018年的全年收入进行调查，抽查结果如下频率分布直方图：（1）求这200户家庭的全年收人的样本平均值和方差s2（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）由直方图可以认为，这200户家庭收入Z近似服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2．（i）利用该正态分布，求P（Z＜1.2）；（ii）若从该县100万户中随机抽取100户，记X为这100户家庭中“贫困户的数量，利用（i）的结果求E（X）；附：若Z～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜Z＜μ+σ）＝0.683，P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）＝0.954．39．为了改善市民的生活环境，信阳市决定对信阳市的1万家中小型化工企业进行污染情况摸排，并出台相应的整治措施．通过对这些企业的排污口水质，周边空气质量等的检验，把污染情况综合折算成标准分100分，发现信阳市的这些化工企业污染情况标准分基本服从正态分布N（50，162），分值越低，说明污染越严重；如果分值在[50，60]内，可以认为该企业治污水平基本达标．（1）如图信阳市的某工业区所有被调查的化工企业的污染情况标准分的频率分布直方图，请计算这个工业区被调查的化工企业的污染情况标准分的平均值，并判断该工业区的化工企业的治污平均值水平是否基本达标；（2）大量调査表明，如果污染企业继续生产，那么标准分低于18分的化工企业每月对周边造成的直接损失约为10万元，标准分在[18，34）内的化工企业每月对周边造成的直接损失约为4万元．长沙市决定关停80%的标准分低于18分的化工企业和60%的标准分在[18，34）内的化工企业，每月可减少的直接损失约有多少？（附：若随机变量X∼N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）＝68.3%，P（μ﹣2σ＜X ＜μ+2σ）＝95.4%，P（μ﹣3σ＜X＜μ+3σ）＝99.7%）40．2019年2月13日《烟台市全民阅读促进条例》全文发布，旨在保障全民阅读权利，培养全民阅读习惯，提高全民阅读能力，推动文明城市和文化强市建设．某高校为了解条例发布以来全校学生的阅读情况，随机调查了200名学生每周阅读时间X（单位：小时）并绘制如图所示的频率分布直方图．（1）求这200名学生每周阅读时间的样本平均数和样本方差s2（同一组中的数据用该组区间的中间值代表）；（2）由直方图可以认为，目前该校学生每周的阅读时间X服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2．（i）一般正态分布的概率都可以转化为标准正态分布的概率进行计算：若X～N（μ，σ2），令Y＝，则Y～N（0，1），且P（X≤a）＝P（Y≤）．利用直方图得到的正态分布，求P（X≤10）．（ii）从该高校的学生中随机抽取20名，记Z表示这20名学生中每周阅读时间超过10小时的人数，求P（Z≥2）（结果精确到0.0001）以及Z的数学期望．参考数据：．若Y～N（0，1），则P（Y≤0.75）＝0.7734．。
高二数学-正态分布练习题
xyO 正态分布㈠ 知识点回顾：1、正态分布概念：若连续型随机变量ξ的概率密度函数为),(,21)(222)(∞+-∞∈=--x e x f x σμσπ，其中,σμ为常数，且0σ>，则称ξ服从正态分布，简记为ξ～()2,N μσ。
()f x 的图象称为正态曲线。
2、正态分布的期望与方差若ξ～()2,N μσ，则2,E D ξμξσ==3、正态曲线的性质：①曲线在x 轴的上方，与x 轴不相交．②曲线关于直线x=μ对称．③曲线在x=μ时位于最高点．④当x<μ时，曲线上升；当x>μ时，曲线下降．并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x 轴为渐进线，向它无限靠近．⑤当μ一定时，曲线的形状由σ确定．σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散；σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中．4、在标准正态分布表中相应于0x 的值()0x Φ是指总体取值小于0x 的概率即 ()()00x P x x Φ=<00≥x 时，则)(0x Φ的值可在标准正态分布表中查到00<x 时，可利用其图象的对称性获得)(1)(00x x -Φ-=Φ来求出，)()()()()(121221x x x P x P x x P Φ-Φ=<-<=<<ξξξ5、两个重要公式：① ②)(0x Φ())()(1221x x x x P Φ-Φ=<<ξ())(100x x -Φ-=Φ)(0x Φ)(10x -Φ-（6）、()2,N μσ与()0,1N 的关系： ①若ξ～()2,N μσ，有()()000x P x F x μξσ-⎛⎫<==Φ ⎪⎝⎭②若ξ～()2,N μσ，则()2112x x P x x x μμσσ--⎛⎫⎛⎫<<=Φ-Φ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（二）习题一、选择题1.某市组织一次高三调研考试，考试后统计的数学成绩服从正态分布，其密度函数为)(1021)(200)80(2R x e x f x ∈⋅=--π，则下列命题不正确的是 （ B ） A ．该市这次考试的数学平均成绩为80分；B ．分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同；C ．分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同；D ．该市这次考试的数学成绩标准差为10.2.设随机变量ξ服从标准正态分布()0,1N ，若()1P p ξ>=，则()10P ξ-<<=（D ）A.2p B. 1p - C. 12p - D. 12p - 3.设随机变量),(~2σμξN ，且 )()(c P c P >=≤ξξ，则c 等于（ D ）μμσ...0.D C B A -4. 已知正态分布曲线关于y 轴对称，则μ值为（ ） A ．1 B ．－1 C ．0 D.不确定5.正态分布N （0，1）在区间（－2，－1）和（1，2）上的取值的概率分别为12,p p ，则12,p p 的大小关系为（ ）A ．12p p <B ．12p p >C ．12p p = D.不确定6.设随机变量),(~2σμξN ，且1,3==ξξD E ，则)11(≤<-ξP =( B )1)2(2.)4()2(.)2()4(.1)1(2.-ΦΦ-ΦΦ-Φ-ΦD C B A7.已知随机变量ξ服从正态分布2(2)N σ，，(4)0.84P ξ=≤，则(0)P ξ=≤（ A ）A ．0.16B ．0.32C ．0.68D ，0.848.设随机变量ξ服从正态分布(2,9)N ,若(1)(1)P c P c ξξ>+=<-,则c = ( B )A.1B.2C.3D.49.已知随机变量ζ服从正态分布N (3,a 2),则P (3)ζ<＝（ D ） (A)15 (B)14 (C)13 (D)121x 2x10.若φ(3)=0.9987，则标准正态总体在区间(－3，3)内取值的概率为 (B)A ．0.9987B ．0.9974C ．0.944D ． 0.841311、设随机变量服从正态分布N(0,1),p(ξ＞1)＝P ，则P(－1＜ξ＜1)＝ （ C ）A ．12PB ．1－PC ．1－2PD ．12－P12.（07湖南卷,5）设随机变量ξ服从标准正态分布()0,1N 。
正态分布课后练习题
正态分布课后练习题正态分布是概率论与统计学中非常重要的一个概念，它在现实生活中的应用非常广泛。
为了更好地掌握正态分布的相关知识，下面我将给大家提供一些正态分布的课后练习题，希望能够帮助大家巩固所学知识。
练习题1：某公司的员工薪资服从正态分布，均值为5000元，标准差为1000元。
请计算以下几个问题：1. 员工薪资在4000元以上的概率是多少？2. 员工薪资在6000元以下的概率是多少？3. 员工薪资在4000元到6000元之间的概率是多少？练习题2：某学校的学生身高服从正态分布，均值为165厘米，标准差为5厘米。
请计算以下几个问题：1. 学生身高在170厘米以上的概率是多少？2. 学生身高在160厘米以下的概率是多少？3. 学生身高在160厘米到170厘米之间的概率是多少？练习题3：某超市的顾客购买的商品金额服从正态分布，均值为50元，标准差为10元。
请计算以下几个问题：1. 顾客购买的商品金额在60元以上的概率是多少？2. 顾客购买的商品金额在40元以下的概率是多少？3. 顾客购买的商品金额在40元到60元之间的概率是多少？练习题4：某地区的降雨量服从正态分布，均值为50毫米，标准差为10毫米。
请计算以下几个问题：1. 降雨量在60毫米以上的概率是多少？2. 降雨量在40毫米以下的概率是多少？3. 降雨量在40毫米到60毫米之间的概率是多少？以上是一些关于正态分布的课后练习题，希望能够帮助大家更好地理解和应用正态分布的知识。
在解答这些问题时，可以利用标准正态分布表或者统计软件进行计算。
同时，在计算过程中要注意将问题转化为标准正态分布的问题，再进行计算，以便得到准确的结果。
正态分布在实际生活中有着广泛的应用，比如在质量控制中，我们可以利用正态分布来判断产品是否合格；在心理学研究中，我们可以利用正态分布来分析人群的智力水平分布；在金融领域，我们可以利用正态分布来分析股票价格的变动情况等等。
因此，掌握正态分布的相关知识对我们的学习和工作都具有重要意义。
医学统计学正态分布习题及答案
1.96
二、是非题
1．对于偏态分布资料， 1.96
范围内也包含了95%的变量值（ ）
答案：错
2．正态分布在横轴上的位置由均数决定 （）
答案：对
3．任何一个正态分布都可以通过标准化 变换转化为标准正态分布（ ）
答案：对
4．设随机变量的值在(0，+)范围中， 从该变量值的总体中抽样，若样本的标 准差大于样本均数，则可推断不服从正 态分布（ ）
4．在排放的工业废水中规定有害物质含 量不能超过0.005。现从某企业排出的废 水中抽取10份水样，测出有害物质的平 均含量为：0.0053，标准差为：0.0004。
假设某企业排出的废水符合标准，从该 企业排出的废水中抽到的含量为10的样 本是否小概率事件？
5．某医院要求除内科之外的各科室住院 病人的平均住院日均不超过20天。该院 某科对科室全部病人计算出平均住院日 为15天。科主任认为：该科室目前已达 到了医院的要求。这个看法是否正确？
10．某市500名10岁正常男孩中，有95% 的人体重在 18～30kg范围内，由此可知 此500名男孩体重的标准差等于（ ） kg
A 2.000
B 2.326
C 6.122
D 3.061
E 6.000 答案：D
11．对于服从标准正态分布的变量，有 （）
A 的概率是0.10 B 的概率是0.025 C 的概率是0.05 D 的概率是0.01 E 的概率是0.005 答案：B
二、是非判断题
1．对于一个含量为n样本，为了推断该 样本是否取自均数为μ0的总体，需要对 该样本的均数与μ0之间的差别是否是抽 样误差进行假设检验（ ）
2．从均数为μ0的总体中抽取一个含量为 n样本，必须对样本均数与μ0之间的差别 是否是抽样误差进行假设检验（ ）
正态分布及其经典习题和答案
25.3正态分布【知识网络】1、取有限值的离散型随机变量均值、方差的概念；2、能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题；3、通过实际问题，借助直观〔如实际问题的直观图〕，认识正态分布、曲线的特点及曲线所表示的意义。
【典型例题】例1：〔1〕随机变量X 服从二项分布，且E 〔X 〕=2.4，V 〔X 〕=1.44，那么二项分布的参数n ，p 的值为 〔 〕 A ．n=4，p=0.6 B ．n=6,p=0.4 C ．n=8，p=0.3 D ．n=24，p=0.1答案：B 。
解析：()4.2==np X E ，()44.1)1(=-=p np X V 。
〔2〕正态曲线下、横轴上，从均数到∞+的面积为( )。
A ．95%B ．50%C ．97.5%D ．不能确定〔与标准差的大小有关〕 答案：B 。
解析：由正态曲线的特点知。
〔3〕某班有48名同学，一次考试后的数学成绩服从正态分布，平均分为80，标准差为10，理论上说在80分到90分的人数是 〔 〕A 32B 16C 8D 20 答案：B 。
解析:数学成绩是X —N(80,102)， 80809080(8090)(01)0.3413,480.3413161010P X P Z P Z --⎛⎫≤≤=≤≤=≤≤≈⨯≈ ⎪⎝⎭。
〔4〕从1，2，3，4，5这五个数中任取两个数，这两个数之积的数学期望为___________。
答案：8.5。
解析：设两数之积为X ，∴ 〔5〕如图，两个正态分布曲线图：1为)(1,1x σμϕ，2为)(22x σμϕ，那么1μ2μ，1σ2σ〔填大于，小于〕答案：＜，＞。
解析：由正态密度曲线图象的特征知。
例2：甲、乙两人参加一次英语口语考试，在备选的10道试题中，甲能答对其中的6题，乙能答对其中的8题.规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进展测试，至少答对2题才算合格.〔Ⅰ〕求甲答对试题数ξ的概率分布及数学期望； 〔Ⅱ〕求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率.答案：解：〔Ⅰ〕依题意，甲答对试题数ξ的概率分布如下： 甲答对试题数ξ的数学期望 E ξ=5961321210313010=⨯+⨯+⨯+⨯. 〔Ⅱ〕设甲、乙两人考试合格的事件分别为A 、B ，那么P (A )=310361426C C C C +=321202060=+，P (B )=15141205656310381228=+=+C C C C . 因为事件A 、B 相互独立， 方法一：∴甲、乙两人考试均不合格的概率为 ()()()45115141321=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⋅=⋅B P A P B A P ∴甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为 ()454445111=-=⋅-=B A P P 答：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为4544． 方法二：∴甲、乙两人至少有一个考试合格的概率为 答：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为4544. 例3：甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量X 和Y ，其分布列如下： 〔1〕求a,b 的值； 〔2〕比拟两名射手的水平. 答案：〔1〕a=0.3,b=0.4; 〔2〕23.034.023.01,3.26.031.023.01=⨯+⨯+⨯==⨯+⨯+⨯=EY EX所以说甲射手平均水平比乙好，但甲不如乙稳定.．例4：一种赌博游戏：一个布袋装有6个白球和6个红球，除颜色不同外，6个小球完全一样，每次从袋中取出6个球，输赢规那么为：6个全红，赢得100元；5红1白，赢得50元；4红2白，赢得20元；3红3白，输掉100元；2红4白，赢得20元；1红5白，赢得50元；6全白，赢得100元.而且游戏是免费的.很多人认为这种游戏非常令人心动，现在，请利用我们学过的概率知识解释我们是否该"心动〞.。
正态分布练习题
正态分布一、选择题１. ［2016·原创信息卷］设随机变量X 服从正态分布N (3,4),若P (Ｘ＞ａ2-４)=P (Ｘ<６-3a ）,则实数a 的值为()A. -5或2 Ｂ. -1或4 C. -5或４ D. -５或－1或2或42. 某班有41的学生数学成绩优秀,如果从班中随机地找出5名同学,那么其中数学成绩优秀的学生数X ～B )41,5(,则Ｅ(2X +1)等于 ()Ａ. 45 B. 25 C ． ３ D. 27 3. 已知X~Ｂ（ｎ,21)，Y~B （ｎ，31）,且Ｅ(X )＝15,则E （Y ）等于 () Ａ. 5 B. １0 C. 1５ D ． ２0 4． 已知随机变量X 服从正态分布N （1,σ2),若Ｐ(X ≤2)=0.7２，则P （X ≤０）＝()A ． 0.22 B. 0.２８ Ｃ. 0.36 D ． 0．６45. 已知随机变量ξ服从正态分布Ｎ(1,σ2）,且P (ξ<2)=0.8,则Ｐ(０<ξ＜1）=()A. 0.2B. 0.3C. ０.4D. 0.6６． 如果随机变量ξ~Ｎ(μ,σ2),Eξ=3,Dξ=1,则Ｐ(－1≤ξ＜1)等于(）A. 2Φ(4)-1B. Φ(4)－Φ(2)C. Φ(2)-Φ（4) D ． Φ(-４)-Φ（-２）7． 设随机变量Ｘ服从正态分布N (μ,σ2),且函数f (x ）=x 2+4x +X 没有零点的概率为21,则μ为 () A. 1 B ． ４ C ． 2 D. 不能确定8. 已知随机变量X 服从正态分布N （0，σ２）,Ｐ(Ｘ＞2)=0.０23,则P (-2≤X ≤2）等于 （)A. 0.477 Ｂ. ０.６28 C. 0.９54 D. ０.９779． 已知随机变量Ｘ～N （2,σ２),若P (X ＜a ）＝０.３2，则P （a ≤X <４-a )等于 (）A. 0.36B. 0.６４C. 0.48D. ０.5210． 某次数学考试中考生的分数X~N (90，１00),则分数在70~１10分的考生占总考生数的百分比是 (）A ． ３1.74%B ． 68.２6％C ． 95.４４%D ． 99.74%二、填空题11. 有学生６00人,一次数学考试的成绩(试卷满分150分）服从正态分布Ｎ(1００,σ2）,统计结果显示学生考试成绩在８0分到100分之间的人数约占总人数的31,则此次考试成绩不低于120分的学生约有人． 12. 已知Ｘ~N (０，σ２),且Ｐ(-2<Ｘ<0)＝0．4，则Ｐ(X >２)的值为.13. 如果随机变量X 服从N (μ,σ2)(σ＞０),且E (Ｘ)=3,Ｄ（X ）=１，则μ=_＿＿_＿＿_，σ=___＿___. 14. 某中学高三年级共有学生１ 20０人,一次数学考试的成绩（满分150分)服从正态分布N (100,σ2），统计结果显示学生成绩在8０分到１００分之间的人数约占总人数的31，则此次考试成绩不低于120分的学生约有人.１5.已知正态分布的数据落在区间(－3，-1)内的概率和落在区间(3,5)内的概率相等，那么这个正态分布的均值为.16. 设随机变量X～N(2,9),若P（X>c+１)=P(Ｘ<c-1）,c的值是.参考答案１．【答案】B【解析】本题考查正态分布的几何性质.由随机变量X服从正态分布N(３,４）可知正态函数关于x＝３对称,又P(X＞ａ2－４)=P(Ｘ<6－3a),所以ａ2-4＋6-3ａ=6,解得ａ=－1或4．2.【答案】D【解析】3.【答案】B【解析】4. 【答案】B【解析】因为X服从正态分布N(1,σ2）,所以对称轴是ｘ=1，所以Ｐ（X≤0)=P(X≥2)=1－ P(X≤２)=1-0.７２＝０.28,所以选Ｂ.5.【答案】B【解析】因为ξ服从正态分布N（１,σ２),即对称轴是x=1,所以P(ξ≤1)＝０.5，且Ｐ(0<ξ<１)=P(1<ξ<2)．因为P(ξ＜2)=０.8，所以P(１<ξ<2)=P(ξ＜2)-P(ξ≤1）=0.3,即P(0<ξ<１)=0.3. 6．【答案】B【解析】7.【答案】B【解析】二次函数没零点，则判别式小于零，据此得到,所以8．【答案】C【解析】由题意得,∵P(X>2)＝０.02３,∴P（Ｘ＜－2)=０.023，故P(－2≤X≤2)=1-P(X＞2）-P(X<-2)=0．9５4.9.【答案】A【解析】1０. 【答案】C【解析】X～N(9０，100),则μ=9０,σ=10．则μ-2σ=7０，μ+2σ=110．故分数在70~1１0分的考生占总考生数的百分比是９5．44%.11. 【答案】１00【解析】因为数学考试成绩X~N(100,σ２)，所以对称轴为x=10０，因为P(８0≤X≤100)＝，所以P（100≤X≤120)=，且P(X≥12０)=P(Ｘ≤80),所以Ｐ(X≥120)＝，所以成绩不低于120分的学生约为600×＝１00(人).１2. 【答案】0.1【解析】由题意知,∵正态曲线关于直线x=0对称,∴Ｐ(0＜X<2)＝0.４.∴Ｐ（X>2)＝P(X>0)-P(0<X<２)＝０.５-0.4=0.１.1３.【答案】31【解析】由题意知,∵X~N（μ,σ2)，∴E(X)＝μ=3，D(X)＝σ2=１.∴σ=１．１4. 【答案】2０0【解析】由于成绩服从正态分布N(100，σ2), 且在80分到100分之间的人数约占总人数的, 因此100分到1２０分之间的人数也约占总人数的，而80分以下与不低于120分的人数共占总人数的，且比例相同,故要求的学生约有×１ 20０=200 (人).１５. 【答案】１【解析】该正态曲线在区间(－３,-1)和区间(３,5)上是对称的．∵区间(-３,-1)和区间(３,5)关于直线x=1对称, ∴正态分布的均值就是1.1６．【答案】2【解析】由Ｘ~N(２,９)可知，密度函数关于直线x=2对称，如图所示，由题意知2-（c-1）=(c+１)－2,故c=２.。
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专题：正态分布【知识网络】1、取有限值的离散型随机变量均值、方差的概念；2、能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题；3、通过实际问题，借助直观（如实际问题的直观图），认识正态分布、曲线的特点及曲线所表示的意义。
【典型例题】例1：（1）已知随机变量X 服从二项分布，且E （X ）=2.4，V （X ）=1.44，则二项分布的参数n ，p 的值为 （ ） A ．n=4，p=0.6 B ．n=6,p=0.4 C ．n=8，p=0.3 D ．n=24，p=0.1答案：B 。
解析：()4.2==np X E ，()44.1)1(=-=p np X V 。
（2）正态曲线下、横轴上，从均数到∞+的面积为( )。
A ．95%B ．50%C ．97.5%D ．不能确定（与标准差的大小有关） 答案：B 。
解析：由正态曲线的特点知。
（3）某班有48名同学，一次考试后的数学成绩服从正态分布，平均分为80，标准差为10，理论上说在80分到90分的人数是 （ ）A 32B 16C 8D 20 答案：B 。
解析:数学成绩是X —N(80,102)，80809080(8090)(01)0.3413,480.3413161010P X P Z P Z --⎛⎫≤≤=≤≤=≤≤≈⨯≈ ⎪⎝⎭。
（4）从1，2，3，4，5这五个数中任取两个数，这两个数之积的数学期望为___________ 。
答案：8.5。
解析：设两数之积为X ，∴E(X)=8.5.（5）如图，两个正态分布曲线图：1为)(1,1x σμϕ，2为)(22x σμϕ，则1μ 2μ，1σ 2σ答案：＜，＞。
解析：由正态密度曲线图象的特征知。
例2：甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6题，乙能答对其中的8题.规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题才算合格.（Ⅰ）求甲答对试题数ξ的概率分布及数学期望； （Ⅱ）求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率.答案：解：（Ⅰ）依题意，甲答对试题数ξ的概率分布如下： 甲答对试题数ξ的数学期望E ξ=5961321210313010=⨯+⨯+⨯+⨯. （Ⅱ）设甲、乙两人考试合格的事件分别为A 、B ，则P (A )=310361426C C C C +=321202060=+，P (B )=15141205656310381228=+=+C C C C . 因为事件A 、B 相互独立， 方法一：∴甲、乙两人考试均不合格的概率为 ()()()45115141321=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⋅=⋅B P A P B A P ∴甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为 ()454445111=-=⋅-=B A P P 答：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为4544． 方法二：∴甲、乙两人至少有一个考试合格的概率为()()()454415143215143115132=⨯+⨯+⨯=⋅+⋅+⋅=B A P B A P B A P P 答：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为4544.例3：甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量X 和Y ，其分布列如下： （1）求a,b 的值； （2）比较两名射手的水平. 答案：（1）a=0.3,b=0.4; （2）23.034.023.01,3.26.031.023.01=⨯+⨯+⨯==⨯+⨯+⨯=EY EX 6.0,855.0==DY DX所以说甲射手平均水平比乙好，但甲不如乙稳定.．例4：一种赌博游戏：一个布袋内装有6个白球和6个红球，除颜色不同外，6个小球完全一样，每次从袋中取出6个球，输赢规则为：6个全红，赢得100元；5红1白，赢得50元；4红2白，赢得20元；3红3白，输掉100元；2红4白，赢得20元；1红5白，赢得50元；6全白，赢得100元.而且游戏是免费的.很多人认为这种游戏非常令人心动，现在，请利用我们学过的概率知识解释我们是否该“心动”.。
答案：设取出的红球数为X ，则X —H （6，6，12），666612()k kC C P X k C -⋅==，其中k=0,1,2,…,6设赢得的钱数为Y ，则Y 的分布列为∴1675100()100502010029.4446277154231E Y =⨯+⨯+⨯-⨯=-，故我们不该“心动”。
【课内练习】1．标准正态分布的均数与标准差分别为( )。
A ．0与1 B ．1与0 C ．0与0 D ．1与1 答案：A 。
解析：由标准正态分布的定义知。
2．正态分布有两个参数μ与σ，( )相应的正态曲线的形状越扁平。
A ．μ越大 B ．μ越小 C ．σ越大 D ．σ越小答案： C 。
解析：由正态密度曲线图象的特征知。
3．已在n 个数据n x x x ,,,21 ，那么()∑=-ni i x x n 121是指A ．σB ．μC ．2σD ．2μ（ ） 答案：C 。
解析：由方差的统计定义知。
4．设),(~p n B ξ，()12=ξE ，()4=ξV ，则n 的值是 。
答案：4。
解析：()12==np E ξ，()4)1(=-=p np V ξ5．对某个数学题，甲解出的概率为23，乙解出的概率为34，两人独立解题。
记X 为解出该题的人数，则E（X ）= 。
答案：1712。
解析：11121145(0),(1),3412343412P X P X ==⨯===⨯+⨯=231(2)342P X ==⨯=。
∴15117()012212212E X =⨯+⨯+⨯=。
6．设随机变量ξ服从正态分布)1,0(N ，则下列结论正确的是 。
(1))0)(|(|)|(|)|(|>=+<=<a a P a P a P ξξξ (2))0(1)(2)|(|>-<=<a a P a P ξξ (3))0)((21)|(|><-=<a a P a P ξξ (4))0)(|(|1)|(|>>-=<a a P a P ξξ答案：(1),(2),(4)。
解析：(||)0P a ξ==。
7．抛掷一颗骰子，设所得点数为X ，则V （X ）= 。
答案：3512。
解析：1(),1,2,,66P X k k ===，按定义计算得735(),()212E X V X ==。
8．有甲乙两个单位都想聘任你，你能获得的相应的职位的工资及可能性如下表所示：根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位并说明理由。
答案： 由于E （甲）=E （乙），V （甲）<V （乙），故选择甲单位。
解析：E （甲）=E （乙）=1400，V （甲）=40000，V （乙）=160000。
9．交5元钱，可以参加一次摸奖。
一袋中有同样大小的球10个，其中有8个标有1元钱，2个标有5元钱，摸奖者只能从中任取2个球，他所得奖励是所抽2球的钱数之和（设为ξ），求抽奖人获利的数学期望。
答案：解：因为ξ为抽到的2球的钱数之和，则ξ可能取的值为2，6，10.4528)2(21028===C C P ξ，4516)6(2101218===C C C P ξ，451)10(21022===C C P ξ 51845162451104516645282==⨯+⨯+⨯=ξE 设η为抽奖者获利的可能值，则5-=ξη，抽奖者获利的数学期望为5755185)5(-=-=-=-=ξξηE E E 故，抽奖人获利的期望为-75。
10．甲乙两人独立解某一道数学题，已知该题被甲独立解出的概率为0.6，被甲或乙解出的概率为0.92. （1）求该题被乙独立解出的概率；（2）求解出该题的人数ξ的数学期望和方差.答案：解：（1）记甲、乙分别解出此题的事件记为A 、B. 设甲独立解出此题的概率为P 1，乙为P 2. 则P （A ）=P 1=0.6, P(B)=P 2222()(0 1.4)0.08(1 1.4)0.44(2 1.4)0.480.15680.07040.17280.4V ξ=-⨯+-⨯+-⨯=++=，或利用22()()() 2.36 1.960.4V E E ξξξ=-=-=。
【作业本】A 组1．袋中装有5只球，编号为1，2，3，4，5，从中任取3球，以X 表示取出球的最大号码，则E （X ）等于 （ ）A 、4B 、5C 、4.5D 、4.75答案：C故E （X ）=32．下列函数是正态分布密度函数的是 （ ） A ．()σσπ2221)(r x ex f -=B ．2222)(x e x f -=ππC ．()412221)(-=x ex f πD ．2221)(x e x f π=答案：B 。
解析：选项B 是标准正态分布密度函数。
3．正态总体为1,0-==σμ概率密度函数)(x f 是 （ ） A ．奇函数 B ．偶函数 C ．非奇非偶函数 D ．既是奇函数又是偶函数 答案：B 。
解析：22()x f x -=。
4．已知正态总体落在区间()+∞,2.0的概率是0．5，那么相应的正态曲线在=x 时达到最高点。
答案：0.2。
解析：正态曲线关于直线x μ=对称，由题意知0.2μ=。
5．一次英语测验由40道选择题构成，每道有4个选项，其中有且仅有一个是正确的，每个选对得3分，选错或不选均不得分，满分120分，某学生选对一道题的概率为0.7，求该生在这次测验中的成绩的期望为 ；方差为 。
答案：84；75.6。
解析：设X 为该生选对试题个数，η为成绩，则X ～B （50，0.7），η=3X ∴E(X)=40×0.7=28 V(X)=40×0.7×0.3=8.4故E(η)=E(3X)=3E(X)=84 V(η)=V(3X)=9V(X)=75.66．某人进行一个试验，若试验成功则停止，若实验失败，再重新试验一次，若试验三次均失败，则放弃试验，若此人每次试验成功的概率为32，求此人试验次数X 的分布列及期望和方差。
解：X 的分布列为故22113()1233999E X =⨯+⨯+⨯=，22211338()149()399981V X =⨯+⨯+⨯-=。
7．甲、乙两名射击运动员，甲射击一次命中10环的概率为0.5，乙射击一次命中10环的概率为s ，若他们独立的射击两次，设乙命中10环的次数为X ，则EX=34，Y 为甲与乙命中10环的差的绝对值.求s 的值及Y 的分布列及期望.答案：解：由已知可得),2(~s B X ，故32,342===s s EX 所以．有Y 的取值可以是0，1，2.甲、乙两人命中10环的次数都是0次的概率是361)31()21(22=⨯，甲、乙两人命中10环的次数都是1次的概率是92)32313132)(21212121(=⨯+⨯⨯+⨯，甲、乙两人命中10环的次数都是2次的概率是91)3232)(2121(=⨯⨯所以36139192361)0(=++==Y P ； 甲命中10环的次数是2且乙命中10环的次数是0次的概率是361)31()21(22=⨯，甲命中10环的次数是0且乙命中10环的次数是2次的概率是91)3232)(2121(=⨯⨯所以36591361)2(=+==Y P ，故21)2()0(1)1(==-=-==Y P Y P Y P所以 Y 的期望是E （Y ）=9。