期权定价

C E P E S 0 div0 XerT
如果红利是以支付率 rdiv 连续支付， 那么 VX 0 S 0e r T XeeT ,于是
DIV
C E P E S 0e rdiv T XerT
二.美式看跌期权—看涨期权平价关估计
定理 （P131.看跌期权—看涨期权平价估计） 具有相同的施权价 X 和相同的施权日 T 不支付红利的美式股票看跌期权和看涨期 权的价格满足


120 x 110 y 20 80 x 110 y 0
1 4 x ,y . 2 11
Step 2.定价

C(0)= xS(0)+yA(0) (否则存在无风险套利)，即
1 4 C (0) 100 100 13.6364. 2 11
定理 8.1 假设对任意未定权益 D (T ) 存在 一个可允许的复制策略 x(t ) , y(t ) , 其价值 V T DT ，那么未定权益在时间 0 的价值 一定等于复制策略在时间 0 的价值，即 V 0 D0 。
u d u d
由第 3 章风险中型概率知，对于给出的
rd 风险中性概率 p* u d 可以将股票价格折
n (1 r ) S (n) 转变为鞅。 现过程
定理 8.2 折现回报对风险中性概率的 期望等于未定权益的现值，即
D(0) E*[(1 r ) f (S (1))]
1
P150 练习 8.3.
uu
u
D(1)
ud dd
d
这是将单期的方法应用于节点为u和d的两个子树得出的
定理 8.3 对风险中性概率计算的折现回 报的期望值等于衍生证券的现值，即
D(0) E* ((1 r )2 f (S (2)))
一般地，在 N 期模型中，
1 D(0) (1 r ) N N k N K k N k p (1 p ) f ( S (0)(1 u ) (1 d ) ) * * k 0 k
例8.1 (无红利支付的美式看跌期权)考虑一个看 跌期权，期施权价X=80美元；在时间2到期； 股票的初始价格为S(0)=80美元；二叉树模型 中u=0.1,d=-0.05,r=0.05.求 P (0).
A
P158 练习8.11 换成美式看跌期权
例8.2 (有红利支付的美式看涨期权)考虑一个看 涨期权，期施权价X=120美元；在时间2到期； 股票的初始价格为S(0)=120美元；假设在时间 2支付红利14美元；二叉树模型中u=0.2,d=0.1,r=0.1.求 P (0).
u
S(1)
ud dd
S dd S (0)(1 d ) 2
d
利用我们描述的复制方法。在时间 2， 衍生证券可以被它的回报复制，即 D(2) f (S (2)) 有三个可能值。 衍生证券的 D(1) 有两个值，
1 [ p* f ( S uu ) (1 p* ) f ( S ud )] 1 r 1 [ p* f ( S du ) (1 p* ) f ( S dd )] 1 r
，
2.考虑期权费时，期权费应定为多少是合理的？ (利用复制、定价来确定，然后将其方法推广到多期情形； 并由此推出期权费可以由风险中性概率下的期望的折现 来表示)
8.1 二叉树模型中的欧式期权
8.1.1 单期二叉树模型
以引例为例： step1. 复制 构造x股股票、y份债券的投资，使得在时间1, 不论股票价格上涨到120元还是下跌到80元，资 产组合与期权具有同样的价值。即: xS(1)+yA(1)=C(1),具体而言，得
rT e f (S (T )) 的期 D 0 价格 应当等于折现回报
rT D 0 E ( e f (S (T ))) ，在风险中性概 望，即 *
mt W (t )
rt P e 率 * 下，折现价格过程 S (t ) 是鞅。
rt e 概率P下 S (t ) 的期望
定理 （P129.看跌期权—看涨期权平价） 对于不支付红利的股票，如下的欧式看 涨期权和看跌期权价格之间的关系式成立：
C E P E S 0 XerT
假设这两个期权的施权价都是 X ；施权日都 是T 。

定理应用：假设股票不支付红利，以每股15.6美元 交易；在3个月后施权的施权价为15美元的看涨期权 以2.83美元交易。连续复合利率为6.72%。则具有相 同施权价和施权日的看跌期权的价格为________. (列出表达式)
期权定价
引例：投资者A在时间0买入一份欧式看涨期权(标的 物为股票),施权价X=100元，在时间1施权。又设 A(0)=100元， A(1)=110元.若在时间1，该股票的价格 为 120，如果股票上涨
S (1)

80，如果股票下跌
，

1.不考虑期权费时回报如何？
C (1)


20，如果股票上涨 0，如果股票下跌
证明
E E rT C P S 0 Xe 假设
可以构造如下的套利策略: 在时间 0 ●以价格 S
0 买入 1 股股票；
E E P P ●以价格 买入一份看跌期权，支付 ；
E E C C ●以价格 卖出一份看涨期权，获得 ；
●以利率
r 借入金额 S 0 P
E
C
E
u u x (1) S y (1)(1 r ) f ( S ) d d x(1) S y (1)(1 r ) f ( S )
f (S u ) f (S d ) 于是有 x(1) Su Sd
x(1) 是股票的复制头寸，称为期权的 。
再求出货币市场头寸，即
rT S 0 e 如果 X 等于资产的远期理论价格 , 那么远期合约的价值为零，即 V X 0 0 ，于
E E C P 是 .
如果股票在时间 0 和时间 T 之间支付红 利，那么 VX 0 S 0 div0 Xe 红利的现值，由此可以得出
rT
,这里 div0 是
rT E E
e [C P S (0) Xe
与无套利原则矛盾。
] 0.
E E rT C P S (0) Xe 思考：若 ，如何套利？
作业:
施权价为24美元；6个月以后施权的 欧式看涨期权和看跌期权以5.13美元和7.86 美元交易；标的股票价格为20.14美元；利 率为7.48%,计算套利机会。
。
此时 V(0)=0.
在时间 T ● 以价格 X 卖出股票，当 S 当S ●
T X 时，行使看跌期权；
。此时余额为
T X 时，结清看涨期权空头头寸；
E E rT rT
E E rT ( S (0) P C ) e 归还贷款本息和
X ( S (0) P C )e
因为 W (t ) 服从均值为零，方差为 t 的正 态分布，密度函数为 2t e
E (e rt S (t )) S (0) E (eW (t ) ( m r )t ) S (0) e

1
x2 2t
，因此
x ( m r )t
1 e 2 t
x2 2t
dx
S (0)e S (0)e
－
＝
由一份看涨期权多头和一份看跌期权空头构成的一份远 期多头的回报
根据看涨期权和看跌期权构成的远期 多头的回报， 可以把看跌期权—看涨期权平 价写成如下形式：
rT C E P E V X 0， VX 0 S 0 Xe
式中， V X 0 为远期合约多头的价值。
A
P159 练习8.12 。
8.3 布莱克—斯科尔斯公式
本节主要论述关于连续时间看涨期权和 看跌期权的著名的布莱克—斯科尔斯公式。 对连续时间的论述不追求数字上的严谨， 严格的数学证明需要随机分析的有关内容，在 此将利用与离散时间的类比替代严格的数学证 明。
在第三章 中研究了连续时间股票 价格 模型为 S (t ) S (0)e ， 式中 W (t ) 是标准的 维纳过程， S (t ) 服从对数正态分布。 对比回报为 f ( S (T )) ， 在时间 T 到期的欧 式期权在离散时间的情况。 期权在时间 0 的
四.不支付红利的股票的欧式和美式看涨期权
定理(P135) 当两个期权的施权价 X 和 到期时间 T 相同时，不支付红利的股票的欧 式看涨期权和美式看涨期权的价格是相等 A E C C 的，即 .
小结：
1.基本概念； 2.欧式看涨-看跌之间的平价关系(定理条件，结论)； 3.美式看涨-看跌之间的价格关系(定理条件，结论)； 4.欧式和美式之间的关系(一般情况、无红利支付)
8.1.2 两期二叉树模型
股票 S（1）有两个可能值，
S u S (0)(1 u ), S d S (0)(1 d )
1+u 1 1+d
(1+u)2
(1+u)(1+d) (1+d)2
股票 S（2）有三个可能值，
S S
uu ud
S (0)(1 u ) ,
2
uu
S (0)(1 u )(1 d ),
S 0 XerT C A P A S 0 系
对于具有相同施权价 X 和到期时间 T 的 欧式期权和美式期权有
0 C E C A ,0 PE P A
因为美式期权至少给出了与欧式期权同样 的权利。
下图显示的是股票价 格状况，在这个状况下， 在时间 T 施权，欧式看涨 期权的回报是零，而美式 期权在股票价格高于 X 时 的时间 t T 执行，回报是 正的。
N
在风险中性概率下，f ( S ( N )) 的期望值可由上式 计算出，其结果可以概括为如下定理。 定理 8.4 在 N 期二叉树模型中，具有回报 f ( S ( N )) 的欧式衍生证券价值是折现回报在风 险中性概率之下的期望值，即