正态分布及原理
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正态分布（一）正态分布正态分布的概率密度如果连续型随机变量的概率密度为，(4.29)其中，，则称随机变量服从参数为，的正态分布，记作。
正态分布的数学期望和方差正态分布的图形有如下性质：1.它是一条以直线为对称轴的钟形曲线；2.它以横轴为渐近线，并且在处有拐点；3.它在处取得最大值，最大值为：由此可见，标准差越大，的图形就越平缓，标准差越小，的图形就越陡峭。
正态分布的分布函数，(4.30)（二）标准正态分布标准正态分布的概率密度参数，的正态分布，称为标准正态分布，记为。
标准正态分布的概率密度通常用表示，，(4.31)的图形如图４.12所示，它是一条以纵轴为对称轴的钟形曲线。
图4.12 标准正态分布概率密度函数标准正态分布的分布函数标准正态分布的分布函数通常用表示，，(4.32)图4.13 标准正态分布函数标准正态分布函数表对于非负的实数，可由标准正态分布函数表，直接查出的数值。
对于负的实数，根据标准正态分布的对称性，可由下式(4.33)计算出数值。
标准正态分布分位数设随机变量服从标准正态分布，对于给定的概率水平，满足等式（4.34）的正数，称为标准正态分布的水平的双侧分位数；满足等式（4.35）的正数，称为标准正态分布的水平的上侧分位数。
图4.14 正态分布双侧分位数例4.21假设，求下列概率：1.；2.；3.；4.。
解1.2.3.4.（三）正态分布与标准正态分布的关系如果，则于是，在正态分布与标准正态分布的概率密度和、分布函数和之间存在下列关系式：1.（4.36）2.(4.37)3.（4.38）这就是说，计算任一正态分布随机变量的概率都能通过标准正态分布来实现。
例4.22设，求下列概率：1.2.解因为，所以。
1.2.例4.23设，求下列概率：1.2.3.解1.2.3.从上面的结果可以看出，事件的概率很小，因此的取值几乎全部落在区间内，超出这个范围的可能性还不到。
这就是在产品质量控制中有重要应用的准则。
正态分布的理论原理及应用
正态分布的理论原理及应用正态分布（Normal Distribution），又称高斯分布（Gaussian Distribution），是概率统计学中最重要的概率分布之一，也是最常见的连续概率分布之一、正态分布在理论研究和实际应用中都起到了重要的作用。
1.中心极限定理：中心极限定理是正态分布理论的基础，它指出，独立同分布的随机变量的和的极限分布依近似于正态分布。
这意味着，对于大量独立随机变量的和，即使这些变量的分布不同，其总体分布也会接近于正态分布。
2.正态分布的概率密度函数：正态分布的概率密度函数由两个参数决定，即均值（μ）和标准差（σ）。
其概率密度函数可以表示为：f(x)=(1/(σ*√(2π)))*e^(-((x-μ)^2/(2σ^2)))3.正态分布的特性：-均值μ是分布的中心，标准差σ决定了分布的离散程度。
-68%的观测值在均值左右一个标准差范围内，95%的观测值在均值左右两个标准差范围内，99.7%的观测值在均值左右三个标准差范围内。
1.统计分析：正态分布广泛应用于统计分析中。
很多统计模型都需要基于正态分布的假设。
例如，参数估计、假设检验、方差分析等都需要基于正态分布进行推断。
2.质量控制：质量控制中常常使用正态分布。
通过收集样本数据，计算平均值和标准差，可以对产品的质量进行控制和评估。
例如，正态分布常用于确定产品的上下公差。
3.自然科学：正态分布在自然科学中也有应用。
例如，生物学中研究身高、体重等指标时可以使用正态分布。
物理学中粒子运动的速度和位置分布也可以近似为正态分布。
4.金融与经济学：金融市场和经济领域中，许多变量的分布近似为正态分布。
例如，股票收益率、利率、汇率等可以建模为正态分布。
这使得研究人员能够使用正态分布的属性来做出预测和决策。
5.归一化处理：正态分布是进行归一化处理的常用工具之一、通过将数据转化为标准正态分布，可以对不同数据进行比较和分析。
正态分布的理论原理及应用
正态分布的理论原理及应用1. 引言正态分布是概率统计中最为重要的分布之一，其在自然科学、社会科学和工程技术领域中都具有广泛的应用。
本文将介绍正态分布的理论原理以及其应用领域。
2. 正态分布的基本特征正态分布又称为高斯分布或钟形曲线分布，其形状呈现中间凸起、两头下陷的特点。
正态分布具有以下几个基本特征： - 均值（μ）：正态分布的均值决定了曲线的中心位置； - 标准差（σ）：正态分布的标准差描述了数据的离散程度，标准差越大，曲线越宽； - 正态曲线对称且呈钟形。
3. 正态分布的概率密度函数正态分布的概率密度函数为：f(x) = (1 / (σ * √(2π))) * e^(-(x-μ)^2 / (2σ^2))其中，e为自然对数的底，x为随机变量，μ为均值，σ为标准差。
4. 正态分布的应用领域正态分布在各个领域都有广泛的应用，下面列举了一些典型的应用案例。
4.1 统计推断正态分布在统计推断中起着重要的角色。
当样本量较大时，根据中心极限定理，样本均值的分布接近正态分布，这为对总体均值进行推断提供了依据。
常用的统计推断方法如t检验、方差分析等都是基于正态分布的假设。
4.2 产品质量控制正态分布在产品质量控制中被广泛应用。
通过测量样本的均值和标准差，可以判断产品是否符合质量标准。
基于正态分布的质量控制方法有控制图、过程能力指数等。
4.3 金融市场金融市场中的许多现象都可以用正态分布来描述。
例如股票收益率、汇率变动等都可以近似服从正态分布。
在金融风险管理中，基于正态分布的方法被广泛用于计算风险价值（Value-at-Risk）。
4.4 生物学和医学许多生物学和医学实验数据都可以用正态分布来描述。
例如身高、体重、血压等指标都呈正态分布。
正态分布在遗传学、药物研发以及流行病学研究中都有重要的应用。
4.5 工程领域正态分布在工程领域中也有广泛的应用。
例如工程尺寸、力学性能等参数都可以用正态分布来描述。
在质量管理和可靠性工程中，基于正态分布的方法被用于分析和改进工程过程。
正态分布的实验原理及应用
正态分布的实验原理及应用一、实验原理正态分布，又称为高斯分布或钟型曲线，是统计学中常用的一种概率分布。
它的概率密度函数呈对称性，以均值为中心逐渐递减，符合一定的数学性质。
1.1 正态分布的定义正态分布又称高斯分布，是指随机变量X（连续型）在数轴上的取值分布形成的一种概率分布。
其概率密度函数可用以下公式表示：$$ f(x) = \\frac{1}{\\sigma\\sqrt{2\\pi}}e^{-\\frac{(x-\\mu)^2}{2\\sigma^2}} $$其中，f(x)为X的概率密度函数，$\\mu$为均值，$\\sigma$为标准差。
1.2 正态分布的特点•曲线呈钟形，两侧对称；•均值、中位数、众数相等；•曲线在均值处达到最高点，其它位置逐渐下降；•曲线与横轴交于均值加减标准差的两点。
二、实验应用正态分布具有广泛的应用，在数理统计学和实验科学等领域得到了深入的研究。
以下是一些常见的实验应用。
2.1 样本抽样在实际研究中，研究者通常通过进行样本调查来推断总体情况。
当研究对象的样本量符合一定条件时，通过正态分布，可以将样本的均值作为总体均值的估计。
这对于社会调查、市场调研等领域具有重要意义。
2.2 实验数据处理在科学实验中，许多实验数据的分布都符合正态分布。
研究人员可以利用正态分布的性质对实验数据进行处理和分析，得出结论和结果。
例如，在药物研发中，通过对正态分布的药效数据进行处理，可以评估药物的有效性和安全性。
2.3 财务分析在财务领域，正态分布也起到了重要的作用。
例如，股票市场的价格波动通常也符合正态分布。
通过对股票价格的正态分布进行建模，投资者可以评估风险，并制定相应的投资策略。
2.4 质量控制在生产过程中，正态分布还可以用于质量控制。
通过对生产过程中产品质量的测量，可以得出符合正态分布的质量数据。
通过分析这些数据，可以评估产品质量的稳定性，并及时调整生产过程。
2.5 教育评估在教育领域，正态分布可以用于评估学生成绩和智力水平等。
正态分布完整ppt课件
使用如Shapiro-Wilk检验、Kolmogorov-Smirnov检验等方法，对 误差项进行正态性检验，以验证其是否符合正态分布。
方差分析中F分布应用
01 02
F分布的定义
F分布是一种连续型概率分布，常用于方差分析中的假设检验。在方差 分析中，通过比较不同组间的方差与组内方差，判断各因素对结果的影 响是否显著。
筛选方法
包括单变量分析和多变量分析等，结合临床 意义和统计学显著性进行生物标志物的筛选 。
社会科学调查数据分析
社会科学调查数据特点
大量、复杂、多维度的数据，往往需要进行统计分析和数据挖掘。
正态分布在社会科学调查数据分析中的应用
通过对调查数据进行正态性检验，选择合适的数据处理和分析方法，如参数检验、回归分析等。
有对称性和单峰性。
性质
对称性：正态分布曲线关于均值对称 。
单峰性：正态分布曲线只有一个峰值 ，位于均值处。
均值、中位数和众数相等。
概率密度函数在均值两侧呈指数下降 。
正态曲线特点
01
02
03
04
形状
钟形曲线，中间高，两边低。
对称性
关于均值对称，即左右两侧形 状相同。
峰值
位于均值处，且峰值高度由标 准差决定。
05
正态分布在金融学领域应用
风险评估及资产组合优化
风险评估
正态分布用于描述金融资产的收益和风险分布，通过计算均值和标准差来评估投资组合 的风险水平。
资产组合优化
基于正态分布假设，利用马科维茨投资组合理论等方法，构建最优资产组合以降低风险 并提高收益。
VaR（Value at Risk）计算
正态分布用于计算投资组合在一定置信水平下的最大可能损失（VaR），以衡量潜在风 险。
正态分布及6Sigma原理
14
其他分布类型:
离散型变量所服从的分布
二项分布 （计件值）
P( X k) Cnk pk qnk , k 0,1,2,..., n
主要用于具有计件值特征的质量特性值分 布规律的研究.
泊松分布 （计点值）
P( X k) ke , k 0,1,2,...,
k!
主要用于计点值特征的质量特性值分布规 律的研究
考虑偏移1.5 σ的正态分布
规格中心 分布中心
0ppm 3.4ppm
1.5σ +/-3σ +/-6σ
66800ppm 3.4ppm
2020/10/510/2000
12
6σ原理推理过程
当规格限为M+/-3 σ时(3σ质量水平时), 正态分布中心距USL只有1.5σ, 而距LSL有4.5σ,两侧的不各格率分别为:
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•
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P(1.7<x<2.6)=( 2.06.3
2)
(1.7 2
2
第五章-正态分布、常用统计分布和极限定理
的面积， 然后根据1 0.125 0.875查附表4， 对应
Z 1.15,那么录取分数线
x X Z X 74 1.1511 86.65(分)
表5-2
例11：
0Z 图5-11
(1)求Z 1分数以上的概率是多少 ？
解：Z 1时， (Z) 0.34134, Z以上的概率为
（Z） Z
1
t2
e 2 dt
2
(Z 2 ) 图5-8 Z 2
(Z2 Z1)
图5-9Z1 Z 2
例4：已知服从标准正态分布 N(0，1)， 求P( 1.3) ? 解：因为() 1,() P( 1.3) P( 1.3) 所以( 1.3) 1 P( 1.3) 1 (1.3) 1 - 0.9032 0.0968
2
如果把u 0， 1代入(x)
1
e
(
xu)2
2 2
2
(x)
1
x2
e2
2
标准正态分布其实是一般正态分布的一个特 例，记作N(0，1)，一般正态分布记作N(μ，σ2)。
一般正态分布之所以能变成唯一的标准正态 分布，就是把原来坐标中的零点沿着X轴迁到μ点， 并且以σ为单位记分。
σ=1
0
图5-5
13.6%
13.6%
2.16% 0.11%
3 2 1 图05-6 1
2.16% 0.11%
23
三、标准分的实际意义
例1：甲、乙、丙3个同学《社会统计学》分数 都是80分，甲同学所在班平均成绩μ甲=80分， μ 乙=75分， μ丙=70分，标准差都是10，比较甲、乙、 丙3个同学在班上的成绩。
正态分布及3Sigma原理
当规格限为M+/-6 σ时(6σ质量水平时), 正态分布中心距USL只有4.5σ, 而距LSL有7.5σ,这时下侧的不合格品率几乎为0,
而上侧的不各格率分别为:
pU P(X u 4.5 ) 1 (4.5) 3.4 ppm
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0.001ppm 1350ppm
1350ppm 0.001ppm
±3σ
±6σ
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理推理过程
pL P(X u 3 ) (3) 1 (3) 1 0.99865 0.00135 1350 ppm pU P(X u 3 ) 1 (3) 1 0.99865 0.00135 1350 ppm
1 (USLu)
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3σ原理
若质量特性值X服从正态分布,那么,在 ±3σ 范 围内包含了99.73% 的质量特性值。
正态分布中心与规格中心重合时u±3σ u±6σ的
不合格率(未考虑偏移) 规格区域
μ
x
N（μ，σ2）
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σ不同(标准差 )
2020/9/2810/2000
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正态分布的特征
μ1 μ2
a> σ相同, u不同
μ
a> σ不同, u相同
http://www.5ix如ue.c何om计(海算量营落销管在理规培训格资料线下载外) 的不合格品率??? 7
不合格品率的计算
LSL
USL
Pl
Pu
u
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3σ原理
若质量特性值X服从正态分布,那么,在 ±3σ 范 围内包含了99.73% 的质量特性值。
正态分布中心与规格中心重合时u±3σ u±6σ的
不合格率(未考虑偏移) 规格区域
0.001ppm 1350ppm
1350ppm 0.001ppm
±3σ ±6σ
8
3σ原理推理过程
pL P( X u 3 ) (3) 1 (3) 1 0.99865
解:经标准化变换后可得
P(8<x<14)=
(14 10) (8 10) (2) (1)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2
2
=0.9773-(1-0.8413)=0.8185
P(1.7<x<2.6)=( 2.06.3
2)
(1.7 2
2)
(2)
(1)
=0.9773-(1-0.8413)=0.8185
主要用于具有计件值特征的质量特性值 分布规律的研究.
泊松分布 （计点值）
P( X k) ke , k 0,1,2,...,
k!
主要用于计点值特征的质量特性值分布 规律的研究
14
二项分布的平均值和标准差
平均值x np
标准差 npq
其中：n 样本大小 p 总体的不合格率 q 总体的合格率
1>若x~ N(10, 22),通过标准化变换u=
x 10
2 ~N(0,1)
2>若x~ N(2, 0.32),通过标准化变换u=
x 2 ~N(0,1)
0.3
5
不合格品率的计算(实例1)
1>设 x~ N(10, 22) 和 x~ N(2, 0.32), 概率
P(8<x<14)和P(1.7<x<2.6)各为多少?
pU P(X u 1.5 ) 1 (1.5) 1 0.9332 0.0668 66800 ppm pL P(X u 4.5 ) (4.5) 1 (4.5) 0.0000034 3.4 ppm
当规格限为M+/-6 σ时(6σ质量水平时), 正态分布中心距USL只有4.5σ, 而距LSL有7.5σ,这时下侧的不合格品率几乎为0, 而上侧的不各格率分别为:
pU P(X u 4.5 ) 1 (4.5) 3.4 ppm
12
控制图原理
通常控制图是根据“3 σ”原理确定控制界限,
即:
中心线 ：
CL=μ
上控制界限： UCL=μ+3σ
下控制界限： LCL=μ-3σ
13
其他分布类型:
离散型变量所服从的分布
二项分布 （计件值）
P( X k) Cnk pk qnk , k 0,1,2,..., n
a> σ相同, u不同
μ
a> σ不同, u相同
最常见
u1 u2
a> σ不同, u不同
3
标准正态分布
当μ=0，σ=1时正态分布称为标准正态分布
x
F(X)
1
x2
e 2 dx
2
研究实际问题比较方 便，可以借助标准正
态分布表
4
不合格品率的计算
若需计算分布的不合格品率, 则首先需要 利用分布的标准化变量, 即用正态变量减去自 己的均值后再除以自己的标准差
当N≥10n，p≤0.1或np ≥4-5时，就可以用 正态分布代替二项分布进行近似计算。
15
为标准正态分布函数
如何计算落在规格线外的不合格品率???
6
不合格品率的计算
LSL
USL
Pl
Pu
u
产品特性不合格品率 p pL pU
其中Pl为X低于下规范线的概率, Pu为X高于上规范线的概率
pL
P(X
LSL)
1
( LSL
u)
pU
P(X
USL)
1 (USLu)
正态分布:
x
F (x) f (x)dx
1
x (x)2
e 2 2 dx
2
其中: μ------正态均值，描述质量特性
值分布的集中位置。
σ------正态方差，描述质量特性值 x分布的分散程度。
μ
x
N（μ，σ2）
1
σ不同(标准差 )
2
正态分布的特征
μ1 μ2
10
为何6σ相当于3.4PPM?
考虑偏移1.5 σ的正态分布
规格中心 分布中心
0ppm 3.4ppm
66800ppm 3.4ppm
1.5σ +/-3σ +/-6σ
11
6σ原理推理过程
当规格限为M+/-3 σ时(3σ质量水平时), 正态分布中心距USL只有1.5σ, 而距LSL有4.5σ,两侧的不各格率分别为:
0.00135 1350 ppm
pU P(X u 3 ) 1 (3) 1 0.99865
0.00135 1350ppm
9
3σ 原理
未考虑偏移的正态分布
99.9999998% 99.99943% 99.9937% 99.73% 95.45% 68.27%
6 5σ 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6