五方阵的行列式
行列式知识点
行列式知识点行列式是线性代数中的重要概念之一，广泛应用于数学、物理、工程和计算机科学等领域。
本文将介绍行列式的基本概念、性质和计算方法，帮助读者更好地理解和应用行列式知识。
一、行列式的定义行列式是一个与矩阵相关的数值。
对于一个n阶方阵A，它的行列式表示为det(A)，其中n表示方阵的阶数。
行列式的计算涉及到矩阵的元素和排列的概念，下面将详细介绍。
二、行列式的性质1. 行列式的对角线规则：对于一个n阶方阵A，行列式det(A)等于主对角线元素相乘的积减去次对角线元素相乘的积。
2. 行列式的性质之一：交换行（列）位置，行列式的值不变。
3. 行列式的性质之二：若行（列）中有两行（列）元素成比例，行列式的值为0。
4. 行列式的性质之三：行列式的某一行（列）乘以一个数k，等于行列式的值乘以k。
三、行列式的计算方法1. 二阶和三阶行列式的计算：对于二阶行列式A，可以用交叉相乘法计算，即ad-bc。
对于三阶行列式A，可以用Sarrus法则计算。
2. 高阶行列式的计算：对于n阶行列式A，可以利用拉普拉斯展开定理进行计算。
具体步骤是选择一行（列）作为展开行（列），将行列式展开为以该行（列）元素为首的n个代数余子式的乘积之和。
四、行列式的应用1. 线性方程组的解：行列式可以用于求解线性方程组的解。
若系数矩阵的行列式不为0，则方程组有唯一解；若行列式为0，则方程组无解或有无穷解。
2. 矩阵的逆：若一个n阶方阵A的行列式不为0，则矩阵A可逆，且其逆矩阵A^{-1}的元素可以用A的伴随矩阵元素和行列式的倒数表示。
3. 坐标变换：在几何学中，行列式可以用于坐标变换。
例如，二维平面上坐标变换时，坐标的旋转、平移和缩放可以用行列式进行表示。
五、总结本文介绍了行列式的基本概念、性质和计算方法，并提供了行列式在线性方程组、矩阵逆和坐标变换中的应用。
行列式作为线性代数中的基础知识，对于深入理解和应用相关领域的知识具有重要作用。
通过学习和掌握行列式的知识点，读者可以更好地理解相关的数学和科学问题，并灵活运用行列式进行问题求解和分析。
行列式的定义计算方法
行列式的定义计算方法行列式是线性代数中一个重要的概念，用于描述线性方程组的解的性质。
行列式广泛应用于数学、物理、工程等领域，具有重要的理论和实际价值。
本文将详细介绍行列式的定义和计算方法，并通过实例加以说明。
行列式是线性代数中独特的一个概念，它起源于19世纪初，由日本数学家关孝和引入并发展起来。
行列式在线性代数中具有非常重要的地位，它与线性方程组的解有密切的关联。
掌握行列式的定义和计算方法，对于理解线性代数的相关概念和解决实际问题具有重要的意义。
一、行列式的定义行列式是一个方阵的一个标量值，它可以用来判断矩阵的很多性质和计算线性方程组的解。
对于一个n阶矩阵A=(a_ij)，它的行列式记作det(A)，其中a_ij表示在矩阵A中第i行、第j列的元素。
二、行列式的计算方法1. 二阶行列式的计算：对于一个2x2的矩阵A=(a_11 a_12; a_21 a_22)，它的行列式计算公式为：det(A) = a_11 * a_22 - a_12 * a_212. 三阶行列式的计算：对于一个3x3的矩阵A=(a_11 a_12 a_13; a_21 a_22 a_23; a_31 a_32 a_33)，它的行列式计算公式为：det(A) = a_11 * a_22 * a_33 + a_12 * a_23 * a_31 + a_13 * a_21 * a_32- a_31 * a_22 * a_13 - a_32 * a_23 * a_11 - a_33 * a_21 * a_123. 高阶行列式的计算：对于高于三阶的行列式，我们通常使用拉普拉斯展开法来计算。
选择行或列，然后对该行或列的元素依次乘以其代数余子式，再按正负号加和，即可得到行列式的值。
【举例说明】为了更好地理解行列式的计算方法，我们通过一个实例来进行说明。
考虑一个3x3的矩阵A=(1 2 3; 4 5 6; 7 8 9)，我们将按照上述的计算方法来求解其行列式值。
行列式的几种计算方法
行列式的几种计算方法
空格
行列式是线性代数的基本概念，它具有重要的应用价值。
它的计算方法也有很多，下面主要介绍几种行列式计算的方法。
一、展开式法
把行列式的每一行的元素乘以其所在的代数余子式的值，再将所有的积相加，得到的结果就是行列式的值。
这种方法理论上可以计算任何n阶的行列式，但当n阶较大时，展开比较繁琐，耗时也较长。
二、余子式法
计算第i行列式的方法是：取行列式的第i行，取其余行，去掉第i列，再找出这些行的代数余子式，再将每一行所对应的代数余子式乘以该行第i位置上的元素，再将所有的乘积之和，得到的结果就是行列式的值。
三、乘法法
若用行列式的乘法法来计算三阶行列式，则将行列式的三行分别乘以它们的代数余子式，将结果相加。
其中要用到符号乘，只要熟悉符号乘的规则，就可以简单地进行计算。
四、分块法
分块法是将行列式分解成几个临时的小行列式，再用余子式或展开式算出小行列式的值，再将小行列式的值按一定的规则组合起来，就得到原行列式的值了。
分块法优点是计算过程不复杂，缺点是分解成的小行列式的值计算比较复杂。
五、行变换法
用行变换法计算行列式的方法是：先将行列式的几行或几列进行线性变换，使行列式某一行或某一列为0，再将变换后的行列式化简为方阵或三角阵，再求解，之后再换回原行列式，则可以得出原行列式的值。
以上就是常用的几种行列式计算方法，不同的方法各有优劣，使用者可根据具体情况选择合适的方法用于行列式计算。
矩阵行列式规则_概述说明以及解释
矩阵行列式规则概述说明以及解释1. 引言1.1 概述矩阵行列式是线性代数中的重要概念之一，它在各个方面都有着广泛的应用。
矩阵行列式规则是对于矩阵行列式计算过程中的一些基本操作和规律的总结和概括。
通过研究和了解矩阵行列式规则，我们可以更好地理解矩阵与行列式的关系，推导出更多的定理和性质，并将其应用于实际问题求解、判断矩阵可逆性等领域。
1.2 文章结构本文主要分为五个部分：引言、矩阵与行列式、矩阵行列式规则、解释矩阵行列式规则的意义以及结论。
其中，在引言部分将对整篇文章进行概述；在矩阵与行列式部分，将介绍基本的矩阵与行列式的定义和性质；在矩阵行列式规则部分，将详细讲解常用的几个运算规则；在解释矩阵行列式规则的意义部分，将探讨它们在线性方程组求解、判断矩阵可逆性以及几何变换中的应用；最后，在结论中对矩阵行列式规则及其重要性进行总结，并提出未来的研究方向或应用领域。
1.3 目的本文的目的是对矩阵行列式规则进行概述、说明和解释。
通过本文的阐述，读者将能够了解到什么是矩阵和行列式，以及它们之间的关系；掌握常用的矩阵行列式规则，并了解其运用于线性方程组、矩阵可逆性判断和几何变换等领域；认识到矩阵行列式规则在数学领域中的重要性，以及未来可能深入探索和扩展该领域的方向。
通过本文的学习，读者将能够更加准确地理解和应用矩阵行列式规则，从而提升自己在相关数学问题上的能力。
2. 矩阵与行列式2.1 矩阵概念矩阵是由m行n列的数字排成的矩形阵列，可以用来表示线性方程组、向量空间的线性变换以及图像处理等问题。
一个矩阵可以用大写字母表示，如A，并且可以表示为以下形式：A = [a11, a12, ..., a1n;a21, a22, ..., a2n;...,am1, am2, ..., amn]其中，a_ij代表第i行第j列的元素。
2.2 行列式概念行列式是矩阵中一个非常重要的数值指标。
对于一个n阶矩阵A，它的行列式记作|A|或det(A)，其计算方式为：|A| = a11C11 + a12C12 + ... + a1nC1n= ∑(-1)^(i+j)a_ij*Cij其中，a_ij表示第i行第j列的元素，Cij是代数余子式。
矩阵的行列式定义
矩阵的行列式定义矩阵是线性代数中的一个重要概念，与之紧密相关的是矩阵的行列式。
行列式是一个数学工具，用于描述矩阵的性质和特征。
在本文中，我们将探讨矩阵的行列式定义及其相关概念。
一、矩阵的概念矩阵是一个由数字组成的矩形阵列，由m行和n列组成，通常记作A=[a_{ij}]，其中i表示行数，j表示列数。
每个元素a_{ij}都是一个实数或复数。
矩阵的大小由行数和列数决定，常用的矩阵有方阵、行向量和列向量。
二、行列式的定义行列式是一个与方阵相关的数值。
对于一个n阶方阵A=[a_{ij}]，其行列式记作det(A)，其中n表示方阵的阶数。
行列式的计算方法是通过对矩阵元素进行特定运算得到的。
三、行列式的计算方法1. 二阶行列式的计算方法对于一个2阶方阵A=[a_{ij}]，其行列式的计算方法为：det(A) = a_{11} * a_{22} - a_{12} * a_{21}。
2. 三阶行列式的计算方法对于一个3阶方阵A=[a_{ij}]，其行列式的计算方法为：det(A) = a_{11} * a_{22} * a_{33} + a_{12} * a_{23} * a_{31} + a_{13} * a_{21} * a_{32} - a_{13} * a_{22} * a_{31} - a_{12} * a_{21} * a_{33} - a_{11} * a_{23} * a_{32}。
对于更高阶的行列式，其计算方法可以通过递推的方式得到。
行列式的计算方法较为繁琐，但是对于线性代数的研究和应用起着重要的作用。
四、行列式的性质1. 行列式的值与矩阵的行列有关，与矩阵的元素排列顺序有关。
行列式的值随着矩阵元素的变化而变化。
2. 行列式的值可以为0，也可以为正数或负数。
当行列式的值为0时，表示矩阵的行或列之间存在一定的相关性，线性无关性受到限制。
3. 行列式的值可以用于判断矩阵的可逆性。
当行列式的值不为0时，矩阵是可逆的；当行列式的值为0时，矩阵是不可逆的。
八大类型行列式及其解法
八大类型行列式及其解法一、行列式的定义行列式是一个重要的线性代数概念，用于刻画矩阵的性质和求解线性方程组。
对于一个n阶方阵A，其行列式记作det(A)或|A|。
行列式的定义如下：对于2阶方阵A = [a11 a12] ，其行列式定义为det(A) = a11 * a22 - a12 * a21。
对于3阶及以上的方阵，行列式的定义并不直观，可以通过划线法、拉普拉斯展开等方法进行计算。
接下来，我们将介绍八大类型的行列式及其解法。
二、二阶行列式二阶行列式的计算非常简单，直接应用行列式的定义即可。
对于2阶方阵A =[a11 a12；a21 a22] ，其行列式计算公式为：det(A) = a11 * a22 - a12 * a21。
三、对角行列式对角行列式是指所有非对角元素都为0的行列式。
对于n阶对角行列式A =diag(a1, a2, …, an)，其行列式计算公式为：det(A) = a1 * a2 * … * an。
四、三角行列式三角行列式是指所有主对角线以下元素为0的行列式。
对于n阶上三角行列式A，其行列式计算公式为：de t(A) = a11 * a22 * … * ann。
五、上三角行列式上三角行列式是指所有主对角线及以上元素为0的行列式。
对于n阶上三角行列式A，其行列式计算公式为：det(A) = a11 * a22 * … * ann。
六、下三角行列式下三角行列式是指所有主对角线及以下元素为0的行列式。
对于n阶下三角行列式A，其行列式计算公式为：det(A) = a11 * a22 * … * ann。
七、轮换行列式轮换行列式的计算是一种常用的方法，可以通过对行列式中元素的位置进行变换，从而简化计算过程。
对于n阶轮换行列式A，其行列式计算公式为：det(A) = a1 * a2 * … * an。
八、范德蒙行列式范德蒙行列式是一类特殊的行列式，可以应用于插值、多项式拟合等问题中。
对于n阶范德蒙行列式A，其行列式计算公式为：det(A) = Π i<j (xi - xj)。
行列式的几种计算方法
行列式的几种计算方法行列式是线性代数中的重要概念，是一种用于描述矩阵特征的数学工具。
在数学和工程领域中，行列式的计算是非常重要的，它与矩阵的性质及相关运算具有密切的关系。
本文将介绍关于行列式的几种计算方法，希望能够帮助读者更好地理解和应用行列式。
一、行列式的定义在了解行列式的计算方法之前，我们首先来了解行列式的定义。
行列式是一个用方括号表示的数学量，它是一个矩阵所代表的线性变换对“面积”或“体积”的伸缩因子。
对于一个n阶方阵A，它的行列式记作det(A)，其中n表示方阵的阶数。
行列式的计算方法有很多种，下面我们将介绍其中的几种常见方法。
二、拉普拉斯展开法拉普拉斯展开法是一种常见的行列式计算方法。
在使用拉普拉斯展开法计算行列式时，首先需要选择一个行或列，然后将行列式展开成以该行或列元素为首元素的一系列代数余子式的和。
具体步骤如下：1. 选择一个行或列，我们以第一行为例；2. 对第一行的每个元素，计算它的代数余子式，代数余子式的计算方法是去掉对应行和列的元素后计算得到的行列式；3. 计算每个元素的代数余子式，然后与对应元素相乘再相加，得到最终的行列式值。
对于一个3阶矩阵A```a b cd e fg h i```使用拉普拉斯展开法，选择第一行进行展开，计算行列式的方法如下：```det(A) = a*det(A11) - b*det(A12) + c*det(A13)```其中A11、A12、A13分别为：A11 =```e fh i```A12 =```d fg i```A13 =```d eg h```通过计算A11、A12、A13的行列式值，再按照上述公式计算，即可得到矩阵A的行列式值。
三、性质法行列式的性质法是一种简单而有效的计算方法，它是通过一些行列式的基本性质来简化和计算行列式的值。
行列式的基本性质包括以下几条：1. 对调行或列，行列式变号；2. 行或列成比例，行列式为0；3. 行列式中有两行、两列相同，行列式为0；4. 两行或两列互换，行列式变号；5. 行列式中某一行或列乘以一个数，等于这个数与行列式的乘积。
线性代数行列式计算方法总结
线性代数行列式计算方法总结线性代数是数学的一个分支，研究向量空间与线性映射的代数理论。
行列式是线性代数中重要的概念之一，用于判断线性方程组的解的存在与唯一性，以及计算线性变换的特征值与特征向量等。
本文将介绍线性代数中行列式的计算方法，并总结为以下几种常见的方法。
方法一：定义法行列式的定义是一个很重要的概念，也是计算行列式的基础。
对于一个n阶方阵A，它的行列式表示为|A|或det(A)，定义为n个行向量或列向量所组成的n维向量空间的基向量所构成的平行多面体的有向体积。
根据这个定义，我们可以通过构造平行多面体来计算行列式的值，方法即是代数余子式展开法。
方法二：对角线法则对角线法则是计算2阶或3阶方阵行列式的简易方法。
对于2阶方阵A，其行列式的值等于主对角线上元素的乘积减去副对角线上元素的乘积；对于3阶方阵A，其行列式的值等于主对角线上元素的乘积与副对角线上元素的乘积之差。
此方法适用于小规模方阵的计算。
方法三：按行展开法按行展开法是计算n阶方阵行列式的一种常用方法。
对于一个n阶方阵A，选择其中一行（通常选择第一行）展开，即将该行中的元素与所在行和列上排列的剩余元素分别构成n-1阶的方阵，然后将其乘以对应元素的代数余子式，最后再按正负号相间相加得到行列式的值。
按行展开法在计算大规模方阵的行列式时，不仅简化了计算过程，还可以通过递归的方式实现。
方法四：按列展开法按列展开法与按行展开法类似，只是选择展开的对象变为一列。
选择第j列展开，则将该列中的元素与所在行和列上排列的剩余元素分别构成n-1阶的方阵，然后将其乘以对应元素的代数余子式，最后再按正负号相间相加得到行列式的值。
方法五：性质法行列式具有一系列的性质，可以根据这些性质来简化行列式的计算过程。
这些性质包括行列对换，相同行列的元素倍加，行列式放缩等。
利用这些性质，我们可以通过对行列式进行简单的变换，使其更容易计算，例如将行列式转化为上三角形矩阵，然后直接求解主对角线上元素的乘积即可。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
D (1)n E
0 ,
AC
从而有
D = ( －1 )n|－E||C| = ( －1 )n( －1 )n| C | = | C | = | AB |。
于是
2020/5/1
| AB | = | A | | B |
例6：设A , B 均为 n 阶方阵
x2
a11 a12 a13x1
x3 a21 a22 a23x2.
1 3
a31 a32 a33x3
2.
设 P 1 A P ,其 中 P 1 1 1 4 ,
10 02 ,
求A.
2020/5/1
称 f ( A ) 为方阵 A 的矩阵多项式。
例11 设有多项式 f (λ) = λ2－ 3λ + 2和矩阵
1 1 2
A
0
1
1
1 2 1
求矩阵多项式 f (A) 。
2020/5/1
解 因为
1 1 2 1 1 2 A2 0 1 10 1 1
1 2 1 1 2 1
3 2 5
1 2
1 3
A (aij ).
则 A 称为A的共轭矩阵。
2020/5/1
2.运算律
设 A 、B 为复矩阵，λ 为复数.
1) ABAB;
2) A A
3) ABAB.
2020/5/1
七、 可换矩阵及方阵多项式 1、可换矩阵 设 A、B 均为n阶方阵，若 AB = BA ，则称是可换的。 例9 设
A11 21,Ba3 b2.
5 4
例10 设
1 0 0
A
0 0
2 0
0 3
求与 A 可交换的所有矩阵。
解设
x1 x2 x3
X
y1
y2
y
3
z1 z 2 z3
与 A 可 交 换 ， 即 有 2020/5/1
1 0 0x1 x2 x3 x1 x2 x31 0 0 0 2 0y1 y2 y3y1 y2 y30 2 0 0 0 3z1 z2 z3 z1 z2 z30 0 3
a 0 0
0
b
0
0 0 c
其中 a ，b，c 为任意实数。
2020/5/1
2、方阵多项式
设有 n 阶矩阵 A 和多项式 f ( λ ) = amλm + am-1λm-1 + … + a1λ + a0
规定 f ( A ) = am Am + am-1 Am-1 + … + a1A + a0
于是 x1 x2 x3 x1 2x2 3x3 2y1 2y2 2y3y1 2y2 3y3 3z1 3z2 3z3 z1 2z2 3z3
从而 x2 = 2x2 , x3 = 3x3 ,
2y1 = y1 , 2y3 = 3y3 ,
3z = z , 2020/5/1 1
1
3z2 = 2z2 ,
即 x2 = x3 = y1 = y3 = z1 = z2= 0 , 所以，与可交换的任一矩阵是
2020/5/1
a11b1n a12b2n L a1nbnn a21b1n a22b2n L a2nbnn LLLLLLLLLL an1b1n an2b2n L annbnn
AC D
E 0
其中 C = ( cil ) , cij = ai1b1j+ai2b2j+…+ainbnj , 故 C = AB。
a11 L a1n
M
M
0
D = a n1 L a nn
1
b11 L b1n
O
M
M
1 bn1 L bnn
AO
E B
2020/5/1
显然，D = |A||B| ,而在 D 中以 b1j 乘第 1 列，b2j 乘第 2 列 ，… ， bnj 乘第 n 列 , 都加到第 n + j 列上 （j=1,2,…,n) , 有
a11 a12 L a1n a11b11a12b21L a1nbn1 L a21 a22 L a2n a21b11a22b21L a2nbn1 L L L L L LLLLLLLLLL L
D=
an1 1
an2 0
L L
ann 0
an1b11an2b21L annbn1 L
0 1 L 0 0
LLLL
0 0 L 1
五、方阵的 行列式 1、定义 定义6 由n阶方阵A的元素所构成的行列式 （各元素的位置不变），称为方阵A的行列式， 记作 |A| 或 detA 。
2020/5/1
2、运算律
1).AT A;
2).An A;
3).AB AB
2020/5/1
我们仅证明3），设A = (aij), B = (bij)。 记 2n 阶行列式
An = ( αβT )n = αβTαβTαβT … αβT = 3n-1A
| An | = | 3n-1A | = (3n-1)n| A |
111 23
(3n1)n 2
1
2 3
3
3 2
1
=0
2020/5/1
六、共轭矩阵
1、定义
定义7 设A= ( a ij )为复矩阵，a ij
表示a ij 的共轭复数，记
2 1
3 3 6
3A
0
3
3
2020/5/1
3 6 3
则 f (A) = A2－ 3A + 2E
3 2 5 3 3 6 2 0 0
21
1 3
1203
3 6
3300
2 0
02
2 5 1
1
2
1
.
2020/5/1
1 3 0
练习：
1.计算下列矩阵的乘积.
3 2
(1) 1 2 32;(2) 11 2; (3) x1
= BTAT + ATBT = －BA－AB = －（ AB + BA ） 所以， AB + BA 为 n 阶反对称矩阵。
2020/5/1
例8 设
1
1
2
,
1 2
3
1 3
令 A = αβT, 求 An 及| An|。
解
1
231,
1, 21 1323Fra bibliotek1 2
1
3 2
1 3
2
3
1
2020/5/1
若矩阵 A与 B 可交换，求 a ,b 的值 。 解 由于 AB = BA ，即
2020/5/1
1 2a b a b1 2 1 13 23 21 1
即 a a 6 3
b4 ab b2 5
2ab
4
a 6
亦即ba
4 3
b 2
故 a = 2020/5/1 8 , b = 6 。
ab 2a b
且
AA TE,BTBE,
A 1,
B
则AB0.
证 AB＝ AT B BAT A B
A(BTAT)B
A(AB)T B B2 AB
A B
故AB0. 2020/5/1
例7 设 A 是 n 阶反对称矩阵，
B 是 n 阶对称矩阵，则 AB + BA 是
n 阶反对称矩阵。 证 ( AB + BA )T = (AB)T + (BA)T