概率论的基础知识共80页
概率论基础 PPT课件
正概率点为至多可列个
连续型 其他
任何随机变量X都是从负无穷到正无穷
离散型随机变量特点：正概率点为有限个或者可列个
0，1：正概率点 P(1)=1/2
P(0)=1/2
非离散型
连续型 其他
三.随机变量(random variable)的分布
4.1 概率的数学（公理化）定义 概率就是广义的函数
数学定义：设E是一个随机试验，Ω为它的样本空间，以E中所有的随机事件 组成的集合（事件体）为定义域，定义一个函数P(A)（其中A为任一随机事件），
且P(A)满足以下三个公理，则称函数P(A)为事件A的概率。
公理1（非负性） 0≤P(A)≤1 公理2（规范性） P(Ω)=1 公理3（可列可加性） 若A1,A2, …,An,…两两相斥，则
第一章 概率论基础
§1.1 概率简述
1. 随机现象及其统计规律性
在一组不变的条件下，具有多种可能发生的结果的现象称为随机现象， 这类现象的一个共同点是： 事先不能预言多种可能结果中究竟出现哪一种。
2. 随机试验与随机事件 我们把对随机现象进行的一次观测或者一次实验统称为一个试验， 如果这个试验满足下面的三个条件： （1）在相同的条件下，试验可以重复地进行；（可重复） （2）试验的结果不止一种，而且事先可以确知试验的所有结果； （3）在进行试验前不能确定出现哪一个结果。（不可预测） 那么我们就称它是一个随机试验，简称试验。一般用字母E表示。
数值p为事件A在条件S下发生的概率(probability) ，记作P(A)=p。
例2：捕鱼问题
× f
n
A
n
P
A
池塘中有鱼若干（不妨假设为n条），先捞上1000条作记号，放回后再
概率论知识点总结.ppt
************************ 典 型 问 题 ************************** 典型问题一: 事件的概率( 利用概率定义和运算法则计算 )
利用古典概型与加法定理计算
利用全概公式和贝叶斯公式计算 利用条件概率与乘法公式计算
典型问题一: 事件的概率( 利用随机变量的概率分布计算 )
概率论知识要点
随机 事件
概念 样本点、样本空间、基本事件、随机事件、必然事件、不可能事件 运算及关系 运算性质
概率 定义、 性质 条件概率
乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式、 独立、 独立重复试验
随机变量
定义 、性质、离散型/连续型、 n维 分布函数/分布律 概率密度 边缘分布、条件分布、 独立性
随机变量函数的分布
机 变
分布函数
量 及
性质
分
布
3)左连续
函
数 X落在区间内概率
定义
离
散
性质
型
与 连
与分布函数的关系
续
型
随
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
机 变
X落在区间内概率
量
分布律
分布函数
6
边 边缘分布函数
缘
分
定义
布
条件分布函数
条
件
定义
分
布
P{ X = xi | Y = yj } P{ Y = yj | X = xi }
独
立
定义
性
7
r.v.的函数 的分布
所求概率
已知分布
已知分布律
已知分布密度
典型问题一: 事件的概率( 概率的近似计算 )
典型问题二: 随机变量及其函数的分布
概率论基础知识汇总
P( A) 1 P( A)
P(A B C) P(A) P(B) P(C) P( AB) P(BC) P(AC) P(ABC)
条件概率 Conditional Probability
定义 设Ａ，Ｂ为同一个随机试验中的两个随机事件 ,
且Ｐ（Ｂ）＞０， 则称
P( A B) P( AB) P(B)
全概率公式
设Ａ1 ，Ａ2 ，...，Ａn 构成一个完备事件组，且 Ｐ(Ａi )＞0 ，i＝1，2，...，n，则对任一随机事件Ｂ， 有
n
P(B) P( Ai )P(B | Ai ) i 1
A1 P( A1) P(B | A1)
A2 P( A2 ) P(B | A2 )
A3 P( A3) P(B | A3)
为在事件Ｂ发生的条件下，事件Ａ发生的条件概率．
乘法法则
P( AB) P( A)P(B A) P(B)P(A B)
推广
P(B A) P( AB) P( A)
P( A B) P( AB) P(B)
P( ABC) P( A)P(B A) P(C | AB)
P( A1 A2 An ) P( A1)P( A2 A1)P( A3 ( A1A2 )) P( An ( A1 A2 An1))
P(A B) P(AB) P(B)
P(AB) P(B | A)
P(AB) P(AB) / P(A)
P(A)
事件的独立性 判别
事件Ａ与事件Ｂ独立的充分必要条件是
P( AB) P( A)P(B)
证明 由乘法公式 P( AB) P( A)P(B | A) 和 独立性定义P(B | A) P(B)可得
实际问题中，事件的独立性可根据问题的实 际意义来判断
概率论基本知识(通俗易懂)
第一章概率论的基本概论确定现象：在一定条件下必然发生的现象，如向上抛一石子必然下落，等随机现象：称某一现象是“随机的”，如果该现象（事件或试验）的结果是不能确切地预测的。
由此产生的概念有：随机现象，随机事件，随机试验。
例：有一位科学家，他通晓现有的所有学科，如果对一项试验（比如：掷硬币），该万能科学家也无法确切地预测该实验的结果（是正面朝上还是反面朝上），这一实验就是随机实验，其结果是“随机的”----为一随机事件。
例：明天下午三点钟”深圳市区下雨”这一现象是随机的，其结果为随机事件。
随机现象的结果（随机事件）的随机度如何解释或如何量化呢？这就要引入”概率”的概念。
概率的描述性定义：对于一随机事件A，用一个数P(A)来表示该事件发生的可能性大小，这个数P(A)就称为随机事件A发生的概率。
§1.1随机试验以上试验的共同特点是:1．试验可以在相同的条件下重复进行；2．试验的全部可能结果不止一个，并且在试验之前能明确知道所有的可能结果；3．每次试验必发生全部可能结果中的一个且仅发生一个，但某一次试验究竟发生哪一个可能结果在试验之前不能预言。
我们把对随机现象进行一次观察和实验统称为随机试验，它一定满足以上三个条件。
我们把满足上述三个条件的试验叫随机试验，简称试验，记E 。
§1.2样本空间与随机事件(一) 样本空间与基本事件E 的一个可能结果称为E 的一个基本事件，记为ω，e 等。
E 的基本事件全体构成的集，称为E 的样本空间，记为S 或Ω, 即：S={ω|ω为E 的基本事件}，Ω={e}. 注意：ω的完备性，互斥性特点。
例：§1.1中试验 E 1--- E 7E 1：S 1={H,T}E 2：S 2={ HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,TTT }E 3：S 3={0，1，2，3} E 4：S 4={1,2,3,4,5,6} E 5: S 5={0,1,2,3,…} E 6：S 5={t 0≥t }E 7：S 7={()y x ,10T y x T ≤≤≤}（二） 随机事件我们把试验 E 的全部可能结果中某一确定的部分称为随机事件。
第一章-概率论的基础知识
组合（不放回抽样）：从含有n个元素的集合中 随机抽取k个，共有
n A n! k Cn k k ! k !(n k )!
k n
种取法.
(1) 摸球问题 例1:设盒中有4个白球，2个红球，现从盒中
任抽2个球，分别在放回抽样与不放回抽样的
情况下求
(1)取到两只白球的概率。
AB
“A发生必导致B发生”。
2.和事件： (p4) AB
AB发生“事件A与B 至少有一个发生”
i 2’n个事件A1, A2,…, An至少有一个发生 A发生 i 1
n
3. 积事件(p4) :AB＝AB
A与B同时发生 AB发生
3’n个事件A1, A2,…, An同时发生 A1A2…An发生
容的事件，即AiAj＝，(ij), i , j＝1, 2, …, 有
P( A1 A2 … )＝ P(A1) ＋P(A2)+…. 则称P(A)为事件A的概率。( p8) 称为概率的公理化定义
概率的性质 P(8-9) (1) P() 0 (2) 有限可加性：设A1，A2，…，An , 是n个两两互 不相容的事件，即AiAj＝ ，(ij), i , j＝1, 2, …, n , 则有 P( A1 A2 … An)＝ P(A1) ＋P(A2)+… +P(An); (3) 单调不减性：若事件AB，则 P(A)≥P(B) A S , P( A) 1
解：
P( A B) 0.6 ,
求 P( AB )
P( AB) P( A B) P( A) P( AB)
P( A) [ P( A) P( B) P( A B)]
0.4 (0.4 0.3 0.6) 0.3
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n
② pi＝1. i＝1
③一般地，离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于这 个范围内每个随机变量值的概率__之__和____． 思考探究 如何求离散型随机变量的分布列？ 提示：首先确定随机变量的取值，求出离散型随机变量的每一 个值对应的概率，最后列成表格．
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15
2．常见离散型随机变量的分布列
概率基础知识
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1
基
基本事件
互斥事件
加
本
法
事
事
并（和）事件的概率
公
件
目ห้องสมุดไป่ตู้事件
件
对立事件
式
空
的
间
性
质
不可能事件
乘
概
独立事件
法
率 必然事件
交（积）事件的概率
公
式
条件概率
简
全
单
古典概型
概
概
率
随
率
比例算法
公
机
模
式
事
型
几何概型
件
频
率
随机试验
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2
集合知识回顾： 1、集合之间的包含关系：
称为离散型随机变量X的概率分布列，简称X的分布列．有时 为了表达简单，也用等式__P_(_X_＝__x_i_)＝___p_i，__i＝__1_,_2_，__…__，__n__表示
X的分布列．
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14
(2)离散型随机变量分布列的性质 ①____p_i≥__0_，__i_＝__1_,2_，__…__，__n_；
PA∩B
P(B|A)＝___P__A_____，P(A)>0.
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练习三
从下面两式分析各表示什么包含关系。
1A B A 2A B A
解
1A B A 2A B A
, 说明A是B的子集， A B ，说明 B是A的子集， B A
。 。
返回
概率
对于一个随机事件A (除必然事件和不可能事件 外)来说，它在一次试验中可能发生，也可能不发生。 我们希望知道的是事件在一次试验中发生的可能性。 用一个数P(A)来表示该事件发生的可能性大小，这 个数P(A)就称为随机事件A的概率。 我们希望找到一个数来表示P(A)。
例2： 在E２中事件A１：“第一次出现的是H”，即 A１＝{HHH，HHT，HTH，HTT}； 事件A２：“三次出现同一面”，即 A2＝{HHH，TTT}； 在E６中事件A3 ：“寿命小于1000小时”，即 A3＝｛t︱0≤t＜1000}； 在E７中事件A3：“最高温度和最低温度相差10摄氏度”，即 A7＝{(x，y) ︱y-x=10,T0≤x≤y≤T1}。 例3： 某袋中装有4只白球和2只黑球，我们考虑依次从中摸出两球所 可能出现的事件。若对球进行编号，4只白球分别编为1，2，3， 4号，2只黑球编为5，6号。如果用数对(i，j)表示第一次摸得 i号球，第二次摸得j号球，则可能出现的结果是
6) 这三个事件至少发生一个可以表示为：
ABC ABC ABC
A B C或 ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC
练习一
化简下列格式：
1 A B A B 2 A B B C 3 A B A B A B
现在我们以abc分别记投一次四面体出现红白黑颜色的事件则由于在四面体中有两面有红色因pa12同理pbpc12容易算出pabpbcpac14所以abc两两独立但是pabc1418papbpc80思考能否由81例23若有一个均匀正八面体其第1234面染红色第1235面染白色第1678面染上黑色现在以abc分别表示投一次正八面体出现红白黑的事件则但是pab3814papb82n个事件独立性的定义及其推论一般设a是nn2个事件如果对于其中任意2个任意3个?任意n个事件的积事件的概率都等于各事件概率之积则称事件相互独由定义可以得到以下两点推论
概率论基础讲义全
概率论基础知识第一章随机事件及其概率随机事件§几个概念1、随机实验:满足下列三个条件的试验称为随机试验|;（1）试验可在相同条件下重复进行；（2）试验的可能结果不止一个，且所有可能结果是已知的；（3）每次试验哪个结果出现是未知的；随机试验以后简称为试验，并常记为E。
例如：曰：掷一骰子，观察出现的总数；E2：上抛硬币两次，观察正反面出现的情况；E3:观察某电话交换台在某段时间内接到的呼唤次数2、随机事件：在试验中可能出现也可能不出现的事情称为随机事件:常记为A，B, C例如，在E i中，A表示掷出2点”，B表示掷出偶数点”均为随机事件3、必然事件与不可能事件：每次试验必发生的事情称为必然事件，记为Q。
每次试验都不可能发生的事情称为不可能事件，记为①。
例如，在E i中，掷出不大于6点”的事件便是必然事件，而掷出大于6点”的事件便是不可能事件，以后，随机事件，必然事件和不可能事件统称为事件4、基本事件：试验中直接观察到的最简单的结果称为基本事件。
例如，在曰中，掷出1点”，掷出2点”，……，掷'出6点”均为此试验的基本事件由基本事件构成的事件称为复,例如，在E i中掷出偶数点”便是复合事件5、样本空间：从集合观点看，称构成基本事件的元素为样本点,常记为e.例如，在E i中，用数字1, 2,......,6表示掷出的点数，而由它们分别构成的单点集{1}, {2}, (6)便是E i中的基本事件。
在E2中，用H表示正面，T表示反面，此试验的样本点有(H , H),( H , T),( T, H ),( T, T),其基本事件便是{ ( H, H) }, { ( H , T) }, { (T, H ) }, { (T, T) }显然，任何事件均为某些样本点构成的集合。
例如，在E i中掷出偶数点”的事件便可表为{2, 4, 6}。
试验中所有样本点构成的集合称为样本空间。
记为Qo例如，在E i 中，Q={1 , 2, 3, 4, 5, 6}在E2 中，Q={ ( H , H),( H , T),( T, H),( T, T) }在E s 中，Q={0 , 1, 2,……}例1, 一条新建铁路共10个车站，从它们所有车票中任取一张，观察取得车票的票种此试验样本空间所有样本点的个数为N Q=P 210=90.（排列：和顺序有关，如北京至天津、天津至北京）若观察的是取得车票的票价，则该试验样本空间中所有样本点的个数为10）=452（组合）例2 .随机地将15名新生平均分配到三个班级中去，观察15名新生分配的情况。
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概率论的基础知识
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 1、最灵繁的人也看不见自己的背脊。——非洲 2、最困难的事情就是认识自己。——希腊 3、有勇气承担命运这才是英雄好汉。——黑塞 4、与肝胆人共事，无字句处读书。——周恩来 5、阅读使人充实，会谈使人敏捷，写作使人精确。——培根
6、法律的基础有两个，而且只有两个……公平和实用。——伯克 7、有两种和平的暴力，那就是法律和礼节。——歌德
8、法律就是秩序，有好的法律才有好的秩序。——亚里士多德 9、上帝把法律和公平凑合在一起，可是人类却把它拆开。——查·科尔顿 10、一切法律都是无用的，因为好人用不着它们，而坏人又不会因为它们而变得规矩起来。——德谟耶克斯