塑性力学-第二章 应力状态和应变状态

用下标表示法， ij （i，j =1，2，3） 。令 x=x1，y=x2，z=x3，应力张量可表示为：
11 12 13 ij = 21 22 23 31 32 33
（2—1）
由弹性力学知，每一点上存在三个互相正交的主平面，在其上只有正应力而没有剪应力，其 上的正应力称为主应力。
图 2.3
p1 1l1 p2 2l2 p3 3 l3
图 2.4 （2—27）
则斜截面上总应力沿法线 n 的分量（即斜截面上的正应力 σn）应等于 p1、p2、p3 在法线 n 方向投 影之和，即
n p1l1 p2l2 p3l3 1l12 2l22 3l32 （2—28） （2—27）式也可直接由（2—4）式令 x 1 , y 2 , z 3 , xy yz zx 0 得到。
（2—15）
（2—14）
则（2—14）变成：
ij m ij sij
ij
1, 0 当i j 当i j
（2—16）
ij ：Kronecker 符号，其定义为：
（2—17）
m ij ：应力球张量，表示三向相等的正应力；
sij ：应力偏张量，简称应力偏量。
1 3
1 9
所以
（2—33）
以（2—33）式和（2—19）式第二式对比可得
8
在这里还可以定义几个有关的量，定义
2J 2 3
（2—34）
i
3 1 8 3J 2 ( 1 2 ) 2 ( 2 3 ) 2 ( 3 2 ) 2 2 2 1 2 2 2 ( x y ) 2 ( y z ) 2 ( z x ) 2 6( xy yz zx ) 2
第二章
应力状态和应变状态
§2.1
（一）应力张量及其分解、应力不变量
应力状态
图 2.1 物体内任意点处的应力状态可以用对称的应力张量表示：
x xy xz yx y yz zx zy z
由剪应力互等定理知：
xy yx , zx xz , zy yz
13
表 2.1
（2—25） 在后面的第三章可以看到，应力偏量的第二不变量在研究塑性本构关系时具有特殊的重要意 义。由于 sij 是对称张量， （2—24）式也可以写为：
1 J 2 sij sij 2
（2—26）
（二）几种特定截面上的应力 求得一点处的主平面的方向和主应力大小以后，可以求得通过该点任意倾斜方向截面上的正 应力和剪应力。选三个主应力方向 1、2、3 为坐标轴，设任意斜截面的法线为 n，它对于 1、2、3 轴的方向余弦为 l1，l2，l3。图 2.3 所示的微元四面体即由三个与主平面一致的坐标面及一个斜截 面组成。设斜截面上的总应力 p 分解为沿三个主轴的分量 p1，p2，p3，由微元体的平衡得到
x
I 3 yx
xy
xz
y yz zy z
（2—11）
zx
2 2 2 x y z 2 xy yz zx z yz y zx z xy （2—10）有三个实根，对应三个主应力 1， 2， 3 。
显然，这些根仅与该点的应力状态有关，与坐标轴的选择无关。∴I1，I2，I3 也与坐标轴的选 择无关。分别称为应力张量（2—1）式的第一、第二、第三不变量。 以任一个主应力σj（j = 1，2，3）代入（2—7） ，三个方程只有两个独立，利用其中的任意两 个方程与（2—8）联立可解出主应力σj（j = 1，2，3）的方向余弦，从而确定σj 所在的主平面的
应力偏张量也是一种可能单独存在的应力状态，也有自己的不变量。 J1 ， J2 ， J3 表 示 应 力 偏 张 量 的 第 一 、 第 二 、 第 三 不 变 量 ， 仿 照 （ 2 — 11 ） 式 可 得 ：
J 1 s x s y s z x y z 3 m
2 2 2 J 2 ( s x s y s y s z s z s x ) xy yz zx
1 2 2 2 [( x y ) 2 ( y z ) 2 ( z x ) 2 6( xy yz zx )] 6 2 2 2 J 3 s x s y s z 2 xy yz zx s z yz s y zx s z xy
2 2 2
（2—8）
x xy yx zx
由此得：
xz
=0 （2—9）
y yz zy z
3 I1 2 I 2 I 3 = 0
式中，
（2—10）
I1 x y z
2 2 2 I 2 ( x y y z z x ) xy yz zx
（2—20） （2—21） （2—22）
1 2 2 (s x s y s y s z s z s x ) (s x sy s z2 ) 2源自文库
1 3 3 1 3 3 3 （2—23） sx s y sz sx s y ( sx s y ) [ sx s y ( s x s y )3 ] ( s x s y sz ) 3 3 利用（2—21） 、 （2—22）及（2—23）式还可将（2—18）式的后两式写为较简单的张量表示 形式：
当 x，y，z 轴方向和主轴重合时：
（2—18）
J1 0
1 J 2 [( 1 2 ) 2 ( 2 3 ) 2 ( 3 1 ) 2 ] 6 J 3 s1 s2 s3
而应力偏张量第一不变量为零，即
（2—19）
11
可得：
sx s y sz 0 s z (s x s y )
（2—36）
T～等效剪应力或剪应力强度。 其意义是，原来的应力状态，在某种意义上可以用等效的，大小为 T 的纯剪切应力状态来代 替。 也就是说，纯剪切状态 1 T , 2 0, 3 T ，的剪应力强度等于 T，而实际应力状态的 剪应力强度也等于 T。 8， 、σi、T 和 J2 一样，在塑性本构关系中起重要作用。 ，它们之间的换算关系如下：
斜截面上的剪应力 τn 可由下式求得：
2 2 n p2 n
（2—29）
12
现在来研究几种特定截面上的正应力和剪应力。 在图 2.4 中，主平面用Ⅰ表示，Ⅱ表示与三个主轴成相等倾斜角的斜截面，称为八面体面（或 等倾面） 。其方向余弦为：
1 3 1 l2 3 1 l3 3 l1
（2—35）
为等效应力或应力强度。也就是说，原来的复杂应力状态，在某种意义上可以用等效的，大 小为 σi 的单向应力状态来代替。在单向拉伸时 σ1≠0，σ2 =σ3 =0，代入（2—35）式即得 σi =σ1。还 可以定义
T
3 1 8 ( 1 2 ) 2 ( 2 3 ) 2 ( 3 2 ) 2 2 6
1 3
（2—30）
设八面体面上的正应力、总应力和剪应力分别为 σ8、 p8 和 τ8。将（2—29）式代入（2—27） 式得：
8 ( 1 2 3 ) m
1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 p8 p12 p2 p3 12l12 2 l2 3 l3 ( 12 2 3 ) 3
（2—31）式和（2—32）式代入（2—29）式，得
（2—31） （2—32）
82 p82 82 ( 12 22 32 ) ( 1 2 3 ) 2
1 [( 1 2 ) 2 ( 2 3 ) 2 ( 3 1 ) 2 ] 9 1 8 ( 1 2 ) 2 ( 2 3 ) 2 ( 3 1 ) 2 3
1 2 1 2 2 2 2 J 2 [s x sy s z2 2( xy yz zx )] sij s ji 2 2
（2—24）
1 3 1 3 2 2 2 J 3 [sx s3 xy yz zx 3 xy ( s x s y ) 3 yz ( s y s z ) 3 zx ( s z s x )] sij s jk skj y sz 6 3 3
pj=σijli
σn= pjlj
（2—2）代入（2—3）得：
（2—3） （2—4）
n = ij lilj= xl12 y l22 z l32 2 xyl1l2 2 yzl2l3 2 zx l3l1
斜截面上的剪应力 τn 为：
2 2 2 2 2 2 n p2 n px py pz n
由§1.4 中 Bridgman 的试验结果可知，在各方向同时作用有大小为 m 的应力时，相当于静水
I 3 1 2 3 1 1 1 m I1 1 2 3 x y z 3 3 3
（2—13）
令：
x xy xz m 0 0 x m xy xz y m yz yx y yz 0 m 0 yx 0 0 zy z m m zx zy z zx s x s xy s xz x m xy xz sij s yx s y syz yx y m yz s s s zy z m zx zy z zx
图 2.2
9
图 2.2 所示微元四面体由三个坐标面和一个斜面所组成。其中： dF：斜面面积， lx，ly，lz：法线 n 的方向余弦，简记为 li（i=1，2，3） 。 p：斜面上的总应力。 px，py，pz：p 沿三个坐标轴的分量，简记为 pj（j=1，2，3） 。 l1dF，l2dF，l3dF：微元体三个坐标面的面积 由微元四面体的平衡方程可得： （2—2） 斜面上的正应力 σn 为总应力 P 沿法线 n 方向的分量， 它应当等于各分量 pj 沿 n 方向投影之和， 即
（2—5）
若斜截面是主平面，则 τn = 0 p =σn=σ，即 p 沿 n 的方向，且等于 σ。故每一 pj 等于 σ 在该 方向上的投影： pj=σlj （2—6） （2—6）代入（2—2） ，得到对于方向余弦的一组齐次线性方程： σijli－σlj=0 （2—7） ∵ l1 l2 l3 li li =1 ∴l1，l2，l3 不能同时为零。∴（2—7）式的系数行列式必为零。即
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方位。 可以证明，三个主平面的方位互相垂直。 当 x，y，z 轴和三个主轴方向一致时：
I1 1 2 3 I 2 ( 1 2 2 3 3 1 )
（2—12）
平均应力：
压力（或反向的静水压力） ，它不产生塑性变形，所以从应力张量中将各向相同的 m 分离出来， 对于研究塑性变形更为方便，即