2017年考研数学真题(数三)试题+解析
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2017年数三考研真题_附答案解析
2017年数三考研真题_附答案解析2017年全国硕⼠研究⽣⼊学统⼀考试数学三试题及参考答案⼀、选择题：1～8⼩题，每⼩题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有⼀个选项是符合题⽬要求的.1.若函数1,0(),0x f x axb x ?->?=??≤?在0x =处连续，则（）(A)12ab =(B)12ab =-(C)0ab =(D)2ab =2.⼆元函数(3)z xy x y =--的极值点（）(A)(0,0)(B)(0,3)(C)(3,0)(D)(1,1)3.设函数()f x 可导，且()()0f x f x '>则（）(A)()()11f f >-(B)()()11f f <-(C)()()11f f >-(D)()()11f f <-4.若级数2111n sin kln n n ∞=??--∑收敛，则k =()(A)1(B)2(C)-1(D)-25.设α为n 维单位列向量，E 为n 阶单位矩阵，则()(A)T E αα-不可逆(B)T E αα+不可逆(C)2T E αα+不可逆(D)2T E αα-不可逆6.已知矩阵200021001A=??210020001B =??100020002C ??=，则()(A)A 与C 相似，B 与C 相似(B)A 与C 相似，B 与C 不相似(C)A 与C 不相似，B 与C 相似(D)A 与C 不相似，B 与C 不相似7.设A B 、、C 为三个随机事件，且A 与C 相互独⽴，与C 相互独⽴，则A B ?与C 相互独⽴的充要条件是()(A)A 与B 相互独⽴(B)A 与B 互不相容(C)AB 与C 相互独⽴(D)AB 与C 互不相容8.设12,......(2)n X X X n ≥来⾃总体(,1)N µ的简单随机样本，记11nii X X n ==∑则下列结论中不正确的是()(A)21()ni i X µ=-∑服从2χ分布(B)212()n X X -服从2χ分布(C)21()n ii XX =-∑服从2χ分布(D)2()n X µ-服从2χ分布⼆、填空题：9～14⼩题，每⼩题4分，共24分。
数三考研真题及答案
数三考研真题及答案数学是考研数学一和数学二中的一门科目，也是许多考生最为关注的科目之一。
为了更好地备考数学，考生们普遍会通过做真题来提高自己的解题能力。
本文将为大家提供一份数学三（数三）考研真题及答案，希望对考生们的备考有所帮助。
一、选择题1. 集合A由m个不同的整数组成，集合B由n个不同的整数组成，A与B有r个公共元素。
则A与B的并集有几个元素？A. m + nB. m + n - rC. m + n + rD. m - n + r答案：B2. 设函数f(x) = x^n，其中n为大于1的正整数。
若f(2+x) = f(2-x)，则x的值为多少？A. 0B. 1C. 2D. -1答案：A二、填空题1. 若f(x) = x^2 + 1，则f(a) + f(-a)的值为________。
答案：22. 设A为一个n阶方阵，若A^2 = A，则称A满足条件________。
答案：幂等矩阵三、解答题1. 解方程组：2x + 4y = 103x - 2y = 7解答：首先，将第二个方程两边同乘以2，得到方程6x - 4y = 14。
然后，将第一个方程和得到的方程相加，得到8x = 24，解得x = 3。
将x的值代入第一个方程，得到3*2 + 4y = 10，解得y = 1。
因此，方程组的解为x = 3，y = 1。
2. 求函数f(x) = e^xln(1 - x)的定义域。
解答：首先，根据指数函数的定义域可知，e^x的定义域为实数集R。
其次，根据对数函数的定义域可知，ln(1 - x)的定义域为(-∞, 1)。
因此，函数f(x) = e^xln(1 - x)的定义域为x < 1。
以上就是数学三（数三）考研真题及答案的部分内容。
希望通过这些题目的练习，考生们能够提高自己的解题能力，为考研数学的顺利通过打下坚实的基础。
祝愿所有的考生都能在考试中取得优异的成绩！。
数学三2017年考研真题及答案解析
（A） E T 不可逆
（B） E T 不可逆
（C） E 2 T 不可逆
（D） E 2 T 不可逆
【详解】矩阵 T 的特征值为1和 n 1个 0 ，从而 E T , E T , E 2 T , E 2 T 的特征值
分别为 0,1,1,1； 2,1,1,,1 ； 1,1,1,,1； 3,1,1,,1．显然只有 E T 存在零特征值，所以不可
n
（C） ( Xi X )2 服从 2 分布 （D） n( X )2 服从 2 分布 i 1
n
解：（1）显然 ( Xi ) ~ N (0,1) ( Xi )2 ~ 2 (1),i 1, 2,n 且相互独立，所以 ( Xi )2 服 i 1
k
1 n
1 2
1 n
2
o
1 n2
(1
k)
1 n
k 2
1 n2
o
1 n2
显然当且仅当 (1 k) 0 ，也就是 k 1 时，级数的一般项是关于 1 的二阶无穷小，级数收敛， n
从而选择（C）．
5．设 为 n 单位列向量， E 为 n 阶单位矩阵，则
【详解】 z y(3 x y) xy 3y 2xy y2 ， z 3x x2 2xy ，
x
y
2z x2
2 y,
2z y 2
2x, 2 z 2 z 3 2x xy yx
解方程组
z
x
z
3y 3x
（A） A, B 相互独立 （B） A, B 互不相容
考研真题【2003-2017考研数(三)真题及详解】2003考研数学三真题及答案解析
2003年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、 填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）（1）设,0,0,0,1cos )(=≠⎪⎩⎪⎨⎧=x x xx x f 若若λ其导函数在x=0处连续，则的取值范围是_____. （2）已知曲线与x 轴相切，则可以通过a 表示为________. （3）设a>0，而D 表示全平面，则=_______.（4）设n 维向量；E 为n 阶单位矩阵，矩阵 ， ， 其中A 的逆矩阵为B ，则a=______.（5）设随机变量X 和Y 的相关系数为0.9, 若，则Y 与Z 的相关系数为________.（6）设总体X 服从参数为2的指数分布，为来自总体X 的简单随机样本，则当时，依概率收敛于______.二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（1）设f(x)为不恒等于零的奇函数，且存在，则函数 (A) 在x=0处左极限不存在. (B) 有跳跃间断点x=0.(C) 在x=0处右极限不存在. (D) 有可去间断点x=0. [ ] （2）设可微函数f(x,y)在点取得极小值，则下列结论正确的是(A) 在处的导数等于零. （B ）在处的导数大于零. (C) 在处的导数小于零. (D) 在处的导数不存在. [ ]λb x a x y +-=2332b =2b ，x a x g x f 其他若,10,0,)()(≤≤⎩⎨⎧==⎰⎰-=Ddxdy x y g x f I )()(0,),0,,0,(<=a a a T αT E A αα-=T aE B αα1+=4.0-=X Z n X X X ,,,21 ∞→n ∑==ni i n X n Y 121)0(f 'xx f x g )()(=),(00y x ),(0y x f 0y y =),(0y x f 0y y =),(0y x f 0y y =),(0y x f 0y y =（3）设，，，则下列命题正确的是(A) 若条件收敛，则与都收敛.(B) 若绝对收敛，则与都收敛.(C) 若条件收敛，则与敛散性都不定.(D) 若绝对收敛，则与敛散性都不定. [ ]（4）设三阶矩阵，若A 的伴随矩阵的秩为1，则必有 (A) a=b 或a+2b=0. (B) a=b 或a+2b 0.(C) a b 且a+2b=0. (D) a b 且a+2b 0. [ ] （5）设均为n 维向量，下列结论不正确的是(A) 若对于任意一组不全为零的数，都有，则线性无关.(B) 若线性相关，则对于任意一组不全为零的数，都有(C) 线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为s.(D) 线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关. [ ] （6）将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：={掷第一次出现正面}，={掷第二次出现正面}，={正、反面各出现一次}，={正面出现两次}，则事件(A) 相互独立. (B) 相互独立.(C) 两两独立. (D) 两两独立. [ ] 三、（本题满分8分）2nn n a a p +=2nn n a a q -=,2,1=n ∑∞=1n na∑∞=1n np∑∞=1n nq∑∞=1n na∑∞=1n np∑∞=1n nq∑∞=1n na∑∞=1n np∑∞=1n nq∑∞=1n na∑∞=1n np∑∞=1n nq⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=a b b b a b b b a A ≠≠≠≠s ααα,,,21 s k k k ,,,21 02211≠+++s s k k k ααα s ααα,,,21 s ααα,,,21 s k k k ,,,21 .02211=+++s s k k k ααα s ααα,,,21 s ααα,,,21 1A 2A 3A 4A 321,,A A A 432,,A A A 321,,A A A 432,,A A A设试补充定义f(1)使得f(x)在上连续.四 、（本题满分8分）设f(u,v)具有二阶连续偏导数，且满足，又,求 五、（本题满分8分） 计算二重积分其中积分区域D=六、（本题满分9分）求幂级数的和函数f(x)及其极值.七、（本题满分9分）设F(x)=f(x)g(x), 其中函数f(x),g(x)在内满足以下条件： ，，且f(0)=0,(1) 求F(x)所满足的一阶微分方程； (2) 求出F(x)的表达式. 八、（本题满分8分）设函数f(x)在[0，3]上连续，在（0，3）内可导，且f(0)+f(1)+f(2)=3, f(3)=1.试证必存在，使九、（本题满分13分） 已知齐次线性方程组其中试讨论和b 满足何种关系时，(1) 方程组仅有零解；).1,21[,)1(1sin 11)(∈--+=x x x x x f πππ]1,21[12222=∂∂+∂∂v f u f )](21,[),(22y x xy f y x g -=.2222y gx g ∂∂+∂∂.)sin(22)(22dxdy y x e I Dy x +=⎰⎰-+-π}.),{(22π≤+y x y x ∑∞=<-+12)1(2)1(1n nnx n x ),(+∞-∞)()(x g x f =')()(x f x g ='.2)()(x e x g x f =+)3,0(∈ξ.0)(='ξf ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+++++=+++++=+++++=+++++,0)(,0)(,0)(,0)(332211332211332211332211nn nn n n n n x b a x a x a x a x a x b a x a x a x a x a x b a x a x a x a x a x b a .01≠∑=ni ian a a a ,,,21(2) 方程组有非零解. 在有非零解时，求此方程组的一个基础解系. 十、（本题满分13分） 设二次型，中二次型的矩阵A 的特征值之和为1，特征值之积为-12. (1) 求a,b 的值；(2) 利用正交变换将二次型f 化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵. 十一、（本题满分13分） 设随机变量X 的概率密度为F(x)是X 的分布函数. 求随机变量Y=F(X)的分布函数.十二、（本题满分13分）设随机变量X 与Y 独立，其中X 的概率分布为， 而Y 的概率密度为f(y)，求随机变量U=X+Y 的概率密度g(u).2003年考研数学（三）真题解析一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）（1）设,0,0,0,1cos )(=≠⎪⎩⎪⎨⎧=x x xx x f 若若λ其导函数在x=0处连续，则的取值范围是. 【分析】 当0可直接按公式求导，当x=0时要求用定义求导.【详解】 当时，有显然当时，有，即其导函数在x=0处连续.（2）已知曲线与x 轴相切，则可以通过a 表示为 . 【分析】 曲线在切点的斜率为0，即，由此可确定切点的坐标应满足的条件，再根据在切点处纵坐标为零，即可找到与a 的关系.【详解】 由题设，在切点处有，有)0(222),,(31232221321>+-+==b x bx x x ax AX X x x x f T ;],8,1[,0,31)(32其他若∈⎪⎩⎪⎨⎧=x x x f ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛7.03.021~X λ2>λ≠x 1>λ,0,0,0,1sin 1cos )(21=≠⎪⎩⎪⎨⎧+='--x x xx x x x f 若若λλλ2>λ)0(0)(lim 0f x f x '=='→b x a x y +-=2332b =2b 64a 0='y 2b 03322=-='a x y .220a x =又在此点y 坐标为0，于是有,故【评注】 有关切线问题应注意斜率所满足的条件，同时切点还应满足曲线方程. （3）设a>0，而D 表示全平面，则= .【分析】 本题积分区域为全平面，但只有当时，被积函数才不为零，因此实际上只需在满足此不等式的区域内积分即可.【详解】 ==【评注】 若被积函数只在某区域内不为零，则二重积分的计算只需在积分区域与被积函数不为零的区域的公共部分上积分即可.（4）设n 维向量；E 为n 阶单位矩阵，矩阵 ， ， 其中A 的逆矩阵为B ，则a= -1 .【分析】 这里为n 阶矩阵，而为数，直接通过进行计算并注意利用乘法的结合律即可.【详解】 由题设，有====,于是有 ，即 ，解得 由于A<0 ,故a=-1. （5）设随机变量X 和Y 的相关系数为0.9, 若，则Y 与Z 的相关系数为0.9 .【分析】 利用相关系数的计算公式即可. 【详解】 因为0300230=+-=b x a x .44)3(6422202202a a a x a x b =⋅=-=，x a x g x f 其他若,10,0,)()(≤≤⎩⎨⎧==⎰⎰-=Ddxdy x y g x f I )()(2a 10,10≤-≤≤≤x y x ⎰⎰-=Ddxdy x y g x f I )()(dxdy ax y x ⎰⎰≤-≤≤≤10,102.])1[(2121012adx x x ady dx ax x=-+=⎰⎰⎰+0,),0,,0,(<=a a a T αT E A αα-=T aE B αα1+=T αα22a T =ααE AB =)1)((T T a E E AB αααα+-=T T T T a a E αααααααα⋅-+-11T T T T a a E αααααααα)(11-+-T T T a a E αααααα21-+-E aa E T =+--+αα)121(0121=+--a a 0122=-+a a .1,21-==a a 4.0-=X Z )4.0()()]4.0([()4.0,cov(),cov(---=-=X E Y E X Y E X Y Z Y= =E(XY) – E(X)E(Y)=cov(X,Y), 且于是有 cov(Y ,Z)==【评注】 注意以下运算公式：， （6）设总体X 服从参数为2的指数分布，为来自总体X 的简单随机样本，则当时，依概率收敛于 .【分析】 本题考查大数定律：一组相互独立且具有有限期望与方差的随机变量，当方差一致有界时，其算术平均值依概率收敛于其数学期望的算术平均值：【详解】 这里满足大数定律的条件，且=，因此根据大数定律有 依概率收敛于二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（1）设f(x)为不恒等于零的奇函数，且存在，则函数 (A) 在x=0处左极限不存在. (B) 有跳跃间断点x=0.(C) 在x=0处右极限不存在. (D) 有可去间断点x=0. [ D ] 【分析】 由题设，可推出f(0)=0 , 再利用在点x=0处的导数定义进行讨论即可. 【详解】 显然x=0为g(x)的间断点，且由f(x)为不恒等于零的奇函数知，f(0)=0. 于是有 存在，故x=0为可去间断点. 【评注1】 本题也可用反例排除，例如f(x)=x, 则此时g(x)=可排除(A),(B),(C) 三项，故应选(D).【评注2】 若f(x)在处连续，则.（2）设可微函数f(x,y)在点取得极小值，则下列结论正确的是)(4.0)()()(4.0)(Y E X E Y E Y E XY E +--.DX DZ =DZDY Z Y ),cov(.9.0),cov(==XY DYDXY X ρDX a X D =+)().,cov(),cov(Y X a Y X =+n X X X ,,,21 ∞→n ∑==ni i n X n Y 12121n X X X ,,,21 ).(1111∞→→∑∑==n EX n X n ni i pn i i 22221,,,nX X X 22)(i i i EX DX EX +=21)21(412=+∑==n i i n X n Y 121.21112=∑=n i i EX n )0(f 'xx f x g )()(=)0(0)0()(lim )(lim)(lim 00f x f x f x x f xg x x x '=--==→→→,0,0,0,1=≠⎩⎨⎧=x x x x 0x x =.)(,0)()(lim000A x f x f A x x x f x x ='=⇔=-→),(00y x(A) 在处的导数等于零. （B ）在处的导数大于零. (C) 在处的导数小于零. (D) 在处的导数不存在. [ A ] 【分析】 可微必有偏导数存在，再根据取极值的必要条件即可得结论.【详解】 可微函数f(x,y)在点取得极小值，根据取极值的必要条件知，即在处的导数等于零, 故应选(A).【评注1】 本题考查了偏导数的定义，在处的导数即；而在处的导数即【评注2】 本题也可用排除法分析，取，在(0,0)处可微且取得极小值，并且有，可排除(B),(C),(D), 故正确选项为(A).（3）设，，，则下列命题正确的是(A) 若条件收敛，则与都收敛.(B) 若绝对收敛，则与都收敛.(C) 若条件收敛，则与敛散性都不定.(D) 若绝对收敛，则与敛散性都不定. [ B ]【分析】 根据绝对收敛与条件收敛的关系以及收敛级数的运算性质即可找出答案. 【详解】 若绝对收敛，即收敛，当然也有级数收敛，再根据，及收敛级数的运算性质知，与都收敛，故应选(B).),(0y x f 0y y =),(0y x f 0y y =),(0y x f 0y y =),(0y x f 0y y =),(00y x 0),(00='y x f y ),(0y x f 0y y =),(0y x f 0y y =),(00y x f y '),(0y x f 0x x =).,(00y x f x '22),(y x y x f +=2),0(y y f =2nn n a a p +=2nn n a a q -=,2,1=n ∑∞=1n na∑∞=1n np∑∞=1n nq∑∞=1n na∑∞=1n np∑∞=1n nq∑∞=1n na∑∞=1n np∑∞=1n nq∑∞=1n na∑∞=1n np∑∞=1n nq∑∞=1n na∑∞=1n na∑∞=1n na2nn n a a p +=2nn n a a q -=∑∞=1n np∑∞=1n nq（4）设三阶矩阵，若A 的伴随矩阵的秩为1，则必有 (A) a=b 或a+2b=0. (B) a=b 或a+2b 0.(C) a b 且a+2b=0. (D) a b 且a+2b 0. [ C ] 【分析】 A 的伴随矩阵的秩为1, 说明A 的秩为2，由此可确定a,b 应满足的条件. 【详解】 根据A 与其伴随矩阵A*秩之间的关系知，秩(A)=2，故有，即有或a=b.但当a=b 时，显然秩(A), 故必有 a b 且a+2b=0. 应选(C).【评注】 n （n 阶矩阵A 与其伴随矩阵A*的秩之间有下列关系：（5）设均为n 维向量，下列结论不正确的是(A) 若对于任意一组不全为零的数，都有，则线性无关.(B) 若线性相关，则对于任意一组不全为零的数，都有(C) 线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为s.(D) 线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关. [ B ] 【分析】 本题涉及到线性相关、线性无关概念的理解，以及线性相关、线性无关的等价表现形式. 应注意是寻找不正确的命题.【详解】(A): 若对于任意一组不全为零的数,都有，则必线性无关，因为若线性相关，则存在一组不全为零的数,使得 ，矛盾. 可见（A ）成立.(B): 若线性相关，则存在一组，而不是对任意一组不全为零的数，都有 (B)不成立.⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=a b b b a b b b a A ≠≠≠≠0))(2(2=-+=b a b a ab b b a bbb a 02=+b a 2≠≠)2≥.1)(,1)(,)(,0,1,*)(-<-==⎪⎩⎪⎨⎧=n A r n A r n A r n A r s ααα,,,21 s k k k ,,,21 02211≠+++s s k k k ααα s ααα,,,21 s ααα,,,21 s k k k ,,,21 .02211=+++s s k k k ααα s ααα,,,21 s ααα,,,21 s k k k ,,,21 02211≠+++s s k k k ααα s ααα,,,21 s ααα,,,21 s k k k ,,,21 02211=+++s s k k k ααα s ααα,,,21 s k k k ,,,21 .02211=+++s s k k k ααα(C) 线性无关,则此向量组的秩为s ；反过来，若向量组的秩为s ，则线性无关，因此(C)成立.(D) 线性无关,则其任一部分组线性无关，当然其中任意两个向量线性无关，可见(D)也成立.综上所述，应选(B).【评注】 原命题与其逆否命题是等价的. 例如，原命题：若存在一组不全为零的数，使得成立，则线性相关. 其逆否命题为：若对于任意一组不全为零的数，都有，则线性无关. 在平时的学习过程中，应经常注意这种原命题与其逆否命题的等价性.（6）将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：={掷第一次出现正面}，={掷第二次出现正面}，={正、反面各出现一次}，={正面出现两次}，则事件(A) 相互独立. (B) 相互独立.(C) 两两独立. (D) 两两独立. [ C ] 【分析】按照相互独立与两两独立的定义进行验算即可，注意应先检查两两独立，若成立，再检验是否相互独立.【详解】 因为，，，， 且 ，，，，可见有，，，，.故两两独立但不相互独立；不两两独立更不相互独立，应选(C).【评注】 本题严格地说应假定硬币是均匀的，否则结论不一定成立.三 、（本题满分8分） 设s ααα,,,21 s ααα,,,21 s ααα,,,21 s ααα,,,21 s k k k ,,,21 02211=+++s s k k k ααα s ααα,,,21 s k k k ,,,21 02211≠+++s s k k k ααα s ααα,,,21 1A 2A 3A 4A 321,,A A A 432,,A A A 321,,A A A 432,,A A A 21)(1=A P 21)(2=A P 21)(3=A P 41)(4=A P 41)(21=A A P 41)(31=A A P 41)(32=A A P 41)(42=A A P 0)(321=A A A P )()()(2121A P A P A A P =)()()(3131A P A P A A P =)()()(3232A P A P A A P =)()()()(321321A P A P A P A A A P ≠)()()(4242A P A P A A P ≠321,,A A A 432,,A A A ).1,21[,)1(1sin 11)(∈--+=x x x x x f πππ试补充定义f(1)使得f(x)在上连续.【分析】 只需求出极限，然后定义f(1)为此极限值即可. 【详解】 因为= === =由于f(x)在上连续，因此定义，使f(x)在上连续.【评注】 本题实质上是一求极限问题，但以这种形式表现出来，还考查了连续的概念.在计算过程中，也可先作变量代换y=1-x ，转化为求的极限，可以适当简化.四 、（本题满分8分）设f(u,v)具有二阶连续偏导数，且满足，又,求 【分析】 本题是典型的复合函数求偏导问题：，，直接利用复合函数求偏导公式即可，注意利用【详解】， ]1,21[)(lim 1x f x -→)(lim 1x f x -→])1(1sin 11[lim 1x x x x --+-→πππxx xx x πππππsin )1(sin )1(lim 111---+-→xx x xx ππππππππcos )1(sin cos lim 111-+---+-→xx x x xx ππππππππππsin )1(cos cos sin lim 11221----+-→.1π)1,21[π1)1(=f ]1,21[+→0y 12222=∂∂+∂∂v f u f )](21,[),(22y x xy f y x g -=.2222ygx g ∂∂+∂∂),(v u f g =)(21,22y x v xy u -==.22uv fv u f ∂∂∂=∂∂∂vfxu f y x g ∂∂+∂∂=∂∂.vf y u f x yg ∂∂-∂∂=∂∂故 ，所以 =【评注】 本题考查半抽象复合函数求二阶偏导. 五 、（本题满分8分） 计算二重积分其中积分区域D=【分析】 从被积函数与积分区域可以看出，应该利用极坐标进行计算.【详解】 作极坐标变换：，有=令，则.记 ，则==== 因此 ，【评注】 本题属常规题型，明显地应该选用极坐标进行计算，在将二重积分化为定积vf v f x v u f xy u f y xg ∂∂+∂∂+∂∂∂+∂∂=∂∂2222222222.2222222222vf v f y u v f xy u f x yg ∂∂-∂∂+∂∂∂-∂∂=∂∂222222222222)()(vf y x u f y x yg x g ∂∂++∂∂+=∂∂+∂∂.22y x +.)sin(22)(22dxdy y x e I Dy x +=⎰⎰-+-π}.),{(22π≤+y x y x θθsin ,cos r y r x ==dxdy y x e e I Dy x)sin(22)(22+=⎰⎰+-π.sin 2022dr r re d e r ⎰⎰-πππθ2r t =tdt e e I t sin 0⎰-=πππtdt e A t sin 0⎰-=πt t de e A --⎰-=int 0π]cos sin [0⎰----ππtdt e t e t t ⎰--πcos t tde ]sin cos [0tdt e t e t t ⎰--+-ππ.1A e -+-π)1(21π-+=e A ).1(2)1(2πππππe e e I +=+=-分后，再通过换元与分步积分（均为最基础的要求），即可得出结果，综合考查了二重积分、换元积分与分步积分等多个基础知识点.六、（本题满分9分）求幂级数的和函数f(x)及其极值.【分析】 先通过逐项求导后求和，再积分即可得和函数，注意当x=0时和为1. 求出和函数后，再按通常方法求极值.【详解】上式两边从0到x 积分，得由f(0)=1, 得令，求得唯一驻点x=0. 由于，可见f(x)在x=0处取得极大值，且极大值为 f(0)=1.【评注】 求和函数一般都是先通过逐项求导、逐项积分等转化为可直接求和的几何级数情形，然后再通过逐项积分、逐项求导等逆运算最终确定和函数.七、（本题满分9分）设F(x)=f(x)g(x), 其中函数f(x),g(x)在内满足以下条件：，，且f(0)=0,(3) 求F(x)所满足的一阶微分方程； (4) 求出F(x)的表达式.【分析】 F(x)所满足的微分方程自然应含有其导函数，提示应先对F(x)求导，并将其余部分转化为用F(x)表示，导出相应的微分方程，然后再求解相应的微分方程.【详解】 (1) 由== =(2-2F(x), 可见F(x)所满足的一阶微分方程为∑∞=<-+12)1(2)1(1n n nx n x .1)1()(1212∑∞=-+-=-='n n n x xx x f ).1ln(211)0()(202x dt t t f x f x+-=+-=-⎰).1(),1ln(211)(2<+-=x x x f 0)(='x f ,)1(1)(222x x x f +--=''01)0(<-=''f ),(+∞-∞)()(x g x f =')()(x f x g ='.2)()(x e x g x f =+)()()()()(x g x f x g x f x F '+'=')()(22x f x g +)()(2)]()([2x g x f x g x f -+2)x e(2)==将F(0)=f(0)g(0)=0代入上式，得 C=-1. 于是【评注】 本题没有直接告知微分方程，要求先通过求导以及恒等变形引出微分方程的形式，从题型来说比较新颖，但具体到微分方程的求解则并不复杂，仍然是基本要求的范围.八、（本题满分8分）设函数f(x)在[0，3]上连续，在（0，3）内可导，且f(0)+f(1)+f(2)=3, f(3)=1.试证必存在，使【分析】 根据罗尔定理，只需再证明存在一点c ，使得，然后在[c,3]上应用罗尔定理即可. 条件f(0)+f(1)+f(2)=3等价于，问题转化为1介于f(x)的最值之间，最终用介值定理可以达到目的.【详解】 因为f(x)在[0，3]上连续，所以f(x)在[0，2]上连续，且在[0，2]上必有最大值M 和最小值m ，于是， ， . 故由介值定理知，至少存在一点，使因为f(c)=1=f(3), 且f(x)在[c,3]上连续，在(c,3)内可导，所以由罗尔定理知，必存在，使【评注】 介值定理、微分中值定理与积分中值定理都是常考知识点，且一般是两两结合起来考. 本题是典型的结合介值定理与微分中值定理的情形.九、（本题满分13分） 已知齐次线性方程组.4)(2)(2x e x F x F =+']4[)(222C dx e e e x F dx xdx +⎰⋅⎰=⎰-]4[42C dx e e x x +⎰-.22x x Ce e -+.)(22x x e e x F --=)3,0(∈ξ.0)(='ξf )3,0[∈)3(1)(f c f ==13)2()1()0(=++f f f M f m ≤≤)0(M f m ≤≤)1(M f m ≤≤)2(.3)2()1()0(M f f f m ≤++≤]2,0[∈c .13)2()1()0()(=++=f f f c f )3,0()3,(⊂∈c ξ.0)(='ξf ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+++++=+++++=+++++=+++++,0)(,0)(,0)(,0)(332211332211332211332211nn nn n n n n x b a x a x a x a x a x b a x a x a x a x a x b a x a x a x a x a x b a其中试讨论和b 满足何种关系时，(1) 方程组仅有零解；(2) 方程组有非零解. 在有非零解时，求此方程组的一个基础解系.【分析】方程的个数与未知量的个数相同，问题转化为系数矩阵行列式是否为零，而系数行列式的计算具有明显的特征：所有列对应元素相加后相等. 可先将所有列对应元素相加，然后提出公因式，再将第一行的（-1）倍加到其余各行，即可计算出行列式的值.【详解】 方程组的系数行列式=(1) 当时且时，秩(A)=n ，方程组仅有零解.(2) 当b=0 时，原方程组的同解方程组为 由可知，不全为零. 不妨设，得原方程组的一个基础解系为，，当时，有，原方程组的系数矩阵可化为.01≠∑=ni ian a a a ,,,21 ba a a a a ba a a a ab a a a a a b a A n n n n++++= 321321321321).(11∑=-+ni i n a b b0≠b 01≠+∑=ni iab .02211=+++n n x a x a x a 01≠∑=ni ia),,2,1(n i a i =01≠a T a a )0,,0,1,(121 -=αT a a )0,,1,0,(132 -=α.)1,,0,0,(,1T n n a a -=α∑=-=ni iab 10≠b ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----∑∑∑∑====n i i n nni inni inni ia a a a a a a a a a a a a a a a a a a a 1321132131213211（将第1行的-1倍加到其余各行，再从第2行到第n 行同乘以倍）（ 将第n 行倍到第2行的倍加到第1行，再将第1行移到最后一行）由此得原方程组的同解方程组为，， . 原方程组的一个基础解系为【评注】 本题的难点在时的讨论，事实上也可这样分析：此时系数矩阵的秩为 n-1(存在n-1阶子式不为零)，且显然为方程组的一个非零解，即可作为基础解系.十、（本题满分13分） 设二次型，中二次型的矩阵A 的特征值之和为1，特征值之积为-12. (3) 求a,b 的值；(4) 利用正交变换将二次型f 化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵. 【分析】 特征值之和为A 的主对角线上元素之和，特征值之积为A 的行列式，由此可求出a,b 的值；进一步求出A 的特征值和特征向量，并将相同特征值的特征向量正交化（若有必要），然后将特征向量单位化并以此为列所构造的矩阵即为所求的正交矩阵.【详解】 （1）二次型f 的矩阵为∑=-ni ia11→⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----∑=1001010100113211 n ni ia a a a a n a -2a -→.0000100101010011⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--- 12x x =13x x =1,x x n = .)1,,1,1(T =α∑=-=ni iab 1T )1,,1,1( =α)0(222),,(31232221321>+-+==b x bx x x ax AX X x x x f T设A 的特征值为 由题设，有，解得 a=1,b= -2.(2) 由矩阵A 的特征多项式，得A 的特征值对于解齐次线性方程组，得其基础解系 ，对于，解齐次线性方程组，得基础解系由于已是正交向量组，为了得到规范正交向量组，只需将单位化，由此得，，令矩阵，则Q 为正交矩阵. 在正交变换X=QY 下，有.20020⎥⎥⎥⎦⎢⎢⎢⎣-=b A ).3,2,1(=i i λ1)2(2321=-++=++a λλλ.12242002002321-=--=-=b a b ba λλλ)3()2(220202012+-=+----=-λλλλλλA E .3,2321-===λλλ,221==λλ0)2(=-x A E T )1,0,2(1=ξ.)0,1,0(2T =ξ33-=λ0)3(=--x A E .)2,0,1(3T -=ξ321,,ξξξ321,,ξξξT )51,0,52(1=ηT )0,1,0(2=η.)52,0,51(3T -=η[]⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-==5205101051052321ηηηQ，且二次型的标准形为【评注】 本题求a,b ，也可先计算特征多项式，再利用根与系数的关系确定：二次型f 的矩阵A 对应特征多项式为设A 的特征值为，则由题设得，解得a=1,b=2.十一、（本题满分13分） 设随机变量X 的概率密度为F(x)是X 的分布函数. 求随机变量Y=F(X)的分布函数.【分析】 先求出分布函数F(x) 的具体形式，从而可确定Y=F(X) ,然后按定义求Y 的分布函数即可.注意应先确定Y=F(X)的值域范围，再对y 分段讨论.【详解】 易见，当x<1时，F(x)=0; 当x>8 时，F(x)=1. 对于，有设G(y)是随机变量Y=F(X)的分布函数. 显然，当时，G(y)=0；当时，G(y)=1. 对于，有= =⎥⎥⎥⎦⎢⎢⎢⎣-=300020AQ Q T .322232221y y y f -+=)].2()2()[2(2020022b a a bbaA E +----=+----=-λλλλλλλ321,,λλλ).2(,2,2232321b a a +-=-=+=λλλλλ1)2(2321=-+=++a λλλ.12)2(22321-=+-=b a λλλ;],8,1[,0,31)(32其他若∈⎪⎩⎪⎨⎧=x x x f )1)(0(≤≤X F ]8,1[∈x .131)(3132-==⎰x dt t x F x0<y 1≥y )1,0[∈y })({}{)(y X F P y Y P y G ≤=≤=})1({}1{33+≤=≤-y X P y X P .])1[(3y y F =+于是，Y=F(X)的分布函数为【评注】 事实上，本题X 为任意连续型随机变量均可，此时Y=F(X)仍服从均匀分布: 当y<0时，G(y)=0; 当 时，G(y)=1;当 0时， = = 十二、（本题满分13分）设随机变量X 与Y 独立，其中X 的概率分布为 ， 而Y 的概率密度为f(y)，求随机变量U=X+Y 的概率密度g(u).【分析】求二维随机变量函数的分布，一般用分布函数法转化为求相应的概率. 注意X 只有两个可能的取值，求概率时可用全概率公式进行计算.【详解】 设F(y)是Y 的分布函数，则由全概率公式，知U=X+Y 的分布函数为= =. 由于X 和Y 独立，可见G(u)== 由此,得U 的概率密度=【评注】 本题属新题型，求两个随机变量和的分布，其中一个是连续型一个是离散型，要求用全概率公式进行计算，类似问题以前从未出现过，具有一定的难度和综合性..1,10,0,1,,0)(≥<≤<⎪⎩⎪⎨⎧=y y y y y G 若若若1≥y 1<≤y })({}{)(y X F P y Y P y G ≤=≤=)}({1y F X P -≤.))((1y y F F =-⎪⎪⎭⎫⎝⎛7.03.021~X }{)(u Y X P u G ≤+=}2{7.0}1{3.0=≤++=≤+X u Y X P X u Y X P }22{7.0}11{3.0=-≤+=-≤X u Y P X u Y P }2{7.0}1{3.0-≤+-≤u Y P u Y P ).2(7.0)1(3.0-+-u F u F )2(7.0)1(3.0)()(-'+-'='=u F u F u G u g ).2(7.0)1(3.0-+-u f u f。
2017考研数学三真题及解析
2017年考研数学真题一、选择题：1~8 小题，每小题4 分，共32 分.下列每题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定的位置上. (1)若函数10(),0x f x axb x ⎧->⎪=⎨⎪≤⎩在x =0连续，则 (A)12ab =(B)12ab =- (C)0ab = (D)2ab =【答】应选（A ）【解】由连续的定义可知：0lim ()lim ()(0)x x f x f x f -+→→==，其中0(0)lim ()x f f x b -→==，20001112lim ()lim lim 2x x x f x ax ax a +++→→→-===，从而12b a =，也即12ab =，故选（A ）。
(2) 二元函数(3)z xy x y =--的极值点（ ）(A)(0,0) (B)(0,3) (C)(3,0) (D)(1,1) 【答】应选(D).【解】(3)(32)xz y x y xy y x y '=---=-- (3)(32)y z x x y xy x x y '=---=--2xx z y ''=-，322xy z x y ''=--，2yy z x ''=-验证可得（A ）、（B ）、（C ）、（D ）四个选项均满足00x yz z '=⎧⎨'=⎩,其中(D)选项对应(1,1)2xx A z ''==-，(1,1)1xy B z ''==-，(1,1)2yy C z ''==-满足230AC B -=>，所以该点为极值点.(3) 设函数()f x 可导，且()()0f x f x '>则(A)()()11f f >- (B)()()11f f <- (C)()()11f f >- (D)()()11f f <-【答】应选(C).【解】令2()()F x f x =，则有()2()()F x f x f x ''=，故()F x 单调递增，则(1)(1)F F =-，即22[(1)][(1)]f f >-，即(1)(1)f f >-，故选C .(4) 若级数211sin ln 1n k nn ∞=⎡⎤⎛⎫-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦∑收敛,则()k =(A)1 (B)2 (C)-1 (D)-2【答】（C ） 【解】由332211111111sinln(1)()()62k k o k o n n n n n n n n--=-++++232111(1)()26k k o n n n n=++-+，又211[sinln(1)]n k n n∞=--∑收敛，故有10k +=，即1k =-，故选C 。
2017考研数学三真题及答案解析
ln 2
ln 2
2
．
5
19．（本题满分 10 分）
设
a0
1, a1
0, an1
n
1
1
(na
n
a n 1 )(n
1, 2,3 ),
，
S(x)
为幂级数
n0
an xn
的和函数
（1）证明 an xn 的收敛半径不小于1． n0
（2）证明 (1 x)S(x) xS(x) 0(x (1,1)) ，并求出和函数的表达式．
0
2
10．差分方程 yt1 2 yt 2t 的通解为
．
【详解】齐次差分方程 yt1 2 yt 0 的通解为 y C 2x ；
设
yt 1
2 yt
2t
的特解为
yt
at 2t
，代入方程，得 a
1 2
；
所以差分方程
yt 1
2 yt
2t
的通解为
y
C 2t
1 t2t. 2
11．设生产某产品的平均成本 C(Q) 1 eQ ，其中产量为 Q ，则边际成本为
8．设
X1, X 2,, X n(n
2)
为来自正态总体 N (,1) 的简单随机样本，若
X
1 n
n i 1
Xi
，则下列结论中不
正确的是（ ）
n
（A） ( X i )2 服从 2 分布 i 1
（B） 2 X n X1 2 服从 2 分布
n
（C） ( X i X )2 服从 2 分布 i 1
时， g(x) g(0) 0 ，进一步得到当 x (0,1) 时， f (x) 0 ，也就是 f (x) 在 (0,1) 上单调减少．
2017年考研数学(三)真题及答案解析完整版
1 0 0
因为
3
r(2E
A)
1，∴A
可相似对角化，且
A
~
0 0
2 0
0 2
由 E B 0 可知 B 特征值为 2,2,1.
因为 3 r(2E B) 2 ，∴B 不可相似对角化，显然 C 可相似对角化， ∴ A ~ C ，且 B 不相似于 C
1) n
1 n
1 6n 3
o(
1 n3
)
k
1 n
k 2n 2
o(
1 n2
)
(1
k)
1 n
k 2n2
1 6n3
o(
1 n2
)
因为原级数收敛，所以1 k 0 k 1 .选 C.
（5）设 是 n 维单位列向量， E 为 n 阶单位矩阵，则（ ）
（ A ） E T 不可逆 （ B ） E T 不可逆 （ C ） E 2 T 不可逆 （ D ） E 2 T 不可逆
【答案】B 【解析】
（D） n( X )2 服从 2分布
X N (,1), X i N (0,1)
n
( Xi )2 2(n), A正确 i 1 n
(n 1)S 2 ( X i X )2 2(n 1)，C 正确， i 1
X ~N (, 1), n (X ) N (0,1), n(X ) 2 ~ 2(1), D 正确, n
（A） f (1) f (1) （B） f (1) f (1) （C） f (1) f (1) （D） f (1) f (1)
【答案】C 【解析】
方法
1：
f
(x)
f
'(x)
考研数学真题哪几年难度大
考研数学真题哪几年难度大考研数学真题是每年考生备考的重点之一，而考研数学真题的难度也是备考过程中的一个关键因素。
在过去的几年中，有几年的考研数学真题被广大考生认为是难度较大的。
本文将从不同年份的考研数学真题中选取几年难度较大的题目进行分析和讨论。
首先，我们来看一下2017年的考研数学真题。
2017年的数学真题整体难度较大，其中一道难度较高的题目是线性代数与解析几何部分的题目。
这道题目考查了矩阵的特征值和特征向量的性质，需要考生熟练掌握这一知识点，并能够灵活运用。
此外，2017年的数学真题还涉及到了概率与数理统计、高等代数、数学分析等多个知识点，考生需要全面复习和准备。
接下来，我们来看一下2019年的考研数学真题。
2019年的数学真题整体难度也较大，其中一道难度较高的题目是数学分析部分的题目。
这道题目考查了函数极限的性质，需要考生熟悉函数极限的定义和相关定理，并能够运用这些知识解决实际问题。
此外，2019年的数学真题还涉及到了线性代数与解析几何、概率与数理统计、高等代数等多个知识点，考生需要有扎实的数学基础和广泛的知识面。
除了2017年和2019年的考研数学真题，2015年和2018年的数学真题也被一些考生认为是难度较大的。
2015年的数学真题涉及到了线性代数与解析几何、概率与数理统计、高等代数等多个知识点，其中一道难度较高的题目是概率与数理统计部分的题目，考查了条件概率和贝叶斯定理的应用。
2018年的数学真题涉及到了数学分析、线性代数与解析几何、概率与数理统计等多个知识点，其中一道难度较高的题目是数学分析部分的题目，考查了函数连续性和可导性的性质。
综上所述，考研数学真题的难度因年份而异，不同年份的真题涉及的知识点和考查方式也有所不同。
对于考生来说，了解每年的考研数学真题的难度分布情况，有助于他们在备考过程中有针对性地进行复习和准备。
此外，考生还应该注重对数学基础知识的掌握和理解，提高解题能力和应试能力，才能在考试中取得好成绩。
2010——2017年考研数学三真题及参考答案解析(精心整理)
2010年考研数学三真题与解析一.选择题1.若1])1(1[lim =--→xox e a xx 则a = A0B1C2D32.设21,y y 是一阶线性非齐次微分方程)()(x q y x p y =+'的两个特解，若常数μλ,使21y y μλ+是该方程的解，21y y μλ-是该方程对应的齐次方程的解，则A 21,21==μλB 21,21-=-=μλC 31,32==μλD 32,32==μλ 3.设函数f(x),g(x)具有二阶导数，且.0)(<''x g 若a x g =)(0是g(x)的极值，则f(g(x))在0x 取极大值的一个充分条件是A 0)(<'a fB 0)(>'a fC 0)(<''a fD 0)(>''a f4设1010)(,)(,ln )(xe x h x x g x xf ===则当x 充分大时有 Ag(x)<h(x)<f(x)Bh(x)<g(x)<f(x) Cf(x)<g(x)<h(x)Dg(x)<f(x)<h(x)5设向量组线性表示，，，：，可由向量组sI βββααα⋯⋯21r 21II ,,:，下列命题正确的是：A 若向量组I 线性无关，则s r ≤B 若向量组I 线性相关，则r>sC 若向量组II 线性无关，则s r ≤D 若向量组II 线性相关，则r>s6.设A 为4阶实对称矩阵，且02=+A A ，若A 的秩为3，则A 相似于A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0111B⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-0111 C⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--0111D⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---01117.设随机变量X 的分布函数⎪⎩⎪⎨⎧≥-<≤<=-1,110,21,0)(x e x x x F x，则P （X=1)=A0B 21C 121--e D 11--e 8.设)(1x f 为标准正态分布概率密度，)(2x f 为[-1,3]上均匀分布的概率密度，若⎩⎨⎧<>≥≤=)0,0(0),(0),()(21b a x x bf x x af x f 为概率密度，则a,b 满足：A2a+3b=4B3a+2b=4Ca+b=1Da+b=2 二.填空题9.设可导函数y=y(x),由方程⎰⎰=+-xy x t dtt x dt e 020sin 2确定，则____________0==x dxdy10.设位于曲线)()ln 1(12+∞<≤+=x e x x y 下方，x 轴上方的无界区域为G ，则G 绕x 轴旋转一周所得空间区域的体积为____________11.设某商品的收益函数R(p),收益弹性为31p +，其中p 为价格，且R(1)=1,则R(p)=________________ 12.若曲线123+++=bx ax x y 有拐点(-1,0),则b=_____________13.设A ，B 为3阶矩阵，且2,2,31=+==-B A B A ，则_________1=+-B A14.设___________ET ,1T )0)(,(N ,,122321==>⋯∑=则计量的简单随机样本。
考研数三真题哪年难
考研数三真题哪年难考研数学三真题哪年难考研数学三科目一直被广大考生视为重中之重，是决定进入理工类研究生院校的一道门槛。
而在备考过程中，了解历年数学三的难度变化对考生来说是非常重要的。
那么，究竟哪年的考研数学三真题难度较大呢？本文将进行详细讨论。
历年数学三的真题难度和出题风格会受到多个因素的影响，包括试题命题组的变动、包含知识点的分布情况、难度层次的设计等等。
下面将按照年份逐步分析，以帮助考生更好地了解数学三真题的难度变化。
从近几年的走势来看，2017年可以被认为是考研数学三的一个难度较大的年份。
该年的真题在综合性和难度上都有所增加。
比如，有一道习题要求考生证明一个二阶线性微分方程的解空间维数，并针对不同的初值条件判断解的唯一性与存在性，这在之前的真题中并不常见。
此外，该年的真题在应用题方面也有所增加，考查了排队论和排列组合等知识点。
这些因素都增加了数学三的难度。
但是，需要注意的是，并不是说其他年份的数学三真题就没有难度。
每一年的真题都有一定的难点，对于备考的考生来说都有一定的挑战。
而历年的真题中也常常会涉及到一些经典难题，如三角函数的性质、极限的计算等等。
因此，考生在备考过程中，不应该只关注某年的真题难度，而应该全面掌握知识点，提升解题能力。
除了真题，考生还可以借助其他资源来进行练习和提高。
例如，有一些知名辅导机构会针对数学三的考点进行总结和归纳，并推出一定难度的模拟试卷供考生练习。
这些模拟试卷根据不同的考点和难度来设计，能够帮助考生更好地提高应对考试压力的能力。
对于考研数学三的举步维艰，考生们在备考过程中不仅需要掌握知识点，还需要进行大量的题目练习和真题训练。
只有通过不断的练习和总结，才能逐渐提高解题能力和应对考试的稳定性。
同时，要紧跟考试的动态，及时了解历年的真题出题风格和难度变化，以便合理调整备考策略。
综上所述，虽然每年的考研数学三真题都有一定的难度，但是2017年的真题可以被认为是较为困难的一年。