九年级数学上册第23章解直角三角形23.2解直角三角形及其应用第2课时解决单一直角三角形的实际问题作
《第2课时仰角与俯角问题》示范教学方案
第23章解直角三角形23．2解直角三角形及其应用第2课时仰角与俯角问题一、教学目标1．使学生掌握仰角、俯角的概念,并学会正确地运用这些概念和解直角三角形的知识解决一些实际问题；2．让学生体验方程思想和数形结合思想在解直角三角形中的用途；3．使学生感知本节课与现实生活的密切联系,进一步认识到将数学知识运用于实践的意义.二、教学重点及难点重点：将实际问题转化为解直角三角形问题；难点：将实际问题中的数量关系如何转化为直角三角形中元素间的关系求解.三、教学用具多媒体课件．四、相关资料《解直角三角形应用举例》微课．五、教学过程【情景引入】南浦大桥建桥时为世界第三大斜拉桥,桥全长8346米,6车道,主塔高154米,塔柱中间,由两根高8米、宽7米的上下拱梁牢牢地连接着,呈“H”型.南浦大桥于1991年12月1日建成通车.南浦大桥横卧在黄浦江上,它使上海人圆了“一桥飞架黄浦江”的梦想.问题:南浦大桥主塔高154米,最高的一根钢索与桥面的夹角为30°,问最高的钢索有多长?追问:第二根钢索与桥面的夹角为35°,如何求第二根钢索的长呢?教师带领学生看题目.设计意图：从问题来引出今天的知识点，激发兴趣，增强学生的学习热情．【合作探究】操场上有一根旗杆,老师让小明去测量旗杆的高度,小明站在离旗杆底部10米远处,目测旗杆的顶部,视线与水平线的夹角为34°,并已知目高为1米.然后他很快就算出旗杆的高度了.请同学们思考这个问题,想想他是如何计算的.学生思考,讨论.教师找一生板演,并让他解释自己的思路.【探究新知】1.讲解.师:在实际生活中,解直角三角形有着广泛的应用,例如我们通常遇到的视线、水平线、铅垂线就构成了直角三角形.教师在黑板上作图.师:当我们测量时,在视线与水平线所成的角中,视线在水平线上方的角叫做仰角;在水平线以下的角叫做俯角.注意:(1)仰角和俯角必须是视线与水平线所夹的角,而不是与铅垂线所夹的角;(2)仰角和俯角都是锐角.师:我们自己测量角时用什么工具啊?生:量角器.量:测量仰角、俯角也有专门的工具,是测角仪.【典型例题】如图,一学生要测量校园内一棵水杉树的高度.他站在距离水杉树8m的E处,测得树顶的仰角∠ACD=52°.已知测角器的架高CE=1.6m,问树高AB为多少米?(精确到0.1m)答案:在Rt △ACD 中,∠ACD =52°,CD =EB =8 m .AD =CD ·tan ∠ACD =8×tan 52°=8×1.2799≈10.2(m ).由DB =CE =16 m 得AB =AD +DB =10.2+1.6=11.8(m ).答:树高AB 为11.8 m .本图片是微课的首页截图，本微课资源通过讲解实例，进一步巩固解直角三角形的应用，有利于启发教师教学或学生预习或复习使用.若需使用，请插入微课【知识点解析】解直角三角形应用举例.【新知应用】如图所示，为了测量山的高度AC ，在水平面B 处测得山顶A 的仰角为30°，AC ⊥BC ，自B 沿着BC 方向向前走1000m ，到达D 处，又测得山顶A 的仰角为45°，求山高．(结果保留根号)解析：要求AC ，无论是在Rt △ACD 中，还是在Rt △ABC 中，只有一个角的条件，因此这两个三角形都不能解，所以要用方程思想，先把AC 看成已知，用含AC 的代数式表示BC 和DC ，由BD ＝1000m 建立关于AC 的方程，从而求得AC .答案：在Rt △ABC 中，AC BC ＝tanB ＝tan 30°＝33， ∴BC ＝3AC .在Rt △ACD 中，AC DC＝tan ∠ADC ＝tan 45°＝1，∴DC ＝AC .∴BD ＝BC －DC ＝3AC －AC ＝(3－1)AC ＝1000，∴AC ＝10003－1＝500(3＋1)(m )．答：山高为500(3＋1)m .方法总结：在解直角三角形时，若仰角、俯角不是直角三角形的内角时，应利用已知条件将它转化为直角三角形的内角，再利用直角三角形的边角关系列方程求解．【随堂检测】1.如图，飞机A 在目标B 正上方1000m 处，飞行员测得地面目标C 的俯角为30°，则地面目标B ，C 之间的距离是________．解析：由题意可知，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，∠C ＝∠CAD ＝30°，AB ＝1000m ，∴BC ＝ABtan C ＝1000tan30°＝10003(m )，故填10003m . 方法总结：解此类问题，首先要找到合适的直角三角形，然后根据已知条件解直角三角形．2.如图，某人站在楼顶观测对面笔直的旗杆AB ，已知观察点C 到旗杆的距离(CE 的长度)为8m ，测得旗杆顶的仰角∠ECA 为30°，旗杆底边的俯角∠ECB 为45°，那么，旗杆AB 的高度是( )A ．(82＋83)mB ．(8＋83)mC ．(82＋833)mD ．(8＋833)m 解析：由题意可知：在Rt △BCE 中，∵CE ＝8m ，∠ECB ＝45°，∠ACE ＝30°，∴BE ＝CE ＝8(m )，AE ＝EC ·tan ∠ACE ＝8×tan 30°＝833(m )， ∴AB ＝AE ＋BE ＝(8＋833)m .故选D . 方法总结：解此类问题，要作好辅助线，将问题分为仰角和俯角两个问题来解直角三角形．设计意图：通过学生练习，使教师及时了解学生对知识点的理解情况，以便教师及时对学生进行矫正．六、课堂小结解直角三角形的应用1.仰角问题2.俯角问题设计意图：将本节课所学的知识点进行集中的梳理，归纳总结出本节课的重点知识．七、板书设计23．2解直角三角形及其应用第2课时仰角与俯角问题。
23.2.3解直角三角形的应用(2)
解直角三角形的应用(2)
课前预习
课堂合作
当堂检测
1.利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是:(1)将实际问 题抽象为 数学问题 (画出平面图形,转化为解直角三角形的问题); (2)根据条件的特点,适当选用锐角三角函数等去 解直角三角形 ; (3)得到数学问题的答案; (4)得到实际问题的答案. 2.如图,已知一轮船以 16 海里/时的速度从港口 A 出发向东北方向航行, 另一轮船以 12 海里/时的速度同时从港口 A 出发向东南方向航行,离开港口 2 小时后,则两船相距( D )
关闭
光明中学九年级(1)班开展数学实践活动,小李沿着东西方向的公路以 50 m/min 的速度向正东方向行走 ,在 A 处测得建筑物 C 在北偏东 60° 方向上,20 由题意可知 AB=50×20=1 000(m),
������������ C 在北偏西 ������������ min 后他走到 B处 ,测得建筑物 方向上,求建筑物 C 到公路 ∠CAB= 30° ,∠CBA= 45° ,AD= ,BD= , 45° tan30° tan45°
AB 的距离(已知������������ 3≈1.732) ������������ .
由 AD+BD=
tan30°
+
tan45°
=1 000(m),解得 CD=
1 000 =500( 3-1)≈366(m). 3+1
所以建筑物 C 到公路 AB 的距离约为 366 m.
答案
16
3������������ ������������ − =3. 3 3 3 3 2 ������������ ������������ ,∴ BD= ������������ tan60° ������������ ������������ ,∴ AD= ������������ tan30°
九年级数学上册第23章解直角三角形23.2解直角三角形及其应用第二课时
在△ACD和△BCD中利用解直角三角
形知识得CD=500(
)m.
3+1
C
12/11/2021
第十三页，共二十二页。
方位角
介绍(jièshào):
• 指南或指北的方向线与目标(mùbiāo)方向线构成
小于90°的角,叫做方位角.
• 如图：点A在O的北偏东30°
• 点B在点O的南偏西45°（西南方向）
∠AD1B1=30 °得
∠ =
=
+
A
°
即 =
+
解方程，得
D1
D
30°
C1
50 m
C
45
°
B1
x=25( +1)≈68(m)
AB=AB1+BB1≈68+1=69(m)
B 答：电视塔的高度(gāodù)约为69m.
利用解直角三角形的知识解决实际问题(wèntí)的一般过
程是：
（1）将实际(shíjì)问题抽象为数学问题（画出平
面图形，转化为解直角三角形的问题）；
（2）根据(gēnjù)条件的特点，适当选用锐角三
角形函数等去解直角三角形；
（3）得到数学问题的答案；
（4）得到实际问题的答案．
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北
A
30°
东
西
O
45°
B
南
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第十四页，共二十二页。
例3
如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°
方向，距离灯塔80海里(hǎilǐ)的A处，它沿正南方
向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东
仰角、俯角问题教学课件
∴DF＝tanBF45°＝1010＝100(米)，
∴
AB
＝
EF
＝
CD
＋
DF
－
CE
＝
500
＋
100
－
100 3
3
≈600
－
100 3
×1.73≈542.3(米)．
7．【2019·南宁】小菁同学在数学实践活动课中测量路灯的高
度．如图，已知她的目高AB为1.5米，她先站在A处看路灯
顶端O的仰角为35°，再往前走3米站在C处，看路灯顶端
基础巩固练
【点拨】钛合金粉末在高温下由固态变成液态，是熔 化现象，需要吸热；然后按构件形状重新凝固成型， 需要放热。 【答案】熔化；凝固
能力提升练
【点拨】由图知B在凝固过程中温度保持不变，所以 B是晶体。B从第4分钟开始凝固，到第8分钟凝固完， 所以凝固过程所用时间为8 min－4 min＝4 min。晶 体在凝固过程中处于固液共存状态，在凝固过程不断 放热，但温度不变。从图中可以看出，B在凝固过程 中保持50 ℃不变，所以其凝固点为50 ℃。 【答案】B；4；固液共存状态；放热；不变；50 ℃
基础巩固练
4．由我国自主研发的大型客机C919已在上海圆满首飞。该 机装有不少运用3D打印技术生产的钛合金部件。3D打印 技术就是在高能激光的作用下，钛合金粉末吸收热量 ________成液态再______成型。(均填物态变化名称)
习题链接
提示：点击 进入习题
答案呈现
1 凝固
4 熔化；凝固 7 见习题 10 B
解：如图，过点C作CH⊥AB于点H， 则CH＝BD，BH＝CD＝0.5米． 在Rt△ACH中， ∠ACH＝45°，∴AH＝CH＝BD， ∴AB＝AH＋BH＝BD＋0.5米． ∵EF⊥FB，AB⊥FB，∴∠EFG＝∠ABG＝90°. 由题意，易知∠EGF＝∠AGB， ∴△EFG∽△ABG，
沪科版数学九年级上册 23.2 解直角三角形 课件(共14张PPT)
在Rt△PAD中，∵∠PAD＝90°－60°＝30°
AD 3PD, 12 x 3x,
x 12 6( 3 1) 18. 3 1
∴渔船不改变航线继续向东航行，有触礁危险．
巩固练习
1.小明为了测量其所在位置，A点到 河对岸B点之间的距离，沿着与AB垂 A m C 直的方向走了m米，到达点C，测得 ∠ACB＝α，那么AB等于（ B）
两边
2
（2）根据AC= 2 ，BC= 6
C
6 B 你能求出这个三角形的其他元素吗？
∠A ∠B AB
（3）根∠A=60°,∠B=30°, 两角
你能求出这个三角形的其他元
素吗? 不能
解直角三角形
解直角三角形:在直角三角形中，由已知元素求未知元素的
程．
A
事实上，在直角三角形的六个元素
（三条边，三个角）中，除直角外，
分析：作PD⊥BC，设PD=x,则 BD=x,AD=x+12,根据AD= 3 PD, 得x+12= 3 x,求出x的值,再 比较PD与18的大小关系.
D
解：
有触礁危险
D
理由：过点P作PD⊥AC于D.设PD为x， 在Rt△PBD中，∠PBD=90°－45°＝45°． ∴BD＝PD＝x,AD=12+x.
b
c
如果再知道两个元素（其中至少有一
个是边），这个三角形就可以确定下 来，这样就可以由已知的两个元素求
Ca
B
出其余的三个元素．
在解直角三角形的过程中，一般要用到下面一些关系：
（1）三边之间的关系 a2 b2 c2（勾股定理）
B
斜边c （2）两锐角之间的关系 ∠A＋∠B＝90°
∠A的对边a
23.2.2 解直角三角形及其应用 第2课时 教案
沪科版数学九年级上册23.2.2 解直角三角形及其应用教学设计例3 如图 23-16，一学生要测量校园内一棵水杉树的高度。
他站在距离水杉树8米的E处,测得树顶端A的仰角∠ACD为52°,已知测角器CE=1.6米，问树高AB为多少米？(精确到0.1m).例4 解决本章引言所提问题。
如图23-17，某校九年级学生要测量当地电视塔的高度AB，因为不能直接到达塔底B处，他们采用在发射台院外与电视塔底B成一直线的C，D两处地面上，用测角器测得电视塔顶部A的仰角分别为45°和30°,同时量得CD为50m，已知测角器高为1m，问电视塔的高度为多少米？(结果精确到1m).例5 如图23-18，一船以20n mile/h的速度向东航行，在A处测得灯塔C在北偏东60°的方向上，老师提示:解决这个问题的方法，我们称为实际问题数学化，这是解决实际问题常用的方法。
通过学生自己的观察、比较、总结出在这些结论。
实际问题数学化，由实际问题画出平面图形，也能有平面图形想像出实际情景，再根据解直角三角形的来解决实际问题。
并且了解了仰角，俯角的概念。
引导学生再次思考。
加强学生的合作意识，使学生养成大胆猜测和想象的能力，积极参与数学问题的谈论，敢于发表自己的见解。
强调易错点，加继续航行1h到达B处，再测得灯塔C在北偏东30°的方向上，已知灯塔C四周10 n mile 内有暗礁，问这船继续向东航行是否安全？分析：这船继续向东航行是否安全，取决于灯塔C 到AB航线的距离是否大于10 n mile解直角三角形应用的基本图形①不同地点看同一点(如图①)；②同一地点看不同点(如图②)建筑物BC上有一旗杆AB，由距BC 40m的D处观察旗杆顶部A的仰角54°，观察底部B的仰角为45°，教师再给予点评、引导，然后共同完成问题的解决。
在探索中发现，这样才能理解其中的规律并能加以总结．通过问题的解决和延伸，引发学生自主思考，培养学生解决问题的逻辑思维能力。
沪科版九年级数学上册《仰角、俯角在解直角三角形中的运用》课件
CE＝sinC6D0°＝2
3＋1.5 ＝(4＋
3
3)≈5.7(米)，答：拉线 CE 的长约为 5.7 米
2
11．(14分)为了缓解长沙市区内一 些主要路段交通拥挤的现状，交警队 在一些主要路口设立了交通路况显示牌(如图)．已知立杆AB高度是3 m， 从侧面D点测得显示牌顶端C点和底端B点的仰角分别是60°和45°，求 路况显示牌BC的高度．
23．2 解直角三角形及其运用
仰角、俯角在解直角三角形中的运用
仰角，俯角：如图，从下往上看，___视__线__与__水__平__线____的夹角叫做仰角，从 上往下看，视线与水平线的夹角叫做___俯__角___．图中的∠1就是俯角，∠2就 是仰角．
仰角、俯角在解直角三角形中的应用
1．(6 分)如图，某地修建高速公路，要从 B 地向 C 地修一座隧道(B，C
5．(6分)如图，在高出海平面100米的悬崖顶A处，观测海平面上一艘小 船B，并测得它的俯角为45°，则船与观测者之间的水平距离BC＝ _____1_0_0_米．
6．(10分)天塔是天津市的标志性建筑之一．某校数学兴趣小组要测量天塔 的高度．如图，他们在点A处测得天塔最高点C的仰角为45°，再往天塔 方向前进至点B处测得最高点C的仰角为54°，AB＝112 m．根据这个兴趣 小组测得的数据，计算天塔的高度CD.(tan36°≈0.73，结果保留整数)
4．(6分)在207国道襄阳段改造工程中，需沿AC方向开山修路(如图所示)， 为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工．从AC上的一点B取 ∠ABD＝140°，BD＝1 000 m，∠D＝50°.为了使开挖点E在直线AC 上．那么DE＝____6_4_2_.8__m___．(供an50°≈1.192)
沪科版九年级数学上册 第23章 23.2 解直角三角形及其应用 导学案
解直角三角形及其应用第一课时 教学目标：1、熟练掌握直角三角形除直角外五个元素之间的关系。
2、学会根据题目要求正确地选用这些关系式解直角三角形。
教学重难点：1、重点：会利用已知条件解直角三角形。
2、难点：根据题目要求正确选用适当的三角关系式解直角三角形。
教学过程： 1、复习回顾＊直角三角形三边的关系: 勾股定理 a 2+b 2=c 2. 直角三角形两锐角的关系:两锐角互余 ∠A+ ∠B=90°. ＊直角三角形边与角之间的关系:锐角三角函数＊互余两角之间的三角函数关系: sinA=cosB . ＊同角之间的三角函数关系:＊特殊角30°,45°,60°角的三角函数值.2、新课探究：有以上的关系，如果知道了五个元素中的两个元素（至少有一个是边），就可以求出其余的三个元素。
在直角三角形中，除直角外，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形。
例1 在RT △ABC 中,∠C=90°,∠B=42°6′,c=287.4,解这个三角形。
解：∠A=90°-42°6′=47°54′a=c ·cosB=287.4×0.7420=213.3b=c ·sinB=287.4×0.6704=192.7例2 在△ABC 中，∠A=55°,b=20cm,c=30cm,求三角形的面积 （精确到0.1cm 2）解：如图，作AB 上的高CD ，在RT △ACD 中，CD=AC ·sinA=b ·sinA.abBcaB A ==cos sin cbB A ==sin cos .cos sin tan AAA =1sin cos 22=+B A 得由,cos c aB =得由,sin cb B =ABCS∆A bc CD AB S ABC sin 2121=⋅∴=∆当∠A=55°，b=20cm,c=30cm 时，有3、练习：(1)在RT △ABC 中，∠C=90°,AC=6, ∠BAC 的平分线AD= ，解此直角三角形。
沪科版九年级数学上册课件：第23章 解直角三角形 23.2专题五 解直角三角形的运用
解：作 PE⊥OC 于点 E，PF⊥OB 于点 F，tan∠PAB＝12，即APFF＝12， 设 PF 为 x，则 AF＝2x，OE＝x，∴CE＝100 3－x，PE＝OF＝100＋
2x，在 Rt△PEC 中，由∠CPE＝45°，∴CE＝EP，∴102x，解得 x＝
23．2 解直角三角形及其运用
专题五 解直角三角形的运用
类型之一：构造直角三角形解决实际问题 1．如图，在一次测量活动中，小华站在离旗杆底部(B 处)6 米的 D 处， 仰望旗杆顶端 A，测得仰角为 60°，眼睛离地面的距离 ED 为 1.5 米，试 帮助小华求出旗杆 AB 的高度．(结果精确到 0.1 米， 3≈1.732)
4．(2014·仙桃)如图，在坡角为30°的山坡上有一铁塔AB，其正前方矗 立着一大型广告牌，当阳光与水平线成45°角时，测得铁塔AB落在斜坡 上的影子BD的长为6米，落在广告牌上的影子CD的长为4米，求铁塔AB 的高．(AB，CD均与水平面垂直，结果保留根号)
解：过点 C 作 CE⊥AB 于点 E，过点 D 作 DF⊥AB 交 AB 的延长线 于点 F，在 Rt△DBF 中，∠BDF＝30°，BF＝DB·sin30°＝12DB＝3，DDBF ＝cos30°＝ 23，∴DF＝6× 23＝3 3，∵CE＝DF，∴CE＝DF＝3 3， 在 Rt△ACE 中，由题意可知∠ACE＝45°，ACEE＝tan45°＝1，∴AE＝ CE＝3 3，∴AB＝AF－BF＝AE＋EF－BF＝3 3＋4－3＝(3 3＋1)米， 所以铁塔 AB 的高为(3 3＋1)米
• 书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。2022年4月上午11时26分22.4.1111:26April 11, 2022 • 正确的略读可使人用很少的时间接触大量的文献，并挑选出有意义的部分。2022年4月11日星期一11时26分10秒11:26:1011 April 2022 • 书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。
沪科版九年级上册数学第23章 解直角三角形 正切(2)
6．[2019·蚌埠模拟]如图，河堤横断面迎水坡 AB 的坡比是 1∶ 3，堤高 BC＝10 m，则坡面 AB 的长度是( )
A．15 m B．20 3 m C．20 m D．10 3 m
【点拨】在 Rt△ABC 中，已知坡面 AB 的坡比以及铅直高度 BC
来的14时，tan
1 A＝41
BC＝BACC，所以
tan
A
的值保持不变．
4 AC
故选 D.
【答案】D
9．某人沿坡度 i＝1∶2 的斜坡向上前进了 6 米，则他上升的高 度为( ) A．3 米 B．655米 C．2 3米 D．125 5米
【点拨】本题考查了解直角三角形的应用——坡度、坡角问题．由 坡度定义可得位置升高的高度即为坡角所对的直角边．如图，由 题意得，BC∶AC＝1∶2，∴BC∶AB＝1∶ 5. ∵AB＝6 米，∴BC＝655米．故选 B.
【点拨】如图所示，平移 AB 使 A 点与 P 点重合，B 点与 B′点 重合，连接 B′Q，可得∠QMB＝∠P， ∵PB′＝2 2，PQ＝2 10，B′Q＝4 2，∴PB′2＋QB′2＝PQ2， ∴△QPB′是直角三角形， ∴tan∠QMB＝tan P＝QPBB′′＝24 22＝2. 故选 D.
∴tan
B＝ABCC＝
23xx＝
3 2.
15．如图，将矩形 ABCD 沿 CE 折叠，点 B 恰好落在边 AD 上的 点 F 处，如果ABBC＝23，求 tan∠DCF 的值．
解：∵四边形 ABCD 是矩形，∴AB＝CD，∠D＝90°.
∵将矩形 ABCD 沿 CE 折叠，点 B 恰好落在边 AD 上的点 F 处，