广西桂林市2016-2017学年高二(上)期末数学试卷(文科)(解析版)
2016-2017学年广西桂林市高二(上)期末数学试卷(理科)
2016-2017学年广西桂林市高二（上）期末数学试卷（理科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)1.设a，b，c∈R，且a＞b，则（）A.ac＞bcB.＜C.a2＞b2D.a-c＞b-c【答案】D【解析】解：∵a＞b，∴a-c＞b-c，因此D正确．c≤0时，A不正确；a＞0＞b时，B不正确；取a=-1，b=-2，C不正确．故选：D．利用不等式的基本性质即可判断出结论．本题考查了不等式的基本性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2.命题“若整数a，b都是偶数，则a+b是偶数”的逆否命题为（）A.若整数a，b中有一个是偶数，则a+b是偶数B.若整数a，b都不是偶数，则a+b不是偶数C.若整数a，b不是偶数，则a+b都不是偶数D.若整数a，b不是偶数，则a+b不都是偶数【答案】D【解析】解：命题“若整数a，b都是偶数，则a+b是偶数”的逆否命题为“若a+b不是偶数，则整数a、b不都是偶数”．故选：D．根据命题“若p，则q”的逆否命题为“若￢q，则￢p”，写出对应的命题即可．本题考查了原命题和它的逆否命题的应用问题，是基础题目．3.双曲线-y2=1的渐近线方程为（）A.y=±2xB.y=±4xC.y=±xD.y=±x【答案】C【解析】解：双曲线=1的渐近线方为，整理，得y=．故选：C．利用双曲线的简单性质直接求解．本题考查双曲线的渐近线方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意双曲线的简单性质的合理运用．4.设x＞0，y∈R，则“x＞y”是“x＞|y|”的（）A.充要条件B.充分不必要条件C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】解：设x＞0，y∈R，当x=0，y=-1时，满足x＞y但不满足x＞|y|，故由x＞0，y∈R，则“x＞y”推不出“x＞|y|”，而“x＞|y|”⇒“x＞y”，故“x＞y”是“x＞|y|”的必要不充分条件，故选：C．直接根据必要性和充分判断即可．本题考查了不等式的性质、充要条件的判定，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5.已知数列{b n}是等比数列，b9是1和3的等差中项，则b2b16=（）A.16B.8C.2D.4【答案】D【解析】解：∵b9是1和3的等差中项，∴2b9=1+3，∴b9=2．由等比数列{b n}的性质可得：b2b16==4，故选：D．利用等差数列与等比数列的通项公式及其性质即可得出．本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6.已知x、y满足线性约束条件：，则目标函数z=x-2y的最小值是（）A.6B.-6C.4D.-4【答案】D【解析】解：由z=x-2y得y=x-，作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分OAB）平移直线y=x-，由图象可知当直线y=x-，过点A时，直线y=x-的截距最大，此时z最小，由，解得，即A（2，3）．代入目标函数z=x-2y，得z=2-6=-4∴目标函数z=x-2y的最小值是-4．故选：D．作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可．本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义是解决问题的关键，利用数形结合是解决问题的基本方法．7.在△ABC中，已知sin A：sin B：sin C=3：2：4，那么cos C=（）A.-B.-C.D.【答案】A【解析】解：△ABC中，sin A：sin B：sin C=3：2：4，∴a：b：c=3：2：4，不妨设a=3k，b=2k，c=4k，且k≠0；∴cos C===-．故选：A．根据正弦定理得出sin A：sin B：sin C=a：b：c，再利用余弦定理求出cos C的值．本题考查了正弦、余弦定理的应用问题，是基础题目．8.已知抛物线C：y2=x的焦点为F，A（x0，y0）是C上一点，若|AF|=x0，则x0等于（）A.1B.2C.4D.8【答案】A【解析】解：抛物线C：y2=x的焦点为F（，0）∵A（x0，y0）是C上一点，|AF|=x0，∴x0=x0+，解得x0=1．故选：A．利用抛物线的定义、焦点弦长公式即可得出．本题考查了抛物线的定义、焦点弦长公式，属于基础题．9.已知命题p：方程x2-2ax-1=0有两个实数根；命题q：函数f（x）=x+的最小值为4．给出下列命题：①p∧q；②p∨q；③p∧￢q；④￢p∨￢q．则其中真命题的个数为（）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】解：命题p：方程x2-2ax-1=0有两个实数根，∀a∈R，可得△≥0，因此是真命题．命题q：x＜0时，函数f（x）=x+＜0，因此是假命题．下列命题：①p∧q是假命题；②p∨q是真命题；③p∧￢q是真命题；④￢p∨￢q是真命题．则其中真命题的个数为3．故选：C．先判定命题p，q的真假，再利用复合命题真假的判定方法即可得出．本题考查了函数的性质、一元二次方程的实数根与判别式的关系、复合命题真假的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10.在△ABC中，角A，B，C所对应的边长分别为a、b、c，若asin A+bsin B=2csin C，则cos C的最小值为（）A. B. C. D.-【答案】C【解析】解：已知等式asin A+bsin B=2csin C，利用正弦定理化简得：a2+b2=2c2，cos C==≥=，故选：C．已知等式利用正弦定理化简得到关系式，再利用余弦定理表示出cos C，利用基本不等式即可求出答案．此题考查了正弦、余弦定理，以及基本不等式，熟练掌握定理是解本题的关键．属于基础题．11.已知数列{a n}是等差数列，a1=tan，a5=13a1，设S n为数列{（-1）n a n}的前n项和，则S2016=（）A.2016B.-2016C.3024D.-3024【答案】C【解析】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a1=tan=1，a5=13a1，∴a5=13=1+4d，解得d=3．∴a n=1+3（n-1）=3n-2．∴（-1）2k-1a2k-1+（-1）2k a2k=-3（2k-1）+2+3×2k-2=3．设S n为数列{（-1）n a n}的前n项和，则S2016=3×1008=3024．故选：C．利用等差数列的通项公式与“分组求和”方法即可得出．本题考查了等差数列的通项公式与“分组求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12.已知点P为双曲线=1（a＞0，b＞0）右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左右焦点，且|F1F2|=，I为三角形PF1F2的内心，若S=S+λS△成立，则λ的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】解：设△PF1F2的内切圆半径为r，由双曲线的定义得|PF1|-|PF2|=2a，|F1F2|=2c，S△IPF1=|PF1|•r，S△IPF2=|PF2|•r，S△IF1F2=•2c•r=cr，由题意得：|PF1|•r=|PF2|•r+λcr，故λ==，∵|F1F2|=，∴=∴∴=故选D．设△PF1F2的内切圆半径为r，由|PF1|-|PF2|=2a，|F1F2|=2c，用△PF1F2的边长和r表示出等式中的三角形的面积，解此等式求出λ．本题考查双曲线的定义和简单性质，考查三角形面积的计算，考查利用待定系数法求出参数的值．二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)13.在△ABC中，若∠A=60°，∠B=45°，BC=3，则AC= ______ ．【答案】2【解析】解：∵∠A=60°，∠B=45°，BC=3，∴由正弦定理=得：AC===2．故答案为：2由A与B的度数分别求出sin A与sin B的值，再由BC的长，利用正弦定理即可求出AC 的长．此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．14.已知{a n}为等差数列，a2+a8=，则S9等于______ ．【答案】6【解析】解：由等差数列的求和公式可得：S9====6故答案为：6由等差数列的求和公式可得：S9==，代入可得．本题考查等差数列的性质和求和公式，属基础题．15.若命题“∃x∈R，使得x2+（1-a）x+1＜0”是假命题，则实数a的取值范围是______ ．【答案】[-1，3]【解析】解：∵“∃x∈R，使得x2+（1-a）x+1＜0是假命题，∴x2+（1-a）x+1=0没有实数根或有重根，∴△=（1-a）2-4≤0∴-1≤a≤3故答案为：[-1，3]．因为不等式对应的是二次函数，其开口向上，若“∃x∈R，使得x2+（1-a）x+1＜0”，则相应二次方程有重根或没有实根．本题主要考查一元二次不等式，二次函数，二次方程间的相互转化及相互应用，这是在函数中考查频率较高的题目，灵活多变，难度可大可小，是研究函数的重要方面．16.过双曲线-=1（a＞0，b＞0）的右焦点F作一条直线，当直线倾斜角为时，直线与双曲线左、右两支各有一个交点，当直线倾斜角为时，直线与双曲线右支有两个不同的交点，则双曲线离心率的取值范围为______ ．【答案】（，2）【解析】解：当直线倾斜角为时，直线与双曲线右支有两个不同的交点，需使双曲线的其中一渐近线方程的斜率小于直线的斜率，即＜tan60°=，即b＜a，∵b=∴＜a，整理得c＜2a，∴e=＜2；当直线倾斜角为时，直线与双曲线左、右两支各有一个交点，可得＞tan30°=，即有b＞a，由＞a，整理得c＞a，∴e=＞．综上可得＜e＜2．故答案为：（，2）．要使直线与双曲线的右支有两个交点，需使双曲线的其中一渐近线方程的斜率小于直线的斜率，即＜tan60°=，求得a和b的不等式关系，进而根据b=，化成a 和c的不等式关系，求得离心率的一个范围；再由当直线倾斜角为时，直线与双曲线左、右两支各有一个交点，可得＞tan30°=，同样可得e的范围，最后综合可得求得e的范围．本题主要考查了双曲线的简单性质．在求离心率的范围时，注意双曲线的离心率与直线的斜率的关系，考查运算能力，属于中档题．三、解答题(本大题共6小题，共70.0分)17.设等差数列{a n}的前n项和为S n，且a3=2，S7=21．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=2a n，求数列{b n}的前n项和T n．【答案】解：（1）设{a n}的公差为d，则，解得．∴a n=a1+（n-1）d=n-1．（2）由（1）可得b n=2n-1，∴{b n}为以1为首项，以2为公比的等比数列，∴T n==2n-1．【解析】（1）根据条件列方程解出a1和d，从而得出通项公式；（2）利用等比数列的求和公式得出T n．本题考查了等差数列，等比数列的通项公式与求和公式，属于基础题．18.已知命题p：∀x∈R，x2+kx+2k+5≥0；命题q：∃k∈R，使方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆．（1）若命题q为真命题，求实数k的取值范围；（2）若命题“p∨q”为真，命题“p∧q”为假，求实数k的取值范围．【答案】解：（1））∵方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆，∴＞＞＞，解得：1＜k＜，故q：k∈（1，）；（2）∵∀x∈R，x2+kx+2k+5≥0，∴△=k2-4（2k+5）≤0，解得：-2≤k≤10，故p为真时：k∈[-2，10]；结合（1）q为真时：k∈（1，）；若命题“p∨q”为真，命题“p∧q”为假，则p，q一真一假，故或或＞或＜＜＜，解得：-2≤k≤1或≤k≤10．【解析】（1）根据椭圆的定义求出k的范围即可；（2）根据二次函数的性质求出p为真时的k的范围，结合p，q的真假，得到关于k的不等式组，解出即可．本题考查了二次函数的性质、考查椭圆的定义以及复合命题的判断，是一道中档题．19.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知acos B=bsin A．（1）求角B的大小；（2）若△ABC的面积S=b2，求的值．【答案】解：（1）∵acos B=bsin A．∴由正弦定理可得：sin A cos B=sin B sin A．∵A∈（0，π），sin A≠0，∴解得：cos B=sin B，可得：tan B=，∵B∈（0，π），∴B=．（2）∵B=，△ABC的面积S=b2=acsin B=，∴b2=ac，又∵由余弦定理可得：b2=a2+c2-2accos B=a2+c2-ac，可得：2ac=a2+c2，∴（）2-2×+1=0，解得：=1．【解析】（1）由正弦定理化简已知等式可得：sin A cos B=sin B sin A，由于sin A≠0，可得：tan B=，结合范围B∈（0，π），可求B的值．（2）由三角形面积公式可求b2=ac，进而利用余弦定理可得2ac=a2+c2，即可解得的值．本题主要考查了正弦定理，三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．20.某工地决定建造一批房型为长方体、房高为2.5米的简易房，房的前后墙用2.5米高的彩色钢板，两侧墙用2.5米的高的复合钢板．两种钢板的价格都用长度来计算（即：钢板的高均为2.5米．用钢板的长度乘以单价就是这块钢板的价格）．已知彩色钢板每米单价为450元．复合钢板每米单价为200元，房的地面不需另买材料，房顶用其它材料建造，每平方米材料费200元，每套房的材料费控制在32000元以内．（1）设房前面墙的长为x（米），两侧墙的长为y（米），建造一套房所需材料费为P（元），试用x，y表示P；（2）试求一套简易房面积S的最大值是多少？当S最大时，前面墙的长度应设计为多少米？【答案】解：（1）依题得，p=2x×450+2y×200+xy×200=900x+400y+200xy即p=900x+400y+200xy；（2）∵S=xy，∴p=900x+400y+200xy≥+200S=200S+1200，又因为p≤3200，所以200S+1200≤3200，解得-16≤≤10，∵S＞0，∴0＜S≤100，当且仅当，即x=时S取得最大值．答：每套简易房面积S的最大值是100平方米，当S最大时前面墙的长度是米．【解析】（1）根据题意可分别求得前面墙，两侧墙和房顶的费用，三者相加即可求得P．（2）利用P的表达式和基本不等式求得关于的不等式关系，求得的范围，以及等号成立条件求得x的值．本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用．考查了学生分析问题和解决实际问题的能力．21.数列{a n}为正项等比数列，且满足a1+a2=4，a32=a2a6；设正项数列{b n}的前n项和为S n，且满足S n=．（1）求{a n}和{b n}的通项公式；（2）设c n=a n b n，求数列{c n}的前n项的和T n．【答案】解：（1）设正项等比数列{a n}的公比为q，∵a1+a2=4，a32=a2a6，∴a1（1+q）=4，，即q2=4．解得q=2，a1=2．∴a n=2n．正项数列{b n}的前n项和为S n，且满足S n=．∴b1=，解得b1=1．n≥2时，b n=S n-S n-1=-，化为：（b n+b n-1）（b n-b n-1-2）=0，∴b n-b n-1=2，∴数列{b n}是等差数列，公差为2．∴b n=1+2（n-1）=2n-1．（2）c n=a n b n=（2n-1）•2n，∴数列{c n}的前n项的和T n=2+3×22+5×23+…+（2n-1）•2n，∴2T n=22+3×23+…+（2n-3）•2n+（2n-1）•2n+1，∴-T n=2+2（22+23+…+2n）-（2n-1）•2n+1=-2+-（2n-1）•2n+1=（3-2n）•2n+1-6，∴T n=（2n-3）•2n+1+6．【解析】（1）设正项等比数列{a n}的公比为q，由a1+a2=4，a32=a2a6，可得a1（1+q）=4，，即q2=4．解得q，a1，即可得出a n．正项数列{b n}的前n项和为S n，且满足S n=．b1=，解得b1．n≥2时，b n=S n-S n-1，即可得出．（2）c n=a n b n=（2n-1）•2n，利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．本题考查了“错位相减法”、等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．左、右焦点分别为F1，F2，点G在椭圆C上，且•=0，△GF1F2的面积为2．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）直线l：y=k（x-1）（k＜0）与椭圆Γ相交于A，B两点．点P（3，0），记直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，当最大时，求直线l的方程．【答案】解：（Ⅰ）∵椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，∴e=，①∵左右焦点分别为F1、F2，点G在椭圆上，∴||+||=2a，②∵•=0，△GF1F2的面积为2，∴||2+||2=4c2，③，④联立①②③④，得a2=4，b2=2，∴椭圆C的方程为；（Ⅱ）联立，得（1+2k2）x2-4k2x+2k2-4=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），∴，．==高中数学试卷第11页，共12页=，当且仅当时，取得最值．此时l：y=．【解析】（Ⅰ）由椭圆的离心率为、点G在椭圆上、•=0及△GF1F2的面积为2列式求得a2=4，b2=2，则椭圆方程可求；（Ⅱ）联立直线方程和椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系得到A，B两点横坐标的和与积，把转化为含有k的代数式，利用基本不等式求得使取得最大值的k，则直线Γ的方程可求．本题考查椭圆方程的求法，考查向量在求解圆锥曲线问题中的应用，考查了直线和圆锥曲线间的关系，训练了利用基本不等式求最值，考查了计算能力，是中档题．高中数学试卷第12页，共12页。
2016_2017学年广西桂林市桂林中学高二数学上学期期考模拟习题文
桂林中学2016—2017学年上学期期考模拟考高二年级数学科文科试题考试时间：120分钟本套试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分．第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知a b >，则下列不等式中恒成立的是（ ）A ．ln ln a b >B ．11a b< C ．2a ab > D ．222a b ab +> 2．若p 是真命题，q 是假命题，则( )A ．p q ∧是真命题B ．p q ∨是假命题C ．p ⌝是真命题D ．q ⌝是真命题 3．在△ABC 中，A=60°，34=a ，24=b ，则B=（ ）A ．45°B ．135°C ．45°或135°D ．以上答案都不对 4．抛物线24y x =的准线方程是（ ） A.1y = B.1y =- C.116y =D.116y =- 5．若椭圆()222210x y a b a b +=>>ab=（ ）A ．3 BC．26．若n S 为数列{}n a 的前n 项和，且1n nS n =+，则51a =（ ） A ．56 B ．65 C ．130D ．30 7．已知双曲线221()my x m R -=∈与椭圆2215y x +=有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程为（ ）A.y =B.3y x =±C.13y x =± D.3y x =± 8．实数,x y 满足10230260x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩，若4x y m -≥恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A. (],0-∞B. (],4-∞C. (],12-∞D. []0,129．已知等差数列{}n a 满足23813220a a a -+=，且数列{}n b 是等比数列，若88b a =，则412b b =（ ）A.32B.16C.8D.410．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中，甲所得为（ ）A ．54钱 B ．43钱 C ．32钱 D ．53钱 11．直线y =与椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>交于A B 、两点，以线段AB 为直径的圆恰好经过椭圆的右焦点，则椭圆C 的离心率为（ ）ABC1 D．4- 12．抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，准线为l ，A ，B 是抛物线上的两个动点，且满足23AFB π∠=，设线段AB 的中点M 在l 上的投影为N ，则||||MN AB 的最大值是（ ）ACD第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．用含有逻辑联结词的命题表示命题“0xy =“的否定是 ． 14．在ABC ∆中，若ab c b a 3222=-+，则C ∠= .15．椭圆221mx ny +=与直线10x y +-=相交于,A B 两点，过AB 中点M 与坐标原点的直线的斜率为2，则mn的值为 . 16．设命题甲：关于x 的不等式2240x ax ++≤有解，命题乙：设函数()log (2)a f x x a =+- 在区间),1(+∞上恒为正值，那么甲是乙的 条件.三、解答题：（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，已知36S =，44a =．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若133n n a a n b +=-18．已知不等式2364ax x -+>的解集为{}1x x x b <>或．（1）求,a b ；（2）解不等式()()0x c ax b -->．19.ABC ∆的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知2cos (cos cos ).C a B+b A c =（I ）求C ；（II ）若c ABC =∆的面积为2,求ABC 的周长．20．某外商到一开放区投资72万美元建起一座蔬菜加工厂，第一年各种经费12万美元，以后每年增加4万美元，每年销售蔬菜收入50万美元.（1）若扣除投资及各种经费，则从第几年开始获取纯利润？（2）若干年后，外商为开发新项目，有两种处理方案: ①年平均利润最大时以48万美元出售该厂；②纯利润总和最大时，以16万元出售该厂，问哪种方案最合算？212，（1）试求椭圆M 的方程； （2的直线l 与椭圆M 交于C 、D 两点，点为椭圆M 上一点，记直线PC 的斜率为1k ，直线PD 的斜率为2k ，试问：12k k +是否为定值？请证明你的结论．22．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，()()13,21122n n a S n a n ==++≥． （1）求{}23,,n a a a 的通项公式；（2）设()()*211n n b n N a =∈+，数列{}n b 的前n 项和为n T ，证明：()*710nTn N <∈．桂林中学2016—2017学年上学期期考模拟考高二年级数学科文科答案一、选择题：（本大题共12小题，每题5分，满分60分）013. 0x ≠且0y ≠ 14. 30°16. 必要不充分 17．（本题满分10分）解：（1）设公差为d ，则3141336,34,S a d a a d =+=⎧⎨=+=⎩解得11,1.a d =⎧⎨=⎩ ∴n a n =．……4分（2）∵13323n n n n b +=-=⋅，∴113n n b b +=，∴1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列．……6分 ∵1116b =，13q =10分18．（本题满分12分）（1）因为不等式4632>+-x ax 的解集为{}b x x x ><或1，所以b 是方程0232=+-x ax 的两根，由根与系数关系得⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+a b a b 231解得⎭⎬⎫⎩⎨⎧==21b a . 所以b a ,的值分别是2,1……6分（2）把2,1==b a 代入0))((>--b ax c x ，得0)2)((>--x c x .当2<c 时，不等式的解集为{}2><x c x x 或； 当2>c 时，不等式的解集为{}c x x x ><或2； 当2=c 时，不等式的解集为{{}2≠x x ……12分 19．（本题满分12分）……6分（II ）由已知,1sin C 2ab =C 3π=,所以6ab =． 由已知及余弦定理得,222cosC 7a b ab +-=．故2213a b +=,从而()225a b +=．所以C ∆AB 的周长为5+．……12分 20．（本题满分12分）由题意知，每年的经费是以12为首项，4为公差的等差数列，设纯利润与年数的关系为f (n ),则f (n )=50n –［12n 4］–72=–2n 2+40n –72……3分 (1)获纯利润就是要求f (n )>0,∴–2n 2+40n –72>0，解得2<n <18. 由n ∈N 知从第三年开始获利. ……6分（2）①年平均利润–2(n≤16.当且仅当n =6时取等号. 故此方案先获利6×16+48=144（万美元），此时n =6,②f (n )=–2(n –10)2+128. ……8分当n =10时，f (n )|max =128. 故第②种方案共获利128+16=144（万美元）. ……10分故比较两种方案，获利都是144万美元，但第①种方案只需6年，而第②种方案需10年，故选择第①种方案. ……12分 21．（本题满分12分）【答案】（1）1,2==c a ．，椭圆M 的方程为 ……4分 （2）设直线l 的方程为：，),(),,(2211y x D y x C 联立直线l 的方程与椭圆方程得：（1）代入（2）得：化简得：0322=-++b bx x ………（3） ……………6分当0>∆时，即，0)3(422>--b b时，直线l 与椭圆有两交点， ………………7分由韦达定理得：⎩⎨⎧-=⋅-=+322121b x x bx x ， ………………8分………………10分，12k k +所以为定值 。
2016-2017学年广西桂林中学高二(下)开学数学试卷(文科)(解析版)
2016-2017学年广西桂林中学高二（下）开学数学试卷（文科）一．选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题列出的四个选项中，选出最符合题目要求的一项.1．（5分）下列结论正确的是（）A．若ac＞bc，则a＞b B．若a2＞b2，则a＞bC．若a＞b，c＜0，则a+c＜b+c D．若＜，则a＜b2．（5分）函数y＝sin x﹣cos x，则f'（π）的值是（）A．﹣1B．0C．1D．π3．（5分）设p，q是两个命题，若（￢p）∧q是真命题，那么（）A．p是真命题且q是假命题B．p是真命题且q是真命题C．p是假命题且q是真命题D．p是真命题且q是假命题4．（5分）已知抛物线顶点在原点，焦点为双曲线的右焦点，则此抛物线的方程是（）A．y2＝2x B．y2＝4x C．y2＝10x D．y2＝20x5．（5分）《张丘建算经》是我国南北朝时期的一部重要数学著作，书中系统的介绍了等差数列，同类结果在三百多年后的印度才首次出现．书中有这样一个问题，大意为：某女子善于织布，后一天比前一天织的快，而且每天增加的数量相同，已知第一天织布5尺，一个月（按30天计算）总共织布390尺，问每天增加的数量为多少尺？该问题的答案为（）A．尺B．尺C．尺D．尺6．（5分）若△ABC的角A，B，C对边分别为a、b、c，且a＝1，∠B＝45°，S△ABC＝2，则b＝（）A．5B．25C．D．7．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z＝x+2y（）A．有最小值3，无最大值B．有最小值5，无最大值C．有最大值3，无最小值D．有最大值5，无最小值8．（5分）某同学寒假期间对其30位亲属的饮食习惯进行了一次调查，列出了如下2×2列联表：则可以说其亲属的饮食习惯与年龄有关的把握为（）附：参考公式和临界值表（其中n＝a+b+c+d）A．90%B．95%C．99%D．99.9%9．（5分）函数f（x）＝lnx+在区间[2，+∞）上单调递增，则a的取值范围为（）A．（﹣∞，2]B．（﹣∞，2）C．[2，+∞）D．[﹣2，2] 10．（5分）要做一个圆锥形漏斗，母线长为20cm，要使其体积最大，则其高应为（）A．cm B．20cm C．10cm D．cm11．（5分）若b＞a＞3，f（x）＝，则下列各结论中正确的是（）A．B．C．f（）＜f（）＜f（a）D．f（b）＜f（）＜f（）12．（5分）设F1，F2分别为﹣＝1（a＞0，b＞0）双曲线a≥1的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得（|PF1|﹣|PF2|）2＝b2﹣3ab，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．4D．二．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）曲线C：y＝xlnx在点M（e，e）处的切线方程为．14．（5分）若x＞2，则x+的最小值为．15．（5分）已知等比数列{a n}的公比q＝2，其前4项和S4＝60，则a3＝．16．（5分）已知p：x＜﹣3或x＞1，q：x＞a，若¬p是¬q的充分不必要条件，则a的取值范围．三．解答题：本大题共6小题，共70分，解答应给出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且a sin C＝c cos A．（1）求角A的大小；（2）若a＝，c＝3，求△ABC的面积．18．（12分）已知等差数列{a n}中，S n是数列{a n}的前n项和，已知a2＝9，S5＝65．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列的前n项和为T n，求T n．19．（12分）设函数f（x）＝2x3+3ax2+3bx+c在x＝1及x＝2时取得极值．（1）求a，b的值；（2）若f（x）在[﹣1，2]上的最大值是9，求f（x）在[﹣1，2]上的最小值．20．（12分）某公司经营一批进价为每件4百元的商品，在市场调查时发现，此商品的销售单价x（百元）与日销售量y（件）之间有如下关系：（1）求y关于x的回归直线方程；（2）借助回归直线方程请你预测，销售单价为多少百元（精确到个位数）时，日利润最大？相关公式：，．21．（12分）已知椭圆C：的离心率，焦距为2（1）求椭圆C的方程；（2）已知椭圆C与直线x﹣y+m＝0相交于不同的两点M、N，且线段MN的中点不在圆x2+y2＝1内，求实数m的取值范围．22．（12分）已知函数f（x）＝alnx++1．（Ⅰ）当a＝﹣时，求f（x）在区间[，e]上的最值；（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅲ）当﹣1＜a＜0时，有f（x）＞1+ln（﹣a）恒成立，求a的取值范围．2016-2017学年广西桂林中学高二（下）开学数学试卷（文科）参考答案与试题解析一．选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题列出的四个选项中，选出最符合题目要求的一项.1．【解答】解：当c＜0时，A选项不正确；当a＜0时，B选项不正确；两边同时加上一个数，不等号方向不改变，故C选项错误．所以选D．2．【解答】解：根据题意，f（x）＝sin x﹣cos x，则f′（x）＝cos x+sin x，f'（π）＝cosπ+sinπ＝﹣1；故选：A．3．【解答】解：∵p，q是两个命题，（￢p）∧q是真命题，∴（¬p）和q都是真命题，∴p是假命题且q是真命题．故选：C．4．【解答】解：双曲线的右焦点为（5，0）由题意，设抛物线方程为y2＝2px（p＞0）∵抛物线的焦点为双曲线的右焦点∴∴p＝10所以抛物线方程为y2＝20x故选：D．5．【解答】解：由题意，该女子从第一天起，每天所织的布的长度成等差数列，记为：a1，a2，a3，…，a n，其公差为d，则a1＝5，S30＝390，∴＝390，∴d＝．故选：B．6．【解答】解：S△ABC＝ac sin B＝c＝2，c＝4∴b＝＝＝5故选：A．7．【解答】解：由z＝x+2y得y＝﹣x+z．作出可行域如图阴影所示，平移直线y＝﹣x+z，由图象可知当直线y＝﹣x+z经过点A（1，1）时，直线y＝﹣x+z的截距最小，代入得z＝3，无最大值．故选：A．8．【解答】解：设H0：饮食习惯与年龄无关．因为K2＝＝10＞6.635，所以有99%的把握认为其亲属的饮食习惯与年龄有关．故选：C．9．【解答】解：∵函数f（x）＝lnx+在区间[2，+∞）上单调递增，∴当x≥2时，f′（x）＝﹣≥0，即a≤x，∴a≤2，即a的取值范围为（﹣∞，2]，故选：A．10．【解答】解：设圆锥的高为x，则底面半径为，其体积为V＝πx（202﹣x2）（0＜x＜20），V′＝π（400﹣3x2），令V′＝0，解得x1＝，x2＝﹣（舍去）．当0＜x＜时，V′＞0；当＜x＜20时，V′＜0；∴当x＝时，V取最大值．故选：A．11．【解答】解：∵f（x）＝，∴f′（x）＝，令f′（x）＝0，解得x＝e，当x≥e时，f′（x）＜0，为减函数，当0＜x＜e时，f′（x）＞0，为增函数，∵b＞a＞3＞e，∴ab＞b＞＞＞a＞e，∴f（a）＞f（）＞f（）＞f（b）＞f（ab），故选：D．12．【解答】解：根据题意，双曲线上存在一点P使得（|PF1|﹣|PF2|）2＝b2﹣3ab，又由||PF1|﹣|PF2||＝2a，则有（2a）2＝b2﹣3ab，变形可得4a2+3ab﹣b2＝0，所以，所以，故选：D．二．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．【解答】解：求导函数，y′＝lnx+1∴当x＝e时，y′＝2∴曲线y＝xlnx在点（e，e）处的切线方程为y﹣e＝2（x﹣e）即y＝2x﹣e故答案为：y＝2x﹣e．14．【解答】解：∵x＞2，∴x﹣2＞0．∴x+＝≥＝6．当且仅当，即x＝4时，取最小值．故答案为6．15．【解答】解：根据题意可得，，∴．故答案为：16．16．【解答】解：∵￢p是￢q的充分不必要条件，∴q是p的充分不必要条件，∴a≥1．故答案为：a≥1．三．解答题：本大题共6小题，共70分，解答应给出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．【解答】（本题满分为12分）解：（1）∵a sin C＝c cos A，由正弦定理得sin A sin C＝sin C cos A，…（2分）∵sin C≠0∴sin A＝cos A，即tan A＝，∵A∈（0°，180°），∴A＝60°，…（6分）（2）∵A＝60°，a＝，c＝3，∴由余弦定理a2＝b2+c2﹣2bc cos A，可得：13＝b2+9﹣2×，整理可得：b2﹣3b ﹣4＝0，∴解得：b＝4或﹣1（舍去），∴S△ABC＝bc sin A＝＝3．…（12分）18．【解答】解：（1）设等差数列的首项为a1，公差为d，因为a2＝9，S5＝65，所以得∴a n＝4n+1．（2）∵a1＝5，a n＝4n+1，∴，∴＝，∴＝．19．【解答】解：（1）函数f（x）＝2x3+3ax2+3bx+c，可得f′（x）＝6x2+6ax+3b 因为函数f（x）在x＝1及x＝2时取得极值，则有f′（1）＝0，f′（2）＝0．即解得a＝﹣3，b＝4．（2）由（1）可知，f（x）＝2x3﹣9x2+12x+c，f′（x）＝6x2﹣18x+12＝6（x﹣1）（x﹣2）．当x∈[﹣1，1]时，f′（x）＞0；当x∈（1，2]时，f′（x）＜0．f（x）在[﹣1，2]上的最大值是f（1）＝5+c＝9，c＝4．此时f（﹣1）＝﹣19，f（2）＝8，所以最小值在x＝﹣1时取得，为﹣19．20．【解答】解：（1）因为＝7，＝6.8，所以，＝＝﹣2，＝20.8．于是得到y关于x的回归直线方程y＝﹣2x+20.8．（2）销售价为x时的利润为（x﹣4）（﹣2x+20.8）＝﹣2x2+28.8x﹣83.2，当x＝≈7时，日利润最大．21．【解答】解：（1）由题意知，2c＝2，又a2﹣b2＝c2，解得，c＝1，∴a2＝2，b2＝1故椭圆的方程为…（2分）（2）联立方程，消去y可得3x2+4mx+2m2﹣2＝0则…（5分）设M（x1，y1），N（x2，y2），则，∴MN中点坐标为…（8分）因为MN的中点不在圆x2+y2内，所以或…（10分）综上，可知或…（12分）注：用点差法酌情给分22．【解答】解：（Ⅰ）当a＝﹣时，，∴．∵f（x）的定义域为（0，+∞），∴由f′（x）＝0得x＝1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）∴f（x）在区间[，e]上的最值只可能在f（1），f（），f（e）取到，而f（1）＝，f（）＝，f（e）＝，∴f（x）max＝f（e）＝，f（x）min＝f（1）＝．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（Ⅱ），x∈（0，+∞）．①当a+1≤0，即a≤﹣1时，f′（x）＜0，∴f（x）在（0，+∞）上单调递减；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）②当a≥0时，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）③当﹣1＜a＜0时，由f′（x）＞0得，∴或（舍去）∴f（x）在（，+∞）单调递增，在（0，）上单调递减；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）综上，当a≥0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增；当﹣1＜a＜0时，f（x）在（，+∞）单调递增，在（0，）上单调递减；当a≤﹣1时，f（x）在（0，+∞）上单调递减；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当﹣1＜a＜0时，f（x）min＝f （）即原不等式等价于f （）＞1+ln（﹣a）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）即aln+﹣+1＞1+ln（﹣a）整理得ln（a+1）＞﹣1∴a ＞﹣1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）又∵﹣1＜a＜0，∴a 的取值范围为（﹣1，0）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）第11页（共11页）。
广西桂林市高二上学期期末数学试卷
广西桂林市高二上学期期末数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共14题；共28分)1. （2分）在中，“”是“为直角三角形”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分又不必要条件2. （2分）给定正三棱锥P﹣ABC，M点为底面正三角形ABC内（含边界）一点，且M到三个侧面PAB、PBC、PAC的距离依次成等差数列，则点M的轨迹为（）A . 椭圆的一部分B . 一条线段C . 双曲线的一部分D . 抛物线的一部分3. （2分）(2018·栖霞模拟) 已知命题，，，，若为假命题，则实数的取值范围是（）A .B .C .D .4. （2分） (2016高二上·吉安期中) 如图是利用斜二测画法画出的△ABO的直观图，已知O′B′=4，且△ABO的面积为16，过A′作A′C′⊥x′轴，则A′C′的长为（）A .B .C .D . 15. （2分） (2016高三上·金华期中) 设m，n为空间两条不同的直线，α，β为空间两个不同的平面，给出下列命题：①若m∥α，m∥β，则α∥β；②若m⊥α，m∥β，则α⊥β；③若m∥α，m∥n，则n∥α；④若m⊥α，α∥β，则m⊥β．上述命题中，所有真命题的序号是（）A . ③④B . ②④C . ①②D . ①③6. （2分） (2018高二下·双流期末) 已知抛物线上一动点到其准线与到点M（0，4）的距离之和的最小值为，F是抛物线的焦点，是坐标原点，则的内切圆半径为（）A .B .C .D .7. （2分）设四面体ABCD各棱长均相等,S为AD的中点,Q为BC上异于中点和端点的任一点,则在四面体的面BCD上的的射影可能是A . ①B . ②C . ③D . ④8. （2分） (2016高一下·信阳期末) 若三个单位向量，，满足⊥ ，则|3 +4 ﹣|的最大值为（）A . 5+B . 3+2C . 8D . 69. （2分）已知a,b是异面直线，直线c∥直线a，那么c与b（）A . 一定是异面直线B . 一定是相交直线C . 不可能是平行直线D . 不可能是相交直线10. （2分） (2016高二上·梅里斯达斡尔族期中) 已知双曲线的方程为 =1，点A，B在双曲线的右支上，线段AB经过双曲线的右焦点F2 ， |AB|=m，F1为另一焦点，则△ABF1的周长为（）A . 2a+2mB . a+mC . 4a+2mD . 2a+4m11. （2分） (2012·全国卷理) 已知F1、F2为双曲线C：x2﹣y2=2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|=2|PF2|，则cos∠F1PF2=（）A .B .C .D .12. （2分） (2019高一上·吉林月考) 设，，是三条不同的直线，，是两个不重合的平面，给定下列命题：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ .其中为真命题的个数为（）A . 1B . 2C . 3D . 413. （2分） (2016高二上·屯溪期中) 三棱锥P﹣ABC中，∠APB=∠BPC=∠CPA=60°，则直线PC与平面PAB 所成角的余弦值（）A .B .C .D .14. （2分）(2017·番禺模拟) 已知双曲线﹣ =1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2 ，且F2为抛物线y2=24x的焦点，设点P为两曲线的一个公共点，若△PF1F2的面积为36 ，则双曲线的方程为（）A . ﹣ =1B . ﹣ =1C . ﹣ =1D . ﹣ =1二、填空题 (共5题；共5分)15. （1分） (2019高二上·四川期中) 已知椭圆的左焦点为，动点在椭圆上，则的取值范围是________.16. （1分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E、F分别是CC1、AD的中点．那么异面直线OE和FD1所成角的余弦值为________17. （1分） (2017高三上·四川月考) 过抛物线的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若点是AC的中点，且，则线段AB的长为________18. （1分） (2017高二上·嘉兴月考) 是两个平面,是两条直线,有下列四个命题:①如果 ,那么；②如果m⊥α，α∥α,那么；③如果 ,那么；④如果 ,那么与所成的角和与所成的角相等,其中正确的命题为________．19. （1分）(2018·天津) 如图，已知正方体ABCD–A1B1C1D1的棱长为1，则四棱柱A1–BB1D1D的体积为________．三、解答题 (共8题；共76分)20. （1分） (2017高二上·南昌月考) 若命题“ ”是假命题，则的取值范围是________．21. （10分） (2017高一上·福州期末) 已知圆心为C的圆经过O（0，0））和A（4，0）两点，线段OA的垂直平分线和圆C交于M，N两点，且|MN|=2（1）求圆C的方程（2）设点P在圆C上，试问使△POA的面积等于2的点P共有几个？证明你的结论．22. （5分）斜三棱柱ABC﹣A1B1C1的各棱长为a，侧棱与底面所成的角为60°，且侧面ABB1A1垂直于底面．（Ⅰ）判断B1C与AC1是否垂直，并证明你的结论；（Ⅱ）求三棱柱的全面积．23. （15分） (2016高二下·衡水期中) 已知椭圆M：： + =1（a＞0）的一个焦点为F（﹣1，0），左右顶点分别为A，B．经过点F的直线l与椭圆M交于C，D两点．（1）求椭圆方程；（2）当直线l的倾斜角为45°时，求线段CD的长；（3）记△ABD与△ABC的面积分别为S1和S2，求|S1﹣S2|的最大值．24. （10分）如图，在四棱锥P-ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD为直角梯形，ABC=BAD=,PA=AD=2， AB=BC=1.（1）求平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值；（2）点Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DP所成角最小时，求线段BQ的长.25. （15分） (2016高二下·三亚期末) 如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1棱长为1，P、Q分别是线段AD1和BD 上的点，且D1P：PA=DQ：QB=5：12，（1）求线段PQ的长度；（2）求证PQ⊥AD；（3）求证：PQ∥平面CDD1C1．26. （10分） (2016高二上·六合期中) 已知椭圆的右焦点F（m，0），左、右准线分别为l1：x=﹣m﹣1，l2：x=m+1，且l1 ， l2分别与直线y=x相交于A，B两点．（1）若离心率为，求椭圆的方程；（2）当• ＜7时，求椭圆离心率的取值范围．27. （10分）(2017·河北模拟) 已知椭圆的离心率e= ，左、右焦点分别为F1、F2 ， A是椭圆在第一象限上的一个动点，圆C与F1A的延长线，F1F2的延长线以及线段AF2都相切，M（2，0）为一个切点．（1）求椭圆方程；（2）设，过F2且不垂直于坐标轴的动点直线l交椭圆于P，Q两点，若以NP，NQ为邻边的平行四边形是菱形，求直线l的方程．参考答案一、选择题 (共14题；共28分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、二、填空题 (共5题；共5分)15-1、16-1、17-1、18-1、19-1、三、解答题 (共8题；共76分) 20-1、21-1、21-2、22-1、23-1、23-2、23-3、24-1、24-2、25-1、25-2、25-3、26-1、26-2、27-1、27-2、。
2017-2018学年广西桂林市高二(下)期末数学试卷(文科)(解析版)
．
三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10 分）用分析法证明：
．
18．（12 分）为了调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地
区调查了 500 位老年人，结果如下：
是否需要志愿者
男
女
性别
需要
40
30
不需要
160
270
（1）估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例； （2）能否在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下认为该地区的老年人是否需要志愿者提供 帮助与性别有关． 下列的临界值表供参考：
22．（12 分）已知函数 f（x）＝x﹣alnx（a∈R）．
（1）设函数
，求函数 h（x）的单调区间；
（2）若
，在[1，e]（e＝2.718…）上存在一点 x0，使得 f（x0）≤g（x0）成
立，求 a 的取值范围．
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2017-2018 学年广西桂林市高二（下）期末数学试卷（文
B．各正三角形的某高线上的点 C．各正三角形的中心 D．各正三角形外的某点 9．（5 分）在建立 u 与 v 的回归模型时，选择了 4 种不同模型，其中拟合最好的为（ ） A．模型 1 的相关指数 R2 为 0.75 B．模型 2 的相关指数 R2 为 0.90 C．模型 3 的相关指数 R2 为 0.25 D．模型 4 的相关指数 R2 为 0.55 10．（5 分）设 f（n）＝1+ + +…+ （n＞2，n∈N），经计算可得 f（4）＞2，f（8）＞ ，
P（K2≥k） 0.15
0.10
0.05
广西桂林中学2016-2017学年高二(上)12月段考数学(文)试卷
2016-2017学年广西桂林中学高二（上）12月段考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．1．椭圆=1的离心率为（）A．1 B．C．D．2．数列2，5，10，17，…的一个通项公式为（）A．2n B．n2+n C．2n﹣1 D．n2+13．命题“∀x∈R，f（x）＞0”的否定为（）A．∃x0∈R，f（x0）＞0 B．∀x∈R，f（x）＜0 C．∃x0∈R，f（x0）≤0 D．∀x ∈R，f（x）≤04．已知a＞b，则下列不等式正确的是（）A．ac＞bc B．a2＞b2C．|a|＜|b|D．2a＞2b5．在△ABC中，若b2+c2﹣a2=bc，则角A的值为（）A．30°B．60°C．120°D．150°6．已知实数x，y满足，则目标函数z=x﹣y的最小值为（）A．﹣2 B．5 C．6 D．77．《张邱建算经》有一道题：今有女子不善织布，逐日所织的布同数递减，初日织五尺，末一日织一尺，计织三十日，问共织布（）A．110尺B．90尺C．60尺D．30尺8．在△ABC中，a，b，c分别是A，B，C的对边，若==，则△ABC 是（）A．等边三角形 B．锐角三角形C．任意三角形 D．等腰直角三角形9．“x＞1”是“＜1”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件10．已知x，y都是正数，且xy=x+y，则4x+y的最小值为（）A．6 B．8 C．9 D．1011．下列命题中真命题的个数为（）①“p∨（￢p）”必为真命题；②2+＞+；③数列{5﹣2n}是递减的等差数列；④函数f（x）=2x+（x＜0）的最小值为﹣2．A．1 B．2 C．3 D．412．已知数列{a n}满足，前n项的和为S n，关于a n，S n叙述正确的是（）A．a n，S n都有最小值B．a n，S n都没有最小值C．a n，S n都有最大值D．a n，S n都没有最大值二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．在△ABC中，AB=，A=45°，C=60°，则BC=．14．在等比数列{a n}中，a1=1，a4=8，则前5项和S5=．15．已知两定点F1（﹣1，0），F2（1，0）且|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项，则动点P的轨迹方程是．16．若关于x的不等式x2+x≥（）n，当x∈（﹣∞，λ时对任意n∈N*恒成立，则实数λ的取值范围是（﹣∞，﹣1时对任意n∈N*恒成立，等价于x2+x≥（）n max 对任意n∈N*在x∈（﹣∞，λ时对任意n∈N*恒成立，等价于x2+x≥（）n max对任意n∈N*在x∈（﹣∞，λ恒成立；设y=x2+x，它的图象是开口向上，对称轴为x=﹣的抛物线，所以当x≤﹣时，左边是单调减函数，所以要使不等式恒成立，则λ2+λ≥，解得λ≤﹣1，或λ≥（舍）；当x＞﹣时，左边的最小值就是在x=﹣时取到，达到最小值时，x2+x=﹣，不满足不等式．因此λ的范围就是λ≤﹣1．故答案为：（﹣∞，﹣10，2）∪（3，4hslx3y3h．【点评】本题考查了复合命题的判断，考查分类讨论思想，是一道基础题．18．（12分）（2016•海淀区一模）在△ABC 中，∠C=，a=6．（Ⅰ）若c=14，求sinA的值；（Ⅱ）若△ABC的面积为3，求c的值．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（I）利用正弦定理解出；（II）根据面积计算b，再利用余弦定理解出c．【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，由正弦定理得：，即，∴．（Ⅱ）∵=．∴b=2．由余弦定理得：c2=a2+b2﹣2a•b•cosC=4+36﹣2×=52．∴．【点评】本题考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式，属于基础题．19．（12分）（2014秋•宝坻区期末）已知f（x）=﹣3x2+a（5﹣a）x+b．（1）当不等式f（x）＞0的解集为（﹣1，3）时，求实数a，b的值；（2）若对任意实数a，f（2）＜0恒成立，求实数b的取值范围．【考点】一元二次不等式的解法；函数恒成立问题．【分析】（1）由已知，﹣1，3是﹣3x2+a（5﹣a）x+b=0两解．（2）由f（2）＜0，即2a2﹣10a+（12﹣b）＞0，分离参数b求解．【解答】16解由已知，﹣1，3是﹣3x2+a（5﹣a）x+b=0两解．∴…3分∴或…5分（Ⅱ）由f（2）＜0，即2a2﹣10a+（12﹣b）＞0…8分即b＜2a2﹣10a+12=2（a﹣）2﹣∴恒成立∴故实数b的取值范围为…10分．【点评】本题考查二次函数与二次不等式的知识，属于基础题．20．（12分）（2016•厦门二模）已知等差数列{a n}满足a4﹣a2=2，且a1，a3，a7成等比数列．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=，求数列{b n}的前n项和．【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．【分析】（Ⅰ）公差为d由已知可得：即，解得即可．（Ⅱ）根据裂项求和法即可求出．【解答】解：（Ⅰ）设公差为d由已知可得：即解得：a1=2，d=1所以a n=n+1（Ⅱ）b n===（﹣）所以S n=（1﹣+﹣+﹣+…+﹣）=（1+﹣﹣）=﹣【点评】本题主要考查等差数列等比数列概念、通项等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想21．（12分）（2016秋•秀峰区校级月考）近年来大气污染防治工作得到各级部门的重视，某企业现有设备下每日生产总成本y（单位：万元）与日产量x（单位：吨）之间的函数关系式为y=2x2+（15﹣4k）x+120k+8，现为了配合环境卫生综合整治，该企业引进了除尘设备，每吨产品除尘费用为k万元，除尘后当日产量x=1时，总成本y=142．（1）求k的值；（2）若每吨产品出厂价为48万元，试求除尘后日产量为多少时，每吨产品的利润最大，最大利润为多少？【考点】基本不等式在最值问题中的应用；不等式的实际应用．【分析】（1）求出除尘后的函数解析式，利用当日产量x=1时，总成本y=142，代入计算得k=1；（2）求出每吨产品的利润，利用基本不等式求解即可．【解答】解：（1）由题意，除尘后y=2x2+（15﹣4k）x+120k+8+kx=2x2+（15﹣3k）x+120k+8，∵当日产量x=1时，总成本y=142，代入计算得k=1；（2）由（1）y=2x2+12x+128，总利润L=48x﹣（2x2+12x+128）=36x﹣2x2﹣128，（x＞0）每吨产品的利润==36﹣2（x+）≤36﹣4=4，当且仅当x=，即x=8时取等号，∴除尘后日产量为8吨时，每吨产品的利润最大，最大利润为4万元．【点评】本题考查将实际问题的最值问题转化为函数的最值问题，考查学生的计算能力，属于中档题=2a n+2（n∈N*）．22．（12分）（2016秋•虎林市校级期末）数列{a n}中，a1=3，a n+1（1）求a2，a3的值；（2）求证：{a n+2}是等比数列，并求数列{a n}的通项公式；（3）设b n=，S n=b1+b2+…+b n，证明：对∀n∈N*，都有≤S n＜．【考点】数列递推式；数列的求和．【分析】（1）a1=3，a n+1=2a n+2（n∈N*）．取n=1，2即可得出．（2）由a n+1=2a n+2（n∈N*）．得a n+1+2=2（a n+2）利用等比数列的定义及其通项公式即可得出．（3）由（1）可得：b n=，利用“错位相减法”与等比数列的求和公式、数列的单调性即可得出．【解答】解：（1）a1=3，a n+1=2a n+2（n∈N*）．则a2=2×3+2=8，a3=2×8+2=18．（2）证明：由a n+1=2a n+2（n∈N*）．得a n+1+2=2（a n+2），∵a1=3，a1+2=5，∴{a n+2}是首项为5，公比为2的等比数列，a n+2=5×2n﹣1，∴a n=5×2n﹣1﹣2．（3）证明：由（1）可得：b n=，S n=①=②①﹣②可得：S n===．∴S n．又∵S n+1﹣S n=＞0，∴数列{S n}单调递增，S n≥S1=，∴对∀n∈N*，都有≤S n＜．【点评】本题考查了“错位相减法”、等比数列的通项公式与求和公式、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。
广西桂林市2016-2017学年高二(上)期末数学试卷(文科)(解析版)
广西桂林市2016-2017学年高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．抛物线y2=4x的焦点坐标为（）A．（0，1） B．（1，0） C．（0，2） D．（2，0）2．设a，b，c∈R，且a＞b，则（）A．ac＞bc B．a﹣c＜b﹣c C．a2＞b2D．a3＞b33．已知命题p：∃x0∈R，x0＞1，则￢p为（）A．∀x∈R，x≤1 B．∃x∈R，x≤1 C．∀x∈R，x＜1 D．∃x∈R，x＜1=a n﹣3，则a8等于（）4．数列{a n}中，a1=﹣1，a n+1A．﹣7 B．﹣8 C．﹣22 D．275．在△ABC中，已知a：b：c=3：2：4，那么cosC=（）A．B．C．﹣ D．﹣6．设x＞0，y∈R，则“x＞y”是“x＞|y|”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件7．已知x、y满足线性约束条件：，则目标函数z=x﹣2y的最小值是（）A．6 B．﹣6 C．4 D．﹣48．已知抛物线C：y2=x的焦点为F，A（x0，y0）是C上一点，若|AF|=x0，则x0等于（）A．1 B．2 C．4 D．89．已知命题p：方程x2﹣2ax﹣1=0有两个实数根；命题q：函数f（x）=x+的最小值为4．给出下列命题：①p∧q；②p∨q；③p∧￢q；④￢p∨￢q．则其中真命题的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．410．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC+ccosB=asinA，则△ABC的形状为（）A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．不确定11．设双曲线C：﹣=1（a，b＞0）的一条渐近线与抛物线y2=x的一个交点的横坐标为x0，若x0＞1，则双曲线C的离心率e的取值范围是（）A．（1，）B．（，+∞） C．（1，）D．（，+∞）12．已知数列{a n}中，a1=t，a n=+，若{a n}为单调递减数列，则实数t的+1取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2）B．（﹣2，0）C．（0，2） D．（2，+∞）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分）.13．在△ABC中，若∠A=60°，∠B=45°，BC=3，则AC=．14．已知{a n}为等差数列，a2+a8=，则S9等于．15．若不等式ax2+bx﹣2＞0的解集为（1，4），则a+b等于．16．已知双曲线C与椭圆+=1有共同的焦点F1，F2，且离心率互为倒数，若双曲线右支上一点P到右焦点F2的距离为4，则PF2的中点M到坐标原点O 的距离等于．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．17．设等差数列{a n}的前n项和为S n，且a3=2，S7=21．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=2an，求数列{b n}的前n项和T n．18．在△A BC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，cosB=且ac=35．（1）求△ABC的面积；（2）若a=7，求角C．19．已知命题p：∀x∈R，x2+kx+2k+5≥0；命题q：∃k∈R，使方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆．（1）若命题q为真命题，求实数k的取值范围；（2）若命题“p∨q”为真，命题“p∧q”为假，求实数k的取值范围．20．某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y（万元）与年产量x（吨）之间的函数关系式可以近似地表示为y=﹣48x+8000，已知此生产线年产量最大为210吨．（1）求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求最低成本；（2）若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？21．数列{a n}为正项等比数列，且满足a1+a2=4，a32=a2a6；设正项数列{b n}的前n项和为S n，且满足S n=．（1）求{a n}和{b n}的通项公式；（2）设c n=a n b n，求数列{c n}的前n项的和T n．22．已知椭圆C的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率，且经过点．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l经过椭圆C的右焦点F2，且与椭圆C交于A，B两点，使得|F1A|，|AB|，|BF1|依次成等差数列，求直线l的方程．2016-2017学年广西桂林市高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．抛物线y2=4x的焦点坐标为（）A．（0，1） B．（1，0） C．（0，2） D．（2，0）【考点】抛物线的简单性质．【分析】确定抛物线的焦点位置，进而可确定抛物线的焦点坐标．【解答】解：抛物线y2=4x的焦点在x轴上，且p=2∴=1∴抛物线y2=4x的焦点坐标为（1，0）故选B．2．设a，b，c∈R，且a＞b，则（）A．ac＞bc B．a﹣c＜b﹣c C．a2＞b2D．a3＞b3【考点】不等式比较大小．【分析】举特殊值判断A，C，根据不等式的性质判断C，根据幂函数的性质判断D【解答】解：A．当c=0时，不成立；B．根据不等式性质，则不成立；C．取a=1，b=﹣2，则a2＞b2不成立；D．根据幂函数y=x3为增函数，可得成立故选：D．3．已知命题p：∃x0∈R，x0＞1，则￢p为（）A．∀x∈R，x≤1 B．∃x∈R，x≤1 C．∀x∈R，x＜1 D．∃x∈R，x＜1【考点】命题的否定．【分析】由特称命题的否定方法可得结论．【解答】解：由特称命题的否定可知：￢p：∀x∈R，x≤1故选：A．=a n﹣3，则a8等于（）4．数列{a n}中，a1=﹣1，a n+1A．﹣7 B．﹣8 C．﹣22 D．27【考点】等差数列；等差数列的通项公式．【分析】数列{a n}中，a1=﹣1，a n+1=a n﹣3，可得a n+1﹣a n=﹣3，利用递推式求出a8，从而求解；【解答】解：∵数列{a n}中，a1=﹣1，a n+1=a n﹣3，﹣a n=﹣3，∴a n+1∴a2﹣a1=﹣3，a3﹣a2=﹣3，…a8﹣a7=﹣3，进行叠加：a8﹣a1=﹣3×7，∴a8=﹣21+（﹣1）=﹣22，故选C；5．在△ABC中，已知a：b：c=3：2：4，那么cosC=（）A．B．C．﹣ D．﹣【考点】余弦定理．【分析】根据a：b：c=3：2：4，利用余弦定理求出cosC的值．【解答】解：△ABC中，a：b：c=3：2：4，所以设a=3k，b=2k，c=4k，且k≠0；所以cosC===﹣．故选：D．6．设x＞0，y∈R，则“x＞y”是“x＞|y|”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】直接根据必要性和充分判断即可．【解答】解：设x＞0，y∈R，当x=0，y=﹣1时，满足x＞y但不满足x＞|y|，故由x＞0，y∈R，则“x＞y”推不出“x＞|y|”，而“x＞|y|”⇒“x＞y”，故“x＞y”是“x＞|y|”的必要不充分条件，故选：C．7．已知x、y满足线性约束条件：，则目标函数z=x﹣2y的最小值是（）A．6 B．﹣6 C．4 D．﹣4【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可．【解答】解：由z=x﹣2y得y=x﹣，作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分OAB）平移直线y=x﹣，由图象可知当直线y=x﹣，过点A时，直线y=x﹣的截距最大，此时z最小，由，解得，即A（2，3）．代入目标函数z=x﹣2y，得z=2﹣6=﹣4∴目标函数z=x﹣2y的最小值是﹣4．故选：D．8．已知抛物线C：y2=x的焦点为F，A（x0，y0）是C上一点，若|AF|=x0，则x0等于（）A．1 B．2 C．4 D．8【考点】抛物线的简单性质．【分析】利用抛物线的定义、焦点弦长公式即可得出．【解答】解：抛物线C：y2=x的焦点为F（，0）∵A（x0，y0）是C上一点，|AF|=x0，∴x0=x0+，解得x0=1．故选：A．9．已知命题p：方程x2﹣2ax﹣1=0有两个实数根；命题q：函数f（x）=x+的最小值为4．给出下列命题：①p∧q；②p∨q；③p∧￢q；④￢p∨￢q．则其中真命题的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】复合命题的真假．【分析】先判定命题p，q的真假，再利用复合命题真假的判定方法即可得出．【解答】解：命题p：方程x2﹣2ax﹣1=0有两个实数根，∀a∈R，可得△≥0，因此是真命题．命题q：x＜0时，函数f（x）=x+＜0，因此是假命题．下列命题：①p∧q是假命题；②p∨q是真命题；③p∧￢q是真命题；④￢p∨￢q是真命题．则其中真命题的个数为3．故选：C．10．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC+ccosB=asinA，则△ABC的形状为（）A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．不确定【考点】三角形的形状判断．【分析】根据正弦定理把已知等式中的边转化为角的正弦，利用两角和公式化简求得sinA的值进而求得A，判断出三角形的形状．【解答】解：∵bcosC+ccosB=asinA，∴sinBcosC+sinCcosB=sin（B+C）=sinA=sin2A，∵sinA≠0，∴sinA=1，A=，故三角形为直角三角形，故选：A．11．设双曲线C：﹣=1（a，b＞0）的一条渐近线与抛物线y2=x的一个交点的横坐标为x0，若x0＞1，则双曲线C的离心率e的取值范围是（）A．（1，）B．（，+∞） C．（1，）D．（，+∞）【考点】双曲线的简单性质．【分析】不妨设渐近线为y=x，与抛物线的交点为（x0，y0），x0＞1，可得，两式消去y0可得ab的不等式，由双曲线的离心率可得．【解答】解：不妨设渐近线为y=x，与抛物线的交点为（x0，y0），x0＞1，则，两式消去y0可得=x0＞1，∴a2＞b2，∴a2＞c2﹣a2，∴2a2＞c2，∴＜2，∴e=＜，又∵双曲线的离心率大于1，∴双曲线C的离心率e的取值范围是（1，）故选：C12．已知数列{a n}中，a1=t，a n+1=+，若{a n}为单调递减数列，则实数t的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2）B．（﹣2，0）C．（0，2） D．（2，+∞）【考点】数列的函数特性．【分析】由a n+1=+，作差a n+1﹣a n=＜0，解得a n＞2或﹣2＜a n＜0，对t分类讨论即可得出．【解答】解：∵a n+1=+，∴a n+1﹣a n=﹣=＜0，解得a n＞2或﹣2＜a n＜0，（1）a1=t∈（﹣2，0）时，a2=＜﹣2，归纳可得：a n＜﹣2（n≥2）．∴a2﹣a1＜0，但是a n+1﹣a n＞0（n≥2），不合题意，舍去．（2）a1=t＞2时，a2=＞2，归纳可得：a n＞2（n≥2）．∴a n+1﹣a n＜0，符合题意．故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分）.13．在△ABC中，若∠A=60°，∠B=45°，BC=3，则AC=2．【考点】正弦定理．【分析】由A与B的度数分别求出sinA与sinB的值，再由BC的长，利用正弦定理即可求出AC的长．【解答】解：∵∠A=60°，∠B=45°，BC=3，∴由正弦定理=得：AC===2．故答案为：214．已知{a n}为等差数列，a2+a8=，则S9等于6．【考点】等差数列的前n项和；等差数列．【分析】由等差数列的求和公式可得：S9==，代入可得．【解答】解：由等差数列的求和公式可得：S9====6故答案为：615．若不等式ax2+bx﹣2＞0的解集为（1，4），则a+b等于2．【考点】其他不等式的解法．【分析】根据一元二次不等式与对应方程的关系，利用根与系数的关系求出a、b的值，即可求出a+b【解答】解：∵不等式ax2+bx﹣2＞0的解集为（1，4），∴1和4是ax2+bx﹣2=0的两个根，∴1+4=且1×4=，解得a=，b=，∴a+b=2；故答案为：2．16．已知双曲线C与椭圆+=1有共同的焦点F1，F2，且离心率互为倒数，若双曲线右支上一点P到右焦点F2的距离为4，则PF2的中点M到坐标原点O 的距离等于3．【考点】双曲线的简单性质；椭圆的简单性质．【分析】求出椭圆的焦点和离心率，由题意可得双曲线的c=2，a=1，再由双曲线的定义可得|PF1|=2+4=6，结合中位线定理，即可得到OM的长．【解答】解：椭圆+=1的焦点为（﹣2，0），（2，0），离心率为=，由椭圆和双曲线的离心率互为倒数，则双曲线的离心率为2，由于双曲线的c=2，则双曲线的a=1，由双曲线的定义可得，|PF1|﹣|PF2|=2a=2，又|PF2|=4，则|PF1|=2+4=6，由M为PF2的中点，O为F1F2的中点，则|OM|=|PF1|==3．故答案为：3．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．17．设等差数列{a n}的前n项和为S n，且a3=2，S7=21．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=2an，求数列{b n}的前n项和T n．【考点】数列的求和．【分析】（1）根据条件列方程解出a1和d，从而得出通项公式；（2）利用等比数列的求和公式得出T n．【解答】解：（1）设{a n}的公差为d，则，解得．∴a n=a1+（n﹣1）d=n﹣1．（2）由（1）可得b n=2n﹣1，∴{b n}为以1为首项，以2为公比的等比数列，∴T n==2n﹣1．18．在△A BC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，cosB=且ac=35．（1）求△ABC的面积；（2）若a=7，求角C．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（1）由已知可先求sinB的值，由ac=35，即可根据面积公式求S的△ABC 值．（2）由已知先求c的值，由余弦定理可求b的值，从而可求cosC的值，即可求出C的值．【解答】解：（1）∵cosB=，且B∈（0，π），∴sinB==，又ac=35，…=acsinB==14．…∴S△ABC（2）由ac=35，a=7，得c=5，…∴b2=a2+c2﹣2accosB=49+25﹣2×=32，∴b=4，…∴cosC===…又C∈（0，π）…∴C=．…19．已知命题p：∀x∈R，x2+kx+2k+5≥0；命题q：∃k∈R，使方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆．（1）若命题q为真命题，求实数k的取值范围；（2）若命题“p∨q”为真，命题“p∧q”为假，求实数k的取值范围．【考点】复合命题的真假．【分析】（1）根据椭圆的定义求出k的范围即可；（2）根据二次函数的性质求出p为真时的k的范围，结合p，q的真假，得到关于k的不等式组，解出即可．【解答】解：（1））∵方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆，∴，解得：1＜k＜，故q：k∈（1，）；（2）∵∀x∈R，x2+kx+2k+5≥0，∴△=k2﹣4（2k+5）≤0，解得：﹣2≤k≤10，故p为真时：k∈[﹣2，10]；结合（1）q为真时：k∈（1，）；若命题“p∨q”为真，命题“p∧q”为假，则p，q一真一假，故或，解得：﹣2≤k≤1或≤k≤10．20．某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y（万元）与年产量x（吨）之间的函数关系式可以近似地表示为y=﹣48x+8000，已知此生产线年产量最大为210吨．（1）求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求最低成本；（2）若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？【考点】函数模型的选择与应用．【分析】（1）利用总成本除以年产量表示出平均成本；利用基本不等式求出平均成本的最小值．（2）利用收入减去总成本表示出年利润；通过配方求出二次函数的对称轴；由于开口向下，对称轴处取得最大值．【解答】解：（1）设每吨的平均成本为W（万元/T），则（0＜x≤210），当且仅当，x=200（T）时每吨平均成本最低，且最低成本为32万元．（2）设年利润为u（万元），则=．所以当年产量为210吨时，最大年利润1660万元．21．数列{a n}为正项等比数列，且满足a1+a2=4，a32=a2a6；设正项数列{b n}的前n项和为S n，且满足S n=．（1）求{a n}和{b n}的通项公式；（2）设c n=a n b n，求数列{c n}的前n项的和T n．【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．【分析】（1）设正项等比数列{a n}的公比为q，由a1+a2=4，a32=a2a6，可得a1（1+q）=4，，即q2=4．解得q，a1，即可得出a n．正项数列{b n}的前n项和为S n，且满足S n=．b1=，解得b1．n≥2时，b n=S n ，即可得出．﹣S n﹣1（2）c n=a n b n=（2n﹣1）•2n，利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．【解答】解：（1）设正项等比数列{a n}的公比为q，∵a1+a2=4，a32=a2a6，∴a1（1+q）=4，，即q2=4．解得q=2，a1=2．∴a n=2n．正项数列{b n}的前n项和为S n，且满足S n=．∴b1=，解得b1=1．n≥2时，b n=S n﹣S n﹣1=﹣，化为：（b n+b n﹣1）（b n﹣b n﹣1﹣2）=0，∴b n﹣b n﹣1=2，∴数列{b n}是等差数列，公差为2．∴b n=1+2（n﹣1）=2n﹣1．（2）c n=a n b n=（2n﹣1）•2n，∴数列{c n}的前n项的和T n=2+3×22+5×23+…+（2n﹣1）•2n，∴2T n=22+3×23+…+（2n﹣3）•2n+（2n﹣1）•2n+1，∴﹣T n=2+2（22+23+…+2n）﹣（2n﹣1）•2n+1=﹣2+﹣（2n﹣1）•2n+1=（3﹣2n）•2n+1﹣6，∴T n=（2n﹣3）•2n+1+6．22．已知椭圆C的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率，且经过点．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l经过椭圆C的右焦点F2，且与椭圆C交于A，B两点，使得|F1A|，|AB|，|BF1|依次成等差数列，求直线l的方程．【考点】椭圆的标准方程；等差数列的性质；直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（1）先设椭圆C的方程根据离心率和点M求得a和b，进而可得答案．（2）设直线l的方程为，代入（1）中所求的椭圆C的方程，消去y，设A（x1，y1），B（x2，y2），进而可得到x1+x2和x1•x2的表达式，根据F1A|+|BF1|=2|AB|求得k，再判断直线l⊥x轴时，直线方程不符合题意．最后可得答案．【解答】解：（1）设椭圆C的方程为，（其中a＞b＞0）由题意得，且，解得a2=4，b2=2，c2=2，所以椭圆C的方程为．（2）设直线l的方程为，代入椭圆C的方程，化简得，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，由于|F1A|，|AB|，|BF1|依次成等差数列，则|F1A|+|BF1|=2|AB|．而|F1A|+|AB|+|BF1|=4a=8，所以.=，解得k=±1；当直线l⊥x轴时，，代入得y=±1，|AB|=2，不合题意．所以，直线l的方程为．2017年3月12日。
广西桂林市2015-2016学年高二(上)期末数学试卷(文科)(解析版)
2015-2016学年广西桂林市高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．1．抛物线y2=﹣4x的焦点坐标为（）A．（0，﹣2）B．（﹣2，0）C．（0，﹣1）D．（﹣1，0）2．命题“若x=1，则x2=1”的否命题是（）A．若x=1，则x2≠1 B．若x≠1，则x2=1 C．若x≠1，则x2≠1 D．若x2≠1，则x≠13．点A在点B的上方，从A看B的俯角为α，从B看A的仰角为β，则（）A．α=βB．α+β=C．α+β=πD．α＞β4．双曲线x2﹣4y2=4的渐近线方程为（）A．B．y=±2x C．D．5．设x，y满足约束条件，则z=3x+y的最大值为（）A．﹣8 B．3 C．5 D．76．已知a，b，c为实数，则a＞b的一个充分不必要条件是（）A．a+c＞b+c B．ac2＞bc2C．|a|＞|b| D．7．已知F是抛物线x2=8y的焦点，若抛物线上的点A到x轴的距离为5，则|AF|=（）A．4 B．5 C．6 D．78．已知△ABC中，，则△ABC的形状为（）A．直角三角形B．等腰直角三角形C．等腰三角形D．等腰或直角三角形9．已知a1，4，a2，1成等差数列，b1，4，b2，1，b3成等比数列，则b2（a2﹣a1）=（）A．±6 B．﹣6 C．3 D．±310．设是圆P：（x+）2+y2=36上一动点，点Q的坐标为（，0），若线段MQ的垂直平分线交直线PM于点N，则点N的轨迹为（）A．圆B．椭圆 C．抛物线D．双曲线11．已知等比数列{a n}的各项均为正数，公比0＜q＜1，设，，则a3、a9、P 与Q的大小关系是（）A．a3＞P＞Q＞a9 B．a3＞Q＞P＞a9C．a9＞P＞a3＞Q D．P＞Q＞a3＞a912．已知双曲线的顶点与焦点分别是椭圆的焦点与顶点，若双曲线的两条渐近线与椭圆的交点构成的四边形恰为正方形，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．命题“∀x∈R，e x≥x+1”的否定为．14．在△ABC中，a2+b2＞c2，，则∠C的大小为．15．在等差数列{a n}中，a1=﹣9，S3=S7，则当前n项和S n最小时，n=．16．若a＞0，b＞0，则的最小值为．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应给出文字说明、证明过程及演算步骤．17．已知{a n}为公比q＞1的等比数列，，求{a n}的第n项a n及前n项和S n．18．如图，在四边形ABCD中，AB=3，AD=BC=CD=2，A=60°．（Ⅰ）求sin∠ABD的值；（Ⅱ）求△BCD的面积．19．某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件需另投入成本G（x）万元．当年产量不足80千件时，（万元）；当年产量不小于80千件时，（万元）．已知每千件商品售价为50万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．记该厂在这一商品的生产中所获年利润为y（万元）．（1）写出y关于x的函数关系式；（2）求年利润y（万元）的最大值及相应的年产量x（千件）．20．已知命题p：“不等式x2﹣mx+m+3＞0的解集为R”；命题q：“表示焦点在y轴上的双曲线”，若“p∨q”为真，“p∧q”为假，求实数m的取值范围．21．已知数列{a n}满足：a1=1，a n+1=a n+1（n∈N*）．数列{b n}的前n项和为S n，且S n+b n=2（n∈N*）．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）令数列{c n}满足c n=a n b n，求证：其前n项和T n＜4．22．已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，且经过点M（4，1）．直线l：y=x+m 交椭圆于A，B两不同的点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若直线l不过点M，求证：直线MA，MB与x轴围成等腰三角形．2015-2016学年广西桂林市高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．1．抛物线y2=﹣4x的焦点坐标为（）A．（0，﹣2）B．（﹣2，0）C．（0，﹣1）D．（﹣1，0）【考点】抛物线的简单性质．【专题】计算题．【分析】先根据抛物线的方程判断出抛物线的开口方向，进而利用抛物线标准方程求得p，则焦点方程可得．【解答】解：根据抛物线方程可知抛物线的开口向左，且2P=4，∴=1．∴焦点坐标为（﹣1，0）故选D．【点评】本题主要考查了抛物线的简单性质．解题过程中注意抛物线的开口方向，焦点所在的位置等问题．保证解题结果的正确性．2．命题“若x=1，则x2=1”的否命题是（）A．若x=1，则x2≠1 B．若x≠1，则x2=1 C．若x≠1，则x2≠1 D．若x2≠1，则x≠1【考点】四种命题．【专题】对应思想；定义法；简易逻辑．【分析】根据四种命题的定义进行判断即可．【解答】解：命题的否命题为：若x≠1，则x2≠1，故选：C【点评】本题主要考查否命题的判断，根据否命题的定义是解决本题的关键．比较基础．3．点A在点B的上方，从A看B的俯角为α，从B看A的仰角为β，则（）A．α=βB．α+β=C．α+β=πD．α＞β【考点】解三角形．【专题】计算题；解三角形．【分析】从A看B的俯角为α，从B看A的仰角为β是内错角，可求俯角与仰角的基本关系，即可判断．【解答】解：从A看B的俯角为α，从B看A的仰角为β是内错角，两直线平行，内错角相等可知，α=β，故选：A．【点评】本题主要考查了仰角、俯角的概念及仰角俯角的基本关系，属于基础试题．4．双曲线x2﹣4y2=4的渐近线方程为（）A．B．y=±2x C．D．【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；规律型；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】直接利用双曲线的简单性质下次渐近线方程即可．【解答】解：双曲线x2﹣4y2=4的渐近线方程为：y=．故选：A．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基础题．5．设x，y满足约束条件，则z=3x+y的最大值为（）A．﹣8 B．3 C．5 D．7【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABC及其内部，再将目标函数z=3x+y对应的直线进行平移，可得当x=3，y=﹣2 时，z取得最大值．【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，其中A（3，﹣2），设z=F（x，y）=3x+y，将直线l：z=3x+y进行平移，当l经过点A时，目标函数z达到最大值=F（3，﹣2）=7∴z最大值故选D．【点评】本题给出二元一次不等式组，求目标函数z=3x+y的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．6．已知a，b，c为实数，则a＞b的一个充分不必要条件是（）A．a+c＞b+c B．ac2＞bc2C．|a|＞|b| D．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】转化思想；不等式的解法及应用；简易逻辑．【分析】A．a+b＞b+c⇔a＞b；B．ac2＞bc2⇒a＞b，反之不成立，即可判断出结论；C．|a|＞|b|与a＞b相互推不出；D.＞1与a＞b相互推不出．【解答】解：A．a+b＞b+c⇔a＞b；B．ac2＞bc2⇒a＞b，反之不成立，∴a＞b的一个充分不必要条件是ac2＞bc2；C．|a|＞|b|与a＞b相互推不出，不满足条件；D.＞1与a＞b相互推不出，不满足条件．故选：B．【点评】本题考查了不等式的性质、充要条件的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7．已知F是抛物线x2=8y的焦点，若抛物线上的点A到x轴的距离为5，则|AF|=（）A．4 B．5 C．6 D．7【考点】抛物线的简单性质．【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由已知得F（0，2），A（，5），由此利用两点间距离公式能求出|AF|的值．【解答】解：∵F是抛物线x2=8y的焦点，∴F（0，2），∵抛物线上的点A到x轴的距离为5，∴A（，5），∴|AF|==7．∴|AF|=7．故选：D．【点评】本题考查线段长的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意抛物线性质及两点间距离公式的合理运用．8．已知△ABC中，，则△ABC的形状为（）A．直角三角形B．等腰直角三角形C．等腰三角形D．等腰或直角三角形【考点】正弦定理；两角和与差的正弦函数．【专题】计算题；转化思想；分析法；三角函数的求值．【分析】由已知及余弦定理可解得b=c，即可判断得解．【解答】解：∵，∴由余弦定理可得：，∴整理可得：b=c．故选：C．【点评】本题主要考查了余弦定理的应用，属于基础题．9．已知a1，4，a2，1成等差数列，b1，4，b2，1，b3成等比数列，则b2（a2﹣a1）=（）A．±6 B．﹣6 C．3 D．±3【考点】等差数列与等比数列的综合．【专题】计算题；等差数列与等比数列．【分析】先由已知条件和等差数列以及等比数列的性质求得a2﹣a1=1﹣4=﹣3，b2=±2，再求b2（a2﹣a1）．【解答】解：由题得，∵a1，4，a2，1成等差数列，∴a2﹣a1=1﹣4=﹣3，∵b1，4，b2，1，b3成等比数列，∴b22=4∴b2=±2，∴b2（a2﹣a1）=±6．故选：A．【点评】本题是对等差数列以及等比数列性质的综合考查．在做关于等差数列以及等比数列的题目时，其常用性质一定要熟练掌握．10．设是圆P：（x+）2+y2=36上一动点，点Q的坐标为（，0），若线段MQ的垂直平分线交直线PM于点N，则点N的轨迹为（）A．圆B．椭圆 C．抛物线D．双曲线【考点】轨迹方程．【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由已知作出图象，结合图象得|NP|+|NQ|=6，Q（，0），P（﹣，0），|PQ|=2＜6，由此能求出点N的轨迹．【解答】解：∵M是圆P：（x+）2+y2=36上一动点，点Q的坐标为（，0），线段MQ的垂直平分线交直线PM于点N，∴|MN|=|NQ|，|NP|+|NQ|=|MP|，∵M是圆P：（x+）2+y2=36上一动点，点Q的坐标为（，0），∴|MP|=6，∴|NP|+|NQ|=6，∵Q（，0），∴P（﹣，0），|PQ|=2＜6，∴点N的轨迹为椭圆．故选：B．【点评】本题考查点的轨迹方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用．11．已知等比数列{a n}的各项均为正数，公比0＜q＜1，设，，则a3、a9、P 与Q的大小关系是（）A．a3＞P＞Q＞a9 B．a3＞Q＞P＞a9C．a9＞P＞a3＞Q D．P＞Q＞a3＞a9【考点】等比数列的性质．【专题】转化思想；数学模型法；等差数列与等比数列．【分析】等比数列{a n}的各项均为正数，公比0＜q＜1，，可得=＜=P，又各项均为正数，公比0＜q＜1，可得a9＜P＜a3，a9＜Q＜a3．即可得出．【解答】解：等比数列{a n}的各项均为正数，公比0＜q＜1，，则=＜=P，又各项均为正数，公比0＜q＜1，∴a9＜＜a3，则a9＜=＜a3．∴a9＜Q＜P＜a3．故选：A．【点评】本题考查了等比数列的通项公式及其单调性、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12．已知双曲线的顶点与焦点分别是椭圆的焦点与顶点，若双曲线的两条渐近线与椭圆的交点构成的四边形恰为正方形，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质；椭圆的简单性质．【专题】计算题．【分析】先根据双曲线的顶点与焦点分别是椭圆的焦点与顶点，确定双曲线的顶点与焦点，再根据双曲线的两条渐近线与椭圆的交点构成的四边形恰为正方形，确定双曲线的渐近线，从而求出椭圆的离心率．【解答】解：∵双曲线的顶点与焦点分别是椭圆的焦点与顶点∴双曲线的顶点是，焦点是（±a，0）设双曲线方程为∴双曲线的渐近线方程为∵∴n=b∵双曲线的两条渐近线与椭圆的交点构成的四边形恰为正方形∴双曲线的渐近线方程为y=±x∴m=n∴a2﹣b2=b2∴c2=a2﹣c2∴a2=2c2∴∴故选D．【点评】本题以椭圆方程为载体，考查双曲线的几何性质，考查椭圆的离心率，正确运用几何量的关系是关键．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．命题“∀x∈R，e x≥x+1”的否定为∃x∈R，e x＜x+1．【考点】命题的否定．【专题】转化思想；定义法；简易逻辑．【分析】根据全称命题的否定是特称命题进行求解即可．【解答】解：命题是全称命题，则命题的否定是特称命题，即∃x∈R，e x＜x+1，故答案为：∃x∈R，e x＜x+1【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．14．在△ABC中，a2+b2＞c2，，则∠C的大小为．【考点】余弦定理；同角三角函数基本关系的运用．【专题】计算题；转化思想；分析法；解三角形．【分析】直接利用勾股定理，判断三角形的形状，通过sinC=，求出∠C的值．【解答】解：因为在△ABC中，若a2+b2＞c2，所以∠C＜，又sinC=，所以∠C=．故答案为：．【点评】本题是基础题，考查三角形的有关计算，勾股定理、余弦定理的应用，考查计算能力．15．在等差数列{a n}中，a1=﹣9，S3=S7，则当前n项和S n最小时，n=5．【考点】等差数列的前n项和．【专题】计算题；方程思想；转化思想；等差数列与等比数列．【分析】利用等差数列的前n项和公式与数列的单调性即可得出．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a1=﹣9，S3=S7，∴3×（﹣9）+d=7×（﹣9）+d，解得d=2．∴a n=﹣9+2（n﹣1）=2n﹣11，由a n≤0，解得n≤5．∴当前n项和S n最小时，n=5．故答案为：5．【点评】本题考查了等差数列的前n项和公式与数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16．若a＞0，b＞0，则的最小值为2．【考点】基本不等式．【专题】转化思想；转化法；不等式．【分析】变形利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵≥=≥2=2．当且仅当a=b=1时取等号．∴的最小值为2．故答案为：2．【点评】本题考查了基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应给出文字说明、证明过程及演算步骤．17．已知{a n}为公比q＞1的等比数列，，求{a n}的第n项a n及前n项和S n．【考点】等比数列的前n项和；等比数列的通项公式．【专题】计算题；转化思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】利用等比数列通项公式列出方程组，求出首项及公比，由此能求出{a n}的第n项a n及前n 项和S n．【解答】（本题满分10分）解：∵{a n}为公比q＞1的等比数列，，∴依题意，，解得．∴．．【点评】本题考查等比数列的第n项a n及前n项和S n的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．18．如图，在四边形ABCD中，AB=3，AD=BC=CD=2，A=60°．（Ⅰ）求sin∠ABD的值；（Ⅱ）求△BCD的面积．【考点】三角形中的几何计算．【专题】计算题．【分析】（Ⅰ）由余弦定理求得BD，再由正弦定理求得sin∠ABD的值；（Ⅱ）由余弦定理求得cosC，进而求得sinC，最后根据三角形的面积公式可得答案．【解答】解：（Ⅰ）已知A=60°，由余弦定理得BD2=AB2+AD2﹣2AB•ADcosA=7，解得，由正弦定理，，所以=．（Ⅱ）在△BCD中，BD2=BC2+CD2﹣2BC•CDcosC，所以7=4+4﹣2×2×2cosC，，因为C∈（0，π），所以，所以，△BCD的面积．【点评】本题主要考查了正弦定理、余弦定理及三角形的面积公式在实际中的应用．属基础题．19．某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件需另投入成本G（x）万元．当年产量不足80千件时，（万元）；当年产量不小于80千件时，（万元）．已知每千件商品售价为50万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．记该厂在这一商品的生产中所获年利润为y（万元）．（1）写出y关于x的函数关系式；（2）求年利润y（万元）的最大值及相应的年产量x（千件）．【考点】函数模型的选择与应用．【专题】函数思想；数学模型法；函数的性质及应用．【分析】（1）讨论当0＜x＜80时，y=50x﹣250﹣G（x）=﹣x2+40x﹣250；当x≥80时，y=50x﹣250﹣G（x）=1200﹣x﹣．即可得到所求分段函数解析式；（2）分别运用二次函数的最值的求法和基本不等式，即可得到所求函数的最大值．【解答】解：（1）当0＜x＜80时，y=50x﹣250﹣G（x）=﹣x2+40x﹣250；当x≥80时，y=50x﹣250﹣G（x）=1200﹣x﹣．即有y关于x的函数关系式为；（2）若0＜x＜80，则，x=60时，y max=950（万元）；若x≥80，则，当且仅当时取等号．综上，当年产量为100千件时，该厂所获年利润最大，最大值是1000万元．【点评】本题考查函数模型的应用题的解法，主要考查分段函数的解析式和最值的求法，注意运用二次函数和基本不等式求最值，考查运算能力，属于中档题．20．已知命题p：“不等式x2﹣mx+m+3＞0的解集为R”；命题q：“表示焦点在y轴上的双曲线”，若“p∨q”为真，“p∧q”为假，求实数m的取值范围．【考点】复合命题的真假．【专题】转化思想；不等式的解法及应用；简易逻辑．【分析】分别化简命题p与q，由于“p∨q”为真，“p∧q”为假，可得p，q一真一假．【解答】解：命题p为真时，等价于判别式△=m2﹣4（m+3）＜0，即﹣2＜m＜6．命题q为真时，等价于，即﹣1＜m＜9．依题意，p，q一真一假．当p真，q假时，即﹣2＜m≤﹣1．当p假，q真时，即6≤m＜9．综上，m的取值范围是（﹣2，﹣1]∪[6，9）．【点评】本题考查了椭圆与双曲线的标准方程及其性质、复合命题真假的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21．已知数列{a n}满足：a1=1，a n+1=a n+1（n∈N*）．数列{b n}的前n项和为S n，且S n+b n=2（n∈N*）．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）令数列{c n}满足c n=a n b n，求证：其前n项和T n＜4．【考点】数列的求和；数列递推式．【专题】证明题；转化思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】（1）由已知推导出数列{a n}为等差数列，首项为1，公差为1，由此能求出{a n}通项公式，由S n+b n=2，得，由此能求出数列{b n}的通项公式．（2）由已知，由此利用错位相减法能证明1≤T n＜4．【解答】解：（1）由已知a1=1，a n+1﹣a n=1，∴数列{a n}为等差数列，首项为1，公差为1．∴其通项公式为：a n=n．∵S n+b n=2，则S n+1+b n+1=2，两式相减，化简可得，∴数列{b n}为等比数列，又S1+b1=2，则b1=1，∴．证明：（2）由已知得：．∴，∴∴=∴又，则T n＜4．∵∴T n+1＞T n，即T n递增，则当n=1时，T n有最小值1．综上，1≤T n＜4．【点评】本题考查数列的通项公式的求法，考查不等式的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．22．已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，且经过点M（4，1）．直线l：y=x+m 交椭圆于A，B两不同的点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若直线l不过点M，求证：直线MA，MB与x轴围成等腰三角形．【考点】椭圆的标准方程；三角形中的几何计算；直线与圆锥曲线的关系．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）设出椭圆方程的标准形式，由离心率的值及椭圆过点（4，1）求出待定系数，得到椭圆的标准方程．（Ⅱ）把直线方程代入椭圆的方程，由判别式大于0，求出m的范围，可得到两根之和、两根之积，设直线MA，MB斜率分别为k1和k2，化简k1+k2的结果等于0，即说明MB与x轴所围的三角形为等腰三角形．【解答】解：（1）设椭圆方程为，因为，所以a2=4b2，又椭圆过点M（4，1），所以，解得b2=5，a2=20，故椭圆方程为（2）将y=x+m代入=1并整理得5x2+8mx+4m2﹣20=0，再根据△=（8m）2﹣20（4m2﹣20）＞0，求得5＞m＞﹣5．设直线MA，MB斜率分别为k1和k2，只要证k1+k2=0即可．设A（x1，y1），B（x2，y2），则，∴．而此分式的分子等于（x1+m﹣1）（x2﹣4）+（x2+m﹣1）（x1﹣4）=2x1x2+（m﹣5）（x1+x2）﹣8（m﹣1）=，可得k1+k2=0，因此MA，MB与x轴所围的三角形为等腰三角形．【点评】本题考查用待定系数法求椭圆的标准方程，一元二次方程根与系数的关系，体现了等价转化的数学思想，属于中档题．。
广西桂林市数学高二上学期文数期末考试试卷
广西桂林市数学高二上学期文数期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）对总数为N的一批零件抽取一个容量为30的样本，若每个零件被抽取的可能性为25%，则N为（）A . 150B . 200C . 100D . 1202. （2分）如果直线L过点，且与直线垂直，则直线L的方程为（）A .B .C .D .3. （2分） (2016高二下·友谊开学考) 阅读程序框图，若输入m=4，n=6，则输出a，i分别是（）A . a=12，i=3B . a=12，i=4C . a=8，i=3D . a=8，i=44. （2分）(2017·运城模拟) 变量x，y满足约束条件，若使z=ax+y取得最大值的最优解有无穷多个，则实数a的取值集合是（）A . {﹣3，0}B . {3，﹣1}C . {0，1}D . {﹣3，0，1}5. （2分）一只小蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为（）A .B .C .D .6. （2分）在四边形ABCD中，AD∥BC，，将沿BD折起，使平面ABD平面BCD，构成三棱锥A-BCD，则在三棱锥A-BCD中，下列命题正确的是（）A . 平面ABD平面ABCB . 平面ADC平面BCDC . 平面ABC平面BCDD . 平面ADC平面ABC7. （2分）(2017·榆林模拟) 体积为的球有一个内接正三棱锥P﹣ABC，PQ是球的直径，∠APQ=60°，则三棱锥P﹣ABC的体积为（）A .B .C .D .8. （2分）(2018·呼和浩特模拟) 如图为某班名学生的投篮成绩（每人投一次）的条形统计图，其中上面部分数据破损导致数据不完全.已知该班学生投篮成绩的中位数是，则根据统计图，无法确定下列哪一选项中的数值（）A . 球以下（含球）的人数B . 球以下（含球）的人数C . 球以下（含球）的人数D . 球以下（含球）的人数9. （2分） (2018高二上·嘉兴月考) 若，满足，则的最大值为（）A . 0B . 3C . 4D . 510. （2分） (2017高一下·晋中期末) 现有10个数，它们能构成一个以2为首项，﹣2为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是（）A .B .C .D .11. （2分）在正四面体P﹣ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论中不成立的是（）A . BC∥平面PDFB . DF⊥平面PAEC . 平面PDE⊥平面ABCD . 平面PDF⊥平面PAE12. （2分） (2018高二上·遂宁期末) 在直角坐标系内，已知是以点为圆心的圆上C 的一点，折叠该圆两次使点分别与圆上不相同的两点（异于点）重合，两次的折痕方程分别为和，若圆C上存在点，使得，其中点、，则的最大值为（）A . 7B . 6C . 5D . 4二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）在研究身高和体重的关系时，求得相关指数R2≈________，可以叙述为“身高解释了71%的体重变化”，而随机误差贡献了乘余的29%，所以身高对体重的效应比随机误差的效应大得多．14. （1分）当m=8时，执行如图所示的程序框图，输出S的值为________15. （1分）与圆x2+（y﹣2）2=2相切，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为________16. （1分） (2018高一上·寻乌期末) 在直角坐标系内，已知是圆上一点，折叠该圆两次使点分别与圆上不相同的两点（异于点）重合，两次的折痕方程分别为和，若圆上存在点，使，其中的坐标分别为，则实数的取值集合为________．三、解答题 (共6题；共70分)17. （10分） (2016高一上·舟山期末) 已知直线l经过两条直线l1：3x+4y﹣2=0与l2：2x+y+2=0的交点P．（1）求垂直于直线l3：x﹣2y﹣1=0的直线l的方程；（2）求与坐标轴相交于两点，且以P为中点的直线方程．18. （15分）炼钢是一个氧化降碳的过程，由于钢水含碳量的多少直接影响冶炼时间的长短，因此必须掌握钢水含碳量和冶炼时间的关系.现已测得炉料熔化完毕时钢水的含碳量x与冶炼时间y（从炉料熔化完毕到出钢的时间）的一组数据，如下表所示：（1）据统计表明，之间具有线性相关关系，请用相关系数r加以说明（，则认为y与x 有较强的线性相关关系，否则认为没有较强的线性相关关系，r精确到0.001）；（2）建立y关于x的回归方程（回归系数的结果精确到0.01）；（3）根据（2）中的结论，预测钢水含碳量为160个0.01%的冶炼时间.参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计分别为，，相关系数参考数据：，.19. （10分） (2017高二下·新余期末) 如图所示，四棱锥P﹣ABCD中，AB⊥AD，AD⊥DC，PA⊥底面ABCD，PA=AD=AB= CD=1，M为PB的中点．（1）试在CD上确定一点N，使得MN∥平面PAD；（2）点N在满足（1）的条件下，求直线MN与平面PAB所成角的正弦值．20. （15分） (2016高二下·福建期末) 在某学校组织的一次智力竞赛中，比赛共分为两个环节，其中第一环节竞赛题有A、B两组题，每个选手最多有3次答题机会，答对一道A组题得20分，答对一道B组题得30分．选手可以任意选择答题的顺序，如果前两次得分之和超过30分即停止答题，进入下一环节比赛，否则答3次．某同学正确回答A组题的概率都是p，正确回答B组题的概率都是，且回答正确与否相互之间没有影响．该同学选择先答一道B组题，然后都答A组题．已知第一环节比赛结束时该同学得分超过30分的概率为．（1）求p的值；（2）用ξ表示第一环节比赛结束后该同学的总得分，求随机变量ξ的数学期望；（3）试比较该同学选择都回答A组题与选择上述方式答题，能进入下一环节竞赛的概率的大小．21. （10分） (2018高一下·安庆期末) 如图，四棱锥中，⊥平面，底面为正方形，为的中点， .（1）求证：；（2）边上是否存在一点，使得 //平面？若存在，求的长，若不存在，请说明理由.22. （10分） (2016高二上·绍兴期中) 已知圆C：（x﹣1）2+y2=9内有一点P（2，2），过点P作直线l交圆C于A、B两点．（1）当l经过圆心C时，求直线l的方程；（写一般式）（2）当直线l的倾斜角为45°时，求弦AB的长．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共70分) 17-1、17-2、18-1、18-2、18-3、19-1、19-2、20-1、20-2、20-3、21-1、21-2、22-1、22-2、。
2017-2018学年广西桂林市高二(上)期末数学试卷(文科)(解析版)
2017-2018学年广西桂林市高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知{a n}为等差数列，首项a1＝1，d＝2，则a3＝（）A．3B．4C．5D．62．（5分）命题“若x2﹣3x+2＝0，则x＝2”的否命题为（）A．若x≠2，则x2﹣3x+2≠0B．若x2﹣3x+2≠0，则x≠2C．若x≠2，则x2﹣3x+2＝0D．若x2﹣3x+2＝0，则x≠23．（5分）设a，b∈R，且a＞b，则下列判断一定正确的是（）A．＞B．a2＞b2C．＜D．|a|＞|b|4．（5分）双曲线的顶点坐标是（）A．（0，﹣2）和（0，2）B．（﹣2，0）和（2，0）C．（0，﹣3）和（0，3）D．（﹣3，0）和（3，0）5．（5分）在△ABC中，已知a＝，b＝，∠B＝45°，那么角A等于（）A．30°B．30°或150°C．60°D．60°或120°6．（5分）设变量x，y满足线性约束条件，则目标函数z＝3x+y的最大值是（）A．12B．11C．3D．﹣17．（5分）已知命题：p∧q为真，则下列命题是真命题的是（）A．（￢p）∧（￢q）B．（￢p）∨（￢q）C．p∨（￢q）D．（￢p）∧q 8．（5分）已知点P是椭圆+＝1（a＞2）上的一点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，且△PF1F2的周长为12，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．9．（5分）设x∈R，则“x2﹣4x﹣5＜0”是“x2+6x+5＞0”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件10．（5分）在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c．若b2﹣a2＝bc﹣c2，则角A等于（）A．B．C．D．11．（5分）设f（n）＝2+24+27+210+…+23n+10（n∈N），则f（10）等于（）A．B．C．D．12．（5分）设P，Q分别为圆x2+（y﹣6）2＝2和椭圆+y2＝1上的点，则P，Q两点间的最大距离是（）A．5B．+C．7+D．6二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知{a n}为等差数列，a4+a5＝18，则S8＝．14．（5分）在△ABC中，若，则AB＝．15．（5分）若命题“对∀x＞1，都有”是假命题，则实数a的取值范围是．16．（5分）过双曲线的右焦点F作一条直线l，直线l与双曲线相交于A，B两点，且|AB|＝2，若有且仅有三条直线l，则双曲线离心率的取值范围为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知等差数列{a n}满足a1+a2＝10，a4﹣a3＝2．（1）求{a n}的通项公式；（2）求数列{a n}的前n项和S n．18．（12分）在如图所示四边形ABCD中，AD＝DC，AC＝5，BC＝，∠ADC＝120°，∠BCD＝75°，求四边形ABCD的面积．19．（12分）甲乙两地相距100km，货车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过80km/h，已知货车每小时的运输成本（单位：圆）由可变本和固定组成组成，可变成本是速度平方的倍，固定成本为a元．（1）将全程匀速匀速成本y（元）表示为速度v（km/h）的函数，并指出这个函数的定义域；（2）若a＝400，为了使全程运输成本最小，货车应以多大的速度行驶？20．（12分）已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线l：y＝k（x+2）+1．（1）若抛物线C和直线l没有公共点，求k的取值范围；（2）若k＜0，且抛物线C和直线l只有一个公共点M时，求|MF|的值．21．（12分）已知{a n}为等比数列，其前n项和为S n，且．（1）求a的值及数列{a n}的通项公式；（2）若b n＝（2n﹣1）a n，求数列{b n}的前n项和T n．22．（10分）22．设椭圆的离心率为，已知但在椭圆C上．（1）求椭圆C的方程；（2）过右焦点F2作斜率为的直线l与椭圆C交于M，N两点，在x轴上是否存在点P （m，0），使得成立？如果存在，求出m的取值范围；如果不存在，请说明理由．2017-2018学年广西桂林市高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．【解答】解：在等差数列{a n}中，由首项a1＝1，d＝2，得a3＝a1+2d＝1+2×2＝5．故选：C．2．【解答】解：命题“若x2﹣3x+2＝0，则x＝2”的否命题为若x2﹣3x+2≠0，则x≠2，故选：B．3．【解答】解：令a＝1，b＝﹣2，显然B，C，D错误，A正确，故选：A．4．【解答】解：双曲线的顶点坐标是（﹣2，0）和（2，0）．故选：B．5．【解答】解：∵a＝，b＝，∠B＝45°，∴由正弦定理，可得：sin A＝＝＝，∵a＞b，可得：A∈（45°，180°），∴A＝60°或120°．故选：D．6．【解答】解：作出变量x，y满足线性约束条件对应的平面区域如图，由z＝3x+y平移z＝3x+y，由图象可知当z＝3x+y经过点B时，直线z＝3x+y取得最大值，由，得A（3，2）此时z的最大值为z＝3×3+2＝11，故选：B．7．【解答】解：利用排除法：已知命题：p∧q为真，则：p真，q真．故：￢p为假，￢q为假，所以：A：￢P∧￢q为，B：（￢p）∨（￢q）为假．D：￢p∧q为假．故选：C．8．【解答】解：根据题意，椭圆+＝1（a＞2）中，焦点在x轴上，则c＝，△PF1F2的周长l＝|PF1|+|PF2|+|F1F2|＝2a+2c＝12，即a+c＝6，则有a+＝6，解可得：a＝，则c＝＝，则椭圆的离心率e＝＝；故选：A．9．【解答】解：由x2﹣4x﹣5＜0，解得：﹣1＜x＜5，故p对应的集合A＝（﹣1，5），由x2+6x+5＞0，解得：x＞﹣1或x＜﹣5，故q对应的集合为B＝（﹣∞，﹣5）∪（﹣1，+∞）．∵A⊊B，∴p⇒q，而q推不出p，∴p是q的充分不必要条件．故选：B．10．【解答】解：∵b2﹣a2＝bc﹣c2，∴可得：b2+c2﹣a2＝，∴由余弦定理可得：cos A＝＝＝，∵A∈（0，π），∴A＝．故选：C．11．【解答】解：∵f（n）＝2+24+27+210+…+23n+10（n∈N），由题意知，观察指数1，4，7，…，3n+10该数列的通项公式为3n﹣2，而3n+10为数列的第n+4项∴f（n）＝2+24+27+210+…+23（n+4）﹣2＝2×80+2×8+2×83+…+2×8n+3＝＝（8n+4﹣1），∴f（10）＝2+24+27+210+…+240＝．故选：D．12．【解答】解：设椭圆上的点为（x，y），则∵圆x2+（y﹣6）2＝2的圆心为（0，6），半径为，∴椭圆上的点（x，y）到圆心（0，6）的距离为＝＝≤5，∴P，Q两点间的最大距离是5+＝6．故选：D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．【解答】解：在等差数列{a n}中，由a4+a5＝18，得S8＝＝18×4＝72．故答案为：72．14．【解答】解：∵，∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝45°，∴由正弦定理，可得：AB＝＝＝2．故答案为：2．15．【解答】解：若命题“对∀x＞1，都有”是假命题，则∃x＞1，都有，≥2+1＝2+1．当且仅当x＝+1，等式成立．综上可得：实数a的取值范围是：a＞2+1，故答案为：（2+1，+∞）．16．【解答】解：双曲线的右焦点为F（c，0），实轴长为2a＝2，显然x轴所在直线为符合条件的一条直线．∴当A，B均在双曲线右支上时，符合条件的直线有两条，把x＝c代入可得y＝±b＝±b2，∴2b2＜2，即0＜b＜1，∴0＜＜1，解得1＜c＜．∴双曲线的离心率e＝＝c的范围是（1，）．故答案为（1，）．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．【解答】解：（1）设数列{a n}的公差为d，则，所以a n＝a1+（n﹣1）d＝2n+2．（2）．18．【解答】解：由AD＝DC，得，连接对角线AC，在△ADC中，由正弦定理，得，即，解得AD＝5，在△ABC中，∠BCA＝∠BCD﹣∠ACD＝75°﹣300＝450，则＝．19．【解答】解：（1）可变成本为，固定成本为a元，所用时间为，所以，即，定义域为（0，80]．（2），当且仅当，即v＝60时，等号成立，所以当v＝60时，，答：当货车以60km/h的速度行驶，全程运输成本最小．20．【解答】解：（1）联立方程，整理得ky2﹣4y+4（2k+1）＝0，由抛物线C和直线l没有公共点，则△＜0，即﹣16（2k2+k﹣1）＜0，解得k＜﹣1或．（2）当抛物线C和直线l只有一个公共点时，记公共点坐标为M（x0，y0），由△＝0，即﹣16（2k2+k﹣1）＝0，解得k＝﹣1或，因为k＜0，故k＝﹣1，将y＝﹣x﹣1代入y2＝4x得x2﹣2x+1＝0，解得x0＝1，由抛物线的定义知：．21．【解答】解：（1）当n＝1时，S1＝a1＝2+a，当n≥2时，，因为{a n}是等比数列，所以，即a1＝1，a＝﹣1，所以数列{a n}通项公式为．（2）由（1）得，则，2，两式相减可得＝1+2（2+22+23++…+2n﹣1）﹣（2n﹣1）•2n＝1+4（2n﹣1﹣1）﹣（2n﹣1）•2n＝﹣3+（3﹣2n）•2n，所以．22．【解答】解：（1）将代入，得，由，得a＝2c，结合a2＝b2+c2，解得a2＝4，b2＝3，故椭圆的方程为．（2）设l：y＝k（x﹣1），联立方程组，整理得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12＝0，设M（x1，y1），N（x2，y2），则，，由于菱形的对角线垂直，故，故k（y1+y2）+x1+x2﹣2m＝0，即k2（x1+x2﹣2）+x1+x2﹣2m＝0，即，由已知条件知k≠0且k∈R，所以，所以，故存在满足题意的点P（m，0），且m的取值范围是，当直线l的斜率不存在时，不合题意．。
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广西桂林市2016-2017学年高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．抛物线y2=4x的焦点坐标为（）A．（0，1） B．（1，0） C．（0，2） D．（2，0）2．设a，b，c∈R，且a＞b，则（）A．ac＞bc B．a﹣c＜b﹣c C．a2＞b2D．a3＞b33．已知命题p：∃x0∈R，x0＞1，则￢p为（）A．∀x∈R，x≤1 B．∃x∈R，x≤1 C．∀x∈R，x＜1 D．∃x∈R，x＜1=a n﹣3，则a8等于（）4．数列{a n}中，a1=﹣1，a n+1A．﹣7 B．﹣8 C．﹣22 D．275．在△ABC中，已知a：b：c=3：2：4，那么cosC=（）A．B．C．﹣ D．﹣6．设x＞0，y∈R，则“x＞y”是“x＞|y|”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件7．已知x、y满足线性约束条件：，则目标函数z=x﹣2y的最小值是（）A．6 B．﹣6 C．4 D．﹣48．已知抛物线C：y2=x的焦点为F，A（x0，y0）是C上一点，若|AF|=x0，则x0等于（）A．1 B．2 C．4 D．89．已知命题p：方程x2﹣2ax﹣1=0有两个实数根；命题q：函数f（x）=x+的最小值为4．给出下列命题：①p∧q；②p∨q；③p∧￢q；④￢p∨￢q．则其中真命题的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．410．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC+ccosB=asinA，则△ABC的形状为（）A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．不确定11．设双曲线C：﹣=1（a，b＞0）的一条渐近线与抛物线y2=x的一个交点的横坐标为x0，若x0＞1，则双曲线C的离心率e的取值范围是（）A．（1，）B．（，+∞） C．（1，）D．（，+∞）12．已知数列{a n}中，a1=t，a n=+，若{a n}为单调递减数列，则实数t的+1取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2）B．（﹣2，0）C．（0，2） D．（2，+∞）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分）.13．在△ABC中，若∠A=60°，∠B=45°，BC=3，则AC=．14．已知{a n}为等差数列，a2+a8=，则S9等于．15．若不等式ax2+bx﹣2＞0的解集为（1，4），则a+b等于．16．已知双曲线C与椭圆+=1有共同的焦点F1，F2，且离心率互为倒数，若双曲线右支上一点P到右焦点F2的距离为4，则PF2的中点M到坐标原点O 的距离等于．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．17．设等差数列{a n}的前n项和为S n，且a3=2，S7=21．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=2an，求数列{b n}的前n项和T n．18．在△A BC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，cosB=且ac=35．（1）求△ABC的面积；（2）若a=7，求角C．19．已知命题p：∀x∈R，x2+kx+2k+5≥0；命题q：∃k∈R，使方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆．（1）若命题q为真命题，求实数k的取值范围；（2）若命题“p∨q”为真，命题“p∧q”为假，求实数k的取值范围．20．某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y（万元）与年产量x（吨）之间的函数关系式可以近似地表示为y=﹣48x+8000，已知此生产线年产量最大为210吨．（1）求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求最低成本；（2）若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？21．数列{a n}为正项等比数列，且满足a1+a2=4，a32=a2a6；设正项数列{b n}的前n项和为S n，且满足S n=．（1）求{a n}和{b n}的通项公式；（2）设c n=a n b n，求数列{c n}的前n项的和T n．22．已知椭圆C的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率，且经过点．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l经过椭圆C的右焦点F2，且与椭圆C交于A，B两点，使得|F1A|，|AB|，|BF1|依次成等差数列，求直线l的方程．2016-2017学年广西桂林市高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．抛物线y2=4x的焦点坐标为（）A．（0，1） B．（1，0） C．（0，2） D．（2，0）【考点】抛物线的简单性质．【分析】确定抛物线的焦点位置，进而可确定抛物线的焦点坐标．【解答】解：抛物线y2=4x的焦点在x轴上，且p=2∴=1∴抛物线y2=4x的焦点坐标为（1，0）故选B．2．设a，b，c∈R，且a＞b，则（）A．ac＞bc B．a﹣c＜b﹣c C．a2＞b2D．a3＞b3【考点】不等式比较大小．【分析】举特殊值判断A，C，根据不等式的性质判断C，根据幂函数的性质判断D【解答】解：A．当c=0时，不成立；B．根据不等式性质，则不成立；C．取a=1，b=﹣2，则a2＞b2不成立；D．根据幂函数y=x3为增函数，可得成立故选：D．3．已知命题p：∃x0∈R，x0＞1，则￢p为（）A．∀x∈R，x≤1 B．∃x∈R，x≤1 C．∀x∈R，x＜1 D．∃x∈R，x＜1【考点】命题的否定．【分析】由特称命题的否定方法可得结论．【解答】解：由特称命题的否定可知：￢p：∀x∈R，x≤1故选：A．=a n﹣3，则a8等于（）4．数列{a n}中，a1=﹣1，a n+1A．﹣7 B．﹣8 C．﹣22 D．27【考点】等差数列；等差数列的通项公式．【分析】数列{a n}中，a1=﹣1，a n+1=a n﹣3，可得a n+1﹣a n=﹣3，利用递推式求出a8，从而求解；【解答】解：∵数列{a n}中，a1=﹣1，a n+1=a n﹣3，﹣a n=﹣3，∴a n+1∴a2﹣a1=﹣3，a3﹣a2=﹣3，…a8﹣a7=﹣3，进行叠加：a8﹣a1=﹣3×7，∴a8=﹣21+（﹣1）=﹣22，故选C；5．在△ABC中，已知a：b：c=3：2：4，那么cosC=（）A．B．C．﹣ D．﹣【考点】余弦定理．【分析】根据a：b：c=3：2：4，利用余弦定理求出cosC的值．【解答】解：△ABC中，a：b：c=3：2：4，所以设a=3k，b=2k，c=4k，且k≠0；所以cosC===﹣．故选：D．6．设x＞0，y∈R，则“x＞y”是“x＞|y|”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】直接根据必要性和充分判断即可．【解答】解：设x＞0，y∈R，当x=0，y=﹣1时，满足x＞y但不满足x＞|y|，故由x＞0，y∈R，则“x＞y”推不出“x＞|y|”，而“x＞|y|”⇒“x＞y”，故“x＞y”是“x＞|y|”的必要不充分条件，故选：C．7．已知x、y满足线性约束条件：，则目标函数z=x﹣2y的最小值是（）A．6 B．﹣6 C．4 D．﹣4【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可．【解答】解：由z=x﹣2y得y=x﹣，作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分OAB）平移直线y=x﹣，由图象可知当直线y=x﹣，过点A时，直线y=x﹣的截距最大，此时z最小，由，解得，即A（2，3）．代入目标函数z=x﹣2y，得z=2﹣6=﹣4∴目标函数z=x﹣2y的最小值是﹣4．故选：D．8．已知抛物线C：y2=x的焦点为F，A（x0，y0）是C上一点，若|AF|=x0，则x0等于（）A．1 B．2 C．4 D．8【考点】抛物线的简单性质．【分析】利用抛物线的定义、焦点弦长公式即可得出．【解答】解：抛物线C：y2=x的焦点为F（，0）∵A（x0，y0）是C上一点，|AF|=x0，∴x0=x0+，解得x0=1．故选：A．9．已知命题p：方程x2﹣2ax﹣1=0有两个实数根；命题q：函数f（x）=x+的最小值为4．给出下列命题：①p∧q；②p∨q；③p∧￢q；④￢p∨￢q．则其中真命题的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】复合命题的真假．【分析】先判定命题p，q的真假，再利用复合命题真假的判定方法即可得出．【解答】解：命题p：方程x2﹣2ax﹣1=0有两个实数根，∀a∈R，可得△≥0，因此是真命题．命题q：x＜0时，函数f（x）=x+＜0，因此是假命题．下列命题：①p∧q是假命题；②p∨q是真命题；③p∧￢q是真命题；④￢p∨￢q是真命题．则其中真命题的个数为3．故选：C．10．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC+ccosB=asinA，则△ABC的形状为（）A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．不确定【考点】三角形的形状判断．【分析】根据正弦定理把已知等式中的边转化为角的正弦，利用两角和公式化简求得sinA的值进而求得A，判断出三角形的形状．【解答】解：∵bcosC+ccosB=asinA，∴sinBcosC+sinCcosB=sin（B+C）=sinA=sin2A，∵sinA≠0，∴sinA=1，A=，故三角形为直角三角形，故选：A．11．设双曲线C：﹣=1（a，b＞0）的一条渐近线与抛物线y2=x的一个交点的横坐标为x0，若x0＞1，则双曲线C的离心率e的取值范围是（）A．（1，）B．（，+∞） C．（1，）D．（，+∞）【考点】双曲线的简单性质．【分析】不妨设渐近线为y=x ，与抛物线的交点为（x 0，y 0），x 0＞1，可得，两式消去y 0可得ab 的不等式，由双曲线的离心率可得．【解答】解：不妨设渐近线为y=x ，与抛物线的交点为（x 0，y 0），x 0＞1，则，两式消去y 0可得=x 0＞1，∴a 2＞b 2，∴a 2＞c 2﹣a 2，∴2a 2＞c 2， ∴＜2，∴e=＜，又∵双曲线的离心率大于1，∴双曲线C 的离心率e 的取值范围是（1，）故选：C12．已知数列{a n }中，a 1=t ，a n +1=+，若{a n }为单调递减数列，则实数t 的取值范围是（ ）A ．（﹣∞，﹣2）B ．（﹣2，0）C ．（0，2）D ．（2，+∞） 【考点】数列的函数特性．【分析】由a n +1=+，作差a n +1﹣a n =＜0，解得a n ＞2或﹣2＜a n ＜0，对t 分类讨论即可得出．【解答】解：∵a n +1=+，∴a n +1﹣a n =﹣=＜0，解得a n＞2或﹣2＜a n ＜0，（1）a 1=t ∈（﹣2，0）时，a 2=＜﹣2，归纳可得：a n ＜﹣2（n ≥2）．∴a 2﹣a 1＜0，但是a n +1﹣a n ＞0（n ≥2），不合题意，舍去．（2）a 1=t ＞2时，a 2=＞2，归纳可得：a n ＞2（n ≥2）．∴a n +1﹣a n ＜0，符合题意．故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分）.13．在△ABC中，若∠A=60°，∠B=45°，BC=3，则AC=2．【考点】正弦定理．【分析】由A与B的度数分别求出sinA与sinB的值，再由BC的长，利用正弦定理即可求出AC的长．【解答】解：∵∠A=60°，∠B=45°，BC=3，∴由正弦定理=得：AC===2．故答案为：214．已知{a n}为等差数列，a2+a8=，则S9等于6．【考点】等差数列的前n项和；等差数列．【分析】由等差数列的求和公式可得：S9==，代入可得．【解答】解：由等差数列的求和公式可得：S9====6故答案为：615．若不等式ax2+bx﹣2＞0的解集为（1，4），则a+b等于2．【考点】其他不等式的解法．【分析】根据一元二次不等式与对应方程的关系，利用根与系数的关系求出a、b的值，即可求出a+b【解答】解：∵不等式ax2+bx﹣2＞0的解集为（1，4），∴1和4是ax2+bx﹣2=0的两个根，∴1+4=且1×4=，解得a=，b=，∴a+b=2；故答案为：2．16．已知双曲线C与椭圆+=1有共同的焦点F1，F2，且离心率互为倒数，若双曲线右支上一点P到右焦点F2的距离为4，则PF2的中点M到坐标原点O 的距离等于3．【考点】双曲线的简单性质；椭圆的简单性质．【分析】求出椭圆的焦点和离心率，由题意可得双曲线的c=2，a=1，再由双曲线的定义可得|PF1|=2+4=6，结合中位线定理，即可得到OM的长．【解答】解：椭圆+=1的焦点为（﹣2，0），（2，0），离心率为=，由椭圆和双曲线的离心率互为倒数，则双曲线的离心率为2，由于双曲线的c=2，则双曲线的a=1，由双曲线的定义可得，|PF1|﹣|PF2|=2a=2，又|PF2|=4，则|PF1|=2+4=6，由M为PF2的中点，O为F1F2的中点，则|OM|=|PF1|==3．故答案为：3．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．17．设等差数列{a n}的前n项和为S n，且a3=2，S7=21．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=2an，求数列{b n}的前n项和T n．【考点】数列的求和．【分析】（1）根据条件列方程解出a1和d，从而得出通项公式；（2）利用等比数列的求和公式得出T n．【解答】解：（1）设{a n}的公差为d，则，解得．∴a n=a1+（n﹣1）d=n﹣1．（2）由（1）可得b n=2n﹣1，∴{b n}为以1为首项，以2为公比的等比数列，∴T n==2n﹣1．18．在△A BC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，cosB=且ac=35．（1）求△ABC的面积；（2）若a=7，求角C．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（1）由已知可先求sinB的值，由ac=35，即可根据面积公式求S的△ABC 值．（2）由已知先求c的值，由余弦定理可求b的值，从而可求cosC的值，即可求出C的值．【解答】解：（1）∵cosB=，且B∈（0，π），∴sinB==，又ac=35，…=acsinB==14．…∴S△ABC（2）由ac=35，a=7，得c=5，…∴b2=a2+c2﹣2accosB=49+25﹣2×=32，∴b=4，…∴cosC===…又C∈（0，π）…∴C=．…19．已知命题p：∀x∈R，x2+kx+2k+5≥0；命题q：∃k∈R，使方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆．（1）若命题q为真命题，求实数k的取值范围；（2）若命题“p∨q”为真，命题“p∧q”为假，求实数k的取值范围．【考点】复合命题的真假．【分析】（1）根据椭圆的定义求出k的范围即可；（2）根据二次函数的性质求出p为真时的k的范围，结合p，q的真假，得到关于k的不等式组，解出即可．【解答】解：（1））∵方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆，∴，解得：1＜k＜，故q：k∈（1，）；（2）∵∀x∈R，x2+kx+2k+5≥0，∴△=k2﹣4（2k+5）≤0，解得：﹣2≤k≤10，故p为真时：k∈[﹣2，10]；结合（1）q为真时：k∈（1，）；若命题“p∨q”为真，命题“p∧q”为假，则p，q一真一假，故或，解得：﹣2≤k≤1或≤k≤10．20．某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y（万元）与年产量x（吨）之间的函数关系式可以近似地表示为y=﹣48x+8000，已知此生产线年产量最大为210吨．（1）求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求最低成本；（2）若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？【考点】函数模型的选择与应用．【分析】（1）利用总成本除以年产量表示出平均成本；利用基本不等式求出平均成本的最小值．（2）利用收入减去总成本表示出年利润；通过配方求出二次函数的对称轴；由于开口向下，对称轴处取得最大值．【解答】解：（1）设每吨的平均成本为W（万元/T），则（0＜x≤210），当且仅当，x=200（T）时每吨平均成本最低，且最低成本为32万元．（2）设年利润为u（万元），则=．所以当年产量为210吨时，最大年利润1660万元．21．数列{a n}为正项等比数列，且满足a1+a2=4，a32=a2a6；设正项数列{b n}的前n项和为S n，且满足S n=．（1）求{a n}和{b n}的通项公式；（2）设c n=a n b n，求数列{c n}的前n项的和T n．【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．【分析】（1）设正项等比数列{a n}的公比为q，由a1+a2=4，a32=a2a6，可得a1（1+q）=4，，即q2=4．解得q，a1，即可得出a n．正项数列{b n}的前n项和为S n，且满足S n=．b1=，解得b1．n≥2时，b n=S n ，即可得出．﹣S n﹣1（2）c n=a n b n=（2n﹣1）•2n，利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．【解答】解：（1）设正项等比数列{a n }的公比为q ，∵a 1+a 2=4，a 32=a 2a 6，∴a 1（1+q ）=4，，即q 2=4．解得q=2，a 1=2．∴a n =2n ．正项数列{b n }的前n 项和为S n ，且满足S n =．∴b 1=，解得b 1=1．n ≥2时，b n =S n ﹣S n ﹣1=﹣，化为：（b n +b n ﹣1）（b n ﹣b n ﹣1﹣2）=0，∴b n ﹣b n ﹣1=2， ∴数列{b n }是等差数列，公差为2．∴b n =1+2（n ﹣1）=2n ﹣1．（2）c n =a n b n =（2n ﹣1）•2n ，∴数列{c n }的前n 项的和T n =2+3×22+5×23+…+（2n ﹣1）•2n ，∴2T n =22+3×23+…+（2n ﹣3）•2n +（2n ﹣1）•2n +1，∴﹣T n =2+2（22+23+…+2n ）﹣（2n ﹣1）•2n +1=﹣2+﹣（2n ﹣1）•2n +1=（3﹣2n ）•2n +1﹣6，∴T n =（2n ﹣3）•2n +1+6．22．已知椭圆C 的中心在原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率，且经过点．（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l 经过椭圆C 的右焦点F 2，且与椭圆C 交于A ，B 两点，使得|F 1A |，|AB |，|BF 1|依次成等差数列，求直线l 的方程．【考点】椭圆的标准方程；等差数列的性质；直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（1）先设椭圆C的方程根据离心率和点M求得a和b，进而可得答案．（2）设直线l的方程为，代入（1）中所求的椭圆C的方程，消去y，设A（x1，y1），B（x2，y2），进而可得到x1+x2和x1•x2的表达式，根据F1A|+|BF1|=2|AB|求得k，再判断直线l⊥x轴时，直线方程不符合题意．最后可得答案．【解答】解：（1）设椭圆C的方程为，（其中a＞b＞0）由题意得，且，解得a2=4，b2=2，c2=2，所以椭圆C的方程为．（2）设直线l的方程为，代入椭圆C的方程，化简得，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，由于|F1A|，|AB|，|BF1|依次成等差数列，则|F1A|+|BF1|=2|AB|．而|F1A|+|AB|+|BF1|=4a=8，所以.=，解得k=±1；当直线l⊥x轴时，，代入得y=±1，|AB|=2，不合题意．所以，直线l的方程为．2017年3月12日。