2018-2019学年高中数学 第一章 立体几何初步 1.1 简单几何体 1.1.2 简单多面体讲义 北师大版必修2

C．棱台
B．棱柱 D．圆柱
4．一个棱柱有 10 个顶点，所有的侧棱长的和为 60 cm，则每 条侧棱的长为___1_2____cm.
解析：n 棱柱有 2n 个顶点，由于此棱柱有 10 个顶点，那么此 棱柱为五棱柱．又棱柱的侧棱长都相等，五条侧棱长的和为 60 cm，可知每条侧棱的长为 12 cm.
1．棱柱、棱锥、棱台的性质比较
__全__等__的 等腰三角 形
三棱锥 四棱锥 五棱锥
… n棱锥
名称
棱台
正棱 台
图形
结构特征
用一个 ______平__行__于_____ 棱锥底面的平面 去截棱锥，底面 与截面之间的部 分,上、下底面是 相似图形
用__正__棱__锥______ 截得的棱台
侧面的形 状
梯形
全等的 等__腰__梯__形__
3．(1)正四棱锥 S-ABCD 的所有棱长都等于 a，过不相邻的两 条侧棱作截面 SAC，如图，则截面的面积为( A )
A.12a2
B．a2
C.32a2
D.13a2
(2)在正三棱锥 V-ABC 中，若其底面边长为 8，侧棱长为 2 6，
26 则它的高等于___3_____．
解：(1)由正棱锥的性质知，底面 ABCD 是正方形． 所以 AC＝ 2a，在等腰三角形 SAC 中，SA＝SC＝a，AC＝ 2 a，所以∠ASC＝90°，即 S 截＝12a2.故选 A. (2) 如图所示，设 O 是底面中心，D 为 BC 的中点， 所以△VAO 是直角三角形． 因为底面边长为 8，侧棱长为 2 6， 所以 AO＝ 33×8＝83 3，
[方法归纳] (1)判断一个几何体是棱柱的依据及关键点 ①依据：判断是否是棱柱要紧扣棱柱的定义． ②抓住三个关键点． 底面：互相平行且是两个全等的多边形． 侧面：都是平行四边形． 侧棱：互相平行且相等． 以上三点缺一不可．
(2)正棱柱的性质 ①侧棱与底面垂直，侧面是全等的矩形； ②两个底面与平行于底面的截面是全等的正多边形； ③过不相邻的两条侧棱的截面(对角面)是矩形； ④侧棱长等于此正棱柱的高． (3)特殊的四棱柱
B．(2)是圆台 D．(4)不是棱柱
解析：图(1)不是由棱锥截来的，所以(1)不是棱台；图(2)上下 两个面不平行，所以(2)不是圆台；图(4)前后两个面平行，其 他面是四边形，且每相邻两个四边形的公共边平行，所以(4) 是棱柱；很明显(3)是棱锥．
3．下列几何体中，侧棱一定相等的是( B ) A．棱锥
章 立体几何初步
1．2 简单多面体
1．问题导航 (1)“有两个面是互相平行且全等的多边形，其余各面都是平 行四边形的多面体是棱柱”这一说法对吗？为什么？ (2)棱锥所有的面可以都是三角形吗？ (3)如何判断一个多面体是不是棱台？
2．例题导读 P5知识点二“棱锥、棱台”．通过本知识点的学习，理解棱 锥、棱台的基本概念及两几何体之间的关系，特别需注意的 是正棱锥的概念，不仅棱锥的底面是正多边形，而且各侧面 要全等．
所以 VO＝ VA2－AO2＝ （2 6）2－（8 3 3）2＝2 3 6.
规范解答
与棱台有关的计算问题
(本题满分 12 分)一个棱台的上、下底面积之比为 4∶9， 若棱台的高是 4 cm，求截得这个棱台的棱锥的高．
空间几何体的计算问题
正四棱台两底面的面积分别为 4 和 16，其高为 3，求 正四棱台的侧棱的长． [解] 作出正四棱台 ABCD-A1B1C1D1 如图， OO1 为棱台的高，其长为 3.连接 O1A1，OA， 则四边形 O1A1AO 为直角梯形，由正四棱台 两底面的面积分别为 4 和 16，知 A1B1＝2， AB＝4，
性质
棱柱
棱锥
棱台
侧棱
相互平行、相 等
交于一点
Байду номын сангаас
延长后交于 一点
侧面
均为平行四边 形
三角形
梯形
平行于底 与底面全等的 与底面相似 与底面相似的
面的截面
多边形
的多边形
多边形
过不相邻两 侧棱的截面
平行四边形
三角形
梯形
2.正棱锥中的两点说明 (1)判别一个棱锥是否是正棱锥也要抓住两点： ①底面为正多边形； ②顶点在底面的射影是底面正多边形的中心． (2)斜高是正棱锥特有的一个概念，其他棱锥没有斜高．
解析：(1)根据棱锥、棱台的结构特征，3 个命题都不正确． (2)正棱锥的概念包括两层：一是底面是 正多边形；二是顶点在底面上的投影恰是 底面正多边形的中心，两者缺一不可．由 此可知②③不正确．对于①，虽然各侧面均为全等的等腰三角 形，但未必是正三棱锥，如图，在棱锥 D-ABC 中，已知 DA ＝DB＝BC＝CA，AB＝DC，满足各侧面均为全等的等腰三角 形，但它不是正三棱锥，所以①不正确．事实上，由顶点在底 面上的投影是三角形的外心可知三棱锥的侧棱长相等；由顶点 在底面上的投影又是三角形的内心可知顶点在底面上的投影 是三角形的中心，且底面三边长相等，即该棱锥的底面是正三 角形，所以此三棱锥是正三棱锥．故④正确．
图1
图2
(2)正棱台中的直角梯形的应用 已知正棱台如图 2(以正四棱台为例)，O1，O 分别为上、下底 面中心，作 O1E1⊥B1C1 于 E1，OE⊥BC 于 E，则 E1E 为斜高． ①斜高、侧棱构成直角梯形，如图 2 中梯形 E1ECC1. ②斜高、高构成直角梯形，如图 2 中梯形 O1E1EO. ③高、侧棱构成直角梯形，如图 2 中梯形 O1OCC1.
解：(1)②和③正确，说法符合棱柱的结构特征．故选 B. (2)当棱柱的底面是正三角形，且所有侧面都是矩形时，侧棱一 定与底面垂直，即棱柱是直棱柱，又底面为正三角形，所以棱 柱是正三棱柱．故填③. (3)有三个棱柱．多面体 AD-PQD1A1 以面 APA1 和 DQD1为底面， 其他三个面都是平行四边形，且 AD，PQ，A1D1 互相平行，故 为三棱柱 APA1­DQD1，同理，多面体 BC-B1C1FE 是以 BB1E 和 CC1F 为底面的三棱柱 BB1E­CC1F.多面体 ABEP-DCFQ 是 四棱柱，一个底面是 ABEP，另一个底面是 DCFQ.
O1F1＝A12B1＝1，OF＝A2B＝2， OO1＝ 3，作 F1G⊥OF 于 G， 在 Rt△F1GF 中， F1F＝ （ 3）2＋（2－1）2＝2，即斜高长为 2.
[方法归纳] (1)正棱锥中的直角三角形的应用 已知正棱锥如图 1(以正四棱锥为例)，其高 PO，底面为正方 形，作 PE⊥CD 于 E，则 PE 为斜高． ①斜高、侧棱构成直角三角形，如图 1 中 Rt△PEC. ②斜高、高构成直角三角形，如图 1 中 Rt△POE. ③侧棱、高构成直角三角形，如图 1 中 Rt△POC.
行
五棱柱
底面是_正__多__边__形___的 直棱柱(侧棱垂直于底 面的棱柱)
矩形
… n棱柱
名称
棱锥
正棱 锥
图形
结构特征
侧面的形 状
分类
有一个面是 _多__边__形___，其余 各面是 _有__一__公__共__顶__点___ 的三角形
三角形
底面是 __正__多__边__形_____， 且各侧面_全__等__的 棱锥
分类
三棱台 四棱台 五棱台
… n棱台
1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)棱柱的侧面都是平行四边形．( √ ) (2)棱锥的侧面都是三角形．( √ ) (3)多面体只有棱柱、棱锥、棱台三类，没有其他情况．( × )
2．如图，观察四个几何体，其中判断正确的是( C )
A．(1)是棱台 C．(3)是棱锥
②正棱锥的性质：各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角 形．各等腰三角形底边上的高相等，叫做正棱锥的斜高． (3)棱台的基本性质 ①棱台的截面性质定理：如果棱台被平行于底面的平面所截， 那么截面和底面相似． ②正棱台的性质：各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰梯形．各 等腰梯形的高相等，叫做正棱台的斜高．
[方法归纳] (1)判断棱锥、棱台形状的两个方法 ①举反例法：结合棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱锥、 棱台结构特征的某些说法不正确． ②直接法：根据定义判断即可． (2)棱锥的基本性质 ①棱锥的截面性质定理：如果棱锥被平行于底面的平面所截， 那么截面和底面相似，并且它们的面积比等于截得的棱锥的高 与已知棱锥的高的比的平方．
棱锥、棱台的结构特征
下列关于棱锥、棱台的说法： ①由一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何 体叫棱台． ②棱台的侧面一定不会是平行四边形． ③棱锥的侧面只能是三角形． ④由四个面围成的封闭的简单多面体只能是三棱锥． ⑤棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥． 其中正确说法的序号是_②__③__④___．
理，可以证明 BC 綊 MN)．
[解] (1)长方体 ABCD-A1B1C1D1 是棱柱，且是四棱柱．因为 平面 ABCD 与平面 A1B1C1D1 平行，且其余各面都是四边形， 且 AA1，BB1，CC1，DD1 互相平行． (2)用平面 BCNM 把这个长方体分成两部分，其中一部分有两 个平行的平面 BB1M 与平面 CC1N，其余各面都是四边形，并 且每相邻两个四边形的公共边互相平行，符合棱柱的定义，所 以是三棱柱，可用符号表示为三棱柱 BB1M­CC1N；另一部分 有两个平行的平面 ABMA1 与平面 DCND1，其余各面都是四边 形，并且每相邻两个四边形的公共边互相平行，符合棱柱的定 义，所以是四棱柱，可用符号表示为四棱柱 ABMA1­DCND1.
所以 A1O1＝A12C1＝ 2， AO＝A2C＝2 2， 作 A1E⊥AO 于 E，在 Rt△A1AE 中， AE＝ 2，A1E＝O1O＝ 3， 所以 A1A＝ A1E2＋AE2＝ 5， 即侧棱长为 5.
若把本例中求侧棱长改为求斜高的长，又该如 何解？ 解：作 O1F1⊥B1C1 于 F1，OF⊥BC 于 F， 则 F1，F 分别为棱 B1C1，BC 的中点． 在直角梯形 O1OFF1 中，