三角形中的中点问题
三角形中位线专项训练(30道)(解析版)
三角形中位线专项训练(30道)(解析版)三角形中位线专项训练(30道)(解析版)1. 题目解析三角形中位线是指连接一个三角形的两个非邻边中点的线段。
在这个专项训练中，我们将解答30道关于三角形中位线的问题，并提供详细的解析，帮助你更好地理解和掌握相关概念和解题方法。
2. 题目设置2.1 第一类题目：中位线长度计算2.1.1 题目1：已知一个三角形的三边长度分别为a, b, c，求其中位线长度。
解析：根据中位线定义，连接三角形的两个非邻边中点可以得到一个平行四边形。
利用平行四边形的性质，可以计算出中位线长度为(c²+a²-0.5b²)/(2c)。
2.1.2 题目2：已知一个等边三角形的边长为a，求其中位线长度。
解析：等边三角形中位线长等于边长的一半，即中位线长度为a/2。
2.1.3 题目3：已知一个等腰三角形的底边长度为a，腰长为b，求其中位线长度。
解析：根据中位线定义，连接三角形的两个非邻边中点可以得到一个平行四边形。
利用平行四边形的性质，可以计算出中位线长度为(a²+b²)/(2a)。
2.2 第二类题目：中位线位置关系2.2.1 题目4：在一个等边三角形中，证明中位线与底边垂直且分割底边的比例为2:1。
解析：根据等边三角形的性质，中位线和底边垂直。
利用中位线定义和几何性质，可以证明中位线分割底边的比例为2:1。
2.2.2 题目5：已知在一个等腰三角形中，中位线长为x，底边长为y，求腰长。
解析：根据中位线定义，连接三角形的两个非邻边中点可以得到一个平行四边形。
利用平行四边形的性质，可以得到腰长为2x-y。
2.2.3 题目6：已知在一个一般三角形中，中位线等分了三角形的面积，证明这个三角形是等腰三角形。
解析：假设中位线等分了三角形的面积，利用三角形面积公式可以得到一个关于中位线和底边的方程。
通过求解这个方程，可以证明这个三角形是等腰三角形。
3. 题目变体上述题目只是针对三角形中位线的一部分问题进行了训练和解析。
三角形中点题型
三角形中点题型一.中点有关联想归类：1.等腰三角形中遇到底边上的中点，常联想“三线合一”的性质；2.直角三角形中遇到斜边上的中点，常联想“斜边上的中线，等于斜边的一半”； 3、两条线段相等，为全等提供条件 4.有中点时常构造垂直平分线； 5.有中点时，常会出现面积的一半（中线平分三角形的面积）； 6.倍长中线。
二.与中点问题有关的三大辅助线：1.出现三角形的中线时，可以延长（简称“倍长中线”）；2.出现直角三角形斜边的中点，作斜边中线；3.出现等腰三角形底边上的中点，构造“三线合一” 。
模块一、出现三角形的中线，可以延长 例 1.如图，ABC ∆中，A B A C <，AD 是中线.求证：D A C D A B ∠<∠。
AB CED例2.如图，已知在ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE AC =，延长BE 交 AC 于F .求证：AF EF =。
A B CHD EF例3.已知ABC ∆中，12AB =，30AC =，求BC 边上的中线AD 的范围。
AB CED模块二、斜边中线例4. 如图1-1，已知Rt ABC ∆中，AB AC =，在Rt ADE ∆中，AD DE =，连结EC ，取EC 中点M ，连结DM 和BM ，（1）若点D 在边AC 上，点E 在边AB 上且与点B 不重合，如图1-1，求证：BM DM =且BM DM ⊥；（2）将图1-1中的ADE ∆绕点A 逆时针转小于45的角，如图1-2，那么（1）中的结论是否仍成立？如果不成立，请举出反例，如果成立，请给予证明。
（2）成立。
延长DM 至F，使MF DM =，连结CF ，BF ，延长ED 交AC 于N 易证：EMD CMF ∆∆≌ ∴DEM FCM ∠=∠ ∴EN FC ∥∴25455ACB ∠=∠+∠=+∠∵290190()45BAC αα∠=-∠=-∠+∠=+∠ ∴5α∠=∠∵AB BC =,AD DE CF ==∴BAD BCF ∆∆≌ ∴BD BF =，ABD CBF ∠=∴90DBF ABC ∠=∠=∵BD BF = ∴BDF ∆为等腰直角三角形∵MF DM =∴BM DM =且BM DM ⊥ 板块三、面积问题结论一：三角形的一边的中线把这个三角形分成面积相等的两部分。
中考数学复习讲义课件 第4单元 小专题3 中点问题的六种方法
和 DE 的中点，连接 AG，FG.当 AG＝FG 时，线段 DE 的长为( A )
A． 13
B．52 2
C．
41 2
D．4
方法二 遇到直角三角形斜边的中点，构造斜边中线
直角三角形中有斜边中点时，常作斜边上的中线，利用“斜边上的中线等于斜 边的一半，即 CD＝AD＝BD＝21AB”来证明线段间的数量关系，且可以得到 两个等腰三角形：△ACD，△BCD，该方法经常会与中位线定理一起综合应用．
7．如图，在△ABC 中，D，E 分别是 BC，AD 的中点，点 F 在 BE 上，且
EF＝2BF.若 S△BCFBiblioteka 2cm2，则 S△ABC 为( C )
A．4cm2
B．8cm2
C．12cm2
D．16cm2
8．如图，在△ABC 中，点 D，E，F 分别在三边上，E 是 AC 的中点，AD，
BE，CF 交于一点 G，BD＝2DC，S△BGD＝16，S△AGE＝6，则△ABC 的面积 是( D )
A．10
B．5
C．4
D．3
6．如图，D 为△ABC 内一点，CD 平分∠ACB，BD⊥CD，∠A＝∠ABD．若
BD＝1，BC＝3，则 AC 的长为( A )
A．5
B．4
C．3
D．2
方法四 中线等分三角形的面积
AD 是△ABC 的中线，则 S△ABD＝S△ACD＝12S△ABC，即△ABD 与△ACD 是等 底等高的两个三角形．
解：延长 AE 交 BC 于点 F. ∵点 E 是 CD 的中点，∴DE＝CE. ∵AB⊥BC，AB⊥AD， ∴AD∥BC．∴∠ADE＝∠BCE.
在△AED 和△FEC 中，∠DEA＝DEC＝E，∠FCE， ∠AED＝∠FEC，
八年级全等三角形中的中点、中线问题
全等三角形中的中点、中线问题三角形中线的定义：三角形顶点和对边中点的连线三角形中线的相关定理： 直角三角形斜边的中线等于斜边的一半等腰三角形底边的中线三线合一(底边的中线、顶角的角平分线、底边的高重合) 三角形中位线定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线． 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半．中位线判定定理：经过三角形一边中点且平行于另一边的直线必平分第三边．中线中位线相关问题(涉及中点的问题)见到中线(中点)，我们可以联想的内容无非是倍长中线以及中位线定理(以后还要学习中线长公式)，尤其是在涉及线段的等量关系时，倍长中线的应用更是较为常见．【例1】 如图，AC DE ∥，BC EF ∥，AC DE =．求证：AF BD =．FEDCBA【巩固】如图所示：AB CD ∥，AB CD =．求证：AD BC ∥．DCBA【例2】 如图，已知AB DC =，AD BC =，O 是BD 中点，过O 点的直线分别交DA 、BC 的延长线于E F ，．求证：E F ∠=∠21OFEDCBA【例3】 如图，AB CD ，相交于点O ，OA OB =，E 、F 为CD 上两点，AE BF ∥，CE DF =．求证：AC BD ∥． OF E DBA【巩固】如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，E 为CD 中点，连结AE 并延长AE 交BC 的延长线于点F ．求证：FC AD =．FEDCBA【例4】 已知：如图，梯形ABCD 中，AD BC ∥，点E 是CD 的中点，BE 的延长线与AD 的延长线相交于点F ．求证：BCE FDE ∆∆≌．DFECBA【例5】 如图，在ABC ∆中，D 是BC 边的中点，F ，E 分别是AD 及其延长线上的点，CF BE ∥．求证：BDE CDF ∆∆≌．FEDCBA【例6】 已知ACB ∆，B ACB ∠=∠，D ，E 分别是AB 及AC 延长线上的一点，且BD CE =，连接DE 交底BC于G ，求证GD GE =．GED C BA【例7】 如左下图，在矩形ABCD 中，E 为CB 延长线上一点且AC CE =，F 为AE 的中点．求证：BF FD ⊥．F EDCBA【例8】 如右下图，在ABC ∆中，BE 、CF 分别为边AC 、AB 的高，D 为BC 的中点，DM EF ⊥于M ．求证：FM EM =．MFED CB A【例9】 已知：ABC ∆中，AM 是中线．求证：1()2AM AB AC <+．MCBA【例10】 在△ABC 中，59AB AC ==，，则BC 边上的中线AD 的长的取值范围是什么？【例11】 如图，ABC ∆中，<AB AC ，AD 是中线．求证：<DAC DAB ∠∠．DCBA【例12】 如图，已知在ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，延长BE 交AC 于F ，AF EF =，求证：AC BE =．FEDC BA【例13】 如图，已知在ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE AC =，延长BE 交AC 于F ，AF 与EF 相等吗？为什么？FED CBA【例14】 如图所示，已知ABC ∆中，AD 平分BAC ∠，E 、F 分别在BD 、AD 上．DE CD =，EF AC =．求证：EF ∥ABFACD E B【例15】 ABC ∆中，AB AC >，AD 、AE 分别是BC 边上的中线和A ∠的平分线，则AD 和AE 的大小关系是AD ______AE ．(填“>”、 “<”或“=”)E AB CD 【例16】 已知AM 为ABC ∆的中线，AMB ∠，AMC ∠的平分线分别交AB 于E 、交AC 于F ．求证：BE CF EF +>．FE AB D C【巩固】在Rt ABC ∆中，90A ∠=︒，点D 为BC 的中点，点E 、F 分别为AB 、AC 上的点，且ED FD ⊥．以线段BE 、EF 、FC 为边能否构成一个三角形？若能，该三角形是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形？FEDCBA【例17】 如图所示，在ABC ∆中，D 是BC 的中点，DM 垂直于DN ，如果2222BM CN DM DN +=+，求证()22214AD AB AC =+．NMDCBA【巩固】在Rt ABC ∆中，F 是斜边AB 的中点，D 、E 分别在边CA 、CB 上，满足90DFE ∠=︒．若3AD =，4BE =，则线段DE 的长度为_________．FEDCBA【例18】 如图所示，在ABC ∆中，AB AC =，延长AB 到D ，使B D A B =，E 为AB 的中点，连接CE 、CD ，求证2CD EC =．ECB A【例19】 已知ABC ∆中，AB AC =，BD 为AB 的延长线，且BD AB =，CE 为ABC ∆的AB 边上的中线．求证2CD CE =EDCB A1. 如图，AC 、BD 相交于O 点，且AC BD =，AB CD =，求证：OA OD =．ABCDO2. 如图所示：AF CD =，BC EF =，AB DE =，A D ∠=∠．求证：BC EF ∥．A BCD EF3. 如图所示，在ABC ∆和A B C '''∆中，AD 、A D ''分别是BC 、B C ''上的中线，且AB A B ''=，AC A C ''=，AD A D ''=，求证ABC A B C '''∆∆≌．DCB AD'C'B'A'4. 如图，在ABC ∆中，AD 交BC 于点D ，点E 是BC 中点，EF AD ∥交CA 的延长线于点F ，交AB 于点G ，若BG CF =，求证：AD 为ABC ∆的角平分线．F GE DCBA5. 如图所示，90BAC DAE ∠=∠=︒，M 是BE 的中点，AB AC =，AD AE =，求证AM CD ⊥．MECBA。
三角形中线问题的三种解法
三角形中线问题的三种解法三角形是几何学中最基本的图形之一，它有许多有趣的性质值得探究。
本文将讨论三角形中线的性质及其三种解法。
一、三角形中线的定义及性质在任意三角形ABC中，连接三角形两边的中点，分别得到三条线段DE、FG和HI，我们将它们分别称为三角形的中线。
现在我们来研究中线的性质。
1. 中线相等性质：定理1：三角形中线的长度相等。
证明：因为DE是AB的中线，所以DE的长度等于AB的长度的一半。
同理可得FG和HI的长度分别等于BC和AC的一半。
因此，DE= FG = HI。
2. 中线平行性质：定理2：三角形中线互相平行。
证明：我们可以使用反证法来证明。
假设DE与FG不平行，那么它们必定会相交于一点，设为J。
那么根据平行线的性质，我们知道AJ与JI分别为DE与FG所在直线的两条平行线，所以AJ = JI。
然而，由中线的等长性质可知，AJ = JI = BJ。
但这与直角三角形ABC中的直角会产生矛盾，所以DE与FG是平行的。
同理可得其他中线的平行性质。
二、解法一：面积法面积法是解决三角形中线问题的一种直观方法，通过求解三角形的面积来推导中线的性质。
下面是面积法的步骤：步骤1：计算三角形ABC的面积，设为S。
步骤2：计算三角形ABC的底边AB的中线DE的长度，设为x。
步骤3：计算三角形ADE和三角形BDE的面积，分别设为S1和S2。
步骤4：由面积的性质可知，S1 = S2 = S/2。
步骤5：根据S1 = S2，我们可以得到x = AB/2。
解法一的关键在于利用面积的性质来推导中线的长度，通过这种方法可以很容易地证明三角形中线的等长性质。
三、解法二：向量法向量法是另一种解决三角形中线问题的方法，它利用向量的性质来进行推导。
下面是向量法的步骤：步骤1：设三角形ABC的顶点分别为A(x1, y1)，B(x2, y2)，C(x3, y3)。
步骤2：计算线段AB的中点D，坐标为D((x1+x2)/2, (y1+y2)/2)。
三角形中点与几何最值问题
三角形中的中点（讲义）课前预习先在图上走通思路，然后填空：已知：如图，在四边形ABCD中，AD// BC, E是CD的中点，若AB=AD+BC, / ABC=50°,求/ BAE 的度数.A思路分析：①因为AD// BC, E是CD的中点，考虑延长AE交BC的延长线于点F;②进而利用全等三角形的判定___________ ，证明___________ 罕___________ ;③由全等可得______________________ ;④结合已知条件AB=AD+BC,得AB= ________ ，从而/ BAE= _______ ，所以在△ ABF中，根据三角形的内角和等于180°得, / BAE= _______ .知识点睛1. 中位线(1) ______________________________________________ 三角形的中位线：______________________________________________________ ;(2) 三角形中位线定理：________________________________2. 遇到中点常见的五种思路(1) ______________________________________________ 遇到等腰三角形底边的中点，考虑_____________________________________ ；(2)遇到直角三角形斜边的中点，考虑____________________ ；(3)遇到三角形一边上的中点，考虑______________________ ；(4)遇到“平行夹中点”，考虑__________________________ ；DD(5)遇到多个中点，考虑(或构造) __________________________ L精讲精练1. 如图，点D, E, F分别是△ ABC的边AB, BC, AC的中点，若△ DEF的周长为10cm,则厶ABC的周长为________ .第1题图第2题图2. 如图，在四边形ABCD中，R，P分别是BC，CD上的点，E，F分别是AP，RP的中点，当点P在CD上从点C向点D移动而点R不动时，下列结论成立的是（）A .线段EF的长逐渐增大B. 线段EF的长逐渐减小C. 线段EF的长保持不变D .线段EF的长与点P的位置有关3. 如图，在四边形ABCD中，AD=BC，E，F，G分别是AB，CD，AC的中点.若/ ACB=66°，/ CAD=20°，则/ EFG= ________ .第3题图第4题图4. 如图，B D，C E分别是/ ABC 和/ ACB的角平分线，已知AG丄BD，AF丄CE. 若BF=2，DE=3，CG=4，贝ABC 的周长为8.5. 如图，M 是厶ABC 的边BC 的中点，AN 平分/ BAC ，BN 丄AN 于点N ,若 AB=10， A . 38 BC=15, MN=3,则厶ABC 的周长为( )C . 40D . 41B . 39 第5题图 第6题图6. ABC 中， NP .有以下结论:/ BAC=60° BN , CM 为高，P 是BC 的中 如图，在锐角三角形 点，连接MN ，MP ， ①NP=MP ;②当/ABC=60° 时，MN // BC ;③ BN=2AN ;④AN:AB=AM: AC .其中正确的有（A . 1 个B . 2 个C .7. 如图，在梯形 ABCD 中，AD // BC , 中点，且AF 丄AB . A . 2 2 B . 点E 在BC 边上，AE=BE ,若 AD=2.7, AF=4, AB=6，贝U CE 的长为( 2 3 -1 C . 2.5F 是CD 的 ) 第7题图 第8题图如图， 中占 I 八、、， A . 35在直角梯形 ABCD 中，AB // CD , 且CD=CE ，贝U/ EAD 的度数为（ ° B . 45° C . 55° / ADC=90° / C=70°)D . 65°E 是BC 的9. 如图，AB// CD, E, F分别为AC, BD的中点.若AB=5, CD=3，贝U EF的长为____________ .第9题图第10题图10. 如图，在△ ABC中，/ B=2Z C,AD丄BC于点D,M为BC的中点.若AB=10cm,则DM的长为_____________ .11. 如图，在△ ABD 中，C 是BD 的中点，/ BAC=90° / CAD=45° 求证：AB=2AC.12. 如图，在四边形ABCD中，AD=BC, E, F分别是AB, CD的中点，AD, BC的延长线分别与EF的延长线交于点H，点G,则/ AHE ________ Z BGE.（填> , 二或< )【参考答案】课前预习②ASA , △ ADE, △ FCE③AD=FC④FC+BC=BF,/ F, 65°知识点睛1. （1）连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线（2）三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半2. （1）三线合一（2）直角三角形斜边中线等于斜边的一半（3）倍长中线（4）延长证全等（5）中位线精讲精练1. 20cm2. C3. 23°4. 305. D6. C7. D8. A9. 110. 5cm11. 证明略12. =E三角形中的中点（随堂测试）1. 如图，D是厶ABC内一点，BD丄CD, AD=6, BD=4, CD=3, E, F, G, H分别是AB, AC, CD, BD的中点，则四边形EFGH的周长为________________ :2. 如图，在Rt A ABC中，/ ACB=90° D是斜边AB的中点，DE丄AC于点E.若DE=2, CD=2亦，贝U BE的长为_____ .B3. 已知在Rt A ABC中，Q为斜边AB的中点，P是斜边AB上一动点（不与点A,Q, B重合），分别过点A, B向直线CP作垂线，垂足分别为E, F.若QE=3, 则QF的长为________ .【参考答案】1. 112. 423. 3三角形中的中点（习题）例题示范例1:如图，已知AB=12, AB丄BC于点B, AB丄AD于点A, AD=5, BC=10, E 是CD的中点，连接AE, BE,则BE的长为 ________ .思路分析：1. 平行夹中点，考虑延长AE得全等，则FC=AD=5.2. 在Rt A ABF 中，AB=12, BF=5，由勾股定理得，AF=13.1 133. 由直角+中点，得BE=丄AF=^-.2 2巩固练习1. 如图，在△ ABC中，AB=AC=9cm, AD丄BC, M为AD的中点，直线CM交AB于点E, F为CE的中点，连接DF，贝U DF的长为__________ .第1题图第2题图2. 如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E, F分别是AB, CD的中点.若AD=BC=8, EF=7.6,则厶PEF的周长为 ______________ .3. 如图，在△ ABC中，/ ACB=52° D, E分别是AB, AC的中点.若点F在线段DE 上，且/ AFC=90°,则/ FAE= _______ .第3题图第4题图4. 如图，在Rt A ABC中，/ ACB=90° D , E分别是AC, AB的中点.若DE=3, CE=5，贝U AC 的长为__________ .5. 如图，在△ ABC中，AD是中线，AE是角平分线，CF丄AE于点F，若AB=5, AC=3，贝U DF 的长为 _______ .6.如图，MN为过Rt△ ABC的直角顶点A的直线，且BD丄MN于点D , CE丄MN于点E, AB=AC, F为BC的中点，连接DF , EF.求证：DF=EF.7.如图，已知AD ABC的角平分线，ABvAC,在AC上截取CE=AB, M,N分别为BC, AE的中点.求证：/ DAN=Z MNC .思考小结我们已经学过一些常见的组合搭配及其对应的思考角度，请根据特征补全图形.直角相关的搭配和用法：（1）边：勾股定理（2）角：直角三角形两锐角互余（3）面积：直角边看成高（等面积结构）（4）固定结构和用法：①直角+中点（直角三角形斜边中线等于斜边的一半）②直角+特殊角（由特殊角构造直角三角形）③直角+角平分线（等腰三角形三线合一）④弦图结构中点相关的搭配和用法:(2)直角三角形斜边的中点，考虑直角三角形斜边中线等于斜边的一半(3) 三角形一边上的中点，考虑倍长中线(4) 平行夹中点，考虑延长证全等(5) 多个中点，考虑(或构造)中位线【参考答案】巩固练习1. 3cm2. 15.63. 64°4. 85. 16. 证明略7. 证明略1.1.2.2.3.3.几何最值问题（讲义）知识点睛解决几何最值问题的理论依据①两点之间，线段最短（已知两个定点）②垂线段最短（已知一个定点、一条定直线）③三角形三边关系（已知两边长固定或其和、差固定）解决几何最值问题的主要方法是__________ 通过变化过程中_______________ 的分析，利用_________ 、_______________ 手段把所求量进行转化，构造出符合几何最值问题理论依据的_____________ 而解决问题.几何最值问题基本结构分析①利用几何变换进行转化②利用图形性质进行转化精讲精练1. 如图，在Rt A ABC 中，/ C=90° / ABC=60° 点D在BC边上，且CD=1,将厶ABC沿直线AD翻折，点C恰好落在AB边上的点E处•若P是直线AD 上的动点，则△ PEB周长的最小值是_____________ .第1题图第2题图2. 如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（1，4）和（3，0），C是y轴上的一个动点，且A，B，C三点不在同一条直线上，当△ ABC的周长最小时，点C的坐标是（）A. （0，0）B. （0，1）C. （0，2）D. （0，3）3. 如图，/ AOB=60°点P在/ AOB的平分线上，OP=10cm, E，F分别是/ AOB的两边OA, OB上的动点，当△ PEF的周长最小时，点P到EF的距离是（）A. 10cmB. 5cmC. 10 3 cmD. 5、3 cm4. 如图1甲、乙两个单位分别位于一条封闭式街道的两旁，现准备合作修建 一座过街天桥(注意：天桥必须与街道垂直)•请按下面的要求作图.(1)桥建在何处才能使由甲到乙的路线最短？在图 1中完成.(2) 桥建在何处才能使甲、乙到桥的距离相等？在图2中完成.5. 如图，已知直线a // b ,且a 与b 之间的距离为4,点A 到直线a 的距离为2, 点B 到直线b 的距离为3, AB=2 30 .在直线a 上找一点M ，在直线b 上找点N ,满足 MN 丄a 且AM+MN+NB 的值最小，则此时 AM+NB=()第6题图 AB=4, BC=8, E 为CD 边的中点，若P , Q 为BC 边上的两个动点，且PQ=2，则当BP= ________ 时，四边形APQE 的周长 最小.C . 10D . 12 第5题图6.如图，在长方形 ABCD 中, 甲ab7.如图，两点A, B在直线MN的同侧，A到MN的距离AC=8, B到MN的距离BD=4, CD=4,点P在直线MN上运动，则PA — PB的最大值为8. 点A，B均在由面积为1的相同小长方形组成的网格的格点上，建立平面直角坐标系如图所示•若P是x轴上使得PA—PB的值最大的点，Q是y轴上使得QA+QB的值最小的点，贝U OP OQ=9. 如图，/ MON=90°长方形ABCD的顶点A，B分别在0M， ON上，当点B 在ON上运动时，点A随之在0M上运动，且长方形ABCD的形状和大小保持不变•若AB=2，BC=1，则在运动过程中，点D到点O的最大距离为( )A. 、2+1B. .5第9题图10. 如图，点P在第一象限，△ ABP是边长为2的等边三角形，当点A 在x轴的正半轴上运动时，点B随之在y轴的正半轴上运动，则在运动过程中，点P到原点的最大距离是_______ •【参考答案】知识点睛2. 转化，不变特征，几何变换、图形性质，基本结构精讲精练1. 1 、32. D3. B4. 略5. B6. 47. 4.28. 39. A10. V .3几何最值问题（随堂测试）2. 如图，在厶ABC 中，/ ACB=90° AC=2, BC=1,点A , C 分别在x 轴、y 轴上.当 点A 在x 轴上运动时，点C 随之在y 轴上运动，则在运动过程中，点 B 到原 点0的最大距离为 _____________ .【参考答案】1. (1, 0)，(-3, 0)2. 1x2 如图，在平面直角坐标系中，长方形 OACB 的顶点0在坐标原点，顶点A ，B分别在x 轴、y 轴的正半轴上，OA=3, OB=4. D 是OB 边的中点，E 是x 轴上的一个动点，当厶CDE 的周长最小时，点E 的坐标为 ;当| DC | 的值最大时，点 W E 的坐标为 1. B DCOE A ‘yi 第1题图几何最值问题（习题）例题示范例1:如图，已知/ AOB的大小为a, P是/ AOB内部的一个定点，且0P=2, E, F分别是OA, 0B边上的动点•若△ PEF周长的最小值为2,则a=（）A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°思路分析：1. 分析定点、动点.定点：P动点（定直线）：E （射线OA）, F （射线0B）和最小（周长最小）对称到异侧2. 根据不变特征分析判断属于轴对称最值问题，可调用轴对称最值问题的处理方式：作点P关于OA的对称点P',点P关于OB的对称点P','连接P'P','交OA于点E,交OB于点F，此时△ PEF的周长取得最小值.3. 设计算法.如图，由题意得OP=OP，=P P，=2，所以△ OP'P'是等边三角形，故a=30°.巩固练习1.如图，在平面直角坐标系xOy中，Rt A OAB的直角顶点A在x轴的正半轴上，顶点B的坐标为（3，.. 3），P为斜边OB上一动点•若点C的坐标为1（才，0），则PA+PC的最小值为（）A. B.』C . 3 19D. 2 72 2 22.如图，已知A，B两点在直线I的异侧，A到直线I的距离AM=4, B到直线l的距离BN=1,且MN=4.若点P在直线I上运动，则PA- PB的最大值为3 41B. 4153. 已知点A，B均在由面积为1的相同小长方形组成的网格的格点上，建立如图所示的平面直角坐标系，若P是x轴上使得PA+PB的值最小的点，Q是y 轴上使得|QA- QB|的值最大的点，贝U OP OQ= ___________ .4. 如图1, A , B 两个单位位于一条封闭街道的两旁(直线 l i , I 2分别是街道的两边)，现准备合作修建一座过街人行天桥.A■ l i 丨2 車B图图2(1) 天桥建在何处才能使由 A 经过天桥走到B 的路程最短？在图2中作出 此时桥PQ 的位置.(注：桥的宽度忽略不计，桥必须与街道垂直)(2) 根据图1中提供的数据计算由A 经过天桥走到B 的最短路程.(单位： 米)5. 如图，已知正方形ABCD 的边长为2,当点A 在x 轴上运动时，点D 随之在y 轴上运动，则在运动过程中，点 B 到原点0的最大距离为 ______________ .【参考答案】巩固练习1. B2. A3. 34. (1)略(2)由A 经过天桥走到B 的最短路程是85米5. 1 +、・ 51112。
八年级三角形中点有关的问题
三角形中点有关的问题[知识引领与方法]1、三角形的中位线①定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半。
②逆定理：在▲ABC 中，M 是 ABC 的边AB 的中点，过点M 作MN ∥BC ，交AC 于点N ，则点N 是边AC 的中点，且BC MN 21 。
2、直角三角形斜边上的中线直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
[例题精选及训练]类型一、见斜边，想中线例1、如图，在▲ABC 中，若∠B=2∠C ，AD ⊥BC ，E 为BC 边的中点。
求证：AB=2DE 。
【思路提示】取斜边AC 或AB 的中点，利用斜边中线性质和中位线性质。
例2、如图，在Rt ▲ABC 中，∠ACB=90°，点D 、E 分别是AB ，AC 的中点，点F 在BC 的延长线上，且∠CEF=∠A 。
求证：DE=CF 。
【思路提示】点D ，E 分别是直角三角形ABC 斜边和直角边的中点，利用斜边中线的性质和中位线解题。
【变式练习1】如图，在Rt ▲ABC 中，∠ACB=90°，M 是AB 的中点，E ，F 分别是AC ，BC 延长线上的点，且CE=CF=21AB ，则∠EMF 的度数为多少？【变式练习2】如图，在Rt▲ACB中，C为直角顶点，∠ABC=25°，O为斜边中点，将OA绕着点O逆时针旋转θ（0°＜θ＜180°）至OP，当▲BCP恰为轴对称图形时，θ的值为多少？类型二、见多个中点，想中位线例3、如图，已知▲ABC中，AB=AC，CE是AB边上的中线，延长AB到点D，使BD=AB，求证：CD=2CE。
例4、问题一：如图（1），在四边形ABCD中，AB=CD，E，F分别是BC，AD的中点，连接EF 并延长，分别与BA，CD的延长线交于点M，N。
求证：∠BME=∠CNE。
问题二：如图（2），在四边形ADBC中，AB与CD相交于点O，AB=CD，E，F分别是BC，AD的中点，连接EF，分别交DC，AB于点M，N，判断▲OMN的形状，请直接写出结论。
三角形中的中线与中点定理
三角形中的中线与中点定理三角形是数学中的基本图形之一，其具有丰富的性质和定理。
其中，中线与中点定理是描述三角形中线与中点之间关系的重要定理之一。
本文将详细介绍中线与中点定理的概念、性质以及其证明过程。
一、中线与中点定理的概念中线是指连接三角形两边中点和对应顶点的线段。
而中点则是指连接三角形两个顶点与对应边的中点的线段。
中线与中点定理主要研究三角形中纵深方向上的性质，其中包括三角形的重心定理、垂心定理等。
二、中线与中点定理的性质1. 中线的性质：- 三角形的三条中线交于一点，该点被称为三角形的重心。
- 三角形的重心到各顶点的距离相等，且重心到中点的距离是到顶点距离的二分之一。
- 三角形的重心将中线按照1:2的比例分割。
2. 中点的性质：- 三角形的三个顶点到对边中点的距离相等，且该距离是到对边两个顶点距离的二分之一。
三、中线与中点定理的证明要证明中线与中点定理，可以通过向量法、坐标法、几何法等多种方法进行证明。
以下以几何法证明为例。
首先，设三角形ABC的边BC的中点为D，边AC的中点为E，边AB的中点为F；三角形的重心为G。
则根据中线的定义可知，DF为三角形ABC的中线，并且AG为三角形ABC的重心。
证明重心定理：在三角形ABC中，连接BF和CE，交于点P。
则根据中线的性质可知，FP为中线DF的一半，EP为中线DE的一半。
又因为三角形ABC的重心G将中线按照1:2的比例分割，因此FP:PG=1:2。
同理可得EP:PG=1:2。
由于FP和EP分别与GB和GC重合，所以FP和EP实际上是GB和GC的延长线。
而FP:PG=1:2，EP:PG=1:2，根据比例的传递性可知，GB:GC=1:2。
同样地，可以证明GA:GB=1:2，GA:GC=1:2。
由此可得，GA:GB:GC=1:2:2，即GA:GB:GC=1:2:2，符合重心定义。
证明中点定理：在三角形ABC中，连接BF和CE，交于点P。
由于DF为三角形ABC的中线，根据中点的性质可知，BP为边AC的中点E到顶点B的距离的二分之一。
三角形中与中点相关的问题.ppt123
D F C
AC
B
A O E G H B
D F C
N
练习
1.如图，△ABC的三边长分别为AB＝14，BC＝16，AC＝26， P为∠A的平分线AD上的一点，且BP⊥AD，M为BC的中点。 求PM的长。 A 业 精 于 勤 ， 荒 于 嬉 。 韩 愈 P B D M C
2.如图，△ABC中，BC＞AC，点D在BC上，且DC＝AC， ∠ACB的平分线CF交AD于F，点E是AB的中点。 求证：EF∥BC。 A E B D F
——
对于图形中的中点问题，首先应分清是哪种图形中的中点，若是三角形中 告诉的中点，应从以下方面考虑：
1.若告诉Rt△斜边的中点，则联想到直角三角形斜边上的中线， 进而联想到用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解题。
2.若告诉等腰三角形底边上的中点，则联想到运用 等腰三角形三线合一 的性质 解题。 3.若条件告诉的中点既不是直角三角形斜边的中点，也不是等腰三角形 底边的中点，则联想到运用 三角形的中位线 解题
只 要 愿 意 学 习 ， 就 一 定 能 够 学 会 。 —— 列 宁
已知，如图，四边形ABCD中，AC、BD相交于点O， AC＝BD，E、F分别是AB、CD的中点，E、F分别交BD、 AC于G、H。求证：OG＝OH。 M A 证明：取AD的中点M,连接ME,MF O ∵点E,M分别为AB,AD的中点 E 1 G H ∴EM∥BD EM= 2 BD 同理MF∥AC MF= ∵AC=BD ∴ME=MF ∴∠MEF=∠MFE ∵ EM∥BD ∴ ∠MEF=∠OGH 同理∠MFE=∠OHG ∴ ∠OGH=∠OHG ∴ OG=OH
C
∴ PM=
同理 PN=
1
2
BC
三角形的中线和中点
三角形的中线和中点三角形是几何学中的基本形状之一，由三条线段组成。
中线是三角形内部连接各边中点的线段，而中点则是每条边上的中点。
本文将探讨三角形的中线和中点的性质以及它们在几何学中的应用。
一、三角形的中线和中点的性质1. 三角形的中点：在三角形的每条边上，都存在一个点，该点与端点的距离相等，且将边平分为两个等长的部分，这个点被称为三角形的中点。
2. 三角形的中线：连接三角形的一个顶点和对立边的中点所组成的线段是三角形的中线。
3. 中点与中线的关系：在三角形中，三条中线的交点即为三角形三条中线的公共交点，被称为三角形的重心。
三角形的重心，也就是三条中线的交点，被所有中线所分成的线段比例为2:1。
二、三角形中线和中点的应用1. 证明三角形的一些性质：通过使用三角形的中点和中线的性质，可以证明三角形具有一些重要的性质。
例如，证明三角形的中线长相等、平行或垂直于其他线段等。
2. 确定三角形的位置：利用三角形的中点和中线，可以帮助确定三角形的位置。
如果三角形的中点之间重合，那么这个三角形就是等边三角形；如果三角形的两条中线垂直且长度相等，那么这个三角形就是等腰直角三角形。
3. 解决相关问题：在几何学中，使用三角形的中线和中点可以解决一些有关面积、周长、角度等相关的问题。
例如，可以利用三角形中线的性质，通过计算中线的长度来求解三角形的面积。
三、三角形中线和中点的几何公式1. 三角形中线长的计算公式：在一个三角形ABC中，三条中线的长度分别为m，n和p，则有以下公式：m = 1/2 * sqrt(2 * (b^2 + c^2) - a^2)n = 1/2 * sqrt(2 * (a^2 + c^2) - b^2)p = 1/2 * sqrt(2 * (a^2 + b^2) - c^2)其中a、b、c分别为三角形的三边长。
2. 三角形中线长比例公式：在一个三角形ABC中，三个顶点分别为A、B、C，三条中线的长度分别为m，n和p，则有以下比例： m : n : p = |BC| : |AC| : |AB| = a : b : c其中a、b、c分别为三角形的三边长。
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三角形中的中点问题例1：如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，AD又是BC边上的中线，求证：AB=AC.
例2：如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=12，点D是BC中点，DE
⊥AC于点E，则DE等于（）
A、
5
12
B、
5
18
C、
5
24
D、
5
32
例3.如图，在△ABC中，BD、CE为高，M是DE的中点，N是BC的中点，求证:MN⊥DE.
例4：如图，在四边形ABCD中，AD=BC,M、N分别是AB、CD的中点，延长AD、
BC与MN的延长线分别交于E、F。
求证：∠AEC=∠BFM.
分析：待证的两个角∠ANE、∠BFM的位置“参差不齐”，势必要换成等角进行过滤，
本题中虽有中点条件，但明显没有等腰三角形、直角三角形，因此考虑利用三角形中位线定
理来解决问题。
三角形中有关“中点问题”是几何中最常见的重要问题之一，而有关中点的定理散见于
各章节。
讲评：一见到三角形一边c（即AB边）上的中线，就应该想到，可以试试将该中线延
长一倍，这样就把原先成叉状的三条线段（有共同端点的两条边a（即BC边）），b（即
CA边）和中线m（即CD边）整合到一个三角形中（在该三角形中，原中线以两倍的
形式出现），由此可得出一些结论：
讲评：由于等腰三角形具有顶角平分线、底边上的中线及底边上的高线三线合一的性质，
因此若是题目给了等腰三角形底边中点的条件，通常情况下应该作出底边上的中线，那
么它不仅是底边上的中线，而且是底边上的高，，顶角平分线，这样就能把等腰三角形转
化为两个全等的直角三角形。
讲评：如果题目中有直角三角形斜边中点的条件，那么最好的最好的辅助线是作出斜边上的中线。
分析：在△ABC中，AD是∠BAD=∠CAD,AD=AD,BD=CD三个条件，但不能直接推出
△ABD和△ACD全等，注意到点D是BC的中点，即AD是△ABC的中线，可尝试常
用的辅助线添设——“中线倍长”。
分析：可以先引导学生观察：有几个直角三角形？然后容易看出N是某两个直角三角形
公共斜边的中点。
例5：如图，在△ABC中，D是BC中点，DE⊥DF，求证：BE+CF>EF.
例6：如图，在等腰三角形ABCD中，CD∥AB,对角线AC、BD相交于点O,∠ACD=60°，点S、P、Q分别是DO、AO、BC的中点，求证：△SPQ是等边三角形。
练习：
1.如图，在△ABC 中，AD 是三角形的高，点D 是垂足，点E 、F 、G 分别是BC 、AB 、AC 的中点，求证：四边形EFGD 是等腰三角形。
2.如图，在△ABC 中，AD 是三角形BC 边上的中线，求证：2
AC AB AD +<. 3.如图，在△ABC 中，AD 是三角形的高，∠B=2∠C,E 为BC 的中点，求证：DE=
21AB. 4.如图，以△ABC 的ABAC 为斜边向形外作Rt △ABE 和Rt △ACF ，且使∠ABE=∠ACF,点D 是BC 的中点，求证：
DE=DF.
6.如图，以△ABC 中，点D 、E 分别是BC 的三等分点，求证：AB+AC>AD+AE.
6.如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC,点E 是CD 的中点，连结AE 、BE 。
求证:ABCD ABE S S 四边形21=∆.。