解三角形在生活中的应用
C
B
sin C
a b c c sin A sin B
c
c sin C
所以
a b c sin A sin B sin C
可是在斜三角形中是否成立的问题，在高一 的学习中已经证明也是成立的。
4
实际测量的几个例子
问题1：测量书柜的高度
模型转化
H
α β
a
5
为了避免测量误差，我们采取了多次测量求平均 值的方法
16
第一次 第二次 第三次
此时由于仪器原因，误差较大但在我们的估计范围内。
12
实际测量的几个例子
问题3：测量小河对岸两点间长度
13
模型简化：
D
C
β1 A
α1 α2
β2 B
由于河岸不能保证完全平行，所以我们计算出来 的还是有一定的误差。我们模拟了测河岸的过程.
14
Sm，
在实际测量中，我们测量了门宽和走廊宽度，其原理与测量小河宽 度相同，数据如下：
测量数据如下：原理与测柜子高度相同
次数 项目 基高 1 边长a 100
长度单位：厘米（cm) 角 52.5 角 50.5
角度单位：度（） 计算高度 系统修偏 测算高度 误差估计 1754.1 17.5 1771.6 17.5
基高 2
100
50.5
48.6
1745.7
17.5
1763.2
17.5
2
二、测角仪的工作原理
经过组员的讨论和老师的建议，此次课题的中 心内容为通过制作一个简易测角仪把上述应用 和原理转变为研究和实践。模型如下：；
测角仪的简易图示
3
初中时我们学过解直角三角形。如图 在直角三角形中 A a b sin sin B sin C 1 c c 即 c c
误差 估计 1.0 3.7
所以：使用我们的测角仪实际上还可以测量水平物体的长度， 实际上，这种测量方法还可以测量AB、CD间的距离，比如在河的一边， 测河的宽度。
15
1、我们设计的测角仪虽然不成熟，但我们自认为在 短距离的测量中它比光学测角仪有一定的优势，而 且通过对测角仪的设计与制做，体会了制做的乐趣。 做任何事不能等待，必须动手实践，当你使用你自 制工具工作时，工作变成了乐趣。 2、我们在实验中体会了测角仪的应用方法，结合角 三角形的数学知识，我们学会了用测角仪测量高度， 水平长度、水平宽度这三类问题，深刻体会了我们 的先辈仅用尺与测角仪进行地质测绘的过程，而且 深入理解了三角函数知识在实际生活中的作用。
问题2：测量楼房的高度
8
模型转化：
l
k
47.7 48.6
52.5
50.5
X1100cmX2 100cm X3 50cmX4
我们取了三组数据来计算高度。
9
次数 项目 1 边长a 角
长度单位：厘米（cm) 角度单位：度（） 角 角 角 计算高度 系统修偏 测算高度 误差估计
2
10
基高 3
50
48.6
47.7
1766.1
17.7
1783.7
17.7
11
数据比较，如下
1768.104 1764.64 1761.176 1757.712 1754.248 1750.784 1747.32 1743.856 1740.392 1736.928 1733.464 1730 计算高度 实际高度
次数 项目 基高 1 边长a 57 长度单位：厘米（cm) 角 81.0 角 65.1 角度单位：度（ ） 计算高度 系统修偏 测算高度 误差估计 186.4 1.9 188.3 1.9
基高 2
57
81.1
65.2
186.6
1.9
188.5
1.9
基高 3
57
80.9
65.0
186.2
1.9
188.1
解三角形在生活中 的应用
1
一、解三角形在生活中的用途
在勘探、测量等技术中，解三角形是一种极 为普遍的应用工具，可以避免很多误差较大 或技术难度大的测量。例如：测山的高度时， 若从山顶钻个洞一直钻到水平面，再用刻度 尺去量洞的长度这显然是不合理的。而用解 三角形就可快速准确地计算出山的高度。如 果你认为这对中学生来说有点不太现实，还 可以通过解三角形解决许多平时的问题，假 如你只有一把刻度尺，你如何测出教室的高 度或者自己的身高？这还得求助解三角形。
水平长度测量计算器
项目 门宽 走廊 宽
边长a 259 150.5
角 41.9 64.5
角 43.1 61.5
角 1 63 105
角 66. 5 97. 1
BD 240. 2 622. 7
BC 182. 3 430. 3
计算 长度S 102.7 370.4
系统 修偏 1.0 3.7
测算 高度 103. 8 374. 1
1.9
公式 H=
X sin a sin b 188.8 188.5 188.6 188.4 188.3 188.2 188 188 188.1 187.8 187.6 187.4 187.2 187
第一次 第二次 第三次
7
实际测量的几个例子
解三角形应用举例
1.2│ 新课感知 新课感知
在日常生活和工农业生产中，为了达到某种目的，常常 想测得一个点与另一个不可到达的点间的距离或在远处的 两个物体之间的距离，这样的想法能实现吗？如何实现呢？
测量距离的问题
例1、设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离。 测量者在A的同测，在所在的河岸边选定一点C，测出 75 ， C 60 AC的距离是55cm， A＝ ＝ ，求A、B 6 2.449 ). 两点间的距离(精确到0.1m ，
10 A
50 40
B
BC 28
∴我舰的追击速度为14n mile/h
又在△ABC中由正弦定理得：
AC BC sin B sin A
即 B=38.2° 故我舰行的方向为北偏东
AC sin A 5 3 故 sin B BC 14
50°- 38.2°=11.8°
课堂小结 1、本节课通过举例说明了解斜三角形在实际中的一些应用。 掌握利用正弦定理及余弦定理解任意三角形的方法。 2、在分析问题解决问题的过程中关键要分析题意，分清已知 与所求，根据题意画出示意图，并正确运用正弦定理和余 弦定理解题。 3、在解实际问题的过程中，贯穿了数学建模的思想，其流程 图可表示为： 实际问题
15 45
解：在⊿ABC中， ∠A=15°, ∠C=45°-15°=30°. 根据正弦定理，
15 45
BC AB sin A sin C
AB sin A 5sin15 5( 6 2) BC 2.5875(km). sቤተ መጻሕፍቲ ባይዱn C sin 30 2
CD=BC×tan∠DBC=BC×tan15°≈693(m) 答：山的高度约为693米。
28 cos30 sin 60 sin(60 30 ) 42( m)
解三角形的实际应用举例
AB sin CAB 15 sin15 BC sin120 sin ACB
6 2 sin15 4
5 6 BC ( 3 1) 4.48(海里) 2
(1)解决实际应用问题的关键思想方法是把实际问题转化为 数学问题，即数学建模思想。 (2)解决实际应用问题的步骤
(1)设A到P的距离为xkm,用x表示B,C到P的距离,并求x的值;
(2)求静止目标P到海防警戒线a的距离(结果精确到0.01km).
a
P B C
D A
分析
(1)PA,PB,PC长度之间的关系可以通过收到信号的先后时
间建立起来. (2)作PD⊥a,垂足为D,要求PD的长,只需要求出PA的长和cos∠APD, 即cos∠PAB的值.由题意,PA-PB,PC-PB都是定值,因此,只需分别在 △PAB和△PAC中,求出cos∠PAB, cos∠PAC的表达式,建立方程即 可.
=3.571 ∴BC≈1.89(m)． 答：顶杆BC约长1.89m．
例2.如图，两点C，D与烟囱底部在同一水平直线上,在点C1，D1利
用高1.5m的测角仪器, 测得烟囱的仰角分别是 ＝450和 ＝600, ＣＤ间的距离是12m.求烟囱的高AB (结果精确到0.01m). B
C1 C
D1 D
(18 2 6)(m)
从而 A1 B 因此
2 BC1 18 3 19.732(m) 2 AB A1B AA1 19.732 1.5 21.23(m)
例3：如图是曲柄连杆机构的示意图,当曲柄CB绕点C旋转时,通
过连杆AB的传递,活塞作直线往复运动.当曲柄在CB0位置时,曲 柄和连杆成一条直线,连杆的端点A在A处.设连杆AB长为l mm,曲 柄CB长为r mm,l>r. (1)当曲柄自CB0按顺时针方向旋转角为θ时,其中0O≤θ<360O, 求活塞移动的距离(即连杆的端点A移动的距离A0A); (2)当l =340mm, r =85mm,θ=80O时,求A0A的长(结果精确到1mm).
解三角形的实际应用
• 2.某港口O要将一件重要物品用小艇送到一 艘正在航行的轮船上.在小艇出发时,轮船位 于港口O北偏西30°且与该港口相距20 海 里的A处,并以30 海里/小时的航速沿正东方 向匀速行驶,假设该小艇沿直线方向以v 海 里/小时的航速匀速行驶，经过t 小时与轮船 相遇。 • （1）若希望相遇时小艇的航行距离最小， 则小艇航速的大小应为多少？ • （2）假设小艇的最高航速只能达到30 海里 /小时，试设计航行方案（即确定航速与航 向），使得小艇能以最短时间与轮船相遇， 并说明理由。
26 ）且与点A相 26
（1）求该船的航速； （2）若该船不改变航向继续行驶，判断它是否 会进入警戒水域，并说明理由。
• 3.在一个特定时段内,以点E为中心的7 海里以内 海域被设为警戒水域,点E正北55 海里处有一个雷 达观测站A,某时刻测得一艘匀速直线航行的船位 于点A北偏东45°且与点A相距40 2 海里的位置B, 经过40分钟又测得该船已行驶到点A北偏东45°
＋θ(其中0°<θ<90°,sinθ= 距10 13 海里的位置C。
解三角形在实际生活中的应用
第3节 解三角形在实际生活中的应用
1、 小红为了测量某一树身的高度，他站在A 处看树梢，测得此时的仰角为45°，前进200m
到达B 处，测得此时的仰角为60°，小红身高1.8m,试计算树身的高度是多少米？
2、 为了测量河对岸A 、B 两点的距离，在河的这边测出CD 的长为2
3km ,∠ADB=∠CDB=30°，∠ACD=60°，∠ACB=45°，求A ，B 两点间的距离。
3、(2009宁夏、海南)为了测量两山顶M ，N 间的距离，飞机沿水平方向A ，B 两点进行测量。
A ，B ，M ，N 在同一铅垂平面内（如图）飞机能够测量的数据有俯角和A ，B 间的距离。
请设计一个方案。
包括：（1）指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出）（2）用文字和公式写出计算M ，N 间的距离的步骤。
4、已知海岛A 四周8海里内有暗礁。
今有一货轮由西向东航行，望见岛A 在北偏东75°，航行202海里后，望见此岛在北偏东30°。
如果货轮不改变航向继续前进，有无触礁的危险？
5、甲船在A 处发现乙船在方位角45°与A 相距10海里的C 处正以20海里/小时的速度向南偏东75°方向航行。
已知甲船的速度是203海里/小时，问：甲船沿什么方向航行，需多长时间才能与已船相遇？。
解三角形的实际应用举例(补充)
12 sin 120 sin15
(18 2 6)(m)
从而
A1B
2 2
BC1
18
3 19.732(m)
因此 AB A1B AA1 19.732 1.5 21.23(m)
(1)解决实际应用问题的关键思想方法是把实际问题转化为 数学问题，即数学建模思想。
(2)解决实际应用问题的步骤
实际问题
分析转化
检 验
数学问题（画出图形）
数学结论
解三角形问题
分析
C
1.40m
600
A
6020 1.95m
D B
已知ABC的两边AB 1.95, AC 1.40, 夹角A 66020,求第三边的长.
C
1.40m
解：由余弦定理，得
600
A
6020 1.95m
D B
BC2= AB2+AC2-2AB·ACcosA
1.952 1.402 2 1.951.40cos66020
1112.12m m
60
45 C1 D1 C 12m D
1.5m
B
求A1B
A1
A
1.5m
解 在△BC1D1中, ∠BD1C1=180O -60O=120O, ∠C1BD1=60O 45O=15O,由正弦定理,得
C1D1 BC1 sin C1BD1 sin BD1C1
BC1
C1D1 sin BD1C1 sin C1BD1
=3.571 ∴BC≈1.89(m)．
答：顶杆BC约长1.89m．
例3.如图，两点C，D与烟囱底部在同一水平直线上,在点C1，D1利 用高1.5m的测角仪器, 测得烟囱的仰角分别是 ＝450和 ＝600,
解直角三角形的应用(19张ppt)课件
选择合适的解法
根据实际情况选择合适的解法，如近似计算、 精确计算等。
注意单位统一
在实际应用中，要注意单位统一，避免计算 错误。
考虑多解情况
在某些情况下，解直角三角形可能存在多个 解，需要全面考虑。
06
练习与巩固
基础练习题
总结词
掌握基本概念和公式
直角三角形中的角度和边长关系
理解直角三角形中锐角、直角和钝角之间 的关系，以及边长与角度之间的勾股定理 。
利用三角函数定义求解
总结词
通过已知角度和邻边长度，求对边或 斜边长度。
详细描述
根据三角函数定义，已知一个锐角和它 所对的边，可以通过三角函数求出其他 两边。例如，已知∠A=30°和a=1，可 以通过三角函数sin(30°)求出对边b。
利用勾股定理求解
总结词
通过已知两边的长度，求第三边长度。
详细描述
向。
确定建筑物的角度
在建筑设计中，通过解直角三角形， 可以确定建筑物的角度和方向。
确定建筑物的长度
在建筑设计中，通过解直角三角形， 可以确定建筑物的长度和方向。
物理问题中的运用
确定物体的运动轨迹
在物理问题中，通过解直角三角形，可以确定物体的运动轨 迹和方向。
确定物体的受力情况
在物理问题中，通过解直角三角形，可以确定物体的受力情 况和方向。
04
实际应用案例
测高问题
01
02
03
测量山的高度
通过测量山脚和山顶的仰 角，利用解直角三角形的 知识，可以计算出山的高 度。
测量楼的高度
利用解直角三角形的知识， 通过测量楼底和楼顶的仰 角，可以计算出楼的高度。
测量树的高度
通过测量树底部和树顶部 的仰角，利用解直角三角 形的知识，可以计算出树 的高度。
解直角三角形在实际生活中应用
解直角三角形在实际生活中应用直角三角形是一种特殊的三角形，其中一个角为90度，另外两个角则是锐角或钝角。
直角三角形的重要性在于它具有很多实际应用价值。
本文将介绍一些直角三角形在实际生活中的应用。
一、测量高度和距离直角三角形的一条腿可以用作测量高度或距离的工具。
通过测量一个物体的顶部和底部的距离，同时测量观察点到底座的距离，我们可以利用直角三角形的性质计算出物体的高度。
例如，在建筑工地上，工人可以使用测量工具和直角三角形的原理来测量建筑物的高度。
二、解决倾斜和斜率问题直角三角形可以帮助我们解决倾斜和斜率问题。
在地质学和土木工程中，我们经常需要测量地面的倾斜度和斜率。
直角三角形可以帮助我们测量坡度的比例。
通过测量斜坡上某一段的水平距离和相应的垂直距离，我们可以计算出斜坡的斜率。
三、计算不可测量的距离在某些情况下，两个点之间的距离无法直接测量，例如跨越湖泊或河流的距离。
然而，利用直角三角形的性质，我们可以使用三角函数计算出这种不可测量距离。
通过观察两个点之间的角度和某一点到这两个点之间的距离，我们可以使用正切函数计算出这个不可测量的距离。
四、导航和定位直角三角形在导航和定位中也有广泛的应用。
例如，航海员可以使用天文观测和直角三角形的性质来确定船只的位置。
通过测量星体和地平线之间的角度，同时知道船只和地平线之间的距离，我们可以利用正弦和余弦函数计算出船只的位置。
五、解决工程问题在工程领域中，直角三角形常常用于解决一些复杂问题。
例如，自然灾害生态学家可以使用直角三角形的概念来设计保护森林免受火灾侵蚀。
通过构建直角三角形网格，他们可以最大程度地减少火势蔓延的可能性，保护森林资源。
六、解决影子和光线问题在摄影和照明设计领域，直角三角形可以帮助我们解决影子和光线的问题。
通过观察物体和光源之间的角度，并结合直角三角形的性质，我们可以计算出物体产生的影子的长度。
这对于照明设计师来说非常重要，以确保正确照亮目标物体。
解直角三角形在实际生活中的应用
解直角三角形在实际生活中的应用山东 李浩明在现实生活中, 有许多和解直角三角形有关的实际问题，如航海航空、建桥修路、测量技术、图案设计等，解决这类问题其关键是把具体问题抽象成“直角三角形”模型，利用直角三角形的边角关系以及勾股定理来解决.下面举例说明，供大家参考．一、航空问题例1．（2008年桂林市）汶川地震后，抢险队派一架直升飞机去A 、B 两个村庄抢险，飞机在距地面450米上空的P 点，测得A 村的俯角为30︒，B 村的俯角为60︒（如图1）．求A 、B1.414 1.732==）分析:要求A 、B 两个村庄间的距离,由题意知AB =PB ，在Rt △PBC 中,可求得60PBC ∠=︒，又因为PC =450，所以可通过解直角三角形求得PB.解：根据题意得：30A ∠=︒，60PBC ∠=︒，所以6030APB ∠=︒-︒，所以A P B A ∠=∠，所以AB =PB .在Rt BCP ∆中，90,60C PBC ∠=︒∠=︒，PC =450，所以PB=450sin 60==︒.所以520AB PB ==≈(米) 答：A 、B 两个村庄间的距离为520米． 二、测量问题例2.（2008年湛江市）如图2所示，课外活动中，小明在离旗杆AB 10米的C 处，QB CP A 45060︒30︒图1用测角仪测得旗杆顶部A 的仰角为40︒，已知测角仪器的高CD =1.5米，求旗杆AB 的高(精确到0.1米) ．分析:要求AB 的高,由题意知可知CD=BE ,先在Rt △ADE 中求出AE 的长,再利用AB=BE +AE 求出AB 的长.解：在Rt △ADE 中，tan ∠ADE =DEAE. ∵DE =10，∠ADE =40︒.∴AE =DE tan ∠ADE =10tan 40︒≈100.84⨯=8.4. ∴AB =AE +EB =AE +DC =8.4 1.59.9+=.答：旗杆AB 的高为9.9米． 三、建桥问题例4.（2008年河南）如图所示，A 、B 两地之间有一条河，原来从A 地到B 地需要经过DC ，沿折线A →D →C →B 到达，现在新建了桥EF ，可直接沿直线AB 从A 地到达B 地．一直BC =11km ，∠A =45°，∠B =37°．桥DC 和AB 平行，则现在从A 地到达B 地可比原来少走多少路程？（结果精确到0.1km ．参考数据： 1.412≈，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80）. 分析:要求现在比原来少走多少路程，就需要计算两条路线路程之差，如图构造平行四边形DCBG ，将两条路线路程之差转化为AD DG AG +-，作高线DH ,将△ADG 转化为两个直角三角形，先在在Rt DGH △中求DH 、GH ，再在Rt ADH △中求AD 、AH,此题即可得解.解：如图，过点D 作DH AB ⊥于H ，DG CB ∥交AB 于G ．DC AB ∥，∴四边形DCBG 为平行四边形．∴DC GB =，11GD BC ==．∴两条路线路程之差为AD DG AG +-． 在Rt DGH △中，sin37110.60 6.60DH DG =⋅≈⨯=， cos37110.808.80GH DG =⋅⨯≈≈．在Rt ADH △中，1.41 6.609.31AD =⨯≈≈．6.60AH DH =≈．∴(9.3111)(6.608.80)AD DG AG +-=+-+≈即现在从A 地到B 地可比原来少走约4.9km ． 四、图案设计问题例4.（2008年上海市）“创意设计”公司员工小王不慎将墨水泼在一张设计图纸上，导致其中部分图形和数据看不清楚（如图4所示）．已知图纸上的图形是某建筑物横断面的示意图，它是以圆O 的半径OC 所在的直线为对称轴的轴对称图形，A 是OD 与圆O 的交点．由于图纸中圆O 的半径r 的值已看不清楚，根据上述信息（图纸中1:0.75i =是坡面CE 的坡度），求r 的值．分析:要求圆O 的半径r 的值，需在直角三角形ODH 中来解决,而已知的条件太少，需要先在直角三角形CEH 中，根据条件5CE =、坡面CE 的坡度1:0.75i =求出EH 、CH ，然后在直角三角形ODH 中利用勾股定理列出方程，从而求出r 的值．解：由已知OCDE ⊥，垂足为点H ，则90CHE ∠=．图41:0.75i =，43CH EH ∴=． 在Rt HEC △中，222EH CH EC +=．设4CH k =，3(0)EH k k =>，又5CE =，得222(3)(4)5k k +=，解得1k =．∴3EH =，4CH =．∴7DH DE EH =+=，7OD OA AD r =+=+，4OH OC CH r =+=+． 在Rt ODH △中，222OH DH OD +=，∴222(4)7(7)r r ++=+． 解得83r =．航海中的安全问题船只在海上航行，特别要注意安全问题，这就需要运用数学知识进行有关的计算，以确保船只航行的安全性.请看下面两例.例1 （深圳市）如图1，某货船以24海里／时的速度将一批重要物资从A 处运往正东方向的M 处，在点A 处测得某岛C 在北偏东60的方向上．该货船航行30分钟后到达B 处，此时再测得该岛在北偏东30的方向上，已知在C 岛周围9海里的区域内有暗礁．若继续向正东方向航行，该货船有无触礁危险？试说明理由．分析：问题的关键是弄清方位角的概念，过点C 作CD ⊥AB 于D ，然后通过解直角三角形求出CD 的长，通过列方程解决几何问题也是一种常用方法.解：由已知，得AB=24×21=12，∠CAB=90°-60°=30°，∠CBD=90°-30°=60°，所以∠C=30°，所以∠C=∠CAB ，所以CB=AB=12.在Rt △CBD 中，sin ∠CBD=CB CD ，所以CD=CB ·sin ∠CBD=12×3623=.∵936> 所以货船继续向正东方向行驶无触礁危险．例2 如图2，一艘渔船在A 处观测到东北方向有一小岛C ，已知小岛C 周围4.8海里范围内是水产养殖场.渔船沿北偏东30°方向航行10海里到达B 处，在B 处测得小岛C 在北偏东60°方向上，这时渔船改变航线向正东（即BD ）方向航行，这艘渔船是否有进入养殖场的危险？分析：先将实际问题转化为解直角三角形的问题.可有如下两种方法求解. 解法一：如图3，过点B 作BM ⊥AH 于M ，则BM//AF.所以∠ABM=∠BAF=30°. 在Rt △BAM 中，AM=21AB=5，BM=35. 过点C 作CN ⊥AH 于点N ，交BD 于K. 在Rt △BCK 中，∠CBK=90°-60°=30°. 设CK=x ，则BK=3x.在Rt △CAN 中，因为∠CAN=90°-45°=45°，所以AN=NC.所以AM+MN=CK+KN. 又NM=BK ，BM=KN ，所以x+35=5+3x.解得x=5. 因为5>4.8，所以渔船没有进入养殖场的危险.解法二：如图4，过点C 作CE ⊥BD 于E.所以CE//GB//FA. 所以∠BCE=∠GBC=60°，∠BCA=∠FAC=45°. 所以∠BCA=∠BCE-∠ACE=60°-45°=15°. 又∠BAC=∠FAC-∠FAB=45°-30°=15°，D图2图3图4所以∠BCA=∠BAC.所以BC=AB=10.在Rt △BCE 中，CE=BC ·cos ∠BCE=BC ·cos60°=10×21=5. 也5>4.8，所以渔船没有进入养殖场的危险.实际中的仰角和俯角问题在进行测量时，从下向上看,视线与水平线的夹角叫做仰角;从上往下看,视线与水平线的夹角叫做俯角.计算原理:视线、水平线、物体的高构成直角三角形，已知仰角、俯角和另一边，利用解直角的知识就可以求出物体的高度.梳理总结：⑴仰角和俯角是指视线相对于水平线而言的，不同位置的仰角和俯角是不同的；可巧记为“上仰下俯”.在测量物体的高度时，要善于将实际问题抽象为数学问题.⑵在测量山的高度时，要用“化曲为直”的原则把曲的山坡“化整为零地分成一些小段，把每一小段山坡长近似地看作直的，测出仰角求出每一小段山坡对应的高，再把每部分高加起来，就得到这座山的高度.例1 (成都)如图2，甲、乙两栋高楼的水平距离BD 为90米，从甲楼顶部C 点测得乙楼顶部A 点的仰角α为30︒，测得乙楼底部B 点的俯角β为60︒，求甲乙两栋高楼各有多高？(计算过程和结果都不取近似值.分析:过点C 作CE ⊥AB 于点E, 在Rt △BCE 和Rt △ACE 中, BE 和AE 可用含CE(即为水平距离)的式子表示出来,从而求得两楼的高.解:作CE ⊥AB 于点E,∵CE ∥DB,CD ∥AB,且∠CDB=090,∴四边形BECD 是矩形. ∴CD=BE,CE=BD.图 1 E图2在Rt △BCE 中, ∠β=060,CE=BD=90米. ∵,tan CEBE=β∴BE=CE 39060tan 90tan 0=⨯=⋅β(米). ∴CD=BE=390(米).在Rt △ACE 中, ∠α=030,CE=90米. ∵ ,tan CEAE=α∴AE=CE 330339030tan 90tan 0=⨯=⨯=⋅α(米). ∴AB=AE+BE=3120390330=+(米). 答:甲楼高为390米,乙楼高为3120米.反思:仰角和俯角问题是解直角三角形中的常见题型,作辅助线构造直角三角形(一般同时得到两个直角三角形)并解之是解决这类问题的常用方法.例2 （乐山）如图3，小山上有一棵树．现有测角仪和皮尺两种测量工具，请你设计一种测量方案，在山脚水平地面上测出小树顶端A 到水平地面的距离AB ．要求：⑴画出测量示意图；⑵写出测量步骤（测量数据用字母表示）； ⑶根据（2）中的数据计算AB ．分析：要测量底步不能到达的物体的高度,要转化为双直角三角形问题,测量方案如图2,计算的关键是求 AE,可设AE=x,则在Rt △AGF 和 Rt △AEF 中, 利用三角函数可得αtan x HE =,βtan x EF = ,再根据HE-FE=CD=m 建立方程即可. 解：（1）测量图案（示意图）如图4所示（2）测量步骤：第一步：在地面上选择点C 安装测角仪，测得此时树尖A 的仰角AHE α=∠;第二步：沿CB 前进到点D ，用皮尺量出C D ，之间的距离CD m =;AB图3AE F H CDB图4第三步：在点D 安装测角仪，测得此时树尖A 的仰角AFE β=∠; 第四步：用皮尺测出测角仪的高h . （3）计算： 令AE=x,则,tan HE x =α得αtan x HE =,又,tan EF x =β得βtan xEF =, ∵HE-FE=HF=CD=m, ∴,tan tan m xx =-βα 解得αββαtan tan tan tan -⋅=m x ，∴AB=.tan tan tan tan h m +-⋅αββα反思：在多个直角三角形中一定要认真分析各条线段之间的关系(包括三角函数关系、相等关系),运用方程求解,有时可起到事半功倍之效.快乐套餐:1.(泰安)如图5，一游人由山脚A 沿坡角为30的山坡AB 行走600m ，到达一个景点B ，再由B 沿山坡BC 行走200m 到达山顶C ，若在山顶C 处观测到景点B 的俯角为45，则山高CD 等于 （结果用根号表示）2.(安徽)如图6，某幢大楼顶部有一块广告牌CD ，甲乙两人分别在相距8米的A 、B 两处测得D 点和C 点的仰角分别为45°°和60°，且A 、B 、E 三点在一条直线上，若BE=15米，求这块广告牌的高度．(1.73，计算结果保留整数)ABCD图5第19题图EDCB A450600图6参考答案:1. (300 .2. ∵AB＝8，BE＝15，∴AE＝23，在Rt△AED中，∠DAE＝45°,∴DE＝AE＝23.在Rt△BEC中，∠CBE＝60°,∴CE＝BE·tan60°＝CD＝CE－DE＝23≈2.95≈3.即这块广告牌的高度约为3米.。
解三角形实际应用研究报告
解三角形实际应用研究报告研究报告：三角形的实际应用引言：三角形作为几何学中的一个基本形状，在现实世界中有着广泛的应用。
本研究报告将通过对三角形实际应用的研究，分析三角形在建筑、地理、计算机图形学等领域中的具体应用，并讨论这些应用对具体问题的解决所产生的影响。
一、三角形在建筑中的应用建筑设计中常常需要考虑到不同形状的房间、建筑物的结构强度以及材料使用等问题，而三角形在这些问题中有着广泛应用。
例如，通过对三角形的计算和测量可以确保建筑物结构的稳定性和坚固性，并减少材料的浪费。
此外，三角形也可以用来设计建筑物中的窗户、门框等部分，使其更加美观和舒适。
二、三角形在地理中的应用地理学中的测量和定位问题也经常使用到三角形。
通过测量两个已知角度和一个已知边长的三角形，可以计算出其他未知边长和角度的值。
这种方法被广泛应用于地球的测量和地图制作中。
同时，三角形的应用还可以帮助确定地球上不同地点之间的距离、方向和高度差等重要信息。
三、三角形在计算机图形学中的应用计算机图形学中的渲染和模拟技术也离不开三角形的应用。
由于三角形是最简单的几何形状，计算机可以更容易地对其进行运算和处理。
在计算机图形学中，使用三角形构成的多边形来模拟复杂的物体表面，可以实现更加逼真的图像效果。
同时，通过对三角形的变形和变换，可以实现物体的动画效果和模拟物理效应。
结论：综上所述，三角形作为几何学中的基本形状，在实际应用中有着广泛的应用。
在建筑、地理、计算机图形学等领域中，三角形的应用可以帮助解决各种与形状、结构、测量和模拟相关的问题。
因此，深入研究三角形的实际应用，对于相关领域的发展和问题解决具有重要意义。
解三角形在现实生活中的应用——正、余弦定理
解三角形在现实生活中的应用——正、余弦定理解三角形在现实生活中的应用——正、余弦定理一、引言在数学领域中，三角形是一个非常重要的图形。
它不仅有着丰富的理论内涵，更有着广泛的实际应用。
本文将重点探讨三角形中的正、余弦定理在现实生活中的应用。
正、余弦定理是三角形中的重要定理，它们不仅是解决三角形问题的基础，更是许多实际问题的关键。
二、正、余弦定理的概念和原理在介绍正、余弦定理在现实生活中的应用之前，我们有必要回顾一下这两个定理的概念和原理。
正、余弦定理是三角形中用来描述边与角之间关系的重要定理。
正定理指出：在任意三角形中，边的平方等于其他两边平方和减去这两边与它们夹角的余弦之积的两倍。
余弦定理则指出：在任意三角形中，边的平方等于其他两边平方和减去这两边之积与它们夹角的余弦积的两倍。
通过正、余弦定理，我们可以推导出许多三角形的性质和关系，从而在实际问题中得到应用。
三、海上测距中的应用在海上航行中，船舶需要不断地确定自己的位置，以避免发生碰撞或迷失方向。
正、余弦定理就被广泛应用在海上测距中。
通过观测两个不同方向上的地标并测量它们的夹角，船舶可以利用余弦定理计算出自己与地标的距离。
在实际操作中，船舶的船长和船员们可以根据余弦定理的公式，精确计算出自己与地标的距离，并及时调整航线，确保航行安全。
四、建筑工程中的应用在建筑工程中，正、余弦定理也扮演着重要的角色。
在设计斜拉桥、悬索桥等大型桥梁时，工程师们需要精确计算桥墩与桥塔的高度和跨度，以确保桥梁的稳定性和安全性。
正、余弦定理可以帮助他们在实际建设过程中，精确计算各个零部件的尺寸和位置，从而保证桥梁的结构稳固。
五、航天工程中的应用在航天工程领域，正、余弦定理也被广泛应用。
在设计和控制航天器的轨道时，科学家们需要精确计算航天器与地球、月球或其他天体之间的距离和角度。
通过应用正、余弦定理，他们可以准确地计算出航天器的轨道曲线和飞行路径，确保航天器能够按照预定计划完成任务。