《线性代数》2014-2015学年第二学学期重修考试试卷及答案A
线性代数期末考试试题A及解答
3、此二次型矩阵特征值有负值，，故二次型不正定。--------------------（14分）
六、
1、证明： -------------（3分）
，故 可逆，且 ----（5分）
2、证明：因为 为正交矩阵且 ， ------------（1分）
-------（4分）
，故 -----------------（5分）
六 证明题
1、若 阶矩阵 满足 ，求证 可逆，并求 。
2、设五阶正交矩阵 满足 ，求证：矩阵 的秩 。
线性代数A参考答案及评分标准
一、填空
1、负；46。2、4；2； 与 。
3、 ； 。4、 。
5、 6、 。
7、0； 。8、 ；2； 。
二、计算
1、 --（3分）=
--------------（5分）= ------------------（6分）
得到齐次线性方程组的基础解系
三、 --------（2分）
故 时， ，方程组有解---------（4分）
此时方程组的一般解为： ，得一个特解
导出组的一个基础解系， -----------------（10分）
通解为 （ ， 为任意常数）…（12分）
四、 ，
得到 的特征值 ---------------（4分）
三（12 ）设线性方程组 ，当 为何值时 能与对角形矩阵相似，求参数 的值。
五（14 ）二次型
（1）写出二次型的矩阵 。
（2）用正交变换法将此二次型化为标准形并写出所做的正交变换 以及二次型的标准形。
（3）此二次型是否正定，说明理由。
5．四阶矩阵 的行列式 则 ， ， 的列向量组线性关。
2014-2015线性代数A
内蒙古大学 2014-2015 学年第 1 学期线性代数 期末考试（A 卷）姓名 学号 专业 年级重修标记 □ （闭卷 120分钟）一、填空题（本题满分 30 分，每小题 3 分）1．n 阶行列式0100002000100n n =- 。
2. 设123234A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，使得PA 为行最简的可逆矩阵P = 。
3. A 是3阶方阵，12||A =，则1|(2)7|A A -*-= 。
4. 1400021053-⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭________________________。
5．二次型21213233246+2f x x x x x x x =-++的矩阵A = 。
6．设向量(1,2,3,4)(0,,2,1)T Tx αβ=-=-和正交，那么x =____________。
7. 设3阶矩阵A 的特征值为1,2，-1，则行列式2|2|A A E -+=_____________。
8. 5元齐次线性方程组123450x x x x x ++++=,则它的基础解系包含______个向量。
9．n 元非齐次线性代数方程组Ax b =有无穷解的充分必要条件是 。
10. n 阶方阵A 可对角化的充分必要条件是 。
二、计算下列各题（本题满分20分，每小题10 分）(1) 设3112513421111233D---=---，求D的代数余子式的和11213141A A A A+++(2) 求非齐次线性方程组12341234123421363251054x x x xx x x xx x x x++-=⎧⎪+--=⎨⎪++-=⎩的通解，并求所对应的齐次线性方程组的基础解系。
三、计算题（本题满分20分，每小题 10 分）(1) 求解矩阵方程AX B =,其中21311122,2013225A B --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-= ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭。
(2) 求向量组1234(2,1,4,3),(1,1,6,6),(1,1,2,7),(2,4,4,9)T T T Tαααα==--=-=的秩和一个最大无关组，并把不属于最大无关组的列向量用最大无关组线性表示。
2014线性代数A卷答案
20142学期《线性代数》考试A 卷答案及评分标准一、选择题(每题2分，共计20分)1-5 D C C A C 6-10 C A A A C二、填空题(每题2分，共计20分)1、-122、1或33、10123321015432176543---⎛⎫⎪-⎪ ⎪⎪⎝⎭4、1815、28a6、11121321111222231331323322()2a a a a a a a a a aa a -⎛⎫⎪--- ⎪ ⎪-⎝⎭7、R （A ）=R （A ，b ）或线性方程组系数矩阵的秩与线性方程组增广矩阵的秩相等。
8、21,αα3,α 9、无 10、16三、证明题(每题10分，共计20分)1、证明：线性方程组的系数矩阵为A=1100011000111001-⎛⎫⎪-⎪ ⎪-⎪-⎝⎭； （1分） 线性方程组的增广矩阵为12341100011000111001a a A a a -⎛⎫⎪-⎪= ⎪-⎪-⎝⎭； （1分） 又线性方程组有解的充分必要条件为R （A ）=R （A ）， （2分）12341100011000111001a a a a -⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⎪-⎝⎭~12314110001100011011a a a a a -⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪-+⎝⎭~123214110001100011011a a a a a a -⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪-++⎝⎭~12332141100011000110a a a a a a a -⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪+++⎝⎭（4分）∴3214a a a a +++=0 （2分） 证毕。
2、证明：假设存在一组数12,r k k k ，使得02211=+++r r k k k βββ 成立， （2分）即++++++++++p r p r r k k k k k k ααα)()()(2211 0=+r r a k 因向量组r a a a ,,,21 线性无关，所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==++=+++000221r r r k k k k k k ⇔⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛00010011011121 r k k k ，因为01100110111≠= ,(6分） 故方程组只有零解，即当且仅当021====r k k k ，故r βββ,,,21 线性无关. （2分）四、计算题（共计40分）1、解：将第2，3…n 列都加到第一列得：(3分)()()()()1111a n bb b b a n b a bb a n b b a b a n b bba+-+-+-+-D =[]11(1)1b b b a b b a n b b a b =+-(4分)(1分)2、解：由 B AX X +=2，得 B X A E =-)2(. 因为032110111|2|≠=--=-A E ，所以矩阵A E -2可逆， (2分) B A E A E B A E X |2|*)2()2(1--=-=- 求出1(2)E A --得(4分)或者(2)E A E -=110100101010102001-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭~1((2))E E A --=10002/31/301012/31/300101/31/3⎛⎫ ⎪- ⎪⎪-⎝⎭,即1(2)E A --=02/31/312/31/301/31/3⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭ X = 02112211321303330110311--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪--=-⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭(2分) 3、解：非齐次线性方程组的增广矩阵为()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----==b a A B 1223131121β⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+---225050501121~b a []10011101201j c bc a b a (n )b a b j ,,nab--======+--=-[]1(1)().n a n b a b -=+--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++---320010101121~b a (2分) 所以（1）当3,2-≠-=b a 时，()()B R A R ≠，非齐次线性方程组无解； (2分)（2）当2-≠a 时，()()3==B R A R ，非齐次线性方程组有唯一解； (2分)（3）当3,2-=-=b a 时，()()3<=B R A R ，非齐次线性方程组有无穷多解，(2分)当3,2-=-=b a 时，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---000010101101~000010101121~B =R (4分) 矩阵R 对应的线性方程组为1321,1.x x x -=⎧⎪=-⎨⎪⎩把3x 看成自由未知数，取3x =k,k 为任意实数得1231,1.x k x x k=+⎧⎪=-⎨⎪=⎩所以，其通解为123111*********x k k x x k x k k +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪===+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（其中k 为任意实数.） 4、解 (1) A 的特征多项式为|A -λE|=λλλ---111011002=(1-λ)2(2-λ)所以A 的特征值为λ1=2, λ2=λ3=1. (4分)当λ1=2时,解线性方程组(A-2E)x =0.由A-2E=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--111011000∽⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--00021102101得基础解系x 1=(1/2，1/2，1)T所以对应于λ1=2的所有特征向量为k 1 x 1 （k 1≠0）当λ2=λ 3 =1时,解线性方程组(A-E)x =0.由 (4分)A- E=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛011001001∽⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000010001得基础解系x 2=(0，0，1)T所以对应于λ2=λ 3 =1的所有特征向量为k 2 x 2 （k 2≠0） (4分)。
14-15-1线代试题答案
2014-2015-1线性代数参考答案及评分标准一（每小题3分，共15分）1、32 2 、3 3 、1 4、2 5、0二（每小题3分，共15分）1 B2 B3 C4 A5 D三（5分）0321103221036666=D ……………………………………………………（2分） 40000400121011116---=…………………………………………… （2分）96-=……………………………………………………………（1分）四（10分）1-=A ，A 可逆…………………………………………………（1分） 121)(---=-=A A E A A B ……………………………………………………（4分）()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→100100110010211001,E A⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-1001102111A ……………………………………………………………（4分） ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000000120B …………………………………………………………………（1分） 五（15分）()211111211112-=-----λλλλλλλ………………………………………………（5分） 0≠λ且2≠λ时，有唯一解…………………………………………………（2分）2=λ时()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=100051103111111111133111,b A3),(2)(=<=b A R A R ，方程组无解…………………………………………（3分）0=λ时，()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000000001111111111111111,b A3),(1)(<==b A R A R 方程组有无穷多解，1321+--=x x x 取2312,c x c x ==得方程组通解为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=00110101121321c c x x x x ………………………（5分）六（12分）()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=0000010000712100230102301085235703273812,,,,54321a a a a a ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→00000100000121002301……………………………………（4分） 向量组秩为3，……………………………………………………………（2分） 一个最大无关组为：521,,a a a ……………………………………………（2分） 21323a a a +=………………………………………………………………（2分） 2152a a a -=…………………………………………………………………（2分） 七（10分）证明：设存在数1k ，2k ，3k ，使0332211=++βββk k k ………………（2分） 将1β，2β，3β带入并整理得0)32()()2(33212321131=+-+-+-++αααk k k k k k k k …………………（2分）由1α，2α，3α线性无关知⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-+-=+03200232132131k k k k k k k k ， 因0312111201=---，故齐次线性方程组有非零解，…………………（4分）从而存在1k ，2k ，3k 不全为零，使0332211=++βββk k k ，从而1β，2β，3β是线性相关的。
14-15-1学期-《线性代数A》B卷-答案
鲁东大学2014—2015学年第1学期2013级物理类、计算类、电子类、软件本、电气本、能源本专业本科卷B 参考答案与评分标准 课程名称 线性代数A课程号（2190050） 考试形式（闭卷笔试） 时间（120分钟）一、判断题：本大题共5个小题，每小题4分。
共20分。
如果命题成立，则在题后（ ）内划“√”，否则划“×”。
1. √;2. ×;3. × ;4. √ ;5.√. 二、填空题 本题共5小题，满分15分。
1、 CB ；2、010⎛⎫ ⎪± ⎪ ⎪⎝⎭；3、3 ；4、 01020315k ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；5、 0 .三、选择题 本题共5小题，满分15分。
1、C ;2、D ;3、A;4、B ;5、B. 四 、计算题 本题共4小题，满分60分。
1、（12分）计算行列式6427811694143211111=D ＝4818401262032101111---------------（5分）＝481841262321---------------（3分）＝3610062321=600620321=12---------------（4分）注： 解法不是唯一的，根据解题情况适当给分．2、（14分）求解矩阵方程X A AX +=，其中⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=010312022A 。
解：把所给方程变形为A X E A =-)(，而由⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=-010110312302022021)(A EA ---------------------（3分）经初等行变换，得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----312100302010622001~)(A EA ---------------------（6分）所以，得E A -可逆，且⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=-=-312302622)(1A E A X ---------------------（5分）（也可以按照公式法求解）3、（14分）求线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=---=++-=++-11511322326417532432143214321x x x x x x x x x x x x 的通解.解：对增广矩阵)(b A 进行初等行变换得⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-000000811100211610231~)(b A ---------------------（8分）所以方程组的特解为T)0,0,0,21(=η ---------------------（2分）导出组的基础解系为：TT)16,22,0,1(,)0,0,2,3(21-==ξξ ---------------------（2分） 方程组的通解为R c c c c x ∈++=212211,,ηξξ ---------------------（2分）4、（20分）把实二次型222123123121323(,,)4484f x x x x x x x x x x x x =++---用正交变换x Py =化二次型为标准形，求出所用正交变换以及所得到的标准形.解：二次型对应的矩阵为A=124242421--⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦………………… （3分） 则2124242(4)(5)0421I A λλλλλλ--=-=+-=- ………………… （4分）特征值分别为234,51λλλ=-== ………………… （1分） （1）当4A+4E X=0λ=-时，解方程组（）由⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=+5242824254E A 初等行变换⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-0002110101，得一特征向量T p )2,1,2(1= …………………（3分）（2）当5A-5E X=0λ=时，解方程组（）由⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------=-4242124245E A 初等行变换⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛0000001211，得两个特征向量Tp )0,2,1(2-=，T p )1,2,0(3-=． ………………… （3分）利用施密特正交化方法确定正交矩阵为231315203P ⎡-⎢⎢⎢⎢=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，…………………（5分） 则1455P AP --⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦即标准形为222123123(,,)455q y y y y y y =-++。
西南大学2014-2015(2)线代A卷
西南大学课程考核《 线性代数 》课程试题 【A 】卷3. A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛300020001, then A -1 is ( )A. ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10002100031 B. ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛31000210001 C. ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21000100031 D.⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100031000214. A , B , C are square matrices and AB =AC , we can conclude ( ):A. A is a zero matrixB. A is a zero matrix if B ≠CC. B =C if A is not zero matrixD. B =C if det A ≠05. Rewrite ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=2121211422),(),(x x x x x x f as a standard quadratic form x T A x , A = ( ) A. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1-332B. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1-422C. ⎪⎪⎭⎫⎝⎛1-212 D. ⎪⎪⎭⎫⎝⎛1001III. Solve the following problem (15points)Given a homogenous linear system: ⎪⎩⎪⎨⎧-=+++=+++=+++2321321321)1()1(0)1(λλλλλx x x x x x x x xFind the value of λ when the system has:a) Exactly one solution; b) No solution;c) Infinitely many solutions.In case c), describe all possible solutions as a linear combination of some vectors. Answer:西南大学课程考核(试题【A】卷) ——————————————密————————————封————————————线——————————————《 线性代数 》课程试题 【A 】卷IV . Calculate the determinant of matrix A (9points)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--+---+---=1111111111111111x x x x A Answer:西南大学课程考核(试题【A】卷)——————————————密————————————封————————————线——————————————V. Calculation (10 points)Matrix A and B satisfy AB=A+2B,⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=321-11324A, Calculate matrix B. Answer:《线性代数》课程试题【A】卷VI. (12points)A linear transformation in 2 is defined as the composition of the following steps:(1)Rotate θ counterclockwise (逆时针旋转θ), where θ=tan-1(0.75); (0.75的反正切)(2)Scale by the factor 2 (放大到原来的2倍);(3)Reflection through x1-axis (绕x1轴翻转).Determine: the standard matrix of this linear transformation.Is this linear transformation a one to one linear transformation? Explain the reason. Answer:西南大学课程考核(试题【A】卷)——————————————密————————————封————————————线——————————————VII. System analysis (12points)The Internet service supply is a duopoly (两家垄断) in a city. Investigation shows that in customer who currently contracted with company A, 10% will contract with company B in the next year. On the other hand, in the customer who currently contracted with company B, 15% will move to company A in the next year.a)Establish the model which describes the relationship between the market share of currentyear and the market share of the next year.b)Estimate the vector which describes the long-term market share (长期以后的市场份额) ofthese two companies. Explain why it is a stable status and how to converge to this status.(解释为何此份额是稳定的，以及是怎样收敛到此数值的).Answer:《线性代数》课程试题【A】卷VIII. Prove the following statement (7points)A is a 3×3 matrix and A T=-A.Prove: A is not invertible.Answer:。
防灾科技学院2014-2015期末线性代数(48课时)
5、向量 1, 2, x 1, 4 、 2, y 1, 6,8 线性相关，则 x
B． ( A B )( A B ) A B
D． ( A B ) 2 A2 AB BA B 2 ） D． R ( AB ) R ( A) ）
2、对任意 n 阶方阵 A、B ，下列结论正确的是（ B．
证明题(本大题共 2 小题，每小题 7 分，共 14 分)
2
| | | | | | | | |
1．设方阵 A 满足 A 2 A 3E O ，证明 A 及 A 2 E 都可逆，并求 A1 及 ( A 2 E ) 1 ．
试卷序号：
A．若向量组 A0 线性无关，则向量组 A 线性无关 B．若向量组 A0 线性相关，则向量组 A 线性相关 C．向量组 A 能由向量组 A0 线性表示 D．向量组 A0 与向量组 A 等价
姓名：
| | | | | | | |
装
二、
阅卷教师 得分
防灾科技学院
2014 ~ 2015 学年 第二学期期末考试
答题时间 120 分钟 线性代数（48 学时）试卷（A）
填空题(本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分)
使用班级：理工类相关专业
1 1 1 2 1 5 7 4 1、设 D ，则 A21 A22 3 A23 2 A24 0 0 1 1 1 5 3 3
2
五、
阅卷教师 得分
计算题(本大题共 2 小题，每小题 10 分，共 20 分)
( 1) x1 x2 x3 0 2、问 取何值时，线性方程组 x1 ( 1) x2 x3 ，(1)有唯一解； (2)无解；(3) 2 x1 x2 ( 1) x3
2015线性A代数答案
A. –6 B. 6 C. 2 D. –2 4．设 A 是方阵，如有矩阵关系式 AB=AC，则必有（D） A. A =0 B. B C 时 A=0 C. A 0 时 B=C D. |A| 0 时 B=C
专业班级： 答题留空不够时，可写到纸的背面
5．已知 3×4 矩阵 A 的行向量组线性无关，则矩阵 AT 的秩等于（C） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（每题 3 分，共 15 分） 1．排列 246(2n 2)(2n)135(2n 3)(2n 1) 的逆序数为
角阵.(12 分） 解：先求 A 的特征值、特征向量，由特征多项式，有
学号： 姓名： 注意保持装订完整，试卷撕开无效
类似地,
4
| E A |
0 0
0 3 1
0 1 ( 2)(4 ) 2 ................................3 分(2 分) 3
1，2，3 线性无关
x1 x3 0 x1 x2 0 x x 0 2 3 1 0 1
对 1 2, 由 (2 E A) x 0 ，
0 得到特征向量 p1 1 , 3 4, 由 (4 E A) x 0
1 1 0 0 2 3 C. 0 1 0 D. 0 1 0 0 0 2
1
5 11 0 5
1 1 0 5
1 1 3 1 1 3 0 0
......................................3 分
0 1 2 0
A 3E
1 1 1 A 4E E ,故 A 3 E A 4 E 10 10
2014_2015学年线性代数试题和答案
因为1）可知 R(B) 3, B 0
八、2）解：
1
E A 0
1
0
2
0
1
0 22
1
所以，A 的特征值为 1 0, 2 3 2.
所以，B 的特征值为 k 2 , k 2 4k 4, k 2 4k 4.
（A）A的任意m个列向量线性无关；
（B）A经过若干交初等行变换可化为（Em,0)的形式； （C）A中任一m阶子式为零；
（D）Ax=0必有无穷多解。 3、设A为n阶方阵，则方阵（ C ）为对称矩阵。
（A）A-AT；
（B）CACT（C为任意n阶矩阵）
（C）AAT；
（D）(AAT)B (B为任意n阶对称矩阵）
2x1 2x2 x3 0
1、设线性方程组 x1 x2 2x3 0 的系数矩阵A，三阶
x1 x2 3x3 0
矩阵B不等于零，且AB=0，试求 的值，并证明 B 0
1 0 1
2、设矩阵 A 0
2
0
，矩阵
B
(k
E
A)2
整理得：(k1 k2 k3 )1 (k3 k2 k3 )2 (2k1 k2 )3 0
国为向量组 1,2 ,3 线性无关，所以
kk11
k2 k2
k3 k3
0 0
2k1 k2 0
由此求方程组的系数行列式 1 1 1
只有惟一零解，所以 线性无关。
3、已知三阶方阵A的特征值为1，-1，2，则矩阵 B A2 E
的特征值为： 2,2,5 ， B 20
4、设有向量组 1 (1,1,2)T ,2 (1,2,3)T ,3 (1,3, t)T ,
上海大学《线性代数》2014-2015 春期末试卷及答案
C. a= b或a + 2b ≠ 0 ；
D. a ≠ b且a + 2b ≠ 0 .
三、计算题：（每题 10 分，5 题共 63 分）
1234 4567 11.(10 分)设 D = 1 2 1 2 ，设 Aij 为元素 aij 的代数余子式。 3362
(1)(4 分) 计算 A12 + 4 A22 + A32 + 3A42 ；
x1
−
x2
−
k 2 x3
=−k
一解和有无穷多解，并在有无穷多解时，求它的通解。
16.(11 分)设二次型 f = ax12 + x22 + 2x32 − 2x1x3 + 2x2 x3 对应的矩阵秩为 2，试确定参数 a 的
值，并用正交变换将此二次型化为标准形(需写出正交变换及标准形)。
四、证明题：（每题 6 分，2 题共 12 分）
121
1 1 −1
0
12. 解：设
J
=
1
0
，则
A=
J +I
2 0
0
= 因为 J 2 = 0 0 , J 3 0 2 0 0
所以
An =(J + I )n =I n + Cn1I n−1J + Cn2I n−2 J 2
1
=I
+
nJ
+
n(n −1) 2
J2
= n n(n −1)
1 2n
1
1
1
1 −1
14.(12 分)= 求向量组 α1 (1= , 2,3, 4)T ,α2 (1= ,3, 4, 2)T ,α3 (1= , 0,1, a)T ,α3 (3, 7,10,10)T
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《线性代数》2014-2015学年第二学学期重修考试试卷及答案A
线性代数 课程 闭卷 课程类别：考试
一、选择题（每小题3分，共15分）
1、设,A B 均为3阶方阵，且3,2A B ==-，则T AB =（ A ）
A ．-6
B ．6
C ．-2/3
D ．-3/2
2、01
11021
2
=-k k
的充分条件是（ B ）。
A ．2=k
B ．2-=k
C ．0=k
D ．3-=k 。
3、设线性方程组b x A =，若(,)4R A b =，()3R A =，则该方程组（ C ）
A ．有无穷多解
B ．有非零解
C ．无解．
D ．有唯一解
4、n 阶矩阵A 中有一个r 阶子式0≠r D ，且有一个含r D 的1+r 阶子式等于零，则有 ( B ).
A ．r A R <)(
B ．r A R ≥)(
C ．r A R =)(
D ．1)(+=r A R
5、对任意n 阶方阵,A B 总有（ B ）
A.
AB BA =
B.
AB BA = C.
()T T T AB A B = D. 222()AB A B =
二．填空题（每小题3分，共15分）
1、已知24132
01x x 的代数余子式012=A ，则代数余子式=21A -4
2、设A 为三阶方阵，且2=A ，则=+-|72
3|
1*
A A 500
3、设A 为n 阶方阵，且1>n ，d A =, 则=T A d
4、设A 是n m ⨯ 阶矩阵，A 的秩),()(n r m r r A r <<=，则齐次线性方程组
0=Ax 的基础解系所含解向量的个数是 n-r
5、设⎪⎪
⎪⎪
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛=0974********
1000
A ，则 =A 24
三、（10分）计算行列式a
a a a a a a a a a a a D 3
3
3
3222211111
=
.
解：))()((0
0001
1113213
232
1
21
21a a a a a a a a a a a a a a a a a a D ---=------=
四、（10分）设A , B 为n 阶矩阵，且A 为对称矩阵，证明B T AB 也是对称矩阵。
证明： 因为A T =A , 所以
(B T AB )T =B T (B T A )T =B T A T B =B T AB , 从而B T AB 是对称矩阵.
五、（12分）设⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛-=421011330A ，求A 的逆矩阵.
解：⎪⎪
⎪⎪⎪
⎪⎭⎫
⎝
⎛
----
⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-11110011340
1012
34001~100421010011001330
故A 的逆矩阵为 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛----
11111341234 六、（12分）求线性方程组⎪⎩⎪
⎨⎧=-+-=+-+-=-+0
3520230243214321431
x x x x x x x x x x x 的通解。
解：102110211132011121530000--⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪
--→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭
通解为⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1011011221k k X ，其中21,k k 为任意常数．
七、（12分）讨论λ为何值时，方程组⎩⎨⎧=+=+121221x x x x λλλ有唯一解、无穷多解或无
解.
解:⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛--→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=λλλλλλλ22
21011
111),(b A
当012≠-λ时,即1≠λ时,方程组有唯一解
当1=λ时,2),()(<=b A R A R 此时方程组有无穷多解 当1-=λ时,),()(b A R A R ≠此时方程组有无解.
八、（14分）求矩阵123213336⎛⎫
⎪
⎪ ⎪⎝⎭
的特征值和特征向量.
解：123213(1)(9)3
3
6A E λλλλλλλ
--=-=+--
所以：1231,9,0λλλ=-==，
分别代入其次线性方程组()0A E x λ-=中得到对应的基础解系为：
1231111,1,1021p p p ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，
所以对应的特征向量分别为：112233,,c p c p c p （1230,0,0≠≠≠c c c ）。