13.3.1等腰三角形(一)
13.3.1 第1课时 等腰三角形的性质
A．BD＝CE C．DA＝DE
图 13-3-8 B．AD＝AE D．BE＝CD
6．[2017·天津]如图 13-3-9，在△ABC 中，AB＝AC，AD，CE 是△ABC 的两
条中线，P 是 AD 上的一个动点，则下列线段的长等于 BP＋EP 最小值的是( B )
A．BCBΒιβλιοθήκη CEC．ADD．AC
图 13-3-9
类型之二 运用方程思想进行等腰三角形的角度计算 如图 13-3-1，在△ABC 中，D 是 BC 边上一点，AD＝BD，AB＝AC＝
CD，求∠BAC 的度数．
图 13-3-1
解：∵AD＝BD，∴设∠BAD＝∠DBA＝x°. ∵AB＝AC＝CD， ∴∠CAD＝∠CDA＝∠BAD＋∠DBA＝2x°， ∠C＝∠DBA＝x°，∴∠BAC＝3x°. ∵∠ABC＋∠BAC＋∠C＝180°，∴5x°＝180°， 解得 x°＝36°， ∴∠BAC＝3x°＝108°. 【点悟】 根据等腰三角形的性质与三角形内角和定理，得到各角之间的关 系式，再列方程求解，是解决等腰三角形的角度计算问题的基本方法．
2．运用等腰三角形的概念及性质解决相关问题．
如图，把一张长方形的纸按图中虚线对折，并剪去阴影部分，再把它展开， 得到的△ABC 有什么特点？
1．等腰三角形的概念
知识管 理
定 义：有 两边相等的三角形叫做等腰三角形．
相关定义：(1)相等的两条边叫做等腰三角形的 腰 ，另一条边叫做 底边；
(2)两腰所夹的角叫做等腰三角形的 顶角 ，底边与腰的夹角叫做 底角 ．
9．如图 13-3-12，在△ABC 中，AB＝AC，AD 是 BC 边上的中线，BE⊥AC 于点 E.求证：∠CBE＝∠BAD.
图 13-3-12
13.3.1等腰三角形 第一课时)
A
Ｂ
D
C
合作交流
解读探究
你还有其他方法证明性质1吗？
可以作底边的高线或顶角的角平分线。 A
Ｂ
D
C
合作交流
解读探究
性质2可以分解为三个命题，本节课证明“等腰三 角形的底边上的中线也是底边上的高和顶角平分线”。
合作交流
解读探究
已知：如图，△ABC 中，AB =AC，AD 是底边BC 的中线。求证：∠BAD =∠CAD，AD⊥BC。 A 证明：∵ AD 是底边BC 的中线， ∴ BD =CD． ∵ AB =AC， BD =CD， AD =AD， ∴ △ABD ≌△ACD（SSS）。 C Ｂ D
B
D
E
C
课堂练习
填空： （1）如图，△ABC 中, AB =AC, ∠A =36°, 则∠B = °； A
B
C
课堂练习
填空： （2）如图，△ABC 中, AB =AC, ∠B =36°, 则∠A = °； A
B
C
课堂练习
填空： （3）已知等腰三角形的一个内角为70°,则它的另外两 个内角的度数分别是 ； 等腰三角形一 个角为120°,它的另外两个角为___________ 。
创设情境
导入新课
如图所示，把一张长方形的纸按图中虚线对折，并 剪去阴影部分，再把它展开，得到的△ABC 有什么特点？
B
A
D
C
合作交流
解读探究
A
顶角
腰
腰
底角
B
C
底角 底边
合作交流
解读探究
仔细观察自己剪出的等腰三角形纸片，你能发现这 个等腰三角形有什么特征吗？
等腰三角形的特征: （1）等腰三角形的两个底角相等； （2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底 边上的高互相重合。
等腰三角形的性质说课文字稿(省级一等奖)
1３.3.1等腰三角形（一）说课稿尊敬的各位评委、老师：下面我主要从以下五个方面对本节课的内容加以分析：一、大家好！我是来自.................，今天我说课的课题是等腰三角形，一、说教材二、说目标三、说教法、学法四、说教学过程五、说板书设计和反思一、说教材《等腰三角形》是人教版义务教育课程标准八年级上册第十三章第三节的第1课时。
等腰三角形是特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，还有许多特殊的性质。
而这些特殊性质，又和它是轴对称图形有关，因此教科书把本节内容安排在《轴对称》这章中。
本节课就是以轴对称图形为切入点，研究等腰三角形“等边对等角”和“三线合一”的性质，这不仅是对前面所学知识的深化和应用，也是学习特殊等边三角形等的后备知识，同时也为证明线段相等、角相等及两条直线互相垂直提供了重要依据。
因此，本节课在教材中处于非常重要的地位，起着承上启下的作用。
二、说目标根据教材的地位和作用，依据课程标准的要求（了解等腰三角形的概念，探索并证明等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两底角相等；底边上的高线、中线及顶角平分线互相重合），结合我班学生的实际情况，制定了以下教学目标：知识技能：通过探究性学习理解并掌握等腰三角形的性质并加以应用。
数学思考：经历操作、发现、猜想、证明的过程，引导学生学会几何证明题的思路，培养学生的逻辑思维能力。
问题解决：初步学会从数学的角度发现问题和提出问题，综合运用已有的知识解决新的问题，体验解决问题方法的多样性。
情感态度：体验数学中的对称美，激发学生的审美意识。
在数学活动树立自信心。
由以上对教材的分析以及教学目标的确立，我认为本节课的重点和难点分别是：重点：等腰三角形性质的探索、证明；难点：用文字语言叙述的几何命题的证明；对于推理学习刚刚入门的八年级学生来说，对文字语言叙述的几何命题的证明从写已知、求证到画图形直至完成证明。
对学生来说都有一定的难度，因此我确定本节课的难点为：用文字语言叙述的几何命题的证明，设计折纸活动实验到论证的过渡，突出重点、突破难点。
13.3.1等腰三角形(第1课时)课件
作底边的高线 证明：等腰三角形的两个底角相等
A
已知： △ ABC中，AB=AC. 求证： ∠B= ∠C.
证明：作底边高线AD. B 在Rt△BAD和△RtCAD中， D C
AB=AC ( 已知 ),
AD=AD (公共边) , ∴ Rt △BAD ≌ Rt △CAD (HL). ∴ ∠ B= ∠C (全等三角形的对应角相等).
A
小结归纳
1
等腰三角形的性质定理
等腰三角形的两个底角相等
（简写成“等边对等角”）
等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂 直于底边. 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中 线、底边上的高互相重合. “三线合一”
布置作业
练习册P76 第11、12题（作业本上交） 练习册本课时其余做在书上
随堂练习
当堂测试
4. 根据等腰三角形的性质,在△ABC中， AB=AC时，
BAD = ∠CAD CD (1) ∵AD⊥BC，∴∠_____ _____，BD ____= ____. AD BC ，∠_____ BAD =∠_____. CAD (2) ∵AD是中线，∴____⊥____ AD ⊥____ BC ，_____ CD BD =_____. (3) ∵AD是角平分线，∴____
等腰三角形的性质
1 等腰三角形的两 个底角相等（等边 对等角）
例1 在三角形ABC中，已知AB=AC， 且∠B=80° ，则∠C= ___度， ∠A=____度？
∵AB=AC（已知）
2等腰三角形顶角的 平分线，底边上的 ∴∠B=∠C（等边对等角） 中线和底边上的高 ∵∠B=80° （已知） 互相重合（等腰三 ∴∠C=80° 角形三线合一） 又∵∠A+∠B+∠C=180° （三角形内角和为180° ） ∴∠A=180°－ ∠B－∠C ∠A=20° B
13.3.1等腰三角形(第一课时)
教学设计13.3.1等腰三角形(第一课时)项目概要部分课题 13.3.1等腰三角形(第一课时)教材数学学科人教版八年级上册第十三单元课题3教学目标一、知识与技能：通过学习等腰三角形的概念及性质，会应用等腰三角形的性质计算、证明。
二、过程与方法：1、经历等腰三角形性质的探究，学生通过实践、操作、观察、猜想、论证,发展了合情推理的水平和演绎推理的水平，同时增强了语言表达水平。
2、在应用等腰三角形性质的过程中，培养了学生应用数学的意识。
三、情感、态度与价值观：在活动中，培养学生自主探究，合作交流的意识，提升学习的兴趣。
任务分析1.本节的学习任务比较重要，有等腰三角形性质的推导、性质的应用，所以针对学生的特点，能充分地发挥学生主观能动性,让学生自己去发现、去联想.2. 通过学生自己动手实验得到等腰三角形性质的内容，能够使他们比较好的掌握知识、提升学习数学的兴趣，达到了事半功倍之效.3. 在整个教学过程中，利用直观教具及电化教学手段，使学生在实验中提出问题，解决问题的途径，而不知不觉地进入学习氛围，把学生从被动学习步入主动想学的习惯.教学重点探索并证明等腰三角形的性质。
教学难点性质1证明中辅助线的添加和对性质2的理解。
预习设计1、有两边相等的三角形叫，相等的两边叫，另一边叫两腰的夹角叫，腰和底边的夹角叫2、如图，在△ABC中，AB=AC，标出各部分名称。
3、把活动中剪出的△ABC沿折痕AD对折，找出其中重合的线段和角，填入下表4、归纳等腰三角形的性质：性质 1 等腰三角形的两个相等（简写成“”）性质2 等腰三角形、、互相重合。
重合的线段重合的角产出学生能利用等腰三角形的两个性质解决问题，提升使用知识和技能解决问题的水平。
课前教学准备提示1.教具：长方形纸，剪刀，幻灯片、尺子。
2.学具：长方形纸。
学习过程(学生活动）学习指导（教师活动）内容和目标提示[活动一]回顾知识等腰三角形：有两条边相等的三角形是等腰三角形，相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰所夹的角叫做底角。
13.3.1等腰三角形的判定教案
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
其次，我发现通过小组讨论和实验操作，学生们的参与度和积极性得到了很大提高。他们在交流分享中碰撞出思维的火花，有助于加深对等腰三角形知识点的理解。但同时，我也注意到在讨论过程中，部分学生过于依赖小组其他成员，自己思考不足。因此，我需要在接下来的教学中，引导学生独立思考，提高他们的自主学习能力。
此外，对于教学难点的处理，我认为自己在引导学生突破难点方面做得还不够。在今后的教学中，我需要更加耐心地解答学生的问题，用更生动形象的语言和例子来帮助他们理解。同时，加强课堂练习，让学生在实践中不断提高。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与等腰三角形相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如制作一个等腰三角形的模型，演示其性质和判定定理。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
13.3.1等腰三角形的判定教案
一、教学内容
《13.3.1等腰三角形的判定教案》
1.等腰三角形的定义：两边长度相等的三角形。
2.等腰三角形的性质：等腰三角形的两底角相等。
3.等腰三角形的判定定理：
a.两边相等的三角形是等腰三角形。
b.两角相等的三角形是等腰三角形。
13.3 等腰三角形导学案
第六课时 13.3.1等腰三角形(1)【学习目标】1、了解等腰三角形的概念，掌握等腰三角形的性质； 2、会运用等腰三角形的概念及性质解决相关问题。
【学习重点】等腰三角形性质的探索及应用【学习难点】等腰三角形性质的应用 一、学前准备1、下列图形不一定是轴对称图形的是（ ） A 、圆 B 、长方形 C 、线段D 、三角形2、怎样的三角形是轴对称图形？答：3、有两边相等的三角形叫 ，相等的两边叫 ，另一边叫 ； 两腰的夹角叫，腰和底边的夹角叫 4、如图，在△ABC 中，AB=AC ，标出各部分名称 5、用一张长方形的纸剪一个等腰三角形。
二、探索思考 （一）1、操作、实践： 将你剪得等腰三角形，照图折叠，找出其中重合的线段和角，填入右表：2、根据上表你能得出哪些结论？并将你的结论与同学交流。
3、请用学过的知识证明以上结论。
（二）归纳：等腰三角形的性质：（1）等腰三角形的 。
（简写成“ ”） 符号语言：如图1∵ ∴（2）等腰三角形的 、 、 相互重合（简写成“ ”）符号语言①：如图2∵ ， ∴ 符号语言②：如图2∵ ， ∴ 符号语言③：如图2∵ ， ∴ 练习1、填空：（1）等腰三角形一个底角为70°,它的顶角为 . （2）等腰三角形一个角为70°,它的另外两个角为三、典例分析例2：如图所示，在△ABC 中，AB=AC ，点D 在AC 上，且BD=BC=AD ，求△ABC 各角的度数．例2：如图3，在△ABC 中，AB=AC ，点D 、E 在BC 上，且AD=AE.，求证：BD=CE四、当堂反馈1、（1） 等腰三角形的一边长为3cm ，另一边长为4cm,则它的周长是 ； （2） 等腰三角形的一边长为3cm ，另一边长为8cm,则它的周长是 。
2、在△ABC 中，AB =AC ，（1）如果∠A ＝70°，则∠C ＝_______，∠B ＝_______ （2）如果∠A ＝90°，则∠B ＝_______，∠C ＝________ （3）如果有一个角等于120°，则其余两个角分别是 度 （4）如果有一个角等于55°，则其余两个角分别是 度3、如图（3）所示，△ABC 是等腰直角三角形（AB =AC ，∠BAC =90°），AD 是底边BC 上的高， 标出∠B 、∠C 、∠BAD 、∠DAC 的度数，图中有哪些相等线段？4、如图，在△ABC 中，AB =AD =DC ，∠BAD =26°，求∠B 和∠C 的度数．五、学习反思（请你对照学习目标，谈一下这节课的收获及困惑。
13.3.1等腰三角形(一) 公开课课件
把剪出的等腰三角形ABC沿折痕对折，找出其
中重合的线段和角，填入下表：
B
重合的线段
重合的角
AB=AC
∠B=∠C
A
D
BD=CD
∠ADB=∠ADC
AD=AD
∠BAD=∠CAD
C
等腰三角形除了两腰相等以外,你还 能发现它的其他性质吗?
性质1 (等边对等角)
A
等腰三角形的两个底角相等。 已知：△ABC中，AB=AC 求证：∠B=C
义务教育教科书（RJ）八年级数学上册
13.3 等腰三角形（一）
等腰三角形:
有两条边相等的三角形,
叫做等腰三角形.
腰
A 顶角 腰
底边
B
C
底角
如图,把一张长方形的纸按图中虚线 对折,并剪去绿色部分,
再把它展开, 得到的△ABC有什么特点?
B
A AB=AC
等腰三角形
C
上面剪出的等腰三角形是轴对称图形吗？
2．如图，∠A=15°，AB=BC=CD=DF=EF，则
∠DEF等于（ D ）
A．90°
B．75°
C．70°
D．60°
E C
A
B
DF
3．在△ABC中， AB=AC，AB的中垂线与AC所在的直 线相交得的锐角为50°，则底角的大小为__7_0_°_或_ 20°
A A
B
C
B
C
4．已知：在△ABC中，AB=AC，CD⊥AB，∠1=45°，则 ∠BCD的度数_2_2_._5_°__ ．
1．（1）如果等腰三角形的一个底角为50°，则其 余两个角为_8_0_°_和__5_0_°．
（2）如果等腰三角形的顶角为80°，则它的一个 底角为__5_0_°．
大英县实验中学八年级数学上册第十三章轴对称13.3等腰三角形1等腰三角形第1课时等腰三角形的性质学案
13.3.1等腰三角形（一）＄等腰三角形（一）导学案乙：丙：丁：三、合作学习探索新知（约15分钟）1、小组合作分析问题2、小组合作答疑解惑3、师生合作解决问题（1）下列图形不一定是轴对称图形的是（）A、圆B、长方形C、线段D、三角形（2）怎样的三角形是轴对称图形？答：（3）有两边相等的三角形叫，相等的两边叫，另一边叫两腰的夹角叫，腰和底边的夹角叫（4）如图，在△ABC中，AB=AC，标出各部分名称＄等腰三角形（一）导学案学习活动设计意图（5）探究：教材P75把活动中剪出的△ABC沿折痕AD对折，找出其中重合的线段和角，填入下表重合的线段重合的角四、归纳总结巩固新知（约15分钟）1、知识点的归纳总结：性质1: 等腰三角形的两个相等（简写成“”）性质2 :等腰三角形、、、互相重合。
2、运用新知解决问题：（重点例习题的强化训练）（1）证明性质1、性质2：＄等腰三角形（一）导学案学习活动设计意图＄等腰三角形（一）导学案2、本节课我对自己最不满意的一件事是：作业独立完成（）求助后独立完成（）未及时完成（）未完成（）五、课堂小测（约5分钟）1、等腰三角形的一个角是110°，它的另外两个角的度数是2、等腰三角形的一个角是80°，它的另外两个角的度数是3、如图，点D，E在△ABC的边BC上，AB＝AC，AD＝AE，求证BD＝CE第一章检测题(时间：120分钟 满分：120分)一、选择题(每小题3分，共30分)1．如图，直线l 1∥l 2，以直线l 1上的点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交直线l 1，l 2于点B ，C ，连接AC ，BC.若∠ABC ＝67°，则∠1的度数为(B )A ．23°B ．46°C ．67°D ．78°,第1题图) ,第2题图) ,第3题图)2．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 的中点，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F.则下列结论错误的是(D )A ．AD ⊥BCB ．∠BAD ＝∠CADC ．DE ＝DFD ．BE ＝DE3．(福建中考)如图，等边三角形ABC 中，AD ⊥BC ，垂足为D ，点E 在线段AD 上，∠EBC ＝45°，则∠ACE 等于(A )A ．15°B ．30°C ．45°D ．60°4．(达州二模)如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠ABC 的平分线交AC 于点D ，DE 垂直平分AB ，垂足为E ，若BC ＝3，则AD 的长为(C )A . 3B ．2C ．2 3D ．4,第4题图) ,第5题图) ,第10题图)5．(雅安中考)如图，四边形ABCD 中，∠A ＝∠C ＝90°，∠B ＝60°，AD ＝1，BC ＝2，则四边形ABCD 的面积是(A )A .332B ．3C ．2 3D ．4 6．已知三角形三内角之间有∠A ＝12∠B ＝13∠C ，它的最长边为10，则此三角形的面积为(D )A ．20B ．10 3C ．5 3D .25327．已知△ABC 的三边长分别为4、4、6，在△ABC 所在平面内画一条直线，将△ABC 分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画(B )A ．3条B ．4条C ．5条D ．6条8．已知等边△ABC 的边长为12，D 是AB 上的动点，过D 作DE ⊥AC 于点E ，过E 作EF ⊥BC 于点F ，过F 作FG ⊥AB 于点G.当G 与D 重合时，AD 的长是(C )A ．3B ．4C ．8D ．99．下列说法：①斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等；②两个锐角分别相等的两个直角三角形全等；③有一个角和底边分别相等的两个等腰三角形全等；④一条直角边相等且另一条直角边上的中线相等的两个直角三角形全等．其中正确的有(B )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个10．如图，在△ABC 和△ADE 中，∠BAC ＝∠DAE ＝90°，AB ＝AC ，AD ＝AE ，点C ，D ，E 在同一条直线上，连接BD ，BE.下列四个结论：①BD ＝CE ；②BD ⊥CE ；③∠ACE ＋∠DBC ＝45°；④BE 2＝2(AD 2＋AB 2)．其中结论正确的个数是(C )A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题(每小题3分，共18分)11．(南通中考)一个等腰三角形的两边长分别为4 cm 和9 cm ，则它的周长为22cm . 12．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AD 平分∠BAC ，交BC 于点D ，CD ＝4，则点D 到AB 的距离为4.,第12题图) ,第13题图) ,第14题图)13．如图，已知点B ，C ，F ，E 在同一条直线上，∠1＝∠2，BC ＝EF ，要使△ABC ≌△DEF ，还需添加一个条件，这个条件可以是AC ＝DF(答案不唯一)．(只需写出一个)14．如图，△ABC 的周长为22 cm ，AB 的垂直平分线交AC 于点E ，垂足为D ，若△BCE 的周长为14 cm ，则AB ＝8 cm .15．如图，在△ABC 中，AC ＝BC ＝2，∠ACB ＝90°，D 是BC 边上的中点，E 是AB 边上一动点，则EC ＋ED 的最小值是 5.,第15题图) ,第16题图)16．(葫芦岛中考)如图，∠MON ＝30°，点B 1在边OM 上，且OB 1＝2，过点B 1作B 1A 1⊥OM 交ON 于点A 1，以A 1B 1为边在A 1B 1右侧作等边三角形A 1B 1C 1；过点C 1作OM 的垂线分别交OM ，ON 于点B 2，A 2，以A 2B 2为边在A 2B 2的右侧作等边三角形A 2B 2C 2；过点C 2作OM 的垂线分别交OM ，ON 于点B 3，A 3，以A 3B 3为边在A 3B 3的右侧作等边三角形A 3B 3C 3，…；按此规律进行下去，则△A n A n ＋1C n 的面积为(32)2n －2×33.(用含正整数n 的代数式表示)点拨：由题意△A 1A 2C 1是等边三角形，边长为233，△A 2A 3C 2是等边三角形，边长为32×233，△A 3A 4C 3是等边三角形，边长为32×32×233＝(32)2×233，△A 4A 5C 4是等边三角形，边长为32×32×32×233＝(32)3×233，…，△A n A n ＋1C n 的边长为(32)n －1×233，∴△A n A n ＋1C n 的面积为34×[(32)n－1×233]2＝(32)2n－2×33三、解答题(共72分)17．(6分)如图，点D，E在△ABC的BC边上，AB＝AC，AD＝AE.求证：BD＝CE.证明：过点A作AP⊥BC于P.∵AB＝AC，∴BP＝PC，∴AD＝AE，∴DP＝PE，∴BP－DP ＝PC－PE，∴BD＝CE18．(7分)(成都期末)如图，在△ABC中，∠B＝30°，边AB的垂直平分线分别交AB 和BC于点D，E，且AE平分∠BAC.(1)求∠C的度数；(3分)(2)若CE＝1，求AB的长．(4分)解：(1)∵DE是线段AB的垂直平分线，∠B＝30°，∴∠BAE＝∠B＝30°，∵AE平分∠BAC，∴∠EAC＝∠BAE＝30°，即∠BAC＝60°，∴∠C＝180°－∠BAC－∠B＝180°－60°－30°＝90°(2)∵∠C＝90°，∠B＝30°，AE平分∠BAC，CE＝1，∴AC＝3，∴AB＝2 319．(7分)(达州期末)如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE∥AC，EF⊥AD交BC延长线于F.求证：∠FAC＝∠B.证明：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∵DE∥AC，∴∠EDA＝∠CAD，∴∠EDA＝∠EAD，∴AE＝ED，又∵EF⊥AD，∴EF是AD的垂直平分线，∴AF＝DF，∴∠FAD＝∠FDA.又∵∠FAD＝∠CAD＋∠FAC，∠FDA＝∠B＋∠BAD，∴∠FAC＝∠B20．(7分)如图，已知等腰三角形ABC中，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，且AD＝AE，连接BE，CD，交于点F.(1)判断∠ABE与∠ACD的数量关系，并说明理由；(3分)(2)求证：过点A，F的直线垂直平分线段BC.(4分)解：(1)∠ABE ＝∠ACD.理由：在△ABE 和△ACD 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ，∠A ＝∠A ，AE ＝AD ，∴△ABE ≌△ACD ，∴∠ABE ＝∠ACD(2)连接AF.∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB ，由(1)可知∠ABE ＝∠ACD ，∴∠FBC ＝∠FCB ，∴FB ＝FC ，∵AB ＝AC ，∴点A ，F 均在线段BC 的垂直平分线上，即直线AF 垂直平分线段BC21．(7分)如图，在△ABC 中，∠A ＝60°，点D 是BC 边的中点，DE ⊥BC ，∠ABC 的平分线BF 交DE 于△ABC 内一点P ，连接PC.(1)若∠ACP ＝24°，求∠ABP 的度数；(4分)(2)若∠ACP ＝m °，∠ABP ＝n °，请直接写出m ，n 满足的关系式：________________.(3分)解：(1)∵点D 是BC 边的中点，DE ⊥BC ，∴PB ＝PC ，∴∠PBC ＝∠PCB.∵BP 平分∠ABC ，∴∠PBC ＝∠ABP ，∴∠PBC ＝∠PCB ＝∠ABP ，∵∠A ＝60°，∠ACP ＝24°，∴∠PBC ＋∠PCB ＋∠ABP ＝180°－60°－24°，∴3∠ABP ＝120°－24°，∴∠ABP ＝32° (2)m ＋3n ＝12022．(8分)如图，为了测出某塔CD 的高度，在塔前的平地上选择一点A ，用测角仪测得塔顶D 的仰角为30°，在A ，C 之间选择一点B(A ，B ，C 三点在同一直线上)．用测角仪测得塔顶D 的仰角为75°，且AB 间的距离为40 m .(1)求点B 到AD 的距离；(2)求塔高CD.(结果用根号表示)解：(1)过点B 作BE ⊥AD ，垂足为E ，∴∠AEB ＝90°，又∵∠A＝30°，∴BE＝12AB ＝12×40＝20(m )(2)AE ＝AB 2－BE 2＝203，∵∠A＋∠ADB＝∠DBC＝75°，∴∠ADB＝75°－∠A＝45°，∵BE⊥AD，∴∠BED＝90°，∴∠DBE＝∠ADB＝45°，∴DE＝BE ＝20，∴AD＝AE ＋DE ＝203＋20，∵CD⊥AC，∴∠C＝90°，又∵∠A＝30°，∴CD ＝12AD ＝12(203＋20)＝(103＋10) m23．(8分)在△ABC 中，∠B ＝22.5°，边AB 的垂直平分线DP 交AB 于点P ，交BC 于点D ，且AE ⊥BC 于点E ，DF ⊥AC 于点F ，DF 与AE 交于点G ，求证：EG ＝EC.解：如图所示：连接AD ，∵∠B ＝22.5°，且DP 为AB 的垂直平分线，∴DB ＝DA ，∴∠B ＝∠BAD ，∴∠ADE ＝2∠B ＝45°，在Rt △ADE 中，∠ADE ＝45°，∴∠DAE ＝45°，∴AE ＝DE ，∵AE ⊥DE ，∴∠1＋∠2＝90°，∵DF ⊥AC ，∴∠2＋∠C ＝90°，∴∠1＝∠C.在△DEG 和△AEC 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠1＝∠C ，∠DEG ＝∠AEC ＝90°，DE ＝AE ，∴△DEG ≌△AEC(AAS )，∴EG ＝EC24．(10分)如图，已知△ABC 是边长为6 cm 的等边三角形，动点P ，Q 同时从A ，B 两点出发，分别沿AB ，BC 方向匀速运动，其中点P 运动的速度是1 cm /s ，点Q 运动的速度是2 cm /s ，当点Q 到达点C 时，P ，Q 两点都停止运动，设运动时间为t s ，解答下列问题：(1)当点Q 到达点C 时，PQ 与AB 的位置关系如何？请说明理由；(2)在点P 与点Q 的运动过程中，△BPQ 是否能成为等边三角形？若能，请求出t 的值；若不能，请说明理由．解：(1)当点Q 到达点C 时，PQ 与AB 垂直，即△BPQ 为直角三角形．理由：∵AB ＝AC ＝BC ＝6 cm ，∴当点Q 到达点C 时，AP ＝3 cm ，∴点P 为AB 的中点．∴QP ⊥BA(等腰三角形三线合一的性质) (2)假设在点P 与点Q 的运动过程中，△BPQ 能成为等边三角形，则有BP ＝BQ ，∴6－t ＝2t ，解得t ＝2，又∠B ＝60°，∴当t ＝2时，△BPQ 是等边三角形25. (12分)如图1，已知点B(0，6)，点C为x轴上一动点，连接BC，△ODC和△EBC 都是等边三角形．(1)求证：DE＝BO；(3分)(2)如图2，当点D恰好落在BC上时．①求OC的长及点E的坐标；(3分)②在x轴上是否存在点P，使△PEC为等腰三角形？若存在，写出点P的坐标；若不存在，说明理由；(3分)③如图3，点M是线段BC上的动点(点B，C除外)，过点M作MG⊥BE于点G，MH⊥CE 于点H，当点M运动时，MH＋MG的值是否发生变化？若不会变化，直接写出MH＋MG的值；若会变化，简要说明理由．(3分)(1)证明：∵△ODC和△EBC都是等边三角形，∴OC＝DC，BC＝CE，∠OCD＝∠BCE＝60°，∴∠BCE＋∠BCD＝∠OCD＋∠BCD，即∠ECD＝∠BCO，∴△DEC≌△OBC(SAS)，∴DE＝BO(2)①∵△ODC是等边三角形，∴∠OCB＝60°.∵∠BOC＝90°，∴∠OBC＝30°.设OC ＝x，则BC＝2x，∴x2＋62＝(2x)2，解得x＝23，∴OC＝23，BC＝4 3.∵△EBC是等边三角形，∴BE＝BC＝4 3.又∵∠OBE＝∠OBC＋∠CBE＝90°，∴E(43，6)②若点P在C点左侧，则CP＝CE＝43，OP＝43－23＝23，点P的坐标为(－23，0)；若点P在C点右侧，CP＝CE＝43，则OP＝23＋43＝63，点P的坐标为(63，0)，若CP＝EP，∵∠DCO＝60°，∠BCE＝60°，∴∠ECP＝60°，∴△ECP为等边三角形，∴CP＝EP＝CE＝43，则OP＝23＋43＝63，点P的坐标为(63，0)，综上，点P坐标为(－23，0)或(63，0)③不会变化，MH＋MG＝612.3 角的平分线的性质教学目标知识与技能1.能够利用三角形全等，证明角平分线的性质和判定．2.会用尺规作已知角的平分线．3.能利用角平分线性质进行简单的推理，解决一些实际问题．过程与方法经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力．情感态度价值观在探讨作角的平分线的方法及角的平分线的性质的过程中，培养学生探究问题的兴趣，增强解决问题的信心，获得解决问题的成功体验，逐步培养学生的理性精神教学重点角平分线画法、性质和判定．教学难点角的平分线的性质的探究教学准备平分角的仪器(自制)三角尺、多媒体课件等．教学过程（师生活动）设计理念创设情境，导入新课1.在纸上任意画一个角，用剪刀剪下，用折纸的方法，如何确定角的平分线？2. 有一个简易平分角的仪器（如图），其中AB=AD,BC=DC,将A点放角的顶点，AB和AD沿AC画一条射线AE,AE就是∠BAD的平分线，为什么？复习旧知识，回忆角的平分线的定义让学生体验利用证明三角形全等的方法来对画法做出说明．要求学生能说明所作的射线是角平分线的理由．探索新知，建立模型探究1.(1)从上面对平分角的仪器的探究中，可以得出作已知角的平分线的方法。
人教版数学八年级上册13.3.1等腰三角形(一)-课件
B DC
AD=AD (公共边)
∴ △BAD ≌ △CAD (SAS).
∴ ∠ B= ∠C (全等三角形的对应角相等).
方法三：作底边的高线
等腰三角形的两个底角相等。
已知： 如图，在△ABC中，AB=AC.
求证： ∠B= ∠C.
证明：作底边的高线AD，则
(3) ∵AD是角平分线，∴_A__D_ ⊥__B_C_ ，__B_D__ =__C_D__.
知一线得二线
A
“三线合一”可以帮助我
们解决线段的垂直、相等
以及角的相等问题。
B
DC
2、等腰三角形一个底角为70°,它的顶角为4_0__°___.
3、等腰三角形一个角为70°,它的另外两个角为 7_0_°__,_4_0_°__或____5_5_°__,5_5.°
A
B
D
C
性质3 等腰三角形是轴对称图形，其顶角的平分
线（底边上的中线、底边上的高）所在的直线就是
等腰三角形的对称轴。
1. 根据等腰三角形性质2填空, 在△ABC中， AB=AC，
(1) ∵AD⊥BC，∴∠_B_A__D_ = ∠__C_A__D，_B_D__=C__D__.
(2) ∵AD是中线，∴_A_D__⊥_B__C_ ，∠__B_A_D_ =∠__C_A__D.
DF⊥AC于F
E
F 求证：DE＝DF
BD C
(2)如果DE、DF分别是AB,AC上的中线或∠ADB,
∠ADC的平分线，它们还相等吗？由等腰三角形是轴对
称图形，利用类似的方法，还可以得到等腰三角形中哪
些相等的线段？
活动5:反馈练习
练习1:小试牛刀
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方法一：作底边上的中线
等腰三角形的两个底角相等。
A
已知： 如图，在△ABC中，AB=AC. 求证： ∠B= ∠C. 证明：作底边的中线AD，则BD=CD 在△BAD和△CAD中 B D AB=AC ( 已知 ) BD=CD ( 已作 ) AD=AD (公共边) ∴ △BAD ≌ △CAD (SSS). ∴ ∠ B= ∠C (全等三角形的对应角相等).
B
D
C
∴ Rt△BAD ≌ Rt△CAD (HL). ∴ ∠ B= ∠C (全等三角形的对应角相等).
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思考：
由△BAD ≌ △CAD，除了可以得到∠ B= ∠C之外，你还可以得到那些相等的线段和相等 的角？和你的同伴交流一下，看看你有什么新 的发现？
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2．如图，∠A=15°，AB=BC=CD=DF=EF，则 ∠DEF等于（ D ） A．90° B．75° C．70° D．60°
C A B D
E
F
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3．在△ABC中， AB=AC，AB的中垂线与AC所在的直 70° 或20° 线相交得的锐角为50°，则底角的大小为______ A A B B C C
AB=AC 等腰三角形 C
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上面剪出的等腰三角形是轴对称图形吗？ 把剪出的等腰三角形ABC沿折痕对折，找出其 中重合的线段和角，填入下表： 重合的线段 AB=AC BD=CD AD=AD 重合的角 ∠B=∠C ∠ADB=∠ADC A
B
D
∠BAD=∠CAD
A
底 边 的 中 线
B
D
C
顶 角 的 平 分 线
底 边 的 高
┓
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练习
根据等腰三角形性质2填空,
在△ABC中， AB=AC， BAD = ∠_____， CAD BD ____. CD (1) ∵AD⊥BC，∴∠_____ ____=
BAD =∠_____. BC ，∠_____ CAD AD (2) ∵AD是中线，∴____⊥____
义务教育教科书（RJ）八年级数学上册
13.3
等腰三角形（一）
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等腰三角形: 有两条边相等的三角形, 叫做等腰三角形. A 腰 顶角 腰
底边
B
底角
C
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如图,把一张长方形的纸按图中虚线 对折, 并剪去绿色部分, 再把它展开, 得到的△ABC有什么特点? B A
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4．已知：在△ABC中，AB=AC，CD⊥AB，∠1=45°，则 22.5° ． ∠BCD的度数_______ Ａ
D 1 Ｂ Ｃ
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人生的价值，并不是用时间，而
是用深度去衡量的。
——列夫· 托尔斯泰
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等腰三角形的性质： 性质1 等腰三角形的两个底角相等（简写成“ 等边对等角”）． 性质2 等腰三角形的顶角平分线、底边上的 中线、底边上的高互相重合（ “三线合一”）． 即：等腰三角形顶角的角平分线垂直平分底边．
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C
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方法三：作底边的高线 等腰三角形的两个底角相等。
已知： 如图，在△ABC中，AB=AC. 求证： ∠B= ∠C.
A
证明： 作底边的高线AD，则 ∠BDA=∠CDA=90° 在Rt△BAD和Rt△CAD中
AB=AC ( 已知 ) AD=AD (公共边)
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1．（1）如果等腰三角形的一个底角为50°，则其 50° 80° 余两个角为____ 和____ ． （2）如果等腰三角形的顶角为80°，则它的一个 底角为____ ． 50° （3）如果等腰三角形的一个角为80°，则其余两个 ° 80°和20° 或50°和50 ． 角为________________________ （4）如果等腰三角形的一个角为100°，则其余两 40°和40° 个角为_________ ．
C
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方法二：作顶角的平分线 等腰三角形的两个底角相等。
A
已知： 如图，在△ABC中，AB=AC. 12 求证： ∠B= ∠C. 证明：作顶角的平分线AD，则∠1=∠2 在△BAD和△CAD中 B D AB=AC ( 已知 ) ∠1=∠2 ( 已作 ) AD=AD (公共边) ∴ △BAD ≌ △CAD (SAS). ∴ ∠ B= ∠C (全等三角形的对应角相等).
AD ⊥____ BD BC ，_____ (3) ∵AD是角平分线，∴____ CD =_____. A 知一线得二线 “三线合一”可以帮助我 们解决线段的垂直、相等以 及角的相等问题。
B
D
C
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一、定义
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形． 二、性质 1．等边对等角． 2． “三线合一”：等腰三角形的顶角平分 线、底边上的中线、底边上的高互相重合．
C
等腰三角形除了两腰相等以外,你还 能发现它的其他性质吗?
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性质1 (等边对等角)
A
等腰三角形的两个底角相等。 已知：△ABC中，AB=AC 求证：∠B=C 想一想：1.如何证明两个角相等？ 议一议：2.如何构造两个全等的三 角形？ B
D
C
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