湖北省荆州中学高一数学上学期期末考试试题理

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湖北省荆州中学2019-2020学年高一上学期期末考试数学(理)试题Word版含解析

湖北省荆州中学2019-2020学年高一上学期期末考试数学（理）试题一.选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={1，2}，集合B满足A∪B={1，2}，则集合B有（）个．A. 1B. 2C. 3D. 42.计算cos47°cos13°-cos43°sin167°的结果等于（）A. B. C. D.3.下列四组函数中的和相等的是A. B.C. D.4.如果函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点（，0）中心对称，那么|φ|的最小值为（）A. B. C. D.5.若向量，满足||=1，||=2且⊥，则|+|=（）A. 9B.C. 3D.6.设函数，则f（x）是（）A. 最小正周期为的奇函数B. 最小正周期为的偶函数C. 最小正周期为的奇函数D. 最小正周期为的偶函数7.已知平面向量=（1，2），=（-2，m），且∥，则3+2等于（）A. B. C. D.8.函数的零点所在的一个区间是（）A. B. C. D.9.已知O，A，B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，满足，则（）A. B. C. D.10.设函数f（x）=2sin（），若对任意x∈R都有f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立，则|x1-x2|的最小值为（）A. 4B. 2C. 1D.11.已知，则的值是（）A. 0B.C.D.12.设f（x）为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=e x+b（b为常数），则f（-ln2）等于（）A. B. 1 C. D.二.填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.时间经过5小时，分针转过的弧度数为______．14.已知定义在R上的函数满足，且当时，，则的值为______．15.已知函数对定义域中任意的x1，x2，当x1＜x2时都有f（x1）＞f（x2）成立，则实数a的取值范围是______．16.两个向量满足，则=______．三.解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知函数．（1）画出函数f（x）的图象；（2）由图象写出满足f（x）≥3的所有x的集合（直接写出结果）；（3）由图象写出满足函数f（x）的值域（直接写出结果）．18.已知cosα=，cos（α-β）=，且0＜β＜α＜．（Ⅰ）求tan2α的值；（Ⅱ）求cosβ．19.（1）计算log3；（2）已知x的值．20.已知a＞0，函数f（x）=-2asin（2x+）+2a+b，当x∈[0，]时，-5≤f（x）≤1．（1）求常数a，b的值；（2）设g（x）=f（x+）且lg g（x）＞0，求g（x）的单调区间．21.已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）的图象的一部分如图所示．（1）求函数f（x）的解析式；（2）当时，求函数y=f（x）+f（x+2）的最大值与最小值及相应的x值．22.已知函数f（x）=ax2+bx+c，其中a∈N*，b∈N，c∈Z．（1）若b＞2a，且f（sinα）（α∈R）的最大值为2，最小值为-4，求f（x）的最小值；（2）若对任意实数x，不等式4x≤f（x）≤2（x2+1），且存在x0使得f（x0）＜2（x02+1）成立，求c的值．湖北省荆州中学2019-2020学年高一上学期期末考试数学（理）试题参考答案一.选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={1，2}，集合B满足A∪B={1，2}，则集合B有（）个．A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】D【解析】【分析】列举集合B的所有情况.【详解】由题意知集合B可能是，故选D.【点睛】本题主要考查集合的并集运算.求解集合的个数问题，常用列举法.2.计算cos47°cos13°-cos43°sin167°的结果等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先化简角，利用余弦的和角公式求解.【详解】cos47°cos13°-cos43°sin167°.故选C.【点睛】本题主要考查诱导公式和两角和的余弦公式.发现角之间的联系是求解关键.3.下列四组函数中的和相等的是A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】从函数相等的定义出发，分别研究两者的定义域和对应法则.【详解】选项A中，两个函数的定义域不同，所以不相等；选项B中，两个函数的定义域和对应法则均不同，所以不相等；选项D中，两个函数的定义域不同，所以不相等；对于选项C，，所以两个函数相等.故选C.【点睛】本题主要考查函数相等的判定.两个函数相等则定义域和对应法则一定相同，两者缺一不可.4.如果函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点（，0）中心对称，那么|φ|的最小值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】函数关于点(，0)中心对称，则有3cos(2×＋φ)＝0，即cos(＋φ)＝0，∴cos(＋φ)＝0，即＋φ＝＋kπ，k∈Z，即φ＝－＋kπ，k∈Z，∴当k＝0时，|φ|＝，此时|φ|最小．5.若向量，满足||=1，||=2且⊥，则|+|=（）A. 9B.C. 3D.【答案】C【解析】【分析】把|+|先平方，再根据数量积的运算求解.【详解】因为，所以.故选C.【点睛】本题主要考查平面向量模长的计算.向量模长的求解一般是先平方，再进行开方.6.设函数，则f（x）是（）A. 最小正周期为的奇函数B. 最小正周期为的偶函数C. 最小正周期为的奇函数D. 最小正周期为的偶函数【答案】D【解析】函数，化简可得f（x）=–cos2x，∴f（x）是偶函数．最小正周期T==π，∴f（x）最小正周期为π的偶函数．故选D．7.已知平面向量=（1，2），=（-2，m），且∥，则3+2等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用向量平行先求出m，再求解【详解】因为，所以，因为，，所以，故选B.【点睛】本题主要考查向量的坐标运算.向量运算要熟记运算规则.8.函数的零点所在的一个区间是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：，，又因为是一个连续的递增函数，故零点在区间内，选C.考点：函数零点的概念及判定定理.9.已知O，A，B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，满足，则（）A. B. C. D.【答案】A1.由已知，可得：++=+=0，点A是线段CB的中点，设+，作平行四边形OBDC，由平行四边形法则可得.2.∴10.设函数f（x）=2sin（），若对任意x∈R都有f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立，则|x1-x2|的最小值为（）A. 4B. 2C. 1D.【答案】B【解析】函数的周期，对任意，都有成立，说明为最小值，为最大值，所以，故选．11.已知，则的值是（）A. 0B.C.D.【答案】B【解析】【分析】先利用平方关系和已知条件求出，，再利用两角差的正弦公式求解.【详解】，结合可得；因为，所以；所以，故选B.【点睛】本题主要考查同角的基本关系和差角公式.利用同角关系求解时注意符号的选择.12.设f（x）为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=e x+b（b为常数），则f（-ln2）等于（）A. B. 1 C. D.【答案】C【解析】利用奇函数先求b，再代入可得.【详解】因为f（x）为定义在R上的奇函数，所以，即；.故选C.【点睛】本题主要考查利用函数奇偶性求值.奇函数在处有定义则.二.填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.时间经过5小时，分针转过的弧度数为______．【答案】-10π【解析】【分析】利用弧度的定义求解.【详解】时间经过5小时，分针顺时针旋转了5圈，故为.【点睛】本题主要考查弧度和任意角的概念.注意旋转方向对角的影响.14.已知定义在R上的函数满足，且当时，，则的值为______．【答案】-1【解析】【分析】先利用条件求出函数的周期，然后再求解.【详解】因为，，两式相减可得，即周期为，.【点睛】本题主要考查函数的周期性.熟记常见周期的表达形式，求出周期是解题关键.15.已知函数对定义域中任意的x1，x2，当x1＜x2时都有f（x1）＞f（x2）成立，则实数a的取值范围是______．【答案】（0，]【解析】【分析】利用条件判断单调性，结合分段函数的单调性求参数.【详解】当x1＜x2时都有f（x1）＞f（x2）成立，可得为减函数，所以，解得.【点睛】本题主要考查利用分段函数的单调性求解参数.分段函数的单调性，每段内要单调，且边界处也要注意.16.两个向量满足，则=______．【答案】5【解析】【分析】先利用模长计算出，再进行计算.【详解】由条件可得，，联立可得代入可得；.【点睛】本题主要考查平面向量模长及运算.模长问题一般是先平方，再进行处理.三.解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知函数．（1）画出函数f（x）的图象；（2）由图象写出满足f（x）≥3的所有x的集合（直接写出结果）；（3）由图象写出满足函数f（x）的值域（直接写出结果）．【答案】（1）见图像；（2）（-∞，-9]∪[1，+∞）；（3）【解析】【分析】分段作出函数的图像，结合图像求解解集和值域问题.【详解】(1）f（x）的图象如图所示：（2）（-∞，-9]∪[1，+∞）；（3）．【点睛】本题主要考查分段函数的图像问题，利用图像求解不等式和值域，侧重考查数形结合的思想. 18.已知cosα=，cos（α-β）=，且0＜β＜α＜．（Ⅰ）求tan2α的值；（Ⅱ）求cosβ．【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：(1)由题意求得，然后利用二倍角公式计算可得(2)构造角之后利用两角和差正余弦公式可得试题解析：（1），（2）点睛：(1)技巧：①寻求角与角之间的关系，化非特殊角为特殊角；②正确灵活地运用公式，通过三角变换消去或约去一些非特殊角的三角函数值；③一些常规技巧：“1”的代换、和积互化等．(2)常用方法：异名三角函数化为同名三角函数，异角化为同角，异次化为同次，切化弦，特殊值与特殊角的三角函数互化．19.（1）计算log3；（2）已知x的值．【答案】（1）．（2）–4．【解析】【分析】（1）利用对数运算法则化简求解即可．（2）通过对数方程求出x，y的关系，化简所求表达式求解即可．【详解】（1）log3=+lg100+1+2=（2）∵x＞0，y＞0，x﹣2y＞0∴∵lgx+lgy=2lg（x﹣2y），∴xy=（x﹣2y）2，∴，∴==﹣4【点睛】本题考查对数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数的性质、运算法则的合理运用．20.已知a＞0，函数f（x）=-2asin（2x+）+2a+b，当x∈[0，]时，-5≤f（x）≤1．（1）求常数a，b的值；（2）设g（x）=f（x+）且lg g（x）＞0，求g（x）的单调区间．【答案】20．解：(1) ∵，∴∴∴又∵∴(2) 由(1)知，∴又由∴其中，单增时，有，即∴增区间为【解析】试题分析：（1）当时，，由此使可知解此方程组即可求得a，b；（2）由（1）得的解析式，又，利用诱导公式可求得的解析式，可求得其单调增区间A，即>0，可求得集合B，集合A与B的交集便是满足题中要求的集合的.试题解析：（1）∵，∴，∴，∴，∴，又∵，∴，，∴.（2）由（1）得：，，又由，得，∴，∴，∴，其中，当时，单调递增，即，∴的单调递增区间为.考点：求解含有参数的解析式，函数的单调性，对数函数的定义域.【方法点睛】三角函数的值域为[-1，1]，当求某一段区间上的值域时，如本题，则需要先求的范围，这样能将一个复杂的复合函数的值域化简为求简单的基本初等函数的值域，根据函数的值域的端点值列方程，在求跟三角函数有关的函数的单调区间时，一定要注意三角函数的周期性，即单调区间是很多个间断的区间.21.已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）的图象的一部分如图所示．（1）求函数f（x）的解析式；（2）当时，求函数y=f（x）+f（x+2）的最大值与最小值及相应的x值．【答案】（1）（2），，，【解析】试题分析：（1）由图象知，，从而可求得，继而可求得；（2）利用三角函数间的关系可求得，利用余弦函数的性质可求得时的最大值与最小值及相应的值．试题解析：：（1）由图象知，．∴．∴．图象过点，则，∵，∴，于是有．（2）.∵，∴．当，即时，；当，即时，．考点：（1）由的部分图象求其解析式；（2）正弦函数的定义域和值域.【方法点晴】本题考查由的部分图象确定其解析式，考查余弦函数的性质，考查规范分析与解答的能力，属于中档题．由三角函数图象求解析式时，主要是通过图象最高点或最低点得到振幅，通过图象的周期得到，最后代入特殊点得到的值；在求三角函数最值时，主要是通过辅角公式将其化为一般形式或，在得最值.22.已知函数f（x）=ax2+bx+c，其中a∈N*，b∈N，c∈Z．（1）若b＞2a，且f（sinα）（α∈R）的最大值为2，最小值为-4，求f（x）的最小值；（2）若对任意实数x，不等式4x≤f（x）≤2（x2+1），且存在x0使得f（x0）＜2（x02+1）成立，求c的值．【答案】（1）；（2）c=1．【解析】【分析】（1）利用二次函数的最值确定单调性，再进行求解.（2）利用恒成立求解参数.【详解】（1）据题意x∈[-1，1]时，f（x）max=2，f（x）min=-4，，∵b＞2a＞0，∴，∴f（x）在[-1，1]上递增，∴f（x）min=f（-1），f（x）max=f（1），∴，∴b=3，a+c=-1，∵b＞2a，∴，又a∈N*，∴a=1，∴c=-2，∴，∴．（2）由已对任意实数x，不等式4x≤f（x）≤2（x2+1）得，4≤f（1）≤4，∴f（1）=4，即a+b+c=4①，∵f（x）≥4x恒成立，∴ax2+（b-4）x+c≥0恒成立，∴△=（b-4）2-4ac≤0②，由①得b-4=-（a+c），代入②得（a-c）2≤0，∴a=c，由f（x）≤2（x2+1）得：（2-a）x2-bx+2-c≥0恒成立，若a=2，则b=0，c=2，∴f（x）=2（x2+1），不存在x0使f（x0）＜2（x02+1），与题意矛盾，∴2-a＞0，∴a＜2，又a∈N*，∴a=1，c=1．【点睛】本题主要考查二次函数的最值问题和恒成立问题.结合二次函数的性质和图像能方便求解.。

2022-2023学年湖北省荆州市荆州中学高一数学第一学期期末调研试题含解析

2、B
【解析】
条件化为，然后由的图象确定范围，再确定是否相符
【详解】，即 .
∵函数为指数函数且的定义域为，函数为对数函数且的定义域为，A中，没有函数的定义域为，∴A错误；B中，由图象知指数函数单调递增，即，单调递增，即，可能为1，∴B正确；C中，由图象知指数函数单调递减，即，单调递增，即，不可能为1，∴C错误；D中，由图象知指数函数单调递增，即，单调递减，即，不可能为1，∴D错误
解得，故第50%分数位76.67分；
【小问3详解】
第三组频率为，第四组频率为，
第五组频率为，
故从第三、四、五组老师中用分层抽样的方法抽取6人作学习心得交流分享，
三组人数为3人，2人和1人，
记第三组抽取人为 , 第四组抽取的人为 , 第五组抽取的人为 ,
则抽取2人的所有情况如下：
共15种，
其中第四组至少有1名老师被抽到的抽法有
又由是定义在上的奇函数，则在上也为增函数，
则在上为增函数，
由，则有，解得：，即不等式的解集为；
故选：A
【点睛】本题考查函数奇偶性与单调性结合，解抽象函数不等式，有一定难度题，故只要即可，求出的最大值，即可求出的范围，从而可得出答案.
【详解】解：因为“ ”是假命题，
13、或2
【解析】分别对两条直线的斜率存在和不存在进行讨论，利用两条直线互相垂直的充要条件，得到关于的方程可求得结果
【详解】设直线为直线；直线为直线，①当直线率不存在时，即，时，直线的斜率为0，
故直线与直线互相垂直，所以时两直线互相垂直
②当直线和斜率都存在时，，要使两直线互相垂直，

湖北省荆州中学高一数学上学期期末考试试卷(理)

湖北省荆州中学2008-2009学年度高一数学上学期期末考试试卷（理）一、选择题（本大题共10个小题；每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求．）1．已知集合{}1,log 3>==x x y y A ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧>==1,)31(x y y B x ，则B A 等于（）A. {}0>y y B. ⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<310y y C.φ D.R2.在数列1，1，2，3，5，8，x ，21，34，55中，x 应等于（）A.11B.10C.13D.123.已知21)(x x f --=在区间M 上的反函数是其本身，则M 可以是（）A.[]0,1-B.[]1,0C.[]+∞-,1D.[]1,1- 4.已知数列{}n a 的通项公式为1582+-=n n a n ，则3（）A.不是数列{}n a 中的项B.只是数列{}n a 中的第2项C.只是数列{}n a 中的第6项D.是数列{}n a 中的第2项或第6项 5.下列四个命题中正确的是（）A.第一象限的角必是锐角B.锐角必是第一象限的角C.终边相同的角必相等D.第二象限的角必大于第一象限的角6.a 、b 、c 、d 、e 、f 为实数，已知真命题“d c b a >⇒≥”和“f e b a ≤⇒<”，则“d c ≤”是“f e ≤”的（）A ．充分条件B .必要条件C ．充分必要条件D .既不必要又不充分条件7．已知函数()y f x =的图象如图，则满足21()(5)01x f f x +⋅≤-的x 取值范围为（） A ．()1,2- B ．[)1,2- C ．[)1,1- D ．]2,1(8.已知函数)26(log 26.0x x y -+=的单调递增区间是（）A. ]41,(-∞ B . ),41[+∞ C . ]41,23(-D . )2,41[ 9.元旦期间，沙市时代广场为吸引顾客，实现“买100送20，连环送”的活动。

2023-2024学年湖北省荆州中学高一(上)期末数学试卷【答案版】

2023-2024学年湖北省荆州中学高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共8小题，每一小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．下列函数中，周期为π的是（）A．f（x）＝sin|x|B．f（x）＝2cos xC．D．f（x）＝|tan x|2．命题“∀n∈Z，n∈Q”的否定为（）A．∀n∈Z，n∉Q B．∀n∈Q，n∈Z C．∃n∈Z，n∈Q D．∃n∈Z，n∉Q3．单位圆上一点P从（0，1）出发，逆时针方向运动，则Q点的坐标为（）A．B．C．D．4．“”是“函数f（x）＝cos（x+α）（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．式子的值为（）A．B．C．D．26．已知函数f（x）＝tan（﹣x），下列结论正确的是（）A．函数f（x）周期为B．函数f（x）在上为增函数C．函数f（x）是偶函数D．函数f（x）关于点（2024π，0）对称7．已知实数x＞1，则的（）A．最小值为1B．最大值为1C．最小值为﹣1D．最大值为﹣18．雅各布•伯努利（JakobBernoulli，1654﹣1705年）是伯努利家族代表人物之一，瑞士数学家，常常忘情地沉溺于数学之中．伯努利不等式就是由伯努利提出的在分析不等式中一种常见的不等式．伯努利不等式的一种形式为：∀x＞﹣1，n∈N*，则（1+x）n≥1+nx．伯努利不等式是数学中的一种重要不等式，它的应用非常广泛，尤其在概率论、统计学等领域中有着重要的作用．已知a＝log22024﹣log22023，，，则（）A．b＞a＞c B．a＞c＞b C．b＞c＞a D．c＞b＞a二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9．下列说法错误的是（）A．﹣330°与750°的终边相同B．﹣120°化成弧度是C．经过4小时时针转了120°D．若角α与β终边关于y轴对称，则，k∈Z10．已知，，则（）A．B．C．D．11．已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（）A．函数y＝f（x）的图象关于直线对称B．若，2[f（x）]2﹣mf（x）﹣1≥0恒成立，则实数m∈（﹣∞，1]C．函数y＝f（x）在[﹣π，a]内有5个零点，则D．若F（x）＝f（x）﹣λ在[0，nπ]（n∈N*）上恰有2024个零点，则n＝202412．已知定义在R上的函数f（x），对任意的x，y∈R（x+y）+f（x﹣y）＝2f（x）f（y），且，则（）A．f（0）＝1B．f（x）是偶函数C．f（3n）＝﹣1，n∈N*D．，n∈N*三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

【数学】湖北省荆州市荆州中学2013-2014学年高一上学期期末考试(理)

一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）． 1．函数()lg(21)f x x =+-的定义域是（）A ．2[,)3+∞B ．1(,)2+∞C ．2(,)3+∞D ． 12(,)234．下列函数中，既是偶函数又在区间(0,)+∞上单调递增的函数是（） A ．2log (1)y x =+ B ．1y x =+ C ．21y x =-+ D ．2xy -=5．设232555322(),(),()555a b c ===，则a b c 、、的大小关系是（）A ．a c b >>B ．a b c >>C ．c a b >>D ． b c a >>6．已知3cos()sin()22()cos()tan()f ππ+α-αα=-π-απ-α，则25()3f -π的值为（） A ．12 B ．－12 C．7．把函数sin(5)2y x π=-的图象向右平移4π个单位，再把所得函数图象上各点的橫坐标缩短为原来的12，所得函数的解析式为（）A ．53sin()24y x =-π B ．7sin(10)2y x =-π C ．53sin()28y x =-π D ．7sin(10)4y x =-π 8．已知P 是ABC ∆所在平面内的一点，若CB PA PB =λ+，其中R λ∈，则点P 一定在（） A ．ABC ∆的内部 B ．AC 边所在直线上 C ．AB 边所在直线上 D ．BC 边所在直线上9．设()f x 是定义在R 上的偶函数，对任意的x R ∈，都有(2)(2)f x f x -=+，且当[2,0]x ∈-时，1()()12xf x =-，则在区间(2,6]-内关于x 的方程2()l og (2)0f x x -+=的零点的个数是（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．已知扇形的圆心角为060，所在圆的半径为10cm ，则扇形的面积是__________2cm ．12．已知()f x =若(,)2πα∈π，化简(cos )(cos )f f α+-α= ______________．13．设D 、E 分别是ABC ∆的边,A BB C 上的点，11,32AD AB BE BC ==，若12DE AB AC =λ+λ12(,)R λλ∈，则12λ+λ=_______________．14．函数y =_______________．15．给出下面命题：①函数3c o s ()22y x π=+是奇函数；②存在实数α，使得3s i n c o s 2α+α=；③若αβ、是第一象限角且αβ<，则tan αβ<t a n ；④8x π=是函数5sin(2)4y x =+π的一条对称轴；⑤32sin 2y x =在区间[,]32ππ-上的最小值是－2，其中正确命题的序号是．三、解答题：（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16．（本题12分）已知集合{}25log (82)2,01xx A x B xx ⎧-⎫=-≤=<⎨⎬+⎩⎭求：（1）()R C A B ；（2）()()R R C A C B ．17．（本题12分）（1）已知tan 2,x =计算22cos cos sin sin x x x x +-的值；（2(1sin cos )(sincos ))θθ+θ+θ-<θ<π．20．（本题13分）已知()12sin f θθ=-，2()34cos g θθ=-．记()()()F a f b g θθθ=⋅+⋅（其中,a b 都为常数，且0b >）．（1）若4=a ，1=b ，求()F θ的最大值及此时的θ值；（2）若[0,]2πθ∈，求()F θ的最小值．21．（本题14分）已知函数21(log )f x x x=- （1）求()f x 的表达式；（2）若不等式2(2)()0t f t mf t +≥对于[1,2]t ∈恒成立，求实数m 的取值范围；（3）若()f x 中，sin cos ,(,0)2x π=α+αα∈-，且2(1)(1)0f m f m -+-<，求实数m 的取值范围.参考答案20. （1）2()4sin 8sin 3F θθθ=-+24(sin 1)1θ=-- ……………………3分sin 1θ∴=-时 ()max 15F θ= 322k θππ=+ …………………6分（2）2()4sin 2sin F b a a b =-+-θθθ224(sin )44a a b a b b bθ=--+- ……………………8分①04ab≤时，sin 0θ=时()min F a b =-θ ②14ab≥时，sin 1θ=时()min 3F b a =-θ ③014a b <<时，sin 4a b =θ时2()min 4a F a b b=-+-θ ……………………13分。

荆州中学高一数学(理)上学期期末试卷(有答案)【最新】

荆州中学2016～2017学年度上学期期末试卷年级：高一科目：数学（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 若点(,9)a 在函数3x y =的图象上，则tan 6aπ的值为( )A. 0B.3C. 1D.2. 若sin 0α> 且tan 0α<，则2α的终边在( ) A. 第一象限B. 第二象限C. 第一象限或第三象限D. 第三象限或第四象限3. 若2弧度的圆心角所对的弦长为4sin1cm ，则这个圆心角所夹的扇形的面积是( ) A.22cmB. 24cmC.22cm πD. 24cm π4. 已知,a b 均为单位向量，它们的夹角为3π，那么3a b +等于( )B.C.4D. 5. 据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间（单位：分钟）,()(,x m f x m c x m <=≥为常数），已知工厂组装第4件产品所用的时间为30分钟，工人组装第m 件产品所用的时间为15分钟，则m =( ) A.49B. 25C. 16D. 96. 已知函数()f x 是定义在闭区间[,](0)a a a ->上的奇函数，()()1F x f x =+，则()F x 的最大值与最小值的和为（） A.4B. 2C. 1D. 07. 已知0x 是函数()24x f x e x =+-的零点，若1020(1,),(,2)x x x x ∈-∈，则( ) A. 12()0,()0f x f x <<B. 12()0,()0f x f x <>C. 12()0,()0f x f x ><D. 12()0,()0f x f x >>8. 已知函数()sin()(,0)4g x x x R πωω=+∈>的最小正周期为π，为了得到函数()cos f x x ω=的图象，只要将()y g x =的图象( ) A. 向左平移8π个单位长度 B. 向右平移8π个单位长度 C. 向左平移4π个单位长度D. 向右平移4π个单位长度 9. 设(3,),(4,3)a m b =-=，若a 与b 的夹角是钝角，则实数m 的范围是( ) A. 4m >B. 4m <C. 4m <且94m ≠D. 4m <且94m ≠-10.用min{,,}a b c 表示,,a b c 三个数中的最小值，设()min{2,2,10}(0)x f x x x x =+-≥，则()f x 的最大值为 ( ) A. 7B. 6C. 5D. 411. 函数1y x=的图象与函数3sin (11)y x x π=-≤≤的图象所有交点的横坐标与纵坐标的和等于( ) A. 4B. 2C. 1D. 012. 已知函数21,0,()21,0,x x x f x x x ⎧++≥=⎨+<⎩若(sin sin sin 1)1,f r αβ++-=-(cos cos cos 1)3f r αβ+++=，则cos()cos()r αββ-+-的值为( )A. 1B. 2C.1-D. －2二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．20.5203252731()()(0.1)()lg 2lg59649π--++-++= ______________．14．已知1sin ,233απαπ=<<，那么sin cos 22αα+= ______________．15．()y f x =为R 上的偶函数，且满足(4)(4)f x f x +=-，当[0,4],x ∈()f x x =，则2[2016s i n (2)s i n ()c o s ()]f αππαα+-⋅+--= _____________．16．给出下列结论：（１）函数()tan f x x =有无数个零点；（２）集合{21}A x y x ==+，集合 2{1}B x y x x ==++则{}(0,1),(1,3)A B =；（３）函数11()sin sin 22f x x x =+的值域是[1,1]-；（４）函数()2sin(2)3f x x π=+的图象的一个对称中心为(,0)3π；（５）已知函数()2cos f x x =，若存在实数12,x x ，使得对任意的实数x 都有12()()()f x f x f x ≤≤成立，则12x x -的最小值为2π。

2022-2023学年湖北省荆州中学高一年级上册学期期末数学试题【含答案】

2022-2023学年湖北省荆州中学高一上学期期末数学试题一、单选题1．已知集合，则（）{}{}22,2,1,0,1,2M x x N =<=--∣M N ⋂=A ．B ．{}2,1,0,1,2--{}1,0,1-C ．D ．{}1,1-{}2,2-【答案】B【分析】解一元二次不等式求得集合M ，根据集合的交集运算即可求得答案.【详解】,,{}22{|M x x x x =<=<∣{}2,1,0,1,2N =--故{1,0,1}M N ⋂=-故选：B.2．命题“，”的否定是（）x ∀∈R 3210x x -+≤A ．，B ．，x ∃∈R 3210x x -+≥x ∃∈R 3210x x -+>C ．， D ．，x ∃∈R 3210x x -+≤x ∀∈R 3210x x -+>【答案】B【分析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题【详解】根据全称量词命题的否定是存在量词命题可得：“，”的否定为，x ∀∈R 3210x x -+≤x ∃∈R .3210x x -+>故选：B3．已知正数，满足，则的最小值为（）a b 2a b +=19a b +A ．6B ．8C ．16D ．20【答案】B【分析】根据给定条件结合“1”的妙用即可求出的最小值.19a b +【详解】因正数，满足，则a b 2a b +=1911919()((10)22b a a b a b a b a b +=++=++，1(1082≥+=当且仅当，即时取“=”，由及解得：，9b aa b =3b a =3b a =2a b +=13,22a b ==所以当时，取得最小值8.13,22a b ==19a b +故选：B4．已知关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是（）x 2680kx kx k -++≥x R ∈k A ．B ．[]0,1(]0,1C ．D ．()(),01,-∞⋃+∞(][),01,-∞+∞ 【答案】A【分析】当时，该不等式成立，当时，根据二次函数开口方向及判别式列不等式解决二0k =0k ≠次不等式恒成立问题.【详解】当时，该不等式为，成立；0k =80≥当时，要满足关于的不等式对任意恒成立，只需0k ≠x 2680kx kx k -++≥x R ∈，解得，()2036480k k k k >⎧⎨-+≤⎩01k <≤综上所述，的取值范围是，k []0,1故选：A.5．若α为第四象限角，则（）A ．cos2α>0B ．cos2α<0C ．sin2α>0D ．sin2α<0【答案】D【分析】由题意结合二倍角公式确定所给的选项是否正确即可.【详解】方法一：由α为第四象限角，可得，3222,2k k k Z ππαππ+<<+∈所以34244,k k k Zππαππ+<<+∈此时的终边落在第三、四象限及轴的非正半轴上，所以2αy sin 20α<故选：D.方法二：当时，，选项B 错误；6πα=-cos 2cos 03πα⎛⎫=-> ⎪⎝⎭当时，，选项A 错误；3πα=-2cos 2cos 03πα⎛⎫=-< ⎪⎝⎭由在第四象限可得：，则，选项C 错误，选项D 正确；αsin 0,cos 0αα<>sin 22sin cos 0ααα=<故选：D.【点睛】本题主要考查三角函数的符号，二倍角公式，特殊角的三角函数值等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.6．已知函数，满足对任意的实数都有成立，则实数()()2,211,22x a x x f x x ⎧-≥⎪=⎨⎛⎫-<⎪ ⎪⎝⎭⎩12x x ≠1212()()0f x f x x x -<-的取值范围为（）a A ．B ．C ．D ．(),2∞-13,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦(],2∞-13,28⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】B【解析】本题先判断函数是定义在上的减函数，再运用分段函数的单调性求参数范围即可.R 【详解】因为函数满足对任意的，都有成立，()f x 12x x ≠()()12120f x f x x x-<-所以函数是定义在上的减函数，()()2,211,22xa x x f x x ⎧-≥⎪=⎨⎛⎫-<⎪ ⎪⎝⎭⎩R 所以，解得，所以220112(2)2a a -<⎧⎪⎨⎛⎫-≥- ⎪⎪⎝⎭⎩2138a a <⎧⎪⎨≥⎪⎩13,8a ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦∈故选：B【点睛】本题考查利用分段函数的单调性求参数范围，关键点是数形结合.7．Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I (t )(t 的单位：天)的Logistic 模型：，其中K 为最大确诊0.23(53)()=1et I K t --+病例数．当I ()=0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则约为（）（ln19≈3）*t *tA ．60B ．63C ．66D ．69【答案】C【分析】将代入函数结合求得即可得解.t t *=()()0.23531t KI t e --=+()0.95I t K *=t *【详解】，所以，则，()()0.23531t K I t e --=+ ()()0.23530.951t K I t K e **--==+()0.235319t e *-=所以，，解得.()0.2353ln193t *-=≈353660.23t *≈+≈故选：C.【点睛】本题考查对数的运算，考查指数与对数的互化，考查计算能力，属于中等题.8．在同一直角坐标系中，二次函数与幂函数图像的关系可能为（）2y ax bx =+(0)bay x x =>A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】根据题意，结合二次函数和幂函数的性质依次分析选项，即可得到答案.【详解】对于A ，二次函数开口向上，则，其对称轴，则，即2y ax bx =+0a >bx 02a =->0b a <幂函数为减函数，符合题意；(0)b ay x x =>对于B ，二次函数开口向下，则，其对称轴，则，即幂函数2y ax bx =+a<0bx 02a =->0b a <为减函数，不符合题意；(0)b ay x x =>对于C ，二次函数开口向上，则，其对称轴，则，即幂函数2y ax bx =+0a >12b x a =-=-2b a =为增函数，且其增加的越来越快，不符合题意；(0)b ay x x =>对于D ，二次函数开口向下，则，其对称轴，则，即幂函2y ax bx =+a<0122b x a =->-01b a <<数为增函数，且其增加的越来越慢快，不符合题意；(0)b ay x x =>故选：A【点睛】关键点点睛：本题考查函数图像的分析，在同一个坐标系中同时考查二次函数和幂函数性质即可得解，考查学生的分析试题能力，数形结合思想，属于基础题.二、多选题9．关于角度，下列说法正确的是（）A ．时钟经过两个小时，时针转过的角度是60︒B ．钝角大于锐角C ．三角形的内角必是第一或第二象限角D ．若是第三象限角，则是第二或第四象限角α2α【答案】BD【分析】根据角度的知识确定正确答案.【详解】A 选项，时钟经过两个小时，时针转过的角度是，A 选项错误.60-︒B 选项，钝角的范围是；锐角的范围是，α90180α︒<<︒β090β︒<<︒，B 选项正确.αβ>C 选项，不是象限角，所以C 选项错误.90︒D 选项，，，3π2ππ2π2k k α+<<+π3πππ224k k α+<<+所以是第二或第四象限角，D 选项正确.2α故选：BD10．若不等式的解集是，则以下正确的有（）20ax bx c ++>1,22⎛⎫- ⎪⎝⎭A ．a ＜0B ．1ca =-C ． 230a b c ++>D ．的解集为（﹣2，）20cx bx a ++>12【答案】ABC【分析】根据二次函数和一元二次不等式的性质可求解.【详解】解：不等式的解集是，开口向下，故A 正确；20ax bx c ++>1,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，是方程的个两根，，故B 正确；12-220ax bx c ++=12()12c a =⨯-=-根据对称轴和可推出，带入选项中的式子可得324b a -=420a b c ++=32b ac a⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，故C 正确；32323502a b c a a a a ⎛⎫++=+⨯--=-> ⎪⎝⎭，是方程的个两根，，12-220ax bx c ++=13222b a-=-=12()12c a =⨯-=-当，，故解得，D 错误；0x =0c >22302cx bx a cx cx c ++=+->1(,2)(,)2-∞-+∞ 故选：ABC11．已知a >0，b >0，且a +b =1，则（）A ．B ．2212a b+≥122a b ->C ．D 22log log 2a b +≥-≤【答案】ABD【分析】根据，结合基本不等式及二次函数知识进行求解.1a b +=【详解】对于A ，，()222221221a b a a a a +=+-=-+21211222a ⎛⎫⎪⎭+ ⎝≥-=当且仅当时，等号成立，故A 正确；12a b ==对于B ，，所以，故B 正确；211a b a -=->-11222a b -->=对于C ，，2222221log log log log log 224a b a b ab +⎛⎫+=≤==-⎪⎝⎭当且仅当时，等号成立，故C不正确；12a b ==对于D ，因为，2112a b =+≤++=时，等号成立，故D 正确；≤12a b ==故选：ABD【点睛】本题主要考查不等式的性质，综合了基本不等式，指数函数及对数函数的单调性，侧重考查数学运算的核心素养.12．已知为定义在上且周期为5的函数，当时，.则下列说法中()f x R [)0,5x ∈()243f x x x =-+正确的是（）A ．的增区间为，()f x ()()15,2535,55k k k k ++⋃++Zk ∈B ．若与在上有10个零点，则的范围是y a =()y f x =[]5,7-a ()0,1C ．当时，的值域为，则的取值范围[]0,x a ∈()f x []0,3a []1,4D ．若与有3个交点，则的取值范围为()20y kx k =->()y f x =k 12,23⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】BC 【解析】首先作出的图象几个周期的图象，由于单调区间不能并，可判断选项A 不正确；利()f x 用数形结合可判断选项B 、C ；举反例如时经分析可得与有3个交点，1k =()20y kx k =->()y f x =可判断选项D 不正确，进而可得正确选项.【详解】对于选项A ：单调区间不能用并集，故选项A 不正确；对于选项B ：由图知若与在上有10个零点，则的范围是，y a =()y f x =[]5,7-a ()0,1故选项B 正确；对于选项C ：，，由图知当时，的值域为，则的取值范围()10f =()43f =[]0,x a ∈()f x []0,3a ，故选项C 正确；[]1,4对于选项D ：当时，直线为过点，也过点，当时，1k =2y x =-()5,3()f x ()5,310x =，直线过点，而点不在图象上，由图知：当时，直线为1028y =-=()10,8()10,8()f x 1k =与有3个交点，由排除法可知选项D 不正确，2y x =-()y f x =故选：BC【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.三、填空题13．已知幂函数的图象过点，则=__________.()f x kx α=()2,4k α+【答案】3【分析】先由幂函数定义，再代入点的坐标即可求解.1k =【详解】解：由幂函数定义知，，又过，所以，，1k =()2,4422,αα==3k α+=故答案为：3【点睛】考查幂函数定义的应用，基础题.14．已知扇形的周长为，面积为，扇形的圆心角（正角）的弧度数为_________．20cm 29cm 【答案】29【分析】利用扇形弧长和面积公式可构造方程求得扇形圆心角的弧度数.【详解】设扇形的半径为，圆心角为，则扇形弧长，r ()02παα<<202l r r α==-又扇形面积，或，()11202922S lr r r ==-⋅=1r ∴=9r =或，则（舍）或，18l ∴=2l =18α=29α=扇形圆心角的弧度数为.∴29故答案为：.2915．设函数是定义在上的偶函数，且在上单调递减，若，则()y f x =[]1,1-()f x []0,1(1)()f a f a -<实数的取值范围是_______．a 【答案】1[0,)2【详解】∵函数是定义在上的偶函数，且在上单调递减，若()y f x =[]1,1-()f x []0,1，()()1f a f a -<∴，解得：，111111a a a a ⎧-≤-≤⎪-≤≤⎨⎪->⎩021112a a a ⎧⎪≤≤⎪-≤≤⎨⎪⎪<⎩10a 2≤<故答案为10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭四、双空题16．记定义为，若函数，则函数[]()a b I x ，[]()a b a x a I x x a x bb x b <⎧⎪=≤≤⎨⎪>⎩，，，，，，，()[]()[]()21234()f x I x I x -=-，，的最大值为__________；不等式的解集为__________．()f x ()2f x x≥-【答案】 1{|1}x x ≥【分析】根据定义为，得到求解.[]()a b I x ，[]()a b a x a I x x a x bb x b <⎧⎪=≤≤⎨⎪>⎩，，，，，，，()22,13,121,234,340,4x x x f x x x x x -<-⎧⎪--≤≤⎪⎪=<<⎨⎪-≤≤⎪>⎪⎩【详解】解：因为定义为，[]()a b I x ，[]()a b a x a I x x a x bb x b <⎧⎪=≤≤⎨⎪>⎩，，，，，，，所以，[]()()[]()221,23,41,13,3,12,,344,24,4x x I x x x I x x x x x -<-<⎧⎧⎪⎪=-≤≤=≤≤⎨⎨⎪⎪>>⎩⎩所以，()[]()()[]()221,23,42,13,121,234,340,4x x x f x I x I x x x x x --<-⎧⎪--≤≤⎪⎪=-=<<⎨⎪-≤≤⎪>⎪⎩当时，；1x <-()2f x =-当时，；12x -≤≤()[]3,1f x ∈-当时，；23x <<()1f x =当时，；34x ≤≤()[]0,1f x ∈当时，；>4x ()0f x =所以函数的最大值为1；()f x 当时，，解得，此时无解；1x <-22x -≥-1x ≥当时，，即，解得或，此时；12x -≤≤232x x -≥-2230x x +-≥3x ≤-1x ≥12x ≤≤当时，，解得，此时；23x <<12x ≥-21x ≥-23x <<当时，，解得，此时；34x ≤≤42x x -≥-4x ≥-34x ≤≤当时，，解得，此时，>4x 02x ≥-0x ≥>4x 综上：不等式的解集为，()2f x x≥-{|1}x x ≥故答案为：1，.{|1}x x ≥五、解答题17．求值：(1)22log 33582lg 2lg 22+--(2)25π10π13πsincos tan 634⎛⎫-+- ⎪⎝⎭【答案】(1)6(2)0【分析】(1)根据指数运算公式和对数运算公式求解即可；(2)根据诱导公式化简求值即可.【详解】（1）22log 33582lg 2lg 22+--()()2lo 23g 3322lg 5lg 22lg 2=+---223lg 5lg 22lg 2=+-+-7(lg 5lg 2)=-+71=-；6=（2）25π10π13πsin cos tan 634⎛⎫-+- ⎪⎝⎭πππsin 4πcos 3πtan 3π634⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭πππsin cos tan 634=+-11122=+-．0=18．已知全集，集合，集合.U =R {}2120A x x x =--≤{}11B x m x m =-≤≤+(1)当时，求；4m =()U A B ⋃ (2)若，求实数的取值范围.()U B A ⊆ m 【答案】(1)或；{4x x ≤5}x >(2)或.4m <-5m >【分析】（1）确定集合A ，B ，求出集合B 的补集，根据集合的并集运算，即可求得答案.（2）求出集合A 的补集，根据，列出相应不等式，求得答案.()U B A ⊆ 【详解】（1）集合，{}{}212034A x x x x x =--≤=-≤≤当时，，则或，4m ={}35B x x =≤≤{3U B x x =< 5}x >故或；()U A B = {4x x ≤5}x >（2）由题意可知或，,{3U A x x =<- 4}x >{}11B x m x m =-≤≤+≠∅由，则或，U B A ⊆ 13m +<-14m ->解得或.4m <-5m >19．已知函数sin()cos sin()cos(2)()cos tan()sin 2f πααπαπααπααα-+-=+-⎛⎫- ⎪⎝⎭（1）化简；()f α（2）若，求的值.1(),052f παα=-<<sin cos ,s cos in αααα⋅-【答案】（1）；（2）()sin cos f ααα=+75-【分析】（1）利用诱导公式进行化简即可；（2）由（1）结果两边平方，再利用同角三角函数的基本关系联立解方程组即可得出结果.【详解】解：（1）sin()cos sin()cos(2)sin cos (sin )cos ()cos tan()cos cos tan sin 2f πααπαπααααααπαααααα-+--=+=+--⎛⎫- ⎪⎝⎭ 所以.()sin cos f ααα=+（2）由，平方可得，1()sin cos 5f ααα=+=221sin 2sin cos cos 25αααα++=即. 所以， 242sin cos 25αα⋅=-12sin cos 25αα⋅=-因为，249(sin cos )12sin cos 25αααα-=-=又，所以，，所以,02πα-<<sin 0α<cos 0α>sin cos 0αα-<所以.7sin cos 5αα-=-【点睛】本题考查了诱导公式、同角三角函数的化简与求值，属于基础题.20．已知函数.()243x x f x x -+=（1）用单调性定义证明函数在区间上是增函数；()fx )+∞（2）求函数在区间上的值域.()f x []1,4【答案】（1）见解析；（2）34,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】（1）在区间内任取两数,并规定好大小,再作差,根据函数单调性)+∞12,x x ()()12f x f x -的定义判断即可；（2）根据函数的单调性即可求得在区间上的值域.()f x []1,4【详解】解：（1，12x x <<则()()12f x f x -221121224433x x x x x x ++=--- ()()22121211224334x x x x x x x x --+⋅-+⋅=，()()1212123x x x x x x -⋅-=，12x x << 故，120x x -<，1230x x ->，120x x >故，()()12121230x x x x x x -⋅-<，()()120f x f x ∴-<即，()()12f x f x <函数在区间是增函数；∴()243x x f x x-+=)+∞（2）由（1）知函数在上是增函数，()243x x f x x -+=当时，任取x ⎡∈⎣121≤<x x 则()()12f x f x -221121224433x x x x x x ++=--- ()()22121211224334x x x x x x x x --+⋅-+⋅=，()()1212123x xx x x x -⋅-=121x x <≤<故，120x x -<，1230x x -<，120x x >故，()()12121230x x x x x x -⋅->，()()120f x f x ∴->即，()()12f x f x >函数在区间是减函数；∴()243x x f x x -+=⎡⎣，m ax ()4f x f ∴===-，()21413101f -⨯+== ，()244433444f -⨯+==故，()max 34f x =故函数在区间上的值域为.()f x []1,434,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【点睛】方法点睛：定义法判定函数在区间上的单调性的一般步骤：()f x D 1.取值：任取，，规定，1x 2x D ∈12x x <2.作差：计算；()()12f x f x -3.定号：确定的正负；()()12f x f x -4.得出结论：根据的符号得出结论.()()12f x f x -21．某市城郊有一块大约的接近正方形的荒地，地方政府准备在此建一个综合性休闲500m 500m ⨯广场，首先要建设如图所示的一个矩形体育活动场地，其中总面积为3000平方米，其中阴影部分为通道，通道宽度为2米，中间的三个矩形区域将铺设塑胶地面作为运动场地（其中两个小场地形状相同），塑胶运动场地占地面积为平方米.S（1）分别用表示及的函数关系式，并给出定义域；x y S （2）请你设计规划该体育活动场地，使得该塑胶运动场地占地面积最大，并求出最大值S 【答案】（1），定义域是(6，500)；（2）设计时，运动场1500030306S x x =--50m 60m x y ，==地面积最大，最大值为2430平方米.【分析】（1）总面积为，且，可得，（其中，从而3000xy =26a y +=3000y x =15003a x =-6500)x <<运动场占地面积为，代入整理即得；(4)(6)S x a x a =-+-（2）由（1）知，占地面积，由基本不等式可得函数的最大值，以及对应的150003030(6S x x =-+的值．x 【详解】解：（1）由已知其定义域是.30003000,,xy y x =∴=(6,500)(4)(6)(210),S x a x a x a =-+-=-，，26a y += ∴1500332y a x =-=-，其定义域是.150015000(210)(3)30306S x x x x ∴=--=--(6,500)（2）150003030(6)3030303023002430,S x x =-+≤-=-⨯=当且仅当，即时，上述不等式等号成立，150006x x =50(6,500)x =∈此时，，，．50x =60y =2430max S =答：设计时，运动场地面积最大，最大值为2430平方米.50m 60m x y ，==22．已知函数.1()ln 1x f x x -=+(1)求证：是奇函数；()f x (2)若对于任意都有成立，求的取值范围；[]3,5x ∈()3f x t >-t (3)若存在，且，使得函数在区间上的值域为,(1,)αβ∈+∞αβ<()f x [],αβ，求实数的取值范围.ln ,ln 22m m m m αβ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦m【答案】(1)证明见解析(2)(,3ln 2)-∞-(3)209m <<【分析】（1）利用奇偶性的定义求解即可；（2）对于任意都有成立，仅需即可；[]3,5x ∈()3f x t >-min ()3f x t >-（3）由单调性可得是方程，即的两实数根，根据()f x ,αβ112x m mx x -=-+22(2)20mx m x m +-+-=一元二次函数的图像和性质求解即可.【详解】（1）又即解得，101x x ->+(1)(1)0x x -+>(,1)(1,)x ∈-∞-⋃+∞所以的定义域为，关于原点对称，()f x (,1)(1,)x ∈-∞-⋃+∞又因为，1111()ln ln ln ()111x x x f x f x x x x -+--⎛⎫-===-=- ⎪-++⎝⎭所以是奇函数.()f x （2）由题意，令，2()ln 11f x x ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭2()11u x x =-+(()0)u x >因为在上为增函数，在上为增函数，()u x (1,)+∞ln u (0,)+∞所以在上为增函数，当时，，()f x (1,)+∞[]3,5x ∈ln 2()ln 2ln 3f x -≤≤-对于任意都有成立，仅需即可，[]3,5x ∈()3f x t >-min ()3f x t >-所以，解得.ln 23t ->-3ln 2t <-（3）由（2）可知在上为增函数，()f x (1,)+∞又因为在区间上的值域为，()f x [],αβln ,ln 22m m m m αβ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦所以且，所以，0m >1ln ln 121ln ln 12m m m m αααβββ⎧-⎛⎫=- ⎪⎪+⎝⎭⎪⎨-⎛⎫⎪=- ⎪⎪+⎝⎭⎩112112m m m m αααβββ-⎧=-⎪+⎪⎨-⎪=-+⎪⎩则是方程，即的两实数根，,αβ112x m mx x -=-+22(2)20mx m x m +-+-=令，2()2(2)2h x mx m x m =+-+-则由题意对称轴，，，214m x m -=>2(2)42(2)0m m m ∆=--⨯⨯->(1)0h m =>解得.209m <<。

2017-2018学年湖北省荆州中学高一上学期期末考试数学(理)试题(解析版)

2017-2018学年湖北省荆州中学高一上学期期末考试数学（理）试题（解析版）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={1，2}，集合B满足A∪B={1，2}，则集合B有（）个．A. 1B. 2C. 3D. 42.计算cos47°cos13°-cos43°sin167°的结果等于（）A. 22B. 33C. 12D. 323.下列四组函数中的f(x)和g(x)相等的是()A. f(x)=x−1,g(x)=x2x −1 B. f(x)=tan x,g(x)=cos xsin xC. f(x)=x2,g(x)= x63 D. f(x)=x2,g(x)=(x)44.如果函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点（4π3，0）中心对称，那么φ 的最小值为（）A. π6B. π4C. π3D. π25.若向量a，b满足a=1，b=2且a ⊥b，则a+2b=（）A. 9B. 9+4C. 3D. 1+26.设函数f(x)=sin(2x−π2)，x∈R，则f（x）是（）A. 最小正周期为π的奇函数B. 最小正周期为π2的偶函数 C. 最小正周期为π2的奇函数 D. 最小正周期为π的偶函数7.已知平面向量a=（1，2），b=（-2，m），且a ∥b，则3a+2b等于（）A. (−2,−4)B. (−1,−2)C. (−4,−8)D. (1,2)8.函数f（x）=e x+x-2的零点所在的一个区间是（）A. (−2,−1)B. (−1,0)C. (0,1)D. (1,2)9.已知O，A，B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，满足2AC+CB=0，则OC等于()A. 2OA−OBB. −OA+2OBC. 23OA−13OB D. −13OA+23OB10.设函数f（x）=2sin（π2x+π5），若对任意x∈R都有f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立，则x1-x2的最小值为（）A. 4B. 2C. 1D. 1211.已知−π2＜α＜0，且2tanα⋅sinα=3，则sin(α−π3)的值是（）A. 0B. −32C. −1 D. 3212.设f（x）为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=e x+b（b为常数），则f（-ln2）等于（）A. −12B. 1C. −1D. −3二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.时间经过5小时，分针转过的弧度数为______．14.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+5)=−f(x)+2，且当x∈(0,5)时，f(x)=x，则f(2018)的值为______．15.已知函数f(x)=log a x，0＜x≤1(3a−1)x+12a，x＞1对定义域中任意的x1，x2，当x1＜x2时都有f（x1）＞f（x2）成立，则实数a的取值范围是______．16.两个向量a，b满足a−2b=1， 2a+3b=2，则(5a−3b)⋅(a−9b)=______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知函数f(x)=−x−6，x∈(−∞，−1.5 3x，x∈(−1.5，1)x+2，x∈[1，+∞)．（1）画出函数f（x）的图象；（2）由图象写出满足f（x）≥3的所有x的集合（直接写出结果）；（3）由图象写出满足函数f（x）的值域（直接写出结果）．18.已知cosα=17，cos（α-β）=1314，且0＜β＜α＜π2．（Ⅰ）求tan2α的值；（Ⅱ）求cosβ．19.（1）计算log327+lg25+lg4+(−9.8)0+log(2−1)(3−22)；（2）已知lgx+lgy=2lg(x−2y)，求log2y−log2x的值．20.已知a＞0，函数f（x）=-2a sin（2x+π6）+2a+b，当x∈[0，π2时，-5≤f（x）≤1．（1）求常数a，b的值；（2）设g（x）=f（x+π2）且lg g（x）＞0，求g（x）的单调区间．21.已知函数f（x）=A sin（ωx+φ）(A＞0，ω＞0，φ＜π2，x∈R)的图象的一部分如图所示．（1）求函数f（x）的解析式；（2）当x∈[−6，−23时，求函数y=f（x）+f（x+2）的最大值与最小值及相应的x值．22.已知函数f（x）=ax2+bx+c，其中a∈N，b∈N，c∈．（1）若b＞2a，且f（sinα）（α∈R）的最大值为2，最小值为-4，求f（x）的最小值；（2）若对任意实数x，不等式4x≤f（x）≤2（x2+1），且存在x0使得f（x0）＜2（x02+1）成立，求c的值．答案和解析1.【答案】D【解析】解：∵集合 A={1，2}，集合B满足A∪B=A，∴B⊆A，∴B=∅，B={1}，B={2}，B={1，2}．∴满足条件的集合B有4个．故选：D．已知得B⊆A，从而B=∅，B={1}，B={2}，B={1，2}．本题考查满足条件的集合个数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意集合的并集的性质的合理运用．2.【答案】C【解析】解：cos47°cos13°-cos43°sin167°=cos47°cos13°-sin47°sin13°=．故选：C．利用诱导公式、两角和差的余弦公式即可得出．本题考查了诱导公式、两角和差的余弦公式，属于基础题．3.【答案】C【解析】解：对于A，函数f（x）=x-1（x∈R），与g（x）=-1=x-1（x≠0）的定义域不同，不是相等函数；对于B，函数f（x）=tanx（x≠+ π，∈），与g（x）=（x≠ π，∈）的定义域不同，不是相等函数；对于C，函数f（x）=x2（x∈R），与g（x）==x2（x≥0）的定义域相同，对应关系也相同，是相等函数；对于D，函数f（x）=x2（x∈R），与g（x）==x2（x≥0）的定义域不同，不是同一函数．故选：C．根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，即可判断它们是同一函数．本题考查了判断两个函数是否为同一函数的应用问题，是基础题．4.【答案】A【解析】解：∵函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点中心对称．∴∴由此易得．故选：A．先根据函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点中心对称，令x=代入函数使其等于0，求出φ的值，进而可得φ 的最小值．本题主要考查余弦函数的对称性．属基础题．5.【答案】C【解析】解：向量，满足=1，=2且⊥，∴•=0，∴=+2•+2=1+0+2×4=9，∴+=3．故选：C．根据平面向量的数量积定义计算模长即可．本题考查了平面向量的数量积运算问题，是基础题．6.【答案】D【解析】解：函数，化简可得：f（x）=-cos2x，∴f（x）是偶函数．最小正周期T==π，∴f（x）最小正周期为π的偶函数．故选D根据三角函数的图象和性质判断即可．本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，比较基础．7.【答案】B【解析】解：∵=（1，2），=（-2，m），且∥，∴m+4=0，即m=-4．∴=（-2，-4），则3+2=（3，6）+（-4，-8）=（-1，-2）．故选：B．由向量共线的坐标运算求得m，再由向量的数乘与加法运算得答案．本题考查向量共线的坐标运算及向量的数乘与加法运算，是基础题．8.【答案】C【解析】解：因为f（0）=-1＜0，f（1）=e-1＞0，所以零点在区间（0，1）上，故选：C．将选项中各区间两端点值代入f（x），满足f（a）•f（b）＜0（a，b为区间两端点）的为答案．本题考查了函数零点的概念与零点定理的应用，属于容易题．函数零点附近函数值的符号相反，这类选择题通常采用代入排除的方法求解．9.【答案】A【解析】解：∵依题．∴．故选：A．本小题主要考查平面向量的基本定理，把一个向量用平面上的两个不共线的向量来表示，这两个不共线的向量作为一组基底参与向量的运算，注意题目给的等式的应用本题是向量之间的运算，运算过程简单，但应用广泛，向量具有代数特征和几何特征，借助于向量可以实现某些代数问题与几何问题的相互转化．10.【答案】B【解析】解：∵对任意x∈R都有f（x1）≤f（x）≤f（x2），∴f（x1）是最小值，f（x2）是最大值；∴ x1-x2的最小值为函数的半个周期，∵T=4，∴ x1-x2的最小值为2，故选：B．由已知可知f（x1）是f（x）中最小值，f（x2）是值域中的最大值，它们分别在最高和最低点取得，它们的横坐标最少相差半个周期，由三角函数式知周期的值，结果是周期的值的一半．本题是对函数图象的考查，我们只有熟悉三角函数的图象，才能解决好这类问题，同时，其他的性质也要借助三角函数的图象解决，本章是数形结合的典型．11.【答案】B【解析】解：∵，∴2•sinα=3，可得：sin2α=cosα，∵sin2α+cos2α=1，可得：2cos2α+3cosα-2=0，∴解得：cosα=，或-2（舍去），∴sinα=-=-，∴=sinα-cosα==-．故选：B．由已知利用同角三角函数基本关系式可得2cos2α+3cosα-2=0，解得cosα，进而可求sinα，利用两角差的正弦函数公式即可计算得解．本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角差的正弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．12.【答案】C【解析】解：∵f（x）为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=e x+b，∴f（0）=e0+b=0，即b=-1．∴当x≥0时，f（x）=e x-1，则f（-ln2）=-f（ln2）=-（e ln2-1）=-1．故选：C．由奇函数的性质求得b，再由f（-ln2）=-f（ln2）求得f（-ln2）的值．本题考查函数奇偶性的性质及应用，是基础的计算题．13.【答案】-10π【解析】【分析】本题考查的知识点是弧度制，其中一周角=2π，是解答本题的关键．根据一个小时，分针转过一周角，一个周角为2π，即可得到答案．【解答】解：由于经过一个小时，分针转过一周角，由一周角为2π，又由顺时针旋转得到的角是负角，故经过一个小时，分针转过的弧度数为-2π，所以时间经过5小时，分针转过的角的弧度数是5×（-2π）=-10π．故答案为-10π．14.【答案】-1【解析】解：∵定义在R上的函数f（x）满足f（x+5）=-f（x）+2，当x∈（0，5）时，f（x）=x，∴f（x+10）=-f（x+5）+2=-[-f（x）+2 +2=f（x），∴f（2018）=f（201×10+8）=f（8）=-f（3）+2=-3+2=-1．故答案为：-1．当x∈（0，5）时，f（x）=x，f（x+10）=-f（x+5）+2=-[-f（x）+2 +2=f（x），从而f（2018）=f（201×10+8）=f（8）=-f（3）+2，由此能求出结果．本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．15.【答案】（0，27【解析】解：任意的x1，x2，当x1＜x2时都有f（x1）＞f（x2）成立，可得f（x）在R上为减函数，可得，即为，即有0＜a≤，故答案为：（0，．由题意可得f（x）在R上为减函数，由对数函数、一次函数的单调性以及函数的单调性定义，可得a的不等式，解不等式可得a 的范围．本题考查分段函数的单调性的判断，以及参数的范围，注意运用对数函数、一次函数的单调性以及函数的单调性定义，考查运算能力，属于中档题．16.【答案】5【解析】解：两个向量满足，所以：，则：①，由于：，所以②，由①②得：，同时，③，由②③得：．所以：==．故答案为：5．直接利用向量的数量积和向量的模的应用求出结果．本题考查的知识要点：向量的数量积和向量的模的运算的应用．17.【答案】解：（1）f（x）的图象如图所示：（2）（-∞，-9 ∪[1，+∞）；，+∞)．（3）[−92【解析】（1）运用分段函数的图象画法，可得f（x）的图象；（2）由y=3求得x=1或-9，可得不等式的解集；（3）由图象可得f（x）的最小值，即可得到所求值域．本题考查分段函数的图象和运用，考查不等式的解集和函数的值域，注意运用数形结合思想方法，属于基础题．18.【答案】解：（Ⅰ）由cosα=17，0＜α＜π2，得sinα=1−cos2α=1−(17)2=437；…（2分）∴tanα=sinαcosα=437×71=43，于是tan2α=2tanα1−tanα=31−(43)2=-8347；…（6分）（Ⅱ）由0＜α＜β＜π2，得0＜α-β＜π2，…（8分）又∵cos（α-β）=1314，∴sin（α-β）=1−cos2(α−β)=1−(1314)2=3314；…（10分）由β=α-（α-β）得：cosβ=cos[α-（α-β）=cosαcos（α-β）+sinαsin（α-β）=1 7×1314+437×3314=12．…（13分）【解析】（Ⅰ）根据同角的三角函数关系和二倍角根据，求出tanα和tan2α的值；（Ⅱ）由同角的三角函数关系和三角恒等变换，即可求出cosβ的值．本题考查了同角的三角函数关系与三角恒等变换的应用问题，是基础题．19.【答案】解：（1）log327+lg25+lg4+(−9.8)0+log(2−1)(3−22)=32+lg100+1+2=132…（6分）（2）∵x＞0，y＞0，x-2y＞0∴0＜yx ＜12…（7分）∵lg x+lg y=2lg（x-2y），∴xy=（x-2y）2，∴4(yx )2−5yx+1=0，∴x2−5xy+4y2=0，∴y x =14或yx=1(舍去)…（10分）∴log2y−log2x=log2yx=log214=-4…（11分）…（12分）【解析】（1）利用对数运算法则化简求解即可．（2）通过对数方程求出x，y的关系，化简所求表达式求解即可．本题考查对数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数的性质、运算法则的合理运用．20.【答案】解：f（x）=-2a sin（2x+π6）+2a+b，（1）当x∈[0，π2时，2x+π6∈[π6，7π6．∴-12≤sin（2x+π6）≤1．∴-2a≤-2a sin（2x+π6）≤a．则b≤f（x）≤3a+b．∵-5≤f（x）≤1．∴ 3a+b=1b=−5，解得：a=2，b=-5得f（x）=-4sin（2x+π6）-1．（2）g（x）=f（x+π2），即g（x）=-4sin[2（x+π2）+π6-1=-4sin（2x+7π6）-1=4sin（2x+π6）-1．∵lg g（x）＞0，即lg g（x）＞lg1．可得：4sin（2x+π6）-1＞1．∴sin（2x+π6）＞12．可得：2kπ+π6＜2x+π6≤2kπ+5π6，∈．求g（x）的单调增区间．∴2kπ+π6＜2x+π6≤2kπ+π2，∈．解得：π＜x≤kπ+π6．g（x）的单调增区间为（π，kπ+π6，∈．求g（x）的单调减区间．∴2kπ+π2≤2x+π6＜2kπ+5π6，解得：kπ+π6≤x＜kπ+π3单调减区间为[kπ+π6，kπ+π3），∈．【解析】（1）当x∈[0，时，求出内层函数范围，求解f（x）的值域，根据-5≤f（x）≤1．即可求解a，b的值；（2）由g（x）=f（x+）求解g（x）的解析式，lg g（x）＞0，即lg g（x）＞lg1．即可求g（x）的单调区间．本题考查了三角函数的图象即性质的运用和化简能力，解析式的确定．着重考查了对数不等式的求法，讨论三角函数的范围，再结合三角函数的性质求解单调区间，属于中档题．21.【答案】解：（1）由图象知A=2，T=8．∴T=2πω=8．∴ω=π4．图象过点（-1，0），则2sin（-π4+φ）=0，∵φ ＜π2，∴φ=π4，于是有f（x）=2sin（π4x+π4）．（2）y=f（x）+f（x+2）=2sin（π4x+π4）+2sin（π4x+π2+π4）=2sin（π4x+π4）+2cos（π4x+π4）=22sin（π4x+π2）=22cosπ4x．∵x∈[-6，-23，∴-32π≤π4x≤-π6．当π4x=-π6，即x=-23时，y max=6；当π4x=-π，即x=-4时，y min=-22．【解析】（1）由图象知A=2，T=8，从而可求得ω，继而可求得φ；（2）利用三角函数间的关系可求得y=f（x）+f（x+2）=2cos x，利用余弦函数的性质可求得x∈[-6，-时y的最大值与最小值及相应的值．本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查余弦函数的性质，考查规范分析与解答的能力，属于中档题．22.【答案】解：（1）据题意x∈[-1，1 时，f（x）max=2，f（x）min=-4，（1分）f(x)=a(x+b2a )2+c−b24a，∵b＞2a＞0，∴−b2a＜−1，∴f（x）在[-1，1 上递增，∴f（x）min=f（-1），f（x）max=f（1），（3分）∴ a−b+c=−4a+b+c=2，∴b=3，a+c=-1，（5分）∵b＞2a，∴a＜32，又a∈N，∴a=1，∴c=-2，（7分）∴f(x)=x2+3x−2=(x+32)2−174，∴f(x)min=−174．（8分）（2）由已对任意实数x，不等式4x≤f（x）≤2（x2+1）得，4≤f（1）≤4，∴f（1）=4，即a+b+c=4①，（9分）∵f（x）≥4x恒成立，∴ax2+（b-4）x+c≥0恒成立，∴△=（b-4）2-4ac≤0②，（11分）由①得b-4=-（a+c），代入②得（a-c）2≤0，∴a=c，（13分）由f（x）≤2（x2+1）得：（2-a）x2-bx+2-c≥0恒成立，若a=2，则b=0，c=2，∴f（x）=2（x2+1），不存在x0使f（x0）＜2（x02+1），与题意矛盾，（15分）∴2-a＞0，∴a＜2，又a∈N，∴a=1，c=1．（16分）【解析】（1）先由题找到x∈[-1，1 ，f（x）max=2，f（x）min=-4再利用a∈N，b∈N和b＞2a，判断出函数在x∈[-1，1 上递增，再利用f（sinα）（α∈R）的最大值为2，最小值为-4，求出a，b，c．在利用配方法求出f（x）的最小值；（2）先由4≤f（1）≤4找到a+b+c=4①，再f（x）≥4x恒成立⇒△=（b-4）2-4ac≤0②，和f（x）≤2（x2+1）的结合求出a=1，c=1．（注意对二次项系数的讨论）．本题考查了二次函数在闭区间上的最值问题，以及恒成立问题，是道综合题关于给定解析式的二次函数在固定闭区间上的最值问题，一般根据是开口向上的二次函数离对称轴越近函数值越小，离对称轴越远函数值越大；开口向下的二次函数离对称轴越近函数值越大，离对称轴越远函数值越小．。

湖北省荆州市2016-2017学年高一上学期期末数学试卷(理科)Word版含解析

2016-2017学年湖北省荆州市高一（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．设集合A={x|2x≤4}，集合B={x|y=lg（x﹣1）}，则A∩B等于（）A．（1，2） B．[1，2]C．[1，2） D．（1，2]2．设x＞0，0＜b x＜a x＜1，则正实数a，b的大小关系为（）A．1＞a＞b B．1＞b＞a C．1＜a＜b D．1＜b＜a3．sin210°的值为（）A．B．﹣ C．D．﹣4．函数f（x）=lg（+a）是奇函数，则a的值为（）A．0 B．1 C．﹣1 D．不存在5．函数y=，（﹣≤x≤）的定义域是（）A．[﹣，0]B．[﹣，）C．[﹣，0） D．[﹣，]6．若函数f（x）=2sin（ωx+φ）对任意x都有f（+x）=f（﹣x），则f（）=（）A．2或0 B．0 C．﹣2或0 D．﹣2或27．已知向量=（λ，1），=（λ+1，2），若（+）⊥（﹣），则λ=（）A．1 B．0 C．﹣1 D．﹣28．设P为等边三角形ABC所在平面内的一点，满足=+2，若AB=1，则•=（）A．4 B．3 C．2 D．19．函数f（x）=log2x+1与g（x）=2﹣x﹣1在同一平面直角坐标系下的图象大致是（）A． B．C．D．10．若函数f（x）=log a（a x﹣t）（a＞0且a≠1）在区间[，]上的值域为[m，n]，则实数t的取值范围是（）A．（0，1） B．（，）C．（0，）D．（，1）11．若函数y=f（x）（x∈R）满足f（x﹣2）=f（x），且x∈[﹣1，1]，f（x）=1﹣x2，函数g（x）=则函数h（x）=f（x）﹣g（x）在区间[﹣4，5]内零点的个数为（）A．6 B．7 C．8 D．912．函数f（x）的定义域为D，若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时都有f（x1）≤f（x2），则称函数f（x）在D上为非减函数，设f（x）在[0，1]上为非减函数，且满足以下条件：（1）f（0）=0；（2）f（）=f（x）；（3）f（1﹣x）=1﹣f（x），则f（）+f（）=（）A．B．C．1 D．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．已知幂函数f（x）的图象过点（2，16），则f（）=．14．已知||=1，||=，且⊥（﹣），则向量与向量的夹角是．15．下列说法中，所有正确说法的序号是．①终边落在y轴上的角的集合是；②函数图象的一个对称中心是；③函数y=tanx在第一象限是增函数；④为了得到函数y=sin（2x﹣）的图象，只需把函数y=sin2x的图象向右平移个单位长度．16．定义域在R上的函数f（x）满足f（x+2）f（x）=1，当x∈[﹣1，1）时，f （x）=log2（4﹣x），则f17．平面内的向量=（3，2），=（﹣1，2），=（4，1）．（1）若（+k）⊥（2﹣），求实数k的值；（2）若向量满足∥，且||=，求向量的坐标．18．已知集合A={x|x2﹣2x﹣a2﹣2a＜0}，B={y|y=3x﹣2a，x＜2}．（1）若a=3，求A∪B；（2）若A∩B=A，求实数a的取值范围．19．已知函数f（x）=Asin（ωx+）（A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示．（1）求A和ω的值；（2）求函数y=f（x）在[0，π]的单调增区间；（3）若函数g（x）=f（x）+1在区间（a，b）上恰有10个零点，求b﹣a的最大值．20．扬州瘦西湖隧道长3600米，设汽车通过隧道的速度为x米/秒（0＜x＜17）．根据安全和车流的需要，当0＜x≤6时，相邻两车之间的安全距离d为（x+b）米；当6＜x＜17时，相邻两车之间的安全距离d为米（其中a，b是常数）．当x=6时，d=10，当x=16时，d=50．（1）求a，b的值；（2）一列由13辆汽车组成的车队匀速通过该隧道（第一辆汽车车身长为6米，其余汽车车身长为5米，每辆汽车速度均相同）．记从第一辆汽车车头进入隧道，至第13辆汽车车尾离开隧道所用的时间为y秒．①将y表示为x的函数；②要使车队通过隧道的时间y不超过280秒，求汽车速度x的范围．21．如图，在矩形ABCD中，点E是BC边上中点，点F在边CD上．（1）若点F是CD上靠近C的三等分点，设=λ+，求λ+μ的值．（2）若AB=，BC=2，当•=1时，求DF的长．22．已知f（e x）=ax2﹣x，a∈R．（1）求f（x）的解析式；（2）求x∈（0，1]时，f（x）的值域；（3）设a＞0，若h（x）=[f（x）+1﹣a]•log x e对任意的x1，x2∈[e﹣3，e﹣1]，总有|h（x1）﹣h（x2）|≤a+恒成立，求实数a的取值范围．2016-2017学年湖北省荆州市高一（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．设集合A={x|2x≤4}，集合B={x|y=lg（x﹣1）}，则A∩B等于（）A．（1，2） B．[1，2]C．[1，2） D．（1，2]【考点】对数函数的定义域；交集及其运算．【分析】解指数不等式求出集合A，求出对数函数的定义域即求出集合B，然后求解它们的交集．【解答】解：A={x|2x≤4}={x|x≤2}，由x﹣1＞0得x＞1∴B={x|y=lg（x﹣1）}={x|x＞1}∴A∩B={x|1＜x≤2}故选D．2．设x＞0，0＜b x＜a x＜1，则正实数a，b的大小关系为（）A．1＞a＞b B．1＞b＞a C．1＜a＜b D．1＜b＜a【考点】指数函数的图象与性质．【分析】根据题意，假设有指数函数y=a x与y=b x，由指数函数的性质可得a＞1且b＞1，又由0＜b x＜a x＜1，则有=（）x＜1，结合指数函数的性质分析可得a＞b；即可得答案．【解答】解：根据题意，假设有指数函数y=a x与y=b x，若x＞0，有0＜b x＜a x＜1，则有a＞1且b＞1，若0＜b x＜a x＜1，则有=（）x＜1，又由x＞0，则＜1，即a＞b，则有1＞a＞b；故选：A．3．sin210°的值为（）A．B．﹣ C．D．﹣【考点】运用诱导公式化简求值．【分析】所求式子中的角度变形后，利用诱导公式化简即可求出值．【解答】解：sin210°=sin=﹣sin30°=﹣．故选B4．函数f（x）=lg（+a）是奇函数，则a的值为（）A．0 B．1 C．﹣1 D．不存在【考点】函数奇偶性的性质．【分析】利用奇函数的图象经过原点，求得a的值．【解答】解：∵函数f（x）=lg（+a）是奇函数，则f（0）=0，即lg（2+a）=0，则a=﹣1，故选：C．5．函数y=，（﹣≤x≤）的定义域是（）A．[﹣，0]B．[﹣，）C．[﹣，0） D．[﹣，]【考点】函数的定义域及其求法．【分析】根据对数函数的性质列出不等式组，由对数函数的单调性、正弦函数的性质、条件求出函数的定义域．【解答】解：若函数有意义，则，即1﹣2sinx≥1，解得sinx≤0，因为，所以，即函数的定义域是，故选：A．6．若函数f（x）=2sin（ωx+φ）对任意x都有f（+x）=f（﹣x），则f（）=（）A．2或0 B．0 C．﹣2或0 D．﹣2或2【考点】正弦函数的图象．【分析】利用三角函数的性质求解即可．【解答】解：由题意：函数f（x）=2sin（ωx+φ），∵f（+x）=f（﹣x），可知函数的对称轴为x==，根据三角函数的性质可知，当x=时，函数取得最大值或者最小值．∴f（）=2或﹣2故选D．7．已知向量=（λ，1），=（λ+1，2），若（+）⊥（﹣），则λ=（）A．1 B．0 C．﹣1 D．﹣2【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由条件利用两个向量的数量积公式，两个向量垂直的性质，求得λ的值．【解答】解：∵向量=（λ，1），=（λ+1，2），若（+）⊥（﹣），则（+）•（﹣）=﹣=λ2+1﹣[（λ+1）2+4]=0，求得λ=﹣2，故选：D．8．设P为等边三角形ABC所在平面内的一点，满足=+2，若AB=1，则•=（）A．4 B．3 C．2 D．1【考点】平面向量数量积的运算．【分析】利用两个向量的数量积的定义，把要求的式子化为2•+2，再利用两个向量的数量积的定义，求得要求式子的值．【解答】解：∵P为等边三角形ABC所在平面内的一点，=+2，若AB=1，则•=（﹣）•（﹣）=（﹣2）•（﹣﹣）=2•+2=2•1•1•cos60°+2=3，故选：B．9．函数f（x）=log2x+1与g（x）=2﹣x﹣1在同一平面直角坐标系下的图象大致是（）A． B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】根据函数f（x）=1+log2x与g（x）=2﹣x﹣1解析式，分析他们与同底的指数函数、对数函数的图象之间的关系，（即如何变换得到），分析其经过的特殊点，即可用排除法得到答案．【解答】解：∵f（x）=1+log2x的图象是由y=log2x的图象上移1而得，∴其图象必过点（1，1）．故排除A、B，又∵g（x）=2﹣x﹣1=2﹣（x+1）的图象是由y=2﹣x的图象左移1而得，故其图象也必过（﹣1，1）点，及（0，）点，故排除C，故选D．10．若函数f（x）=log a（a x﹣t）（a＞0且a≠1）在区间[，]上的值域为[m，n]，则实数t的取值范围是（）A．（0，1） B．（，）C．（0，）D．（，1）【考点】对数函数的图象与性质．【分析】根据函数f（x）的单调性得出log a（a﹣t）=x有两解，令a=m（m ＞0），则关于m的方程t=m﹣m2有两解，根据二次函数的性质得出t的范围．【解答】解：∵y=a x﹣t与y=log a x的单调性相同，∴f（x）=log a（a x﹣t）（a＞0且a≠1）在定义域上是增函数，∵f（x）区间[，]上的值域为[m，n]，∴，∴方程log a（a﹣t）=x有两解，即方程a x=a﹣t有两解，设a=m（m＞0），则t=m﹣m2，作出t=m﹣m2（m＞0）的函数图象如图所示：∵方程a x=a﹣t有两解，∴关于m的方程t=m﹣m2有两解，∴0＜t＜．故选C．11．若函数y=f（x）（x∈R）满足f（x﹣2）=f（x），且x∈[﹣1，1]，f（x）=1﹣x2，函数g（x）=则函数h（x）=f（x）﹣g（x）在区间[﹣4，5]内零点的个数为（）A．6 B．7 C．8 D．9【考点】函数零点的判定定理．【分析】由函数y=f（x）（x∈R）满足f（x﹣2）=f（x），可知函数y=f（x）（x∈R）是周期为2的函数，进而根据x∈[﹣1，1]时，f（x）=1﹣x2，函数g（x）=的图象得到交点个数．【解答】解：因为f（x﹣2）=f（x），所以函数y=f（x）（x∈R）是周期为2函数．因为x∈[﹣1，1]时，f（x）=1﹣x2，所以作出它的图象，利用函数y=f（x）（x∈R）是周期为2函数，可作出y=f（x）在区间[﹣4，5]上的图象，如图所示再作出函数g（x）=的图象，容易得出到交点为7个．故选：B．12．函数f（x）的定义域为D，若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时都有f（x1）≤f（x2），则称函数f（x）在D上为非减函数，设f（x）在[0，1]上为非减函数，且满足以下条件：（1）f（0）=0；（2）f（）=f（x）；（3）f（1﹣x）=1﹣f（x），则f（）+f（）=（）A．B．C．1 D．【考点】函数单调性的性质．【分析】由条件（1）（3）分别令x=1，x=，可得f（1）=1，f（）=，结合条件（2）可得f（），f（）==f（）结合由f（x）在[0，1]上为非减函数，可得：f（）=．【解答】解：∵f（0）=0，f（1﹣x）=1﹣f（x），令x=1，则f（0）=1﹣f（1），解得f（1）=1，令x=，则f（）=1﹣f（），解得：f（）=又∵f（）=f（x），∴f（）=f（1）=，f（）=f（）=，f（）=f（）=，又由f（x）在[0，1]上为非减函数，故f（）=，故f（）+f（）=，故选：A二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．已知幂函数f（x）的图象过点（2，16），则f（）=9．【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【分析】设出幂函数f（x）的解析式，利用待定系数法求出f（x），再计算f（）的值．【解答】解：设幂函数f（x）=xα，其图象过点（2，16），∴2α=16，解得α=4，∴f（x）=x4，∴f（）==9．故答案为：9．14．已知||=1，||=，且⊥（﹣），则向量与向量的夹角是．【考点】数量积表示两个向量的夹角．【分析】由条件利用两个向量垂直的性质、两个向量的数量积的定义求得cosθ的值，可得向量与向量的夹角θ的值．【解答】解：设向量与向量的夹角是θ，则由题意可得•（﹣）=﹣=1﹣1××cosθ=0，求得cosθ=，可得θ=，故答案为：．15．下列说法中，所有正确说法的序号是②④．①终边落在y轴上的角的集合是；②函数图象的一个对称中心是；③函数y=tanx在第一象限是增函数；④为了得到函数y=sin（2x﹣）的图象，只需把函数y=sin2x的图象向右平移个单位长度．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；终边相同的角；余弦函数的图象．【分析】①当角θ的终边落在y轴的非负半轴上时写出角θ的集合，当角θ的终边落在y轴的非正半轴上时，写出角θ 的集合，终边落在y轴上的角的集合是这2个集合的并集，故不正确；②令x﹣=kπ+，k∈z，可得对称中心为（kπ+，0），k∈z，令k=0，得到一个对称中心的坐标（，0），即可判断；③通过举反例说明命题错误；④由于函数y=sin（2x﹣）=3sin[2（x﹣）]，再结合函数y=Asin（ωx+∅）的图象变换规律得出结论．【解答】解：①当角θ的终边落在y轴的非负半轴上时，角θ=2kπ+，k∈Z，当角θ的终边落在y轴的非正半轴上时，角θ=2kπ+，k∈Z，故终边落在y轴上的角的集合是{θ|θ=2kπ+，或θ=2kπ+，k∈Z}={θ|θ=2kπ+，或θ=2kπ+π+，k∈Z}={θ|θ=nπ+，n∈Z}，不正确；②令x﹣=kπ+，k∈z，可得对称中心为（kπ+，0），k∈z，令k=0，得到一个对称中心的坐标（，0），故正确；③∵390°，45°是第一象限角，390°＞45°，但tan390°=＜1=tan45°，∴函数y=tanx在第一象限是增函数错误，命题①为假命题；④由于函数y=sin（2x﹣）=sin[2（x﹣）]，故只需把函数y=3sin2x的图象向右平移个长度单位即可得到函数y=sin（2x﹣）的图象，故正确；故答案为：②④．16．定义域在R上的函数f（x）满足f（x+2）f（x）=1，当x∈[﹣1，1）时，f （x）=log2（4﹣x），则f的周期变为4，则f，代入已知f（x）的解析式，计算即可得到所求值．【解答】解：定义域在R上的函数f（x）满足f（x+2）f（x）=1，即有f（x+4）f（x+2）=1，可得f（x+4）=f（x），则函数f（x）为周期为4的函数，f=f（0），由当x∈[﹣1，1）时，f（x）=log2（4﹣x），f（0）=log24=2．即f17．平面内的向量=（3，2），=（﹣1，2），=（4，1）．（1）若（+k）⊥（2﹣），求实数k的值；（2）若向量满足∥，且||=，求向量的坐标．【考点】平面向量的坐标运算．【分析】（1）由（+k）⊥（2﹣），可得（+k）•（2﹣）=0，解得k．（2）设=（x，y），由∥，且||=，可得，解出即可得出．【解答】解：（1）+k=（3+4k，2+k），2﹣=（﹣5，2），∵（+k）⊥（2﹣），∴（+k）•（2﹣）=（3+4k）×（﹣5）+（2+k）×2=0，解得k=﹣．（2）设=（x，y），∵∥，且||=，∴，解得，或，∴向量的坐标为，或．18．已知集合A={x|x2﹣2x﹣a2﹣2a＜0}，B={y|y=3x﹣2a，x＜2}．（1）若a=3，求A∪B；（2）若A∩B=A，求实数a的取值范围．【考点】集合的包含关系判断及应用；并集及其运算．【分析】（1）若a=3，求出A，B，即可求A∪B；（2）若A∩B=A，A⊆B，分类讨论求实数a的取值范围．【解答】解：（1）将a=3代入A中不等式，得x2﹣2x﹣15＜0，解得﹣3＜x＜5，即A=（﹣3，5）．将a=3代入B中等式，得y=3x﹣6，∵x≤2，∴0＜3x≤9，即﹣6＜3x﹣6≤3，∴B=（﹣6，3]，A∪B=（﹣6，5）．（2）∵A∩B=A，∴A⊆B，由B中y的范围为﹣2a＜y≤9﹣2a，即B=（﹣2a，9﹣2a）．由A看不等式变形，得x2﹣2x+1﹣a2﹣2a﹣1＜0，即（x﹣1）2﹣（a+1）2＜0，整理得（x+a）（x﹣a﹣2）＜0．∵A∩B=A，∴A⊆B，当a=﹣1时，A=∅，满足题意；当a+2＞﹣a，即a＞﹣1时，A=（﹣a，a+2）．∵A⊆B，∴解得；当a+2＜﹣a，即a＞﹣1时，A=（a+2，﹣a）．∴A⊆B，∴解得（舍去）．综上a=﹣1或．19．已知函数f（x）=Asin（ωx+）（A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示．（1）求A和ω的值；（2）求函数y=f（x）在[0，π]的单调增区间；（3）若函数g（x）=f（x）+1在区间（a，b）上恰有10个零点，求b﹣a的最大值．【考点】余弦函数的图象．【分析】（1）由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω 的值，可得函数的解析式．（2）由条件利用正弦函数的单调性求得函数y=f（x）在[0，π]的单调增区间．（3）由条件根据正弦函数的图象的零点求得b﹣a的最大值．【解答】解：（1）A=2，，ω=2，所以．（2）令，k∈Z，求得．又因为x∈[0，π]，所以函数y=f（x）在[0，π]的单调增区间为和．（3）由，求得或，函数f（x）在每个周期上有两个零点，所以共有5个周期，所以b﹣a最大值为．20．扬州瘦西湖隧道长3600米，设汽车通过隧道的速度为x米/秒（0＜x＜17）．根据安全和车流的需要，当0＜x≤6时，相邻两车之间的安全距离d为（x+b）米；当6＜x＜17时，相邻两车之间的安全距离d为米（其中a，b是常数）．当x=6时，d=10，当x=16时，d=50．（1）求a，b的值；（2）一列由13辆汽车组成的车队匀速通过该隧道（第一辆汽车车身长为6米，其余汽车车身长为5米，每辆汽车速度均相同）．记从第一辆汽车车头进入隧道，至第13辆汽车车尾离开隧道所用的时间为y秒．①将y表示为x的函数；②要使车队通过隧道的时间y不超过280秒，求汽车速度x的范围．【考点】函数模型的选择与应用；分段函数的应用．【分析】（1）分别代入x=6和x=16，由此能求出a，b的值．（2）①分别求出当0＜x≤6和6＜x＜17时，函数的表达式，由此能将y表示为x的函数．②推导出0＜x≤6时，不符合题意，当6＜x＜17时，，由此能求出汽车速度x的范围．【解答】解：（1）当x=6时，d=x+b=6+b=10，则b=4，当x=16时，，则a=1；所以a=1，b=4．…（2）①当0＜x≤6时，，当6＜x＜17时，所以．…②当0＜x≤6时，，不符合题意，当6＜x＜17时，解得15≤x＜123，所以15≤x＜17∴汽车速度x的范围为[15，17）．…21．如图，在矩形ABCD中，点E是BC边上中点，点F在边CD上．（1）若点F是CD上靠近C的三等分点，设=λ+，求λ+μ的值．（2）若AB=，BC=2，当•=1时，求DF的长．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】（1）根据向量的加减的几何意义即可求出；（2）建立平面直角坐标系，设F（x，2），根据向量坐标的数量积求出x=，即求出DF的长．【解答】解：（1）=﹣=+﹣（+）=+﹣（+）=+﹣（+）=﹣=λ+，∴λ=﹣，μ=，∴λ+μ=．（2）以AB，AD为x，y轴建立直角坐标系如图：AB=，BC=2则A（0，0），B（，0），E（，1），设F（x，2），∴=（，1），=（x﹣，2），∵•=1，∴（x﹣）+2=1，∴x=，∴|DF|=．22．已知f（e x）=ax2﹣x，a∈R．（1）求f（x）的解析式；（2）求x∈（0，1]时，f（x）的值域；（3）设a＞0，若h（x）=[f（x）+1﹣a]•log x e对任意的x1，x2∈[e﹣3，e﹣1]，总有|h（x1）﹣h（x2）|≤a+恒成立，求实数a的取值范围．【考点】函数恒成立问题；函数的值域；二次函数的性质．【分析】（1）利用换元法进行求解即可．（2）根据函数的解析式即可求函数的值域．（3）根据函数恒成立问题，建立不等式关系进行求解即可．【解答】解：（1）设e x=t，则x=lnt＞0，所以f（t）=a（lnt）2﹣lnt所以f（x）=a（lnx）2﹣lnx（x＞0）；…（2）设lnx=m（m≤0），则f（x）=g（m）=am2﹣m当a=0时，f（x）=g（m）=﹣m，g（m）的值域为[0，+∞）当a≠0时，若a＞0，，g（m）的值域为[0，+∞）若a＜0，，g（m）在上单调递增，在上单调递减，g（m）的值域为…综上，当a ≥0时f （x ）的值域为[0，+∞）当a ＜0时f （x ）的值域为； …（3）因为对任意总有所以h （x ）在[e ﹣3，e ﹣1]满足…设lnx=s （s ∈[﹣3，﹣1]），则，s ∈[﹣3，﹣1]当1﹣a ＜0即a ＞1时r （s ）在区间[﹣3，﹣1]单调递增所以，即，所以（舍）当a=1时，r （s ）=s ﹣1，不符合题意 …当0＜a ＜1时，则=a （s +）﹣1，s ∈[﹣3，﹣1]若即时，r （s ）在区间[﹣3，﹣1]单调递增所以，则若即时r （s ）在递增，在递减所以，得若即时r （s ）在区间[﹣3，﹣1]单调递减所以，即，得…综上所述：．2017年2月28日。

精品解析：【全国百强校】湖北省荆州中学2017-2018学年高一上学期期末考试数学(理)试题(解析版)

2017-2018学年湖北省荆州中学高一（上）期末数学试卷（理科）一.选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={1，2}，集合B满足A∪B={1，2}，则集合B有（）个．A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】D【解析】【分析】列举集合B的所有情况.【详解】由题意知集合B可能是，故选D.【点睛】本题主要考查集合的并集运算.求解集合的个数问题，常用列举法.2.计算cos47°cos13°-cos43°sin167°的结果等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先化简角，利用余弦的和角公式求解.【详解】cos47°cos13°-cos43°sin167°.故选C.【点睛】本题主要考查诱导公式和两角和的余弦公式.发现角之间的联系是求解关键.3.下列四组函数中的和相等的是A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】从函数相等的定义出发，分别研究两者的定义域和对应法则.【详解】选项A中，两个函数的定义域不同，所以不相等；选项B中，两个函数的定义域和对应法则均不同，所以不相等；选项D中，两个函数的定义域不同，所以不相等；对于选项C，，所以两个函数相等.故选C.【点睛】本题主要考查函数相等的判定.两个函数相等则定义域和对应法则一定相同，两者缺一不可.4.如果函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点（，0）中心对称，那么|φ|的最小值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】函数关于点(，0)中心对称，则有3cos(2×＋φ)＝0，即cos(＋φ)＝0，∴cos(＋φ)＝0，即＋φ＝＋kπ，k∈Z，即φ＝－＋kπ，k∈Z，∴当k＝0时，|φ|＝，此时|φ|最小．5.若向量，满足||=1，||=2且⊥，则|+|=（）A. 9B.C. 3D.【答案】C【解析】【分析】把|+|先平方，再根据数量积的运算求解.【详解】因为，所以.故选C.【点睛】本题主要考查平面向量模长的计算.向量模长的求解一般是先平方，再进行开方.6.设函数，则f（x）是（）A. 最小正周期为的奇函数B. 最小正周期为的偶函数C. 最小正周期为的奇函数D. 最小正周期为的偶函数【答案】D【解析】函数，化简可得f（x）=–cos2x，∴f（x）是偶函数．最小正周期T==π，∴f（x）最小正周期为π的偶函数．故选D．7.已知平面向量=（1，2），=（-2，m），且∥，则3+2等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用向量平行先求出m，再求解.【详解】因为，所以，因为，，所以，故选B.【点睛】本题主要考查向量的坐标运算.向量运算要熟记运算规则.8.函数的零点所在的一个区间是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：，，又因为是一个连续的递增函数，故零点在区间内，选C.考点：函数零点的概念及判定定理.9.已知O，A，B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，满足，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】1.由已知，可得：++=+=0，点A是线段CB的中点，设+，作平行四边形OBDC，由平行四边形法则可得.2.∴10.设函数f（x）=2sin（），若对任意x∈R都有f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立，则|x1-x2|的最小值为（）A. 4B. 2C. 1D.【答案】B【解析】函数的周期，对任意，都有成立，说明为最小值，为最大值，所以，故选．11.已知，则的值是（）A. 0B.C.D.【答案】B【解析】【分析】先利用平方关系和已知条件求出，，再利用两角差的正弦公式求解.【详解】，结合可得；因为，所以；所以，故选B.【点睛】本题主要考查同角的基本关系和差角公式.利用同角关系求解时注意符号的选择.12.设f（x）为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=e x+b（b为常数），则f（-ln2）等于（）A. B. 1 C. D.【答案】C【解析】【分析】利用奇函数先求b，再代入可得.【详解】因为f（x）为定义在R上的奇函数，所以，即；.故选C.【点睛】本题主要考查利用函数奇偶性求值.奇函数在处有定义则.二.填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.时间经过5小时，分针转过的弧度数为______．【答案】-10π【解析】【分析】利用弧度的定义求解.【详解】时间经过5小时，分针顺时针旋转了5圈，故为.【点睛】本题主要考查弧度和任意角的概念.注意旋转方向对角的影响.14.已知定义在R上的函数满足，且当时，，则的值为______．【答案】-1【解析】【分析】先利用条件求出函数的周期，然后再求解.【详解】因为，，两式相减可得，即周期为，.【点睛】本题主要考查函数的周期性.熟记常见周期的表达形式，求出周期是解题关键.15.已知函数对定义域中任意的x1，x2，当x1＜x2时都有f（x1）＞f（x2）成立，则实数a的取值范围是______．【答案】（0，]【解析】【分析】利用条件判断单调性，结合分段函数的单调性求参数.【详解】当x1＜x2时都有f（x1）＞f（x2）成立，可得为减函数，所以，解得.【点睛】本题主要考查利用分段函数的单调性求解参数.分段函数的单调性，每段内要单调，且边界处也要注意.16.两个向量满足，则=______．【答案】5【解析】【分析】先利用模长计算出，再进行计算.【详解】由条件可得，，联立可得代入可得；.【点睛】本题主要考查平面向量模长及运算.模长问题一般是先平方，再进行处理.三.解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知函数．（1）画出函数f（x）的图象；（2）由图象写出满足f（x）≥3的所有x的集合（直接写出结果）；（3）由图象写出满足函数f（x）的值域（直接写出结果）．【答案】（1）见图像；（2）（-∞，-9]∪[1，+∞）；（3）【解析】【分析】分段作出函数的图像，结合图像求解解集和值域问题.【详解】(1）f（x）的图象如图所示：（2）（-∞，-9]∪[1，+∞）；（3）．【点睛】本题主要考查分段函数的图像问题，利用图像求解不等式和值域，侧重考查数形结合的思想. 18.已知cosα=，cos（α-β）=，且0＜β＜α＜．（Ⅰ）求tan2α的值；（Ⅱ）求cosβ．【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：(1)由题意求得，然后利用二倍角公式计算可得(2)构造角之后利用两角和差正余弦公式可得试题解析：（1），（2）点睛：(1)技巧：①寻求角与角之间的关系，化非特殊角为特殊角；②正确灵活地运用公式，通过三角变换消去或约去一些非特殊角的三角函数值；③一些常规技巧：“1”的代换、和积互化等．(2)常用方法：异名三角函数化为同名三角函数，异角化为同角，异次化为同次，切化弦，特殊值与特殊角的三角函数互化．19.（1）计算log3；（2）已知x的值．【答案】（1）．（2）–4．【解析】【分析】（1）利用对数运算法则化简求解即可．（2）通过对数方程求出x，y的关系，化简所求表达式求解即可．【详解】（1）log3=+lg100+1+2=（2）∵x＞0，y＞0，x﹣2y＞0∴∵lgx+lgy=2lg（x﹣2y），∴xy=（x﹣2y）2，∴，∴==﹣4【点睛】本题考查对数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数的性质、运算法则的合理运用．20.已知a＞0，函数f（x）=-2asin（2x+）+2a+b，当x∈[0，]时，-5≤f（x）≤1．（1）求常数a，b的值；（2）设g（x）=f（x+）且lg g（x）＞0，求g（x）的单调区间．【答案】20．解：(1) ∵，∴∴∴又∵∴(2) 由(1)知，∴又由∴其中，单增时，有，即∴增区间为【解析】试题分析：（1）当时，，由此使可知解此方程组即可求得a，b；（2）由（1）得的解析式，又，利用诱导公式可求得的解析式，可求得其单调增区间A，即>0，可求得集合B，集合A与B的交集便是满足题中要求的集合的.试题解析：（1）∵，∴，∴，∴，∴，又∵，∴，，∴.（2）由（1）得：，，又由，得，∴，∴，∴，其中，当时，单调递增，即，∴的单调递增区间为.考点：求解含有参数的解析式，函数的单调性，对数函数的定义域.【方法点睛】三角函数的值域为[-1，1]，当求某一段区间上的值域时，如本题，则需要先求的范围，这样能将一个复杂的复合函数的值域化简为求简单的基本初等函数的值域，根据函数的值域的端点值列方程，在求跟三角函数有关的函数的单调区间时，一定要注意三角函数的周期性，即单调区间是很多个间断的区间.21.已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）的图象的一部分如图所示．（1）求函数f（x）的解析式；（2）当时，求函数y=f（x）+f（x+2）的最大值与最小值及相应的x值．【答案】（1）（2），，，【解析】试题分析：（1）由图象知，，从而可求得，继而可求得；（2）利用三角函数间的关系可求得，利用余弦函数的性质可求得时的最大值与最小值及相应的值．试题解析：：（1）由图象知，．∴．∴．图象过点，则，∵，∴，于是有．（2）.∵，∴．当，即时，；当，即时，．考点：（1）由的部分图象求其解析式；（2）正弦函数的定义域和值域.【方法点晴】本题考查由的部分图象确定其解析式，考查余弦函数的性质，考查规范分析与解答的能力，属于中档题．由三角函数图象求解析式时，主要是通过图象最高点或最低点得到振幅，通过图象的周期得到，最后代入特殊点得到的值；在求三角函数最值时，主要是通过辅角公式将其化为一般形式或，在得最值.22.已知函数f（x）=ax2+bx+c，其中a∈N*，b∈N，c∈Z．（1）若b＞2a，且f（sinα）（α∈R）的最大值为2，最小值为-4，求f（x）的最小值；（2）若对任意实数x，不等式4x≤f（x）≤2（x2+1），且存在x0使得f（x0）＜2（x02+1）成立，求c的值．【答案】（1）；（2）c=1．【解析】【分析】（1）利用二次函数的最值确定单调性，再进行求解.（2）利用恒成立求解参数.【详解】（1）据题意x∈[-1，1]时，f（x）max=2，f（x）min=-4，，∵b＞2a＞0，∴，∴f（x）在[-1，1]上递增，∴f（x）min=f（-1），f（x）max=f（1），∴，∴b=3，a+c=-1，∵b＞2a，∴，又a∈N*，∴a=1，∴c=-2，∴，∴．（2）由已对任意实数x，不等式4x≤f（x）≤2（x2+1）得，4≤f（1）≤4，∴f（1）=4，即a+b+c=4①，∵f（x）≥4x恒成立，∴ax2+（b-4）x+c≥0恒成立，∴△=（b-4）2-4ac≤0②，由①得b-4=-（a+c），代入②得（a-c）2≤0，∴a=c，由f（x）≤2（x2+1）得：（2-a）x2-bx+2-c≥0恒成立，若a=2，则b=0，c=2，∴f（x）=2（x2+1），不存在x0使f（x0）＜2（x02+1），与题意矛盾，∴2-a＞0，∴a＜2，又a∈N*，∴a=1，c=1．【点睛】本题主要考查二次函数的最值问题和恒成立问题.结合二次函数的性质和图像能方便求解.。

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湖北省荆州中学2016-2017学年高一数学上学期期末考试试题理一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 若点(,9)a 在函数3x y =的图象上，则tan 6a π的值为( )A. 0B.3C. 12. 若sin 0α> 且tan 0α<，则2α的终边在( ) A. 第一象限B. 第二象限C. 第一象限或第三象限D. 第三象限或第四象限3. 若2弧度的圆心角所对的弦长为4sin1cm ，则这个圆心角所夹的扇形的面积是( ) A.22cmB. 24cmC.22cm πD. 24cm π4. 已知,a b 均为单位向量，它们的夹角为3π，那么3a b + 等于( )C.45. 据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间（单位：分钟）,()(,x m f x m c x m <=≥为常数），已知工厂组装第4件产品所用的时间为30分钟，工人组装第m 件产品所用的时间为15分钟，则m =( ) A.49B. 25C. 16D. 96. 已知函数()f x 是定义在闭区间[,](0)a a a ->上的奇函数，()()1F x f x =+，则()F x 的最大值与最小值的和为（） A.4 B. 2 C. 1 D. 07. 已知0x 是函数()24xf x e x =+-的零点，若1020(1,),(,2)x x x x ∈-∈，则( ) A. 12()0,()0f x f x << B. 12()0,()0f x f x <> C. 12()0,()0f x f x ><D. 12()0,()0f x f x >>8. 已知函数()sin()(,0)4g x x x R πωω=+∈>的最小正周期为π，为了得到函数()cos f x x ω=的图象，只要将()y g x =的图象( )A. 向左平移8π个单位长度B. 向右平移8π个单位长度 C. 向左平移4π个单位长度 D. 向右平移4π个单位长度9. 设(3,),(4,3)a m b =-=，若a 与b 的夹角是钝角，则实数m 的范围是( )A. 4m >B. 4m <C. 4m <且94m ≠D. 4m <且94m ≠-10.用min{,,}a b c 表示,,a b c 三个数中的最小值，设()min{2,2,10}(0)x f x x x x =+-≥，则()f x 的最大值为 ( ) A. 7B. 6C. 5D. 411. 函数1y x=的图象与函数3sin (11)y x x π=-≤≤的图象所有交点的横坐标与纵坐标的和等于( ) A. 4B. 2C. 1D. 012. 已知函数21,0,()21,0,x x x f x x x ⎧++≥=⎨+<⎩若(sin sin sin 1)1,f r αβ++-=-(cos cos cos 1)3f r αβ+++=，则cos()cos()r αββ-+-的值为( )A. 1B. 2C.1-D. －2二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．20.5203252731()()(0.1)()lg2lg59649π--++-++= ______________． 14．已知1sin ,233απαπ=<<，那么sin cos 22αα+= ______________． 15．()y f x =为R 上的偶函数，且满足(4)(4)f x f x +=-，当[0,4],x ∈()f x x =，则2[2016si n(2)si n()c os ()]f αππαα+-⋅+--= _____________． 16．给出下列结论：（１）函数()tan f x x =有无数个零点；（２）集合{21}A x y x ==+，集合2{1}B x y x x ==++则{}(0,1),(1,3)A B = ；（３）函数11()sin sin 22f x x x =+的值域是[1,1]-；（４）函数()2sin(2)3f x x π=+的图象的一个对称中心为(,0)3π；（５）已知函数()2cos f x x =，若存在实数12,x x ，使得对任意的实数x 都有12()()()f x f x f x ≤≤成立，则12x x -的最小值为2π。

其中结论正确的序号是______________（把你认为结论正确的序号都填上）．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（本题12分）已知函数2()cos 2cos g x x x x m =⋅++在区间[0,]2π的最大值为6.（1）求常数m 的值；（2）求函数()g x 在x R ∈时的最小值并求出相应x 的取值集合. （3）求函数()y g x =-的递增区间.18．（本题12分）已知12,e e 是平面内两个不共线的非零向量，122,AB e e =+1212,2,BE e e EC e e λ=-+=-+且,,A E C 三点共线.（1）求实数λ的值；若12(2,1),(2,2)e e ==-，求BC 的坐标；（2）已知点(3,5)D ，在（1）的条件下，若四边形ABCD 为平行四边形，求点A 的坐标．19．（本题12分）已知函数2()()21xf x a a R =-∈+ 是奇函数. （1）求a 的值；（2）判断函数()f x 的单调性，（不需证明）（3）若对任意的t R ∈，不等式22(2)()0f t f t tk ++->恒成立，求实数k 的取值范围．20．（本题12分）在平面直角坐标系中，已知点(0,0),(3,0),(0,3),O A B(cos ,sin ).C αα（1）若1AC BC ⋅=- ，求22sin sin 21tan ααα++的值；（2）若22()2cos sin 2f t t ααα=---+在3(,)22ππα∈时有最小值－1，求常数t 的值．21．（本题12分）已知函数222()2(1)15,()f x x m m x g x m x m =-+++=-，其中.m R ∈（1）若()()0f x g x m ++≥，对[1,4)x ∈恒成立，求实数m 的取值范围；（2）设函数(),0()(),0g x x F x f x x ≥⎧=⎨<⎩①对任意的10x >，存在唯一的实数20x <，使其12()()F x F x =，求m 的取值范围； ②是否存在求实数m ，对任意给定的非零实数1x ，存在唯一非零实数212()x x x ≠，使其21()()F x F x =，若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由.22．（本题10分）在平面直角坐标系中，已知角α的终边经过点(3,4)P -（1）求sin α和cos α的值；（2）求tan()4πα+的值；（３）求2sin ()sin()cos()444πππααα+++⋅+的值．荆州中学2016～2017学年度上学期期末试卷年级：高一科目：数学（理科）命题人：徐法章审题人：朱代文参考答案一、选择题：二、填空题：13. 10114. 15. 1 16. ①④三、解答题：17. 解：（1）()2sin(2)16f x x m π=+++[0,]2x π∈1sin(2)126x π-≤+≤ max ()36f x m ∴=+= 3m ∴=………………4分（2）()2sin(2)46f x x π=++当x R ∈时，()f x 最小值为2，此时2262x k πππ+=-+即()3x k k Z ππ=-+∈取得最小值x ∴的取值集合为{,}3x x k k Z ππ=-+∈………………8分（3）()2sin(2)46g x x π-=-++52sin(2)46x π=++5222262k x k πππππ-≤+≤+236k x k ππππ-≤≤-∴增区间为2[,]()36k k k Z ππππ--∈………………12分18. 解：（1）1212(2)()AE AB BE e e e e =+=++-+12(1)e e λ=++A E C 、、三点共线 ∴存在实数k 使得AE kEC =即1212(1)(2)e e k e e λ++=-+得12(1)(1)e k e λλ+=--由题意得12013,122k k k λλ+=⎧∴=-=-⎨=-⎩……………4分此时1213(7,2)2BC BE EC e e =+=--=--……………6分（2）四边形ABCD 为平行四边形AD BC ∴= 设(,)A x y 则(3,5)AD x y =--又(7,2)BD =--3752x y -=-⎧⎨-=-⎩ 得107x y =⎧⎨=⎩(10,7)A ∴……………12分19. 解：（1）由题意：2()21xf x a =-+是定义域为R 的奇函数 (0)0f ∴= 即02021a -=+ 1a ∴= 当1a =时，221()12121x x x f x -=-=++ 211221()()212121x x x x x x f x f x -------===-=-+++故1a =进满足题意………………5分（2）单调递增函数……………7分（3）由（2）得22(2)()0f t f t tk ++->等价于22(2)()f t f t tk +>-即222t t tk +>-+∴2220t tk -+>对任意t R ∈恒成立 ∴2160k ∆=-<即44k -<<故R 的取值范围为(4,4)-……………12分20. 解：（1）(cos 3,sin ),(cos ,sin 3)AC BC αααα=-=-13(cos sin )1αα∴-+=- 2cos sin 3αα+=平方得：4512cos sin 2cos sin 99αααα∴+=∴=- 22sin sin 52cos sin 1tan 9ααααα+∴==-+……………6分（2）22()2cos sin 2f x t t αα=-+-+2292(sin )48t t α=--设sin m α= 3(,)22ππα∈ (1,1)m ∴∈-229()2()48t f m m t ∴=--①当14t≤- 即4t ≤-进，无最小值②当14t≥ 即4t ≥时，无最小值③114t -<< 即44t -<<时，当sin 4tα=进最小值最小值为298t -2918t ∴-=- t = 此时(1,1)4t =-∴ 原上所述，3t =±…………12分 21. 解：（1）由()()0f x g x m ++≥对[1,4)x ∈恒成立，及2215x x m x-+≤对[1,4)x ∈恒成立令22151521x x y x x x-+==+-在上递减，在)+∞递增min 1y ∴=-1m ∴≤……………………6分（2）222,0()2(1)15,0m x m x F x x m m x x ⎧-≥=⎨-+++<⎩ 0m =,不满足题意，0m ∴≠当0x >时，2()(,)F x m x m m A =-∈-+∞= 当0x <时，()(15,)F x B ∈+∞= ①依题意A B ⊆，15m ∴-≥ 即15m ≤-…………9分 ②假设存在实数m ，则A B B A ⊆⎧⎨⊆⎩ 即151515m m m-≥⎧⇒=-⎨≥-⎩故所求m 存在为－15. …………12分22. 解（1）3,4,5x y r =-==43sin ,cos 55y x r r αα∴====-………………3分（2）4tan 3α=- 1tan 1tan()41tan 7πααα+∴+==--………………6分（3）原式＝222sin ()sin()cos()444sin ()cos ()44πππαααππαα++++++++22tan ()tan()34425tan ()14ππααπα+++==-++………………10分。