2019-2020学年上学期厦门三中高二数学期末考练习卷05《逻辑用语》
2019-2020学年福建省厦门市高二上学期期末质量检测数学试题(解析版)
2019-2020学年福建省厦门市高二上学期期末质量检测数学试题一、单选题1．已知命题:p x R ∀∈，212x x +≥，则p ⌝是（ ） A ．x R ∀∈，212x x +<B ．0x R ∃∈，20012x x +<C ．0x R ∃∈，20012x x +≤D ．x R ∀∈，212x x +≤【答案】B【解析】根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论． 【详解】解：Q 命题p 是全称命题，∴根据全称命题的否定是特称命题可知，命题的否定是：0x R ∃∈，20012x x +<，故选：B ． 【点睛】本题主要考查含有量词的命题的否定，全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题． 2．已知()sin 6f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，()f x '为()f x 的导函数，则6f π⎛⎫'= ⎪⎝⎭（ ）A ．B C ．12D ．1【答案】C【解析】求导()f x '，再将6x π=代入()f x '，求得6f π⎛⎫'⎪⎝⎭. 【详解】解：因为()sin 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则()cos 6f x x π⎛⎫'=+ ⎪⎝⎭， 所以1cos cos 66632f ππππ⎛⎫⎛⎫'=+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：C.【点睛】本题考查导数的运算，遵循先求导再代数的原则.3．已知命题:p 若()1,2,3a =-r ，()2,4,6b =--r，则//a b r r；命题:q 若()1,2,1a =-r，()1,0,1b =r ，则a b ⊥r r.下列命题为真命题的是（ ）A ．p q ∧B ．()()p q ⌝∧⌝C ．()p q ⌝∨D ．()p q ∧⌝【答案】D【解析】根据空间向量的平行和垂直的运算，分别判断命题,p q 的真假性，结合复合命题的真值表，即可得出正确的答案． 【详解】解：命题:p 若()1,2,3a =-r ，()2,4,6b =--r， 可知2b a =-r r ， ∴//a b r r，∴命题p 是真命题；又命题:q 若()1,2,1a =-r ，()1,0,1b =r，10120a b ∴=++=≠r rg ，则a r 与b r 不垂直， ∴命题q 是假命题． ∴()p q ∧⌝为真命题．故选：D. 【点睛】本题考查空间向量平行和垂直的坐标运算，也考查了复合命题的真假性判断问题，是基础题目．4．双曲线E 经过点(，其渐近线方程为12y x =±，则E 的方程为（ ） A ．2214x y -=B ．2214y x -=C ．22128x y -=D ．22182y x -=【答案】D【解析】由渐近线方程为12y x =±，可设所求的双曲线方程为22(0)14y x λλ-=≠，由双曲线经过点代入可得λ，从而可得所求的双曲线方程 【详解】解：已知双曲线渐近线方程为12y x =±，故可设所求的双曲线方程为22(0)14y x λλ-=≠，双曲线经过点，代入可得2λ=-， 故所求的双曲线方程为22182y x -=.故选：D. 【点睛】本题主要考查了双曲线的方程的求解，解题的关键是需要由题意设出双曲线的方程，在双曲线的方程求解中，若已知双曲线方程22221x y a b-=，可得渐近线方程为22220x y a b -=；但若渐近线方程为程程为22220x y a b -=可设双曲线方程为2222(0)x y a bλλ-=≠．5．三棱锥P ABC -中，M 是棱BC 的中点，若(),,PM xAP yAB zAC x y z R =++∈u u u u r u u u r u u u r u u u r ，则x y z ++的值为（ ） A ．1- B ．0C ．12D ．1【答案】B【解析】由向量的线性运算，先求出PM PA AM AP AM =+=-+u u u u r u u u r u u u u ru u u r u u u u r，再利用平行四边形法则，即可得出,,x y z ，即可得出结果. 【详解】解：由题可知，(),,PM xAP yAB zAC x y z R =++∈u u u u r u u u r u u u r u u u r，由向量线性运算得：PM PA AM AP AM =+=-+u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r即1122PM AP AB AC =-++u u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以，111,,22x y z =-==，则0x y z ++=.故选：B. 【点睛】本题考查空间向量的线性运算，运用到三角形法则和平行四边法则的加减法运算. 6．如图所示的是甲，乙两名篮球运动员在某赛季的前6场比赛得分的茎叶图，设甲、乙两人这6场比赛得分的平均数分别为x 甲、x 乙，标准差分别为s 甲，s 乙，则有（ ）A ．x x >甲乙，s s >乙甲B ．x x >甲乙，s s <乙甲C ．x x <甲乙，s s >乙甲D ．x x <甲乙，s s <乙甲【答案】C【解析】平均数可直接计算得到，标准差是表明分布情况，在茎叶图中，单峰的分布较集中，标准差较小，标准差也可直接得出． 【详解】解：由茎叶图可知乙的分布比较集中，标准差较小，故s s >乙甲， 又11+13+22+23+24+3922,2723+23+25+27+30+6634x x ====甲乙，故x x <甲乙. 故选：C ． 【点睛】本题考查茎叶图的平均数及标准差等知识，根据茎叶图观察出分布情况以及对标准差的含义，属于基本题．7．如图，过球心的平面和球面的交线称为球的大圆.球面几何中，球O 的三个大圆两两相交所得三段劣弧»AB ，»BC ，»CA 构成的图形称为球面三角形ABC . »AB 与»AC 所成的角称为球面角A ，它可用二面角B OA C --的大小度量.若球面角3A π=，2B π=，2C π=，则在球面上任取一点P ，P 落在球面三角形ABC 内的概率为（ ）A ．16B ．18C ．112D ．116【答案】C【解析】根据球体的性质，利用面积比求出概率即可.【详解】解：由题知，球面角3A π=，2B π=，2C π=，则得出球面三角形ABC 是112的球面，设球面三角形ABC 的面积为S ， 则球面上任取一点P ，P 落在球面三角形ABC 内的概率为：1=12S P S =球. 故选：C. 【点睛】本题考查面积型几何概型，通过面积比求概率，还考查球体的性质和应用，解题时需要认真审题和理解分析题目.8．已知1F ，2F 为椭圆22:13x E y +=的左，右焦点，E 上一点P 满足12PF PF ⊥，12F PF ∠的平分线交x 轴于点Q ，则PQ =（ ）A ．3B ．3C ．2D ．2【答案】A【解析】由椭圆方程得出1,a b c =12PF PF ⊥，列式分别求出2PF ，和1PF ，利用角平分线的性质，求出1Rt PFQ ∆中对应角的正弦值、余弦值，最后利用正弦定理求出PQ . 【详解】解：由椭圆22:13x E y +=，可知222223,1,2a b c a b ===-=，得1,a b c ===12PF PF ⊥，由椭圆定义可知，122PF PF a +==，122F F c ==，则2221212PF PF F F +=，得()22228PF PF +=,解得：21PF =，则11PF =， 因为12F PF ∠的平分线交x 轴于点Q ，在1Rt PFQ ∆中，11sin PFQ PFQ ∠=∠=， 所以()1111sin sin 45cos sin 22PQF PFQ PFQ PFQ ∠=+∠=∠+⨯∠o得1sin 22PQF ∠=+=， 在1PF Q ∆中，由正弦定理得：111sin sin PF PQ PQF PFQ =∠∠，=，解得PQ =故选：A. 【点睛】本题考查椭圆的定义和性质的应用，结合焦点三角形的边长和角，通过勾股定理和正弦定理求解，还考查学生的分析转化和解题能力.二、多选题9．已知双曲线22:1412x y E -=的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 是E 的右支．．上一点，则下列结论正确的是（ ） A ．124PF PF -= B ．EC ．1PF 的最小值是6D ．P 到两渐近线的距离的乘积是3【答案】ACD【解析】由双曲线方程，得出2,4a b c ===，即可利用定义、离心率、渐近线方程以及点到直线距离公式即可得判断，进而得出答案. 【详解】解：已知双曲线22:1412x y E -=，得222224,12,16a b c a b ===+=，则2,4a b c ===，由双曲线的定义得：1224PF PF a -==，所以选项A 正确； 离心率422c e a ===，所以选项B 不正确；当P 在右顶点时，1PF 取得最小值，即1min 6PF a c =+=，则C 正确； 因为双曲线的渐近线方程为3by x x a=±=±， 设点()00,P x y ，则22001412x y -=，即2200312x y -=，则点P 到3y x =和到3y x =-的距离乘积为：2200000033312344x y x y x y -+-⨯===，则D 正确. 故选：ACD. 【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质，涉及到双曲线的定义、离心率、渐近线方程，以及点到直线的距离公式，属于基础题，需要对双曲线知识点有一定的掌握.10．正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 、G 、H 分别为1CC 、BC 、CD 、BB 、1BB 的中点，则下列结论正确的是（ ）A ．1B G BC ⊥ B ．平面AEF I 平面111AAD D AD = C ．1//A H 面AEF D ．二面角E AF C --的大小为4π 【答案】BC【解析】通过线面垂直的判定和性质，可判断A 选项，通过线线和线面平行的判断可确定B 和选项C ，利用空间向量法求二面角，可判断选项D . 【详解】解：由题可知，1B G 在底面上的射影为BG ，而BC 不垂直BG ， 则1B G 不垂直于BC ，则选项A 不正确；连接1AD 和1BC ，E 、F 、G 、H 分别为1CC 、BC 、CD 、BB 、1BB 的中点， 可知11////EF BC AD ，所以AEF ∆⊂平面1AD EF ， 则平面AEF I 平面111AA D D AD =，所以选项B 正确；由题知，可设正方体的棱长为2，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴， 则各点坐标如下：()()()()()()12,0,0,0,2,0,0,2,1,2,0,2,2,2,1,1,2,0A C E A H F ()()()()110,2,1,1,2,0,1,0,1,0,0,2A H AF EF AA =-=-=-=u u u u r u u u r u u u r u u u r， 设平面AEF 的法向量为(),,n x y z =r，则00n AF n EF ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v ，即200x y x z -+=⎧⎨-=⎩，令1y =，得2,2x z ==，得平面AEF 的法向量为()2,1,2n =r，所以10A H n ⋅=u u u u r r ，所以1//A H 平面AEF ，则C 选项正确； 由图可知，1AA ⊥平面AFC ，所以1AA u u u r是平面AFC 的法向量，则1112cos ,3AA n AA n AA n⋅<>===⋅u u u r ru u u r r u u u r r . 得知二面角E AF C --的大小不是4π，所以D 不正确. 故选：BC.【点睛】本题主要考查空间几何体线线、线面、面面的位置关系，利用线面垂直的性质和线面平行的判定，以及通过向量法求二面角，同时考查学生想象能力和空间思维.三、填空题11．某工厂生产A 、B 、C 三种不同的产品，产量分别为400件、600件、1000件.为检验产品质量，现用分层抽样的方法从所有产品中抽取80件进行检验，则应从B 产品中抽取________件. 【答案】24【解析】根据题意求出分层抽样比例，即可算出从B 产品中抽取的样本数据． 【详解】 解：抽样比例是801400600100025=++，∴应从B 产品中抽取16002425⨯=（件)． 故答案为：24． 【点睛】本题考查了分层抽样方法的应用问题，是基础题．12．“22ac bc >”是“a b >”的________条件.（从“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中选择一项填空.） 【答案】充分不必要【解析】由不等式的性质可知，由22ac bc >得a b >，反之代入0c =进行验证，然后根据充分性与必要性的定义进行判断，即可得出所要的答案． 【详解】解：由不等式的性质可知，由22ac bc >得a b >， 故“22ac bc >”成立可推出“a b >”， 而a b >，当0c =，则22ac bc =， 所以“a b >”不能保证“22ac bc >”，故“22ac bc >”是“a b >”成立的充分不必要条件. 故答案为：充分不必要． 【点睛】本题考查充分条件与必要条件的判断，结合不等式的性质，属于较简单题型． 13．甲、乙、丙3人各写一张贺卡置于同一信封，每人随机取回一张，则3人取回的贺卡均为他人所写的概率为________. 【答案】13【解析】根据题意，用列举法分别将所有情况一一列举出来，再利用古典概型的概率公式求出结果.【详解】解：设甲的贺卡为A ，乙的贺卡为B ，丙的贺卡为C ，每人随机取回一张，则按顺序，甲、乙、丙3人取回的贺卡有以下情况：ABC ACB BAC BCA CAB CBA 、、、、、，共有6种情况，则3人取回的贺卡均为他人所写的有：BCA CAB 、，2种情况， 所以3人取回的贺卡均为他人所写的概率为2163P ==. 故答案为：13. 【点睛】本题考查古典概型求概率，利用列举法将所有基本事件一一列举出来，属于基础题. 14．如图，平行六面体1111ABCD A B C D -的所有棱长均为1，113BAD A AD A AB π∠=∠=∠=，E 为1CC 的中点，则AE 的长度是________.17 【解析】根据向量的线性运算，得出112AE AB BC CC =++u u u r u u u r u u u r u u u u r，根据向量的数量积运算，即可求出结果. 【详解】解：由题可知，112AE AB BC CC =++u u u r u u u r u u u r u u u u r，所以2211()2AE AB BC CC =++u u u r u u u r u u u r u u u u r222111124AB BC CC AB BC AB CC BC CC =+++⋅+⋅+⋅u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r22211112cos60cos60cos604AB BC CC AB BC AB CC BC CC =+++⋅+⋅+⋅o oou u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r11111711242224=+++⨯++=得17AE =u u u r .故答案为：2. 【点睛】本题考查向量的运算，涉及到线性运算和向量的数量积，同时考查学生的化归和转化思想.15．曲线21:ln 2C y x x =+在点P 处的切线l 的斜率为k ，则k 的取值范围是________；当k 取得最小值时，l 的方程是________. 【答案】[)2,+∞ 4230--=x y【解析】先求导，设切点()00,P x y ，求出切线斜率，利用基本不等式求k 的取值范围，得出点P 坐标，再根据点斜式求出切线方程. 【详解】解: 已知曲线()201:ln 2C x x y x =>+，则1y x x'=+， 设点()00,P x y ，当0x x =时，001y x k x '=+=， 由于0x >，则0010,0x x >>，有0012x x +≥=，即2k ≥， 所以k 的取值范围是[)2,+∞. 当且仅当001x x =，即01x =时，取等号， 此时2k =，11,2P ⎛⎫⎪⎝⎭，得切线l 的方程为：()1212y x -=-， 即：4230--=x y故答案为：[)2,+∞；4230--=x y . 【点睛】本题考查利用导数求切线方程，以及利用基本不等式求出和的最小值.16．过抛物线2:6E y x =的焦点作直线l 交E 于()11,A x y 、()22,B x y 两点，M 是线段AB 的三等分点，过M 作E 的准线的垂线，垂足是M '，则12x x =________；MM '的最小值等于________.【答案】9432+ 【解析】由抛物线方程，求出焦点坐标3,02⎛⎫⎪⎝⎭，设直线方程32x my =+，联立方程组，通过韦达定理求得12y y +和12y y ，进而得出12x x ；由抛物线的定义和性质，利用基本不等式求M x 最小值，即可得出结果. 【详解】解：由题可知，抛物线2:6E y x =的焦点坐标为3,02⎛⎫⎪⎝⎭， 设直线l 的方程为：32x my =+， 设()()()1122,,,,,M M A x y B x y M x y ，120,0x x >>，联立方程2326x my y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩，得2690y my --=，则126y y m +=，129y y =-，又因为()2121236y y x x =，则128136x x =， 解得：1294x x =. 因为M 是线段AB 的三等分点，则1223M x x x +=，即119243Mx x x +=，因为11924x x +≥=3M x ≥=当且仅当14x =时，取等号，得M x， 而32M MM x '=+，所以MM '的最小值为：32+. 故答案为：94；32【点睛】本题考查抛物线性质的应用，包括联立方程、韦达定理、抛物线的定义和性质，还利用基本不等式求最值，同时考查转化能力和解题能力，属于中档题.四、解答题17．班级新年晚会设置抽奖环节.不透明纸箱中有大小相同的红球3个，黄球2个，且这5个球外别标有数字1、2、3、4、5.有如下两种方案可供选择： 方案一：一次性．．．抽取两球，若颜色相同，则获得奖品； 方案二：依次有放回．．．地抽取两球，若数字之和大于5，则获得奖品. （1）写出按方案一抽奖的试验的所有基本事件； （2）哪种方案获得奖品的可能性更大？【答案】（1）见解析（2）方案二获得奖品的可能性更大.【解析】（1）根据题意，设三个红球分别为：123,,A A A ，两个黄球分别为12,B B ，利用列举法一一列举出来即可；（2）方案一二中，根据古典概型，分别求出两种方案的概率，即可得出结论. 【详解】（1）方案一中，设三个红球分别为：123,,A A A ，两个黄球分别为12,B B ， 则方案一所有可能的基本事为：{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}12131112232122313212,,,,,,,,,A A A A A B A B A A A B A B A B A B B B共10个基本事件.（2）方案二中，设两次抽查取的球所标的数字分别为x 、y ，则所有可能的基本事件对应的二元有序数组(),x y 表示如下表，共25个基本事件：方案一、方案二的基本事件总数均为有限个，且每个基本事件发生的可能性均相同，故它们都是古典概型. 方案一，设事件A ：两球颜色相同，则A 包含{}12A A 、{}13A A 、{}23A A 、{}12B B 共4个基本事件， 故()42105P A ==. 方案二中，设事件B ：两球所标数字之和大于5，则B 包含()1,5、()2,4、()2,5、()3,3、()3,4、()3,5、()4,2、()4,3、()4,4、()4,5()5,1、()5,2、()5,3、()5,4、()5,5共15个基本事件，故()153255P B ==. 因为()()P A P B <，所以选择方案二获得奖品的可能性更大. 【点睛】本题考査古典概型以及概率在生活中的应用等知识点，同时考查推理论证能力以及考查逻辑推理与数据分析素养.18．抛物线()2:20E y px p =>上一点()04,A y 到焦点F 的距离为174，直线:1l y kx =+交E 于B C、两点.（1）求E 的方程；（2）若以BC 为直径的圆过原点O ，求l 的方程. 【答案】（1）2y x =；（2）1y x =-+. 【解析】（1）根据抛物线的定义，即可得出17424p +=，求出p ，即可得出抛物线E 的方程；（2）设()11,B x y 、()22,C x y ，联立直线方程和抛物线方程，结合韦达定理12x x +和12x x ，以BC 为直径的圆过O 点，12120OA OB x x y y ⋅=+=u u u u r u u u r，求出1k =-，可得出l的方程. 【详解】（1）由抛物线的定义可知，()04,A y 到焦点F 的距离等于A 到准线2px =-的距离，所以17424p +=，解得12p =，所以E 的方程是2y x =. （2）设()11,B x y 、()22,C x y ，由题意知0k ≠.联立直线l 与抛物线E :21y x y kx ⎧=⎨=+⎩，得()2221+1=0k x k x +-.所以12212k x x k -+=，1221x x k=，()222140k k ∆=-->， 因为以BC 为直径的圆过O 点，所以12120OA OB x x y y ⋅=+=u u u u r u u u r，即()()()()21212121211110x x kx kx k x xk x x +++=++++=，所以()222112110k kk k k-+⋅+⋅+=，解得1k =-. 经检验1k =-满足题意，所以l 的方程是1y x =-+. 【点睛】本题考查抛物线定义，直线与抛物线的位置关系，结合韦达定理、圆的相关性质、向量的数量积、直线方程等知识点，考查化归与转化的数学思想、逻辑推理以及数学运算素养.19．记()f x '、()g x '分别为函数()f x 、()g x 的导函数.把同时满足()()00f x g x =和()()00f x g x ''=的0x 叫做()f x 与()g x 的“Q 点”. （1）求()2f x x =与()224g x x x =-+的“Q 点”；（2）若()212f x ax =+与()ln g x x =存在“Q 点”，求实数a 的值. 【答案】（1）2；（2）212e . 【解析】（1）对()2f x x =与()224g x x x =-+进行求导，由()()00f x g x =和()()00f x g x ''=，结合新定义，即可求出()f x 与()g x 的“Q ”点；（2）对()212f x ax =+与()ln g x x =分别求导，根据新定义列式，求出a 的值. 【详解】（1）因为()()2,22f x g x x ''==-， 设0x 为函数()f x 与()g x 的一个“Q ”点.由()()00f x g x =且()()00f x g x ''=得20000224222x x x x ⎧=-+⎨=-⎩，解得02x =.所以函数()f x 与()g x 的“Q ”点是2. （2）因为()()12,f x ax g xx''==， 设0x 为函数()f x 与()g x 的一个“Q ”点.由()()00f x g x =且()()00f x g x ''=得200001ln 212ax x ax x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩L L ①②， 由②得2012a x =代入①得0ln 1x =，所以0x e =. 所以2201122a x e ==. 【点睛】本题考查导数运算以及函数与方程问题，结合新定义，同时考查推理论证能力以及方程思想和数学运算素养.20．如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，2ABC ACD π∠=∠=，3BAC π∠=，PC 与平面ABCD 所成的角为6π，又2PA CD ==.（1）证明：平面PAC ⊥平面PCD ； （2）求二面角B PC D --的余弦值. 【答案】（1）见解析；（2）27. 【解析】（1）由PA ⊥平面ABCD ，根据线面垂直的性质，得出PA CD ⊥，再结合面面垂直的判断，即可证明平面PAC ⊥平面PCD ；（2）因为3BAC π∠=，PC 与平面ABCD 所成的角为6π，求出3,3AB BC ==，建立空间直角坐标系，通过空间向量法，分别求出平面PBC 和平面PCD 的法向量，通过二面角公式求出二面角B PC D --的余弦值. 【详解】（1）证明：因为PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以PA CD ⊥， 又因为AC CD ⊥且PA AC A =I ，所以CD ⊥平面PAC ， 因为CD ⊂平面ABCD ，所以平面PAC ⊥平面PCD .（2）因为PA ⊥平面ABCD ，所以AC 为PC 在平面ABCD 内的射影， 所以PCA ∠为PC 与平面ABCD 所成角，故6PCA π∠=，在Rt PAC ∆中，因为2PA =，所以AC =在Rt ACD ∆中，因为2AC CD ==，所以4,6AD CAD π=∠=，又因为3BAC π∠=，所以2BAD BAC CAD π∠=∠+∠=，即BA AD ⊥.在Rt ACD V，因为AC =3BAC π∠=，所以3AB BC ==.以A 为原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴，AP 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系：则))()(),,0,4,0,0,0,2BCD P ，得)()()()2,0,3,0,0,4,2,PB BC PD CD =-==-=u u u r u u u r u u u r u u u r，设平面PBC 的法向量为(),,n x y z =r，则020030n PB z n BC y ⎧⋅=-=⇒⎨⋅==⎪⎩⎩u u u v v u u u v v ， 令2x =，得(n =r.设平面PCD 的法向量为(),,m x y z '''=u r，则420000y z m PB m CD y -=⎧⎧⋅=⎪⇒⎨⎨⋅=+=⎪⎩''''⎩u u u v v u u u v v ，令x '=)m =u r.所以cos ,7m n m n m n ⋅<>====⋅u r ru r r u r r ，观察可知，二面角B PC D --为钝角， 所以二面角B PC D --的余弦值为.【点睛】本题考査线面垂直的性质、面面垂直得判断、线面角定义以及用向量法求二面角等知识点，同时考查空间想象能力、运算求解能力.21．配速是马拉松运动中常使用的一个概念，是速度的一种，是指每公里所需要的时间，相比配速，把心率控制在一个合理水平是安全理性跑马拉松的一个重要策略.图1是一个马拉松跑者的心率y （单位：次/分钟）和配速x （单位：分钟/公里）的散点图，图2是一次马拉松比赛（全程约42公里）前3000名跑者成绩（单位：分钟）的频率分布直方图：（1）由散点图看出，可用线性回归模型拟合y 与x 的关系，求y 与x 的线性回归方程； （2）该跑者如果参加本次比赛，将心率控制在160左右跑完全程，估计他能获得的名次.参考公式：线性回归方程$$y bx a=+中，()()()121ˆ,niii nii x x y y b ay bx x x ==--==--∑∑$，参考数据：135y =.【答案】（1）$25285y x =-+；（2）192. 【解析】（1）先求出,x y ，再利用最小二乘法，求出$,a b$，即可得出y 与x 的线性回归方程；（2）将160y =代入回归方程得5x =，求出该跑者跑完马拉松全程所花的时间，再根据频率分布直方图，算出该跑者在本次比赛获得的名次. 【详解】（1） 由散点图中数据和参考数据得：4.55677.565x ++++==，1711651301091001355y ++++==，()()()()()()()()()122222211.53613005126 1.535=-251.5101 1.5niii nii x x y y bx x ==---⨯+-⨯+⨯-+⨯-+⨯-==-+-+++-∑∑$，()ˆ135256285ay bx =-=--⨯=$， 所以y 与x 的线性回归方程为$25285y x =-+. （2）将160y =代入回归方程得5x =，所以该跑者跑完马拉松全程所花的时间约为425210⨯=分钟. 从马拉松比赛的频率分布直方图可知成绩好于210分钟的累积频率为()0.0008500.00242102000.064⨯+⨯-=.所以有6.4%的跑者成绩超过该跑者，则该跑者在本次比赛获得的名次大约是0.0643000192⨯=名. 【点睛】本题考查频率分布直方图和回归分析等知识点，考查数学建模、数学运算以及数据分析等素养.22．已知椭圆22:184x y E +=，过左焦点F 且斜率大于0的直线l 交E 于A B 、两点，AB 的中点为,G AB 的垂直平分线交x 轴于点D . （1）若点G 纵坐标为23，求直线GD 的方程； （2）若1an 2t BAD ∠=，求ABD ∆的面积. 【答案】（1）3320x y ++=或6320x y ++=；（2）169.【解析】（1）设直线:2AB x my =-，与椭圆方程联立，求出韦达定理，又因为点G 的纵坐标为23， 解得：1m =或2m =，便得出直线GD 的方程；（2）根据椭圆的弦长公式，分别求出AB 和DG ，由12ABD S AB DG ∆=⋅求出ABD ∆的面积. 【详解】设()()()()11223344,,,,,,,A x y B x y G x y D x y ，由题意，可设直线:2AB x my =-，（1）将直线AB 方程代入椭圆方程22280x y +-=，得()222440m y my +--=L ①，所以()()2221224,161623212my y m m m m +=∆=++=++， 由123222223y y m y m +===+，得2320m m -+=， 解得：1m =或2m =. 当1m =时，341,3DG k x =-=-，直线DG 方程为3320x y ++=， 当2m =时，322,3DGk x =-=-，直线DG 方程为6320x y ++=，综上所述，直线DG 方程为3320x y ++=或6320x y ++=.（2）由11tan 22DG BAD AG ∠=⇒=，得14DG AB =L ②， ()2212m AB m +==+，322222m GD y m m ===++. 代入②14=，解得1m =或1m =-（舍去），于是()11123AB +==+， 所以211111622489ABD S AB DG AB AB AB ∆=⋅=⋅==.【点睛】本题考查直线与椭圆位置关系，涉及直线方程、直线与椭圆联立、韦达定理、弦长公式，同时考查数形结合思想以及转化与化归思想，还考査逻辑推理与数学运算素养.第 21 页共 21 页。
2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题(含解析)_48
2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题（含解析）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.命题“若，则”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中假命题的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】根据四个命题的真假关系，判断原命题和逆命题是否成立，即可得结论.【详解】命题“若，则”不成立，则逆否命题不成立；逆命题和否命题成立，假命题的个数为2.故选:B【点睛】本题考查四种命题形式的真假关系，属于基础题.2.已知命题：，，则为（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】B【解析】【分析】由命题的否定形式，即可求得结论.【详解】命题：，，则为：，.故选:B【点睛】本题考查命题的否定，要注意全称量词和特称量词的转换，属于基础题.3.高三（8）班有学生54人，现将所有学生随机编号，用系统抽样方法，抽取一个容量为4的样本，已知5号、18号、44号学生在样本中，则样本中还有一个学生的编号是（）A. 8 B. 13 C. 15 D. 31【答案】D【解析】【分析】根据系统抽样的原则，每组抽取的个体的编号成等差数列，公差为每组的个数，即可求出结论.【详解】根据系统抽样的抽样的方法，所抽取4个的号码成等差数列，其公差为每组的个数为13，所以四个号码为5,18,31,44.故选:D【点睛】本题考查系统抽样的定义和方法，属于基础题.4.已知一个不透明的袋子中装有3个白球，2个黑球，这些球除颜色外完全相同，若从袋子中一次取出两个球，则“取到的两个球颜色不相同”的概率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】3个白球和2个黑球分别编号，列出所有从袋中一次取出两个球的所有情况，统计出满足条件的基本事件的个数，按求古典概型的概率方法，即可求解.【详解】3个白球记为；2个黑球记为，从袋子中一次取出两个球所有情况有：，共有10种取法，取到的两个球颜色不相同有6种，概率为.故选:B【点睛】本题考查古典概型概率的求法，属于基础题.5.下表提供了某工厂节能降耗技术改造后，一种产品的产量(单位：吨）与相应的生产能耗（单位：吨）的几组对应数据：根据上表提供的数据，求得关于的线性回归方程为，那么表格中的值为（）A. 3B. 3.15C. 3.25D. 3.5【答案】A【解析】试题分析：，，线性回归方程过样本点的中心，，得，故答案为A．考点：线性规划的应用．6.已知，是非零实数，则“”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据对数的真数大于零，“”成立，“”不一定成立，而“”成立可得“”，即可得出结论.【详解】若，则不能是真数，不成立；成立，则有成立.故选:B【点睛】本题考查命题的充分必要条件的判断，涉及对数的定义域和单调性，属于基础题.7.已知向量，，若，则的值可以是（）A. B. C. -3 D. 2【答案】A【解析】【分析】运用向量共线的坐标关系，即可求解.【详解】，，,，解得或，或.故选:A【点睛】本题考查平行向量空间坐标的关系，属于基础题. 8.如图所示的茎叶图记录了甲，乙两组各5名工人某日的产量数据（单位：件）．若这两组数据的中位数相等，且平均数也相等，则的值为（）A. 10B. 9C. 8D. 7【答案】C【解析】分析】根据这两组数据的中位数相等，而甲组中位数已知，可求，进而求出乙组的平均数，两组平均数也相等，求出，即可求得结论.【详解】甲组的中位数为65，两组的中位数相同，所以，乙组的平均数为66，甲组的平均数为66，所以.故选:C【点睛】本题考查中位数和平均数，考查计算能力，属于基础题.9.已知点是圆的圆周上一定点，若在圆的圆周上的其他位置任取一点，连接，则“线段的长度大于圆的半径”的概率约为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】求出点位置所有基本事件的弧长，再求出满足条件长度大于圆半径的基本事件对应的弧长，根据几何概型概率的计算公式，即可得到答案.【详解】设圆的半径为，为圆上的任意一点，则点位置所有情况对应的弧长为圆的圆周长，其中满足条件长度大于圆半径长对应的弧长为，则“线段的长度大于圆的半径”的概率约为.故选:D【点睛】本题考查几何概型概率的求法，其中根据条件计算出所有基本事件的几何量和满足条件的基本事件对应的几何量是解题的关键，属于中档题.10.已知椭圆：左、右焦点分别为，，离心率为，过的直线交于，两点，若的周长为，则的方程为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由椭圆的定义知的周长为，结合已知条件求出，再由离心率求出，进而求出，从而得出答案.【详解】依题意的周长为，.故选:C【点睛】本题考查椭圆的定义在解题中应用，以及离心率求椭圆的标准方程，属于基础题.11.如图所示，在三棱锥P–ABC中，PA⊥平面ABC，D是棱PB的中点，已知PA=BC=2，AB=4，CB⊥AB，则异面直线PC，AD所成角的余弦值为A. B. C. D.【答案】D【解析】因为PA⊥平面ABC，所以PA⊥AB，PA⊥BC．过点A作AE∥CB，又CB⊥AB，则AP，AB，AE两两垂直．如图，以A 为坐标原点，分别以AB，AE，AP所在直线为x轴，y轴，z 轴建立空间直角坐标系，则A(0，0，0)，P(0，0，2)，B(4，0，0)，C(4，−2，0)．因为D为PB的中点，所以D(2，0，1)．故=(−4，2，2)，=(2，0，1)．所以cos〈，〉= ==−.设异面直线PC，AD所成的角为θ，则cos θ=|co s〈，〉|=.12.已知，为双曲线的焦点，过作垂直于实轴的直线交双曲线于，两点，交虚轴于点，若，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由已知条件,可得为中点，，可得，，再由双曲线的对称性，到出为等边三角形，将用表示，结合双曲线的定义，即可求解.【详解】作垂直于实轴的直线交双曲线于，两点，，为中点，平方得，，，由双曲线的对称性，，为等边三角形，在，，.故选:B【点睛】本题考查双曲线的几何性质，以及利用其定义求离心率，属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.某高级中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，其性别比例分别如扇形统计图所示，现要抽取一个容量为26的样本，则在该高级中学高中部抽取男教师的人数为________【答案】9【解析】【分析】根据分层抽样原则，高中部抽取男教师的人数为高中部抽取人数的60%，即可求解.【详解】某高级中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，要抽取一个容量为26的样本，高中部老师抽取15人，高中男教师占60%，故抽取9人.故答案为:9【点睛】本题考查系统抽样的指标分配，按比例分配是解题的关键，属于基础题.14.在平面直角坐标系中，直线过抛物线的焦点，且与该抛物线相交于、两点，其中点在轴上方.若直线的倾斜角为，则______.【答案】【解析】【分析】根据条件求出直线方程，与抛物线方程联立，求出点坐标，即可求解.【详解】依题意，直线方程为，联立，消去，，解得或，点在轴上方，点坐标为.故答案为:【点睛】本题考查抛物线与直线的位置关系，属于基础题. 15.如图，在一个的二面角的棱上，有两个点、，，分别是在这个二面角的两个半平面内垂直于的线段，且，，，则的长为______.【答案】【解析】【分析】求的长转为求，而，按照向量的模长求法，即可求解.【详解】故答案为:【点睛】本题考查空间向量的基本定理，以及向量的模长，属于基础题.16.已知椭圆的右焦点为，点在上，且在第－象限，过点作的切线交椭圆与两点，则的周长为_______________.【答案】4【解析】【分析】设，利用焦点半径公式可求，再根据勾股定理可求、，注意根据点在椭圆上化简、后可求的周长.【详解】圆的半径为，椭圆的短半轴长为，依据在第一象限可以得到在轴的右侧.设，则且.又，同理，所以的周长为，故答案为：.【点睛】本题考查椭圆的几何性质，一般地，如果椭圆的方程为的左、右焦点分别为，那么对于椭圆上的点，，，记忆该公式的方法为“左加右减”.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（1）已知命题：，命题：，若是的充分不必要条件，求的取值范围；（2）已知命题：“，”；命题：“，使得”，若命题“”是真命题，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）.【解析】【分析】（1）求出命题的不等式解集，是的充分不必要条件，转化为命题的数集是命题解集的在真子集，即可求解；（2）分别求出命题和命题为真时，实数的范围，再根据“”是真命题，即可求解.【详解】解：（1）令，.∵是的充分不必要条件，∴，∴，解得.（2）若命题“”是真命题，那么命题，都是真命题.由，，得；由，使，知，得，因此.【点睛】本题考查命题充分不必要与集合的关系，考查复合命题的真假，属于基础题.18.某高校在2019年的自主招生笔试成绩（满分200分）中，随机抽取100名考生的成绩，按此成绩分成五组，得到如下的频率分布表：15253010（1）求频率分布表中，，的值；（2）估计笔试成绩的平均数及中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（精确到0.1）（3）若从第四组、第五组的学生中按组用分层抽样的方法抽取6名学生参加面试，用简单随机抽样方法从6人中抽取2人作为正、副小组长，求“抽取的2人为同一组”的概率.【答案】（1），，.（2）平均数137 中位数136.7（3）【解析】【分析】（1）频数和为100，求出，由频数求出；（2）根据平均数公式，即可求出平均数，根据直方图求出中位数；（3）对抽取的6名学生编号，列出随机抽取两人的所有情况，确定出2人为同一组的抽取个数，按求古典概型概率的方法，即可求解.【详解】解：（1）依题意：，，.（2）笔试成绩的平均数为：.因为第1组与第2组的频率之和为：0.4，所以中位数为：.（3）依题意：第4组抽取4人，记为：，，，，第5组抽取2人，记为：，，则基本事件为：，，，，，，，，，，，，，，共15种，其中满足题意的有7种.所以所求概率为：.【点睛】本题考查补全频率分布表，并求平均数和中位数，考查古典概型概率的求法，属于基础题.19.如图，在三棱锥中，平面平面，等边三角形，已知，.（1）求证：平面平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）根据已知条件可证，再由面面垂直的性质定理，即可求证结论；（2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量和直线的方向向量，即可求解.【详解】（1）证明：在中，∵，，，∴，故.又平面平面，平面平面，∴平面.又平面，所以平面平面.（2）解：如图建立空间直角坐标系，，，，，，，.设平面的法向量，由，则. ∴.所以直线与平面所成角的正弦值为.【点睛】本题考查面面垂直的性质定理和判定定理，考查利用空间向量法求直线与平面所成的角，属于中档题.20.已知椭圆C： (a>b>0)的一个顶点为A(2,0)，离心率为.直线y＝k(x－1)与椭圆C交于不同的两点M，N.(1)求椭圆C的方程；(2)当△AMN的面积为时，求k的值．【答案】（1）（2）1或－1.【解析】【详解】（1）由题意得解得．所以椭圆C的方程为．（2）由得．设点M，N的坐标分别为，，则，，，．所以|MN|===．由因为点A（2,0）到直线的距离，所以△AMN的面积为．由，解得，经检验，所以．21.如图1，在边长为2的菱形中，，将沿对角线折起到的位置，使平面平面，是的中点，平面，且，如图2.（1）求证：平面；（2）求平面与平面所成角的余弦值；（3）在线段上是否存在一点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）见解析（2）（3）线段上不存点，使得平面.见解析【解析】【分析】（1）平面平面，由面面垂直的性质定理，可证，得出，即可得证结论；（2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，即可求解；（3）利用共线向量，将用坐标表示，根据平面法向量与平面，即可求出结论.【详解】（1）证明：∵，为的中点，∴.又平面平面，且平面平面，∴.∵平面，∴，而平面，平面，∴平面.（2）解：以所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示：则，，，，，∴，，设平面的一个法向量为，则，取，则.又平面的一个法向量为，∴.则平面与平面所成角余弦值为.（3）解：假设在线段上存在，使得平面，设，则，∴，，.而.由，可知不存在，∴线段上不存点，使得平面【点睛】本题考查面面垂直、线面垂直的性质定理，考查线面平行的判定，以及利用空间向量法求面面角、和线线平行的判定，属于中档题.22.已知抛物线的对称轴为坐标轴，顶点为坐标原点，准线方程为，直线与抛物线相交于不同的、两点．（1）求抛物线的标准方程；（2）如果直线过抛物线的焦点，求的值；（3）如果，直线是否过一定点，若过一定点，求出该定点；若不过一定点，试说明理由．【答案】（1）;（2）∴;（3）．【解析】【试题分析】（1）借助题设与已知条件待定抛物线的参数即可；（2）依据题设条件，建立直线方程与抛物线方程联立方程组，运用向量的坐标形式求解：（3）先假设存在，再运用所学知识分析探求．（1）已知抛物线的对称轴为坐标轴，顶点是坐标原点，准线方程为，所以，．∴抛物线的标准方程为．（2）设：，与联立，得，设，，∴，，∴．（3）解：假设直线过定点，设：与联立，得，设，，∴，．由，解得，∴：过定点．点睛：本题的设置旨在考查抛物线的标准方程与直线与抛物线的位置关系等基础知识与基本方法的综合运用．求解第一问时，直接借助题设条件求出参数的值使得问题获解；解答第二问时，将直线方程与抛物线方程联立，借助向量的坐标形式的数量积公式求解，使得问题获解；第三问的求解则借助坐标之间的关系建立方程推得直线过定点，使得问题获解．2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题（含解析）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.命题“若，则”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中假命题的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】根据四个命题的真假关系，判断原命题和逆命题是否成立，即可得结论.【详解】命题“若，则”不成立，则逆否命题不成立；逆命题和否命题成立，假命题的个数为2.故选:B【点睛】本题考查四种命题形式的真假关系，属于基础题.2.已知命题：，，则为（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】B【解析】【分析】由命题的否定形式，即可求得结论.【详解】命题：，，则为：，.故选:B【点睛】本题考查命题的否定，要注意全称量词和特称量词的转换，属于基础题.3.高三（8）班有学生54人，现将所有学生随机编号，用系统抽样方法，抽取一个容量为4的样本，已知5号、18号、44号学生在样本中，则样本中还有一个学生的编号是（）A. 8B. 13C. 15D. 31【答案】D【解析】【分析】根据系统抽样的原则，每组抽取的个体的编号成等差数列，公差为每组的个数，即可求出结论.【详解】根据系统抽样的抽样的方法，所抽取4个的号码成等差数列，其公差为每组的个数为13，所以四个号码为5,18,31,44.故选:D【点睛】本题考查系统抽样的定义和方法，属于基础题.4.已知一个不透明的袋子中装有3个白球，2个黑球，这些球除颜色外完全相同，若从袋子中一次取出两个球，则“取到的两个球颜色不相同”的概率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】3个白球和2个黑球分别编号，列出所有从袋中一次取出两个球的所有情况，统计出满足条件的基本事件的个数，按求古典概型的概率方法，即可求解.【详解】3个白球记为；2个黑球记为，从袋子中一次取出两个球所有情况有：，共有10种取法，取到的两个球颜色不相同有6种，概率为.故选:B【点睛】本题考查古典概型概率的求法，属于基础题.5.下表提供了某工厂节能降耗技术改造后，一种产品的产量(单位：吨）与相应的生产能耗（单位：吨）的几组对应数据：根据上表提供的数据，求得关于的线性回归方程为，那么表格中的值为（）A. 3B. 3.15C. 3.25D. 3.5【答案】A【解析】试题分析：，，线性回归方程过样本点的中心，，得，故答案为A．考点：线性规划的应用．6.已知，是非零实数，则“”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据对数的真数大于零，“”成立，“”不一定成立，而“”成立可得“”，即可得出结论.【详解】若，则不能是真数，不成立；成立，则有成立.故选:B【点睛】本题考查命题的充分必要条件的判断，涉及对数的定义域和单调性，属于基础题.7.已知向量，，若，则的值可以是（）A. B. C. -3 D. 2【答案】A【解析】【分析】运用向量共线的坐标关系，即可求解.【详解】，，,，解得或，或.故选:A【点睛】本题考查平行向量空间坐标的关系，属于基础题.8.如图所示的茎叶图记录了甲，乙两组各5名工人某日的产量数据（单位：件）．若这两组数据的中位数相等，且平均数也相等，则的值为（）A. 10B. 9C. 8D. 7【答案】C【解析】分析】根据这两组数据的中位数相等，而甲组中位数已知，可求，进而求出乙组的平均数，两组平均数也相等，求出，即可求得结论.【详解】甲组的中位数为65，两组的中位数相同，所以，乙组的平均数为66，甲组的平均数为66，所以.故选:C【点睛】本题考查中位数和平均数，考查计算能力，属于基础题.9.已知点是圆的圆周上一定点，若在圆的圆周上的其他位置任取一点，连接，则“线段的长度大于圆的半径”的概率约为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求出点位置所有基本事件的弧长，再求出满足条件长度大于圆半径的基本事件对应的弧长，根据几何概型概率的计算公式，即可得到答案.【详解】设圆的半径为，为圆上的任意一点，则点位置所有情况对应的弧长为圆的圆周长，其中满足条件长度大于圆半径长对应的弧长为，则“线段的长度大于圆的半径”的概率约为.故选:D【点睛】本题考查几何概型概率的求法，其中根据条件计算出所有基本事件的几何量和满足条件的基本事件对应的几何量是解题的关键，属于中档题.10.已知椭圆：左、右焦点分别为，，离心率为，过的直线交于，两点，若的周长为，则的方程为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由椭圆的定义知的周长为，结合已知条件求出，再由离心率求出，进而求出，从而得出答案.【详解】依题意的周长为，.故选:C【点睛】本题考查椭圆的定义在解题中应用，以及离心率求椭圆的标准方程，属于基础题. 11.如图所示，在三棱锥P–ABC中，PA⊥平面ABC，D是棱PB的中点，已知PA=BC=2，AB=4，CB⊥AB，则异面直线PC，AD所成角的余弦值为A. B. C. D.【答案】D【解析】因为PA⊥平面ABC，所以PA⊥AB，PA⊥BC．过点A作AE∥CB，又CB⊥AB，则AP，AB，AE两两垂直．如图，以A为坐标原点，分别以AB，AE，AP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则A(0，0，0)，P(0，0，2)，B(4，0，0)，C(4，−2，0)．因为D为PB的中点，所以D(2，0，1)．故=(−4，2，2)，=(2，0，1)．所以cos〈，〉===−.设异面直线PC，AD所成的角为θ，则cos θ=|cos〈，〉|=.12.已知，为双曲线的焦点，过作垂直于实轴的直线交双曲线于，两点，交虚轴于点，若，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由已知条件,可得为中点，，可得，，再由双曲线的对称性，到出为等边三角形，将用表示，结合双曲线的定义，即可求解.【详解】作垂直于实轴的直线交双曲线于，两点，，为中点，平方得，，，由双曲线的对称性，，为等边三角形，在，，.故选:B【点睛】本题考查双曲线的几何性质，以及利用其定义求离心率，属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.某高级中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，其性别比例分别如扇形统计图所示，现要抽取一个容量为26的样本，则在该高级中学高中部抽取男教师的人数为________【答案】9【解析】【分析】根据分层抽样原则，高中部抽取男教师的人数为高中部抽取人数的60%，即可求解.【详解】某高级中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，要抽取一个容量为26的样本，高中部老师抽取15人，高中男教师占60%，故抽取9人.故答案为:9【点睛】本题考查系统抽样的指标分配，按比例分配是解题的关键，属于基础题.14.在平面直角坐标系中，直线过抛物线的焦点，且与该抛物线相交于、两点，其中点在轴上方.若直线的倾斜角为，则______.【答案】【解析】【分析】根据条件求出直线方程，与抛物线方程联立，求出点坐标，即可求解.【详解】依题意，直线方程为，联立，消去，，解得或，点在轴上方，点坐标为.故答案为:【点睛】本题考查抛物线与直线的位置关系，属于基础题.15.如图，在一个的二面角的棱上，有两个点、，，分别是在这个二面角的两个半平面内垂直于的线段，且，，，则的长为______.【答案】【解析】【分析】求的长转为求，而，按照向量的模长求法，即可求解.【详解】故答案为:【点睛】本题考查空间向量的基本定理，以及向量的模长，属于基础题.16.已知椭圆的右焦点为，点在上，且在第－象限，过点作的切线交椭圆与两点，则的周长为_______________.【答案】4【解析】【分析】设，利用焦点半径公式可求，再根据勾股定理可求、，注意根据点在椭圆上化简、后可求的周长.【详解】圆的半径为，椭圆的短半轴长为，依据在第一象限可以得到在轴的右侧.设，则且.又，同理，所以的周长为，故答案为：.【点睛】本题考查椭圆的几何性质，一般地，如果椭圆的方程为的左、右焦点分别为，那么对于椭圆上的点，，，记忆该公式的方法为“左加右减”.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（1）已知命题：，命题：，若是的充分不必要条件，求的取值范围；（2）已知命题：“，”；命题：“，使得”，若命题“”是真命题，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）.【解析】【分析】（1）求出命题的不等式解集，是的充分不必要条件，转化为命题的数集是命题解集的在真子集，即可求解；（2）分别求出命题和命题为真时，实数的范围，再根据“”是真命题，即可求解.【详解】解：（1）令，.∵是的充分不必要条件，∴，∴，解得.（2）若命题“”是真命题，那么命题，都是真命题.由，，得；由，使，知，得，因此.【点睛】本题考查命题充分不必要与集合的关系，考查复合命题的真假，属于基础题.18.某高校在2019年的自主招生笔试成绩（满分200分）中，随机抽取100名考生的成绩，按此成绩分成五组，得到如下的频率分布表：15253010（1）求频率分布表中，，的值；（2）估计笔试成绩的平均数及中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（精确到0.1）（3）若从第四组、第五组的学生中按组用分层抽样的方法抽取6名学生参加面试，用简单随机抽样方法从6人中抽取2人作为正、副小组长，求“抽取的2人为同一组”的概率.【答案】（1），，.（2）平均数137 中位数136.7（3）【解析】【分析】（1）频数和为100，求出，由频数求出；（2）根据平均数公式，即可求出平均数，根据直方图求出中位数；（3）对抽取的6名学生编号，列出随机抽取两人的所有情况，确定出2人为同一组的抽取个数，按求古典概型概率的方法，即可求解.【详解】解：（1）依题意：，，.（2）笔试成绩的平均数为：.因为第1组与第2组的频率之和为：0.4，所以中位数为：.（3）依题意：第4组抽取4人，记为：，，，，第5组抽取2人，记为：，，则基本事件为：，，，，，，，，，，，，，，共15种，其中满足题意的有7种.所以所求概率为：.【点睛】本题考查补全频率分布表，并求平均数和中位数，考查古典概型概率的求法，属于基础题.19.如图，在三棱锥中，平面平面，等边三角形，已知，.（1）求证：平面平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）根据已知条件可证，再由面面垂直的性质定理，即可求证结论；（2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量和直线的方向向量，即可求解.【详解】（1）证明：在中，∵，，，∴，故.又平面平面，平面平面，∴平面.又平面，所以平面平面.（2）解：如图建立空间直角坐标系，，，，，，，.设平面的法向量，由，则. ∴.。
福建省厦门市2019-2020学年度高二上学期期末质量检测数学试题(原卷版)
C. 的最小值是6D.P到两渐近线的距离的乘积是3
10.正方体 中，E、F、G、H分别为 、BC、CD、BB、 的中点，则下列结论正确的是（）
A. B.平面 平面
C. 面AEFD.二面角 的大小为
三、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分.
11.某工厂生产A、B、C三种不同的产品，产量分别为400件、600件、1000件.为检验产品质量，现用分层抽样的方法从所有产品中抽取80件进行检验，则应从B产品中抽取________件.
3.考试结束后，将答题卡交回.
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知命题 ， ，则 是（）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
2.已知 ， 为 导函数，则 （）
A. B. C. D.1
3.已知命题 若 ， ，则 ；命题 若 ， ，则 .下列命题为真命题的是（）
A. ， B. ， C. ， D. ，
7.如图，过球心的平面和球面的交线称为球的大圆.球面几何中，球O的三个大圆两两相交所得三段劣弧 ， ， 构成的图形称为球面三角形ABC. 与 所成的角称为球面角A，它可用二面角 的大小度量.若球面角 ， ， ，则在球面上任取一点P，P落在球面三角形ABC内的概率为（）
17.班级新年晚会设置抽奖环节.不透明纸箱中有大小相同的红球3个，黄球2个，且这5个球外别标有数字1、2、3、4、5.有如下两种方案可供选择：
方案一：一次性抽取两球，若颜色相同，则获得奖品；
方案二：依次有放回地抽取两球，若数字之和大于5，则获得奖品.
（1）写出按方案一抽奖的试验的所有基本事件；
（2）哪种方案获得奖品 可能性更大？
福建省厦门市2019-2020年度高二上学期期末数学试卷(理科)(I)卷
福建省厦门市2019-2020年度高二上学期期末数学试卷（理科）（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共10题；共20分)1. （2分）已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合，则此双曲线的离心率为（）A .B .C .D .2. （2分）命题p：∀x∈[0，+∞），（log32）x≤1，则（）A . p是假命题，￢p：∃x0∈[0，+∞），（log32）x0＞1B . p是假命题，￢p：∀x∈[0，+∞），（log32）x＞1C . p是真命题，￢p：∃x0∈[0，+∞），（log32）x0＞1D . p是真命题，￢p：∀x∈[0，+∞），（log32）x≥13. （2分）如图，在三棱柱 ABC-A1B1C1 中，为A1C1的中点，若=a，，，则下列向量与相等的是（）A .C .D .4. （2分）某数学兴趣小组有3名男生和2名女生，从中任选出2名同学参加数学竞赛，那么对立的两个事件是（）A . 恰有1名男生与恰有2名女生B . 至少有1名男生与全是男生C . 至少有1名男生与至少有1名女生D . 至少有1名男生与全是女生5. （2分） (2016高二上·水富期中) 某篮球队甲、乙两名运动员练习罚球，每人练习10组，每组罚球40个．命中个数的茎叶图如下．则下面结论中错误的一个是（）A . 甲的极差是29B . 乙的众数是21C . 甲罚球命中率比乙高D . 甲的中位数是246. （2分）已知直线l过点P（1，0，﹣1），平行于向量=(2,1,1)，平面α过直线l与点M（1，2，3），则平面α的法向量不可能是（）A . （1，﹣4，2）B . (,-1,)D . （0，﹣1，1）7. （2分）执行如图所示的程序框图，则输出的S的值是（）A .B .C .D . 48. （2分） (2017高二下·三台期中) 若p的否命题是命题q的逆否命题，则命题p是命题q的（）A . 逆命题B . 否命题C . 逆否命题D . p与q是同一命题9. （2分）美不胜收的“双勾函数” 是一个对称轴不在坐标轴上的双曲线，它的渐近线分别是y 轴和直线y=x，其离心率e=（）A .B .C .D .10. （2分） (2017高二下·濮阳期末) 如图所示，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为a，M，N分别为A1B和AC上的点，A1M=AN= ，则MN与平面BB1C1C的位置关系为（）A . 相交B . 平行C . 垂直D . 不能确定二、填空题 (共5题；共5分)11. （1分） (2019高二下·青浦期末) 双曲线的渐近线方程为________12. （1分）为了解某市甲、乙、丙三所学校高三数学模拟考试成绩，采取分层抽样方法，从甲校1400份试卷、乙校640份试卷、丙校800份试卷中进行抽样调研．若从丙校800份试卷中抽取了40份试卷，则这次高三共抽查的试卷份数为________13. （1分）今年一轮又一轮的寒潮席卷全国．某商场为了了解某品牌羽绒服的月销售量y（件）与月平均气温x（℃）之间的关系，随机统计了某4个月的月销售量与当月平均气温，数据如下表：月平均气温x（℃）171382月销售量y（件）24334055由表中数据算出线性回归方程=bx+a中的b≈﹣2．气象部门预测下个月的平均气温约为6℃，据此估计，该商场下个月毛衣的销售量的件数约为________14. （1分）(2017·大连模拟) 已知如图所示的矩形，长为12，宽为5，在矩形内随机地投掷1000颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为600颗，则可以估计出阴影部分的面积约为________．15. （1分） (2019高二下·上海期末) 曲线C是平面内与两个定点和的距离的积等于常数的点的轨.给出下列四个结论：①曲线过坐标原点；②曲线C关于坐标原点对称；③若点P在曲线C上，则；④若点P在曲线C上，则的面积 .其中，所有正确的序号是________.三、解答题 (共6题；共50分)16. （5分）已知命题p：“存在”，命题q：“曲线表示焦点在x轴上的椭圆”，命题s：“曲线表示双曲线”（1）若“p且q”是真命题，求m的取值范围；（2）若q是s的必要不充分条件，求t的取值范围．17. （10分） (2019高一下·普宁期末) 某工厂有工人1000名，其中250名工人参加过短期培训（称为A类工人），另外750名工人参加过长期培训（称为B类工人）.现用分层抽样方法（按A类，B类分二层）从该工厂的工人中共抽查100名工人，调查他们的生产能力（生产能力指一天加工的零件数）（1） A类工人中和B类工人各抽查多少工人？（2）从A类工人中抽查结果和从B类工人中的抽查结果分别如下表1和表2：表1：生产能力分组表2：生产能力分组人数6y3618①先确定x，y，再在答题纸上完成下列频率分布直方图.就生产能力而言，A类工人中个体间的差异程度与B 类工人中个体间的差异程度哪个更小？（不用计算，可通过观察直方图直接回答结论）②分别估计A类工人和B类工人生产能力的平均数，并估计该工厂工人和生产能力的平均数（同一组中的数据用该区间的中点值作代表）图1A类工人生产能力的频率分布直方图图2B类工人生产能力的频率分布直方图18. （10分）心理健康教育老师对某班50个学生进行了心里健康测评，测评成绩满分为100分．成绩出来后，老师对每个成绩段的人数进行了统计，并得到如图4所示的频率分布直方图．（1）求a，并从频率分布直方图中求出成绩的众数和中位数；（2）若老师从60分以下的人中选两个出来与之聊天，则这两人一个在（40，50]这一段，另一个在（50，60]这一段的概率是多少？19. （5分） (2019高二下·丽水期末) 如图，已知三点A，P，Q在抛物线上，点，Q关于y 轴对称（点A在第一象限），直线过抛物线的焦点F.（Ⅰ）若的重心为，求直线的方程；（Ⅱ）设，的面积分别为，求的最小值．20. （10分）如图，在三棱锥A﹣BCD中，△ABC和△BCD都为正三角形且BC=2，，E，F，H分别是棱AB，BD，AC的中点，G为FD的中点．（1）求异面直线AD和EC所成的角的大小；（2）求证：直线GH∥平面CEF．21. （10分） (2017高三上·安庆期末) 已知F1 ， F2分别是椭圆C： =1（a＞b＞0）的两个焦点，P（1，）是椭圆上一点，且 |PF1|，|F1F2|， |PF2|成等差数列．（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知动直线l过点F2 ，且与椭圆C交于A、B两点，试问x轴上是否存在定点Q，使得 =﹣恒成立？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案一、选择题 (共10题；共20分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、填空题 (共5题；共5分)11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、三、解答题 (共6题；共50分)16-1、17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、20-1、20-2、21-1、21-2、。
福建省厦门市第三中学2019年高二数学文上学期期末试卷含解析
福建省厦门市第三中学2019年高二数学文上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 下面叙述正确的是（）A．综合法、分析法是直接证明的方法B．综合法是直接证法、分析法是间接证法C．综合法、分析法所用语气都是肯定的D．综合法、分析法所用语气都是假定的参考答案：A2. 在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施6个程序，其中程序A只能出现在第一步或最后一步，程序B和C实施时必须相邻，请问实验顺序的编排方法共有（）A．24种B．48种C．96种D．144种参考答案：C【考点】计数原理的应用．【专题】计算题．【分析】本题是一个分步计数问题，A只能出现在第一步或最后一步，从第一个位置和最后一个位置选一个位置把A排列，程序B和C实施时必须相邻，把B和C看做一个元素，同除A外的3个元素排列，注意B和C之间还有一个排列．【解答】解：本题是一个分步计数问题，∵由题意知程序A只能出现在第一步或最后一步，∴从第一个位置和最后一个位置选一个位置把A排列，有A21=2种结果∵程序B和C实施时必须相邻，∴把B和C看做一个元素，同除A外的3个元素排列，注意B和C之间还有一个排列，共有A44A22=48种结果根据分步计数原理知共有2×48=96种结果，故选C．【点评】本题考查分步计数原理，考查两个元素相邻的问题，是一个基础题，注意排列过程中的相邻问题，利用捆绑法来解，不要忽略被捆绑的元素之间还有一个排列．3. 一元二次不等式ax＋bx＋20的解集是(－,)，则a＋b的值是（）。
A. 10B. －10 C. 14 D. －14参考答案：D4. 空间四边形中，互相垂直的边最多有（）A、1对B、2对C、3对D、4对参考答案：C5. 过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于点A．若|AF|=3，则点A的坐标为（）A．（2，2）B．（2，﹣2）C．（2，±2）D．（1，±2）参考答案：C【考点】抛物线的简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】确定抛物线y2=4x的准线方程，利用抛物线的定义，可求A点的横坐标，即可得出A的坐标．【解答】解：抛物线y2=4x的准线方程为x=﹣1，F（1，0）．设A（x，y），∵|AF|=3，∴根据抛物线的定义可得|AF|=3=x+1，∴x=2，∴y=，∴A的坐标为（2，）．故选：C，【点评】抛物线的定义告诉我们：抛物线上的点到焦点的距离等于它到准线的距离．6. 已知集合A={0，1，2，3}，B={x|（x+1）（x﹣2）＜0}，则A∩B=（）A．{0，2} B．{1，0} C．{0，1，2，3} D．{﹣1，0，1，2，3}参考答案：B【考点】交集及其运算．【分析】化简集合B，求出A∩B即可．【解答】解：集合A={0，1，2，3}，B={x|（x+1）（x﹣2）＜0}={x|﹣1＜x＜2}，所以A∩B={0，1}．故选：B．7. 已知F1，F2分别是双曲线的两个焦点，以坐标原点O为圆心，为半径的圆与该双曲线右支交于A、B两点，若是等边三角形，则双曲线的离心率为（）A．B．2 C．D．参考答案：A8. 下列说法正确的是（）A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为“若x2=1，则x≠1”B．命题“?x0∈R，x+x0﹣1＜0”的否定是“?x∈R，x2+x﹣1＞0”C．命题“若x=y，则sin x=sin y”的逆否命题为假命题D．若“p或q”为真命题，则p，q中至少有一个为真命题参考答案：D【考点】复合命题的真假．【分析】A．原命题的否命题为“若x2≠1，则x≠1”，即可判断出正误；B．原命题的否定是“?x∈R，x2+x﹣1≥0”，即可判断出正误；C．由于命题“若x=y，则sin x=sin y”正确，其逆否命题与原命题为等价命题，即可判断出正误；D．利用“或”命题真假的判定方法即可得出．【解答】解：A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为“若x2≠1，则x≠1”，因此不正确；B．命题“?x0∈R，x+x0﹣1＜0”的否定是“?x∈R，x2+x﹣1≥0”，因此不正确；C．命题“若x=y，则sin x=sin y”正确，其逆否命题为真命题，因此不正确；D．命题“p或q”为真命题，则p，q中至少有一个为真命题，正确．故选：D．9. 已知|x-a|<b的解集为{x|2<x<4}, 则实数a等于( )A．1 B. 2 C.3 D. 4参考答案：C10. 函数的单调递减区间为（）A． B． C． D．参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表根据上表可得回归方程中的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为万元。
高二数学常用逻辑用语试题答案及解析
高二数学常用逻辑用语试题答案及解析1.下列命题正确的有 .①“一元二次方程”有实数解的一个充分不必要条件是；②命题“且，则”的否命题是假命题；③若不等式的解集是，则不等式的解集；④数列满足:若是递增数列，则.【答案】①②③【解析】对于①“一元二次方程”有实数解的充要条件是，而集合，故是“一元二次方程”有实数解的一个充分不必要条件；对于②命题“且，则”的否命题为“或，则”，这个命题显然是假命题，如，此时；对于③，由不等式的解集是可得与是方程的两个根，所以，解得，所以不等式可变为，解得；对于④，因为是递增数列，所以即，解得；综上可知，①②③正确，而④是错误的.【考点】1.充分必要条件；2.命题及其关系；3.一元二次不等式；4.数列的单调性.2.“”是“且”的 ()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】∵同向不等式相加不等号方向不变，且∴；而当不能推得且。
所以是必要不充分条件.【考点】充要条件的判断.3.非零向量，则“”是“∥”的条件．【答案】充分不必要；【解析】若，则∥；若∥，则，若或时不一定成立；故“”是“∥”的充分不必要条件.【考点】1.向量共线的坐标表示；2.充分必要条件的判断.4.原命题：“设”以及它的逆命题，否命题，逆否命题中，真命题的个数是______________________．【答案】2【解析】因为c=0时，原命题不成立，所以为假命题，可知其逆否命题为假命题；逆命题：“设”，因为，所以为真命题，可知否命题也是真命题，故真命题个数为2.【考点】四种命题的真假判断.5.设p:实数x满足<0,其中a<0；q:实数x满足x2-x-6≤0或x2+2x-8>0,且p是q的必要不充分条件,求a的取值范围.【答案】a≤-4或-≤a＜0【解析】解:设A={x|x2-4ax+3a2<0,a<0}={x|3a<x<a,a<0},B={x|x2-x-6≤0或x2+2x-8>0}={x|-2≤x≤3}∪{x|x<-4或x>2}={x|x<-4或x≥-2}.4分由p是q的必要不充分条件,转化成它的逆否命题q是p的必要不充分条件,即p 是q的充分不必要条件,也就是p q且q p.由A B,得或解得a≤-4或-≤a＜0.【考点】充分条件与必要条件点评：充分条件与必要条件是一个重要的考点。
2020年厦门市高二上期末市质检数学模拟试题及参考答案【解析】3
2019-2020学年度厦门市第一学期高二年级质量检测数学试题满分为150分,考试时间120分钟.注意事项：1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。
回答非选择题时,将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.全部答案答在答题卡上,答在本试卷上无效。
一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.命题“∃x0∈R,2＜或x02＞x0”的否定是()A.∃x0∈R,2≥或x02≤x0B.∀x∈R,2x≥或x2≤xC.∀x∈R,2x≥且x2≤xD.∃x0∈R,2≥且x02≤x02.如图,M是三棱锥P﹣ABC的底面△ABC的重心,若(x、y、x∈R),则x+y+z的值为()A.B.C.D.13.有一种“三角形”能够像圆一样,当作轮子用.这种神奇的三角形,就是以19世纪德国工程师勒洛的名字命名的勒洛三角形.这种三角形常出现在制造业中(例如图1中的扫地机器人).三个等半径的圆两两互相经过圆心,三个圆相交的部分就是勒洛三角形,如图2所示.现从图2中的勒洛三角形内部随机取一点,则此点取自阴影部分的概率为()A.B.C.D.4.某一个同学家开了一个小卖部,他为了研究气温对热饮销售的影响,摄氏温度﹣504712151923273136/℃热饮杯数15615013212813011610489937654(如图所示),请根据结果预测,若某天的气温是3℃,大约能卖出的热饮杯数为()(单词提示：Linear 线性)A.143B.141C.138D.1345.如图,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,点P在平面A1B1C1内运动,使得二面角P﹣AB﹣C的平面角与二面角P﹣BC﹣A的平面角互余,则点P的轨迹是()A.一段圆弧B.椭圆的一部分C.抛物线D.双曲线的一支6.命题p：关于x的方程x|x|﹣2x+m＝0(m∈R)有三个实数根；命题q：0＜m＜1；则命题p成立是命题q成立的()A..充分而不必要条件B..必要而不充分条件C..充要条件D.既不充分又不必要的条件7.设F1,F2是双曲线C：＝1(a＞0,b＞0)的左,右焦点,O是坐标原点.过F2的一条直线与双曲线C和y轴分别交于A、B两点.若|OA|＝|OF2|,|OB|＝|OA|,则双曲线C的离心率为()A. B. C. D.8.《九章算术)是我国古代内容极为丰富的数学名著第九章“勾股”,讲述了“勾股定理及一些应用.直角三角形的两直角边与斜边的长分别称“勾”“股”“弦”,且“勾2+股2＝弦2”.设F是椭圆＝1(a＞b＞0)的左焦点,直线y＝x交椭圆于A、B两点,若|AF|,|BF|恰好是Rt△ABF的”勾”“股”,则此椭圆的离心率为()A. B. C. D.二、多选题：本大题共2个小题,每小题5分,共10分。
2019-2020学年上学期厦门三中高二数学期末考练习卷04《空间向量与立体几何》
12019-2020学年上学期厦门三中高二数学期末考练习卷04《空间向量与立体几何》班级姓名一、选择题1．与向量a ＝(1，－3，2)平行的一个向量的坐标是( ) A.⎝⎛⎭⎫13，1，1 B ．(－1，－3，2) C.⎝⎛⎭⎫－12，32，－1 D.()2，－3，－22 2．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，A 1E →＝14A 1C 1→，AE →＝xAA 1→＋y (AB →＋AD →)，则( )A ．x ＝1，y ＝12B ．x ＝1，y ＝13C ．x ＝12，y ＝1D ．x ＝1，y ＝143．已知A (2，－4，－1)，B (－1，5，1)，C (3，－4，1)，D (0，0，0)，令a ＝CA →，b ＝CB →，则a ＋b 为( ) A ．(5，－9，2) B ．(－5，9，－2) C ．(5，9，－2) D ．(5，－9，－2) 4．【多选题】在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，下列结论正确的是( ) A.AB →＝－C 1D 1→ B.AB →·BC →＝0 C.AA 1→·B 1D 1→＝0 D.AC 1→·A 1C →＝0 二、填空题5．若向量a ＝(x ，4，5)，b ＝(1，－2，2)，且a 与b 的夹角的余弦值为26，则x ＝6．若直线l 的方向向量为(2，1，m )，平面α的法向量为⎝⎛⎭⎫1，12，2，且l ⊥α，则m ＝ 7．已知点A (1，2，1)，B (－1，3，4)，D (1，1，1)，若AP →＝2PB →，则点P 的坐标是8．已知正方体ABCD -A ′B ′C ′D ′，则下列三个式子中：①AB →－CB →＝AC →；②AA ′→＝CC ′→；③AB →＋BB ′→＋BC →＋C ′C →＝AC ′→.其中正确的有________． 三、解答题9．如图所示，已知点P 在正方体ABCD -A ′B ′C ′D ′的对角线BD ′上，∠PDA ＝60°.(1)求DP 与CC ′所成角的大小．(2)求DP 与平面AA ′D ′D 所成角的大小．10．如图，AB 是圆的直径，P A 垂直圆所在的平面，C 是圆上的点．(1)求证：平面PBC ⊥平面P AC ；(2)若AB ＝2，AC ＝1，P A ＝1，求二面角C -PB -A 的余弦值．11．如图，在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，M ，N 分别是棱AB ，AD ，A 1B 1，A 1D 1的中点，点P ，Q 分别在棱DD 1，BB 1上移动，且DP ＝BQ ＝λ(0<λ<2)． (1)当λ＝1时，证明：直线BC 1∥平面EFPQ ； (2)是否存在λ，使平面EFPQ 与平面PQMN 所成的二面角为直二面角？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．212．如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AA 1C 1C 是边长为4的正方形，平面ABC ⊥平面AA 1C 1C ，AB ＝3，BC ＝5.(1)求证：AA 1⊥平面ABC ； (2)求二面角A 1-BC 1-B 1的余弦值；(3)证明：在线段BC 1上存在点D ，使得AD ⊥A 1B ，并求BDBC 1的值．13．如图，在四棱锥P -ABCD 中，O 是AD 的中点，PO ⊥平面ABCD ，△P AD 是等边三角形，AB ＝BC ＝12AD ＝1，cos ∠ADB ＝255，AD ∥BC ，AD <BD . (1)证明：平面POC ⊥平面P AD ；(2)求直线PD 与平面P AB 所成角的大小．14．如图，已知四棱锥P-ABCD ，底面ABCD 为蓌形，PA ⊥平面ABCD ，∠ABC=60°，E ，F 分别是BC,PC 的中点．（1）求证：AE ⊥PD ；（2）若直线PB 与平面PAD6E-AF-C 的余弦值．15．如图三棱柱111ABC A B C -中,侧面11BB C C 为菱形,1AB B C ⊥.(1) 证明:1AC AB =；（2）若1AC AB ⊥,o160CBB ∠=,AB=BC,求二面角111A A B C --的余弦值.32019-2020学年上学期厦门三中高二数学期末考练习卷04《空间向量与立体几何》一、选择题1．与向量a ＝(1，－3，2)平行的一个向量的坐标是( ) A.⎝⎛⎭⎫13，1，1 B ．(－1，－3，2) C.⎝⎛⎭⎫－12，32，－1 D.()2，－3，－22 C [a ＝(1，－3，2)＝－2⎝⎛⎭⎫－12，32，－1.] 2．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，A 1E →＝14A 1C 1→，AE →＝xAA 1→＋y (AB →＋AD →)，则( )A ．x ＝1，y ＝12B ．x ＝1，y ＝13C ．x ＝12，y ＝1D ．x ＝1，y ＝14D [AE →＝AA 1→＋A 1E →＝AA 1→＋14A 1C 1→＝AA 1→＋14AC →＝AA 1→＋14(AB →＋AD →)，∴x ＝1，y ＝14.应选A.]3．已知A (2，－4，－1)，B (－1，5，1)，C (3，－4，1)，D (0，0，0)，令a ＝CA →，b ＝CB →，则a ＋b 为( ) A ．(5，－9，2) B ．(－5，9，－2) C ．(5，9，－2) D ．(5，－9，－2)B [a ＝CA →＝(－1，0，－2)，b ＝CB →＝(－4，9，0)，∴a ＋b ＝(－5，9，－2)．] 4．【多选题】在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，下列结论正确的是( ) A.AB →＝－C 1D 1→ B.AB →·BC →＝0 C.AA 1→·B 1D 1→＝0 D.AC 1→·A 1C →＝0ABC [如图，AB →∥C 1D 1→，AB →⊥BC →，AA 1→⊥B 1D 1→，故A ，B ，C 选项均正确．] 二、填空题5．若向量a ＝(x ，4，5)，b ＝(1，－2，2)，且a 与b 的夹角的余弦值为26，则x ＝3 [因为a·b ＝(x ，4，5)·(1，－2，2)＝x －8＋10＝x ＋2，且a 与b 的夹角的余弦值为26，所以26＝x ＋2x 2＋42＋52×1＋4＋4，解得x ＝3或－11(舍去).]6．若直线l 的方向向量为(2，1，m )，平面α的法向量为⎝⎛⎭⎫1，12，2，且l ⊥α，则m ＝( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．54 [∵l ⊥α，∴直线l 的方向向量平行于平面α的法向量．∴21＝112＝m2.∴m ＝4.]7．已知点A (1，2，1)，B (－1，3，4)，D (1，1，1)，若AP →＝2PB →，则点P 的坐标是P ⎝⎛⎭⎫－13，83，3. [设P (x ，y ，z )，则AP →＝(x －1，y －2，z －1)， PB →＝(－1－x ，3－y ，4－z )， 由AP →＝2PB →知x ＝－13，y ＝83，z ＝3，即P （－13， 83， 3）8．已知正方体ABCD -A ′B ′C ′D ′，则下列三个式子中：①AB →－CB →＝AC →；②AA ′→＝CC ′→；③AB →＋BB ′→＋BC →＋C ′C →＝AC ′→.其中正确的有________．①② [①AB →－CB →＝AB →＋BC →＝AC →，正确；②显然正确；③AB →＋BB ′→＋BC →＋C ′C →＝(AB →＋BC →)＋(BB ′→＋C ′C →)＝AC →＋0≠AC ′→， 三、解答题9．如图所示，已知点P 在正方体ABCD -A ′B ′C ′D ′的对角线BD ′上，∠PDA ＝60°.(1)求DP 与CC ′所成角的大小．(2)求DP 与平面AA ′D ′D 所成角的大小．[解] (1)如图所示，以D 为原点，DA ，DC ，DD ′分别为x 轴，y 轴，z 轴正方向建立空间直角坐标系，设DA ＝1. 则DA →＝(1，0，0)，CC ′→＝(0，0，1)．连接BD ，B ′D ′.在平面BB ′D ′D 中，延长DP 交B ′D ′于H .设DH →＝(m ，m ，1)(m >0)，由已知〈DH →，DA →〉＝60°， 由DA →·DH →＝|DA →||DH →|cos 〈DH →，DA →〉，可得2m ＝2m 2＋1.解得m ＝22，所以DH →＝⎝⎛⎭⎫22，22，1.因为cos 〈DH →，CC ′→〉＝22×0＋22×0＋1×12×1＝22，所以〈DH →，CC ′→〉＝45°，即DP 与CC ′所成的角为45°.(2)平面AA ′D ′D 的一个法向量是DC →＝(0，1，0)，因为cos 〈DH →，DC →〉＝22×0＋22×1＋1×01×2＝12，所以〈DH →，DC →〉＝60°，可得DP 与平面AA ′D ′D 所成的角为30°.10．如图，AB 是圆的直径，P A 垂直圆所在的平面，C 是圆上的点．(1)求证：平面PBC ⊥平面P AC ；(2)若AB ＝2，AC ＝1，P A ＝1，求二面角C -PB -A 的余弦值．[解] (1)证明：由AB 是圆的直径，得AC ⊥BC ，由P A ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，得P A ⊥BC .又P A ∩AC ＝A ，P A ⊂平面P AC ，AC ⊂平面P AC ，所以BC ⊥平面P AC .因为BC ⊂平面PBC .所以平面PBC ⊥平面P AC . (2)过C 作CM ∥AP ，则CM ⊥平面ABC .如图，以点C 为坐标原点，分别以直线CB ，CA ，CM 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．在Rt △ABC 中，因为AB ＝2，AC ＝1，所以BC ＝ 3.又因为P A ＝1，所以A (0，1，0)，B (3，0，0)，P (0，1，1)．故CB →＝(3，0，0)，CP →＝(0，1，1)．设平面BCP 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧CB →·n 1＝0，CP →·n 1＝0，所以⎩⎨⎧3x 1＝0，y 1＋z 1＝0，不妨令y 1＝1，则n 1＝(0，1，－1)．因为AP →＝(0，0，1)，AB →＝(3，－1，0)，设平面ABP 的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧AP →·n 2＝0，AB →·n 2＝0，所以⎩⎨⎧z 2＝0，3x 2－y 2＝0，不妨令x 2＝1，则n 2＝(1 3，0)．于是cos 〈n 1，n 2〉＝322＝64.由图知二面角C -PB -A 为锐角，故二面角C -PB -A 的余弦值为64.11．如图，在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，M ，N 分别是棱AB ，AD ，A 1B 1，A 1D 1的中点，点P ，Q 分别在棱DD 1，BB 1上移动，且DP ＝BQ ＝λ(0<λ<2)． (1)当λ＝1时，证明：直线BC 1∥平面EFPQ ； (2)是否存在λ，使平面EFPQ 与平面PQMN 所成的二面角为直二面角？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由． [解] 以D 为原点，射线DA ，DC ，DD 1分别为x 轴，y 轴，z 轴的正半轴建立空间直角坐标系．由已知得B (2，2，0)，C 1(0，2，2)，E (2，1，0)，F (1，0，0)，P (0，0，λ)，BC 1→＝(－2，0，2)， FP →＝(－1，0，λ)，FE →＝(1，1，0)．(1)证明：当λ＝1时，FP →＝(－1，0，1)，因为BC 1→＝(－2，0，2)．所以BC 1→＝2FP →，可知BC 1∥FP ，而FP ⊂平面EFPQ ，且BC 1⊄平面EFPQ ，故直线BC 1∥平面EFPQ . (2)设平面EFPQ 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，由⎩⎪⎨⎪⎧FE →·n ＝0，FP →·n ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，－x ＋λz ＝0，于是可取n ＝(λ，－λ，1)，同理可得平面PQMN 的一个法向量为m ＝(λ－2，2－λ，1)，若存在λ，使得平面EFPQ 与平面PQMN 所在的二面角为直二面角，则m·n ＝(λ－2，2－λ，1)·(λ，－λ，1)＝0，即λ(λ－2)－λ(2－λ)＋1＝0，解得λ＝1±22，故存在λ＝1±22，使面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角．412．如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AA 1C 1C 是边长为4的正方形，平面ABC ⊥平面AA 1C 1C ，AB ＝3，BC ＝5.(1)求证：AA 1⊥面ABC ；(2)求二面角A 1-BC 1-B 1的余弦值；(3)证明：在线段BC 1上存在点D ，使得AD ⊥A 1B ，并求BDBC 1的值．[解] (1)因为AA 1C 1C 为正方形，所以AA 1⊥AC .因为平面ABC ⊥平面AA 1C 1C ，且AA 1垂直于这两个平面的交线AC ，所以AA 1⊥平面ABC . (2)由(1)知AA 1⊥AC ，AA 1⊥AB .由题意知AB ＝3，BC ＝5，AC ＝4，所以AB ⊥AC . 如图，以A 为坐标原点，建立空间直角坐标系A -xyz ，则B (0，3，0)，A 1(0，0，4)，B 1(0，3，4)，C 1(4，0，4)．所以A 1B →＝(0，3，－4)，A 1C 1→＝(4，0，0)．设平面A 1BC 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·A 1B →＝0，n ·A 1C 1→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧3y －4z ＝0，4x ＝0.令z ＝3，则x ＝0，y ＝4，所以平面A 1BC 1的一个法向量为n ＝(0，4，3)．同理可得，平面B 1BC 1的一个法向量为m ＝(3，4，0)．所以cos 〈n ，m 〉＝n ·m |n ||m |＝1625.由题意知二面角A 1-BC 1-B 1为锐角，所以二面角A 1-BC 1-B 1的余弦值为1625.(3)证明：假设D (x 1，y 1，z 1)是线段BC 1上一点，且BD →＝λBC 1→(λ∈[0，1])，所以(x 1，y 1－3，z 1)＝λ(4，－3，4)．解得x 1＝4λ，y 1＝3－3λ，z 1＝4λ，所以AD →＝(4λ，3－3λ，4λ)．由AD →·A 1B →＝0，得9－25λ＝0，解得λ＝925.因为925∈[0，1]，所以在线段BC 1上存在点D ，使得AD ⊥A 1B .此时BD BC 1＝λ＝925.13．如图，在四棱锥P -ABCD 中，O 是AD 的中点，PO ⊥平面ABCD ，△P AD 是等边三角形，AB ＝BC ＝12AD ＝1，cos ∠ADB ＝255，AD ∥BC ，AD <BD .(1)证明：平面POC ⊥平面P AD ；(2)求直线PD 与平面P AB 所成角的大小．解：(1)证明：因为△P AD 是等边三角形，O 是AD 的中点，所以PO ⊥AD ，在△DAB 中，因为AB ＝12AD ＝1，cos∠ADB ＝255，所以cos ∠ADB ＝BD 2＋22－12×2×BD ＝255，即5BD 2－8BD ＋35＝0，解得BD ＝5或BD ＝35，因为BD ＝35<AD ＝2，与AD <BD 矛盾，所以BD ＝ 5.因为AB 2＋AD 2＝1＋22＝5＝BD 2，所以△DAB 是直角三角形，∠BAD ＝90°，因为AD ∥BC ，O 是AD 的中点，AB ＝BC ＝12AD ，所以四边形ABCO 是正方形，所以CO ⊥AD .由⎩⎪⎨⎪⎧PO ⊥AD ，CO ⊥AD ，PO ∩CO ＝O ，得AD ⊥平面POC .又AD ⊂平面P AD ，所以平面POC ⊥平面P AD . (2)如图，以O 为坐标原点，OC ，OD ，OP 所在的直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系Oxyz ，则A (0，－1，0)，B (1，－1，0)，C (1，0，0)，D (0，1，0)，P (0，0，3)， P A →＝(0，－1，－3)，PB →＝(1，－1，－3)，PD →＝(0，1，－3)．设n ＝(x ，y ，z )为平面P AB 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·P A →＝0，n ·PB →＝0，所以⎩⎨⎧y ＋3z ＝0，x －y －3z ＝0，令z ＝1，则y ＝－3，x ＝0，则n ＝(0，－3，1)为平面P AB 的一个法向量．设直线PD 与平面P AB 所成的角为α，则sin α＝|cos 〈n ，PD →〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪0－3－32×2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－234＝32，故α＝60°，所以直线PD 与平面P AB 所成角的大小为60°.14．如图，已知四棱锥P-ABCD ，底面ABCD 为蓌形，PA ⊥平面ABCD ，∠ABC=60°，E ，F 分别是BC,PC 的中点．（1）求证：AE ⊥PD ；（2）若直线PB 与平面PAD E-AF-C 的余弦值． 解析：（Ⅰ）证明：由四边形ABCD 为菱形，60ABC ∠=，可得ABC 为正三角形． 因为E 为BC 的中点，所以AE ⊥BC ．又BC ∥AD ，因此AE ⊥AD ． 因为PA ⊥平面ABCD ，AE 平面ABCD ，所以PA ⊥AE ．而PA 平面PAD ，AD 平面PAD 且PA∩AD=A ，所以 AE ⊥平面PAD ，又PD 平面PAD．所以 AE ⊥PD ．（Ⅱ）由（Ⅰ）知AE ，AD ，AP 两两垂直，以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A XYZ -，设AB=2，AP=a ，则A （0,0,0），B 1,0)-，C 0)，D （0,2,0），P （0,0,a ），E （0,0），F （），所以=1,)a --，且=为平面PAD 的法向量，设直线PB与平面PAD 所成的角为θ，由sin θ=|cos ＜，＞|===解得2a = 所以＝，＝1,1)2设平面AEF 的一法向量为m=（x 1,y 1,z 1），则，因此取11z =-，则m=（0,2,-1）,因为BD ⊥AC ，BD ⊥PA ，PA∩AC=A ，所以BD ⊥平面AFC ，故为平面AFC 的一法向量．又=(，所以cos ,m BD <> =．15．如图三棱柱111ABC A B C -中,侧面11BB C C 为菱形,1AB B C ⊥.(1) 证明:1AC AB =；（2）若1AC AB ⊥,o160CBB ∠=,AB=BC,求二面角111A A B C --的余弦值.解:（I ）连接1BC ,交1B C O 于点,连接AO,因为侧面11BB C C 为菱形,所以1111,B C BC O B C BC ⊥且为及的中点. 又111,..AB B C B C ABO AO ABO B C AO ⊥⊥⊂⊥所以平面由于平面，故又11,=.B O CO AC AB =故 （II ）因为11,.AC AB O B C AO CO ⊥=且为的中点，所以又因为1,,,,,AB BC BOA BOC OA OBOA OB OB =∆≅∆⊥所以故从而两两相互垂直，因为1160,.CBB CBB AB BC ∠=︒∆=所以为等边三角形又，则111111(00(100),(0,333(0,,),(1,0,),(1,A B B C AB AB AB BC BC=-==-==-，，11111(,,)=00,0,0.n x y z AA Bn AB n A Bx n =⎧⋅=⎪⎨⎨⋅=⎪⎪⎩=⎪⎩=设是平面的法向量，则，即所以可取11111110,0,(1,m A B m A B C m B C m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩=设是平面的法向量，则同理可取则1111cos ,.71.7n m n m n m A A B C ⋅==--所以二面角的余弦值为。
2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题(含解析)_47
2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题（含解析）注意事项：1、本试卷分试题卷和答题卡.试题卷共4页，有三道大题，共20道小题，满分100分.考试时间120分钟.2、答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号写在答题卡和该试题卷的指定位置上，并认真核对答题卡上的姓名、准考证号和科目.3、考生作答时，选择题和非选择题均须作答在答题卡上，在本试题卷上答题无效.考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题.4、考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回.一、选择题：本大题共10个小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知，则复数（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由复数除法运算整理可得结果.【详解】故选：【点睛】本题考查复数的除法运算，属于基础题.2.设，则“”是“”（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】解一元二次不等式和分式不等式可求得解集，根据集合的包含关系与充分、必要条件的关系可得到结果.【详解】的解集的解集且“”是“”的必要不充分条件故选：【点睛】本题考查充分条件与必要条件的判定，关键是能够根据不等式的解法求得解集，根据集合包含关系可得结果.3.设等差数列的前项和为，已知，则（）A. 24B. 20C. 16D. 18【答案】B【解析】【分析】由等差数列的性质可将所求式子化为，由求得后即可得到结果.详解】故选：【点睛】本题考查等差数列性质的应用，涉及到等差中项的性质、下标和性质的应用，属于基础题.4.若，则下列命题正确的个数（）①；②；③；④A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】B【解析】【分析】由特例，可验证出①②③错误；由作差法可知④正确.【详解】，当，时，对于①：，，则，①错误；对于②：，，，②错误；对于③：，，则，③错误；对于④：当时，，，，即，④正确.故选：【点睛】本题考查根据不等式的性质判断不等关系的问题，关键是能够熟练掌握不等式的性质，解决此类问题通常采用特殊值法快速排除错误选项.5.明代数学家吴敬所著的《九章算术比类大全》中，有一道数学命题叫“宝塔装灯”，内容为：“远望魏巍塔七层，红灯点点倍加增；共灯三百八十一，请问顶层几盏灯？”（“倍加增”指灯的数量从塔的顶层到底层按公比为2的等比数列递增），根据此诗，可以得出塔的顶层有（）A. 3盏灯B. 192盏灯C. 195盏灯D. 200盏灯【答案】A【解析】【分析】由等比数列前项和公式可构造方程求得首项.【详解】设每层灯的盏数为等比数列，首项为顶层灯的盏数，公比，解得：，即顶层有盏灯故选：【点睛】本题考查等比数列基本量的计算，涉及到等比数列前项和公式的应用，属于基础题.6.已知椭圆的两个焦点为，且，弦过点，则的周长为（）A. 10B. 20C.D.【答案】D【解析】【分析】由焦距可求得，进而得到；由椭圆定义可求得结果.【详解】由椭圆定义知：的周长为故选：【点睛】本题考查椭圆定义的应用，关键是明确所求三角形的周长实际为椭圆上两点到两焦点距离之和的总和，即.7.在中，，，的面积为，则中最大角的正切值是（）A. 或B.C.D. 或【答案】D【解析】【分析】结合三角形面积公式求得，分为和两种情况；当时，自然为最大角，得到；当时，利用余弦定理求得，根据大边对大角原则可知最大；通过正余弦定理求得，进而求得.【详解】或当时，最大角为，则当时，由余弦定理可得：最大角为，综上所述：中最大角的正切值为或故选：【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理解三角形的问题，涉及到三角形面积公式、三角形大边对大角原则的应用等知识；关键是能够通过分类讨论的方式，根据边的长度关系确定最大角.8.若双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则的离心率为（）A. B. C. D. 2【答案】C【解析】【分析】根据垂径定理可构造出关于的齐次方程，进而得到关于离心率的方程，解方程求得结果.【详解】由圆的方程知：圆心，半径由双曲线方程得其渐近线方程为，即圆心到渐近线的距离，解得：故选：【点睛】本题考查双曲线离心率的求解问题，涉及到垂径定理的应用；关键是明确直线被圆截得的弦长为.9.已知函数，若直线与曲线相切，则实数的值为（）A. 3B. 2C.D.【答案】A【解析】【分析】设切点坐标，利用两点连线斜率公式和切点处的导数值表示出切线斜率，从而构造方程求得结果.【详解】由题意得：，直线恒过设直线与相切于点则，即，解得：故选：【点睛】本题考查过某一点的曲线的切线方程的求解，关键是能够通过假设切点的方式，将切线斜率利用两点连线斜率公式和导数值分别表示出来，构造出等量关系.10.对于函数，，下列说法正确的有（）①在处取得极大值；②有两个不同的零点；③；④在上单调函数.A. 个B. 个C. 个D. 个【答案】C【解析】【分析】利用导函数的正负可确定的单调性，知④错误；由单调性可知极大值点，并求得极大值，知①正确；由零点存在定理和单调性可确定函数恰有两个不同零点，②正确；根据单调性和函数值的大小可知③正确.【详解】当时，；当时，在上单调递增，在上单调递减，④错误；在处取得极大值，①正确；在必有一个零点又，即为的一个零点且在无零点恰有两个不同的零点，②正确；，又在上单调递减，③正确则正确的命题为：①②③，共个故选：【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、极值和零点个数的问题，涉及到零点存在定理的应用；关键是能够明确函数的单调性与导函数的正负之间的关系，属于导数部分知识的综合应用.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）11.已知，，，则_______.【答案】9【解析】【分析】根据空间向量的坐标运算即可计算求得结果.【详解】故答案为：【点睛】本题考查空间向量的坐标运算，涉及到加法运算和数量积运算，属于基础题.12.已知为坐标原点，点在抛物线上，点为抛物线的焦点，若的面积为32，则_______.【答案】20【解析】【分析】由抛物线方程可知焦点坐标，利用三角形面积公式可求得点纵坐标，进而得到点横坐标；利用抛物线焦半径公式求得结果.【详解】由题意得：设，则，解得：故答案：【点睛】本题考查抛物线焦半径的求解，关键是能够利用三角形面积求得抛物线上点的横坐标.13.平面直角坐标系中第一象限的点到点和到点的距离相等，则的最小值为__________.【答案】3【解析】【分析】利用两点间距离公式可整理得到，由可得到符合基本不等式的形式，利用基本不等式求得最小值.【详解】，整理可得：（当且仅当，即时取等号）故答案为：【点睛】本题考查利用基本不等式求解和的最小值问题，关键是能够对“”进行灵活应用，配凑出符合基本不等式的形式，属于常考题型.14.已知数列的前项和为，若，则__________.【答案】【解析】【分析】令可求得，根据可证得数列为等比数列，由等比数列通项公式求得结果.【详解】当时，，解得：当且时，，即数列是以为首项，为公比的等比数列故答案为：【点睛】本题考查等比数列中的项的求解，关键是能够利用与的关系证得数列是等比数列，同时确定首项和公比.15.已知函数，若存在实数满足，且，则的最大值为__________.【答案】【解析】【分析】令，由数形结合知，由解析式可求得，从而将表示为关于的函数，利用导数可求得最值.【详解】令，则，如下图所示：，令，则当时，在上单调递增，即的最大值为故答案为：【点睛】本题考查利用导数求解函数的最值问题，关键是能够将所求式子转化为关于某一变量的函数的形式，同时利用数形结合的方式确定变量的范围；易错点是忽略变量的取值范围，造成最值求解错误.三、解答题：本大题共5小题，满分40分..解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.已知在中，角所对的边分别为，且，且.（1）求角的大小；（2）若，求的面积.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）将已知等式转化为余弦定理的形式求得，根据可得到结果；（2）利用正弦定理可求得，知，根据三角形内角和可求得，得到；由三角形面积公式求得结果.【详解】（1）（2）由（1）知：由正弦定理得：又【点睛】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理和余弦定理的应用、三角形面积公式的应用等知识，属于常考题型.17.已知数列是公差不为0的等差数列，其前项和为，若，成等比数列.（1）求数列的通项公式，并求；（2）设，求数列前项和.【答案】（1）,（2）【解析】【分析】（1）利用等差数列性质；利用和表示出可求得，从而得到等差数列通项公式并求得首项；由等差数列前项和公式求得；（2）由（1）可得通项公式，采用分组求和的方法，对的两个部分分别采用等比数列求和、裂项相消法求和，进而得到.【详解】（1）由成等比数列得：设等差数列公差为，则解得：，则（2）由（1）得：【点睛】本题考查等差数列通项公式和前项和的求解、数列求和中的分组求和、公式法和裂项相消法的应用等知识；确定求和方法的关键是能够通过通项公式的形式来选择对应的方法.18.如图，四边形是平行四边形，且，四边形是矩形，平面平面，且.（1）求证：平面；（2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】分析】（1）由面面垂直性质可得平面，可知；由长度关系可结合勾股定理证得；利用线面垂直的判定定理证得结论；（2）以为坐标原点可建立空间直角坐标系，利用二面角的向量求法可求得结果.【详解】（1）平面平面，平面平面，平面，又平面，又，平面平面（2）平面以点为坐标原点，以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系设，则，，，，，，则，，由（1）知，平面平面的一个法向量为设平面的一个法向量为，即，令，则，设所求的锐二面角为，则【点睛】本题考查立体几何中线面垂直关系的证明、空间向量法求解二面角的问题；涉及到面面垂直的性质定理、线面垂直判定与性质定理的应用等知识，属于常考题型.19.已知椭圆的离心率为，若椭圆上的点与两个焦点构成的三角形中，面积最大为1.（1）求椭圆的标准方程；（2）设直线与椭圆的交于两点，为坐标原点，且，证明：直线与圆相切.【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由椭圆上点为短轴端点时所给三角形面积最大可得，结合离心率和椭圆的关系，构造方程组求得，进而得到椭圆方程；（2）①当的斜率存在时，设方程与椭圆方程联立，得到韦达定理的形式；利用垂直关系可得向量数量积等于零，代入韦达定理的结论整理可得；利用点到直线距离公式求得圆心到直线距离，代入可求得；②当的斜率不存在时，可求得方程，易知其与圆相切；综合两种情况可得结论.【详解】（1）椭圆上的点与两个焦点构成的三角形中，面积最大时椭圆上的点为短轴端点，又，椭圆的标准方程为（2）设，①当的斜率存在时，设由得：则，又，即满足到直线的距离又圆的半径直线与圆相切②当的斜率不存在时，所在的两条直线分别为与椭圆方程联立可求得交点横坐标为或可得到所在的直线为：或直线与圆相切综上所述：当时，直线与圆相切【点睛】本题考查直线与椭圆综合应用问题，涉及到椭圆标准方程的求解、直线与圆位置关系的判定等知识；求解直线与椭圆综合问题的常用方法是将直线方程与椭圆方程联立，得到韦达定理的形式，利用韦达定理表示出已知等量关系；易错点是忽略直线斜率是否存在的讨论.20.已知函数（其中为自然对数的底数，）.（1）若是函数的极值点，求的值，并求的单调区间；（2）若时都有，求实数的取值范围.【答案】（1）；的单调递减区间为，单调递增区间为；（2）【解析】【分析】（1）由极值点可知，从而求得；根据导函数的正负即可确定的单调区间；（2）求导后得到导函数；当和时，可根据导函数正负确定单调递增，从而，满足题意；当时，由零点存在定理可知存在，使得时，，由单调性可知不恒成立；从而得到所求范围.【详解】（1）由得：定义域为，是的极值点，解得：此时，当时，，单调递减；当时，，单调递增的单调递减区间为，单调递增区间为（2），①当时，恒成立单调递增，满足题意②当时，是上的增函数，且若，即，则且不恒等于单调递增，满足题意若，即，，存在，使得当时，，则单调递减即不恒成立，不合题意综上所述：实数的取值范围为【点睛】本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到极值点的应用、利用导数求解函数的单调区间、零点存在定理的应用、恒成立问题的求解等知识；求解恒成立问题的关键是能够通过分类讨论的方式得到导函数在不同情况下的正负，进而确定函数的单调性，通过单调性得到能使得不等式恒成立的参数的范围.2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题（含解析）注意事项：1、本试卷分试题卷和答题卡.试题卷共4页，有三道大题，共20道小题，满分100分.考试时间120分钟.2、答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号写在答题卡和该试题卷的指定位置上，并认真核对答题卡上的姓名、准考证号和科目.3、考生作答时，选择题和非选择题均须作答在答题卡上，在本试题卷上答题无效.考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题.4、考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回.一、选择题：本大题共10个小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知，则复数（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由复数除法运算整理可得结果.【详解】故选：【点睛】本题考查复数的除法运算，属于基础题.2.设，则“”是“”（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】解一元二次不等式和分式不等式可求得解集，根据集合的包含关系与充分、必要条件的关系可得到结果.【详解】的解集的解集且“”是“”的必要不充分条件故选：【点睛】本题考查充分条件与必要条件的判定，关键是能够根据不等式的解法求得解集，根据集合包含关系可得结果.3.设等差数列的前项和为，已知，则（）A. 24B. 20C. 16D. 18【答案】B【解析】【分析】由等差数列的性质可将所求式子化为，由求得后即可得到结果.详解】故选：【点睛】本题考查等差数列性质的应用，涉及到等差中项的性质、下标和性质的应用，属于基础题.4.若，则下列命题正确的个数（）①；②；③；④A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】B【解析】【分析】由特例，可验证出①②③错误；由作差法可知④正确.【详解】，当，时，对于①：，，则，①错误；对于②：，，，②错误；对于③：，，则，③错误；对于④：当时，，，，即，④正确.故选：【点睛】本题考查根据不等式的性质判断不等关系的问题，关键是能够熟练掌握不等式的性质，解决此类问题通常采用特殊值法快速排除错误选项.5.明代数学家吴敬所著的《九章算术比类大全》中，有一道数学命题叫“宝塔装灯”，内容为：“远望魏巍塔七层，红灯点点倍加增；共灯三百八十一，请问顶层几盏灯？”（“倍加增”指灯的数量从塔的顶层到底层按公比为2的等比数列递增），根据此诗，可以得出塔的顶层有（）A. 3盏灯 B. 192盏灯 C. 195盏灯 D. 200盏灯【答案】A【解析】【分析】由等比数列前项和公式可构造方程求得首项.【详解】设每层灯的盏数为等比数列，首项为顶层灯的盏数，公比，解得：，即顶层有盏灯故选：【点睛】本题考查等比数列基本量的计算，涉及到等比数列前项和公式的应用，属于基础题.6.已知椭圆的两个焦点为，且，弦过点，则的周长为（）A. 10B. 20C.D.【答案】D【解析】【分析】由焦距可求得，进而得到；由椭圆定义可求得结果.【详解】由椭圆定义知：的周长为故选：【点睛】本题考查椭圆定义的应用，关键是明确所求三角形的周长实际为椭圆上两点到两焦点距离之和的总和，即.7.在中，，，的面积为，则中最大角的正切值是（）A. 或B.C.D. 或【答案】D【解析】【分析】结合三角形面积公式求得，分为和两种情况；当时，自然为最大角，得到；当时，利用余弦定理求得，根据大边对大角原则可知最大；通过正余弦定理求得，进而求得.【详解】或当时，最大角为，则当时，由余弦定理可得：最大角为，综上所述：中最大角的正切值为或故选：【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理解三角形的问题，涉及到三角形面积公式、三角形大边对大角原则的应用等知识；关键是能够通过分类讨论的方式，根据边的长度关系确定最大角.8.若双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则的离心率为（）A. B. C. D. 2【答案】C【解析】【分析】根据垂径定理可构造出关于的齐次方程，进而得到关于离心率的方程，解方程求得结果.【详解】由圆的方程知：圆心，半径由双曲线方程得其渐近线方程为，即圆心到渐近线的距离，解得：故选：【点睛】本题考查双曲线离心率的求解问题，涉及到垂径定理的应用；关键是明确直线被圆截得的弦长为.9.已知函数，若直线与曲线相切，则实数的值为（）A. 3B. 2C.D.【答案】A【解析】【分析】设切点坐标，利用两点连线斜率公式和切点处的导数值表示出切线斜率，从而构造方程求得结果.【详解】由题意得：，直线恒过设直线与相切于点则，即，解得：故选：【点睛】本题考查过某一点的曲线的切线方程的求解，关键是能够通过假设切点的方式，将切线斜率利用两点连线斜率公式和导数值分别表示出来，构造出等量关系.10.对于函数，，下列说法正确的有（）①在处取得极大值；②有两个不同的零点；③；④在上单调函数.A. 个B. 个C. 个D. 个【答案】C【解析】【分析】利用导函数的正负可确定的单调性，知④错误；由单调性可知极大值点，并求得极大值，知①正确；由零点存在定理和单调性可确定函数恰有两个不同零点，②正确；根据单调性和函数值的大小可知③正确.【详解】当时，；当时，在上单调递增，在上单调递减，④错误；在处取得极大值，①正确；在必有一个零点又，即为的一个零点且在无零点恰有两个不同的零点，②正确；，又在上单调递减，③正确则正确的命题为：①②③，共个故选：【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、极值和零点个数的问题，涉及到零点存在定理的应用；关键是能够明确函数的单调性与导函数的正负之间的关系，属于导数部分知识的综合应用.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）11.已知，，，则_______.【答案】9【解析】【分析】根据空间向量的坐标运算即可计算求得结果.【详解】故答案为：【点睛】本题考查空间向量的坐标运算，涉及到加法运算和数量积运算，属于基础题.12.已知为坐标原点，点在抛物线上，点为抛物线的焦点，若的面积为32，则_______.【答案】20【解析】【分析】由抛物线方程可知焦点坐标，利用三角形面积公式可求得点纵坐标，进而得到点横坐标；利用抛物线焦半径公式求得结果.【详解】由题意得：设，则，解得：故答案：【点睛】本题考查抛物线焦半径的求解，关键是能够利用三角形面积求得抛物线上点的横坐标.13.平面直角坐标系中第一象限的点到点和到点的距离相等，则的最小值为__________.【答案】3【解析】【分析】利用两点间距离公式可整理得到，由可得到符合基本不等式的形式，利用基本不等式求得最小值.【详解】，整理可得：（当且仅当，即时取等号）故答案为：【点睛】本题考查利用基本不等式求解和的最小值问题，关键是能够对“”进行灵活应用，配凑出符合基本不等式的形式，属于常考题型.14.已知数列的前项和为，若，则__________.【答案】【解析】【分析】令可求得，根据可证得数列为等比数列，由等比数列通项公式求得结果.【详解】当时，，解得：当且时，，即数列是以为首项，为公比的等比数列故答案为：【点睛】本题考查等比数列中的项的求解，关键是能够利用与的关系证得数列是等比数列，同时确定首项和公比.15.已知函数，若存在实数满足，且，则的最大值为__________.【答案】【解析】【分析】令，由数形结合知，由解析式可求得，从而将表示为关于的函数，利用导数可求得最值.【详解】令，则，如下图所示：，令，则当时，在上单调递增，即的最大值为故答案为：【点睛】本题考查利用导数求解函数的最值问题，关键是能够将所求式子转化为关于某一变量的函数的形式，同时利用数形结合的方式确定变量的范围；易错点是忽略变量的取值范围，造成最值求解错误.三、解答题：本大题共5小题，满分40分..解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.已知在中，角所对的边分别为，且，且.（1）求角的大小；（2）若，求的面积.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）将已知等式转化为余弦定理的形式求得，根据可得到结果；（2）利用正弦定理可求得，知，根据三角形内角和可求得，得到；由三角形面积公式求得结果.【详解】（1）（2）由（1）知：由正弦定理得：又【点睛】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理和余弦定理的应用、三角形面积公式的应用等知识，属于常考题型.17.已知数列是公差不为0的等差数列，其前项和为，若，成等比数列.（1）求数列的通项公式，并求；（2）设，求数列前项和.【答案】（1）,（2）【解析】【分析】（1）利用等差数列性质；利用和表示出可求得，从而得到等差数列通项公式并求得首项；由等差数列前项和公式求得；（2）由（1）可得通项公式，采用分组求和的方法，对的两个部分分别采用等比数列求和、裂项相消法求和，进而得到.【详解】（1）由成等比数列得：设等差数列公差为，则解得：，则（2）由（1）得：【点睛】本题考查等差数列通项公式和前项和的求解、数列求和中的分组求和、公式法和裂项相消法的应用等知识；确定求和方法的关键是能够通过通项公式的形式来选择对应的方法.18.如图，四边形是平行四边形，且，四边形是矩形，平面平面，且.（1）求证：平面；（2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】分析】（1）由面面垂直性质可得平面，可知；由长度关系可结合勾股定理证得；利用线面垂直的判定定理证得结论；（2）以为坐标原点可建立空间直角坐标系，利用二面角的向量求法可求得结果.【详解】（1）平面平面，平面平面，平面，又平面，又，平面平面（2）平面以点为坐标原点，以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系设，则，，，，，，则，，由（1）知，平面平面的一个法向量为设平面的一个法向量为，即，令，则，设所求的锐二面角为，则【点睛】本题考查立体几何中线面垂直关系的证明、空间向量法求解二面角的问题；涉及到面面垂直的性质定理、线面垂直判定与性质定理的应用等知识，属于常考题型.19.已知椭圆的离心率为，若椭圆上的点与两个焦点构成的三角形中，面积最大为1.（1）求椭圆的标准方程；（2）设直线与椭圆的交于两点，为坐标原点，且，证明：直线与圆相切.【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】。
2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题(含解析)_40
2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题（含解析）一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知命题，，则为（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】B【解析】【分析】根据全称命题的否定是特称命题的知识选出正确选项.【详解】原命题是全称命题，其否定是特称命题，注意到要否定结论，故B选项正确，D选项不正确.故选：B【点睛】本小题主要考查全称命题的否定，属于基础题.2.某学校高一、高二年级共有1800人，现按照分层抽样的方法，抽取90人作为样本进行某项调查.若样本中高一年级学生有42人，则该校高一年级学生共有（）A. 420人B. 480人C. 840人D. 960人【答案】C【解析】【分析】先由样本容量和总体容量确定抽样比，用高一年级抽取的人数除以抽样比即可求出结果.【详解】由题意需要从1800人中抽取90人，所以抽样比为，又样本中高一年级学生有42人，所以该校高一年级学生共有人.故选C【点睛】本题主要考查分层抽样，先确定抽样比，即可确定每层的个体数，属于基础题型.3.已知双曲线的离心率是，则其渐近线方程为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用离心率求得，由此求得渐近线方程.【详解】依题意，所以渐近线方程为，即.故选：A【点睛】本小题主要考查双曲线渐近线方程的求法，属于基础题.4.设，则“”是“”的（）A. 充要条件B. 充分而不必要条件C. 必要而不充分条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】首先解两个不等式，再根据充分、必要条件的知识选出正确选项.【详解】由解得.由得.所以“”是“”必要而不充分条件故选：C【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查绝对值不等式的解法，属于基础题.5.若将一个质点随机投入如图所示的长方形中，其中，，则质点落在以为直径的半圆内的概率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用几何概型概率计算公式，计算出所求的概率.【详解】依题意，长方体的面积为，半圆的面积为，所以质点落在以为直径的半圆内的概率是.故选：C【点睛】本小题主要考查几何概型的计算，属于基础题.6.在正三棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】作出异面直线所成的角，解三角形求得其余弦值.【详解】设，是的中点，所以，所以是两条异面直线所成的角（或补角）.在三角形中,,，所以.所以异面直线与所成角的余弦值为.故选：D【点睛】本小题主要考查异面直线所成角的求法，属于基础题.7.若函数在区间单调递增，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用函数在区间上的导函数为非负数列不等式，解不等式求得的取值范围.【详解】依题意在区间上恒成立，所以，所以.所以实数的取值范围是.故选：B【点睛】本小题主要考查利用导数，根据函数在给定区间上的单调性求参数的取值范围，属于基础题.8.设函数是奇函数的导函数，（），，当时，，则使得成立的的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】构造函数，当时，根据已知条件，判断出.当时，根据为偶函数，判断出的单调性.结合，求得使得成立的的取值范围.【详解】由于是定义在上的奇函数，所以.构造函数，当时，，所以在上递增，由于，所以为偶函数，所以在区间上递减且.所以当时，，；当时，，.所以使得成立的的取值范围是.故选：A【点睛】本小题主要考查利用导数研究不等的解集，考查函数的奇偶性和单调性，属于中档题.二、多项共选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9.下列命题中真命题的是（）A. 若实数，满足，则，互为倒数B. 面积相等的两个三角形全等C. 设，“若，则方程有实根”的逆否命题D. “若，则”的逆命题【答案】AC【解析】【分析】A利用倒数的知识进行判断；B利用全等三角形的知识进行判断；C利用原命题的真假性来判断；D利用原命题的逆命题的真假性来判断.【详解】对于A选项，根据倒数的知识可知，A选项正确.对于B选项，两个三角形的面积相等，不一定是全等三角形，所以B选项错误.对于C选项，当时，，所以方程有实根，为真命题，故其逆否命题为真命题，所以C选项正确.对于D选项，原命题的逆命题为“若，则”不正确，因为也可以，所以D选项为假命题.综上所述，正确的为AC.故选：AC【点睛】本小题主要考查命题真假性的判断，考查逆否命题、逆命题真假性，属于基础题.10.“悦跑圈”是一款基于社交型的跑步应用，用户通过该平台可查看自己某时间段的运动情况，某人根据年月至年月期间每月跑步的里程（单位：十公里）的数据绘制了下面的折线图，根据该折线图，下列结论正确的是（）A. 月跑步里程逐月增加B. 月跑步里程最大值出现在月C. 月跑步里程的中位数为月份对应的里程数D. 月至月的月跑步里程相对于月至月波动性更小，变化比较平稳【答案】BCD【分析】根据折线图，判断A,B,D选项的正确性，判断出中位数所在的月份，由此判断C选项的正确性.【详解】根据折线图可知，月跑步里程下降了，故A选项错误.根据折线图可知，月的跑步里程最大，故B选项正确.一共个月份，里程中间的是从小到大的第个，根据折线图可知，跑步里程的中位数为月份对应的里程数，故C选项正确.根据折线图可知，月至月的月跑步里程相对于月至月波动性更小，变化比较平稳，故D选项正确.综上所述，正确的选项为BCD.故选：BCD【点睛】本小题主要考查折线图，考查图表分析、数据处理能力，属于基础题.11.设椭圆的左右焦点为，，是上的动点，则下列结论正确的是（）A. B. 离心率C. 面积的最大值为D. 以线段为直径的圆与直线相切【答案】AD【分析】根据椭圆的定义判断A选项正确性，根据椭圆离心率判断B选项正确性，求得面积的最大值来判断C选项的正确性，求得圆心到直线的距离，与半径比较，由此判断D选项的正确性.【详解】对于A选项，由椭圆的定义可知，所以A选项正确.对于B选项，依题意，所以，所以B 选项不正确.对于C选项，，当为椭圆短轴顶点时，的面积取得最大值为，所以C选项错误.对于D选项，线段为直径的圆圆心为，半径为，圆心到直线的距离为，也即圆心到直线的距离等于半径，所以以线段为直径的圆与直线相切，所以D 选项正确.综上所述，正确的为AD.故选：AD【点睛】本小题主要考查椭圆的定义和离心率，考查椭圆的几何性质，考查直线和圆的位置关系，属于基础题.12.定义在区间上的函数的导函数图象如图所示，则下列结论正确的是（）A. 函数在区间单调递增B. 函数在区间单调递减C. 函数在处取得极大值D. 函数在处取得极小值【答案】ABD【解析】【分析】根据导函数图像判断出函数的单调性和极值，由此判断出正确选项.【详解】根据导函数图像可知，在区间上，，单调递减，在区间上，，单调递增.所以在处取得极小值，没有极大值.所以A,B,D选项正确，C选项错误.故选：ABD【点睛】本小题主要考查利用导函数图像判断函数单调区间、极值，属于基础题三、填空题：本大题共4题，每小题5分，共20分．13.同时掷两枚质地均匀的骰子，所得的点数之和为5的概率是．【答案】【解析】【详解】列表如下：从列表中可以看出，所有可能出现的结果共有36种，这些结果出现的可能性相等．∵点数的和为5的结果共有4种：（1，4），（2，3），（4，1），（3，2）∴点数的和为5的概率P==故答案为14.已知函数，为的导函数，则的值为__________．【答案】【解析】【分析】求得函数的导函数，由此求得的值.【详解】依题意，所以.故答案为：【点睛】本小题主要考查导数的计算，属于基础题.15.已知向量，，且满足，则的值为__________．【答案】【解析】【分析】先求得，根据两个向量垂直的坐标表示列方程，解方程求得的值.【详解】依题意，由于，所以，即，解得.故答案为：【点睛】本小题主要考查空间向量垂直的坐标表示，考查空间向量的线性运算，属于基础题.16.设抛物线的焦点为，过点作直线与抛物线交于，两点，点满足，过作轴的垂线与抛物线交于点，若，则点的横坐标为__________，__________．【答案】 (1). 1 (2). 8【解析】【分析】利用抛物线的定义，求得点的坐标，设出直线的方程，联立直线的方程和抛物线的方程，利用韦达定理，求得点坐标的表达式，根据两点的纵坐标相同列方程，解方程求得直线的斜率，由此求得.【详解】由于点满足，所以是线段中点.抛物线的焦点坐标为，准线方程为.设，由于在抛物线上，且，根据抛物线的定义得，所以，则，不妨设.若直线斜率不存在，则，则，此时的纵坐标和的纵坐标不相同，不符合题意.所以直线的斜率存在.设，设直线的方程为，代入抛物线方程并化简得，则.由于是线段中点，所以，而，所以，即，即，解得.所以，所以，则到准线的距离为，根据抛物线的定义结合中位线的性质可知.故答案为：(1). 1 (2). 8【点睛】本小题主要考查抛物线的定义，考查直线和抛物线的位置关系，考查运算求解能力，属于中档题.四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知函数.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求在区间上的最大值与最小值．【答案】（1）；（2）最大值为，最小值为【解析】【分析】（1）求得函数在时的导数，由点斜式求得切线方程.（2）利用导数求得单调区间，区间端点的函数值和极值点的函数值，由此求得在区间上的最大值与最小值.【详解】（1）由题意得，则，所以曲线在点处的切线方程为，即；（2）令，得，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，又，所以，所以在上的最大值为，最小值为.【点睛】本小题主要考查利用导数求切线方程，考查利用导数求函数的最值，属于基础题.18.已知双曲线的两个焦点为，，并且经过点.（1）求双曲线的方程；（2）过点的直线与双曲线有且仅有一个公共点，求直线的方程.【答案】（1）；（2）或【解析】【分析】（1）利用，以及列方程组，解方程组求得，由此求得双曲线的方程.（2）当直线斜率不存在时，直线与双曲线没有交点.当直线斜率存在时，设出直线的方程，联立直线的方程和双曲线的方程，消去得到，根据二次项系数和判别式进行分类讨论，由此求得直线的方程.【详解】（1）由已知可设双曲线的方程为，则，解得，所以双曲线的方程为.（2）当直线斜率不存在时，显然不合题意所以可设直线方程为，联立，得，①当，即或，方程只有一解，直线与双曲线有且仅有一个公共点，此时，直线方程为，②当，即，要使直线与双曲线有且仅有一个公共点，则，解得，此时，直线方程为，综上所述，直线的方程为或.【点睛】本小题主要考查双曲线方程的求法，考查根据直线和双曲线交点个数求参数，属于中档题.19.某手机厂商在销售某型号手机时开展“手机碎屏险”活动.用户购买该型号手机时可选购“手机碎屏险”，保费为元，若在购机后一年内发生碎屏可免费更换一次屏幕，为了合理确定保费的值，该手机厂商进行了问卷调查，统计后得到下表（其中表示保费为元时愿意购买该“手机碎屏险”的用户比例）：（1）根据上面的数据计算得，求出关于的线性回归方程；（2）若愿意购买该“手机碎屏险”的用户比例超过，则手机厂商可以获利，现从表格中的种保费任取种，求这种保费至少有一种能使厂商获利的概率.附：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计分别为，【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用回归直线方程计算公式，计算出关于的线性回归方程.（2）利用列举法和古典概型概率计算公式，计算出所求概率.【详解】（1）由，，，，得所以关于的回归直线方程为.（2）现从表格中的种保费任选种，所有的基本事件有：，，，，，，，，，，共有种.其中至少有一种保费能使厂商获利的基本事件有：，，，，，，，共种.所以从表格中的种保费任选种，其中至少有一种保费能使厂商获利的概率为.【点睛】本小题主要考查回归直线方程的计算，考查古典概率问题的求解，属于基础题.20.在如图所示的六面体中，四边形是边长为的正方形，四边形是梯形，，平面平面，，.（1）在图中作出平面与平面的交线，并写出作图步骤，但不要求证明；（2）求证：平面；（3）求平面与平面所成角的余弦值【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）【解析】【分析】（1）延长与相交于点，连接，根据公理和公理可知，即是所求.（2）通过证明四边形是平行四边形，证得，由此证得平面.（3）利用勾股定理计算出，建立空间直角坐标系，通过平面和平面的法向量，计算出二面角的余弦值.【详解】（1）延长与相交于点，连接，则直线就是平面与平面的交线.（2）因为，，所以是的中位线，故，因为，所以，且，所以四边形是平行四边形，所以，因面，面，所以平面.（3）在平面内，过点作的平行线交于点，又，所以四边形为平行四边形，所以，，，又因为，所以，所以为直角三角形，且，，.在平面内，过点作的垂线交于点，又因为平面平面，平面平面，所以面.以为坐标原点，的方向为轴正方向，的方向为轴正方向，的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.则，，，，所以，，设是平面的法向量，则，即，所以可取.因为是平面的法向量，所以，所以平面与平面所成角的余弦值.【点睛】本小题主要考查线面平行的证明，考查二面角的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.21.已知椭圆的离心率为，，，，的面积为．（1）求椭圆的方程；（2）过右焦点作与轴不重合的直线交椭圆于，两点，连接，分别交直线于，，两点，若直线，的斜率分别为，，试问：是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由．【答案】（1）；（2）为定值，理由见解析【解析】【分析】（1）结合椭圆离心率、的面积、列方程组，解方程组求得，由此求得椭圆的标准方程.（2）当直线斜率不存在时，求得两点的坐标，由此求得直线的方程，进而求得两点的坐标，由此求得，，求得.当直线斜率存在时，设直线方程为，联立直线的方程和椭圆方程，写出韦达定理，求得直线的方程，进而求得两点的坐标，由此求得，，结合韦达定理计算.由此证得为定值.【详解】（1）由题意得，解得，所以椭圆的方程为.（2）由（1）知，，①当直线斜率不存在时，直线方程为，联立，得，不防设，，则直线方程为，令，得，则，此时，，同理，所以，②当直线斜率存在时，设直线方程为，联立，得，设，，则，，直线方程为，令，得，则，同理，所以，，所以综上所述，为定值.【点睛】本小题主要考查椭圆标准方程求法，考查直线和椭圆的位置关系，考查根与系数关系，考查运算求解能力，考查分类讨论的数学思想方法，属于难题.22.已知函数，，为的导函数．（1）若，求的值；（2）讨论的单调性；（3）若恰有一个零点，求的取值范围．【答案】（1）；（2）见解析；（3）或【解析】【分析】（1）利用列方程，解方程求得的值.（2）求得函数的导函数，对分成等四种情况，分类讨论的单调区间.（3）结合（1）求得的的单调区间，判断出的单调区间，结合的取值范围、零点的存在性定理进行分类讨论，由此求得的取值范围.【详解】（1）由，得，得；（2）①当时，令，得，令，得，所以在上单调递增，在上单调递减；②当时，令，得，，i）当时，，所以在上单调递增；ii）当时，令，得或；令，得，所以在和单调递增，在单调递减；iii）当时，令，得或；令，得，所以在和单调递增，在单调递减；综上：①当时，在上单调递增；在单调递减；②i）当时，在上单调递增；ii）当时，在和单调递增，在单调递减；iii）当时，在和单调递增，在单调递减；（3）①当时，由（2）知，在单调递增，在单调递减，所以在单调递增，在单调递减，又因为，所以恰有一个零点，符合题意；②i）当时，在单调递增，所以在单调递增，又，所以在恰有一个零点，符合题意；ii）当时，在单调递增，在单调递减，在单调递增，所以在单调递增，在单调递减，在单调递增，因为，所以是函数的一个零点，且，当时，取且，则，所以，所以在恰有一个零点，所以在区间有两个零点，不合题意；iii）当时，在单调递增，在单调递减，在单调递增，所以在单调递增，在单调递减，在单调递增，又因为，所以是函数的一个零点，且，又因为，所以，所以在区间有两个零点，不合题意；综上的取值范围为或.【点睛】本小题主要考查导数的计算，考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数研究函数的零点，考查零点的存在性定理，考查分类讨论的数学思想方法，属于难题.2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题（含解析）一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知命题，，则为（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】B【解析】【分析】根据全称命题的否定是特称命题的知识选出正确选项.【详解】原命题是全称命题，其否定是特称命题，注意到要否定结论，故B选项正确，D选项不正确.故选：B【点睛】本小题主要考查全称命题的否定，属于基础题.2.某学校高一、高二年级共有1800人，现按照分层抽样的方法，抽取90人作为样本进行某项调查.若样本中高一年级学生有42人，则该校高一年级学生共有（）A. 420人B. 480人C. 840人D. 960人【解析】【分析】先由样本容量和总体容量确定抽样比，用高一年级抽取的人数除以抽样比即可求出结果.【详解】由题意需要从1800人中抽取90人，所以抽样比为，又样本中高一年级学生有42人，所以该校高一年级学生共有人.故选C【点睛】本题主要考查分层抽样，先确定抽样比，即可确定每层的个体数，属于基础题型.3.已知双曲线的离心率是，则其渐近线方程为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用离心率求得，由此求得渐近线方程.【详解】依题意，所以渐近线方程为，即.故选：A【点睛】本小题主要考查双曲线渐近线方程的求法，属于基础题.4.设，则“”是“”的（）A. 充要条件B. 充分而不必要条件C. 必要而不充分条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】首先解两个不等式，再根据充分、必要条件的知识选出正确选项.【详解】由解得.由得.所以“”是“”必要而不充分条件【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查绝对值不等式的解法，属于基础题.5.若将一个质点随机投入如图所示的长方形中，其中，，则质点落在以为直径的半圆内的概率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用几何概型概率计算公式，计算出所求的概率.【详解】依题意，长方体的面积为，半圆的面积为，所以质点落在以为直径的半圆内的概率是.故选：C【点睛】本小题主要考查几何概型的计算，属于基础题.6.在正三棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】作出异面直线所成的角，解三角形求得其余弦值.【详解】设，是的中点，所以，所以是两条异面直线所成的角（或补角）.在三角形中,,，所以.所以异面直线与所成角的余弦值为.故选：D【点睛】本小题主要考查异面直线所成角的求法，属于基础题.7.若函数在区间单调递增，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用函数在区间上的导函数为非负数列不等式，解不等式求得的取值范围.【详解】依题意在区间上恒成立，所以，所以.所以实数的取值范围是.故选：B【点睛】本小题主要考查利用导数，根据函数在给定区间上的单调性求参数的取值范围，属于基础题.8.设函数是奇函数的导函数，（），，当时，，则使得成立的的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】构造函数，当时，根据已知条件，判断出.当时，根据为偶函数，判断出的单调性.结合，求得使得成立的的取值范围.【详解】由于是定义在上的奇函数，所以.构造函数，当时，，所以在上递增，由于，所以为偶函数，所以在区间上递减且.所以当时，，；当时，，.所以使得成立的的取值范围是.故选：A【点睛】本小题主要考查利用导数研究不等的解集，考查函数的奇偶性和单调性，属于中档题.二、多项共选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9.下列命题中真命题的是（）A. 若实数，满足，则，互为倒数B. 面积相等的两个三角形全等C. 设，“若，则方程有实根”的逆否命题D. “若，则”的逆命题【答案】AC【解析】【分析】A利用倒数的知识进行判断；B利用全等三角形的知识进行判断；C利用原命题的真假性来判断；D利用原命题的逆命题的真假性来判断.【详解】对于A选项，根据倒数的知识可知，A选项正确.对于B选项，两个三角形的面积相等，不一定是全等三角形，所以B选项错误.对于C选项，当时，，所以方程有实根，为真命题，故其逆否命题为真命题，所以C选项正确.对于D选项，原命题的逆命题为“若，则”不正确，因为也可以，所以D 选项为假命题.综上所述，正确的为AC.故选：AC【点睛】本小题主要考查命题真假性的判断，考查逆否命题、逆命题真假性，属于基础题. 10.“悦跑圈”是一款基于社交型的跑步应用，用户通过该平台可查看自己某时间段的运动情况，某人根据年月至年月期间每月跑步的里程（单位：十公里）的数据绘制了下面的折线图，根据该折线图，下列结论正确的是（）A. 月跑步里程逐月增加B. 月跑步里程最大值出现在月C. 月跑步里程的中位数为月份对应的里程数D. 月至月的月跑步里程相对于月至月波动性更小，变化比较平稳【答案】BCD【解析】【分析】根据折线图，判断A,B,D选项的正确性，判断出中位数所在的月份，由此判断C选项的正确性.【详解】根据折线图可知，月跑步里程下降了，故A选项错误.根据折线图可知，月的跑步里程最大，故B选项正确.一共个月份，里程中间的是从小到大的第个，根据折线图可知，跑步里程的中位数为月份对应的里程数，故C选项正确.根据折线图可知，月至月的月跑步里程相对于月至月波动性更小，变化比较平稳，故D 选项正确.综上所述，正确的选项为BCD.故选：BCD【点睛】本小题主要考查折线图，考查图表分析、数据处理能力，属于基础题.11.设椭圆的左右焦点为，，是上的动点，则下列结论正确的是（）A. B. 离心率C. 面积的最大值为D. 以线段为直径的圆与直线相切【答案】AD【解析】【分析】根据椭圆的定义判断A选项正确性，根据椭圆离心率判断B选项正确性，求得面积的最大值来判断C选项的正确性，求得圆心到直线的距离，与半径比较，由此判断D选项的正确性.【详解】对于A选项，由椭圆的定义可知，所以A选项正确.对于B选项，依题意，所以，所以B选项不正确.对于C选项，，当为椭圆短轴顶点时，的面积取得最大值为，所以C选项错误.对于D选项，线段为直径的圆圆心为，半径为，圆心到直线的距离为，也即圆心到直线的距离等于半径，所以以线段为直径的圆与直线相切，所以D选项正确.综上所述，正确的为AD.故选：AD【点睛】本小题主要考查椭圆的定义和离心率，考查椭圆的几何性质，考查直线和圆的位置关系，属于基础题.。
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12019-2020学年上学期厦门三中高二数学期末考练习卷06《常用逻辑用语》班级 姓名一、选择题1．下列语句中是命题的为( )①x 2－3＝0； ②与一条直线相交的两直线平行吗？ ③3＋1＝5； ④∀x ∈R ，5x －3>6. A ．①③ B ．②③ C ．②④ D ．③④2．命题“若△ABC 不是等腰三角形，则它的任何两个内角不相等”的逆否命题是( ) A ．若△ABC 是等腰三角形，则它的任何两个内角相等 B ．若△ABC 中任何两个内角不相等，则它不是等腰三角形 C ．若△ABC 中有两个内角相等，则它是等腰三角形 D ．若△ABC 中任何两个内角相等，则它是等腰三角形3．命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是( )A ．任意一个有理数，它的平方是有理数B ．任意一个无理数，它的平方不是有理数C ．存在一个有理数，它的平方是有理数D ．存在一个无理数，它的平方不是有理数 4．命题p ：x ＋y ≠3，命题q ：x ≠1或y ≠2，则命题p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 5．“关于x 的不等式f (x )＞0有解”等价于( )A ．∃x 0∈R ，使得f (x 0)＞0成立B ．∃x 0∈R ，使得f (x 0)≤0成立C ．∀x ∈R ，使得f (x )＞0成立D ．∀x ∈R ，f (x )≤0成立 6．若命题¬ (p ∨(¬q ))为真命题，则p ，q 的真假情况为( )A ．p 真，q 真B ．p 真，q 假C ．p 假，q 真D ．p 假，q 假 7．已知命题p ：x >0，总有(x ＋1)e x >1，则¬p 为( )A ． ∃x 0≤0，使得00(1)e 1x x ≤＋B ．∃x 0>0，使得00(1)e 1x x ≤＋C ．∀x >0，总有(x ＋1)e x ≤1D ．∀x ≤0，使得(x ＋1)e x ≤1 8．已知命题p ：若(x －1)(x －2)≠0，则x ≠1且x ≠2；命题q ：存在实数x 0，使2x 0＜0.下列选项中为真命题的是( )A ．¬pB ．（¬p ）∨qC ．（¬q ）∧pD ．q9．已知p ：∃x ∈R ，mx 2＋1≤0，q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0，若“p ∨q ”为假命题，则实数m 的取值范围为( )A ．[2，＋∞)B ．(－∞，－2]C ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)D ．[－2，2] 二、填空题10．命题“不等式x 2＋x －6>0的解为x <－3或x >2”的逆否命题是 ．11．写出命题“若x 2＝4，则x ＝2或x ＝－2”的否命题为 ． 12．若命题“∃t ∈R ，t 2－2t －a <0”是假命题，则实数a 的取值范围是________． 13．已知p ：－4<x －a <4，q ：(x －2)(3－x )>0，若¬p 是¬q 的充分条件，则实数a 的取值范围是________． 三、解答题14．写出下列命题的否定，并判断其真假，同时说明理由． (1)q ：所有的矩形都是正方形； (2)r ：∃x 0∈R ，x 20＋2x 0＋2≤0； (3)s ：至少有一个实数x 0，使x 30＋3＝0.15．已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)．(1)求双曲线的方程； (2)若点M (3，m )在双曲线上，求证：MF 1→·MF 2→＝0.16.如图，在四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，侧棱AA 1⊥底面ABCD ，AB ∥DC ，AA 1＝1，AB ＝3k ，AD ＝4k ，BC ＝5k ，DC ＝6k (k ＞0)．(1)求证：CD ⊥平面ADD 1A 1；(2)若直线AA 1与平面AB 1C 所成角的正弦值为67，求k 的值．17．过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 作一条倾斜角为π4的直线与抛物线相交于A ，B 两点．(1)用p 表示|AB |； (2)若OA →·OB →＝－3，求这个抛物线的方程．218．如图所示，四棱锥P -ABCD 的底面是边长为1的正方形，P A ⊥CD ，P A ＝1，PD ＝2，E 为PD 上一点，PE ＝2ED .(1)求证：P A ⊥平面ABCD ；(2)在侧棱PC 上是否存在一点F ，使得BF ∥平面AEC ？若存在，指出F 点的位置，并证明；若不存在，说明理由．19．在平面直角坐标系xOy 中，F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，顶点B 的坐标为(0，b )，连接BF 2并延长交椭圆于点A ，过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连接F 1C .(1)若点C 的坐标为⎝⎛⎭⎫43，13，且BF 2＝2，求椭圆的方程； (2)若F 1C ⊥AB ，求椭圆离心率e 的值．20.如图，四边形ABCD 为正方形，E ，F 分别为AD ，BC 的中点，以DF 为折痕把DFC △折起，使点C 到达点P 的位置，且PF BF ⊥．(1)证明：平面PEF ⊥平面ABFD ； (2)求DP 与平面ABFD 所成角的正弦值．PF ED C BA32019-2020学年上学期厦门三中高二数学期末考练习卷06《常用逻辑用语》一、选择题1．下列语句中是命题的为( )①x 2－3＝0； ②与一条直线相交的两直线平行吗？ ③3＋1＝5； ④∀x ∈R ，5x －3>6. A ．①③ B ．②③ C ．②④ D ．③④D [①不能判断真假，②是疑问句，都不是命题；③④是命题．]2．命题“若△ABC 不是等腰三角形，则它的任何两个内角不相等”的逆否命题是( ) A ．若△ABC 是等腰三角形，则它的任何两个内角相等 B ．若△ABC 中任何两个内角不相等，则它不是等腰三角形 C ．若△ABC 中有两个内角相等，则它是等腰三角形 D ．若△ABC 中任何两个内角相等，则它是等腰三角形C [将原命题的条件否定作为结论，为“△ABC 是等腰三角形”，结论否定作为条件，为“有两个内角相等”，再调整语句，即可得到原命题的逆否命题，为“若△ABC 中有两个内角相等，则它是等腰三角形”，故选C.] 3．命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是( )A ．任意一个有理数，它的平方是有理数B ．任意一个无理数，它的平方不是有理数C ．存在一个有理数，它的平方是有理数D ．存在一个无理数，它的平方不是有理数B [根据特称命题的否定是全称命题，先将存在量词改为全称量词，然后否定结论，故该命题的否定为“任意一个无理数，它的平方不是有理数”．故选B.]4．命题p ：x ＋y ≠3，命题q ：x ≠1或y ≠2，则命题p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件A [命题“若p ，则q ”的逆否命题为：“若x ＝1且y ＝2，则x ＋y ＝3”，是真命题，故原命题为真，反之不成立．] 5．“关于x 的不等式f (x )＞0有解”等价于( )A ．∃x 0∈R ，使得f (x 0)＞0成立B ．∃x 0∈R ，使得f (x 0)≤0成立C ．∀x ∈R ，使得f (x )＞0成立D ．∀x ∈R ，f (x )≤0成立A [“关于x 的不等式f (x )＞0有解”等价于“存在实数x 0，使得f (x 0)＞0成立”．故选A.] 6．若命题¬(p ∨(¬q ))为真命题，则p ，q 的真假情况为( )A ．p 真，q 真B ．p 真，q 假C ．p 假，q 真D ．p 假，q 假 C [由¬(p ∨(¬q ))为真命题知，p ∨(¬q )为假命题，从而p 与¬q 都是假命题，故p 假q 真．]7．已知命题p ：x >0，总有(x ＋1)e x>1，则¬p 为( )A ． ∃x 0≤0，使得00(1)e 1x x ≤＋B ．∃x 0>0，使得00(1)e 1x x ≤＋C ．∀x >0，总有(x ＋1)e x ≤1D ．∀x ≤0，使得(x ＋1)e x ≤1B [因为全称命题x ∈M ，p (x )的否定为∃x 0∈M ，¬p (x )，故¬p ：∃x 0>0，使得(x 0＋1)e x 0≤1.]8．已知命题p ：若(x －1)(x －2)≠0，则x ≠1且x ≠2；命题q ：存在实数x 0，使2x 0＜0.下列选项中为真命题的是( )A ．¬pB ．（¬p ）∨qC ．（¬q ）∧pD ．q C [很明显命题p 为真命题，所以¬p 为假命题；由于函数y ＝2x ，x ∈R 的值域是(0，＋∞)，所以q 是假命题，所以¬q 是真命题．所以¬p ∨q 为假命题，¬q ∧p 为真命题，故选C.]9．已知p ：∃x ∈R ，mx 2＋1≤0，q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0，若“p ∨q ”为假命题，则实数m 的取值范围为( ) A ．[2，＋∞) B ．(－∞，－2] C ．(－∞，－2]∪[2，＋∞) D ．[－2，2]A [由题意知p ，q 均为假命题，则¬p ，¬q 为真命题．¬p ：x ∈R ，mx 2＋1>0，故m ≥0，¬q ：x ∈R ，x 2＋mx ＋1≤0，则Δ＝m 2－4≥0，即m ≤－2或m ≥2，由⎩⎪⎨⎪⎧m ≥0，m ≤－2或m ≥2得m ≥2.故选A.]二、填空题10．命题“不等式x 2＋x －6>0的解为x <－3或x >2”的逆否命题是 ． 若－3≤x ≤2，则x 2＋x －6≤0 [“不等式x 2＋x －6>0的解为x <－3或x >2”即为：“若x 2＋x －6>0，则x <－3或x >2”，根据逆否命题的定义可得：若－3≤x ≤2，则x 2＋x －6≤0.]11．写出命题“若x 2＝4，则x ＝2或x ＝－2”的否命题为 ． 若x 2≠4，则x ≠2且x ≠－2 [命题“若x 2＝4，则x ＝2或x ＝－2”的否命题为“若x 2≠4，则x ≠2且x ≠－2”．] 12．若命题“∃t ∈R ，t 2－2t －a <0”是假命题，则实数a 的取值范围是________．(－∞，－1] [命题“t ∈R ，t 2－2t －a <0”是假命题．则t ∈R ，t 2－2t －a ≥0是真命题， ∴Δ＝4＋4a ≤0，解得a ≤－1.∴实数a 的取值范围是(－∞，－1]．] 13．已知p ：－4<x －a <4，q ：(x －2)(3－x )>0，若¬p 是¬q 的充分条件，则实数a 的取值范围是________． [－1，6] [p ：－4<x －a <4⇔a －4<x <a ＋4，q ：(x －2)(3－x )>0⇔2<x <3.因为¬p 是¬q 的充分条件，即¬p ⇒¬q ，所以q是p 的充分条件，即q ⇒p ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －4≤2，a ＋4≥3，解得－1≤a ≤6.]三、解答题14．写出下列命题的否定，并判断其真假，同时说明理由． (1)q ：所有的矩形都是正方形； (2)r ：∃x 0∈R ，x 20＋2x 0＋2≤0； (3)s ：至少有一个实数x 0，使x 30＋3＝0. [解] (1)¬q ：至少存在一个矩形不是正方形，真命题．这是由于原命题是假命题． (2)¬r ：x ∈R ，x 2＋2x ＋2>0，真命题．这是由于x ∈R ，x 2＋2x ＋2＝(x ＋1)2＋1≥1>0恒成立．(3)¬s ：x ∈R ，x 3＋3≠0，假命题．这是由于当x ＝－33时，x 3＋3＝0.15．已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)．(1)求双曲线的方程；(2)若点M (3，m )在双曲线上，求证：MF 1→·MF 2→＝0. [解] (1)由双曲线的离心率为2，可知双曲线为等轴双曲线，设双曲线的方程为x 2－y 2＝λ，又双曲线过点(4，－10)，代入解得λ＝6，故双曲线的方程为x 2－y 2＝6.(2)证明：由双曲线的方程为x 2－y 2＝6，可得a ＝b ＝6，c ＝23，所以F 1(－23，0)，F 2(23，0)．由点M (3，m )，得MF 1→＝(－23－3，－m )，MF 2→＝(23－3，－m )，又点M (3，m )在双曲线上，所以9－m 2＝6，解得m 2＝3，所以MF 1→·MF 2→＝m 2－3＝0. 16.如图，在四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，侧棱AA 1⊥底面ABCD ，AB ∥DC ，AA 1＝1，AB ＝3k ，AD ＝4k ，BC ＝5k ，DC ＝6k (k ＞0)．(1)求证：CD ⊥平面ADD 1A1；(2)若直线AA 1与平面AB 1C 所成角的正弦值为67，求k 的值．[解]①(1)证明：取CD 的中点E ，连接BE ，如图①.∵AB ∥DE ，AB ＝DE ＝3k ，∴四边形ABED 为平行四边形，∴BE ∥AD 且BE ＝AD ＝4k .在△BCE 中，∵BE ＝4k ，CE ＝3k ，BC ＝5k ，∴BE 2＋CE 2＝BC 2，∴∠BEC ＝90°，即BE ⊥CD . 又∵BE ∥AD ，∴CD ⊥AD .∵AA 1⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD，∴AA 1⊥CD .又AA 1∩AD ＝A ，∴CD ⊥平面ADD 1A 1.②(2)以D 为原点，DA →，DC →，DD 1→的方向为x ，y ，z 轴的正方向建立如图②所示的空间直角坐标系，则A (4k ，0，0)，C (0，6k ，0)，B 1(4k ，3k ，1)，A 1(4k ，0，1)， ∴AC →＝(－4k ，6k ，0)，AB 1→＝(0，3k ，1)，AA 1→＝(0，0，1)．设平面AB 1C 的法向量n ＝(x ，y ，z )，则由⎩⎪⎨⎪⎧AC →·n ＝0，AB 1→·n ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－4kx ＋6ky ＝0，3ky ＋z ＝0.取y ＝2，得n ＝(3，2，－6k )．设AA 1与平面AB 1C 所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈AA 1→，n 〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪AA 1→·n |AA 1→||n |＝6k 36k 2＋13＝67，解得k ＝1，故所求k 的值为1.417．过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 作一条倾斜角为π4的直线与抛物线相交于A ，B 两点．(1)用p 表示|AB |；(2)若OA →·OB →＝－3，求这个抛物线的方程．[解] (1)抛物线的焦点为F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，过点F 且倾斜角为π4的直线方程为y ＝x －p 2. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，y ＝x －p 2，得x 2－3px ＋p 24＝0，∴x 1＋x 2＝3p ，x 1x 2＝p 24，∴|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝4p .(2)由(1)知，x 1x 2＝p 24，x 1＋x 2＝3p ，∴y 1y 2＝⎝⎛⎭⎫x 1－p 2⎝⎛⎭⎫x 2－p 2＝x 1x 2－p 2(x 1＋x 2)＋p 24＝p 24－3p 22＋p 24＝－p 2，∴OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝p 24－p 2＝－3p 24＝－3，解得p 2＝4，∴p ＝2. ∴这个抛物线的方程为y 2＝4x . 18．如图所示，四棱锥P -ABCD 的底面是边长为1的正方形，P A ⊥CD ，P A ＝1，PD ＝2，E 为PD 上一点，PE ＝2ED .(1)求证：P A ⊥平面ABCD ；(2)在侧棱PC 上是否存在一点F ，使得BF ∥平面AEC ？若存在，指出F 点的位置，并证明；若不存在，说明理由． [解] (1)证明：∵P A ＝AD ＝1，PD ＝2，∴P A 2＋AD 2＝PD 2，即P A ⊥AD . 又P A ⊥CD ，AD ∩CD ＝D ，∴P A ⊥平面ABCD .(2)以A 为原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．则A (0，0，0)，B (1，0，0)，C (1，1，0)，P (0，0，1)，E ⎝⎛⎭⎫0，23，13，AC →＝(1，1，0)，AE →＝⎝⎛⎭⎫0，23，13.设平面AEC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AC →＝0，n ·AE →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，2y ＋z ＝0，令y ＝1，则n ＝(－1，1，－2)．假设侧棱PC 上存在一点F ，且CF →＝λCP →(0≤λ≤1)，使得BF ∥平面AEC ，则BF →·n ＝0.又∵BF →＝BC →＋CF →＝(0，1，0)＋(－λ，－λ，λ)＝(－λ，1－λ，λ)， ∴BF →·n ＝λ＋1－λ－2λ＝0，∴λ＝12，∴存在点F ，使得BF ∥平面AEC ，且F 为PC 的中点．19．如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，顶点B 的坐标为(0，b )，连接BF 2并延长交椭圆于点A ，过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连接F 1C .(1)若点C 的坐标为⎝⎛⎭⎫43，13，且BF 2＝2，求椭圆的方程； (2)若F 1C ⊥AB ，求椭圆离心率e 的值．[解] (1)∵BF 2＝2，而BF 22＝OB 2＋OF 22＝b 2＋c 2＝2＝a 2，∵点C 在椭圆上，C ⎝⎛⎭⎫43，13，∴169a 2＋19b2＝1， ∴b 2＝1，∴椭圆的方程为x22＋y 2＝1.(2)直线BF 2的方程为x c ＋y b ＝1，与椭圆方程x 2a 2＋y 2b 2＝1联立方程组，解得A 点坐标为⎝⎛⎭⎫2a 2c a 2＋c 2，－b 3a 2＋c 2，则C 点的坐标为⎝⎛⎭⎫2a 2c a 2＋c 2，b 3a 2＋c 2， 又F 1为(－c ，0)，kF 1C ＝b 3a 2＋c 22a 2c a 2＋c 2＋c ＝b 33a 2c ＋c 3，又k AB ＝－b c ，由F 1C ⊥AB ，得b 33a 2c ＋c 3·⎝⎛⎭⎫－b c ＝－1， 即b 4＝3a 2c 2＋c 4，所以(a 2－c 2)2＝3a 2c 2＋c 4，化简得e ＝c a ＝55.20.如图，四边形ABCD 为正方形，E ，F 分别为AD ，BC 的中点，以DF 为折痕把DFC △折起，使点C 到达点P 的位置，且PF BF ⊥．(1)证明：平面PEF ⊥平面ABFD ； (2)求DP 与平面ABFD 所成角的正弦值． 【解析】(1)由已知可得，BF ⊥PF ，BF ⊥EF ，所以BF ⊥平面PEF ．又BF ⊂平面ABFD ，所以平面PEF ⊥平面ABFD ．(2)作PH ⊥EF ，垂足为H ．由(1)得，PH ⊥平面ABFD ．以H 为坐标原点，HF 的方向为y 轴正方向，||BF 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系-H xyz ．由(1)可得，DE ⊥PE ．又DP =2，DE =1，所以PE．又PF =1，EF =2，故PE ⊥PF ． 可得2=PH ,32=EH ．则(0,0,0)H ，(0,0,)2P ，3(1,,0)2--D，3(1,,)22=DP ，HP =为平面ABFD 的法向量．设DP 与平面ABFD 所成角为θ，则34sin ||||||3HP DPHP DP θ⋅===⋅． 所以DP 与平面ABFD。