同角三角函数的基本关系 导学案
122同角三角函数的基本关系(一)导学案-2021-2022学年高一数学人教A版必修4
1.2.2 同角三角函数的基本关系(一)一、学习目标、细解考纲1.理解并掌握同角三角函数基本关系式的推导及应用．(重点)2.会利用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值与恒等式证明．(难点)3.通过把单位圆的对称几何关系用坐标表示，抽象出三角函数的基本关系，培养学生逻辑推理和直观想象素养.4.通过同角基本关系式的运用，提升运用联系的观点获得研究思路，这也是数学研究中的常用思想.二、自主学习—————（素养催化剂）（阅读教材第18—20页内容，完成以下问题：）1. 平方,商数关系中的同一个角与角的表达形式有关吗?1. 怎样证明公式?．三、探究应用,“三会培养”(素养生长剂)例1(教材P19例6改编) 已知α∈)23,(ππ，tan α＝2，则cos α＝．变式1．已知sin α＋3cos α＝0，求sin α，cos α的值． .例2 已知cos α＝－178，求sin α，tan α的值． 思路点拨：先由已知条件判断角α是第几象限角，再分类讨论求sin α，tan α.变式2已知sin α＝15，求cos α，tan α 例3(教材P22B 组题3题改编).已知sin α＋cos αsin α－cos α＝2，计算下列各式的值： ①3sin α－cos α2sin α＋3cos α； ②sin 2α－2sin αcos α＋1.四、拓展延伸、智慧发展（素养强壮剂）1．齐次式包含齐次分式和齐次关系式，如何由某角的正切值求该角的齐次分式或齐次关系的值？2．sin α±cos α与sin αcos α有怎样的关系，在求值中能否相互转化？五、备选例题例4已知sin α＋cos α＝713，α∈(0，π)，则tan α＝．变式4．将本例条件“α∈(0，π)”改为“α∈)0,2(π-，”其他条件不变.变式5．将本例的条件“sin α＋cos α＝713”改为“sin αcos α＝－18”，其他条件不变，求cos α－sin α.六、本课总结、感悟思考（素养升华剂）。
同角三角函数的基本关系导学案
1.2.2《同角三角函数的基本关系》导学案学习目标：1．掌握同角三角函数的基本关系式的推导方法．2．会用同角三角函数的基本关系式化简三角函数式、求任意角的三角函数值。
学习重点：同角三角函数的基本关系式的推导与应用。
学习难点：同角三角函数的基本关系式的推导。
【回顾旧知】1．在右图单位圆中，作出角α的正弦线MP、余弦线OM2．设角α的终边与单位圆交与P(x,y),则sinαcosα=_______ tanα=_________【新课探究】1、观察正弦线MP、余弦线OM和半径OP满足什么关系？同角三角函数的平方关系：_________________________常变形为2sinα= 2cosα=2、根据三角函数的定义观察sinα、cosα、tanα有什么关系？同角三角函数的商数关系：_________________________【典例剖析】应用一：求角的三角函数值例1、已知3sin5α=-，求cosα，tanα的值。
变式练习1：已知4cos5α=-，求sinα，tanα的值。
例2、已知3tan 4α=-，求sin α，tan α的值。
变式练习2：已知tan θ=，求sin θ，cos θ的值。
应用二：化简三角函数式例3、化简:(1) 22(1tan )cos αα+ (2)变式练习3：(1)cos tan θθ (2) 222cos 112sin αα--【小结与反思】【拓展探究】已知tan 1α= 求 (1)2sin cos sin 2cos αααα++(2) 222sin cos αα+作业：课本P 21 10. (1) (2) 11.。
4.2同角三角函数的基本关系式及诱导公式(学案)
4.2同角三角函数的基本关系式及诱导公式(学案)知识归纳1、 同角三角函数的基本关系式（1） 平方关系 （2） 商数关系 （3） 倒数关系）记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限（其中的奇、偶是指 的奇数倍和偶数倍，变与不变是指 的变化（2）利用诱导公式把任意的三角函数转化为锐角三角函数的基本步骤是：任意角的三角函数→正角的三角函数→00360 的角的三角函数→锐角三角函数 3、平方关系 s is α商数关系 t a nαc o t α倒数关系 s e c α 4、sin cos ,sin cos ,sin cos αααααα+-三者之间的关系()2sin cos 12sin cos αααα+=+()2sin cos 12sin cos αααα-=- ()()22sin cos sin cos 2αααα++-=()()22sin cos sin cos 4sin cos αααααα+--=5、同角三角函数关系式和诱导公式的应用主要包括三类题型：求值、化简、证明典型例题例1、（1）已知()cot 2πα-=，求3sin 2πα⎛⎫+⎪⎝⎭的值 （2） 已知()cot 0m m α=≠，求cos α例2、已知tan 1tan 1αα=--，求下列各式的值：()4sin 2cos 15cos 3sin αααα-+ ()2s i n c o s αα ()()23sin cos αα+例3、已知()()()()()3sin cos 2tan 2cot sin f ππαπααααππα⎛⎫---+ ⎪⎝⎭=----（1） 化简()f α（2） 若α是第三象限角，且31cos 25πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，求()f α的值 （3） 若313πα=-，求()f α的值例4、（1）求证：tan sin tan sin tan sin tan sin αααααααα⋅+=-⋅（2）已知()()sin 2cos 2αππα-=- 求证：()()()()sin 5cos 233cos sin 5παπαπαα-+-=----例5、已知关于x的方程)2210x x m -+=的两根为sin θ和cos θ，()0,2θπ∈求（1）sin cos 1cot 1tan θθθθ+--的值（2）m 的值（3）方程的两根及此时θ的值堂清练习1、19sin 6π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值等于（ ）A 、12B 、12- C2D、2-2、如果A 为锐角，()1sin 2A π+=-，那么()cos A π-=（ ）A 、12- B 、12C、2-D23、已知a =200sin ，则160tan 等于A、- B、C、a-D、a4cos sin 1+=-，则θ是（ ）A 、第一象限角B 、第二象限角C 、第三象限角D 、第四象限角5、若022x π≤≤cos 2x =成立的x 的取值范围是（ ）A 、0,4π⎛⎫⎪⎝⎭B 、3,4ππ⎛⎫⎪⎝⎭ C 、5,44ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ D 、30,,44πππ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦6、405cot 300tan +的值为＿＿＿＿。
同角三角函数的基本关系导学方案
同角三角函数的基本关系导学方案一．知识要点同角三角函数的基本关系平方关系22sin cos 1a a += 商数关系s i n t a n a c o s a a= 【学习领悟】1.公式变形 22sin 1cos a a =- 2s i n 1c o s a a =?22cos 1sin a a =- 22cos 1sin a a =?（正负号由a 所在象限决定）sina =cosa tan a × s i n c o s t a n a a a=2.公式应用 “知一求二”：把sin ,cos ,tan a a a 看作未知数，则两个关系式就成了两个方程，三个未知数中只要知道了一个的值，解方程组就可求出另两个的值。
二．考点归纳考点1.“知一求二”例1 已知3sin ,cos ,tan 5a a a =-求的值。
解：2234cos 1sin 1()55a a =?=?-= . 当4cos 5a =时，sin 343tan ()cos 554a a a ==-?-. 同理，当4cos -5a =时3tan 4a =. 变式 ：已知a 是三角形的内角，且15sin cos a a +=，求tan a 的值. 解：由已知，1cos sin 5a a =- 代入22sin cos 1a a +=整理得： 2112sin sin 0525a a --=，解得43sin sin 55a a ==-或. 因为a 是三角形的内角，sin 0a >,所以4sin 5a =，1143cos sin =-=-5555a a =- 所以4tan -3a = 【评】“知一求二”不但指sin ,cos ,tan a a a 三者中知一可求二,还指知道一个关于sin ,cos ,tan a a a 的方程,联立两个关系式就可求出它们的值.考点2.弦切转化例2.已知tan 2,a =求下列式子的值. (1)sin cos sin cos a a a a +-; (2)221cos sin a a-. 解:方法一:由”知一求二”可求出sin ,cos ,a a 然后代入求值.方法二:弦化切,在(1)的分子分母中同时除以cos ,a 则tan 121=3tan 121a a ++==--(1)原式. 222222222222sin cos sin cos tan 15cos (2)=cos sin cos sin 1tan 3cos a aa a a a a a a a a a+++===----原式. 方法三：由已知得，sin 2cos a a =,则22222222sin cos (2cos )cos 5(2)=cos sin cos a (2cos )3a a a a a a a ++==---原式，同理可求（1）的值. 【评】弦化切得前提是：要求值的式子是分式，且分子分母都是关于sin ,cos a a 的齐次式，这里要注意“1”的变形.这是一种转化思想。
导学案018同角三角函数的基本关系与诱导公式
同角三角函数的基本关系式和诱导公式考纲要求1.理解同角三角函数的基本关系式：sin 2x ＋cos 2x ＝1，sin xcos x＝tan x ． 2.能利用单位圆中的三角函数线推导出π2±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式. 考情分析1.利用同角三角函数的基本关系及诱导公式求值或化简三角函数式是考查重点．2.主要以选择题、填空题的形式考查. 教学过程基础梳理：一、同角三角函数的基本关系式 1．平方关系：________. 2．商数关系： ________.对于角“k π2±α”(k ∈Z)的三角函数记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，意思是说k π2±α，k ∈Z 的三角函数值等于“当k 为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k 为偶数时，函数名不变，然后α的三角函数值前面加上当α为锐角时，原函数值的符号．”双基自测1．sin 585°的值为 ( )A ．－22 B.22 C ．－32 D.322．(教材习题改已知sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，|θ|<π2，则θ等于 ( ) A ．－π6B ．－π3 C.π6D.π33．若tan α＝2，则2sin α－cos αsin α＋2cos α的值为 ( )A ．0 B.34 C ．1 D.544．(2011²重庆高考)若cos α＝－35，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，则tan α＝________.5．如果sin(π＋A )＝12，那么cos ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－A 的值 是________． 典例分析考点一：同角三角函数的基本关系[例1] (2011²大纲全国卷)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，tan α＝2，则cos α＝________.变式1若例1中条件变为“若sin θ＝－45，tan θ>0”，则cos θ＝________.[例2] (2012²温州模拟)已知sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，则sin 2α－sin αcos α的值是 ( ) A.25 B ．－25C ．－2D ．2变式2(2011²杭州师大附中月考)如果f(tan x)＝sin2x －5sin xcos x ，那么f(5)＝________. 方法总结：1．利用sin 2α＋cos 2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用 sin αcos α＝tan α可以实现角α的弦切互化．2．应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二．3．注意公式逆用及变形应用：1＝sin 2α＋cos 2α，sin 2α＝1－cos 2α，cos 2α＝1－sin 2α.考点二：诱导公式[例3] (2012²衢州模拟)已知α∈(－π，0)，tan(3π＋α)＝1log 3aa(a >0，且a ≠1)，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π＋α的值为 ( )A.1010 B ．－1010 C.31010 D ．－31010变式3.(2012²聊城模拟)已知f(x)＝asin(πx ＋α)＋bcos(πx ＋β)＋4(a ，b ，α，β为非零实数)，f(2 011)＝ 5，则f(2 012)＝( )A ．3B ．5C ．1D ．不能确定方法总结;利用诱导公式化简求值时的原则 1．“负化正”，运用公式三将任意负角的三角函数化为任意正角的三角函数． 2．“大化小”，利用公式一将大于360°的角的三角函数化为0°到360°的三角函数，利用公式二将大于180°的角的三角函数化为0°到180°的三角函数． 3．“小化锐”，利用公式六将大于90°的角化为0°到90° 的角的三角函数． 4．“锐求值”，得到0°到90°的三角函数后，若是特殊角 直接求得，若是非特殊角可由计算器求得.考点三：三角形中的诱导公式 [例4] 在△ABC 中，若sin(2π－A )＝－2sin(π－B )，3cos A ＝－2cos(π－B )，求△ABC 的三个内角．变式4.△ABC 中，cos A ＝13，则sin(B ＋C )＝________.方法总结：1.诱导公式在三角形中经常应用，常用的变形结论有A ＋B ＝π－C ；2A ＋2B ＋2C ＝2π； A 2＋B 2＋C 2＝π2.2.求角时，一般先求出该角的某一三角函数值，再确定该角的范 围，最后求角．[考题范例](2012·九江调研)已知θ∈(0，π)，sin θ＋cos θ＝3－12，则tan θ的 值为 ( ) A ．－3或－33 B ．－33 C ．－ 3 D ．－32 法一：由sin θ＋cos θ＝3－12两边平方得sin θ·cos θ＝－34，由sin θ·cos θ＝sin θ·cos θsin 2θ＋cos 2θ＝tan θ1＋tan 2θ＝－34， 解得tan θ＝－3或tan θ＝－33，由于θ∈(0，π)，0<sin θ＋cos θ＝12(3－1)<1， ∴θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，|sin θ|>|cos θ|，∴|tan θ|>1，即θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，34π，∴tan θ<－1，∴tan θ＝－33，舍去． 故tan θ＝－ 3. 法二：由sin θ＋cos θ＝3－12，两边平方得sin θ·cos θ＝－34，∴(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θ·cos θ＝1＋32＝4＋234＝⎝⎛⎭⎪⎫3＋122， ∵θ∈(0，π)，sin θ＋cos θ＝12(3－1)<1，∴θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴sin θ－cos θ>0，∴sin θ－cos θ＝3＋12，由⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＋cos θ＝3－12sin θ－cos θ＝3＋12得sin θ＝32，cos θ＝－12.∴tan θ＝－3.一个口诀诱导公式的记忆口诀为：奇变偶不变，符号看象限． 三种方法在求值与化简时，常用方法有：(1)弦切互化法：主要利用公式tan α＝sin αcos α化成正、余弦．(2)和积转换法：利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化．(3)巧用“1”的变换：1＝sin 2θ＋cos 2θ＝cos 2θ(1＋tan 2θ)＝tan π4＝…. 三个防范(1)利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负－脱周－化锐． 特别注意函数名称和符号的确定．(2)在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号． (3)注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化．本节检测1．已知sin(θ＋π)<0，cos(θ－π)>0，则下列不等关系中必定成立的是( )A ．sin θ<0，cos θ>0B ．sin θ>0，cos θ<0C ．sin θ>0，cos θ>0D ．sin θ<0，cos θ<02．(2012²临沂一模)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－φ＝32，且|φ|<π2，则tan φ＝( )A ．－33 B.33C ．－ 3 D. 33．(2012²淄博模拟)已知sin 2α＝－2425，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，0，则sin α＋cosα＝( )A ．－15 B.15 C ．－75 D.754．已知tan θ＝2，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ－cos π－θsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ－sin π－θ＝( )A ．2B ．－2C ．0 D.235．cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－174π－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－17π4的值是________． 6．已知α为第二象限角，则cos α1＋tan 2α＋sin α1＋1tan 2α＝________.自我反思。
《同角三角函数的基本关系》教案与导学案
《同角三角函数的基本关系》教案与导学案同角三角函数的基本关系是指在一个锐角三角形中，其三个内角的三角函数之间的关系。
教案教学目标：1.了解同角三角函数的概念和基本关系。
2.熟练运用同角三角函数的基本关系，解决相关问题。
教学重点：同角三角函数的基本关系。
教学难点：熟练运用同角三角函数的基本关系，解决相关问题。
教学方法：讲授、演示、练习。
教学过程：Step 1 引入新知引导学生回顾正弦定理、余弦定理的内容，由此引入同角三角函数的概念，解释同角三角函数的意义。
Step 2 基本关系的演示通过投影仪或黑板等教具，演示同角三角函数的基本关系。
1) 演示正弦定理的推导，得到sinA=opposite/hypotenuse。
2) 演示余弦定理的推导，得到cosA=adjacent/hypotenuse。
3) 演示正切比例的推导，得到tanA=opposite/adjacent。
Step 3 列示基本关系向学生展示同角三角函数的基本关系，并要求学生背诵这些关系。
Step 4 发现规律通过解决一些具体问题，引导学生发现同角三角函数之间的一些规律和特点。
Step 5 综合运用结合实际问题，进行综合运用，让学生熟练应用同角三角函数的基本关系解决相关问题。
Step 6 归纳总结复习同角三角函数的基本关系，并帮助学生归纳总结相关知识点。
Step 7 学以致用通过一些挑战性问题，提高学生运用同角三角函数的基本关系解决问题的能力。
导学案学习目标：1.了解同角三角函数的概念和基本关系。
2.熟练运用同角三角函数的基本关系，解决相关问题。
学习重点：同角三角函数的基本关系。
学习难点：熟练运用同角三角函数的基本关系，解决相关问题。
学习方法：自主学习、思维导图。
学习过程：Step 1 学习概念自主学习同角三角函数的概念，并在思维导图中整理相关知识点。
Step 2 学习基本关系自主学习同角三角函数的基本关系，并在思维导图中整理相关公式和关系。
人教版高中数学必修四 1.2.2同角的基本关系导学案
解析 由题得(sinα－cosα)2＝ ，
即sin2α＋cos2α－2sinαcosα＝ ，
又sin2α＋cos2α＝1，∴1－2sinαcosα＝ ，
∴sinαcosα＝－ .故选C.
3.化简 的结果是()
A.cos B.sin
C.－cos D.－sin
答案C
解析 ＝ ＝|cos |，
∵ < <π，∴cos <0，
1.利用同角三角函数的基本关系式，可以由一个角的一个三角函数值，求出这个角的其他三角函数值.
2.利用同角三角函数的关系式可以进行三角函数式的化简，结果要求：
(1)项数尽量少；(2)次数尽量低；(3)分母、根式中尽量不含三角函数；(4)能求值的尽可能求值.
3.在三角函数的变换求值中，已知sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα中的一个，可以利用方程思想，求出另外两个的值.
tanα＝ ＝ ＝ ，
故13sinα＋5tanα＝13×(－ )＋5× ＝0.
综上可知，13sinα＋5tanα＝0.
方法二∵tanα＝ ，
∴13sinα＋5tanα＝13sinα(1＋ · )
＝13sinα[1＋ ×(－ )]＝0.
类型二 利用同角三角函数关系化简
例3已知α是第三象限角，化简： － .
跟踪训练1已知tanα＝ ，且α是第三象限角，求sinα，cosα的值.
解 由tanα＝ ＝ ，得sinα＝ cosα.①
又sin2α＋cos2α＝1，②
由①②得 cos2α＋cos2α＝1，即cos2α＝ .
又α是第三象限角，
∴cosα＝－ ，sinα＝ cosα＝－ .
命题角度2已知角α的某一三角函数值，未给出α所在象限，求角α的其余三角函数值
同角三角函数的基本关系教案
同角三角函数的基本关系教案教案：同角三角函数的基本关系教学目标：1.理解同角三角函数的概念和性质。
2.掌握同角三角函数之间的基本关系式。
3.能够灵活运用同角三角函数的基本关系进行计算和证明。
教学重点：教学难点：教学准备：教材、白板、彩色笔。
教学过程：Step 1：引入概念（10分钟）1.引导学生回顾正弦函数、余弦函数和正切函数的定义和性质。
2.提问：是否存在一个三角函数，它的值恰好是一个角的正弦值的倒数？反余弦的倒数？正切的相反数？引出同角三角函数的概念。
Step 2：同角三角函数的定义和性质（20分钟）1.讲解同角三角函数的定义：正割函数、余割函数、余切函数。
2.指导学生进行练习，求特定角的正割值、余割值和余切值。
3.总结同角三角函数的定义和性质，并进行板书记录。
Step 3：同角三角函数的基本关系（30分钟）1.引导学生根据同角三角函数的定义，设获得正弦函数、余弦函数和正切函数的倒数的关系式，并进行推导。
2.引导学生利用同角三角函数的定义，进一步推导同角三角函数之间的基本关系式，并进行证明。
3.提醒学生注意数学符号的运用，确保表述的准确性。
4.分步解释和板书同角三角函数的基本关系。
Step 4：经典例题演练（30分钟）1.带领学生进行同角三角函数的基本关系的例题演练，注重每一步计算过程的意义和结果的解释。
2.引导学生归纳总结同角三角函数的基本关系式，并进行笔记整理。
Step 5：综合案例分析（20分钟）1.给出一个综合案例，要求学生结合所学的同角三角函数的基本关系进行证明和计算。
2.引导学生合理安排解题思路，按照步骤进行推导和计算。
3.引导学生进行思考和讨论，根据解题过程中出现的问题和困难进行解释和总结。
4.学生互相讨论和交流解题思路和方法。
Step 6：课堂小结（10分钟）1.整理同角三角函数的基本关系的要点。
2.概述同角三角函数的应用领域和意义。
拓展延伸：1.探究其他同角三角函数之间的关系，如正割函数和余割函数的关系等。
数学《同角三角函数的基本关系》教案
数学《同角三角函数的基本关系》教案教案：同角三角函数的基本关系一、教学目标：1.理解同角三角函数的概念及意义。
2.掌握正弦、余弦和正切函数之间的基本关系。
3.能够在给定角度范围内计算同角三角函数的值。
二、教学重点与难点：1.理解同角三角函数的概念及意义。
2.掌握正弦、余弦和正切函数之间的基本关系。
三、教学准备：1.教材、课件、黑板、粉笔。
2.学生课前复习笔记。
四、教学过程：1.引入（10分钟）教师可通过提问的方式引导学生复习和回忆上节课所学的三角函数概念及性质，例如：“什么是三角函数？它们有什么特点？”2.概念讲解（10分钟）教师介绍同角三角函数的概念和意义，同角三角函数是以角度的大小和方向为自变量，以比值为因变量的一类函数。
其中，正弦函数、余弦函数和正切函数是最常用和基础的三角函数。
通过图示的方式向学生展示正弦函数、余弦函数和正切函数的形象及它们之间的关系。
3.基本关系的推导（15分钟）3.1正弦函数与余弦函数的基本关系：教师指导学生通过绘制各象限内角度相同的锐角三角形，并利用其定义推导出正弦函数和余弦函数的基本关系：sin^2θ + cos^2θ = 13.2正切函数与正弦函数、余弦函数的基本关系：教师指导学生通过绘制直角三角形，利用其定义推导出正切函数、正弦函数和余弦函数的基本关系：tanθ = sinθ / cosθ。
4.同角三角函数的计算及性质（25分钟）4.1计算角度对应的三角函数值：教师引导学生通过练习，掌握计算给定角度对应的正弦、余弦和正切函数值的方法和技巧。
4.2使用同角三角函数的性质：教师讲解同角三角函数的周期性和奇偶性，并指导学生根据这些性质简化计算，例如，sin(180° + θ) = -sinθ，cos(π + θ) = -cosθ，等等。
5.练习与巩固（20分钟）教师提供一系列基础练习题，让学生在课堂上进行计算和解答，以巩固所学的同角三角函数的基本关系和计算方法。
同角三角函数的基本关系与诱导公式 导学案
开启高考成功之门，钥匙有三：勤奋的精神；科学的方法；良好的心态。
课题： 同角三角函数的基本关系与诱导公式 主备课人： 审核人： 授课时间：2014年12月1日高三年级 班级： 小组： 姓名：考点分析：1、考查同角三角函数基本关系式和诱导公式；2、利用公式进行三角函数的求值和化简.学习目标：1、理解记忆同角三角函数基本关系式和诱导公式，特别要对诱导公式的口诀理解透彻；2、通过训练加强公式运用能力的培养，寻找化简求值中的规律.一、回扣教材 自主学习:1. 同角三角函数的基本关系：平方关系 ； 商数关系 。
2.六组诱导公式及记忆方法： .3．Sin （- 585°）的值为__________.4．已知sin(π＋θ)＝－3(cos2π－θ)，|θ|<π2，则θ=__________. 5．=>-=θθθcos ,0tan ,54sin 则若__________. 6.如果sin(π＋A )＝12，那么cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－A 的值是__________． 二、题型归类 深度剖析考点一 同角三角函数关系式的应用例1：已知:,2tan 则=α （1）=+-ααααcos sin cos 3sin （2）=+αααcos sin sin 2 ； 方法小结： 通关训练1： 已知21cos sin cos sin =-+αααα，求α2tan 的值。
考点二 诱导公式的应用 ).23sin()25sin()sin()2sin(),2sin(2)2cos(2 απαππαπαπααπ-∙+--∙--=+求：已知例方法小结：开启高考成功之门，钥匙有三：勤奋的精神；科学的方法；良好的心态。
通关训练2：化简：)sin()cos()23sin()2cos()tan(αππααπαπαπ-------考点三 sin α±cos α与sin αcos α关系的应用例3：.51cosx sinx ,0=+<<πx 已知 的值求cosx sinx )1(∙；.cosx sinx )2(的值求- 的值求xx x tan 1sin 22sin )3(2-+.方法小结：通关训练3：若α是三角形的内角，且sin α＋cos α＝23，则三角形是( ) A ．钝角三角形 B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形三、课堂检（见课件）四、作业布置：A 组B 组五、心得感悟：本节课你学到了哪些知识和方法？。
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同角三角函数的基本关系学习目标:掌握同角三角函数的基本关系式sin 2a+cos 2a=1, sina ／cosa=tana,并会运用它们进行简单的三角函数式的化简、求值及恒等式证明学习重点：公式sin 2a+cos 2a=1, sina ／cosa=tana 的推导及其应用学习难点：根据角a 终边所在象限求出其三角函数值,选择适当的方法证明三角恒等式;公式的变式及灵活运用 学习过程： 一 探究新知1．你还记得任意角的三角函数的定义吗？a 为一个任意角，它的终边与单位圆交于点P ﹙x,y ﹚：则sina ＝ ；cosa ＝ ；tana ＝2．你记得单位圆中的三角函数线吗？sina ＝ ；cosa ＝ ；tana ＝探究：①sin 2300+cos 2300＝ ，sin 30cos30︒=︒，tan300 ＝ ；②sin 2450+cos 2450＝ ，sin 45cos 45︒=︒ ，tan450 ＝ ；③sin 2600+cos 2600＝ ，sin 60cos 60︒=︒，tan600＝ ；④角a 的终边经过点﹙3,-4﹚，sin 2a+cos 2a= ，sina ／cosa= ，tana ＝ ．观察计算的结果，你有什么发现吗？新知：同角三角函数关系式：（1）平方关系：sin 2a+cos 2a=1；（2）商数关系：sina ／cosa=tana ﹐a ≠k π＋0.5π﹙k ∈Z ﹚注意：①注意“同角”，至于角的形式无关重要，如22sin 4cos 41αα+=等；②注意这些关系式都是对于使它们有意义的角而言的，如sina ／cosa=tana ，a ≠k π＋0.5π﹙k ∈Z ﹚.③对这些关系式不仅要牢固掌握，还要能灵活运用（正用、反用、变形用），如：2cos 1sin αα=±- 22sin 1cos αα=-， sin cos tan ααα=等. 3.（1）商数关系tana ＝sina ／cosa 成立角a 的范围是（2）同角三角函数的基本关系式的应用﹐平方关系：sin 2a+cos 2a=1，可变形为：1-cos 2a ＝ ，1-sin 2a ＝ ；sina ＝ ，cosa ＝ ，其中“±”可由 确定4.同角三角函数的基本关系：平方关系sin 2a+cos 2a=1 商数关系sina ／cosa=tana ①公式变形sin 2a ＝1-cos 2a,sina ＝a 2cos 1-,cos 2a ＝1-sin 2a,cosa ＝a 2sin 1-（正负号由a 所在象限决定）,sina ＝cosa ·tana,cosa ＝sina ／tana ②公式应用 “知一求二”：把sina ，cosa ，tana 看作未知数，则两个关系式就成了两个方程，三个未知数中只要知道了一个的值，解方程组就可求出另两个的值。
③考点归纳考点1.“知一求二”例1 已知sina ＝-3／5，求cosa ，tana 的值解：cosa ＝±a 2sin 1-＝±2531⎪⎭⎫ ⎝⎛-＝±54.当4cos 5a =时，sin 343tan ()cos 554a a a ==-?-＝3-／4.同理，当4c o s -5a =时3t a n 4a =变式 ：已知a 是三角形的内角，且sina ＋cosa ＝1／5，求tana 的值 解：由已知得1cos sin 5a a =-，代入22sin cos 1a a +=整理得：2112s i n s i n 0525a a --=，解得43sin sin 55a a ==-或.因为a 是三角形的内角，sin 0a >,所以4sin 5a =，1143cos sin =-=-5555a a =-,所以4tan -3a =“知一求二”不但指sina ，cosa ，tan 三者中知一可求二,还指知道一个关于sina ，cosa ，tana 的方程,联立两个关系式就可求出它们的值. 考点2.弦切转化例2.已知tana ＝2，求下列式子的值.(1)sin cos sin cos a a a a +- (2)221cos sin a a-解:方法一:由”知一求二”可求出sina ，cosa 然后代入求值.方法二:弦化切,在(1)的分子分母中同时除以cosa ，则(1) 原式＝1tan 1tan -+a a ＝1212-+＝3，(2) 原式＝a a a a 2222sin co s co s sin -+＝aa a a a a 222222cos sin cos cos cos sin -+＝aa 22tan 11tan -+＝35- 方法三：由已知得，sina ＝2cosa,则原式＝a a a a 2222sin cos cos sin -+＝()()2222cos 2cos cos cos 2a a a a -+＝35-，同理可求（1）的值弦化切得前提是：要求值的式子是分式，且分子分母都是关于sina ，cosa 的齐次式，这里要注意“1”的变形.这是一种转化思想。
练习.已知tana ＝-4／3，求下列式子的值.（1）sin 4cos ;5sin 2cos a aa a-+(2)2sin 2sin cos .a a a +考点3：三角恒等式的证明 例3.求证：x x sin 1cos -＝xxcos sin 1+方法一：从分子看，要将左边的cosx 化为右边的1＋sinx ，就要实现正弦与余弦的转化，要用平方关系，所以左边分子分母同时乘以cosx ，左边=()x x x cos sin 1cos 2-＝()xx xcos sin 1sin 12--＝x x cos sin 1+＝右边，所以原式成立方法二：原式等价于：cos 2x ＝﹙1＋sinx ﹚﹙1-sinx ﹚,即cos 2x ＝1-sin 2x它是平方关系的变形，证明如下：由cos 2x ＝1-sin 2x 得，cos 2x ＝﹙1＋sinx ﹚﹙1-sinx ﹚,两边同时除以cosx ﹙1-sinx ﹚，得x x sin 1cos -＝xxcos sin 1+三角恒等式的证明关键是转化思想，包括正弦与余弦的转化；弦切的互化；“1= sin 2a+cos 2a=1”的应用. 练习.求证：a a a a 22sin cos cos sin 21--＝aatan 1tan 1+-考点4. sina+cosa ，sina-cosa ，sina ·cosa 的关系应用由于﹙sina ＋cosa ﹚2＝1+2sina ·cosa,﹙sina-cosa ﹚2＝1-2sina ·cosa,所以在sina ＋cosa , sina-cosa ,sina ·cosa 三个式子中只要知道其中任意一个的值，就可求另两个的值，也称“知一求二”.例4.已知sina ＋cosa ＝55，求sina-cosa 的值 解：∵﹙sina ＋cosa ﹚2＝1+2sina ·cosa ，∴﹙55﹚2＝1+2sina ·cosa,∴sinacosa ＝52-，∴﹙sina-cosa ﹚2＝1-2sina ·cosa ＝9／5，所以sina －cosa ＝553±，练习：已知sina ＋cosa ＝1／5﹙1﹚求sina ·cosa 的值，﹙2﹚若p 21＜a ＜p ，求a sin 1+()a p -cos 1的值④思想方法提升：本节有四种题型：﹙1﹚“知一求二”；﹙2﹚弦切转化；﹙3﹚三角恒等式的证明；﹙4﹚sina＋cosa ，sina-cosa ，sina ·cosa 的关系应用，其中﹙1﹚和﹙4﹚的本质是方程思想，﹙2﹚和﹙3﹚的关键是转化思想二 课内自测1.①=2205sin （ ） A ．21 B ．21- C ．22 D ．22-②角a （0<a<2π）的正、余弦线的长度相等，且正、余弦符号相异．那么a 的值为（ ）A ．π4B ．3π4C ．7π4D ．3π4 或 7π4③已知sin α=－53，α∈(23π，2π)，则tan α等于（ ）A.－34 B.34 C.－43 D.43④已知24sin 25α=-，α是第四象限角，则tan α的值是（ ）A ．24± B ．724± C ．24- D ．724-⑤若tan α322παπ<<，则sin α=（ ） A. 12- B. 12⑥若2cos sin 2cos sin =-+αααα，则=αtan （）A ．1 B ． -1 C ．43 D ．34- ⑦若sin 4a ＋cos 4a ＝1，则sina ＋cosa 的值为( ) A 0 B 1 C －1 D ±1 2.①化简222222sin sin sin cos sin sin αβαβαβ+--的结果为 ；②若2sin cos ,ααα+=则tan α= .③下列说法正确的有A sin 2﹙α+β﹚+cos 2﹙α+β﹚＝1B sin 2 2a+cos 2 2a ＝1C sin 2α+cos 2β＝1D cos500tan500＝sin500E tan900＝sin900／cos900F cos 20.5a ＝1-sin 20.5a ④已知α∈(π，2π)，tan α=1／2，则ααcos sin +=______________ ⑤已知31cos sin =+αα，则=ααcos sin _________________________ 3.解答题 ﹙1﹚已知4sin 5α=，且α是第二象限角，求cos α、tan α的值﹙2﹚已知4cos 5α=-，求sin ,tan αα的值﹙3﹚已知αtan =5-，且a 是第二象限角，求sina ，cosa 的值﹙4﹚已知sina-cosa ＝55-﹐1800＜a ＜2700﹐求tana 的值﹙5﹚已知sina ＝－53，且a 在第三象限，求cosa 和tana﹙6﹚已知cosa ＝－35，求sina ，tana 的值﹙7﹚已知tana ，求sin 2a ，sina ·cosa 的值.﹙8﹚已知21tan -=α，求αααα22cos 2cos sin sin 1--的值.﹙9﹚已知sin cos a a +，求sin -cos a a 的值.﹙10﹚化简︒--︒︒︒-170cos 110cos 10cos 10sin 212三 课堂达标1.①cosa=4／5，a ∈（0，π），则tana=（ ）A ．4／3 B ．3／4 C ．±4／3 D ．±3／4②若322παπ<<，则sina=（ ）A. -1／2 B. -3／2 C. 1／2 B. 3／2③若2cos sin 2cos sin =-+αααα，则tana （ ）A ．1 B ． -1 C ．3／4 D ．-4／3④已知sina+3cosa ＝0，则a 所在的象限是（ ）象限 A 、第一 B 、第二 C 、第一、三 D 、第二、四 ⑤已知A 是三角形的一个内角，sinA ＋cosA=2／3,则这个三角形是（ ）A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．不等腰直角三角形D ．等腰直角三角形⑥已知sinacosa=1／8,则cosa －sina 的值等于（ ）A ．±3／4 B ．±3／2 C ．3／2 D ．-3／2）A ．cos190B ．sin190C ．sin190-D ．cos190-⑧若sina ，cosa 是方程4x 2+2mx+m=0的两根，则m 的值为（ ）A ．51+B ．51-C ．51±D ．51--2. ①化简： 440sin 12-＝ ②若ααααsin 3cos 5cos 2sin 4+-＝10，则tana 的值为③化简sin 2a+sin 2B-sin 2a ·sin 2B+cos 2a ·cos 2B=④若15tan =α，则=αcos ；=αsin⑤已知0＜a ＜π，sina ·cosa=-12／25，则cosa-sina= ⑥已知θ是第三象限角，且sin 4θ+cos 4θ=5／9，则sin θ·cos θ= ⑦如果角θ满足sin θ+cos θ=2，那么tan θ+θtan 1的值是 ⑧若sina ，cosa 是方程x 2+kx-k=0的两根，则k 的值为 3．解答题 （1）已知1312cos =θ，且θ为第四象限角，求θsin 和θtan（2）已知31sin -=x ，求x cos 和x tan（3）化简：1tan cos sin --θθθ（4）已知tana=2，求下列各式的值：①sin cos sin cos αααα+- ②sina ·cosa ③223sin 4sin cos cos αααα-+（5）已知sinB+cosB ＝1／5，且0＜B ＜π，①求sinB ·cosB 、sinB-cosB 的值； ②求sinB 、cosB 、tanB 的值（6）已知αtan =2，求下列各式的值：（1）sin cos sin cos αααα+- （2）α2sin αsin 2+αcos α2cos 3-（7）已知αsin αcos +＝34，求下列各式的值：（1）αsin αcos ；（2）αα33cos sin +；（3）αα44cos sin +（8）已知tana=-4／3，求下列式子的值.（1）a a a a cos 2sin 5cos 4sin +- (2) aa 22sin cos 1-（9）化简下列各式：①440sin 12- ②ααααcos 1cos 1cos 1cos 1+-+-+﹙1800＜a ＜2700﹚ ③().1tan cos sin 3--θθθ（10）求证：①αα+=α-αcos sin 1sin 1cos ②x x xx 2222sin cos tan 1tan 1-=+-.（11）求证：ααααsin cos 1cos 1sin -=+（12）求证：442sin cos 2sin 1θθθ-=-﹙13﹚化简tan α在第二象限（14）求证：tan 2a-sin 2a=tan 2a ·sin 2a（15）已知方程0)13(22=++-m x x 的两根分别是sin θ，cos θ，求θθθθtan 1cos cot 1sin -+-的值。