R L C串联电路的暂态特性

R 、L 、C 串联电路的暂态特性实验实验目的1. 通过对RC 和RL 电路暂态过程的学习，加深对电容和电感特性的认识。

2. 考察与研究RLC 串联电路暂态过程的三种状态。

3. 学习使用方波信号与双踪示波器，显示暂态信号。

实验原理1. RC 电路的暂态过程：RC 电路的暂态过程也就是RC 电路的充电过程。

在图1所示的电路中，开关K 拨向1后，接通电源，电源E 便通过电路对电容器C 进行充电，电容器上的电荷q 逐渐积累，电容两端的电压C U 便增加，同时电阻两端的电压C R U E U -=随之减小。

当电容上电压充电到E ，将开关K 由1很快拨向2，电容器C 已带有电荷q ，而电容上电压CqU c =，所以电容上的电荷通过R 开始放电，C U 减小至零。

充电过程：K 置1充电过程，电路方程是： iR CqE +=（1） 将电流dt dq i =代入（1）式：充电方程： dtdqR C q E += （2）满足初始条件t=0，00=q 方程（2）的解： )1()(RC t e CE t q --=)1()()(RC t C e E C t q t U --==RC t e REt I -⋅=)( （3） 放电过程：当K 从1很快换向2，电路方程： 0=+iR Cq（4）将电流dt dq i =代入（4）：放电方程： 0=+dtdqR C q （5）满足初始条件t=0，CE q =0 ，方程（5）的解：RC t CEe t q -=)(RC t C e E C t q t U -⋅==)()( RC t e REt I -⋅-=)( （6） 从以上充、放电过程各式中可知：（1） RC 电路充、放电过程相似，电容电压)(t U c 和电路电流I(t)均按指数规律变化，见图1.（2） RC 电路中，τ=RC 称为时间常数，RC 越大，充电和放电过程越慢。

它标志着电路充电变化快慢。

当τ=t 时，充电电容的电压E e E U C 632.0)1(1=-=-。

（3） 由于电容两端的电压不能突变，电容C 相当于一个“短路元件”，充电初始t=0时，0=C U ，电流REI =0为最大。

从理论上说，t 为无穷大时，才有E U C =，i =0，即充电过程结束，所以，E 称为充电终止电压，这时电容C 相当于一个“开路元件”。

由于τ5=t 时，E e E U C 993.0)1(5=-=-，则可以认为已充电完毕。

实验反映了电容具有高频短路、低频开路的性质。

2. RL 电路的暂态过程一个自感与电阻串联组成的RL 电路（见图2）。

在E 直流电源下（当开关K 拨到1时），电路接通，由于电感L 的电流不能突变，电感产生自感电动势dtdiL U L -=，电路方程为：E iR dtdiL =+（7）由于自感电动势与E 电源方向相反，电流只能从零逐渐增加。

故初始条件t=0时，i =0，得方程解：)1()(t LRe RE t I --= t L RL e E t U -⋅=)( （8）可见，电流由零增长到一定过程后，才达到稳定状态，这个过程也是一个指数变化的过程。

当电流达到稳定状态后，再将图2中的K 由1很快拨到2，因为电感上的电流仍不能突变，电路方程：0=+iR dtdiL （9）此处，初始值t =0时，R E i =0，解方程得：tL Re RE t I -⋅=)( t L RL e E U -⋅-= （10）从以上RL 电路暂态过程各方程式中可知：（1） RL 暂态电路两过程相似，电路电流I （t ）与电感电压)(t U L 均按指数规律变化，见图2右。

（2） 同样，RL 电路中τ=R L 称为时间常数，RL越大，电流变化过程就越慢。

它标志着电路电流变化快慢。

同样当τ=t 时，电路电流010632.0)1()(I e I t I =-=-。

（3） 由于电感的电流不能突变，当电路电源接通瞬时，电感相当于一个“开路元件”；从理论上说，t 为无穷大时，有0=L U ，REi =，这时电感相当于一个“短路元件”。

所以电路电流REi =称为终止电流。

由于τ5=t 时，050993.0)1()(I e I t I =-=-，则可认为暂态过程已基本结束。

实验反映了电感具有高频开路、低频短路的性质。

3. RLC 串联电路的暂态过程电路如图3所示。

与上述RC 、RL 电路类似。

这个电路的微分方程： 充电：E q C dt dq R dtq d L =++122放电： 0122=++q C dt dq R dtq d L （11） RLC 串联电路暂态方程是二阶线性常系数（非齐次与齐次）微分方程。

我们知道，电容和电感是储能元件，能量的转换是可逆的。

而电阻是耗散性元件，其电能单向转换化为热能，成为电路主要的阻尼因数。

所以求解方程，在不同阻尼度情况下，可得到方程的三个解。

方程求解所得阻尼度： LCR 2=λ （12） 为简单起见，仅讨论开关K 先拨到1，使电容充电到E ，然后K 很快拨向2，电容就在闭合的RLC 电路中放电的过程。

根据初始条件t=0时，E U C =，0=dtdq，方程的解分为三种情况：（1）1<λ，CLR 42< 即阻尼较小时，方程解为：)c o s ()(ϕωτ+⋅⋅=-t e CE t q t（13）衰减振荡的角频率： L CR LC 4112-=ω （14） C U 随时间变化的规律如图3右中曲线I 所示，称为阻尼振荡状态（也称欠阻尼状态）。

此时阻尼振荡的振幅呈指数衰减，R 越大振幅衰减越迅速。

这是因为电阻是耗能元件，它把电磁能转化为焦耳热。

如果CLR 42<<，R 很小时，振幅的衰减会很缓慢，变为等幅振荡形式，角频率与与周期将是：01ωω=≈LCLC T πωπ220==（15）0ω为仅有LC 电路的固有角频率。

（2） 1>λ，CLR 42>，即阻尼较大时（也称过阻尼状态），其方程解为： )()(t t at Be Ae e t q ββ--+= （16）式中，LR2=α，LC LR 1422-=β。

A 、B 为任意常数，需由起始条件来决定。

t U C -变化关系见图3右中曲线III ，可看出在过阻尼状态下，)(t q 按指数规律衰减。

R 越大，)(t q 衰减到零的过程就越慢。

（3）1=λ，CLR 42=，对应于临界阻尼状态，其方程解为： at e t B A t q -'+'=)()( （17）式中A '、B '为任意常数，需要由起始条件决定。

t U C -变化关系见图3右中曲线II 。

可见在临界阻尼状态，)(t q 按指数规律衰减到零的过程最快，时间最短。

同样在初始条件为0=t 时，0=q ，0=dtdq，可解得充电方程的解。

充电过程和放电过程十分类似，只是最后趋向的平衡位置不同。

用示波器显示RLC 串联电路的暂态过程，可以用方波信号代替时通时断的直流电源，因为方波信号在半个周期中为0，在半个周期中为E 。

因此，在一个方波周期内，可以模拟开关K 接通1，并从1波向2的过程。

只有在方波信号连续不断的循环中，才能从示波器屏幕上显示出RLC 各电路的暂态过程。

实验内容1. RC 电路的暂态过程研究：q-t 曲线的观测：按图4接线。

实验中用一方波信号代替图1中的电源E 和开关K 。

注意示波器的各输入信号的地线必须接在一起。

因为cqU c =，将双踪示波器a Y 端接电容C 两端，测cqU c =。

为便于比较，将b Y 端接方波发生器。

实验建议取电容uf C 05.0=，方波发生器输出频率f =1K Hz ，分别取电阻R=1K 、10K Ω，观察双踪示波屏幕上同时出现的方波与C U 信号。

I-t 曲线的观测：因为iR U R =，电流)(t I 与)(t U R 随时间t 变化的规律相同，所以电阻R 两端电压波形)(t U R 和电流波形I （t ）等效。

将图4电路中电阻与电容交换一下位置，然后将双踪示波器a Y 端接电阻R 两端。

观察双踪示波器屏幕上同时出现的方波与电阻R U 信号。

2. RL 电路暂态过程研究；实验内容与步骤和RC 电路实验的暂态过程相类似。

实验主要观察电感两端的电压L U 随时间t 变化的规律L U -t ，及电路电流I 随时间t 变化的规律I-t 关系。

3.RLC 电路的暂态过程研究：实验通过观察q-t 关系曲线，研究RLC 串联电路三种暂态过程状态：即欠阻尼状态、临界阻尼状态、过阻尼状态。

由于t q t U C )()(=，所以)(t q 的波形完全相似，于是在示波器上就能观察到在不同R 下的)(t q 随时间变化的三种状态。

（1） 参考图5接线，方波信号自己连接。

理论设计电感、电容与方波发生器的频率f ，并调节电阻箱R 使产生如图3右所示RLC 串联电路欠阻尼振荡状态、过阻尼状态、临界阻尼状态。

（2） 计算临界阻尼状态时回路总电阻的实验值（包括电阻R 、电感的损耗电阻L R 和方波发生器的内阻r ），与理论值C L R 40=比较。

（3） 测量欠阻尼振荡周期T ，将测量值T 与理论值0T 比较（π20=T ，L CR LC 4112-=ω）。

实验仪器与器材方波信号发生器、双踪示波器、电阻箱、电容箱、电感、接线等。