八年级几何证明题

几何证明题
1、已知：如图1所示，∆ABC 中，∠=︒===C AC BC AD DB AE CF 90，，，。

求证：DE ＝DF
2、已知：如图2所示，AB ＝CD ，AD ＝BC ，AE ＝CF 。

求证：∠E ＝∠F
3、如图3所示，设BP 、CQ 是∆ABC 的内角平分线，AH 、AK 分别为A 到BP 、CQ 的垂线。

求证：KH ∥BC
4、已知：如图4所示，AB ＝AC ，∠，，A AE BF BD DC =︒==90。

求证：FD ⊥ED
5、已知：如图6所示在∆ABC 中，∠=︒B 60，∠BAC 、∠BCA 的角平分线AD 、CE 相交于O 。

求证：AC ＝AE ＋CD
6、已知：如图7所示，正方形ABCD 中，F 在DC 上，E 在BC 上，∠=︒EAF 45。

求证：EF ＝BE ＋DF
7、如图8所示，已知∆ABC 为等边三角形，延长BC 到D ，延长BA 到E ，并且使AE ＝BD ，连结CE 、DE 。

求证：EC ＝ED
8、例题：已知：如图9所示，∠=∠>12，AB AC 。

求证：BD DC >
作业
1. 已知：如图11所示，∆ABC 中，∠=︒C 90，D 是AB 上一点，DE ⊥CD 于D ，交BC 于E ，且有AC AD CE ==。

求证：DE CD =
1
2
C
图11
A
B D E
2. 已知：如图
求证：BC ＝
3. 已知：如图13所示，过∆ABC 的顶点A ，在∠A 内任引一射线，过
B 、
C 作此射线的垂线BP 和CQ 。

设M 为BC 的中点。

求证：MP ＝MQ
4. ∆ABC 中，∠=︒⊥BAC AD BC 90，于D ，求证：()AD AB AC BC <
++4
【试题答案】
1、 分析：由∆ABC 是等腰直角三角形可知，∠=∠=︒A B 45，由D 是AB 中点，可考虑连结CD ，易得CD AD =，∠=︒DCF 45。

从而不难发现∆∆DCF DAE ≅
证明：连结CD
AC BC A B
ACB AD DB
CD BD AD DCB B A AE CF A DCB AD CD
=∴∠=∠∠=︒=∴==∠=∠=∠=∠=∠=90，，，，
∴≅∴=∆∆ADE CDF
DE DF
说明：在直角三角形中，作斜边上的中线是常用的辅助线；在等腰三角形中，作顶角的平分线或底边上的中线或高是常用的辅助线。

显然，在等腰直角三角形中，更应该连结CD ，因为CD 既是斜边上的中线，又是底边上的中线。

本题亦可延长ED 到G ，使DG ＝DE ，连结BG ，证∆EFG 是等腰直角三角形。

有兴趣的同学不妨一试。

2、证明：连结AC
在∆ABC 和∆CDA 中，
AB CD BC AD AC CA ABC CDA SSS B D AB CD AE CF
BE DF
===∴≅∴∠=∠==∴=，，，∆∆()
在∆BCE 和∆DAF 中，
BE DF B D BC DA BCE DAF SAS E F
=∠=∠=⎧⎨⎪
⎩
⎪∴≅∴∠=∠∆∆()
说明：利用三角形全等证明线段求角相等。

常须添辅助线，制造全等三角形，这时应注意：1制造的全等三角形应分别包括求证中一量；2添辅助线能够直接得到的两个全等三角形。

3、分析：由已知，BH 平分∠ABC ，又BH ⊥AH ，延长AH 交BC 于N ，则BA ＝BN ，AH ＝HN 。

同理，延长AK 交BC 于M ，则CA ＝CM ，AK ＝KM 。

从而由三角形的中位线定理，知KH ∥BC 。

证明：延长AH 交BC 于N ，延长AK 交BC 于M ∵BH 平分∠ABC
∴=∠∠ABH NBH 又BH ⊥AH ∴==︒∠∠AHB NHB 90 BH ＝BH
∴≅∴==∆∆ABH NBH ASA BA BN AH HN
()，
同理，CA ＝CM ，AK ＝KM ∴KH 是∆AMN 的中位线 ∴KH MN // 即KH//BC 说明：当一个三角形中出现角平分线、中线或高线重合时，则此三角形必为等腰三角形。

我们也可以理解成把一个直角三角形沿一条直角边翻折（轴对称）而成一个等腰三角形。

4、 证明一：连结AD
AB AC BD DC
DAE DAB BAC BD DC BD AD
B DAB DAE
==∴+=︒==︒=∴=∴==，∠∠，∠∠∠，∠∠∠129090
在∆ADE 和∆BDF 中， AE BF B DAE AD BD
ADE BDF
FD ED
===∴≅∴∠=∠∴∠+∠=︒
∴⊥，∠∠，∆∆31
3290
说明：有等腰三角形条件时，作底边上的高，或作底边上中线，或作顶角平分线是常用
AB AC BF AE AF CE BM
==∴==，
∴≅∴==∴⊥∆∆AEF BFM
FE FM DM DE FD ED
说明：证明两直线垂直的方法如下：（1）首先分析条件，观察能否用提供垂直的定理得到，包括添常用辅助线，见本题证二。

（2）找到待证三直线所组成的三角形，证明其中两个锐角互余。

（3）证明二直线的夹角等于90°。

5、 分析：在AC 上截取AF ＝AE 。

易知∆∆AEO AFO ≅，∴∠=∠12。

由∠=︒B 60，知∠+∠=︒∠=︒∠+∠=︒566016023120，，。

∴∠=∠=∠=∠=︒123460，得：
∆∆FOC DOC FC DC ≅∴=，
证明：在AC 上截取AF ＝AE
()
∠=∠=∴≅∴∠=∠BAD CAD AO AO
AEO AFO SAS ，∆∆42
又∠=︒B 60 ∴∠+∠=︒∴∠=︒
∴∠+∠=︒
∴∠=∠=∠=∠=︒
∴≅∴=566016023120123460∆∆FOC DOC AAS FC DC
() 即AC AE CD =+
6、分析：此题若仿照例1，将会遇到困难，不易利用正方形这一条件。

不妨延长CB 至G ，使BG ＝DF 。

证明：延长CB 至G ，使BG ＝DF 正方形ABCD 中，
∠=∠=︒=ABG D AB AD 90，
∴≅∴=∠=∠∆∆ABG ADF SAS AG AF ()，13
又∠=︒EAF 45
∴∠+∠=︒∴∠+∠=︒
23452145 即∠GAE ＝∠FAE
∴=∴=+GE EF EF BE DF
7、证明：作DF//AC 交BE 于F ∆ABC 是正三角形 ∴∆BFD 是正三角形 又AE ＝BD
∴==∴==AE FD BF BA AF EF
即EF ＝AC
AC FD
EAC EFD EAC DFE SAS EC ED
//()∴∠=∠∴≅∴=∆∆
8、证明一：延长AC 到E ，使AE ＝AB ，连结DE 在∆ADE 和∆ADB 中，
AE AB AD AD ADE ADB
BD DE E B DCE B
DCE E
DE DC BD DC
=∠=∠=∴≅∴=∠=∠∠>∠∴∠>∠∴>∴>，，，，21∆∆
∴=∴=1
2
CF ED
DE CD
2. 分析：本题从已知和图形上看好象比较简单，但一时又不知如何下手，那么在证明一条线段等于两条线段之和时，我们经常采用“截长补短”的手法。

“截长”即将长的线段截，使CE ＝CB ，连结ED
CB CE BCD ECD CD CD CBD CED B E BAC B BAC E
=∠=∠=⎧⎨⎪
⎩
⎪∴≅∴∠=∠∠=∠∴∠=∠∆∆22
又∠=∠+∠BAC ADE E ∴∠=∠∴=
ADE E AD AE
，。