圆的二元方程
二元二次方程表示圆的充要条件是
二元二次方程表示圆的充要条件是一个非常重要且基础的数学概念。
在数学中，二元二次方程和圆有着密切的联系，它们之间的关系可以帮助我们更深入地理解圆的特性和性质。
在本文中，我将以从简到繁的方式探讨二元二次方程表示圆的充要条件，并共享我的个人观点和理解。
让我们回顾一下二元二次方程的一般形式：$Ax^2 + By^2 + Cx +Dy + E = 0$。
这是一个关于$x$和$y$的二次方程，其中$A$、$B$、$C$、$D$和$E$都是常数且$A$和$B$不全为零。
而圆的一般方程可以表示为$(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$，其中$(a, b)$是圆心的坐标，$r$是圆的半径。
那么，二元二次方程可以表示圆的充要条件是什么呢？其实，二元二次方程表示圆的充要条件包括两个方面：其一是通过几何推导，我们可以得出一个方程为圆的充分条件并证明其必要性；其二是通过代数推导，我们可以利用二次方程的特性来表示圆并证明其充分必要性。
从几何的角度来看，我们知道圆是由到圆心距离相等的所有点构成的几何图形。
如果一个二元二次方程能够表示一个圆，那么这个方程能够描述所有到圆心距离相等的点。
这意味着，对于圆上的任意一点$(x, y)$，它到圆心$(a, b)$的距离应该等于半径$r$。
通过这个几何特性，我们可以得出二元二次方程表示圆的一种充分条件。
另通过代数推导，我们可以将圆的方程$(x - a)^2 + (y - b)^2 =r^2$展开得到$x^2 - 2ax + a^2 + y^2 - 2by + b^2 - r^2 = 0$，然后比较系数得到$A = B = 1$，$C = -2a$，$D = -2b$和$E = a^2 + b^2 - r^2$。
这样，我们就可以将圆的方程转化为二元二次方程的一般形式。
反过来，如果一个二元二次方程的系数满足$A = B$且$C = D$，而且满足$(C/2A, D/2A)$是圆心且$E = a^2 + b^2 - r^2$，那么这个二元二次方程就能表示一个圆。
圆 的 方 程
2 2
C．30°
D．120°
解析：⊙C：(x－1) ＋(y－1) ＝1，∵PA、PB 是⊙C 的 两条切线， ∴△PAC≌△PBC， ∴四边形 PACB 面积最小， 即△PAC 面积最小，∵AC 为⊙C 的半径，∴只要 PA 取 最小值，从而 PC 取最小值，∴PC 与已知直线垂直， ∴|PC|＝2，∴∠APB＝2∠APC＝60°.
2 2
2 与 x 轴相切的圆方程： x a y b b r b ；
2 与 y 轴相切的圆方程： x a y b a r a ； 2 2
(2)一般式：x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)，
把 x ＋y ＋Dx＋Ey＋F=0
二元二次方程表示圆当且仅当 2 2 A=C≠0，B=0 ，D +E -4AF>0。
3、点与圆的位置关系： 2 2 2 若圆(x-a) +(y-b) =r ，那么点(x0,y0)在
圆上 x0 a 2 y 0 b 2 r 2 2 2 2 圆内 x0 a y 0 b r 圆外 x a 2 y b 2 r 2 0 0
二、典例讨论： 1.圆的基本概念
例1、（1）一束光线从A（－1，1）出发经x轴反射 到圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1上的最短路程是____.
（2）圆x2＋y2＋2x＋4y－3=0上到直线l：x＋y＋b=0之
距离为
2
的点有2 个,则b 的范围为
.
2、求圆方程
例2、根据下列条件，求圆的方程。 （1）圆心在直线2x+y=0上，且与直线x+y-1=0切于 点（2，-1）. (2)已知一圆过P(4，-2)、Q(-1，3)两点，且在y轴 上截得的线段长为4 3 ，求圆的方程。
第三节 圆的方程
第三节圆的方程1．圆的定义及方程如果没给出r＞0，则圆的半径为|r|.当D2＋E2－4F＝0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示一个点⎝⎛⎭⎫－D2，－E2；当D2＋E2－4F＜0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0没有意义，不表示任何图形．2．点与圆的位置关系点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系：(1)若M(x0，y0)在圆外，则(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2.(2)若M(x0，y0)在圆上，则(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2.(3)若M(x0，y0)在圆内，则(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2.[熟记常用结论](1)二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF＞0.(2)以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)·(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.[小题查验基础]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)确定圆的几何要素是圆心与半径．()(2)方程(x－a)2＋(y－b)2＝t2(t∈R)表示圆心为(a，b)，半径为t的一个圆．()(3)方程x2＋y2＋4mx－2y＝0不一定表示圆．()(4)若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则x20＋y20＋Dx0＋Ey0＋F＞0.()答案：(1)√ (2)× (3)× (4)√ 二、选填题1．圆心坐标为(1,1)且过原点的圆的方程是( ) A ．(x －1)2＋(y －1)2＝1 B ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1 C ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2D ．(x －1)2＋(y －1)2＝2解析：选D 由题意得圆的半径为2，故该圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2，故选D. 2．圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0的圆心坐标是( ) A ．(2,3) B.(－2,3) C ．(－2，－3)D ．(2，－3)解析：选D 圆的方程可化为(x －2)2＋(y ＋3)2＝13，所以圆心坐标是(2，－3)． 3．若点(2a ，a －1)在圆x 2＋(y －1)2＝5的内部，则a 的取值范围是( ) A ．(－1,1) B.(0,1) C.⎝⎛⎭⎫－1，15 D.⎝⎛⎭⎫－15，1 解析：选D 由(2a )2＋(a －2)2＜5，得－15＜a ＜1.4．若方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆，则a 的取值范围是________． 解析：若方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆，则a 2＋4a 2－4(2a 2＋a －1)＞0，即3a 2＋4a －4＜0，解得－2＜a ＜23.答案：⎝⎛⎭⎫－2，23 5．圆心在y 轴上，半径长为1，且过点A (1,2)的圆的方程是________．解析：根据题意可设圆的方程为x 2＋(y －b )2＝1，因为圆过点A (1,2)，所以12＋(2－b )2＝1，解得b ＝2，所以所求圆的方程为x 2＋(y －2)2＝1.答案：x 2＋(y －2)2＝1考点一 求圆的方程[师生共研过关][典例精析][例1] 已知圆E 经过三点A (0,1)，B (2,0)，C (0，－1)，且圆心在x 轴的正半轴上，则圆E 的标准方程为( )A.⎝⎛⎭⎫x －322＋y 2＝254B.⎝⎛⎭⎫x ＋342＋y 2＝2516C.⎝⎛⎭⎫x －342＋y 2＝2516D.⎝⎛⎭⎫x －342＋y 2＝254[解析] 法一：(待定系数法)设圆E 的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F＞0)，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1＋E ＋F ＝0，4＋2D ＋F ＝0，1－E ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－32，E ＝0，F ＝－1，所以圆E 的一般方程为x 2＋y 2－32x －1＝0，即⎝⎛⎭⎫x －342＋y 2＝2516. 法二：(几何法)因为圆E 经过点A (0,1)，B (2,0)，所以圆E 的圆心在线段AB 的垂直平分线y －12＝2(x －1)上．又圆E 的圆心在x 轴的正半轴上，所以圆E 的圆心坐标为⎝⎛⎭⎫34，0. 则圆E 的半径为|EB |＝ ⎝⎛⎭⎫2－342＋(0－0)2＝54，所以圆E 的标准方程为⎝⎛⎭⎫x －342＋y 2＝2516. [答案] C[例2] 圆心在直线x －2y －3＝0上，且过点A (2，－3)，B (－2，－5)的圆的方程为________________________．[解析] 法一：(几何法)设点C 为圆心，因为点C 在直线x －2y －3＝0上，所以可设点C 的坐标为(2a ＋3，a )．又该圆经过A ，B 两点，所以|CA |＝|CB |， 即(2a ＋3－2)2＋(a ＋3)2＝(2a ＋3＋2)2＋(a ＋5)2，解得a ＝－2，所以圆心C 的坐标为(－1，－2)，半径r ＝10， 故所求圆的方程为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝10.法二：(待定系数法)设所求圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧(2－a )2＋(－3－b )2＝r 2，(－2－a )2＋(－5－b )2＝r 2，a －2b －3＝0，解得a ＝－1，b ＝－2，r 2＝10，故所求圆的方程为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝10. [答案] (x ＋1)2＋(y ＋2)2＝10[解题技法]1．求圆的方程的两种方法[提醒] 解答圆的有关问题时，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质． 2．确定圆心位置的方法(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上． (2)圆心在圆的任意弦的垂直平分线上． (3)两圆相切时，切点与两圆圆心共线．[过关训练]1．若不同的四点A (5,0)，B (－1,0)，C (－3,3)，D (a,3)共圆，则a 的值为________． 解析：设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)， 分别代入A ，B ，C 三点坐标，得⎩⎪⎨⎪⎧25＋5D ＋F ＝0，1－D ＋F ＝0，9＋9－3D ＋3E ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－4，E ＝－253，F ＝－5.所以A ，B ，C 三点确定的圆的方程为x 2＋y 2－4x －253y －5＝0.因为D (a,3)也在此圆上，所以a 2＋9－4a －25－5＝0. 所以a ＝7或a ＝－3(舍去)．即a 的值为7. 答案：72．已知圆心在直线y ＝－x ＋1上，且与直线x ＋y －2＝0相切于点(1,1)的圆的方程为________________________．解析：设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)，则⎩⎨⎧b ＝－a ＋1，(a －1)2＋(b －1)2＝|a ＋b －2|2，解得⎩⎨⎧a ＝12，b ＝12.所以r ＝⎝⎛⎭⎫1－122＋⎝⎛⎭⎫1－122＝22. 故所求圆的方程为⎝⎛⎭⎫x －122＋⎝⎛⎭⎫y －122＝12. 答案：⎝⎛⎭⎫x －122＋⎝⎛⎭⎫y －122＝12考点二 与圆有关的最值问题 [全析考法过关][考法全析]考法(一) 斜率型最值问题[例1] 已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0，求yx 的最大值和最小值．[解] 原方程可化为(x －2)2＋y 2＝3， 表示以(2,0)为圆心，3为半径的圆． yx 的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设yx＝k ，即y ＝kx .当直线y ＝kx 与圆相切时(如图)，斜率k 取最大值或最小值， 此时|2k －0|k 2＋1＝3，解得k ＝±3.所以yx 的最大值为3，最小值为－ 3.考法(二) 截距型最值问题[例2] 已知点P (x ，y )在圆C ：x 2＋y 2－6x －6y ＋14＝0上，求x ＋y 的最大值与最小值．[解] (转化为截距的最值问题求解)设x ＋y ＝b ，则b 表示动直线y ＝－x ＋b 在y 轴上的截距，显然当动直线y ＝－x ＋b 与圆C 相切时，b 取得最大值或最小值，如图所示．由圆心C (3,3)到切线x ＋y ＝b 的距离等于圆C 的半径，可得|3＋3－b |12＋12＝2，即|b －6|＝22，解得b ＝6±22，所以x ＋y 的最大值为6＋22，最小值为6－2 2.考法(三) 距离型最值问题[例3] 已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0，求x 2＋y 2的最大值和最小值． [解] 如图所示，x 2＋y 2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值．又圆心到原点的距离为(2－0)2＋(0－0)2＝2，所以x 2＋y 2的最大值是(2＋3)2＝7＋43， x 2＋y 2的最小值是(2－3)2＝7－4 3. 考法(四) 利用对称性求最值[例4] 已知A (0,2)，点P 在直线x ＋y ＋2＝0上，点Q 在圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＝0上，则|PA |＋|P Q |的最小值是________．[解析] 因为圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＝0， 故圆C 是以C (2,1)为圆心，半径r ＝5的圆．设点A (0,2)关于直线x ＋y ＋2＝0的对称点为A ′(m ，n )， 故⎩⎪⎨⎪⎧m ＋02＋n ＋22＋2＝0，n －2m －0＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－4，n ＝－2，故A ′(－4，－2)．连接A ′C 交圆C 于Q (图略)，由对称性可知|PA |＋|P Q |＝|A ′P |＋|P Q |≥|A ′Q |＝|A ′C |－r ＝2 5.[答案] 2 5[规律探求][过关训练]1．已知点A(－1,0)，B(0,2)，点P是圆C：(x－1)2＋y2＝1上任意一点，则△PAB面积的最大值与最小值分别是()A．2,2－52B．2＋52，2－52C.5，4－ 5D.52＋1，52－1解析：选B由题意知|AB|＝(－1)2＋(－2)2＝5，l AB：2x－y＋2＝0，由题意知圆C的圆心坐标为(1,0)，∴圆心到直线l AB的距离d＝|2－0＋2|4＋1＝455.∴S △PAB 的最大值为12×5×⎝⎛⎭⎫455＋1＝2＋52，S △PAB 的最小值为12×5×⎝⎛⎭⎫455－1＝2－52.2．设P 为直线3x －4y ＋11＝0上的动点，过点P 作圆C ：x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的两条切线，切点分别为A ，B ，则四边形PACB 的面积的最小值为________．解析：圆的标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1，圆心为C (1,1)，半径r ＝1，根据对称性可知，四边形PACB 的面积为2S △APC ＝2×12|PA |r ＝|PA |＝|PC |2－r 2，要使四边形PACB 的面积最小，则只需|PC |最小，|PC |最小时为圆心到直线l ：3x －4y ＋11＝0的距离d ＝|3－4＋11|32＋(－4)2＝105＝2.所以四边形PACB 面积的最小值为(|PC |min )2－r 2＝4－1＝ 3.答案： 3考点三 与圆有关的轨迹问题 [师生共研过关][典例精析]已知直角三角形ABC 的斜边为AB ，且A (－1,0)，B (3,0)． (1)求直角顶点C 的轨迹方程；(2)求直角边BC 的中点M 的轨迹方程．[解] (1)设C (x ，y )，因为A ，B ，C 三点不共线，所以y ≠0.因为AC ⊥BC ，所以k AC ·k BC ＝－1，又k AC ＝y x ＋1，k BC ＝y x －3，所以y x ＋1·yx －3＝－1，化简得x 2＋y 2－2x －3＝0.因此，直角顶点C 的轨迹方程为x 2＋y 2－2x －3＝0(y ≠0)．(2)设M (x ，y )，C (x 0，y 0)，因为B (3,0)，M 是线段BC 的中点，由中点坐标公式得x ＝x 0＋32，y ＝y 0＋02，所以x 0＝2x －3，y 0＝2y .由(1)知，点C 的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝4(y ≠0)， 将x 0＝2x －3，y 0＝2y 代入得(2x －4)2＋(2y )2＝4(y ≠0)， 即(x －2)2＋y 2＝1(y ≠0)．因此动点M 的轨迹方程为(x －2)2＋y 2＝1(y ≠0)．[解题技法]求与圆有关轨迹问题的3种方法(1)直接法：当题目条件中含有与该点有关的等式时，可设出该点的坐标，用坐标表示等式，直接求解轨迹方程．(2)定义法：当题目条件符合圆的定义时，可直接利用定义确定其圆心和半径，写出圆的方程．(3)代入法：当题目条件中已知某动点的轨迹方程，而要求的点与该动点有关时，常找出要求的点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式求轨迹方程．[过关训练]1．自圆C ：(x －3)2＋(y ＋4)2＝4外一点P (x ，y )引该圆的一条切线，切点为Q ，P Q 的长度等于点P 到原点O 的距离，则点P 的轨迹方程为( )A ．8x －6y －21＝0B ．8x ＋6y －21＝0C ．6x ＋8y －21＝0D ．6x －8y －21＝0解析：选D 由题意得，圆心C 的坐标为(3，－4)，半径r ＝2，如图．因为|P Q |＝|PO |，且P Q ⊥C Q ，所以|PO |2＋r 2＝|PC |2，所以x 2＋y 2＋4＝(x －3)2＋(y ＋4)2，即6x －8y －21＝0，所以点P 的轨迹方程为6x －8y －21＝0，故选D.2．设定点M (－3,4)，动点N 在圆x 2＋y 2＝4上运动，以OM ，ON 为两边作平行四边形MONP ，求点P 的轨迹．解：如图，设P (x ，y )，N (x 0，y 0)， 则线段OP 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫x 2，y 2，线段MN 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－32，y 0＋42.因为平行四边形的对角线互相平分，所以x 2＝x 0－32，y 2＝y 0＋42，整理得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ＋3，y 0＝y －4.又点N (x ＋3，y －4)在圆x 2＋y 2＝4上， 所以(x ＋3)2＋(y －4)2＝4. 所以点P的轨迹是以(－3,4)为圆心，2为半径的圆⎝⎛⎭⎫因为O ，M ，P 三点不共线，所以应除去两点⎝⎛⎭⎫－95，125和⎝⎛⎭⎫－215，285.。
二元二次方程表示圆的充要条件在解答题中的应用
②
且 知狓１＋狓２＝２犽犽（２犽＋－３３）．由 犖 （１，３）是线段 犃犅 的中
点，得狓１＋狓２＝２，所 以 犽（犽－３）＝犽２ ＋３，解 得 犽＝ －１，代入②得λ＞１２，即λ 的 取 值 范 围 是（１２，＋ ∞）．
所以直线 犃犅 的方程为狓＋狔－４＝０．
（２）易知直线 犆犇 的 方 程 为狓－狔＋２＝０．则 犃， 犅，犆，犇 在曲线 犕 ：（狓＋狔－４）（狓－狔＋２）＝０ 上，即 犕 ：狓２－狔２ －２狓＋６狔－８＝０．设 过 椭 圆 ３狓２ ＋狔２ ＝λ
与曲线 犕 的交点的 曲 线 方 程 为：狓２－狔２－２狓＋６狔－
８＋犽（３狓２＋狔２－λ）＝０，即 （１＋３犽）狓２＋ （犽－１）狔２－
２狓＋６狔－８－犽λ＝０，若 犃，犅，犆，犇 四点共圆，则
｛ ｛ １＋３犽＝犽－１，
犽＝ －１，
ห้องสมุดไป่ตู้
４＋３６＋４（１＋３犽）（８＋犽λ）＞０ λ＞３．
故当λ＞１２时，犃，犅，犆，犇 在同一圆上．
６
该题利用二元二次方程表示圆的充要条件， 降低了 难 度，使 问 题 变 得 更 明 朗，解 答 思 路 更清晰．
例２ 已知过狔２＝２狆狓 的 焦 点犉 下 作 两 条 互 相 垂直的直线，与抛物线 分 别 交 于 犃，犅，犆，犇 四 点，犃，
犅，犆，犇 四点是否共圆？若共圆，求出圆的方程；若 不
共 圆 ，说 明 理 由 ．
们先求出必 要 条 件，再 通 过 增 设 条 件 证 明 其 充 分 性，
这样可以减少解答的复杂性．
通过以上两例可看出：在 解 答 题 中 充 分 利 用 二 元
二次方程表 示 圆 的 充 要 条 件，确 实 可 以 减 少 计 算 量，
圆的方程及其求法
解析：圆 C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝1，圆心 C1 为(－1,1)，半径为 1.易知点 C1(－1,1)
关于直线 x－y－1＝0 对称的点为 C2，设 C2(a，b)，则baa－ ＋ －2 111＝ ， b＝－2，
所以 C2(2，－2)，所以圆 C2 的圆心为 C2(2，－2)，半径为 1，所以圆
引申探究 1.在本例的条件下，求yx的最大值和最小值． 解：yx可视为点(x，y)与原点连线的斜率，yx的最大值和最小值就是与该圆有公共点 的过原点的直线斜率的最大值和最小值，即直线与圆相切时的斜率．
设过原点的直线的方程为 y＝kx，由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径， 即|2kk2＋＋31|＝1，解得 k＝－2＋233或 k＝－2－233，∴yx的最大值为－2＋233，最
又∵圆 C 与直线 x－y＝0 相切， ∴－D2 ＋2 E2＝12 D2＋E2－4F， 即(D－E)2＝2(D2＋E2－4F)， ∴D2＋E2＋2DE－8F＝0.②
又知圆心－D2 ，－E2到直线 x－y－3＝0 的距离 d＝－D2 ＋2E2－3， 由已知得 d2＋ 262＝r2， ∴(D－E＋6)2＋12＝2(D2＋E2－4F)，③
解析：由于圆心在第一象限且与 x 轴相切，可设圆心为(a,1)(a>0)，又圆与直线 4x －3y＝0 相切， ∴|4a5－3|＝1，解得 a＝2 或 a＝－12(舍去)． ∴圆的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝1. 故选 A.
答案：A
题型一 圆的方程
例 1 (1)(2020·湖北名校摸底)过点 A(1，－1)，B(－1,1)且圆心在直线 x＋y－2＝0
题组一 思考辨析 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)确定圆的几何要素是圆心与半径．( √ ) (2)已知点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则以 AB 为直径的圆的方程是(x－x1)(x－x2)＋(y－ y1)(y－y2)＝0.( √ )
高中数学圆的标准方程
圆的方程1．以C (a ，b )为圆心，r (r >0)为半径的圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2. 2．以原点为圆心，r 为半径的圆的标准方程为x 2＋y 2＝r 2. 3．圆的一般方程的概念当D 2＋E 2－4F ＞0时，二元二次方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0叫做圆的一般方程．4．圆的一般方程对应的圆心和半径圆的一般方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)表示的圆的圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－D2，－E 2，半径长为12D 2＋E 2－4F .5．对方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0的说明6、直线与圆的位置关系的判定例题讲解1、已知圆的方程是(x－2)2＋(y－3)2＝4，则点P(3,2)()A．是圆心B．在圆上C．在圆内D．在圆外2、已知一圆的圆心为点(2，－3)，一条直径的两个端点分别在x轴和y轴上，则此圆的方程是()A．(x－2)2＋(y＋3)2＝13B．(x＋2)2＋(y－3)2＝13C．(x－2)2＋(y＋3)2＝52D．(x＋2)2＋(y－3)2＝523、以点A(－5,4)为圆心，且与x轴相切的圆的方程是()A．(x＋5)2＋(y－4)2＝25B．(x－5)2＋(y＋4)2＝16C．(x＋5)2＋(y－4)2＝16D．(x－5)2＋(y＋4)2＝25巩固练习1、求圆心在直线x－2y－3＝0上，且过点A(2，－3)，B(－2，－5)的圆的标准方程．2、求圆心在x轴上，且过点A(5,2)和B(3，－2)的圆的标准方程．3、若P(x，y)是圆C(x－3)2＋y2＝4上任意一点，请求出P(x，y)到直线x－y ＋1＝0的距离的最大值和最小值．4、已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1，点A(0，－1)，B(0,1)，设P是圆C上的动点，令d＝|P A|2＋|PB|2，求d的最大值及最小值.图4-1-15、直线3x＋4y＋12＝0与圆(x－1)2＋(y＋1)2＝9的位置关系是()A．过圆心B．相切C．相离D．相交但不过圆心6、已知直线ax＋by＋c＝0(ab≠0)与圆x2＋y2＝1相切，则三边长分别为|a|，|b|，|c|的三角形是()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不存在7、已知圆C的圆心是直线x－y＋1＝0与x轴的交点，且圆C与直线x＋y ＋3＝0相切，则圆C的方程为____________________．8、过点P(－1,2)且与圆C：x2＋y2＝5相切的直线方程是________.课后练习1、圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是()A．(2,3) B．(－2,3)C．(－2，－3) D．(2，－3)2、已知方程x 2＋y 2－2x ＋2k ＋3＝0表示圆，则k 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1)B ．(3，＋∞)C ．(－∞，－1)∪(3，＋∞)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，＋∞ 3、若方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示以(2，－4)为圆心，4为半径的圆，则F ＝________.4、设A 为圆(x －1)2＋y 2＝1上的动点，P A 是圆的切线且|P A |＝1，则P 点的轨迹方程是__________．5、求经过三点A (1，－1)，B (1,4)，C (4，－2)的圆的一般方程.6、过点(－1，－2)的直线l 被圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0截得的弦长为2，求直线l 的方程．7、 已知动点M 到点(8,0)的距离等于点M 到点(2,0)的距离的2倍，你能求出点M 的轨迹方程吗？8、 已知直角△ABC 的斜边为AB ，且A (－1,0)，B (3,0)，请求出直角顶点C 的轨迹方程．9、已知圆心为C 的圆经过点A (1,1)和B (2，－2)，且圆心C 在直线l ：x －y＋1＝0上．(1)求圆C 的方程；(2)线段PQ 的端点P 的坐标是(5,0)，端点Q 在圆C 上运动，求线段PQ 的中点M 的轨迹方程．。
圆的一般方程 课件
类型二 待定系数法求圆的方程 [例 2] 已知△ABC 的三个顶点为 A(1,4)，B(－2,3)，C(4，－5)， 求△ABC 的外接圆方程、外心坐标和外接圆半径．
又 kAC＝x＋y 1，kBC＝x－y 3，且 kAC·kBC＝－1，
所以x＋y 1·x－y 3＝－1，化简得 x2＋y2－2x－3＝0. 因此，直角顶点 C 的轨迹方程为 x2＋y2－2x－3＝0(x≠3 且 x≠ －1)．
方法二：同法一得 x≠3 且 x≠－1. 由勾股定理得|AC|2＋|BC|2＝|AB|2，即(x＋1)2＋y2＋(x－3)2＋y2 ＝16，化简得 x2＋y2－2x－3＝0.因此，直角顶点 C 的轨迹方程为 x2 ＋y2－2x－3＝0(x≠3 且 x≠－1)． 方法三：设 AB 中点为 D，由中点坐标公式得 D(1,0)，由直角
因此动点 M 的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝1(x≠3 且 x≠1)．
方法归纳
1．一般地，求轨迹方程就是求等式，就是找等量关系，把等 量关系用数学语言表达出来，再进行变形、化简，就会得到相应的 轨迹方程，所以找等量关系是解决问题的关键．
2．求曲线的轨迹方程要注意的三点 (1)根据题目条件，选用适当的求轨迹方程的方法． (2)看准是求轨迹，还是求轨迹方程，轨迹是轨迹方程所表示的 曲线(图形)． (3)检查轨迹上是否有应去掉的点或漏掉的点．
【解析】 方法一：设△ABC 的外接圆方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
圆的方程
课堂热身训练
(B) 2 a
(C)
2a
(D) 4 a
2.若过点(4，2)总可以作两条直线与圆 (x-3m)2+(y-4m)2=5(m+4)相切，则m的范围是(
D )
19 (A)m 12 9 (C) m 0或 m 5
19 (B) - 4 m 12 9 (D) - 4 m 0或 m 5
又设圆在x轴、y轴上的截距分别是x1、x2、y1、y2， 在圆的方程x2+y2+Dx+Ey+F=0中， 令y=0，得：x2+Dx+F=0，∴x1+x2=－D； 令x=0，得：y2+Ey+F=0，∴y1+y2=－E． ∵x1+x2+y1+y2=2， ∴－D－E=2 …③． 解①、②、③得：D=－2，E=0，F=－12． ∴所求圆的方程为：x2+y2－2x－12=0．
经验体会总结
1.二元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0， 当D2+E2－4F＞0时表示圆．要熟练掌握 用配方法由圆的一般方程求出圆心、半 径．
2.确定圆要有三个条件，那么求圆的方程 也要三个独立条件，求圆的方程通常用待 定系数法，一般来说,与圆心、半径有关的 问题，常用圆的标准方程解决.与圆上的点 有关的问Байду номын сангаас常用圆的一般方程解决．
点A在圆(x +2) 2 + (y －4) 2 = 4上运动．求△ABC的重心G的
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轨迹方程．
6
【解】：设G（x，y），点A（x0，y0），A
则有：(x0+2) 2 + (y 0－4) 2 = 4…①， 由重心公式x0 －3 ＋2=3x，y0 －1 ＋1 =3y． 得x0 =3x＋1，y0 =3y，代入①
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关于圆的二元方程式的解析
一、表达形式
●圆的二元方程一般形式为：x²+y²+Dx+Ey+F=0，其中D²+E²-4F>0。
●要使二元二次方程Ax²+Bxy+Cy²+Dx+EY+F=0表示圆，需要满足以下条件：A=C≠0，
B=0，且D²+E²-4F>0。
●圆的方程有两种形式的选择：与圆心半径有直接关系时用标准式，无直接关系选一般式。
●圆的二元方程可以用于解决两圆的位置关系（相交、相离、相切、内含）等问题。
二、表达形式的特点
1.x²项和y²项的系数都相等，且不为零。
2.是二元二次方程且没有xy这样的二次项。
3.参数D，E，F满足D²+E²-4F>0。
三、练习题及答案
练习题：
1.写出满足以下条件的圆的二元方程：
（1）圆心坐标为(0, 0)，半径为3；
（2）圆心坐标为(1, -1)，半径为2；
（3）圆心坐标为(-2, 3)，半径为5。
2.判断以下方程是否表示圆，并说明理由：
（1）x²+y²+2x+3y+1=0；
（2）x²+y²-4x-6y+9=0；
（3）x²+y²+2ax+2by+c=0。
3.求出以下方程表示的圆的圆心坐标和半径：
（1）x²+y²-4x-6y+12=0；
（2）(x-3)²+(y-4)²=25；
（3）(x+1)²+(y-2)²=10。
4.根据以下条件，求出所给方程表示的圆的圆心坐标和半径：
（1）圆心坐标为(3, 0)，半径为4；
（2）圆心坐标为(0, 0)，半径为5；
（3）圆心坐标为(2, 3)，半径为1。
答案：
1．x²+y²+6x+9=0 (2) (x-1)²+(y+1)²=4 (3) (x+2)²+(y-3)²=25
2．是圆(2) 是圆(3) 不是圆
3．圆心坐标为(2,3)，半径为1 (2) 圆心坐标为(3,4)，半径为5 (3) 圆心坐标为(-1,2)，半径为√10
4．圆心坐标为(3,0)，半径为4 (2) 圆心坐标为(0,0)，半径为5 (3) 圆心坐标为(2,3)，半径为1。