高中数学教案-命题的概念与真假判断

命题的概念与真假判断课程目标知识提要命题的概念与真假判断∙命题的概念一般地，用语言、符号或式子表达的可以判断真假的陈述句叫做命题（proposition）．判断一个语句是不是命题，就要看它是否符合“是陈述句”和“可以判断真假”这两个条件．一个命题一般可以用一个小写英文字母来表示，如，，，．∙真命题与假命题判断为真的命题称为真命题（true proposition）；判断为假的命题称为假命题（false proposition）．精选例题命题的概念与真假判断1. 已知方程有两个不相等的正实数根；方程无实数根．若“ 或”为真，“ 且”为假．则下列结论：①，都为真；②，都为假；③，一真一假；④，至少有一个为真；⑤，至多有一个为假．其中正确结论的序号是．实数的取值范围是．【答案】③；或2. 给出下列四个命题：①梯形的对角线一定相等；②对任意实数，均有；③不存在实数，使；④有些三角形不是等腰三角形．其中所有正确命题的序号为．【答案】②③④3. 判断下列语句是否为命题，并把结果填在句末的横线上：（1）空间内垂直于同一条直线的两条直线一定平行．（2）等边三角形难道不是等腰三角形吗？（3）．（4）若，则【答案】（1）是；（2）不是；（3）不是；（4）是4. 有下列四个命题：①“若，则，互为相反数”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若，则有实根”的逆否命题；④“不等边三角形的三个内角相等”的逆命题．其中真命题的序号为．【答案】①③5. 判断下列语句是否为命题，并把结果填在句末的横线上：（1）难道不是正数？（2）当时，．【答案】（1）不是；（2）是6. 下列四种说法：①函数的最小值为；②等差数列中，，，成等比数列，则公比为；③已知，，，则的最小值为；④方程的两个实数根为，，且，则的取值范围是．其中正确的命题为（填上所有正确命题的序号）．【答案】①③④【分析】当时，，所以，故①正确；等差数列中，，，成等比数列，则，即，解得：，或，则公比为或，故②错误；，，，则；故③正确；令，若方程的两个实数根为，，且，则，即，表示的平面区域如图所示：表示平面区域内一点（为包含边界）与点连接的斜率，故的取值范围是，故④正确．7. 如果：（1）是真命题，则；（2）是假命题，则．【答案】（1）；（2）8. 给出下列说法：①集合与集合是相等集合；②若函数的定义域为，则函数的定义域为；③定义在上的函数对任意两个不等实数，，总有成立，则在上是增函数；④存在实数，使为奇函数．正确的有．【答案】①③9. 判断下列命题的真假，并把结果填在句末的横线上：（1）．（2）是空集．（3），．（4），．【答案】（1）真；（2）假；（3）真；（4）假10. 下列命题：①，；②，；③，；④，；⑤，；⑥，．其中所有真命题的序号是．【答案】①③11. 判断下列存在性命题的真假：（1），；（2）至少有一个整数，它既不是合数，也不是素数；（3）是无理数，是无理数．【答案】（1）真；（2）真；（3）真12. ①；②" 且 "是" "的充要条件；③函数的最小值为其中假命题的为（将你认为是假命题的序号都填上）【答案】②，③【分析】提示：①，中，所以的图象都在轴上方，所以；②，当时，有可能，所以②错；③，因为，所以利用均值定理时等号取不到．③错．13. 有下列命题：①的图象关于直线对称；②的图象关于点对称；③关于的方程有且仅有一个实根，则；④满足条件，，的三角形有两个．其中真命题的序号是．【答案】①③【分析】因为，所以，所以函数的图象关于直线对称；函数，所以函数关于点对称；方程有且仅有一个实根时，满足，当不成立，所以；由正弦定理得，解得，所以或（舍）．14. 下列说法中正确的有．①平均数不受少数几个极端值的影响，中位数受样本中的每一个数据影响；②抛掷两次硬币，出现"两枚都是正面朝上"、"两枚都是反面朝上"、"恰好一枚硬币正面朝上"的概率一样大；③用样本的频率分布估计总体分布的过程中，样本容量越大，估计越准确；④向一个圆面内随机地投一个点，如果该点落在圆内任意一点都是等可能的，则该随机试验的数学模型是古典概型．【答案】③15. 下列命题中，正确的是．①在空间中，若四点不共面，则每三个点一定不共线；②若，，点满足，则点的轨迹是双曲线；③若点到直线：的距离为，则点的轨迹为抛物线；④正方体的棱长为，是底面的中心，则到平面的距离为．【答案】①③④16. 对于函数：①；②；③．判断如下三个命题的真假：命题甲：是偶函数；命题乙：在上是减函数，在上是增函数；命题丙：在是增函数．则能使命题甲、乙、丙均为真的函数序号是．【答案】②17. 以下四个关于圆锥曲线的命题中①设、为两个定点，为非零常数，，则动点的轨迹为双曲线；②过定圆上一定点作圆的动弦，为坐标原点，若则动点的轨迹为椭圆；③方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；④双曲线与椭圆有相同的焦点．其中真命题的序号为．(写出所有真命题的序号)【答案】③④【分析】对于①：根据双曲线的定义，必须时，动点的轨迹才是双曲线，则①错；对于②：因为所以为弦的中点，从而，于是动点的轨迹为以线段为直径的圆，故②错．18. 命题“存在，”是真命题，则的取值范围为．【答案】设，由题意得函数在内有零点，所以，所以．19. 判断下列命题的真假，并把结果填在句末的横线上：（1）当时，；（2），．【答案】（1）假；（2）真20. 下面是关于四棱柱的四个命题：①若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱是直四棱柱；②若四个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱是直四棱柱；③若四个侧面两两全等，则该四棱柱是直四棱柱；④若四棱柱的四条对角线两两相等，则该四棱柱是直四棱柱．其中，真命题的编号为．【答案】②④【分析】①错，必须是两个相邻的侧面；②正确；因两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，可得到侧棱垂直于底面；③错，反例，可以是斜四棱柱；④正确，对角线两两相等，则此两对角线所在的平行四边形为矩形．21. 如果：关于的不等式对一切都成立，：关于的方程无实数根，且与中有且只有一个是真命题，求实数的取值范围．【解】当为真时，由，可得．因此当为假时有或．当为真时有，即．因此当为假时有或．综上可知，当与中有且只有一个为真命题时，有或．22. 判断下列语句是否是命题，若是，判断其真假，并说明理由．(1)一个自然数不是合数就是质数．【解】是假命题，既不是合数，也不是质数．(2)在三角形中，大角所对的边大于小角所对的边．【解】是假命题，必须在同一个三角形或全等三角形中．(3)若是有理数，则，也都是有理数．【解】是假命题，如当，时，，都是无理数，但是有理数． (4)求证时方程无解．【解】不是命题．23. 设函数的定义域为，若命题与命题中，有且只有一个为真命题，求实数的取值范围．【解】由，得，所以为真时，；为假时，或．又由，得，所以为真时，；为假时，或．所以，有且只有一个为真时，有或．24. 已知集合，，若命题“ ”是假命题，求实数的取值范围．【解】因为“ ”是假命题，所以．设全集，则或．假设方程的两根，均非负，则有即解得．又集合关于全集的补集是，所以实数的取值范围是．25. 已知命题函数是函数的反函数，实数满足不等式；命题存在实数，使关于的方程有实数根．若命题，中有且只有一个为真命题，求实数的取值范围．【解】令，则由，得，所以．又，所以，所以，所以．因为方程有实数根且，所以，所以．因为命题，中有且只有一个为真命题，所以存在两种情况：①当为真命题，为假命题时，有所以．②当为假命题，为真命题时，有所以．所以的取值范围是．26. 已知命题：函数的定义域为；：不等式对一切正实数均成立．若和都是假命题，求实数的取值范围．【解】当为真时，有，成立，所以，且，解得．所以为假时，．当为真时，对一切正实数均成立，即．又因为在上是减函数，所以，即，因此只需．所以为假时，有．综上，，都假时，有．27. 判断下列命题的真假．①空间中两条不平行的直线一定相交；②垂直于同一个平面的两个平面互相垂直；③每一个周期函数都有最小正周期；④两个无理数的乘积一定是无理数；⑤若，则；⑥若，则方程无实数根；⑦已知、、，若或，则；⑧已知、、，若，则或．【解】①假命题，还可能是异面直线；②假命题，这两个平面可以平行也可以相交，不一定垂直；③假命题，常数函数是周期函数，但没有最小正周期；④假命题，反例：．⑤假命题，反例：，，满足，且；⑥真命题，时，，则方程无实数根；⑦假命题，如，，即为反例；⑧真命题，“已知、、，若，则或”的逆否命题为：若且，则，为真命题，故原命题也为真命题．28. 试判断命题“一次函数，若，，，则对任意都有”是真命题还是假命题，并说明理由．【解】真命题．因为一次函数是单调函数，，，，所以，．29. 设命题；命题不等式对一切正实数均成立．(1)若命题为真命题，求实数的取值范围；【解】当命题为真命题时，由得，所以，因为不等式对一切正实数均成立，所以．所以实数取值范围是(2)命题“ ”为真命题，且“ ”为假命题，求实数的取值范围．【解】由命题“ ”为真，且“ ”为假，得命题，一真一假．①当真假时，无解．②当假真时，所以．所以实数的取值范围是30. 分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假：(1)若，则方程有实根；【解】逆命题：若方程有实根，则，为假命题，否命题：若，则方程无实根，假命题，逆否命题：若方程无实根，则，真命题；(2)若，则或．【解】逆命题：若或，则，真命题，否命题：若，则且，真命题，逆否命题：若且，则，真命题．31. 判断下列语句是否是命题：(1)张三是四川人；【解】是命题；(2) 是个很大的数；【解】不是命题；(3) ；【解】不是命题；(4) ；【解】不是命题；(5) ；【解】是命题．32. 已知，设命题：函数在上单调递减；命题：不等式的解集为．若和有且只有一个正确，求的取值范围．【解】由函数在上单调递减知，所以．不等式：的解集为，即在上恒大于．又因为所以函数在上的最小值为．故要使解集为，只需，所以，即．若真假，则；若假真，则．故的取值范围为或．33. 将下列命题改写成“若，则”的形式，并判断其真假．(1)末位数字是或的整数，能被整除；【解】若一个整数的末位数字是或，则这个数能被整除．真命题．(2)方程有两个实数根．【解】若一个方程是，则它有两个实数根．假命题．34. 命题＂若，则＂，写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．【解】逆命题：若，则（假，如，）．否命题：若，则（假，如，）．逆否命题：若，则（真，）．35. 已知命题：存在使得成立，命题：方程表示焦点在轴上的椭圆．(1)若是真命题，求实数的取值范围；【分析】是真命题，则存在使得成立，所以只需即可，得到，所以．【解】．(2)若是假命题，求实数的取值范围．【分析】若命题为真命题，则有得：或．则为假命题时，或；为假命题时，．所以是假命题，实数的取值范围．【解】．36. 设有两个命题：①"关于的不等式的解集是 "；② "函数是上的减函数"．若命题①和②中至少有一个是真命题，求实数的取值范围．【解】解设命题①为假，则．再设命题②为假，则或或．若①，②同时为假，则或．从而①，②中至少有一个为真时，的取值范围是或或．37. 已知命题，若对，是真命题，求实数的取值范围．【解】由题意可得，，恒成立．（i）当时，，显然不恒成立，不合题意．（ii）当时，要使恒成立，则解得．综上可知，所求实数的取值范围是．38. 已知点在曲线上，也在曲线上，求证：点在曲线上（）．【解】在曲线上，．同理，，即也在曲线上．39. 已知命题："若，则 "，写出它的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假．【解】逆命题："若，则 "，假命题；否命题："若，则 "，假命题；逆否命题："若，则 "，真命题．40. 判断下列命题的真假：(1)中国所有的江河都流入太平洋；【解】真；(2)有的四边形既是矩形，又是菱形；【解】真；(3)实系数方程都有实数解；【解】假；(4)有的数比它的倒数小．【解】真．课后练习1. 给出下列四个命题：①命题“ ，”的否定是“ ，”；②函数的定义域为，其图象上任一点满足，则函数可能是奇函数；③若，，则不等式成立的概率是；④函数在上恒为正，则实数的取值范围是．其中真命题的序号是．（请填上所有真命题的序号）2. 有下列命题：①双曲线与椭圆有相同焦点；② “ ”是“ ”必要不充分条件；③若，共线，则，所在的直线平行；④若，，三向量两两共面，则，，三向量一定也共面；⑤，．其中是真命题的有：．（把你认为正确命题的序号都填上）3. 下列命题中：①“角平分线上的点到角两边的距离相等”的逆否命题；②“圆内接四边形的对角互补”的否命题；③“若，则”的逆命题；④“若，则”的逆命题．正确的命题是（请填入正确命题的序号）．4. 在中，三内角，，的对边分别为，，．命题若，则．命题若，则．给出下列四个结论：①命题的逆命题、否命题、逆否命题都是真命题；②命题“ ”是假命题；③命题“ ”是假命题；④命题“ ”是假命题．其中所有正确结论的序号是．5. 给出下列命题：①是幂函数；②函数的零点有个；③的解集为；④ " "是" "的充分不必要条件；⑤函数在点处切线是轴．其中真命题的序号是（写出所有正确命题的编号）6. 有下列四个命题：①在中，、分别是角、所对的边，若，则；②若，则；③在正项等比数列中，若，则；④若关于的不等式恒成立，则的取值范围是．其中所有正确命题的序号为．7. 给出如下四个命题，其中不正确的命题的个数是．①若" 且 "为假命题，则，均为假命题；②命题"若且，则 "的否命题为"若且，则 "；③四个实数，，，依次成等比数列的必要不充分条件是；④在中，" "是" "的充分不必要条件．8. ①是的半径；②；③直线切于点．请以其中两个语句为条件，一个语句为结论，写出一个真命题．9. 下面给出的四个命题中：①以抛物线的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为；②若，则直线与直线相互垂直；③命题“ ，使得”的否定是“ ，都有”；④将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象．其中是真命题的有（将你认为正确的序号都填上）．10. 有下列命题：①若为假命题，则、均为假命题；② " "是" "的充分不必要条件；③命题"若，则 "的逆否命题为："若，则 "；④对于命题，使得，则，均有．其中所有正确结论的序号是．11. 下列说法中：①命题："存在使得 "的否定是"对任意都有 "．②若直线、在平面内的射影互相垂直，则③已知一组数据为、、、、、，则这组数据的众数、中位数、平均数的大小关系是：众数中位数平均数．④已知回归方程，则可估计与的增长速度之比约为．⑤若，，三点共线，则的值为．所有正确说法的序号是．12. 已知下列命题：①；②函数的图象向左平移个单位后得到的函数图象解析式为；③函数的图象与函数的图象关于轴对称；④满足条件，，的有两个．其中正确命题的序号是．13. 命题①：关于的不等式对恒成立；命题②：是减函数．若命题①、②至少有一个为真命题，则实数的取值范围是．14. 给出下列命题：①“若，则关于的方程有实根”的逆命题为；②“若，则”的否命题为；③“若，则”的逆否命题为；④命题：“ ，若，则，全为”的非命题为．你写出的命题是真命题的序号是．15. 给出下列命题：①函数的图象关于点对称；②若向量，，满足且，则；③把函数的图象向右平移得到的图象；④若数列既是等差数列又是等比数列，则．其中不正确命题的序号为．16. 给出如下命题：①命题“在中，若，则”的逆命题为真命题；②若动点到两定点，的距离之和为，则动点的轨迹为线段；③若为假命题，则，都是假命题；④设，则“ ”是“ ”的必要不充分条件．⑤若实数，，成等比数列，则圆锥曲线的离心率为；其中所有正确命题的序号是．17. 举一个反例，说明命题“若，是无理数，则是无理数”是假命题：．18. 对于任意实数，，，下列命题：①若，，则；②若，则；③若，则；④若，则中，真命题为．19. 给出下列四个命题：①函数的图象关于点对称；②函数是最小正周期为的周期函数；③设为第二象限的角，则，且；④函数的最小值为，其中正确的命题是．20. 设有两个命题：①关于的不等式的解集是；②函数是减函数．如果这两个命题有且只有一个真命题，则实数的取值范围是．21. 判断下列命题的真假：(1)；(2)；(3)．22. 设命题函数的定义域为；命题不等式对一切正实数均成立．如果命题或为真命题，命题且为假命题，求实数的取值范围．23. 判断下列语句哪些是命题？如果是命题，是真命题还是假命题？(1)末位数字是的整数能被整除；(2)平行四边形的对角线相等且互相平分；(3)两直线平行则斜率相等；(4)在中，若，则；(5)余弦函数是周期函数吗？24. 写出命题"一组对边平行且相等的四边形是平行四边形"的逆命题，否命题，逆否命题，并且判断其真假．25. 写出命题"若，则 "的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假，说明理由．26. 写出下列命题的逆命题，否命题，逆否命题，并判断它们的真假．(1)"负数的平方是正数"；(2)"若和都是偶数，则是偶数"；(3)"当时，若，则 "；(4)"若，则且 "．27. 判断下列命题的真假：(1)已知，，，，若，或，则；(2) ，；(3)若，则方程无实数根；(4)存在一个三角形没有外接圆．28. 把下列命题改写成‘‘若则”的形式，并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题，同时指出它们的真假：(1)对顶角相等；(2)四条边相等的四边形是正方形．29. 已知命题“若，则二次方程没有实根”：(1)写出命题的否命题；(2)判断命题的否命题的真假，并证明你的结论．30. 写出下列命题的逆命题、否命题与逆否命题，并分别判断它们的真假：(1)若，则；(2)矩形的对角线相等．31. 设命题方程表示双曲线；命题，．(1)若命题为真命题，求实数的取值范围；(2)若命题为真命题，求实数的取值范围；(3)求使“ ”为假命题的实数的取值范围．32. 判断下列命题的真假：(1)；(2)；(3)．33. 判断下列命题的真假．(1)作用力与反作用力是一对大小相等、方向相反的向量；(2)数轴是向量；(3)温度是向量．34. 判断下列说法是否正确：(1)一个命题的否命题为真，它的逆命题也一定为真；(2)一个命题的逆否命题为真，它的逆命题不一定为真．35. 写出下列命题的逆命题、否命题与逆否命题，并分别判断它们的真假：(1)若，则；(2)若，则．36. 已知：函数的定义域为；：不等式对一切正实数均成立．如果" 或 "为真命题，" 且 "为假命题，求实数的取值范围．命题的概念与真假判断-出门考姓名成绩1. 给定下列命题：①若，则方程有实数根；②若，则；③对角线相等的四边形是矩形；④若，则，中至少有一个为．其中真命题的序号是．2. 有下面四个判断：①命题"设，若，则或 "是一个假命题；②若 " 或 "为真命题，则，均为真命题；③在中，" "是" "的充分不必要条件；④设向量，，则" "是" "成立的必要不充分条件．其中所有错误的判断有．（填序号）3. 下列说法中：①若正数满足，则的最小值为；②在平面上，到定点的距离与到直线距离相等的点的轨迹是抛物线；③双曲线的渐近线的夹角正切是；④以球心为原点建立的空间直角坐标系中，若、为球面上两点，则过、的大球劣弧长（即、的球面距离）为．其中正确命题的序号是．4. 给出下列命题：①对数函数在是增函数，则实数的取值范围是；②若不等式的解集为，则实数的取值范围是；③若方程在内恰有一解，则实数的取值范围是；④在中，若，则角的取值范围是，其中真命题的编号是（写出所有真命题的编号）．5. 给出下列命题：①是幂函数；②函数的零点有个；③展开式的项数是项；④函数图象与轴围成的图形的面积是；⑤若，且，则．其中真命题的序号是．（写出所有正确命题的编号）6. 对，是真命题，则的取值范围是．7. 给出下列四个命题：①函数的图象关于点对称；②若，则；③存在实数，使；④设为圆上任意一点，圆，当时，两圆相切．其中正确命题的序号是．（把你认为正确的都填上）8. 以下命题：①若或，则；②若空间向量，与空间中任一向量都不能组成空间的一组基底，则与共线；③若函数在处导数等于，则该函数在该点处取得极值；④若，为两个定点，为正常数，若，则动点的轨迹是椭圆；⑤已知抛物线，以过焦点的一条弦为直径作圆，则此圆与准线相切；其中真命题为．（写出所有真命题的序号）9. 判断下列命题的真假：（1）面积相等的三角形是全等三角形；（2）若两平面平行，则其中一个平面内的直线平行于另一个平面；（3）是无理数；（4）；（5）若，则且；（6）正方体均为正四棱柱．10. 给出下列命题：①当时，是第二、三象限角；②直线与圆一定相交；③函数的最小值是．其中真命题的序号是．11. 给出下列四个命题：①设是定义在上的可导函数，为函数的导函数，则“ ” 是“ 为极值点”的必要不充分条件；②双曲线的焦距与有关；③命题"中国人不都是北京人"的否定是"中国人都是北京人"；④命题" 若，且，则 "．其中正确结论的序号是．12. 已知集合，集合为函数的值域．命题：．若命题为假命题，则实数的取值范围是．13. 下列说法：①已知是单位向量，，则在方向上的投影为；②关于的不等式恒成立，则的取值范围是；③函数为奇函数的充要条件是；④将函数图象向右平移个单位，得到函数的图象；⑤在中，若，则．其中正确的命题序号是（填出所有正确命题的序号）．14. 命题："如果成立，那么一定成立"是命题．（填“真”或“假”）15. 若命题" " 是真命题，则实数的取值范围是．16. 在下列命题中：（1）若实数满足，则有成立；（2）已知椭圆的离心率，则的值为；（3）对于函数，若，，则函数在内至多有一个零点；（4）函数与的图象关于直线对称；其中正确命题的序号是．17. 已知，函数，若满足关于的方程，则下列四个命题：①，；②，；③，；④，．其中假命题的序号是．18. 有下列命题：①若，则；②直线的倾斜角为，纵截距为；③直线与直线平行的充要条件是且；④当且时，；⑤到坐标轴距离相等的点的轨迹方程为．其中真命题的是．19. 把下面不完整的命题补充完整，并使之成为真命题．若函数的图象与的图象关于对称，则函数．20. 给定两个命题，：对任意实数都有恒成立；：关于的方程有实数根．如果与中有且仅有一个为真命题，则实数的取值范围为．。