《全等三角形》压轴题训练讲义(含答案)

第1章《全等三角形》压轴题训练

(1)

1.如图，在ABC ?中，,AD BC CE AB ⊥⊥,垂足分别为,,,D E AD CE 交于点,H EH 、3,4EB AE ===，则CH 的长是( )

A. 4

B. 5

C. 1

D. 2

2.如图，在Rt ABC ?中，90C ∠=?，以顶点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交边,AC AB

于点,M N ，再分别以,M N 为圆心，大于12

MN 长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线AP 交边BC 于点D ，若4,25CD AB ==，则ABD ?的面积为( )

A. 15

B. 30

C. 45

D. 60

3.如图，在Rt ABC ?中，90,12,6C AC BC ∠=?==，一条线段,,PQ AB P Q =两点分别在线段AC 和以点A 为端点且垂直于AC 的射线AX 上运动，要使ABC ?和QPA ?全等，则AP 的长为 .

4.如图，//,,,,2,3AD BC AB

BC CD DE CD ED AD BC ⊥⊥=

==，则A D E ?的面积

为 . 5. (1)观察推理:如图①，在ABC ?中，90,ACB AC BC ∠=?=,直线l 过点C ，点,A B 在直线l 的同侧，,BD l AE l ⊥⊥，垂足分别为,D E .求证:AEC CDB ???.

(2)类比探究:如图②，在Rt ABC ?中，90,4ACB AC ∠=?=，将斜边AB 绕点A 逆时针

旋转90°至AB '，连接B C '，求AB C '?的面积.

(3)拓展提升:如图③，在EBC ?中，60,3E ECB EC BC ∠=∠=?==，点O 在BC 上，且2OC =，动点P 从点E 沿射线EC 以每秒1个单位长度的速度运动，连接OP ，将线段OP 绕点O 逆时针旋转120°得到线段OF .要使点F 恰好落在射线EB 上，求点P 运动的时间t .

6.【初步探索】

(1)如图①，在四边形ABCD 中，,90AB AD B ADC =∠=∠=?. ,E F 分别是,BC CD 上的点，且EF BE FD =+.探究图中,,BAE FAD EAF ∠∠∠之间的数量关系.小王同学探究此问题的方法:延长FD 到点G ，使DG BE =.连接AG .先证明ABE ADG ???，再证AEF AGF ???，可得出结论，他的结论应是 .

【灵活运用】

(2)如图②，在四边形ABCD 中，,180AB AD B D =∠+∠=?. ,E F 分别是,BC CD 上的点，且EF BE FD =+，上述结论是否仍然成立?请说明理由.

【延伸拓展】

(3)如图③，在四边形ABCD 中，180,ABC ADC AB AD ∠+∠=?=.若点E 在CB 的延长线上，点F 在CD 的延长线上，仍然满足EF BE FD =+，请写出EAF ∠与DAB ∠的数量关系，并给出证明过程.

(2)

1.如图，在ABC ?中，12,8,AB BC BD ==是AC 边上的中线，则BD 的取值范围是( )

A. 28BD <<

B. 310BD <<

C. 210BD <<

D. 420BD <<

2.如图，在锐角三角形ABC 中，AH 是BC 边上的高，分别以,AB AC 为一边，向外作正方形ABDE 和ACFG ，连接,CE BG 和,EG EG 与HA 的延长线交于点M ，下列结论:①BG CE =;②BG CE ⊥;③AM 是AEG ?的中线;④EAM ABC ∠=∠.其中正确结论的个数是( )

A. 4

B. 3

C. 2

D. 1

3.如图，//,AB CD O 是ACD ∠和BAC ∠的平分线的交点，且OE AC ⊥，垂足为E , OE =2. 5 cm ，则AB 与CD 间的距离为 cm.

4.如图，在ABC ?中，90,45C BAC ∠=?∠=?，点M 在线段AB 上，12GMB A ∠=∠，BG MG ⊥，垂足为,G MG 与BC 相交于点H .若MH = 8 cm ，则BG = cm.

5.如图，在ABC ?中10AB AC ==cm, BC =8 cm, D 为AB 的中点，点P 在线段BC 上以3 cm/s 的速度由点B 向点C 运动，同时，点Q 在线段CA 上由点C 向点A 以a cm/s 的速度运动.设运动的时间为t s.

(1)求CP 的长;(用含t 的代数式表示)

(2)若以,,C P Q 为顶点的三角形和以,,B D P 为顶点的三角形全等，且B ∠和C ∠是对应角，求a 的值.

6.【问题提出】

学习了三角形全等的判定方法(即“SAS ”“ASA ”“AAS ”“SSS ”)和直角三角形全等的判定方法(即“HL ”)后，我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究.

【初步思考】

我们不妨将问题用符号语言表示:在ABC ?和DEF ?中， ,AC DF BC EF ==，B E ∠=∠，然后对B ∠进行分类，可以分为“B ∠是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究.

【深入探究】

第一种情况:当B ∠为直角时，ABC DEF ???.

(1)如图①，在ABC ?和DEF ?中,AC DF BC EF ==,90B E ∠=∠=?，根据 ，可以知道Rt ABC Rt DEF ???.

第二种情况:当B ∠为钝角时，ABC DEF ???.

(2)如图②，在ABC ?和DEF ?中,AC DF BC EF == ,B E ∠=∠，且,B E ∠∠都是钝角.求证: ABC DEF ???.

第三种情况:当B ∠为锐角时，ABC ?和DEF ?不一定全等.

(3)在ABC ?和DEF ?中，,AC DF BC EF ==，B E ∠=∠,且,B E ∠∠都是锐角，请你用尺规在图③中作出DEF ?，使DEF ?和ABC ?不全等.(不写作法，保留作图痕迹)

(4) B ∠还要满足什,,,AC DF BC EF B E ==∠=∠，且,B E ∠∠都是锐角.若 ，则ABC DEF ???.

参考答案(1)

1.C

2. B

3.6或12

4. 1

5. (1),BD l AE l ⊥⊥Q

∴90BDC AEC ∠=∠=?

∴Rt AEC ?中90EAC ACE ∠+∠=?

∵90ACB ∠=?，180ECD ∠=?

∴90DCB ACE ∠+∠=?

∴EAC DCB ∠=∠

在AEC ?和CDB ?中

A E C C D

B E A

C

D C B

A C C

B ∠=∠??∠=∠??=?

∴AEC CDB ???

(2)如图①，作'B D AC ⊥于点D ，则'90ADB BCA ∠=∠=?

∵斜边AB 绕点A 逆时针旋转90°至'AB ，

∴'AB AB =，'90B AB ∠=?

即'90B AC BAC ∠+∠=?

∵在ACB ?中，90B CAB ∠+∠=?

∴'B B AC ∠=∠

在'B AD ?和ABC ?中，

'''ADB BCA B AD B AB BA ∠=∠??∠=∠??=?

∴'B AD ABC ???

∴'4B D AC == ∴'11'44822

AB C S AC B D ?=??=??= (3)如图②根据题意，画出图形.

∵3,2BC OC ==

∴1OB BC OC =-=

∵线段OP 绕点O 逆时针旋转120°得到线段OF .

∴120FOP ∠=?，OP OF =

∴1260∠+∠=?

∵在BCE ?中，60E ECB ∠=∠=?

∴120OBF PCO ∠=∠=?

∴在PCO ?中，2360∠+∠=?

∴13∠=∠

在BOF ?和CPO ?中

13

OBF PCO OF PO ∠=∠??∠=∠??=?

∴BOF CPO ???

∴1PC OB ==

∴314EP EC PC =+=+=

∴点P 运动的时间44()1

t s ==

6.(1) BAE FAD EAF ∠+∠=∠

(2)成立.

理由：延长FD 倒点G ，使得DG BE =，连接AG

∵180ADG ADC ∠+∠=?，180B ADC ∠+∠=?

∴ADG B ∠=∠

在ABE ?和ADG ?中

A B A D B A D G B E D G =??∠=∠??=?

∴ABE ADG ???

∴BAE DAG ∠=∠，AE AG =

∵EF BE FD =+

∴EF DG FD GF =+=

在AEF ?和AGF ?中

AE AG AF AF EF GF =??=??=?

∴AEF AGF ???

∴EAF GAF ∠=∠

∵GAF FAD DAG FAD BAE ∠=∠+∠=∠+∠

∴BAE FAD EAF ∠+∠=∠ (3) 11802

EAF DAB ∠=?-∠. 证明：在DC 的延长线上取一点G ，使得DG BE =，连接AG

∵180ABC ADC ∠+∠=?，180ABC ABE ∠+∠=?

∴ADC ABE ∠=∠

在ADG ?和ABE ?中

AD AB ADG ABE DG BE =??∠=∠??=?

∴ADG ABE ???

∴AG AE =，DAG BAE ∠=∠

∵EF BE FD =+

∴EF DG FD =+

∵GF DG FD =+

∴EF GF =

在AEF ?和AGF ?中

EF GF AE AG AF AF =??=??=?

∴AEF AGF ???

∴EAF GAF ∠=∠

∵360EAF GAF GAE ∠+∠+∠=?

∴2()360EAF GAB BAE ∠+∠+∠=?

∴2()360EAF GAB DAG ∠+∠+∠=?

即2360EAF DAB ∠+∠=? ∴11802

EAF DAB ∠=?-∠ (2)

1.C

2.A

3.5

4. 4

5. (1)由题意，得3BP t =cm ，8BC =cm.

∴(83)CP BC BP t =-=-cm.

(2)分两种情况讨论:①当BD CP =时，BDP CPQ ???

∵ 10AB =cm ，D 为AB 的中点 ∴152

BD AB =

= cm. ∴583t =-

解得1t = ∵BDP CPQ ???

∴BP CQ =

即311a ?=? 1.解得3a =

②当BP CP =时，BDP CQP ???

∴383t t =-，解得43

t =

∵BDP CQP ???

∴BD CQ = 即453a =?，解得。154

a = 综上所述，a 的值为3或154. 6. (1)HL.

(2)如图①，过点C 作CG AB ⊥的延长线于点G ，过点F 作FH DE ⊥的延长线于点H ∵,CG AG FH DH ⊥⊥

∴90CGA FHD ∠=∠=?

∵180CBG ABC ∠=?-∠，180CBG ABC ∠=?-∠，ABC DEF ∠=∠

∴CBG FEH ∠=∠

∵BC EF =

∴BCG EFH ???

∴CG FH =

又∵AC DF =

Rt ACG Rt DFH ???

∴A D ∠=∠

在ABC ?和DEF ?中

∵ABC DEF ∠=∠，A D ∠=∠，AC DF =

∴ABC DEF ???

(3)如图②，DEF ?即为所求

(4)答案不唯一，如由(3)知以点C 为圆心，AC 的长为半径画弧时，当弧与边AB 的交点在点A 、B 之间时，DEF ?和ABC ?不全等;当弧与边AB 交于点B 或没有交点时， ABC DEF ???，故AC BC ≥，即当B A ∠≥∠时，ABC DEF ???.因此可以填B A ∠≥∠.