第五节 Nyquist稳定判据

辅助函数
F (s) 1 G(s)H (s) 1 B(s) A(s) B(s)
A(s)
A(s)
辅助函数也可以表示成零极点的形式
F (s) (s z1)(s z2 ) (s zn ) (s p1)(s p2 ) (s pn )
因此，我们可以看出，辅助函数具有如下特征：
负实数，即S平面右半部分无开环极点，P=0。频率特性及 其镜像组成的封闭曲线如图5－44右所示。可见，当ω从 －∞→＋∞ 时，闭合曲线并未包围（－1，j0）点，故N＝ 0。因此闭环系统总是稳定的。我们也可以利用劳斯判据 进行判定。
例5-8 设系统开环传递函数为
5.2 G(s)H (s) (s 2)(s2 2s 5)
幅角原理：设S平面上不通过F(S)任何零极点的某条封 闭曲线Γ，它包围了F(S)在S平面的Z个零点和P个极点。 当S以顺时针方向沿封闭曲线Γ移动一周时，则在F平面上 对应于封闭曲线Γ的像ΓF 将以顺时针的方向围绕原点旋 转R圈。R与Z、P的关系为：
R PZ
R＜0和R＞0分别表示ΓF顺时针包围和逆时针包围F(s)平面 的原点，R＝0表示不包围F(S)平面的原点。
（2）、复变函数F(S)的选择
图5-41 控制系统结构图
如图5-41所示结构图，其开环传递函数为
G(s)H (s) B(s) A(s)
则
(s)

1
G(s) G(s)H
(s)

G(s) 1 B(s)

A(s)
B(s)
B(s)H
(s)
A(s)
B(S)+A(S)和A(S)分别为闭环和开环的特征多项式。引入
图5－47绘出了K>1 和 K<1的两条闭合曲线，可见：
当K>1 时，曲线逆时针包围了（－1，j0）点1圈即R=1 闭环系统稳定；当K<1时，曲线未包围（－1，j0）点，即 R=0，闭环系统不稳定。
在本例中，K值大才能使系统稳定，K值小反而使闭环系 统不稳定，这是与常见的最小相位系统截然不同之处。
图5-42 F平面与GH平面的关系图
Nyquist轨迹及其映射
为将映射定理与控制系 统稳定性的分析联系起来， 适当选择s平面的封闭曲线Γ。 如图5-43所示，它是由整个 虚轴和半径为∞的右半圆组 成，试验点按顺时针方向移 动一圈，该闭合曲线称为 Nyquist轨迹。
Nyquist轨迹在F(s)平面上 的映射也是一条封闭曲线， 称为Nyquist曲线。
图5-48 修改后的Nyquist路径
例5-10 设某Ⅰ型系统的开环频率特性如图5-49所示。 开环传递函数在右半s平面上没有极点，试用Nyquist判据 判断系统的稳定性。
图5-49 极坐标图及其镜像
解 已知P=0，由图可知R=0，则Z＝0，闭环系统稳定。
例5-11 某Ⅱ型系统在s右半平面无开环极点，已知其开环 频率特性如图5-50所示。试判别系统的稳定性。 解 已知P=0，由图知R=-2，则P≠R，闭环系统不稳定。其 位于s右半平面的零点数为
利用奈氏判据判断闭环系统不稳定，还可求出该系统在 右半s平面上的极点的个数
Z P R P 2N
例5-7 系统开环传递函数为
G(s)H (s)
K
(T1s 1)(T2s 1)
其幅频特性图如图5-44左所示。试利用Nyquist判据判断闭 环系统的稳定性。
解 当三个参数取任何正值时，系统的两个开环极点都是
（4）、G(S)H(S)曲线的绘制
已知S平面闭合曲线Γ关于实轴对称，故闭合曲线ΓGH也 关于实轴对称，因此只需画出正虚轴部分的曲线，得GH 的半闭合曲线，仍计为ΓGH。
G(S)H(S)右虚轴上极点和 无虚轴上极点时的特性曲线绘 制方法见P195。
（5）、闭合曲线Γ包围原点圈数R的计算
根据半闭合曲线ΓGH可得ΓF包围原点的圈数R。设N为 ΓGH穿越（－1，j0）点左侧负实轴的次数，N＋表示正穿 越的次数（从上往下穿越），N－表示负穿越的次数（从 下往上穿越），则
式中，G(jω)H(jω)为系统的开环频率特性,因而ΓF由 下面几段组成：
（1）和正虚轴对应的是频率特性G(jω)H(jω)右移一个单 位； （2）和半径为无穷大的右半圆相对应的辅助函数F (s) → 1；
（3）和负虚轴相对应的是频率特性对称于实轴的镜像。
图5-44 开环频率特性曲线与它在F平面上的对应曲线
F (∞)=1+G (∞)H (∞)
图5-44 F 平面上的 Nyquist曲线
根据映射定理可得，s平面上的Nyquist轨迹在F平面上 的映射F(jω)(ω从－∞→＋∞) 包围坐标原点的次数R为 R=P－Z
式中，Z——位于F (s)平面右半部分的零点数，即闭 环右极点个数；
P——位于F(s)平面右半部分的极点数，即开环右极 点个数；
1、奈氏判据的数学基础
复变函数理论中的幅角原理是奈氏判据的数学基础， 幅角原理用于控制系统稳定性的判定还需选择辅助函数和 闭合曲线。
（1）、幅角原理
设S为复数变量，F(S)为S的有理分式函数。对于S平面 上任意一点S，通过复变函数F(S)的映射关系，在F(S)平 面上可以确定关于S的象。在S平面上任选一条闭合曲线Γ 且不通过F(S)的任何零点与极点，S从闭合曲线Γ上任一 一点A起，顺时针沿Γ运动一周，再回到A点，那么相应 F(S)平面上也从点F(A)起，到F(A)点止形成一条闭合曲线 ΓF。若F(S)在S平面上指定区域内是非奇异的，则有如图 5-39所示的映射关系。
试利用Nyquist判据判断闭环系统的稳定性。
解 绘出该系统的极坐标频率特性曲线如图5-45所示。 已知 P 0 由图知 R 2 ，则
Z P R 0 (2) 2
所以按Nyquist判据判断该系统是不稳定的，其闭环系 统在右半s平面上的极点数为2。
利用Nyquist判据我们还可以讨论开环传递系数K对闭 环系统稳定性的影响。当K值改变时，在任一频率下将引 起幅频特性成比例地变化，而相频特性不受影响。对图5-
45，当频率ω＝3时，曲线与负实轴正好相交在（－2，j0）
点，若传递系数K缩小一半，即由5.2降为2.6时，曲线恰 好通过（－1，j0）点，这是临界稳定状态；若K值进一步 缩小，当K＜2.6时，频率特性将从（－1，j0）点的右边穿 过负实轴，整个频率特性曲线将不再包围（－1，j0）点， 这时闭环系统则是稳定的了。
RP
奈氏判据：若系统的开环不稳定，即开环传递函数
G(S)H(S)在右半平面上有极点，其个数为P，则闭环系统 稳定的充分必要条件是：在GH平面上的开环频率特性 曲线G(jω)H(jω)及其镜像当ω从－∞变化到＋∞时，将以逆 时针的方向围绕（－1，j0）点P圈；若系统开环稳定，即 P=0，则闭环系统稳定的充要条件是：在GH平面上的开环 频率特性曲线及其镜像不包围（－1，j0）点。
S平面上的闭合曲线Γ如图5-40所示。复变函数F (s)右 零点极点如图所示。当闭合曲线Γ上任一点S1沿顺时针方 向转动一圈时，其矢量总的相角增量
n
n
F (s) (s zi ) (s pi )
i 1
j 1
Z
n
P
n
(s zi ) (s zi ) (s p j ) (s p j )
22
（3）负虚轴s=jω ：频率ω由－∞变到0。
这种包含了整个右半s平面的闭合曲线Γ称为Nyquist轨 迹，如图5-43所示。
设0型系统的传递函数为
G(s)H (s)
K
(T1s 1)(T2s 1)
在F平面上绘制与Γ相对应的像ΓF如下：当s沿虚轴变 化时
F( j) 1 G( j)H( j)
R 2N 2(N N )
见书P－196
2、Nyquist稳定判据
为了确定辅助函数F(S)位于右半s平面内的所有零点、极 点数，现将封闭曲线Γ扩展为整个右平面。曲线Γ由三段 所组成：
（1）正虚轴s=jω ：频率ω由0变到＋∞；
（2）半径为无限大的右半圆 S=Rejθ:R→∞，θ：
i 1
iZ 1
j 1
j P 1
Z (2 ) P(2 ) (P Z )2
图5-40 映射关系
式中，P和Z分别是被闭合曲线Γ包围的特征方程函数F
(s)的极点数和零点数。它表明，当s平面上的试验点s1沿 闭合曲线Γ顺时针方向绕行一圈时，F(s)平面上对应的闭
合曲线将按逆时针方向包围坐标原点（P-Z）圈。
对于包含了整个右半s平面的Nyquist路径来说，Z和P 分别为闭环传递函数和开环传递函数在右半s平面上的极 点数，而R则存在两种提法：（1）F平面上ΓF曲线围绕原 点的圈数；（2）GH平面上极坐标频率特性曲线及其镜像 围绕（－1，j0）点的圈数。
利用幅角定理判断闭环系统的稳定性，则闭环系统稳 定的充要条件为F(S)函数在s平面右半部的零点数Z=0即
图5-47 K>1 和 K<1的频率特性曲线
3、Nyquist判据在Ⅰ型和Ⅱ型系统中的应用
设系统开环传递函数为
m
G(s)H (s)
K
(
i 1
i
s

1)
nv
sv
(T
j 1
j
s
1)
为利用Nyquist判据分析Ⅰ型和Ⅱ型系统的稳定性，就需要 修改s平面上原点附近的Nyquist路径，使它不通过s=0的开 环极点又仍然能包围整个右半s平面。方法是增补一个以 原点为圆心、半径R′为无穷小的右半圆。如图5-48所示
图5-43 s平面上的 Nyquist轨迹
Nyquist轨迹Γ由两部分组
成，一部分沿虚轴由下而上 移动，试验点s=jω在整个虚 轴上的移动，在F 平面上的 映射就是曲线F(jω) (ω由－ ∞→+∞)，如图5-44所示。
F(jω)=1+G(jω)H(jω)
Nyquist轨迹Γ的另一部分 为s平面上半径为∞的右半圆， 映射到F 平面上为
图5-39 s平面与F(S)平面的映射关系
对于S平面内的任意一点d，都可以通过F(S)的映射关系 在F平面上找到一个相应的点d′（ d′是d的像 ）；对于S平 面上任意一条不通过F(S)任何零点极点的闭合曲线Γ，也
可以通过映射关系在F(S)平面上找到一条与它相对应的曲
线ΓF。
设复ຫໍສະໝຸດ Baidu量S沿着闭合曲线Γ运动一周，研究F(S)相角的 变化情况。
图5-45 例5-8系统的极坐标图及其镜像
例5-9 系统结构图如图5-46所示，试判断系统的稳定性并 讨论K值对闭环系统稳定性的影响。
图5-46 解：图示系统是一个开环不稳定系统，其开环传递函数在 S平面右半部分有一个极点P＝1，频率特性曲线如图5－ 47所示。当ω ＝0时，曲线从负实轴（－K，j0）出发；当 ω→∞时，曲线以－90°渐近角趋于坐标原点；当ω从－∞ 变化到＋∞，频率特性（图中实线部分）及其镜像（虚线 部分）包围（－1，j0）点的圈数R与K值有关。
5-4 频率域稳定判据
控制系统的闭环稳定性是系统分析和设计所需解 决的首要问题，奈奎斯特稳定判据和对数频率稳定 判据是常用的两种频域稳定判据。频域稳定判据的 特点是根据开环系统频率特性曲线判定闭环系统的 稳定性，使用方便，易于推广。
Nyquist稳定判据既可以判断系统是否稳定（绝 对稳定性），也可以确定系统的稳定程度（相对稳 定性），还可以用于分析系统的瞬态性能以及指出 改善系统性能指标的途径。
1）辅助函数F(S)是闭环特征多项式与开环特征多项式 之比，故其零点和极点分别为闭环极点和开环极点。
2）因为开环传递函数分母多项式的阶次一般大于或等 于分子多项式的阶次，故F(S)零点、极点的个数相同，均 为n个。
3）F(S)与开环传递函数G(S)H(S)之间只差常量1。 F(S)=1+G(S)H(S)的几何意义为：F平面上的坐标原点就是 GH平面上的（－1，j0）点，如图5-42所示。
R——Nyquist曲线包围坐标原点的次数。
闭环系统稳定的条件为系统的闭环极点均在s平面的
左半平面，即 Z=0 或 R=P。
例：分析下图映射关系
（3）、S平面闭合曲线Γ的选择
系统的闭环稳定性取决于系统闭环传递函数F（S）零 点的位置，因此当选择S平面闭合曲线Γ 包围S平面的右半 部分时，Z＝0系统稳定。考虑到闭合曲线不通过F(S)任一 零极点的条件， Γ可取两种形式。见P194