2019年全国各地高考文科数学试题汇总及详细答案

2019年全国各地高考文科数学试题汇总及详细答案全国I卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】因为所以2.已知集合，，，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】，，则，又，则，故选C.3.已知，，，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由对数函数的图像可知：；再有指数函数的图像可知：，，于是可得到：.4.古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是（称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是.若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为，头顶至脖子下端的长度为，则其身高可能是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】方法一：设头顶处为点，咽喉处为点，脖子下端处为点，肚脐处为点，腿根处为点，足底处为，，，根据题意可知,故；又，，故；所以身高，将代入可得.根据腿长为，头顶至脖子下端的长度为可得，；即，，将代入可得所以，故选B.方法二：由于头顶至咽喉的长度与头顶至脖子下端的长度极为接近，故头顶至脖子下端的长度可估值为头顶至咽喉的长度；根据人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比是（称为黄金分割比例）可计算出咽喉至肚脐的长度约为；将人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度相加可得头顶至肚脐的长度为，头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是可计算出肚脐至足底的长度约为；将头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度相加即可得到身高约为，与答案更为接近，故选B.5.函数在的图像大致为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】∵，∴为奇函数，排除A.又，排除C，，排除B，故选D.6.某学校为了解名新生的身体素质，将这些学生编号为，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取名学生进行体质测验，若号学生被抽到，则下面名学生中被抽到的是（）.A.号学生B.号学生C.号学生D.号学生【答案】C【解析】从名学生中抽取名，每人抽一个，号学生被抽到，则抽取的号数就为，可得出号学生被抽到.7.（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因为化简可得8.已知非零向量，满足，且，则与的夹角为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，且，，有，设与的夹角为，则有，即，，，，，故与的夹角为，选.9.下图是求的程序框图，图中空白框中应填入（）A. B.C. D.【答案】A【解析】把选项代入模拟运行很容易得出结论选项A代入运算可得，满足条件，选项B代入运算可得,不符合条件，选项C代入运算可得,不符合条件，选项D代入运算可得,不符合条件.10.双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则的离心率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】根据题意可知，所以，离心率.11.的内角的对边分别为，已知，，则（）A.6B.5C.4D.3【答案】A【解析】由正弦定理可得到：，即，又由余弦定理可得到：，于是可得到12.已知椭圆的焦点坐标为，，过的直线与交于，两点，若，，则的方程为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】由，，设，则，，根据椭圆的定义，所以，因此点即为椭圆的下顶点，因为，所以点坐标为，将坐标代入椭圆方程得，解得，故答案选B.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.曲线在点处的切线方程为.【答案】【解析】∵，∴结合导数的几何意义曲线在点处的切线方程的斜率，∴切线方程为.14.记为等比数列的前项和，若，，则.【答案】【解析】，设等比数列公比为∴∴所以15．函数的最小值为___________．【答案】【解析】，因为，知当时取最小值，则的最小值为．16.已知，为平面外一点，，点到两边的距离均为，那么到平面的距离为.【答案】【解析】如图，过点做平面的垂线段，垂足为，则的长度即为所求，再做，由线面的垂直判定及性质定理可得出，在中，由，可得出，同理在中可得出，结合，可得出，，17.某商场为提高服务质量，随机调查了名男顾客和名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：（1）分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；（2）能否有的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？附：解：（1）男顾客的的满意概率为女顾客的的满意概率为.（2）有的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异.18.记为等差数列的前项和，已知；（1）若，求的通项公式；（2）若，求使得的的取值范围.解：（1）由结合可得，联立得，所以（2）由可得，故，.由知，故等价于，解得，所以的取值范围是19.如图直四棱柱的底面是菱形，，，分别是的中点.（1）证明：平面（2）求点到平面的距离.（1）证明：连结相交于点，再过点作交于点，再连结，.分别是的中点.于是可得到，，于是得到平面平面，由平面，于是得到平面（2）解：为中点，为菱形且，又为直四棱柱，，又，，设点到平面的距离为由得解得所以点到平面的距离为20.已知函数，是的导数.（1）证明：在区间存在唯一零点；（2）若时，，求的取值范围.（1）证明：由题意得令，∴当时，，单调递增，当时，，单调递减，∴的最大值为，又，∴，即，∴在区间存在唯一零点.（2）解：令，∴，由（1）知在上先增后减，存在，使得，且，，，∴在上先增后减，，，，当时，在上小于，单调递减，又，则不合题意，当时，即，时，若，，在上单调递增，在上单调递减，则解得，而解得，故，若，，在上单调递增，且，故只需解得；若，，在上单调递增，且，故存在时，，不合题意，综上所述，的取值范围为.21.已知点关于坐标原点对称，，过点且与直线相切.（1）若在直线上，求的半径；（2）是否存在定点，使得当运动时，为定值？并说明理由.解：（1）∵过点，∴圆心在的中垂线上即直线上，设圆的方程为，又，根据得；∵与直线相切，∴，联解方程得或.（2）设的坐标为，根据条件即化简得，即的轨迹是以为焦点，以为准线的抛物线，所以存在定点，使.22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.（1）求和的直角坐标方程；（2）求上的点到距离的最小值.解：（1）曲线:由题意得即，则，然后代入即可得到而直线：将代入即可得到（2）将曲线化成参数方程形式为则所以当时，最小值为23.已知，，为正数，且满足，证明：（1）；（2）.解：（1），，，，即，当且仅当时取等号.且，，都为正数，，，，故.（2），当且仅当时等号成立，即时等号成立.又，当且仅当时等号成立，，故，即得.全国Ⅱ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合={|1}A x x >-，{|2}B x x =<，则A ∩B = A. (–1，+∞) B. (–∞，2) C. (–1，2) D. ∅【答案】C 【解析】 【分析】本题借助于数轴，根据交集的定义可得． 【详解】由题知，(1,2)AB =-，故选C ．【点拨】本题主要考查交集运算，容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查．易错点是理解集合的概念及交集概念有误，不能借助数轴解题．2.设z =i(2+i)，则z = A. 1+2i B. –1+2i C. 1–2i D. –1–2i【答案】D 【解析】 【分析】本题根据复数的乘法运算法则先求得z ，然后根据共轭复数的概念，写出z ． 【详解】2i(2i)2i i 12i z =+=+=-+， 所以12z i =--，选D ．【点拨】本题主要考查复数的运算及共轭复数，容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查．理解概念，准确计算，是解答此类问题的基本要求．部分考生易出现理解性错误．3.已知向量a =(2，3)，b =(3，2)，则|a –b |=A.B. 2D. 50【答案】A 【解析】 【分析】本题先计算a b -，再根据模的概念求出||-a b ． 【详解】由已知，(2,3)(3,2)(1,1)-=-=-a b ，所以||-==a b ，故选A【点拨】本题主要考查平面向量模长的计算，容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查．由于对平面向量的坐标运算存在理解错误，从而导致计算有误；也有可能在计算模的过程中出错．4.生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标，若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为A. 23 B.35 C. 25D. 15【答案】B 【解析】 【分析】本题首先用列举法写出所有基本事件，从中确定符合条件的基本事件数，应用古典概率的计算公式求解．【详解】设其中做过测试的3只兔子为,,a b c ，剩余的2只为,A B ，则从这5只中任取3只的所有取法有{,,},{,,},{,,},{,,},{,,},{,,}a b c a b A a b B a c A a c B a A B ，{,c,},{,c,},{b,,},{c,,}b A b B A B A B 共10种．其中恰有2只做过测试的取法有{,,},{,,},{,,},{,,},a b A a b B a c A a c B {,c,},{,c,}b A b B 共6种，所以恰有2只做过测试的概率为63105=，选B ． 【点拨】本题主要考查古典概率的求解，题目较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查．应用列举法写出所有基本事件过程中易于出现遗漏或重复，将兔子标注字母，利用“树图法”，可最大限度的避免出错．5.在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测．甲：我的成绩比乙高．乙：丙的成绩比我和甲的都高． 丙：我的成绩比乙高．成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为 A. 甲、乙、丙 B. 乙、甲、丙 C. 丙、乙、甲 D. 甲、丙、乙【答案】A 【解析】 【分析】利用逐一验证的方法进行求解.【详解】若甲预测正确，则乙、丙预测错误，则甲比乙成绩高，丙比乙成绩低，故3人成绩由高到低依次为甲，乙，丙；若乙预测正确，则丙预测也正确，不符合题意；若丙预测正确，则甲必预测错误，丙比乙的成绩高，乙比甲成绩高，即丙比甲，乙成绩都高，即乙预测正确，不符合题意，故选A ．【点拨】本题将数学知识与时政结合，主要考查推理判断能力．题目有一定难度，注重了基础知识、逻辑推理能力的考查．6.设f (x )为奇函数，且当x ≥0时，f (x )=1x e -，则当x <0时，f (x )= A. e 1x -- B. e 1x -+ C. e 1x --- D. e 1x --+【答案】D 【解析】 【分析】先把x <0，转化为-x>0,代入可得()f x -，结合奇偶性可得()f x .【详解】()f x 是奇函数，020011()f x x x =+'．当0x <时，0x ->，()e 1()x f x f x --=-=-，得()e1xf x -=-+．故选D ．【点拨】本题考查分段函数的奇偶性和解析式，渗透了数学抽象和数学运算素养．采取代换法，利用转化与化归的思想解题．7.设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是 A. α内有无数条直线与β平行 B. α内有两条相交直线与β平行 C. α，β平行于同一条直线 D. α，β垂直于同一平面 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了空间两个平面的判定与性质及充要条件，渗透直观想象、逻辑推理素养，利用面面平行的判定定理与性质定理即可作出判断．【详解】由面面平行的判定定理知：α内两条相交直线都与β平行是//αβ的充分条件，由面面平行性质定理知，若//αβ，则α内任意一条直线都与β平行，所以α内两条相交直线都与β平行是//αβ的必要条件，故选B ．【点拨】面面平行的判定问题要紧扣面面平行判定定理，最容易犯的错误为定理记不住，凭主观臆断，如：“若,,//a b a b αβ⊂⊂，则//αβ”此类的错误．8.若x 1=4π，x 2=34π是函数f (x )=sin x ω(ω>0)两个相邻的极值点，则ω= A. 2 B. 32C. 1D. 12【答案】A 【解析】【分析】 从极值点可得函数的周期，结合周期公式可得ω.【详解】由题意知，()sin f x x ω=的周期232()44T ωπππ==-=π，得2ω=．故选A ． 【点拨】本题考查三角函数的极值、最值和周期，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．采取公式法，利用方程思想解题．9.若抛物线y 2=2px （p >0）的焦点是椭圆2231x y pp+=的一个焦点，则p =A. 2B. 3C. 4D. 8【答案】D 【解析】 【分析】利用抛物线与椭圆有共同的焦点即可列出关于p 的方程，即可解出p ，或者利用检验排除的方法，如2p =时，抛物线焦点为（1，0），椭圆焦点为（±2，0），排除A ，同样可排除B ，C ，故选D ．【详解】因为抛物线22(0)y p x p =>的焦点(,0)2p是椭圆2231x y p p +=的一个焦点，所以23()2pp p -=，解得8p =，故选D ．【点拨】本题主要考查抛物线与椭圆的几何性质，渗透逻辑推理、运算能力素养．10.曲线y =2sin x +cos x 在点(π，–1)处的切线方程为 A. 10x y --π-= B. 2210x y --π-= C. 2210x y +-π+= D. 10x y +-π+=【答案】C 【解析】 【分析】先判定点(,1)π-是否为切点，再利用导数的几何意义求解.【详解】当x π=时，2s i n c o s y =π+π=-，即点(,1)π-在曲线2sin cos y x x=+上．2cos sin ,y x x '=-2cos sin 2,x y πππ=∴=-=-'则2sin cos y x x =+在点(,1)π-处的切线方程为(1)2()y x --=--π，即2210x y +-π+=．故选C ．【点拨】本题考查利用导数工具研究曲线的切线方程，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．采取导数法，利用函数与方程思想解题．学生易在非切点处直接求导数而出错，首先证明已知点是否为切点，若是切点，可以直接利用导数求解；若不是切点，设出切点，再求导，然后列出切线方程．11.已知a ∈（0，π2），2sin2α=cos2α+1，则sinα=A.15 B.C. D.【答案】B 【解析】 【分析】利用二倍角公式得到正余弦关系，利用角范围及正余弦平方和为1关系得出答案．【详解】2sin 2cos21α=α+，24sin cos 2cos .0,,cos 02π⎛⎫∴α⋅α=αα∈∴α> ⎪⎝⎭．sin 0,2sin cos α>∴α=α，又22sin cos 1αα+=，2215sin 1,sin 5∴α=α=，又sin 0α>，sin 5α∴=，故选B ． 【点拨】本题为三角函数中二倍角公式、同角三角函数基本关系式的考查，中等难度，判断正余弦正负，运算准确性是关键，题目不难，需细心，解决三角函数问题，研究角的范围后得出三角函数值的正负，很关键，切记不能凭感觉．12.设F 为双曲线C ：22221x y a b-=（a >0，b >0）的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2+y 2=a 2交于P 、Q 两点．若|PQ |=|OF |，则C 的离心率为A. B.C. 2D.【答案】A 【解析】【分析】准确画图，由图形对称性得出P 点坐标，代入圆的方程得到c 与a 关系，可求双曲线的离心率． 【详解】设PQ 与x 轴交于点A ，由对称性可知PQ x ⊥轴， 又||PQ OF c ==，||,2cPA PA ∴=∴为以OF 为直径的圆的半径，A ∴为圆心||2cOA =．,22c c P ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，又P 点在圆222x y a +=上，22244c c a ∴+=，即22222,22c c a e a=∴==．e ∴=A ．【点拨】本题为圆锥曲线离心率的求解，难度适中，审题时注意半径还是直径，优先考虑几何法，避免代数法从头至尾，运算繁琐，准确率大大降低，双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重点问题，需强化练习，才能在解决此类问题时事半功倍，信手拈来．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.若变量x ，y 满足约束条件23603020x y x y y ，，，+-≥⎧⎪+-≤⎨⎪-≤⎩则z =3x –y 的最大值是___________.【答案】9. 【解析】 【分析】作出可行域，平移30x y -=找到目标函数取到最大值的点，求出点的坐标，代入目标函数可得.【详解】画出不等式组表示的可行域，如图所示，阴影部分表示的三角形ABC 区域，根据直线30x y z --=中的z 表示纵截距的相反数，当直线3z x y =-过点3,0C （）时，z 取最大值为9．【点拨】本题考查线性规划中最大值问题，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．采取图解法，利用数形结合思想解题．搞不清楚线性目标函数的几何意义致误，从线性目标函数对应直线的截距观察可行域，平移直线进行判断取最大值还是最小值．14.我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为___________.【答案】0．98. 【解析】 【分析】本题考查通过统计数据进行概率的估计，采取估算法，利用概率思想解题．【详解】由题意得，经停该高铁站的列车正点数约为100.97200.98100.9939.2⨯+⨯+⨯=，其中高铁个数为10+20+10=40，所以该站所有高铁平均正点率约为39.20.9840=． 【点拨】本题考点为概率统计，渗透了数据处理和数学运算素养．侧重统计数据的概率估算，难度不大．易忽视概率的估算值不是精确值而失误，根据分类抽样的统计数据，估算出正点列车数量与列车总数的比值．15.V ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知b sin A +a cos B =0，则B =___________. 【答案】34π. 【解析】 【分析】先根据正弦定理把边化为角，结合角的范围可得.【详解】由正弦定理，得sin sin sin cos 0B A A B +=．(0,),(0,)A B ∈π∈π，sin 0,A ∴≠得sin cos 0B B +=，即tan 1B =-，3.4B π∴=故选D ． 【点拨】本题考查利用正弦定理转化三角恒等式，渗透了逻辑推理和数学运算素养．采取定理法，利用转化与化归思想解题．忽视三角形内角的范围致误，三角形内角均在(0,)π范围内，化边为角，结合三角函数的恒等变化求角．16.中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体共有________个面，其棱长为_________．【答案】 (1). 共26个面. (2). 1. 【解析】 【分析】第一问可按题目数出来，第二问需正方体中简单还原出物体位置，利用对称性，平面几何解决．【详解】由图可知第一层与第三层各有9个面，计18个面，第二层共有8个面，所以该半正多面体共有18826+=个面．如图，设该半正多面体的棱长为x ，则AB BE x ==，延长BC 与FE 交于点G ，延长BC 交正方体棱于H ，由半正多面体对称性可知，BGE ∆为等腰直角三角形，,21)122BG GE CH x GH x x x ∴===∴=⨯+==，1x ∴==．【点拨】本题立意新颖，空间想象能力要求高，物体位置还原是关键，遇到新题别慌乱，题目其实很简单，稳中求胜是关键．立体几何平面化，无论多难都不怕，强大空间想象能力，快速还原图形．三、解答题：共70分。