圆中的角的认识
角的概念解析
角的概念解析角是几何学中一个重要的概念，它是由两条射线共同确定的一个图形。
角常用来讨论线段之间的相对位置和旋转方向，并被广泛应用于各个领域的数学问题中。
本文将对角的概念、性质和角度单位进行详细解析。
一、概念解析角是由两条射线共同确定的一个图形，这两条射线称为角的边，相交的点称为角的顶点。
角可表示为∠ABC或∠CBA，其中A、B、C分别代表角的顶点和边。
根据角的大小，可以将其分为三类：锐角、直角和钝角。
- 锐角：角的大小小于90°；- 直角：角的大小等于90°；- 钝角：角的大小大于90°。
二、角的性质1. 角的度量角的度量是用角度来表示的，角度是角相对于一个圆的弧上所对应的弧度数。
一个完整的圆共有360°，每个角度可以等分为60分，每一分再等分为60秒。
2. 角的对立角在平面几何中，角的对立角是指与其顶点和边分别在同一直线上的两个角。
对立角互为补角，即其角度数之和为180°。
例如，∠ABC与∠CBD为对立角，则∠ABC + ∠CBD = 180°。
3. 角的互补角和余补角互补角是指角度数之和为90°的两个角，而余补角是指角度数之和为180°的两个角。
例如，∠ABC与∠CBD为互补角，则∠ABC +∠CBD = 90°；若∠ABC与∠CBD为余补角，则∠ABC + ∠CBD = 180°。
4. 角的平分线角的平分线是指将角分为两个相等的角的射线。
角的平分线通过角的顶点，并将角划分为两个度数相等的角，即∠ABC = ∠CBD。
5. 角的内部、外部与共线角角的内部是指位于角边所在直线两侧的点构成的集合；角的外部是指不在角内部的点构成的集合；共线角是指由一个点和两条相交的射线所确定的两个角，这两个角的顶点和边分别在同一直线上。
三、角度单位角度单位有两种常用的表示方法：度（°）和弧度。
度是在几何学中最常用的角度单位，将一个完整的圆等分为360等份。
角的认识认识角的基本概念和表示方法
角的认识认识角的基本概念和表示方法角的认识：认识角的基本概念和表示方法角是几何学中一个重要的概念，在学习几何学时我们经常会遇到和使用角的概念和表示方法。
在本文中，我们将深入探讨角的基本概念，介绍角的表示方法，并探讨角度的重要性及其应用。
一、角的基本概念角是由两条射线（也称为边）共享一个起点而形成的形状。
我们通常将起点称为角的顶点，两条射线则为角的边。
角的大小可以通过来自角的两条边的夹角来衡量。
根据角度的大小，角可以分为不同的类型。
当角的大小为90度时，我们将其称为直角。
小于90度的角称为锐角，而大于90度并且小于180度的角则称为钝角。
此外，角还可以被视为零度或360度的整数倍，我们将其称为相应的零角或圆角。
二、角的表示方法在几何学中，我们一般用特定的符号和记法来表示角。
以下是角的主要表示方法：1. 度数表示法：角的大小可以用度数表示，一个完整的圆可以分为360度。
例如，一个直角为90度，一个锐角为60度，一个钝角为120度。
2. 弧度表示法：角的大小也可以用弧度表示。
弧度是一个计量单位，用于衡量角的大小。
一个完整的圆对应的弧度为2π（或360度）。
常见角度的弧度表示如下：直角为π/2，锐角为π/3，钝角为2π/3。
3. 三角函数：三角函数是一种常用的角表示方法。
常见的三角函数包括正弦、余弦和正切。
我们可以通过这些函数计算角的数值。
三、角度在几何学中的重要性及应用角是几何学中的基本概念，它在理解和解决各种几何问题时起着重要的作用。
以下是角的一些重要应用：1. 平面几何：角的概念与平面几何密切相关。
通过了解角的性质，我们可以解决各种涉及线段、射线和平面的几何问题。
2. 三角学：角的概念是三角学的基础。
三角函数的定义和计算都涉及角的概念，例如正弦定理和余弦定理。
3. 物理学：角的概念在物理学中也具有重要意义。
例如，在力学中，我们常常使用角度来描述物体的旋转状态。
4. 工程学：角的概念在工程学中广泛应用。
人教版二年级数学上册第3单元 角的认识及画法
画角要记住：先画 顶点再画边。
别忘了让我 来帮助你呀！
三、巩固认识，深化理解
教材P39 做一做
1.你周围物体的表面是什么图形？这些图形中有角吗？ 2.按照例2的方法，自己画出一个角。
三、巩固认识，深化理解
3. 指一指哪里有角。 教材P43 练习八 第1题
三、巩固认识，深化理解
4. 下面的图形哪些是角，哪些不是角？ 教材P43 练习八 第2题
（ 2 ）条线段 （ 1 ）个角
七、巩固练习
3. 数一数，填一填。 选自《创优作业100分》
（ 3 ）条线段 （ 2 ）个角
（ 6 ）个角
七、巩固练习
4.填空。 （1）一个角有（ 1 ）个顶点，（ 2 ）条边。 （2）写出下面角的各部分名称。
边 顶点
边
顶点
边
边
七、巩固练习
(3)三角形有( 3 )个顶点，( 3 )条边。 (4)正方形有( 4 )个顶点，( 4 )个角， ( 4 )条边。 (5)从( 1 )个点起，用(直尺)向不同的方向画( 2 ) 条直线，就画成一个( 角 )。 (6)角的大小与角的两条边叉开的大小（有）关系， 两边叉开的越大，角就( 大 )。
二、观察实践，探索新知
用下面的圆形纸片折角。
角有大小 这两个角，哪个角大一些？
二、观察实践，探索新知
我发现角的两边张开 得越大，角就越大。
二、观察实践，探索新知
用纸片可以折出怎样大小的角呢？并比一比。
我折的角比你折的小。
二、观察实践，探索新知
先画一个点，再以这个点为顶点，借助尺子向 不同的方向画两条笔直的线，就画出一个角。
七、巩固练习
5. 打开折扇，看看角有什么变化。 教材P43 练习八 第4题
角的初步认识讲课
角的初步认识讲课角是我们学习数学的重要概念之一，它在几何学中有着重要的作用。
通过对角的初步认识，我们可以更好地理解和应用它在实际问题中的用途。
本文将介绍角的定义、性质以及常见的角度单位，并结合具体例子来帮助读者更好地理解。
一、角的定义与分类角可以被定义为由两条射线共享一个公共起点所形成的图形。
这个共享的起点称为角的顶点，两条射线则称为角的边。
根据角的大小和形状，我们可以将角分为以下三类：1. 锐角：角度小于90度，尖锐的形状。
2. 直角：角度为90度，形状为一个正方形的内角。
3. 钝角：角度大于90度，形状较为钝圆。
通过对不同种类角的认识，我们可以更好地理解和应用它们在几何学中的特性。
二、角的性质1. 角的度量单位：角的大小可以用度（°）来度量。
一圆周角等于360度，而直角等于90度。
我们可以通过使用度数来测量和记录角的大小。
2. 角的对立角：对于任何角，它的对立角是通过顶点将整个平面分成两个互补的角。
对立角的和总是等于180度。
3. 角的相等性：如果两个角的度数相等，则它们是相等角。
相等角具有相同的大小，无论它们的形状和位置如何。
4. 角的补角和余角：两个角的和等于90度时，这两个角互为补角。
而两个角的和等于180度时，这两个角互为余角。
通过对角的性质的理解，我们可以更加灵活地运用它们来解决实际问题。
三、角度单位的转换在实际问题中，不仅仅使用度数来度量角的大小，还有其他常见的角度单位，如弧度。
1. 弧度：弧度是角度的另一种度量单位。
一圆周角等于2π弧度，而直角等于π/2弧度。
弧度与度之间的转换关系为：180度= π弧度。
2. 角度与弧度的转换：如果要将角度转换为弧度，可以使用以下公式：角度 = 弧度* (180/π)。
反之，如果要将弧度转换为角度，可以使用以下公式：弧度 = 角度* (π/180)。
通过角度单位的转换，我们可以在不同的数学问题中更加方便地进行计算。
综上所述，角的初步认识对于学习几何学和解决实际问题都至关重要。
圆中角
圆中角解读课标角是几何图形中最重要的元素，是证明角平分线、两直线平行位置关系、判断三角形全等、三角形相似的重要条件，而圆的特点，又使角的互相转化具备了灵活多变的优越条件，是解题中最活跃的元素．圆中角主要有圆心角、圆周角；特别地直径所对的圆周角是90°．在理解圆中交时，要注意角的顶点与圆的位置关系、角的两边与圆的位置关系；在运用圆中角时，要关注弧的中介作用，弧把圆心角、圆周角联系起来． 熟悉以下图形、基本结论：问题解决例1 如图，△ABC 内接于⊙O ，∠A 所对弧的度数为120°，∠ABC 、∠ACB 的平分线分别交AC 、AB 于点D 、E ，CE 、BD 相交于点F 。
以下四个结论：①cos ∠BFE=21②BC=BD ；③EF=FD ；○4BF=2DF.其中结论一定正确的序号是______．(2006年重庆市中考题)试一试 先求出∠A 、∠BFC 的值，并作出与角平分线相关的辅助线，这是解本例的基础.例2 如图，矩形ABCG(AB<BC)与矩形CDEF全等，点B 、C 、D 在同一条直线上，∠APE 的顶点P 在线段BD 上移动，使么APE 为直角的点P 的个数是 （ ）A ．0B ．1C ．2D ．3(2006年陕西省中考题)试一试 作出以AE 为直径的圆，将P 点的个数判断转化为圆与BD 交点个数的判定．例3 如图，点A 、B 、C 、D 在⊙O 上，AB=AC ，AD 交BC 于点E ，AE=2，ED=4．求AB 长．(常州市中考题) 试一试 图中有许多相等的角，进而可得到多对相似三角形，这是解本例的出发点．例4 已知BC 是⊙O 直径，D 是BC 上一动点(不与点B 、O 、C 重合)，过D 点作直线AH 上BC 交⊙O 于A 、H 两点，F 是⊙O上一点(不与点B 、C 重合)，且⋂⋂=AF AB ，直线BF 交直线AH 于点E.(1)如图a 当点D 在线段BO 上时，试判断AE 与BE 的大小关系，并证明你的结论；(2)当点D 在线段OC 上，且OD>DC 时，其他条件不变． ○1请你在图b 中画出符合要求的图形，并参照图a 标记字母；②判断(1)中的结论是否还成立，并说明理由．(2006年辽宁省中考题) 试一试对于(1)由角的关系，可导出AE与BE的大小关系，从不同角度作出辅助线，可得到多种证法；对于(2)，依题意画出图形是关键．例5 如图，在平面直角坐标系中，以点M(0，3)为圆心，以32长为半径作⊙M交x轴于A、B两点，交y轴于C、D两点，连结AM并延长交⊙M于P点，连结PC交x轴于E．(1)求出CP所在直线的解析式；(2)连结AC，求△ACP的面积．(2006年芜湖市中考题)试一试连PB，则∠ABP=90°，又DC为OM直径，DC⊥AB，则AO=BO．数学冲浪知识技能广场1．如图，在“世界杯”足球比赛中，甲带球向对方球门PQ 进攻．当他带球冲到A点时，同伴乙已经助攻冲到B点．有两种射门方式：第一种是甲直接射门；第二种是甲将球传给乙，由乙射门．仅从射门角度考虑，应选择______种射门方式．(2006年山西省中考题)2．如图，在⊙O中，直径AB为10cm，弦AC长为6cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，则BC=______cm，BD=______cm．3．如图，△ABC内接于⊙O，∠C=45°，AB=4，则⊙O的半径为______．(2006年安徽省中考题) 4．如图，在平面直角坐标系中，P是经过O(0，0)，A(0，2)，B(2，0)的圆上一个动点(P 与O、B不重合)，则∠OPB=______．(江西省中考题) 5．如图，⊙O的直径CD过弦EF的中点G，∠EOD=40°，则∠DCF等于（）A．80°B．50°C．40°D．20°(2006年重庆市中考题)6．如图，正△ABC内接于⊙O，P是劣弧BC上任意一点，PA与BC交于点E，有如下结论：①PA=PB+PC；②③PA·PE=PB·PC．其中，正确结论的个数为（）(天津市中考题) A．3个B．2个C．1个D．0个7．如图，△ABC 内接于⊙O ，点D 是CA 延长线上一点，若∠BOC=120°,则∠BAD 等于 （ ）A ．30°B ．60°C ．75°D ．90° 8．如图，AB 是⊙O 的直径，诸角p 、q 、r 、s 之间的关系：①p=2q ；②q=r ；③p+s=180°．其中，正确的是 （ ）A ．只有①和②B ．只有①和③C ．只有②和③D ．①、②和③9．如图，AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的弦，OD ⊥BC 于点E ，交⋂BC 于点D ． (1)请写出三个不同类型的正确结论；(2)连结CD ，设∠CDB=α，∠ABC=β，试找出α与β之间的一种关系式，并给予证明．(2006年江西省中考题)10．如图，在⊙O 的内接△ABC 中，AB+AC=12，AD ⊥BC 于D ，且AD=3，设⊙O 的半径为y ，AB 的长为x.(1)求Y 与x 的函数关系式； (2)当AB 的长等于多少时，⊙O 的面积最大?并求出⊙O 的最大面积．(2006年兰州市中考题)思想方法天地11．如图，AB 为圆的直径，若AB=AC=5，BD=4，则BEAE =______.12．如图，⊙C 通过原点，并与坐标轴分别交于A ，D 两点．已知∠OBA=30°，点D 的坐标为(0，2)，则点A 、C 的坐标分别为A(___，___)；C(___，___)．(第18届江苏省竞赛题)13．如图，在四边形ABCD 中，AB=AC=AD ．若∠BAC=25°，∠CAD=75°，则∠BDC=______，∠DBC=______.(2006年第21届江苏省竞赛题)14．已知△ABC 中，AB=AC=38，高AD=8，则△ABC 外接圆的半径为（ ）A ．8B ．9C ．10D ．12(2006年太原市竞赛题)15．已知在半径为2的⊙O 中，圆内接△ABC 的边AB=32，则∠C 的度数为 （ ）A ．60°B ．30°C ．60°或120°D ．30°或150°(2006年广东省竞赛题) 16．如图，MN 是⊙O 的直径，若∠E=25°，∠PMQ=35°，则∠MQP=（ ） A ．30° B ．35° C ．40° D ．50° 17．如图，已知四边形ABCD 外接⊙O 的半径为5，对角线AC 与BD 的交点为E ，且AB2=AE·AC ，BD=8，求△ABD 的面积．(全国初中数学联赛题)18．如图，四边形ABCD 为正方形，⊙O 过正方形的顶点A 和对角线的交点P ，分别交AB 、AD 于点F 、E ． (1)求证：DE=AF ； (2)若⊙O 的半径为22，AB=12 ，求EDAE 的值．(2006年第21届江苏省竞赛题)应用探究乐园19．图1是钢丝制作的一个几何探究工具，其中△ABC 内接于⊙G ，AB 是⊙G 的直径，AB=6，AC=3．现将制作的几何探究工具放在平面直角坐标系中，然后点A 在射线Ox 上由点O 开始向右滑动，点B 在射线Oy 上也随之向点O 滑动(图2)，当点B 滑动至与点O 时运动结束．(1)试说明在运动过程中，原点O 始终在⊙G 上；(2)设点C 的坐标为(z ，y)，试探究y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； (3)在整个运动过程中，点C 运动的路程是多少?。
【最新北师大版初一上册数学】第13讲：角的认识及多边形和圆的初步认识-学案
七年级上册数学 第五章 基本平面图形第二讲 角的认识及多边形和圆的初步认识考点一：角的定义【例题】1、从点O 出发有五条射线，可以组成的角的个数是（ ）A ． 4个 B.5个 C. 7个 D. 10个2、下列说法中，正确的个数有（ ）①两条射线组成的图形是角；②角的大小与边的长短有关；③角的两边可以画的一样长，也可以一长一短；④角的两边是两条射线；⑤因为平角的两边也成一条直线，所以一条直线可以看作一个平角。
A.2个B.3个C.4个D.5个3、如图所示，射线OP 表示的方向是 ．【练习】1、如图，对图中各射线表示的方向下列判断错误的是（ ）．A ．OA 表示北偏东15°B ．OB 表示北偏西50°C ．OC 表示南偏东45°D ．OD 表示西南方向2、如图，甲从A 点出发向北偏东70°方向走到点B ，乙从点A 出发向南偏西15°方向走到点C ，则∠BAC 的度数是 （ ）A ． 85°B ．160°C ．125°D ．105°3、下列语句正确的说法是（ ）A ．两条直线相交，组成的图形是角B ．从同一点引出的两条射线组成的图形也是角A 70° 15° ︶︵C．两条有公共端点的线段组成的图形叫角D．两条射线组成的图形叫角4、下列说法正确的是（）A．平角就是一条直线 B．周角就是一条射线C．平角的两条边在同一条直线上 D．周角的终边与始边重合，所以周角的度数是0°5、下列说法中不正确的是（）A．由两条射线所组成的圆形叫做角B．∠AOB的顶点是点OC．∠AOB和∠BOA表示同一个角D．角可以看做一条射线绕着端点旋转到另一个位置所形成的图形考点二：角的表示【例题】1、如图所示四个图形中，能用∠α、∠AOB、∠O三种方法表示同一个角的图形是（）2、如图，∠AOB=90°，以O为顶点的锐角共有个3、已知：如图，在∠AOE的内部从O引出3条射线，求图中共有多少个角？如果引出99条射线，则有多少个角？【练习】1、如图, 一艘客轮沿东北方向OC行驶，在海上O处发现灯塔A在北偏西30°方向上, 灯塔B在南偏东60°方向上．（1）在图中画出射线OA 、OB 、OC ；（2）求∠AOC 与∠BOC 的度数，你发现了什么？2、如图，以B 为顶点的角有几个？把它们表示出来，以D 为顶点的角有几个？把它们表示出来。
角与圆的关系
∵∠BOC是△AOC的外角
∴∠BOC=∠BAC+∠ACO=2∠BAC
情况2：
如图2, 当圆心O在∠BAC的内部时：
连接AO，并延长AO交⊙O于D
∵OA、OB、OC是半径
解：∴OA=OB=OC
∴∠BAD=∠ABO，∠CAD=∠ACO（等边
对等角）
∵∠BOD、∠COD分别是△AOB、△AOC
的外角
∴∠BOD=∠BAD+∠ABO=2∠BAD(三角 形的外角等于两个不相邻两个内角的和）
已知：如图直线ABP和CDP是自点P 引的⊙O的两条割线 求证：PA·PB=都 对弧BD ∴由圆周角定理，得 ∠A=∠C 又∵∠P=∠P ∴△ADP∽△CBP （如果一个三角 形的两个角与另一个三角形的两个
角对应相等，那么这两个三角形相 似。）
∴AP:CP=DP:BP 即AP·BP=CP·DP
角）,∠CAD=∠ACO(OA=OC）
∵∠DOB、∠DOC分别是△AOB、△AOC
的外角
∴∠DOB=∠BAD+∠ABO=2∠BAD(三角形
图3
的外角等于两个不相邻两个内角的和）
∠DOC=∠CAD+∠ACO=2∠CAD(三角形的
外角等于两个不相邻两个内角的和）
∴∠BOC=∠DOC-∠DOB=2(∠CAD-
的度数的和的一半。
相交弦定理：圆的相交 弦被交点分成的两线段 的积相等
已知在⊙O中，∠BOC与圆周角
∠BAC同对弧BC，求证：
∠BOC=2∠BAC.
证明：
情况1：
如图1，当圆心O在∠BAC的一边上时，
即A、O、B在同一直线上时：
∵OA、OC是半径
图1
解：∴OA=OC
圆形认识圆的基本知识
圆形认识圆的基本知识圆是几何中常见的一种形状，它具有独特的性质和特点。
本文将介绍圆的基本知识，包括定义、性质、公式和应用等方面。
一、圆的定义圆是平面上所有到一个点的距离都相等的点的集合。
这个点称为圆心，到圆心的距离称为半径。
用数学符号表示，圆心为O，半径为r，圆可以记作C(O, r)。
二、圆的性质1. 圆的直径：圆中任意两点之间经过圆心的线段称为直径，它的长度等于圆的半径的两倍。
2. 圆的弦：圆上任意两点之间的线段称为弦。
3. 圆心角：以圆心为顶点的角称为圆心角，它的度数等于所对弧的度数。
4. 弧长：圆上的一段弧所对的圆心角的度数等于这段弧的长度与圆的半径的比值。
5. 弧度制：弧度制是一种角度的单位，用弧长与半径的比值来表示角度。
6. 弦切角性质：圆上的弦所对的弧所对的切角相等。
7. 切线性质：切线与半径所在直线垂直。
三、圆的公式1. 圆的面积公式：圆的面积等于π（圆周率）乘以半径的平方，即S = πr²。
2. 圆的周长公式：圆的周长等于2π乘以半径，即C = 2πr。
四、圆的应用1. 圆是很多几何图形的基础，许多几何问题都可以通过圆来解决。
2. 圆的性质在日常生活中得到广泛应用，例如建筑、交通、制造等领域。
3. 圆的公式在计算和科学研究中具有重要作用，例如在计算机图形学、物理学等领域中都需要用到圆的相关公式。
总结：本文介绍了圆的基本知识，包括定义、性质、公式和应用等方面。
圆作为几何中常见的一种形状，具有独特的性质和特点，应用广泛，对于我们的生活和学习都有一定的影响。
通过学习和认识圆，我们能够更好地理解几何学的知识，提高数学素养，并应用到实际问题中。
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B：30
C：20
D：15
练4-2.如图，A、B、C、D为⊙O上的点，DC = AB，
则AD与BC的大小关系为_______．
附加题：
1.如图所示,BC为 ⊙ O的直径,弦AD⊥BC于E,∠C = 60 .求证:△ABD为等边三角形.
2.如图，AB是⊙O的一条弦，点C是⊙O上一动点，且∠ACB = 30 ，点E、F分别是AC、BC的中点，直线EF 与⊙O交于G、H两点．若⊙O的半径为7，则GE + FH的最大值为_________．
练2-1.(1)如图，已知∠AOC = 150 ，则∠ABC = （ ）
A：105
B：120
C：135
D：150
(2)已知A、B、C为⊙O上三点，∠AOB = 60 ，则∠ACB = ________．
练2-2.(1)圆内接四边形ABCD中，∠A、∠B、∠C的度数之比为2: 3: 7，则∠D的度数为________．
(2)如图，点A、B、C在⊙O上，AB∥OC，∠OAB = 25 ，则∠B = _________．
(3)如图所示，AB是⊙O的直径，弦DC与AB相交于点E，若∠C = 40 ，则∠ABD = _______．
练1-2.(1)如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦．若∠OCB = 60 ，则∠BAC = _________．
圆中的角
【知识点一】圆—圆周角定理及推论
圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角如图， AOB是圆心角
弧度：把顶点在圆心的周角等分成360份，每一份的圆心角是 ， 的圆心角对着 的弧，即圆心角的度数等于弧度数.
圆周角的概念：顶点在圆上并且两边都与圆相交的角如图， BAC是圆周角.圆周角定义的两个特征：①顶点在圆上②两边都与圆相交
练习：如图， APB是圆周角的是（）
圆周角定理：
圆周角定理：同弧所对的圆周角的度数等于圆心角的度数的一半.
几何语言： AOB是弧AB所对的圆心角， ACB是弧AB所对的圆周角
APB=
练习：求出下列图形的 1
圆周角定理的证明：
①圆心O在 BAC的一条边上（证明提示：外角定理）
②圆心O在 BAC的内部（证明提示：外角定理）
（2）如图，△ABC中，AB = AC，以AB为直径的半圆交BC、AC于D、E，已知DE为40 ，则∠A =_________．
例2.如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠B = 60 ，则∠ADC = ________．
(2)圆内接四边形ABCD中，∠A、∠B、∠C的度数之比为3: 4: 6，则∠D的度数为______．
③圆心O在 BAC的外部（证明提示：外角定理）
圆周角定理的推论：
推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等
如图①， 1= 3, 2= 4
逆命题：在同圆或等圆中，相同圆周角所对的弧相等
如图②在⊙O中，若 BAC= DFE，则有
推论2:半圆(或直径)所对的圆周是直角， 90 圆周角所对的弦是直径，
如图③在⊙O中，若AB为直径，则 ACB= 90 .巧记：直径对直角，直角对直径.
(2)已知A、B、C为⊙O上三点，∠AOC = 120 ，则∠ABC = ________．
例3.如图，正方形ABCD的外接圆为⊙O，点P在劣弧CD上（不与C点重合）.
（1）求∠BPC的度数；
（2）若⊙O的半径为8，求正方形ABCD的边长.
练3-1.如图，正方形ABCD的外接圆为⊙O，点P在劣弧AD上（不与A、D点重合）．若⊙O的半径为1，则 的值为（ ）
如图，由圆的旋转对称性，若两个圆心角相等，则这两个角所对的两段
弧相等，两条弦也相等.
过点0分别作AB、CD的垂线段，则称这两条垂线段的长度为弦AB、CD
对应的弦心距. 易知弦心距也相等.
事实上，同圆或等圆中，这五者：
①圆心角相等 ②弧相等 ③弦相等 ④圆周角相等 ⑤弦心距相等 知一得四
思考：想一想，圆的内接四边形若是梯形，则一定是等腰梯形么？为相交于点E，若∠ACD = 50 ，则∠DAB = _______．
(4)如图，⊙A经过坐标系的原点，与x轴交于点B(8,0)，与y轴交于点C(0,6)，则⊙A的半径为_________．
练1-1.(1)如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知∠B = 60 ，则∠ACO = _________．
例4.（1）如图，在⊙O中， ，∠A = 40 ，则∠B的度数为___________．
(2)已知六边形ABCDEF是⊙O的内接六边形，且AB = BC = CD，DE = EF = FA．
求证：∠BAF = ∠CDE = 120 ．
练4-1.如图，在⊙O中， ，∠AOB = 40 ，则∠ADC的度数是（ ）
A：2
B：4
C：6
D：8
练3-2.如图，等边三角形ABC内接于半径为4的⊙O，则三角形ABC的边长为（ ）
A：
B：4
C：
D：6
【知识点二】弧弦角距的关系
数学来源于生活
想一想，茶杯的盖子为什么要做成圆的呢？
分析：由圆的旋转对称性，旋转盖子任意角度后还和原来一样.
思考：进一步，在同圆中，两个相等的圆心角所对的两段弧、弦有什么关系？
练习：如图，已知AC为⊙O的直径， BAC= 50 ，则 D=.
分析：连接BC
注意：构造直径所对的圆周角得直角.
例1.（1）如图，A、B均为⊙O上一点，若∠AOB = 80 ，则∠ACB = （ ）
A：80
B：70
C：60
D：40
（2）如图，点A、B、C在⊙O上，AB∥CO，∠B = 22 ，则∠A = ________．