第3章傅里叶级数
§3 傅里叶级数
183§3 傅里叶级数(数学二、三不要求)【考试要求】了解傅里叶级数的概念和狄利克雷收敛定理，会将定义在[,]l l 上的函数展开为傅里叶级数，会将定义在0[,]l 上的函数展开为正弦级数与余弦级数，会写出傅里叶级数的和函数的表达式.一、基本概念184设()f x 是以2T l =为周期的周期函数，称012cos sin n n n a n n a x b x l l ππ∞=⎛⎫++ ⎪⎝⎭∑ 为函数()f x 的傅里叶级数，其中01()d l la f x x l -=⎰， 1()cos d ,l n l n a f x x x l lπ-=⎰1851()sin d l n l n b f x x x l lπ-=⎰ 123(,,,)n = 称为()f x 的傅里叶系数.二、重要结论1. 狄利克雷收敛定理(狄利克雷充分条件): 设()f x 以2l 为周期，若满足条件：(1)在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点;(2)在一个周期内至多有有限个极值点，则()f x 的傅里叶级数收敛，并且186012cos sin n n n a n n a x b x l lππ∞=++∑ 002002() , ()(),()() , .f x x f x f x x f l f l x l ⎧⎪⎪-++⎪=⎨⎪-+-+⎪=±⎪⎩，，2. 求以2T l =为周期的函数()f x 的傅里叶级数展开式的方法187(1) 画出()f x 的图形，并求()f x 在整个数轴上的间断点12(,,)i x i =;(2) 求出()f x 的傅里叶级数的和函数()s x ;(3) 求出()f x 的傅里叶系数n a ，n b ;(4) 写出()f x 的傅里叶级数展开式. 注 若求定义在[],l l -上的函数()f x 的傅里叶级数展开式，只需将上述结果限制在[],l l -188上即可，但端点处不一定能展开3. 正弦级数与余弦级数(1) 当()f x 为奇函数时，其傅里叶级数1sin n n n b x l π∞=∑称为正弦级数，其中02()sin d l n n b f x x x l lπ=⎰. (2)当()f x 为偶函数时，其傅里叶级数012cos n n a n a x lπ∞=+∑称为余弦级数，其中189 02()cos d l n n a f x x x l lπ=⎰. 4. 将定义于0[,]l 上的函数()f x 展为正弦级数与余弦级数的方法(1)(,)()()l l f x F x -∞+∞−−−−→−−−−→−−−→奇延拓周期延拓限制(-,0][0,]展正弦所需的展式.(2)(,)()()l l f x F x -∞+∞−−−−→−−−−→−−−→偶延拓周期延拓限制(-,0][0,]展余弦所需的展式190.三、典型例题题型1 狄利克雷定理的应用例1 设010e ,,(),,x x f x x ππ⎧-≤<=⎨≤<⎩则其以2π为周期的傅里叶级数在x π=和2x π=处各收敛于何值?解 将()f x 延拓为以2π为周期的函数()F x ，画出其图形，可见()F x 在x π=处间断，191在2x π=处连续.由狄利克雷收敛定理可知，其傅里叶级数在x π=处收敛于()()()1100122e F F πππ-⎡⎤-++=+⎣⎦， 在2xπ=处收敛于()()201F f π==. 例2 设202()()f x x x =-≤<，而 12()sin ()n n n x s x b x π∞==-∞<<+∞∑，192 其中20122()sin d (,,)n n x b f x x n π==⎰， 求1()s -和0()s .解 由题设可知()s x 是()f x 在[)02,上的正弦级数，考虑奇函数()220202,,,,x x F x x x ---≤<⎧=⎨-≤<⎩ 由狄利克雷收敛定理可知，在()F x 的连续点1x =-处，()()111s F -=-=-；在()F x 的间断193点0x =处，()()()()110000022022s F F ⎡⎤=-++=-+=⎣⎦. 题型 2 将以2T l =为周期的函数展为傅里叶级数例1 设()f x 是以2π为周期的周期函数，且000,(),x x f x x ππ-≤<⎧=⎨≤<⎩，，试将()f x 展为傅里叶级数.194解 （1）画出()f x 的图形，可见()f x 满足狄利克雷收敛定理的条件，在()()21012,,,x k k π=+=±±处不连续，其傅里叶级数的和函数为()()()()21012212,,,,,,,f x x k s x k x k πππ⎧≠+⎪==±±⎨-=+⎪⎩（2）计算傅里叶系数195()011cos d cos d n a f x nx x x nx xπππππ--==⎰⎰ 221350246,,,,,,,,,n n n π⎧=⎪=⎨⎪=⎩196()()()0010112111123d d ,sin d sin d ,,,,.n n a f x x x x b f x nx x x nx x n nπππππππππππ---+-===-=-===⎰⎰⎰⎰ （3）()f x 的傅里叶级数展开式为197 ()221242213333cos sin sin cossin f x x x x x x πππ⎛⎫=-++- ⎪⎝⎭⎛⎫+++ ⎪⎝⎭,3,,.x x ππ-∞<<+∞≠±±例 2 将2130103,(),x x f x x +-≤<⎧=⎨≤<⎩，展成以6为周期的傅里叶级数.解 (1) 画出()f x 的图形,满足狄利克雷定198理的条件,在321()x k =+(k 为整数)处间断,在其它点连续.其傅里叶级数的和函数为3212321(),(),(),(),f x x k s x x k ≠+⎧=⎨-=+⎩ k 为整数. (2) ()f x 的傅里叶系数为()0303012113d d ,a x x x -⎡⎤=++=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰199()()0330220330112133361112312133361123cos d cos d (),,,,,sin d sin d (),,,,.n n n n n x n x a x x x n n n x n x b x x x n n ππππππ--+⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦⎡⎤=--=⎣⎦⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦=-=⎰⎰⎰⎰ (3) ()f x 的傅里叶级数展开式为20012()f x =-12216611133()cos ()sin ,n n n n x n x n n ππππ∞+=⎧⎫⎡⎤+--+-⎨⎬⎣⎦⎩⎭∑ 其中321012(),,,.x k k ≠+=±±题型3 将定义于[,]l l -上的函数展为傅里叶级数例 1 将2130103,,(),x x f x x +-≤<⎧=⎨≤<⎩展为傅里叶级数.解 先将函数()f x 以6为周期进行延拓,201延拓后的函数()F x 的傅里叶级数在33(,)-内收敛于()f x ,为此在题型2例2中将x 限制在33(,)-上即可.例2 将00,(),ax x f x bx x ππ-<≤⎧=⎨<<⎩，展为傅里叶级数，其中0a <，0b >，均为常数.解 先将()f x 以2π为周期进行延拓, 延拓后的函数()F x 的傅里叶级数在(,)ππ-内收敛于()f x .202 1211114()()cos ()sin ,n n n b a a b a b f x nx nx n n ππ∞+=--+⎧⎫⎡⎤=+--+-⎨⎬⎣⎦⎩⎭∑题型 4 将定义于0[,]l 上的函数展为正弦级数或余弦级数例 将20()()f x x x π=≤≤分别展为正弦级数和余弦级数.解 先将()f x 在()0,π-上做奇延拓，再作以2π为周期的周期延拓得函数()F x ，()F x 的203傅氏级数为正弦级数，限制[)0,x π∈即得()f x 的正弦级数.()()()213301232224411,,,,,,sin d sin d ,n n n na nb f x nx x x nx xn n n πππππππ+=====-+--⎰⎰204()()[)233122210sin ,,.n n f x nx x n nn πππ∞=⎡⎤⎛⎫∴=-+--∈⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦∑再将()f x 在()0,π-上做偶延拓，再作以2π为周期的周期延拓得()G x ，为偶函数，其傅氏级数为余弦级数，将x 限制在[]0,π上即可.205()()()[]22002202212232411234103d ,cos d ,,,,,cos ,,.nn nn a x x a x nx x n nf x nx x nπππππππ∞=====-=∴=+-∈⎰⎰∑题型 5 利用函数的傅里叶级数展开式求数项级数的和206例1 试利用2()f x x =在0[,]π上的余弦级数展开式，求下列各数项级数的和:(1) 211n n∞=∑； (2) 12111()n n n ∞-=-∑. 解 由上例可知,2()f x x =在0[,]π上的余弦级数为 ()2221143cos nn x nx nπ∞=-=+∑.令x π=得207222221111436,.n n nnπππ∞∞===+∴=∑∑令0x =得()()12222111104312,.nn n n nnππ-∞∞==--=+∴=∑∑例 2 证明122211124()cos n n xnx n π-∞=-=-∑，[,]x ππ∈-.解 将()2f x x =在[],ππ-上展为傅氏级208数得 ()2221143cos .nn x nx nπ∞=-=+∑整理即得()122211124cos ,[,].n n xnx x n πππ-∞=-=-∈-∑ 题型6 选择题例1设函数()201,f x x x =≤<,而209()1sin ,n n s x b n x x π∞==-∞<<+∞∑，其中()12123sin d ,,,,,n b f x n x x n π==⎰则12s ⎛⎫- ⎪⎝⎭等于( ).（A ）12- （B ）14- （C ）14 （D ）12解 本题考察傅里叶级数的狄利克雷收敛定理,只需写出其和函数即可.因为()s x 是正弦210级数,所以此级数是将()f x 在()10,-内作奇延拓展开的,于是()s x 在一个周期内的表达式为22100101,,(),,,,x x s x x x x ⎧--<<⎪=<<⎨⎪=±⎩从而2111224,s ⎛⎫⎛⎫-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故（B ）正确.211例2设()()01102122122,,,,cos ,n n x x f x x x a s x a n x x π∞=⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-<<⎪⎩=+-∞<<+∞∑， 其中()()1212cos d ,,,n a f x n x x n π==⎰，212则52s ⎛⎫- ⎪⎝⎭等于( ).（A ）12 （B ）12- （C ）34 （D ）34-解 与上题类似,将()f x 在()10,-内作偶延拓,再以2T =为周期进行周期延拓, 其傅里叶级数的和函数()s x 在52x =-处间断(如图所示),从而111001 532222224.f fs⎛⎫⎛⎫-+++⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭-===⎪⎝⎭故（C）正确.213。
第3章傅里叶级数
同频率
cos(t )
LTI
A cos(t )
LTI系统对正弦信号的响应仍然是同频正弦信号
本书由天疯上传于世界工厂网-下载中心
复指数信号激励LTI系统的情况。
e
st
LTI
?
s ( t )
y(t ) h(t ) * e h( )e
st
d
e
st
x(t )
a0 1
k 3
a e
k
3
jk 2t
a1 a1 1 / 4
a3 a3 1 / 3
a2 a2 1 / 2
本书由天疯上传于世界工厂网-下载中心
解：
1 j 2t j 2t x(t ) 1 (e e ) 4 1 j 4t 1 j 6t j 4t j 6t (e e ) (e e ) 2 3
sincossincossincos322傅里叶级数系数的确定正交函数集t的周期函数正交函数集的概念一个以t为周期的周期函数在一段长度为t的区间上的积分与起始位置无关jkdtsincostdttdt正弦波的上波瓣和下波瓣的面积相等对于高次谐波而言无非是在一个周期之内上对于高次谐波而言无非是在一个周期之内上波瓣和下波瓣多了一些但是上波瓣的总面积和波瓣和下波瓣多了一些但是上波瓣的总面积和下波瓣的总面积还是相等的下波瓣的总面积还是相等的sincosjkdt构成了一个正交函数集
周期函数的一个基本性质。
x(t ) x(t T )
T a
a
x(t )dt x(t )dt
a
T
T a
T
x(t )dt
无穷级数第三节傅里叶级数
例7 将定义在
展成余弦级数,
其中E 为正常数 .
解:
上函数
将函数
先进行
偶延拓，
在进行周期延拓，
延拓后函数在
连续，
因此展开后的余弦级数收敛到
分别展成正弦级
例8. 将函数
数与余弦级数 .
解: 先求正弦级数.
去掉端点, 将 f (x) 作奇周期延拓,
注意:
在端点 x = 0, , 级数的和为0 ,是周期为2 Fra bibliotek周期函数,它在
解:
在
连续，
因此其傅立叶级数
收敛到
当
时，
收敛到
上函数展开成傅立叶级数
周期延拓
傅里叶展开
上的傅里叶级数,
上讨论级数的收敛性。
其它
最后在
2) 定义在
例5 将定义在
上函数
展开成傅里叶级数。
解
在
上满足收敛定理的条件，
周期延拓，
延拓后的函数在
处不连续，
因此其傅立叶级数
在
收敛到
与给定函数
f (x) = x + 1 的值不同 .
再求余弦级数.
将 则有 作偶周期延拓 ,
说明: 令 x = 0 可得
即
三 一般周期函数展开成傅立叶级数
设周期为2l 的周期函数 f (x)满足收敛定理条件,
则它的傅里叶展开式为
(在 f (x) 的连续点处)
其中
定理.
证明: 令
, 则
令
k 越大振幅越小,
因此在实际应用中展开式取前几项就足以逼近f (x)了.
上述级数可分解为直流部分与交流部分的和.
例10 将定义在
第三章周期信号的傅里叶级数表
补充例题：
例:对单位冲激响应 h(t) 的 (LtT) I系统，其特征函数，
相应的特征值是什么?
解：Q h(t) (t) 的 LTI 系统是恒等系统，所以任何函 数都是它的特征函数，其特征值为 1。
例:如果一个LTI系统的单位冲激响应为， h(t) (t T)
找出一个信号，该信号不具有 的est形式，但却是
P179作业：9月13日
56
§3.5连续时间傅里叶级数的性质
Properties of Continuous-Time Fourier Series 这些性质的学习，有助于对概念的理解与信号 的展开.
10
② x2 t 不是一个特征函数形式，根据欧拉公式，将
其分解为特征函数的线性组合：
x2 t
cos4t
3
cos7t
3
1 2
e
j 4t
1 2
e
j 4t
1 2
e
j7t
1 2
e
j7t
以上4个特征函数的输出用① 步的方法求出，分别为：
1 e j4t 1 H j4 e j4t 1 e e j12 j4t , 1 e j4t 1 H j4 e j4t 1 e j12e j4t
ak
2T1 T0
Sa k
2
T0
T1
1 8
Sa k
8
k k 8 为第一个零点，对应 8
k0 80 ,0 2 Tak
1 4
Sa k
4
ak
1 8
Sa k
8
3）谱线随参数变化的结论：
ak
2T1 T0
Sak0T1
2T1 T0
Sa k
2
信号与系统 第三章 周期信号的傅里叶级数展开
2 n 2
T1
f (t ) dt
F ( n1 )
左边是周期信号f(t)在一个周期里的平均功率（即单位时间内的能量）
2 2 1 1 2 jnt F ( n ) e dt F ( n ) dt F ( n ) 而同时有 T 1 1 1 T1 1 T1 T1
n 1
——余弦形式
x(t ) d 0 d n sin( n1t n )
n 1
——正弦形式
(1). f (t ) a0 an cosnt bn sin nt
n1
三角函数形式
(2). f (t ) A0 An cos(nt n )
而无物理意义。将来可以看出，指数函数形式比正弦函数形式在数 学上处理起来要方便的多。
§3.2 周期矩形脉冲的谱线特点
x(t )
E
T1
t
2 2
T1
脉冲为 ，脉冲高度为E，周期为T1
1 21 1 E 1 jn1t jn1t 2 X (n1 ) T1 x(t )e dt E e dt e jn1t T1 2 T1 2 T1 jn1 jn jn 1 2E 1 1 2 2 e sin(n1 ) e jn1T1 2 n1T1 sin(n1 ) E E 2 Sa (n1 ) T1 n T1 2 1 2
电子信息与电气工程学院
本章内容
连续时间周期信号的傅立叶级数表示 周期矩形脉冲的谱线特点
§3.1 连续时间周期信号的傅立叶级数表示
{1, cos n1t ,sin n1t} n=1,2, , 是一个完备的正交函数集
第三章周期信号的傅里叶级数表示
一. 连续时间傅里叶级数
成谐波关系的复指数信号集: k(t){ejk0t}
k0,1,2, ，其中每个信号都是以 2
k0,1,2,
k(t){ejk0t} 2 k 0
2 0
k 0
为周期的，它们的公共周期为 2 ，且该集合
0
中所有的信号都是彼此独成立的。
如果将该信号集中所有的谐信号线性组合起来，
有 x(t) akejk0t, k0 , 1 , 2
第3章 周期信号的傅里 叶级数表示
（8学时）
h
1
本章内容
Ⅰ. 周期信号的频域分析（傅里叶级 数） Ⅱ. 傅立叶级数的性质
Ⅲ. LTI系统的频域分析
学习目标
掌握傅里叶级数展开式 理解频谱的概念 掌握周期信号通过LTI系统的分
析方法
h
3
3.0 引言 Introduction
时域分析方法的基础： 1) 信号在时域的分解。 2) LTI系统满足线性、时不变性。
数。H ( s ) 、H ( z ) 分别是LTI系统与复指数信号相对
应的特征值。
H(s) h(t)estdt H(z) h(n) Nhomakorabeank
❖ 只有复指数函数才能成为一切LTI系统的特征
函数。
对时域的任何一个信号 x ( t或) 者 x (,若n ) 能将其表 示为下列形式： x(t) a 1 es1 t a 2 es2 t a 3 es3 t
这说明 和 e 符s t 合对z n单元信号的第一项要求。
特征函数 (Eigenfunction) ❖ 如果系统对某一信号的响应只不过是该信号乘以 一个常数，则称该信号是这个系统的特征函数。系 统对该信号加权的常数称为系统与特征函数相对应 的特征值。
微积分 傅里叶级数
⎪ ⎪⎭
⑹式称为函数 f ( x)的傅立叶系数公式，将这些公式代
入⑸式右端，所得的三角级数
∑ a0
2
+
∞
( an
n =1
cos nx
+ bn sin nx)
称为函数 f ( x) 的傅立叶级数。
定理（收敛定理） 设函数 f ( x) 是周期为2π的周期函
数，如果它满足：
⑴在一个周期内连续或只有有限多个第一类间断点；
第三单元 傅立叶级数
本单元内容要点
本单元讨论如何将一个周期函数展开成三角级数的方 法, 以及展开成正弦级数湖余弦级数的方法.
本单元教学要求
理解三角函数系及三角函数系正交性的意义, 掌握傅
立叶系数的计算方法, 掌握将周期为2π , 2l 的函数展开
成傅立叶级数的方法, 及收敛性的讨论, 掌握将一般函数 在所给定义域上展开成傅立叶级数的方法, 以及展开成 正弦级数与余弦级数的方法.
有
∫ bn
=
1
π
π
f (x)sin nxdx
−π
(n = 1, 2,").
由于当 n = 0时，an 的表达式与 a0一致，因此上面的结
果可合并成
∫ an
=
1
π
π
f (x) cos nxdx
−π
∫ bn
=
1
π
π
f (x)sin nxdx
−π
(n
=
0,1, 2,"),⎫⎪⎪
⎬
⑹
(n = 1, 2,").
y
π
−2π −π o π 2π x
=
1
n2π
Hale Waihona Puke cos nxπ 0=
信号与系统(第3章)_例题
1 a0 = T
∫
t0 + T
t0
x (t ) dt
直流分量 余弦分量幅度 正弦分量幅度
2 an = T 2 bn = T
∫ ∫
t0 + T
t0 t0 + T
x ( t ) cos n tdt x ( t ) sin n tdt
t0
(1)x(t) = a0 + ∑( an cos nt + bn sin nt )
周期信号傅立叶级数展开 周期信号傅立叶级数展开
三角形式傅立叶级数: 一. 三角形式傅立叶级数: 周期信号x(t)=X(t+nT) ,满足狄氏条件时,可展成: 满足狄氏条件时,可展成: 周期信号
x(t) = a0 + ∑( an cos nt + bn sin nt )
n=1 ∞
2π ( = ) T
其中: 其中:
| F ( jω ) |~ ω :幅度频谱
1 T2 a0 = ∫T x(t)dt =0 T 2
对称于坐标原点
an = 0
2 T bn = ∫ x(t ) sin ntdt T 0
4 T2 = ∫ x(t ) sin ntdt ≠ 0 T 0
奇函数展开成傅立叶级数后, 奇函数展开成傅立叶级数后,直流分量和余 弦项为零,正弦项不为零. 弦项为零,正弦项不为零.
π ≤ t ≤ π
tdt = 0
-
π π
-
∫π
π
2 an = ∫ t cos ntdt = 0 T π 其中:T = 2π 2 π 2 bn = ∫ t sin n tdt = ( 1) n +1 n = 1, 2,3, L n T π
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
x(t ) ak e
sk t
y(t ) ak H (sk )e
完全说明了LTI系统的变换规律
sk t
可以针对输入信号的复指数分解, 求得LTI系统的输出响应。
本书由天疯上传于世界工厂网-下载中心
在傅里叶分析里面，我们将上述复数s限定为纯虚数
s j
由此导出的方法称为傅里叶(Fourier)方法；傅里叶 方法是以法国数学家, 物理学家傅里叶(1768-1830) 的名字命名的。
本书由天疯上传于世界工厂网-下载中心
3.2.1 谐波复指数信号集
{k (t ), k Z}
k (t ) e
jk 0t 成谐波关系的复指数信号集
本书由天疯上传于世界工厂网-下载中心
如果一个以
T0
为周期的周期信号
x(t ) 满足，
x(t )
k
a e
k
jk 0t
2 0 T0
x(t )
k
a e
k
jk 0t
本书由天疯上传于世界工厂网-下载中心
欧拉公式
e cost j sin t
jt
e e cost 2
jt
jt
e e sin t 2
jt
jt
本书由天疯上传于世界工厂网-下载中心
例题3.1 将下面的复指数信号的线性组合变换为正 弦信号的线性组合，其中，
存在一个傅里叶级数的表达
本书由天疯上传于世界工厂网-下载中心
分解
傅里叶级数
x(t )
傅里叶级数展开
。
k
a e
k
jk0t
本书由天疯上传于世界工厂网-下载中心
直流分量
基波分量
k次谐波分量
a0
a1e
a1e
j0t
j0t
……
ak e
jk0t
ak e
jk0t
……
在信号中所占的比重 谐波合成
本书由天疯上传于世界工厂网-下载中心
傅里叶分解的基本出发点是将信号分解为复 指数信号的加权和，或者积分。 复指数信号的物理背景就是正弦信号。在电 路分析等课程中，我们对正弦信号已经有了 足够的了解。人们很早就意识到，正弦振荡 是各种振荡的基本形式，这正是傅里叶分解 的真正基础。 傅里叶分析帮助我们从时域的分析方法转变 到频域的分析方法。工程上，频域方法具有 更加广泛的应用，是一种常用的信号分析方 法。
同频率
cos(t )
LTI
A cos(t )
LTI系统对正弦信号的响应仍然是同频正弦信号
本书由天疯上传于世界工厂网-下载中心
复指数
s ( t )
y(t ) h(t ) * e h( )e
st
d
e
st
本书由天疯上传于世界工厂网-下载中心
3.1 傅立叶分析引论
在介绍周期信号的傅里叶分解之前，我们 先讨论一下LTI系统对典型正弦信号和复指 数信号的响应。 在电路分析里面，我们知道线性时不变系 统在正弦信号的激励下，其响应仍然是同 频率的正弦信号，只是在幅度和相位上有 所变化。
本书由天疯上传于世界工厂网-下载中心
傅里叶方法帮助我们使用信号的频率分量来分 析信号，这种方法被称为频域(frequency domain)方法。 我们将看到，在频域上来刻画LTI系统对信号 实施的变换，将会使分析变得相当简单。
频域方法是一类重要的系统与信号的分析方法， 除用于LTI系统的分析以外，它还适用于更广 泛的系统分析，或者仅仅分析信号本身。
因此，
a
* k
ak
a ak
* k
严格地说，上面的推导是由正交函数的讨论取得的。
本书由天疯上传于世界工厂网-下载中心
x(t )
k
本书由天疯上传于世界工厂网-下载中心
物理上存在的信号都是实信号。 下面讨论信号为实函数的情况。
x (t ) x(t )
x (t )
k
a e
* jk0t k
k
a
* k
e
jk 0t
k
a e
k
jk 0t
本书由天疯上传于世界工厂网-下载中心
如果不对复数s进行限定，即
s j
由此导出的一套方法称为拉普拉斯方法，在第九章 里面讨论。
本书由天疯上传于世界工厂网-下载中心
3.2 连续时间周期信号的傅里叶级数展开
在工程实际中，并不存在复指数信号。 复指数信号的物理背景是正弦信号。只是 为了简化数学推导和方便运算，我们才引 入了复指数信号这样一种数学工具. 复指数信号和正弦信号到底是一种什么关 系呢？这是本节首先要解决的问题。
1 2 1 cos 2t cos 4t cos 6t 2 3
本书由天疯上传于世界工厂网-下载中心
ak 和 a k
表示了频率为 k 0 的正弦信号的权重。
1 2 1 cos 2t cos 4t cos 6t 2 3
直流分量 基波分量 二次谐波分量 三次谐波分量
第3章 傅里叶级数
卷积方法的基本出发点是，将信号分解为单 位冲激信号的移位加权和或者加权积分。 我们可以看出，将任意信号分解为基本信号 的组合，往往是分析信号与系统的前提。 本章将介绍信号的另一种分解方式，即傅里 叶分解，并且进而引入频谱的概念。
本书由天疯上传于世界工厂网-下载中心
前面两章中，我们以分析信号的时间函数的方 式，来分析信号，这种分析方法被称为时域 (time domain)方法。
x(t )
a0 1
k 3
a e
k
3
jk 2t
a1 a1 1 / 4
a3 a3 1 / 3
a2 a2 1 / 2
本书由天疯上传于世界工厂网-下载中心
解：
1 j 2t j 2t x(t ) 1 (e e ) 4 1 j 4t 1 j 6t j 4t j 6t (e e ) (e e ) 2 3
h( )e
s
st e H ( s) d
只取决于s和 系统的参数
H ( s)
h(t )e
st
dt
本书由天疯上传于世界工厂网-下载中心
LTI系统对复指数信号的响应仍然是复指数信号
e
st
LTI
e H ( s)
st
系统函数
传递函数
本书由天疯上传于世界工厂网-下载中心
如果我们能将信号分解成为复指数信号的加权和