1.4.2充要条件
充要条件课件
充要条件的两个判断方法 (1)定义法：若p⇒q，q⇒p，则p是q的充要条件； (2)集合法：对于集合A＝{x|x满足条件p}，集合B＝{x|x满足条件q}，若A ＝B，则p是q的充要条件．
[跟踪训练]
1．以下选项中，p是q的充要条件的是
()
A．p：3x＋2＞5，q：－2x－3＞－5
B．p：a＞2，b＜2，q：a＞b
∵AC＝BD，∴BD＝DE，∴∠E＝∠1. 又∵AC∥DE.∴∠2＝∠E，∴∠1＝∠2. 在△ABC和△DCB中，A∠C2＝＝D∠B1，，
BC＝CB， ∴△ABC≌△DCB.∴AB＝DC. ∴梯形ABCD为等腰梯形．由(1)(2)可得，梯形ABCD为等腰梯形的充要条 件是AC＝BD.
充要条件的证明策略 (1)要证明 p 是 q 的充要条件，需要从充分性和必要性两个方向进行，即证 明两个命题“若 p，则 q”为真且“若 q，则 p”为真； (2)在证明的过程中也可以转化为集合的思想来证明，证明 p 与 q 的解集是 相同的．
第一
章
集合与常用逻辑用语
1．4 充分条件与必要条件
1．4.2 充要条件
主人邀请张三、李四、王五三个人吃饭，时间到了， 只有张三、李四准时赴约，王五打电话说：“临时有急 事，不能去了．”主人听了，随口说了句：“该来的没有 来．”张三听了脸色一沉，起来一声不吭地走了．主人愣 了片刻，又道了句：“不该走的又走了．”李四听了大 怒，拂袖而去．
要条件，故选D.
答案：D
2．已知p，q都是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件．那么： (1)s是q的什么条件？ (2)r是q的什么条件？ (3)p是q的什么条件？ 解：将p，q，r，s的关系作图表示，如图所示． (1)因为q⇒r⇒s，s⇒q，所以s是q的充要条件． (2)因为r⇒s⇒q，q⇒r，所以r是q的充要条件． (3)因为p⇒r⇒s⇒q，所以p是q的充分条件．
高一数学必修一 教案 1.4.2 充要条件
1．4.2 充要条件学习目标 1.理解充要条件的意义.2.会判断一些简单的充要条件问题.3.能对充要条件进行证明．知识点充要条件一般地，如果p⇒q，且q⇒p，那么称p是q的充分必要条件，简称充要条件，记作p⇔q.1．“x＝0”是“(2x－1)x＝0”的充分不必要条件．( √)2．q是p的必要条件时，p是q的充分条件．( √)3．若p是q的充要条件，则条件p和q是两个相互等价的条件．( √)4．q不是p的必要条件时，“p⇏q”成立．( √)一、充分、必要、充要条件的判断例1 指出下列各组命题中，p是q的什么条件(充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件，既不充分又不必要条件)．(1)p：数a能被6整除，q：数a能被3整除；(2)p：x>1，q：x2>1；(3)p：△ABC有两个角相等，q：△ABC是正三角形；(4)p：|ab|＝ab，q：ab>0.解(1)∵p⇒q，q不能推出p，∴p是q的充分不必要条件．(2)∵p⇒q，q不能推出p，∴p是q的充分不必要条件．(3)∵p不能推出q，q⇒p，∴p是q的必要不充分条件．(4)∵ab＝0时，|ab|＝ab，∴“|ab|＝ab”不能推出“ab>0”，即p不能推出q.而当ab>0时，有|ab|＝ab，即q⇒p.∴p是q的必要不充分条件．反思感悟判断充分条件、必要条件及充要条件的三种方法(1)定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假．(2)集合法：即利用集合的包含关系判断．(3)传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由p1⇒p2⇒…⇒p n，可得p1⇒p n；充要条件也有传递性．跟踪训练1 已知a，b是实数，则“a>0且b>0”是“a＋b>0，且ab>0”的________条件．答案充要解析因为a>0，b>0，所以a＋b>0，ab>0，充分性成立；因为ab>0，所以a与b同号，又a＋b>0，所以a>0且b>0，必要性成立．故“a>0且b>0”是“a＋b>0且ab>0”的充要条件．二、充要条件的证明例2 求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0.证明充分性：因为a＋b＋c＝0，所以c＝－a－b，代入方程ax2＋bx＋c＝0，得ax2＋bx－a－b＝0，即(x－1)(ax＋a＋b)＝0.所以方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1.必要性：因为方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1，所以x＝1满足方程ax2＋bx＋c＝0.所以a×12＋b×1＋c＝0，即a＋b＋c＝0.故关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0.延伸探究求证：关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，有一正根和一负根的充要条件是ac <0. 证明 必要性：由于方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有一正根和一负根， 所以Δ＝b 2－4ac >0，x 1·x 2＝c a<0， 所以ac <0.充分性：由ac <0可得b 2－4ac >0及x 1·x 2＝c a<0，所以方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个不相等的实根，且两根异号， 即方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有一正根和一负根． 反思感悟 充要条件证明的两个思路(1)直接法：证明p 是q 的充要条件，首先要明确p 是条件，q 是结论；其次推证p ⇒q 是证明充分性，推证q ⇒p 是证明必要性．(2)集合思想：记p ：A ＝{x |p (x )}，q ：B ＝{x |q (x )}，若A ＝B ，则p 与q 互为充要条件． 跟踪训练2 已知a ，b 是实数，求证：a 4－b 4－2b 2＝1成立的充要条件是a 2－b 2＝1. 证明 充分性：若a 2－b 2＝1成立，则a 4－b 4－2b 2＝(a 2＋b 2)(a 2－b 2)－2b 2＝a 2＋b 2－2b 2＝a 2－b 2＝1， 所以a 2－b 2＝1是a 4－b 4－2b 2＝1的充分条件． 必要性：若a 4－b 4－2b 2＝1成立， 则a 4－(b 2＋1)2＝0， 即(a 2＋b 2＋1)(a 2－b 2－1)＝0.因为a ，b 为实数，所以a 2＋b 2＋1≠0， 所以a 2－b 2－1＝0，即a 2－b 2＝1.综上可知，a 4－b 4－2b 2＝1成立的充要条件是a 2－b 2＝1. 三、充要条件的应用例3 已知p ：－2≤x ≤10，q ：1－m ≤x ≤1＋m (m >0)，若p 是q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．解 p ：－2≤x ≤10，q ：1－m ≤x ≤1＋m (m >0)．因为p 是q 的必要不充分条件， 所以q 是p 的充分不必要条件， 即{x |1－m ≤x ≤1＋m }{x |－2≤x ≤10}，故有⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≥－2，1＋m <10或⎩⎪⎨⎪⎧1－m >－2，1＋m ≤10，解得m ≤3. 又m >0，所以实数m 的取值范围为{m |0<m ≤3}． 延伸探究1．若本例中“p 是q 的必要不充分条件”改为“p 是q 的充分不必要条件”，其他条件不变，求实数m 的取值范围．解 p ：－2≤x ≤10，q ：1－m ≤x ≤1＋m (m >0)． 因为p 是q 的充分不必要条件，设p 代表的集合为A ，q 代表的集合为B ， 所以AB .所以⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤－2，1＋m >10或⎩⎪⎨⎪⎧1－m <－2，1＋m ≥10.解不等式组得m >9或m ≥9， 所以m ≥9，即实数m 的取值范围是m ≥9.2．本例中p ，q 不变，是否存在实数m 使p 是q 的充要条件？若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由．解 因为p ：－2≤x ≤10，q ：1－m ≤x ≤1＋m (m >0)．若p 是q 的充要条件，则⎩⎪⎨⎪⎧－2＝1－m ，10＝1＋m ，m 不存在．故不存在实数m ，使得p 是q 的充要条件．反思感悟 应用充分不必要、必要不充分及充要条件求参数值(范围)的一般步骤(1)根据已知将充分不必要条件、必要不充分条件或充要条件转化为集合间的关系． (2)根据集合间的关系构建关于参数的方程(组)或不等式(组)求解．跟踪训练3 已知p ：x <－2或x >3，q ：4x ＋m <0，若p 是q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．解 设A ＝{x |x <－2或x >3}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <－m 4， 因为p 是q 的必要不充分条件， 所以BA ，所以－m4≤－2，即m ≥8.所以m 的范围为{m |m ≥8}．1．“x >0”是“x ≠0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 答案 A解析 由“x >0”⇒“x ≠0”，反之不一定成立．因此“x >0”是“x ≠0”的充分不必要条件． 2．已知x ∈R ，则“1x>1”是“x <1”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 答案 A解析 “1x>1”⇔0<x <1，∴“1x>1”是“x <1”的充分不必要条件．3．设条件甲为0<x<5；条件乙为|x|<5，则条件甲是乙的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件答案 A解析甲对应集合A＝{x|0<x<5}，乙对应集合B＝{x|－5<x<5}，且A B，故选A.4．若命题p：两直线平行，命题q：内错角相等，则p是q的________条件．答案充要5．从“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分又不必要条件”中选一个合适的填空．(1)“x2－1＝0”是“|x|－1＝0”的_____________；(2)“x<5”是“x<3”的_____________．答案(1)充要条件(2)必要不充分条件解析(1)设A＝{x|x2－1＝0}＝{－1,1}，B＝{x||x|－1＝0}＝{－1,1}，所以A＝B，即“x2－1＝0”是“|x|－1＝0”的充要条件．(2)设A＝{x|x<5}，B＝{x|x<3}，因为A B，所以“x<5”是“x<3”的必要不充分条件．1．知识清单：(1)充要条件概念的理解．(2)充要条件的证明．(3)根据条件求参数范围．2．方法归纳：等价转化为集合间的关系．3．常见误区：条件和结论辨别不清．1．设x∈R，则“x＝1”是“x3＝x”的( )C．充要条件D．既不充分又不必要条件答案 A解析当x＝1时，x3＝x成立．若x3＝x，x(x2－1)＝0，得x＝－1,0,1；不一定得到x＝1.2．设a，b∈R，则“(a－b)a2<0”是“a<b”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件答案 A解析因为a，b∈R，(a－b)a2<0，可得a<b，由a<b，即a－b<0，可得(a－b)a2≤0，所以根据充分必要条件的定义可以判断，若a，b∈R，则“(a－b)a2<0”是“a<b”的充分不必要条件．3．已知四边形ABCD，则“A，B，C，D四点共圆”是“∠A＋∠C＝180°”成立的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件答案 C4．如果A是B的必要不充分条件，B是C的充要条件，D是C的充分不必要条件，那么A是D的( ) A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件答案 A解析由条件，知D⇒C⇔B⇒A，即D⇒A，但A⇏D，故选A.5．已知a，b是实数，则“ab＝0”是“a2＋b2＝0”的( )C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件答案 B解析 ab ＝0推不出a 2＋b 2＝0，由a 2＋b 2＝0可得a ＝b ＝0，推出ab ＝0，故选B. 6．设a ，b 是实数，则“a ＋b >0”是“ab >0”的____________条件． 答案 既不充分又不必要解析 若a ＋b >0，取a ＝3，b ＝－2，则ab >0不成立；反之，若ab >0，取a ＝－2，b ＝－3，则a ＋b >0也不成立，因此“a ＋b >0”是“ab >0”的既不充分又不必要条件．7．若“x ≤－1，或x ≥1”是“x <a ”的必要不充分条件，则实数a 的最大值为________． 答案 －1解析 “x ≤－1，或x ≥1”是“x <a ”的必要不充分条件，则由“x <a ”可以推出“x ≤－1，或x ≥1”，但由“x ≤－1，或x ≥1”推不出“x <a ”，所以a ≤－1， 所以实数a 的最大值为－1. 8．m ＝1是函数y ＝245m m x －＋为二次函数的________条件．答案 充分不必要解析 当m ＝1时，函数y ＝x 2，为二次函数．反之，当函数为二次函数时，m 2－4m ＋5＝2，即m ＝3或m ＝1，所以m ＝1是y ＝245m m x－＋为二次函数的充分不必要条件．9．设x ，y ∈R ，求证：|x ＋y |＝|x |＋|y |成立的充要条件是xy ≥0. 证明 ①充分性：如果xy ≥0，则有xy ＝0和xy >0两种情况． 当xy ＝0时，不妨设x ＝0，则|x ＋y |＝|y |，|x |＋|y |＝|y |，∴等式成立．同理，当y ＝0，或x ＝0且y ＝0时，|x ＋y |＝|x |＋|y |， ∴当xy ＝0时，等式成立，当xy >0时，即x >0，y >0或x <0，y <0，又当x >0，y >0时，|x ＋y |＝x ＋y ，|x |＋|y |＝x ＋y ， ∴等式成立．当x <0，y <0时，|x ＋y |＝－(x ＋y )， |x |＋|y |＝－x －y ，∴等式成立．总之，当xy ≥0时，|x ＋y |＝|x |＋|y |成立． ②必要性：若|x ＋y |＝|x |＋|y |且x ，y ∈R ， 得|x ＋y |2＝(|x |＋|y |)2，即x 2＋2xy ＋y 2＝x 2＋y 2＋2|x |·|y |， ∴|xy |＝xy ，∴xy ≥0.综上可知，xy ≥0是等式|x ＋y |＝|x |＋|y |成立的充要条件．10．设命题p ：12≤x ≤1；命题q ：a ≤x ≤a ＋1，若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．解 设A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12≤x ≤1，B ＝{x |a ≤x ≤a ＋1}， 由p 是q 的充分不必要条件，可知A B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≤12，a ＋1>1或⎩⎪⎨⎪⎧a <12，a ＋1≥1，解得0≤a ≤12，故所求实数a 的取值范围是0≤a ≤12.11．“函数y ＝x 2－2ax ＋a 的图象在x 轴的上方”是“0≤a ≤1”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件答案 A解析 函数y ＝x 2－2ax ＋a 的图象在x 轴的上方，则Δ＝4a 2－4a <0，解得0<a <1，由集合的包含关系可知选A.12．若非空集合A ，B ，C 满足A ∪B ＝C ，且B 不是A 的子集，则( )A ．“x ∈C ”是“x ∈A ”的充分不必要条件B ．“x ∈C ”是“x ∈A ”的必要不充分条件 C ．“x ∈C ”是“x ∈A ”的充要条件D ．“x ∈C ”是“x ∈A ”的既不充分又不必要条件 答案 B解析 由A ∪B ＝C 知，x ∈A ⇒x ∈C ，x ∈C ⇏x ∈A . 所以x ∈C 是x ∈A 的必要不充分条件．13．函数y ＝x 2＋mx ＋1的图象关于直线x ＝1对称的充要条件是m ＝________. 答案 －2解析 当m ＝－2时，y ＝x 2－2x ＋1，其图象关于直线x ＝1对称，反之也成立，所以函数y ＝x 2＋mx ＋1的图象关于直线x ＝1对称的充要条件是m ＝－2.14．k >4，b <5是一次函数y ＝(k －4)x ＋b －5的图象交y 轴于负半轴，交x 轴于正半轴的________条件． 答案 充要解析 ∵k >4时，k －4>0，b <5时，b －5<0，∴直线y ＝(k －4)x ＋b －5交y 轴于负半轴，交x 轴于正半轴；y ＝(k －4)x ＋(b －5)与y 轴交于(0，b －5)与x 轴交于⎝⎛⎭⎪⎫5－b k －4，0，由交y 轴于负半轴，交x 轴于正半轴可知⎩⎪⎨⎪⎧b －5<0，5－bk －4>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧b <5，k >4.15．设m ∈N *，一元二次方程x 2－4x ＋m ＝0有整数根的充要条件是m ＝________. 答案 3或4解析 x ＝4±16－4m 2＝2±4－m ，因为x 是整数，即2±4－m 为整数，所以4－m 为整数，且m ≤4，又m ∈N *，取m ＝1,2,3,4.验证可得m ＝3,4符合题意，所以m ＝3,4时可以推出一元二次方程x 2－4x ＋m ＝0有整数根．16．求关于x 的方程ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负的实数根的充要条件．解 当a ＝0时，x ＝－12符合题意． 当a ≠0，令f (x )＝ax 2＋2x ＋1.∵f (0)＝1>0，∴若a >0，则－2a <0，1a>0，∴只要Δ＝4－4a ≥0，即a ≤1，∴0<a ≤1. 若a <0，则1a<0，Δ＝4－4a >0， 方程恒有两异号实数根．综上所述，a ≤1为所求．。
1.4.2.充要条件
(2)命题按条件和结论的充分性、必要性可分哪几类? 提示:①充分必要条件(充要条件),即 p⇒q且q⇒p. ②充分不必要条件,即p⇒q且q p. ③必要不充分条件,即p q且q⇒p. ④既不充分又不必要条件,即p q且q p.
【素养小测】 1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”) (1)当p是q的充要条件时,也可说成q成立当且仅当p成 立. ( ) (2)若p q和q p有一个成立,则p一定不是q的充要 条件.( ) (3)若p是q的充要条件,q是r的充要条件,则p是r的充要 条件.( )
【习练·破】
已知x,y都是非零实数,且x>y,求证:xy>0是 1 1 xy
的充要条件.
类型三 用集合观点解充分条件、必要条件问题
【典例】1.已知p:点M(1-a,2a+6)在第四象限,q:a<1,
则p是q的 ( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2.已知p:-2≤x≤10,q:1-m≤x≤1+m(m>0),若p是q的必
bc
A.充分而不必要条件
B.充要条件Байду номын сангаас
C.必要而不充分条件
D.既不充分也不必要条件
2.下列各题中,哪些p是q的充要条件? (1)p:x≠0, q:x+|x|>0 (2)p:关于x的方程ax+b=0(a,b∈R)有唯一解; q:a>0 (3)p:ab>0,a,b∈R; q:|a+b|=|a|+|b| (4)p:c=0; q:y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过原点
【内化·悟】 根据充分必要条件的定义和判断方法,你能总结一个
1.4.2充要条件课件(人教版)
命题(2)是真命题，但它的逆命题是假命题；
命题(3)是假命题，但它的逆命题是真命题；
我们称上述命题(1)(4)中的p与q互为充要条件。
概念形成
如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p” 均是真命题, 即既有pq , 又有qp , 就记作
第一章 集合与常用逻辑用语
1.4.2充要条件
学习目标
素养目标
学科素养
1.理解充要条件的意义.（重点）
2.会判断一些简单的充要条件问 1、数学抽象
题.（重点）
2、逻辑推理
3.能对充要条件进行证明.（难点）
复习回顾
命题真假 “若p，则q”真
“若p，则q”假
推理关系
pq
p / q
p是q的充分条件 条件关系 q是p的必要条件
q:a+b+c=0(a≠0).
p⇒q且q⇒p，即与条件q之间有几种不同的逻辑关系？
①若p q ，且qp ，则p是q的充分不必要条件； ②若p q ，且qp ，则p是q的必要不充分条件； ③若p q ，且qp ，则p是q的即不充分也不必要条件； ④若p q ，且qp ，则p是q的充要条件.
3. 证明：如图,梯形ABCD为等腰梯形的充要条件为
AC BD.
证明：过A, D分别作直线BC的垂线, 垂足分别为E, F.因为AD // BC, 所以AE DF
充分性. 在△AEC与△DFB中,AEC DFB 90, AE DF, AC BD, 故△AEC ≌△DFB.
于是CE BF, 从而BE CF,在△ABE与△DFC中, A AEB DFC 90, BE CF, AE DF,
练习：课本第22页练习1,2；习题1.4复习巩固2.
1.4.2充分条件与必要条件(2)课件高一上学期数学人教A版(3)
内容索引
内容索引
1. (2023·玉溪第一中学高一期中)若a，b∈R，则“(a－b)a2<0”是“a<b”
的( )
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
【解析】 由不等式(a－b)a2<0，可得a－b<0，可得a<b，即充分性 成立；反之，由a<b，可得a－b<0，又因为a2≥0，所以(a－b)a2≤0，所 以必要性不成立，所以“(a－b)a2<0”是“a<b”的充分不必要条件．
第一章 集合与常用逻辑用语
1.4 充分条件与必要条件 1.4.2 充分条件与必要条件(2)
内容索引
学习目标 活动方案 检测反馈
内容索引
1. 进一步理解充分条件、必要条件与充要条件的意义． 2. 掌握充分条件、必要条件与充要条件的判断与证明方法． 3. 提高辩证思维的能力，体会常用逻辑用语在表述数学内容和 论证数学结论中的作用，提高交流的严谨性和准确性．
【答案】 A
12345
内容索引
2. 设p：x<3，q：－1<x<3，则p是q成立的( )
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不Байду номын сангаас分也不必要条件
【解析】 由x<3不能推出－1<x<3，例如x＝－2，但－1<x<3必有x<3， 所以p是q成立的必要不充分条件．
【答案】 B
12345
故B错误．故选ACD.
充要条件教学设计
(2)若p⇒q，但q p，则称p是q的充分不必要条件．
(3)若q⇒p，但p q，则称p是q的必要不充分条件．
(4)若p q，且q p，则称p是q的既不充分也不必要条件．
题型一：充要条件
例1.已知 、 是方程 的两个实根， 是 的（ ）
A．充分不必要条件
故选：C
五、课堂小结
让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧
六、作业
课本22页练习1.2.3. 习题1.2.3
让学生自由发言
让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察，分析，研探.
师生共同完成
学生思考，师生共同完成
师生共同完成
学生独立完成
学生思考，师生共同完成
学生独立完成
学生思考，师生共同完成
通过例题让学生理解充分不必要条件，达到灵活运用的目的
通过练习，让学生熟练判断充分不必要条件
通过例题更好地理解必要不充分条件
同步独立完成练习，有利于巩固所学
通过例题检查学生理解充分不必要条件是否正确，更好地培养学生的逻辑思维能力
通过练习让老师更好地检查学习对必要不充分条件的理解的，更有利于培养学生的化归的思想
通过学生总结，更有利于老师更好地把握本节课学习的学习情况，有利于培养学生的语言表达力
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【详解】
因为 、 是方程 的两个实根，则 .
则 ，则 ，
所以， .
所以， 是 的充要条件.
故选：C.
变式训练：“ ”是“一元二次方程 无实数根”的（ ）
A．充分不必要条件
B．充要条件
C．必要不充分条件
1-4-2充要条件-人教A版(2019)高中数学必修第一册
∴Δ＝b2－4ac>0，且 x1x2＝ac<0，∴ac<0.
充分性：由 ac<0 可推出 Δ＝b2－4ac>0 及 x1x2＝ac<0， ∴方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一正一负两实根．综上，一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a、 b、c 是常数且 a≠0)有一正实根一负实根的充要条件是 ac<0.
10
自主阅读 新知预习 合作探究 深化提能
解：(1)当 x＝1 时，x－1＝ x－1成立；
随堂检测 内化素养 课时作业 分层自检
当 x－1＝ x－1时，x＝1 或 x＝2.
∴p 是 q 的充分不必要条件．
(2)∵－1≤x≤5⇔x≥－1 且 x≤5，
∴p 是 q 的充要条件．
(3)由 q：(x＋2)2≠y2，
得 x＋2≠y，且 x＋2≠－y，又 p：x＋2≠y，
故 p 是 q 的必要不充分条件．
(4)0 是自然数，但 0 不是正数，故 p⇒/ q；又12是正数，但12不是自然数，故 q⇒/ p．故
p 是 q 的既不充分也不必要条件．
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若p q, q p,即p q,则p是q的充要条件 若p q, q p,则p是q的充分不必要条件 若p q, q p,则p是q的必要不充分条件 若p q, q p,则p是q的既不充分也不必要条件
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高中数学必修一(人教版)《1.4.2 充要条件》课件
所以实数 m 的取值范围是{m|m≥5}． 若选择条件②，即 x∈A 是 x∈B 成立的必要不充分条件，则集合 B 是集 合 A 的真子集，
解得 0＜m≤3， 所以实数 m 的取值范围是{m|0＜m≤3}． 若选择条件③，即 x∈A 是 x∈B 成立的充要条件，
则集合 A 等于集合 B，则有 所以不存在满足条件的实数 m.
()Biblioteka [解析] 在A、D中，p⇔q，∴p是q的充要条件，在B、C中，q p， ∴p不是q的充要条件，故选A、D.
[答案] AD
[方法技巧] 判断充分、必要条件的步骤
【对点练清】
1．设集合A＝{－1，p,2}，B＝{2,3}，则“p＝3”是“A∩B＝B”的
()
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
因为 m∈Z ，所以 m＝－1,0,1.
当 m＝－1 时，方程 x2－4x＋4m＝0 可化为 x2－4x－4＝0，无整数根； 当 m＝0 时，方程 x2－4mx＋4m2－4m－5＝0 可化为 x2－5＝0，无整数根； 当 m＝1 时，上述两个方程都有整数根． 综上所述，这两个方程的根都是整数的充要条件是 m＝1.
答案： C
3．设A，B是两个集合，p：“A∩B＝A”，q：“A⊆B”，则p是q的________条 件，q是p的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”或“充要”)
解析：∵A∩B＝A⇔A⊆B，∴p是q的充要条件，q是p的充要条件．
答案：充要 充要
题型一 充要条件的判断 【学透用活】
条件p与结论q的关系与充分、必要条件
方程组无解．
条件p与结论q的关系 p⇒q，但q p q⇒p，但p q
p⇒q且q⇒p，即p⇔q p q ，且q p