典型信号的傅里叶变换
傅里叶变换及其性质
αt
1
单边指数函数e-αt; (b) e-αt
的幅度谱
o
(b)
F(j) f(t)ejtdt etejtdt
01 02 e(j)t (j)
01j
1
ja rcta n
ea
a22
其振幅频谱及相位频谱分
解
别为
F ( ) 1
2 2
( ) arctan
例 2.4-3 求图 2.43(a)所示 双边指数 函数的频 谱函数。
02 或
2
B
2(rad/s)
1
Bf
(Hz)
周期信号的能量是无限的，而其平均功率是有界的， 因而周期信号是功率信号。为了方便，往往将周期信 号在1Ω电阻上消耗的平均功率定义为周期信号的功率。 显然，对于周期信号f(t)， 无论它是电压信号还是电
流信号，其平均功率均为 T
12 2
P f (t)dt 2.3.3 周期信号的功率T T2
( )
02
－
4
－
2
o
门函数； (b) 门函数的频谱；－ 4(c)－幅2 度谱； (d) 相位谱
o 2 4
2 4
－
(c)
(d )
f
(t)
e at
0
f (t)
例 2.4-2 求指数函数f(t)
的1频 谱 函 数 。 e－t (＞0)
o
t
(a)
t 0 ( 0)
t 0
图 2.4-2 单边指F(数)函数e-
性。
2.2 周期信号的连续时间傅里叶级数
f (t) Fnejnt
2.2.1 指数形式的傅里叶级数 n
满足Dirichlet条件的周期函数可以展成复指数形式的傅里叶级数:
典型信号的傅里叶变换
f
t 非 周周 期期
统一的分析方法：傅里叶变换
由欧拉公式
cos0t
1 2
e j0t
e j0t
sin0t
1 2j
e j0t
e j0t
已知
1 2π
由频移性质
1 ej 0 t 2 0
1 ej0 t 2 0
cos0t
同理
1 2
2π
0
2π
0
π
0
π
0
sin0t jπ 0 jπ 0
dt
t
2
E
ejt d t E
e
j
t
e
jt
dt
E
e
j
t
e
jt
dt
2
4
4
ESa
E
2
Sa
π
E
2
Sa
π
F
E sin
1
2
π
E Sa
1 2
π
F
E
E
2
O π 2π 3π
其频谱比矩形脉冲更集中。
4π
•冲激函数 •冲激偶 •单位阶跃函数
F( ) t ej t d t 1
f t
1
O
t
F
1
O
t看作
1 的矩形脉冲，
0时, B
冲激函数积分是有限值，可以用公式求。而u(t)不
满足绝对可积条件，不能用定义求。
(t) 1 ( ) 1
2π
f t
1
O
t
F
1
O
F
1
O
1 f t
信号与系统(郑君里第二版)讲义第三章 傅里叶变换
t0
⎧0 ⎪T cos(mω1t )cos(nω1t )dt = ⎨ 1 ⎪2 ⎩T1
m≠n m=n≠0 m=n=0
∫
∫
t0 +T1
t0
0 ⎧ ⎪T sin (mω1t )sin (nω1t )dt = ⎨ 1 ⎪ ⎩2
m≠n m=n≠0
t0 +T1
t0
sin (mω1t )cos(nω1t )dt = 0 ，对于所有的 m 和 n
n =1
⎧ ⎪d 0 = a 0 ⎪ 2 2 ⎨d n = a n + bn ⎪ an ⎪θ n = arctan bn ⎩
n = 1,2,3,L n = 1,2,3,L
三、虚指数形式的傅里叶级数 任何周期信号 f (t ) 可以分解为
f (t ) =
n =−∞
∑ Fe
n
∞
jnω1t
傅里叶系数：
Fn = 1 t0 +T1 f ( t ) e − jnω1t dt ∫ t 0 T1
f (t )
E 2
−
T1 2
0
T1 2
t
奇函数的傅里叶级数展开式的系数为： a0 = an = 0
4 bn = T1
Fn = −
∫ f (t )sin (nω t )dt
1
T1 2 0
1 π jbn ， ϕ n = − 2 2
6
奇函数的 Fn 为虚数。在奇函数的傅里叶级数中不会含有余弦项，只可能含 有正弦项。 3、奇谐函数（半波对称函数） 若波形沿时间轴平移半个周期并相对于该轴上下反转， 此时波形并不发生变 化，即满足 ⎛ T ⎞ f (t ) = − f ⎜ t ± 1 ⎟ 2⎠ ⎝ 这样的函数称为半波对称函数或称为奇谐函数。 奇谐函数的傅里叶级数展开式的系数为： a0 = 0 an = bn = 0 （ n 为偶数） （ n 为奇数）
――傅里叶变换
第三章傅里叶变换（一）三角函数形式的傅里叶级数满足狄利赫里条件的周期函数f。
）可由三角函数的线性组合来表示，若f（t）的周期为T，角频率3 =之，频率f ='，傅里叶级数展开表达式 1 1 T 1 T1 1为f (t)= a +£[a cos(〃3t)+ b sin (〃3t)n=1各谐波成分的幅度值按下式计算a = —f t o+T1 f (t)dto T t o a =」t o+T1 f (t)cos (n3 t)dt n T t1ob = — j t o+ T1 f (t)sin(n3 t)dt n T t1o其中n = 1,2, •••狄利赫里条件:（1）在一个周期内，如果有间断点存在，则间断点的数目应是有限个;（2）在一个周期内，极大值和极小值的数目应是有限个；（3）在一个周期内，信号是绝对可积的，即』t o+T|f （t）dtt等于有限值。
t o（二）指数形式的傅里叶级数周期信号的傅里叶级数展开也可以表示为指数形式，即f (t)= £F (n3)ej n31 n1n二一8其中F = — f t o+T1f 0-加3 t dt n T1 t o 其中n为从一8到+8的整数。
3.1m号的傅里叶级!瞬析(三)函数的对称性与傅里叶系数的关系(1)偶函数由于f。
)为偶函数，所以f(t)sin(旭t)为奇函数，则1b = — J t o+ T i f (t)sin (n① t)dt = 0 n T t11 0所以，在偶函数的傅里叶级数中不会含有正弦项，只可能含有直流项和余弦项。
(2) 奇函数由于f (t)为奇函数，所以f(t)cos (n o t )为奇函数，则1a =— J t0+T f (tb t = 00 T t10a = — J t0+T1 f (t)cos (n0 t)dt = 0 n T t11t0所以，在奇函数的傅里叶级数中不会含有直流项和余弦项，只可能包含正弦项(3)奇谐函数(f (t )=-f [ t + T ])I 27半波对称周期函数的傅里叶级数中，只会含有基波和奇次谐波的正、余弦项，而不会含有偶次谐波项，这也是奇谐函数名称的由来。
信号课件第三章傅里叶变换
• 任何周期函数在满足狄义赫利的条件下，可以展成正交函 数线性组合的无穷级数。如果正交函数集是三角函数集或 指数函数集，此时周期函数所展成的级数就是“傅里叶级 数”。
T1 T1 T1 2
f (t) sin n1tdt 0
2 T1
a0 T1
2
an T1
2 T1
T21
2 T1
2
f (t)dt
f (t) c
2f T1 0
osn1tdt
(t)dt
4 T1
T1 2
0
f (t) cosn1tdt
所以，在偶函数的傅里叶级数中不会有正弦项，只可能 含有（直流）和余弦分量。
α>0
F (w) f (t)e jwt dt ete jwt dt 1
0
jw
f (t) 1
t
F(w) 1
2 w2
1/ F( j)
(
)
arctan(
)
( )
/2
/2
2、双边指数信号
f (t)
f (t) e t α>0
1
2/ F()
F (w) f (t)e jwt dt
dt
E
e jnw1t
/2
E
e jnw1 / 2 e jnw1 / 2
T / 2
T
jnw1
T
/ 2
jnw1
Ts
t
2E T
e jnw1 / 2 e jnw1 / 2 2 jnw1
3.5-7 典型非周期信号的傅里叶变换
X ( jω ) 称 为 x ( t )的 频 谱
ω +a
2
2
;
X ( jω ) = − tan ( ) a
2a ω 2 + a2
= EτSa(
ω
u (t ) ← X ( jω ) = →
( t ≤ τ2 ) ( t > τ2 )
← F( jω) →
ωτ
2
)=
sin(
ωτ
2
)
ωτ
2
补充:
1, sin Bt x(t ) = ← X ( jω ) → πt 0, | ω |< B | ω |> B
F( jω)
δ (t )
t
1
jω 单位冲激函数的频谱等于常数，也就是说， 单位冲激函数的频谱等于常数，也就是说，在整个频率 范围内频谱是均匀的。这种频谱常常被叫做“均匀谱” 范围内频谱是均匀的。这种频谱常常被叫做“均匀谱”或 白色频谱” “白色频谱”。 矩形方波演变成冲激函数.exe 单位冲激函数可矩形脉冲取极限 单位冲激函数.exe 其傅立叶变换也可类似推得. 得到 其傅立叶变换也可类似推得
∞
− jωt
dω = ∫−∞ F ( x)e
∞
− jxt
dx
2πf (−ω) = ∫−∞ F( x)e− jxω dx
∞ ∞ − jωt
x ⇒t
= ∫−∞ F(t )e dt ↔ F(t )
若f (t)为偶函数，则f (−ω) = f (ω)
所以有： 所以有：若
f (t ) ↔ F(ω)
则 F(t ) ↔2π f (ω)
为偶函数， 若f(t)为偶函数，则时域和频域完全对称。 为偶函数 则时域和频域完全对称。 直流和冲激函数的频谱的对称性是一例子。 直流和冲激函数的频谱的对称性是一例子。
8个典型信号的傅里叶变换
8个典型信号的傅里叶变换1. 常数信号（直流信号）这个常数信号啊，就像一个超级稳定的家伙，一直保持一个值不变。
它的傅里叶变换可有趣啦，就是一个冲激函数（狄拉克函数）在频率为0的地方。
你可以想象啊，常数信号就只有一个频率成分，那就是0频率，就像一个静止不动的状态在频率域里的表示呢。
2. 正弦信号。
正弦信号就像一个有规律的摇摆舞者。
它的傅里叶变换呢，是在正负它的角频率处有两个冲激函数。
比如说一个正弦函数Asin(ω_0t)，在频率ω = ω_0和ω=-ω_0的地方有两个冲激。
这就好像在说，正弦信号就只有一个频率在那欢快地跳动，这个频率就是它自己的角频率ω_0，一正一负就像在频率轴上对称地站着两个代表它的小尖刺。
3. 余弦信号。
余弦信号跟正弦信号是近亲呢。
Acos(ω_0t)的傅里叶变换也是在正负它的角频率处有两个冲激函数。
不过和正弦信号有点小区别，就像是两个风格相似但又有点不同的舞者。
余弦信号的傅里叶变换，那两个冲激函数就像是在频率轴上标记着它自己独特的角频率ω_0的两个小灯塔。
4. 单位冲激信号（狄拉克函数）这个单位冲激信号啊，就像一个超级突然的小爆炸，瞬间爆发然后就没了。
它的傅里叶变换可神奇了，是一个常数1。
你想啊，这个小爆炸包含了所有频率成分，就像一个超级大杂烩，在频率域里就变成了一个平坦的1，就好像所有频率都被它平等对待，一股脑儿地全在里面了。
5. 矩形脉冲信号。
矩形脉冲信号就像一个突然冒出来又突然消失的小方块。
它的傅里叶变换是Aτ Sa((ωτ)/(2))，这里的A是脉冲的幅度，τ是脉冲的宽度，Sa函数是(sin x)/(x)。
这个变换就像是把矩形脉冲信号这个小方块在时间域的信息，分散到了频率域里，就像把一个集中的小方块打散成了好多频率成分，那些频率成分按照Sa函数的规律分布着。
6. 三角脉冲信号。
三角脉冲信号就像一个小山峰。
它的傅里叶变换是Aτfrac{Sa^2((ωτ)/(2))}{ω^2}。
常用信号的傅里叶变换
常用信号的傅里叶变换傅里叶变换是一种将信号从时域转换到频域的数学工具。
它是以法国数学家傅里叶的名字命名的，用于分析信号的频谱成分。
在信号处理和通信领域，傅里叶变换被广泛应用于信号的频谱分析、滤波、解调和压缩等方面。
1. 正弦信号的傅里叶变换正弦信号是最简单的周期信号之一，它可以表示为一个频率和幅度确定的正弦函数。
对于一个正弦信号，它的傅里叶变换是一个由两个峰值组成的频谱图。
其中一个峰值位于正弦信号的频率上，另一个峰值位于负频率上，其幅度与正弦信号的幅度相等。
2. 方波信号的傅里叶变换方波信号是一种以方波函数为基础的周期信号。
方波信号可以表示为一系列正弦信号的叠加，其傅里叶变换是一个由多个峰值组成的频谱图。
频谱图上的峰值对应于方波信号中各个频率的成分。
3. 矩形脉冲信号的傅里叶变换矩形脉冲信号是一种在有限时间内突然变化的信号。
它在时域上表现为一个宽度有限的矩形脉冲，其傅里叶变换是一个以脉冲宽度为主要参数的频谱图。
频谱图上的峰值表示了矩形脉冲信号中各个频率的成分。
4. 高斯信号的傅里叶变换高斯信号是一种以高斯函数为基础的连续非周期信号。
高斯信号在时域上呈钟形分布，其傅里叶变换是一个以高斯函数为形状的频谱图。
频谱图上的峰值表示了高斯信号中各个频率的成分。
5. 三角波信号的傅里叶变换三角波信号是一种以三角函数为基础的周期信号。
三角波信号可以表示为一系列正弦信号的叠加，其傅里叶变换是一个以基频为主要参数的频谱图。
频谱图上的峰值对应于三角波信号中各个频率的成分。
6. 音频信号的傅里叶变换音频信号是一种连续时间的信号，它可以通过傅里叶变换转换为频域信号进行分析。
音频信号的傅里叶变换可以得到音频信号的频谱图，从而可以对音频信号进行频谱分析、滤波和合成等操作。
7. 语音信号的傅里叶变换语音信号是一种声音信号，它可以通过傅里叶变换转换为频域信号进行分析。
语音信号的傅里叶变换可以得到语音信号的频谱图，从而可以对语音信号进行声音分析、语音识别和语音合成等操作。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
因为
F 0( n ) E S a 2
所 以 F ( ) 1 E S n a 2 1 ( n 1 )
E 1 n S a n 21n1
1
T1
T
2 T
fT
t
ejn1t
dt
2
(2)
比较式(1),(2)
f0t
n1
fTt
在T 2,T 2内f0t与fTt相 同 所F 以 n1T 11F0n1
可 F 0 求 由 周 f T t的 期 F 谱 n 函 1 系 数 数
25
四．周期单位冲激序列的傅里叶变换 第
页
Tt tnT1 n
T t
频谱图
第
页
FE 1si n π21ESπa2
F
E
E
2
O π 2π 3π 4π
其频谱比矩形脉冲更集中。
B 冲激函数和阶跃函数
•冲激函数 •冲激偶 •单位阶跃函数
13
一．冲激函数
第
页
F()tejtdt1
f t
1
O
t
F
1
O
t看 作 1的 矩 形 0 脉 时 ,B 冲 ，
冲激函数积分是有限值，可以用公式求。而u(t)不 满足绝对可积条件，不能用定义求。
li m πS
a()
7
8
四．符号函数
第
不满足绝对
页
f(t)s gtn 1 1,,
t0 可积条件 t0
sgn( t ) 1
e t
处理方法：做一个双边函数
f1tsgn tet， F 求 1，
e t O 1
t
求 极 限F得 。到
F 1 0 e te jtd t0 e te jtd t
1 1 j2 jj22
F l i0m F 1l i0m 2j 2 2j2
频谱图
s gtnj2j2 2ej2
F
22
2
F是 偶 函 数
2
arctan
0
π2π,2 ,
0 0
是 奇 函 数
F ( )
2
O
π 2 O π 2
第 页
9
10
五．升余弦脉冲信号
第
页
ftE 21co π st 0t
0 t0
FFf(t)
Eetut ejtdt
E e j t d t 0
E j
f t
E
O
第 页
t
4
频谱图
幅度频谱：F E
2 2
0,
,
F E
F 0
相位频谱：arctan
0,
0
,
π
2
,
π
2
第
页
F
E
O
π2
O π 2
5
强 : 2 π F n 度 1 与 F ( n 1 ) 成 ,离 正散 比
2谱 线 的 幅,因 度 F为 不 表是 示有 的限 是
周 期 F 只 信 存 号 n1 处 ,在 的 于
频 率 范 围 无,幅限度小为。
23
三．如何由F0求Fn1
第
页
即 单 F 0 与 个 f T 周 t 的 脉 F 期 n 谱 1 冲 的 信
§附： 典型信号的傅里叶变换 A 非周期信号
•矩形脉冲 •单边指数信号 •直流信号 •符号函数 •升余弦脉冲信号
2
一．矩形脉冲信号
第
页
f t
F
2
Eejt
dt
2
E
j
ej t
2
2
E t
2O 2
j
j
E
.
e2 e 2j源自2sin E
2
2
2
E Sa
幅度频谱： F ESa
2
由傅里叶级数的指数形式出发：
fTt Fn 1 ejn1t
n
其傅氏变换(用定义)
F TF fTt
F Fn1ejn1t Fn1Fejn1t
Fn12πn1
2πFn1n1
22
几点认识
第
页
F T2π Fn1n1
1 fTt的 频 谱 由 冲 激; 序 列 组 成
位: 置 n 1 谐 波 频 率
f0t
fTt
T o T t T
o
2
2
Tt
T
设 f0t F 0 F02Tf0tejtdt (1)
2
fT
t
F n1 ejn1t
n
F n1
1 T1
T
2 T
fT
t
ejn1t dt
2
(2)
第
24
页
T
F02Tf0tejtdt
( 1)
2
fTt
F n1 ejn1t
n
F n1
比较
(t)1
() 1
2π
f t
1
O
t
F
1
O
第 页
F
1
O
1 f t
2π
O
t
14
15
二．冲激偶的傅里叶变换
第
页
fttdtf0
F t t e j t d t
e j t
t0
j j
16
三．单位阶跃函数
ut11sgnt
22
1 2
O
t
1 π
2
1 sgn t
1 1 1 1 1
因为 t 1
2T1 T1 o T1 2T1 t
所
以Tt的
傅
氏
级
数F谱 n1
系 1数
T1
所 T 以 tn F n1ejn 1 t T 1 1n ej n 1 t
频谱
第
26
页
F
FTt
1
Fejn1t
T 1n
1
T1 n
2πn1
2π
期 周
期 统
一
的
分
析
方叶 法变 ：换 傅
里
19
一．正弦信号的傅里叶变换
第
页
由欧拉公式
cos0t
1 2
ej0t
ej0t
sin0t
1 2j
ej0t
ej0t
已知
1 2π
由频移性质
1ej0t 20
1ej0t 20
c0 o t 1 2 s 2 π 0 2 π 0 π 0 π 0 同理 s0 t i n j π 0 j π 0
2
1
2
t
O 1
2
1 sgnt 1
2
j
第 页
u t
1
O
t
u(t)π 1
j
F
π
O
O
π
O
C 周期信号的傅里叶变换
第
18
页
周期信号：
ft 傅 里 F n 叶 1 离 级散 数
非周期信号：
ft 傅 里 F 叶 连 变续 换谱
周期信号的傅里叶变换如何求？ 与傅里叶级数的关系？
ft非 周
6
三．直流信号
f(t)E , t
E 2πE
f t
E
第
页
不满足绝对可积 条件，不能直接
用定义求 F
O
t
f1 t
E
O
t
推导
lim F
Eejtdt
limejt
E j
ej ej
Elim
j
Elim2s
in
2πEl i m π s i n
2πE
第 页
F
2π E
O
E 2πE
时域无限宽，频带无限窄
f t
E
E
2
F ftejt dt
O 2
t 2
E 21coπstejtdt
E 2 e j td t E 4 e j te j td t E 4 e j te j td t
E S a E 2 S a π E 2 S a π
11
2
相位频谱： 0 π4n π 22 n 1 π2 2n 1π 22n2π n0,1,2,
频谱图
幅度频谱
F
E 2π
O 2π 4π
F
E
相位频谱
2π O 2π 4π
π
2π
0
2π 4π
π
3
第 页
F ESa
2
频宽：
B 2π或Bf
1
二．单边指数信号
ft Eet t0 0
20
频谱图
第
c0 t o π s ( 0 ) ( 0 )
页
cos0t
频
谱:图
F
π
π
0 O 0
s0 t i n j π 0 j π 0
sin0t 频 谱:图
F
π
π
0 o
0
2
0
0
o
2
21
二．一般周期信号的傅里叶变换
第
页
设 信 号:周 T1 期 2π1
T1
t
F0()ES
a
2
所 以 Fn1T 11F0n1
F()2π Fn1n12π
n
n
E T 1 Sa n 21n1
E 1 n S a n 21n1
28
方法2
第
页
利用时域卷积定理，周期T1
f(t)f0(t)T(t)
F()F 0()1 (n1)