典型信号的傅里叶级数
北京邮电大学信号与系统-3.03 典型周期信号的傅里叶级数
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0
3
t
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二. 频谱随参数的变化
设 f t 的脉冲高度E不变，脉冲宽度 不变，当周期 T1 取不同的值时，具体看频谱如何变化。
1 1 s , T1 s 20 4
1 1 s , T1 s 20 2 1 s , T1 1s 20
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第 8 页
1 1 1. 20 s, T1 4 s
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第
周期矩形脉冲信号的功率
1 T 2 2 P f ( t )dt F n 1 T 0 n 1 1 以 s, T1 s为例，取前5 次谐波 20 4 2 2 2 2 2 P5 n F 0 F 1 F 2 1 F 3 1 F 4 1
2 1 8 T1
F ( n 1 )
第 9 页
E E n F n 1 Sa n 1 Sa T1 2 5 5
E
5
2
0 1
谱线在 1的整数倍上， n 1 0， 8， 16， n 1 2 第一个零点： ，即 n 1 40 2 40 40 第一个零点内谱线数 n 5，即五次谐波为 0。 1 8
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4.总结
幅度 2 T1 谱线间隔 1 T1
第 12 页
E 当T1 ，时， 1 0， 为无限小， T1 f t 由周期信号 非周期信号。
矩形脉冲的频谱说明了周期信号频谱的特点： 离散性，谐波性，收敛性
1 对比波形： T1 s 4 1 T2 s 2 T3 1s
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第
4.抽样信号(Sampling
coswt傅里叶级数
coswt傅里叶级数
（最新版）
目录
1.傅里叶级数的概念
2.coswt 傅里叶级数的意义
3.coswt 傅里叶级数的求解方法
4.coswt 傅里叶级数的应用
正文
傅里叶级数是一种将周期函数分解为一系列正弦和余弦函数的方法。
在数学和物理学中，这种方法被广泛应用。
coswt 傅里叶级数就是其中一个典型的例子。
coswt 傅里叶级数，指的是将函数 cos(wt) 分解为一系列正弦和余
弦函数的级数。
其中，w 是角频率，t 是时间。
这个级数的求解，可以帮助我们更好地理解余弦函数的周期性，以及它在不同频率下的振幅和相位。
求解 coswt 傅里叶级数的方法，一般采用傅里叶变换。
首先，我们
需要将时间域的信号转换到频率域，然后，通过查看频率域的信号，我们可以得到每个频率的振幅和相位。
最后，我们将这些信息带回时间域，就可以得到 coswt 傅里叶级数。
coswt 傅里叶级数在许多领域都有应用，包括信号处理、图像处理、通信系统等。
例如，在信号处理中，我们可以通过求解 coswt 傅里叶级数，来去除信号中的噪声，或者增强信号的某些频率成分。
在图像处理中，我们可以通过求解 coswt 傅里叶级数，来实现图像的频域滤波，从而改
善图像的质量。
在通信系统中，我们可以通过求解 coswt 傅里叶级数，
来分析信号的频谱，从而更好地进行信号的调制和解调。
总的来说，coswt 傅里叶级数是一种重要的数学工具，它在许多领域
都有广泛的应用。
傅里叶级数公式
傅里叶级数公式傅里叶级数是一种数学工具，用于将一个周期性函数表示为无限多个简单的正弦和余弦函数的和。
它由法国数学家傅里叶在19世纪中叶发现，并在物理学、工程学和其他领域中得到广泛应用。
本文将介绍傅里叶级数的定义、数学表达式和一些应用示例。
定义给定一个周期为T的函数f(t)，其傅里叶级数表示为：傅里叶级数公式傅里叶级数公式其中a0、an和bn是傅里叶系数，可以通过以下公式计算：傅里叶系数公式傅里叶系数公式傅里叶系数公式傅里叶系数公式傅里叶系数公式傅里叶系数公式数学表达式傅里叶级数公式可以进一步简化为以下形式：傅里叶级数公式简化形式傅里叶级数公式简化形式其中cn是复傅里叶系数，可以通过以下公式计算：复傅里叶系数公式复傅里叶系数公式应用示例傅里叶级数在信号处理、图像处理和音频处理等领域中有广泛的应用。
以下是一些傅里叶级数的应用示例：1. 信号分析傅里叶级数可以将任意周期性信号分解为不同频率的正弦和余弦函数的和，从而帮助我们理解信号的频谱特征。
通过计算傅里叶系数，我们可以得到信号在不同频率上的幅度和相位信息。
2. 图像压缩傅里叶级数被广泛用于图像压缩算法中，例如JPEG压缩。
通过将图像转换为频域表示，可以将高频部分压缩或丢弃，从而实现图像的压缩和存储。
3. 音频合成傅里叶级数可以用于合成音频信号。
通过给定一些具有不同频率和幅度的正弦和余弦函数的傅里叶系数，我们可以通过求和运算生成一个新的音频信号。
4. 信号滤波傅里叶级数在信号滤波中也有广泛应用。
通过将信号转换到频域，并在频域对信号进行滤波操作，可以实现去除噪声、降低干扰等效果。
总结傅里叶级数是一种将周期性函数表示为正弦和余弦函数的和的数学工具。
它帮助我们理解信号的频谱特征，进行信号分析、图像压缩、音频合成和信号滤波等应用。
通过计算傅里叶系数，我们可以获得信号在不同频率上的幅度和相位信息。
傅里叶级数在现代科学和工程中具有重要的地位，对于理解和处理周期性信号至关重要。
常用傅里叶级数展开公式
常用傅里叶级数展开公式傅里叶级数展开是指将一个周期函数表示成一组正弦和余弦函数的和的形式，从而方便研究周期函数的性质。
傅里叶级数理论建立于 1822 年由法国数学家约瑟夫·傅里叶发现。
在数学、物理、工程等领域均有广泛应用。
下面我们来看一下常用的傅里叶级数展开公式。
1. 周期函数的傅里叶级数展开设 $f(x)$ 为周期为 $2l$ 的周期函数，则对于$x\in(-l,l)$ 函数 $f(x)$ 可以表示为以下形式：$$ f(x) =\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{+\infty}(a_n \cos\frac{n\pi x}{l}+b_n \sin \frac{n\pi x}{l}) $$其中，$a_0,a_n,b_n$ 称为傅里叶系数，具体计算方法如下：$$ a_0=\frac{1}{l}\int_{-l}^{l}f(x)dx $$$$ a_n=\frac{1}{l}\int_{-l}^{l}f(x)\cos\frac{n\pi x}{l}dx $$$$ b_n=\frac{1}{l}\int_{-l}^{l}f(x)\sin\frac{n\pi x}{l}dx $$2. 正弦级数和余弦级数上面提到的傅里叶级数展开可以分为正弦级数和余弦级数。
当 $f(x)$ 为偶函数时，我们就可以展开成余弦级数形式：$$ f(x) = \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{+\infty}a_n \cos \frac{n\pi x}{l} $$其中，$a_0,a_n$ 的计算方法与上述相同。
当 $f(x)$ 为奇函数时，我们就可以展开成正弦级数形式：$$ f(x) = \sum_{n=1}^{+\infty}b_n \sin\frac{n\pi x}{l} $$其中，$b_n$ 的计算方法也与上述相同。
3. 周期不为 $2l$ 的函数的傅里叶级数展开对于周期不为 $2l$ 的函数，我们需要将其转化为一个周期为 $2l$ 的函数，并称其为 $F(x)$，然后再做傅里叶级数展开。
典型信号的傅里叶变换
f
t 非 周周 期期
统一的分析方法：傅里叶变换
由欧拉公式
cos0t
1 2
e j0t
e j0t
sin0t
1 2j
e j0t
e j0t
已知
1 2π
由频移性质
1 ej 0 t 2 0
1 ej0 t 2 0
cos0t
同理
1 2
2π
0
2π
0
π
0
π
0
sin0t jπ 0 jπ 0
dt
t
2
E
ejt d t E
e
j
t
e
jt
dt
E
e
j
t
e
jt
dt
2
4
4
ESa
E
2
Sa
π
E
2
Sa
π
F
E sin
1
2
π
E Sa
1 2
π
F
E
E
2
O π 2π 3π
其频谱比矩形脉冲更集中。
4π
•冲激函数 •冲激偶 •单位阶跃函数
F( ) t ej t d t 1
f t
1
O
t
F
1
O
t看作
1 的矩形脉冲，
0时, B
冲激函数积分是有限值，可以用公式求。而u(t)不
满足绝对可积条件，不能用定义求。
(t) 1 ( ) 1
2π
f t
1
O
t
F
1
O
F
1
O
1 f t
典型信号的傅里叶级数
an 0
t
可求出傅里叶级数的系数bn,
留给同学们做。
其傅里叶级数表达式为：
f
(t)
E
sin(
w1t )
1 2
sin(
2w1t )
1 3
sin(
3w1t )
E
(1)n1
n1
1 n
sin(
nw1t
)
此信号的频谱只包含正弦分量，谐波的幅度以1/n的规律收敛。
三周期三角脉冲信号的傅里叶级数求解
周期三角脉冲信号，是偶函数。
f (t)
E
解： 它是偶函数
bn 0
T1 0
T12ຫໍສະໝຸດ 2t可求出傅里叶级数的系数a0,an,
留给同学们做。
其傅里叶级数表达式为：
f
(t)
E 2
4E
2
cos(w1t)
1 9
cos(3w1t)
1 25
cos(5w1t)
E 2
4E
2
n1
1 n2
sin
2 ( n
2
) cos(nw1t)
此信号的频谱只包含直流、基波及奇次谐波分量，谐波的幅度
2
2
Q 偶函数 a0
E
T1
,
bn
0
an
E1
Sa
n1
2
cn
a0
E
T1
,
cn
E1
Sa
n1
2
n
0,
,
cn 0 cn 0
Fn
F n
1 2
an
E
T1
Sa
n1
2
f
(t)
三角
傅里叶级数与傅里叶变换
傅里叶级数与傅里叶变换傅里叶级数和傅里叶变换是数学中重要的概念，广泛应用于信号处理、图像处理、通信系统等领域。
它们为我们理解和分析周期信号以及非周期信号提供了有效的数学工具。
本文将分别介绍傅里叶级数和傅里叶变换的基本概念、性质和应用。
一、傅里叶级数傅里叶级数是指将一个周期函数表示成一系列正弦和余弦函数的和。
它的基本思想是利用正弦和余弦函数的基本频率，将一个周期函数分解成多个不同频率的谐波分量，从而得到函数的频谱内容。
在数学上，傅里叶级数表示为：\[f(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}c_ne^{i \omega_n t}\]其中，$c_n$代表系数，$e^{i \omega_n t}$是正弦和余弦函数的复数形式，$\omega_n$是频率。
将周期函数用傅里叶级数表示的好处是，可以通过调整系数来控制频谱内容，进而实现信号的滤波、合成等操作。
傅里叶级数的性质包括线性性、对称性、频谱零点等。
线性性意味着可以将不同的周期函数的傅里叶级数叠加在一起，得到它们的叠加函数的傅里叶级数。
对称性则表示实函数的傅里叶级数中系数满足一定的对称关系。
频谱零点表示在某些特殊条件下，函数的傅里叶级数中某些频率的系数为零。
傅里叶级数的应用广泛，例如在音频信号处理中，利用它可以进行音乐合成、乐音分析和音频压缩等操作。
此外，在图像处理领域，傅里叶级数被广泛应用于图像滤波、增强、噪声消除等方面。
二、傅里叶变换傅里叶变换是傅里叶级数的推广，用于处理非周期信号。
它将时域的信号转换为频域的信号，从而可以对信号进行频谱分析和处理。
傅里叶变换的定义为：\[F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-i \omega t}dt\]其中，$F(\omega)$表示信号的频域表示，$f(t)$为时域信号，$\omega$为连续的角频率。
傅里叶变换可以将时域的信号分解成不同频率的复指数函数，并用复数表示频谱信息。
周期信号的傅里叶级数表
傅里叶级数与复变函数的关系
傅里叶级数可以看作是复数域中的三角函数，即复数域中的正弦和余弦。在复数域中，正弦和余弦函数表现为复指数函数的 形式。
复数的使用使得傅里叶级数的系数可以表示为实数，从而简化了计算。此外，复数的共轭也提供了相位信息，这在信号处理 中非常重要。
傅里叶级数与小波分析的关系
小波分析是傅里叶分析的进一步发展，它提供了更灵活的时频分析工具。小波变 换可以看作是傅里叶变换的一种扩展，它允许我们在不同的频率段使用不同的基 本函数。
三角函数形式
傅里叶级数的另一种表示形式，利用三角函数来表示周期信号。
傅里叶级数的三角函数形式
01
02
03
正弦形式
余弦形式
系数
傅里叶级数的正弦函数形式，用 于表示只包含正弦波的周期信号。
傅里叶级数的余弦函数形式，用 于表示只包含余弦波的周期信号。
在傅里叶级数中，每个正弦或余 弦函数都对应一个系数，表示该 函数在周期信号中的贡献程度。
03
傅里叶级数的性质
傅里叶级数的收敛性
傅里叶级数在数学上具有收敛性，意味着它可以将一个 周期函数表示为无穷级数，每个项都是正弦或余弦函数。
收敛的速度取决于函数的特性，例如，对于具有快速衰 减的周期函数，傅里叶级数收敛得更快。
傅里叶级数的对称性
傅里叶级数的对称性质是指，对于一个周期函数，其傅里叶级数的正弦和余弦项具有对称性。 这意味着，对于一个给定的周期函数，其傅里叶级数的正弦和余弦项的系数是相同的。
周期信号的傅里叶级 数表
目录
• 傅里叶级数简介 • 周期信号的傅里叶级数表示 • 傅里叶级数的性质 • 傅里叶级数的应用实例 • 傅里叶级数与其他数学工具的关系
01
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1nsinn2cos(n1t)
e 指 数 En1nsinn2 , jn1t n1,3..
周 期 对 称 方 波 信 号 的 幅 度 频 谱 中 1 收 敛 规 律
an
n
幅度谱 a n
2 w1 3w1
0 w1
4
w
5
1
w
1
w
相位
n
谱
0 w 1 2 w1 3 w1 4 w1 5 w1
w
0 w1 3 w1 5w1 7 w1 w
f (t)
解：令余弦信号为
E
f1(t)Ecow s0t() w02T0
则，全波余弦信号为：
0 T1
T1 2
T1 2
T1
t
其傅里叶级数表达式为：
f(t)f1(t)Ecow s0t)(
f(t)2E4E1 3co2sw1(t)115 co4sw1(t)315 co6sw1(t)
2E4En 1(1)n14n1 21co2sn(0 w t)
此信号的频谱只包含正弦分量，谐波的幅度以1/n的规律收敛。
三周期三角脉冲信号的傅里叶级数求解
周期三角脉冲信号，是偶函数。
f (t)
E
解： 它是偶函数
bn 0
T1 0
T1
2
2
t
可求出傅里叶级数的系数a0,an,
留给同学们做。
其傅里叶级数表达式为：
f(t)E 24 E 2 cow s1t()9 1co3sw1(t)215co5sw1(t) ห้องสมุดไป่ตู้
此信号的频谱只包含直流、基波及偶次谐波分量，谐波的幅度 以1/n2的规律收敛。
思考题
• 1. 典型周期信号有哪些？
• 2. 周期矩形脉冲信号脉宽、周期与其频谱 的变化规律
二、周期锯齿脉冲信号的傅里叶级数求解
周期锯齿脉冲信号，是奇函数。
f (t)
E
解： 它是奇函数
2
T1 2
T1 0
2 E 2
an 0 t 可求出傅里叶级数的系数bn,
留给同学们做。
其傅里叶级数表达式为：
f(t)Esinw1(t)12sin2w (1t)13sin3w (1t)
En 1(1)n11nsinn(w 1t)
2
f
(t)三 角 E
T1
E1
n1San21cos(n1t)
e 指 数 E T1
nSan21
jn1t
（2）周期矩形脉冲信号的幅度、相位谱
周期矩形脉冲信号的幅度频谱中收敛规律为1, n
主要能量集中在第一个零点以内，即0~ 2
称为其频带宽度B
B
2 ,
Bf
1
Cn E
T1
n
2
0 w 1 2 w1 幅度谱
f (t)
E 2
T1
T1 / 4
0
E
2
T1 / 4
T1
t
解 ： 偶 函 数 且 a00， bn0
奇 谐 函 数 anESan2 2 nE, n1,3,5...
c0
0，cn
an
ESa
n
2
,
n
1, 3, 5...
0,
n ,
cn 0 cn 0
Fn
F n
1 2
cn
E 2
Sa
n
2
f
(t)三 角 2E
E 24 E 2 n 1n12si2n(n2)consw 1(t)
此信号的频谱只包含直流、基波及奇次谐波分量，谐波的幅度 以1/n2的规律收敛。
四、周期半波余弦信号的傅里叶级数求解
周期半波余弦信号，是偶函数。
f (t)
E
解： 它是偶函数
bn 0
0 T 1
T1
T1
2
2
T1
t 可求出傅里叶级数的系数a0,an, 留给同学们做。
4
nw 1 w
0
2 nw 1 4 w
相位谱
幅度谱与相位谱合并 Cn
实数频谱：
c0
2
4
0 w 12 w1
w
复数频谱：
Fn
E T1
2
2 4
0 w1 2w1
w
（3）举例：周期对称方波信号的傅里叶级数
周期对称方波信号是周期矩形信号的一种特殊情况， 对称方波信号有两个特点： a.是正负交替的信号，其直流分量a0等于零。 b.它的脉宽恰等于周期的一半，即t =T1/2
其傅里叶级数表达式为：
f(t)EE 2cow s1t()34co2sw1(t)145co4sw1(t)
E2En 1(n211)cons2()consw 1(t) w12T1
此信号的频谱只包含直流、基波及偶次谐波分量，谐波的幅度 以1/n2的规律收敛。
五、周期全波余弦信号的傅里叶级数求解
周期全波余弦信号，是偶函数。
E
T1 / 2 /2 0 / 2 T1 / 2
t T 1
解：
f(t)E u t2 u t2 ,
T 1tT 1 22
偶函数a0
E
T1
,
bn
0
an
E1
Sa
n1
2
cn
a0
E
T1
,
cn
E1
Sa
n 1
2
0,
n ,
cn 0 cn 0
Fn
F n
1 2
an
E
T1
Sa
n 1
大家好
§ 3.3 典型信号的傅里叶级数
• 主要内容
•周期矩形脉冲信号 •周期锯齿脉冲信号 •周期三角脉冲信号 •周期半波余弦信号 •周期全波余弦信号
• 重点 周期矩形脉冲信号 • 难点 信周期矩形信号频谱与脉宽、周期的
化规律
一、周期矩形脉冲信号
(1)周期矩形脉冲信号的傅里叶级数求解
周期矩形脉冲：脉宽为，脉冲幅度为E，周期为T1。 f (t)